Aula 39 - Medidas de ângulos.pdf

39A U L A

Medida de ngulos

Introduo

39A U L A

H muitas situaes em que uma pequenamudana de ngulo causa grandes modificaes no resultado final. Veja algunscasos nos quais a preciso dos ngulos fundamental:

Para sabera direo a seguir

Para instalar umaantena parablica

N

S

EO

NE

SESO

NO

Na construo civil

No futebol

Na localizao no mapa Na arquitetura

Acesse: http://fuvestibular.com.br/

P/ as outras apostilas de Matemtica, Acesse: http://fuvestibular.com.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/

39A U L A So tantos os exemplos que voc j deve estar se lembrando de outros.

Mas o que ngulo?

ngulo o nome que se d abertura formada por duassemi-retas que partem deum mesmo ponto.

As semi-retas que formam o ngulo so os lados do ngulo, e o ponto deorigem das semi-retas chamado vrtice do ngulo.

Nesta aula vamos estudar um pouco mais sobre os ngulos, como medi-los(que instrumentos usar e qual a unidade de medida) e alguns exemplos eaplicaes importantes.

O ngulo mais famoso, justamente por ser o mais comum, o ngulo reto.Voc se lembra dele? O ngulo reto aquele ngulo formado por duas retasperpendiculares e que est sempre presente nos esquadros. Voc deve lembrartambm que o ngulo reto mede 90.

Falando em medida de um ngulo, neste caso o ngulo reto, perguntamos:

Como medir um ngulo?

O instrumento utilizado para medir ngulos o transferidor, e voc podeencontr-lo de dois tipos:

90

1800

170

1016

020

15030

14040

45 1305

0 12060 110

70 10080 100

80 70110

60120

50130

45

40140

30150

20160

10170

0 180190350

200340

210330

220320

230310

240300

250290

260280

270270

280260290

2503002403

10 2303

20 220

350

190

340

200

330 210

90

1800

170

1016

020

15030

14040

45 1305

0 12060 110

70 10080 100

80 70110

60120

50130

45

40140

30150

20160

10170

0 180

lado

lado

ngulovrtice

Nossa aula



39A U L AUsar o transferidor muito simples. Observe estes exemplos e depois

pratique desenhando ngulos e medindo-os com seu transferidor.Dado um ngulo, devemos fazer coincidir seu vrtice com o centro do

transferidor e um de seus lados com a marca do zero do transferidor, comomostram as figuras:

A unidade de medida de ngulo o grau. Desenhando uma circunfernciae dividindo-a em 360 pequenos ngulos iguais, obtemos um ngulo de um grau.Usando o transferidor, desenhamos um ngulo de 1 (um grau). Verifique comoele pequeno!

EXEMPLO 1

Qual destes ngulos maior?

Usando um transferidor, voc pode verificar que os trs ngulos possuema mesma abertura (20 graus) e portanto so do mesmo tamanho.

Se dois ngulos tm a mesma abertura, tambm tm a mesma medida.

EXEMPLO 2

Na ilustrao que est na prxima pgina, voc pode observar uma parte dolitoral brasileiro. Vamos ver como calcular a direo, da rota de um avio,supondo que ele viaje usando sempre a menor distncia entre dois pontos, ouseja, em linha reta.

Nos mapas usados pela aviao, encontramos pequenas bssolasdesenhadas sobre algumas cidades. Para calcular o ngulo de uma rota, opiloto coloca um transferidor sobre o mapa e faz a leitura do ngulo.O dimetro do transferidor deve ter a mesma direo que a direo Norte-Sul da bssola, sendo que 0 corresponde ao norte magntico.

90

1800

170

1016

020

15030

14040

45 1305

0 12060 110

70 10080 100

80 70110

60120

50130

45

40140

30150

20160

10170

0 180

centro

90

1800

170

1016

020

15030

14040

45 1305

0 12060 110

70 10080 100

80 70110

60120

50130

45

40140

30150

20160

10170

0 180

centro

marca de 60 marca de 90

1



39A U L A Nesta ilustrao, voc pode conferir que a rota de um vo do Rio de

Janeiro a Aracaju de 56. Observe que a rota do Rio de Janeiro a JooPessoa tambm de 56, porm a distncia desta viagem maior do quea da primeira.

Classificando ngulos

Voc j sabe que o ngulo que mede 90 chamado ngulo reto. Outrongulo que recebe nome especial o ngulo que mede 180. Neste tipo de ngulo,as duas semi-retas que formam os lados esto sobre uma mesma reta, e ele chamado ngulo raso.

90

1800

170

1016

020

15030

14040

45 1305

0 12060 110

70 10080 100

80 70110

60120

50130

45

40140

30150

20160

10170

0 180

90

90

1800

170

1016

020

15030

14040

45 1305

0 12060 110

70 10080 100

80 70110

60120

50130

45

40140

30150

20160

10170

0 180

180

90

1800 170

10 16020

15030

1404045

13050

12060

11070

10080

1008070

11060

120501304540 140

30 15020 16010 1700 180

N

S

LO

Joo Pessoa

Aracaj

Oceano Atlntico

Rio deJaneiro



39A U L Angulos com medidas entre 0 e 90 so chamados ngulos agudos, e

ngulos com medidas entre 90 e 180 so chamados ngulos obtusos.

Na figura anterior, temos um ngulo agudo e um ngulo obtuso e, almdisso, a soma de suas medidas igual a 180. Quando a soma de dois ngulos 180, eles so chamados ngulos suplementares.

Quando dois ngulos agudos somam 90, eles so chamados nguloscomplementares.

Curiosidade

Voc j observou um par de esquadros? Existem dois tipos de esquadro.Um deles formado por um ngulo reto e dois ngulos de 45, e o outropossui um ngulo reto, um ngulo de 30 e outro de 60. Confira!

