Aula 4 - Axiomas de Probabilidade, Regra de Adição

Cssius Henrique

Aula 4

Axiomas de Probabilidade

Regra de Adio

CEA 012 Probabilidade


Cssius Henrique Xavier Oliveira

Universidade Federal de Ouro Preto

Departamento de Cincias Exatas e Aplicadas

2015

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Regra de Adio


Contextualizando...

Como pode ser definida a Probabilidade? Onde podemos encontrar suas aplicaes?

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Interpretaes de Probabilidade

Probabilidade:

resultado que pertence ao intervalo

[0, 1] ou [0%, 100%]

Escala de probabilidades:

Maior probabilidade maior chance

0% evento impossvel

100% evento certo

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Crena

pessoas podem, subjetivamente, atribuir probabilidades diferentes para um mesmo evento

Frequncia relativa

baseada na taxa de ocorrncia de certo evento em relao aos demais eventos

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Crena

pessoas podem, subjetivamente, atribuir probabilidades diferentes para um mesmo evento

Frequncia relativa

abordagem cientfica

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Resultados equiprovveis

Exemplo:

Evento A: De um lote com 100 peas, uma ser escolhida aleatoriamente.

Cada pea tem a mesma chance de ser selecionada

Soma das probabilidades 1 ou 100%

Para o modelo: P(A) = 0,01 ou 1%

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Nivelamento

Em um experimento aleatrio, o que so resultados equiprovveis? Cite alguns exemplos de experimentos que poderiam gerar esses resultados.

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Exemplo:

Evento A: De um lote com 100 peas, uma ser escolhida aleatoriamente.

Cada pea tem a mesma chance de ser selecionada

Soma das probabilidades 1 ou 100%

Para o modelo: P(A) = 0,01 ou 1%

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Toda vez que o espao amostral consistir em N resultados possveis que forem igualmente provveis, a probabilidade de cada resultado :

NP

1

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Probabilidade de um Evento

Para um espao amostral discreto, a probabilidade de um evento E, denotada por P(E) igual soma das probabilidades dos resultados em E.

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L1.3. Exerccio 1

Um experimento aleatrio pode resultar em um dos resultados {a, b, c, d} com probabilidades 0,1; 0,3; 0,5 e 0,1, respectivamente.

Seja: Determine:

A o evento {a, b}

B o evento {b, c, d}

C o evento {d}

CBAP

CBAP

CBP

BAP

BAP

CP

BP

AP

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L1.3. Exerccio 2

Uma inspeo visual de um ponto em pastilhas de um processo de fabricao de semicondutores resultou na seguinte tabela:

a) Se desse processo uma pastilha for selecionada ao acaso e o ponto for inspecionado, qual ser a probabilidade de que ele no contenha partculas?

b) Qual a probabilidade de uma pastilha conter 2, 3 ou 4 partculas no ponto inspecionado?

c) Qual a probabilidade de uma pastilha conter pelo menos 3 partculas no ponto inspecionado?

d) Os eventos apontados anteriormente so equiprovveis?

Nmero de Partculas de Contaminao 0 1 2 3 4 5 ou +

Proporo de Pastilhas 0,4 0,2 0,15 0,1 0,05 0,1

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L1.3. Exerccio 3

Suponha que uma batelada contenha seis itens {a, b, c, d, e, f} e que dois itens sejam selecionados aleatoriamente, sem reposio.

Suponha que o item f seja defeituoso, porm que os outros sejam bons.

Qual a probabilidade de que o item f aparea na amostra?

a) ( ) 1/5

b) ( ) 1/3

c) ( ) 1/6

d) ( ) 1/15

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Asseguram que as probabilidades atribudas a um experimento podem ser interpretadas como frequncias relativas

Os axiomas no determinam probabilidades

As probabilidades atribudas so baseadas em nosso conhecimento do sistema sob estudo

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Probabilidade um nmero que atribudo a cada membro de uma coleo de eventos, a partir de um experimento aleatrio que satisfaa as seguintes propriedades:

Se S for o espao amostral e E for qualquer evento em experimento aleatrio,

212121 1)(0

1)(

EPEPEEPEESe

EP

SP

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Operaes

Operaes de Interesse

Unies de eventos:

Intersees de eventos:

Complementos de eventos:

Operaes com conjuntos

teis na determinao de probabilidades de um evento conjunto

BA

BA

A

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Regras de Adio

Operaes de Interesse

Unies de eventos:

Intersees de eventos:

Complementos de eventos:

Operaes com conjuntos

teis na determinao de probabilidades de um evento conjunto

BA

BA

A

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Regras de Adio

Utilizada para expresso a unio de eventos

212121 EEPEPEPEEP

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Regras de Adio para trs ou mais eventos

Exemplo:

Como deve ser o raciocnio para o clculo de ? CBAP

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Regras de Adio para trs ou mais eventos

Exemplo:

CBAP

CBAP

CBPCAPBAP

CPBPAPCBAP

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Regras de Adio para trs ou mais eventos (eventos mutuamente exclusivos)

nn EPEPEPEEEP 2121

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L1.3. Exerccio 4

Suponha haver uma lista com o histrico de 940 pastilhas em um processo de fabricao de semicondutores. Considere que uma pastilha ser selecionada, ao acaso.

Seja H o evento em que a pastilha contm altos nveis de contaminao. Considere P(H) = 358/940. Suponha C o evento em que a pastilha esteja no centro de uma ferramenta de recobrimento. Considere P(C) = 626/940.

A probabilidade de a partilha ser proveniente do centro da ferramenta de recobrimento e conter altos nveis de contaminao 112/940.

Determine a probabilidade de que uma pastilha, escolhida ao acaso, seja proveniente do centro da ferramenta de recobrimento ou conter altos nveis de contaminao.

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L1.3. Exerccio 5

Considere as pastilhas do exerccio anterior. Agora, elas foram classificadas pelo grau de contaminao, conforme se nota pela tabela abaixo.

a) Qual a probabilidade de uma pastilha estar na borda ou conter alto grau de contaminao?

b) Qual a probabilidade de uma pastilha estar no centro ou conter baixo grau de contaminao?

Localizao na Ferramenta de Recobrimento

Contaminao Centro Borda Total

Baixa 514 68 582

Alta 112 246 358

Total 626 314

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Desafio!

Considere os dados de falha dos poos 1 a 8 apresentados ao lado. Seja A o evento em que a formao geolgica tenha mais de 1000 poos e B o evento em que um poo tenha falhado. Determine as seguintes probabilidades:

a)

b)

c)

d)

e)

Poos

Grupo com Formao

Geolgica

Falhas Total

1 170 1685

2 2 28

3 443 3733

4 14 363

5 29 309

6 60 1403

7 46 933

8 3 39

BAP

AP

BAP BAP

BAP

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Gabarito

1. 0,4; 0,9; 0,1; 0,3; 0,7; 0,8; 0,1; 0

2. a) 0,4; b) 0,3; c) 0,25; d) No

3. (b)

4. 218/235

5. a) 213/470; b) 347/470

Desafio. a) 0,079; b) 0,1968; c) 0,8142; d) 0,