90

1800

170

1016

020

15030

14040

45 1305

0 12060 110

70 10080 100

80 70110

60120

50130

45

40140

30150

20160

10170

0 180

48137

ngulo agudo

ngulo obtuso

90

1800

170

1016

020

15030

14040

45 1305

0 12060 110

70 10080 100

80 70110

60120

50130

45

40140

30150

20160

10170

0 180

nguloagudo60

30

nguloagudo

30

60

45

45



39A U L A EXEMPLO 3

Para decidir com um carpinteiro qual o ngulo de inclinao que seu telhadoter, voc precisa saber que tipo de telha ir utilizar.Um carpinteiro nos informou que, para usar telhas francesas, o telhado podeter um caimento de 45%. Isso significa que, nesse caso, para cada metrohorizontal, o telhado cai 45% de metro. Representamos essa situao comum desenho em escala a seguir:

Medindo com o transferidor o ngulo x de inclinao do telhado, encon-tramos 25.Se voc decidir usar telha de amianto, o ngulo de inclinao pode ser umngulo de 10. Nesse caso, o caimento do telhado seria aproximadamente de15%. Confira usando o desenho a seguir.

EXEMPLO 4

Voc j reparou que, quando observamos um automvel que se distancia aolongo de uma grande avenida, ele parece estar diminuindo de tamanho? Ouque, quando assistimos a um grande show, quanto mais longe do palco,menores parecem ser os artistas?

x

4,5 m

1 m

escala: 1 m = 10 cm

x1,5 m

1 m

escala: 1 m = 10 cm

205

0,45 m

0,15 m



39A U L AObserve a ilustrao abaixo. Nela, um homem foi desenhado maior do que

o outro para dar a impresso de que est mais perto de ns. Como vemos ohomem menor sob um ngulo de viso menor, nosso crebro interpretaa cena como se esse homem estivesse mais afastado do que o primeiro.

Podemos concluir que o ngulo de viso que temos de um objeto dependeda distncia desse objeto e da posio que estamos em relao a ele. E nossongulo de viso mximo, sem mexer a cabea, de 180.

Os ngulos e a semelhana

Na Aula 21, voc estudou semelhana de figuras planas. Relembre agora oimportante papel que os ngulos exercem no caso de figuras semelhantes.

Sempre que dois polgonos so semelhantes, seus ngulos soiguais e seus lados so proporcionais e vice-versa.

Observe os polgonos abaixo.Como so polgonos semelhantes, voc pode medir os ngulos correspon-

dentes em cada par e verificar que suas medidas so iguais.



39A U L A Mas ser que a recproca verdadeira? Ou seja, ser que, sempre que os

ngulos forem iguais, os polgonos sero semelhantes?No! Basta verificar que isso no vale para um exemplo. Veja:

Um quadrado e um retngulo no so semelhantes.No entanto, ambas as figuras possuem quatro ngulos retos.

Mas existe um caso especial. Quando o nosso polgono forum tringulo verdadeiro afirmar que se os trs nguloscorrespondentes de dois tringulos so iguais, ento ostringulos so semelhantes.

Podemos verificar este fato construindo pares de tringu-los com ngulos iguais. Observe o exemplo seguinte.

EXEMPLO 5

Construa dois tringulos diferentes com ngulos medindo 50, 60 e 70.

Vamos construir o primeiro tringulo e cham-lo de ABC. Desenhamos umsegmento qualquer que ser sua base AB. Usando o transferidor, marcamosem A um ngulo de 50 e em B um ngulo de 60. Traando as semi-retas queformam o segundo lado de cada um desses ngulos, o ponto onde elas seencontram o vrtice C do tringulo ABC.Verifique que o ngulo com vrtice em C mede 70.

(50 + 60 + 70 = 180)

A soma dos ngulos internos de um tringulo igual a 180.

Vamos agora utilizar o mesmo processo para desenhar outro tringulo MNPcom ngulos de 50, 60 e 70. J que queremos um tringulo diferente,vamos comear com uma base maior.

Agora, medindo os lados dos dois tringulos podemos verificar que soproporcionais. Dobramos o comprimento da base, e os outros 2 lados, automa-ticamente, dobraram suas medidas.

2 cmA

50

B2 cmA 2 cmA

50

B

C

60

4 cmM

50

N

P

60

70

4 cmM

50

N



39A U L AExerccio 1

Use o transferidor e mea os ngulos abaixo:

a) b) c)

Exerccio 2Desenhe ngulos conforme o que se pede:a) agudob) retoc) obtusod) raso

Exerccio 3Utilize o mapa do Exemplo 2 e determine os ngulos das rotas abaixo:a) Rio-Vitria;b) Rio-So Paulo

Exerccio 4No mesmo mapa, podemos observar que a rota Rio-Belm de 15. Se opiloto errar e marcar nos aparelhos uma rota de 150, o que acontece?

Exerccio 5Observe a bssola da figura e descubra, usando um transferidor, a quantosgraus correspondem as direes NE (Nordeste), SE (Sudeste), NW (Noroes-te), SW (Sudoeste).

Exerccio 6Construa um tringulo MNP semelhante a qualquer tringulo cujos ngulosmeam 110, 30 e 40.

Exerccio 7Determine o ngulo suplementar (ou o suplemento) de:a 120b) 43

Exerccio 8Determine o ngulo complementar (ou o complemento) de:a) 37b) 25

Exerccios

Estasabreviaturas notexto referem-se bssola, quesempre traz asdirees em ingls.

N

S

EO

NE

SESO

NO



Aula 39 - Medidas de ângulos.pdf

Documents

Transcript of Aula 39 - Medidas de ângulos.pdf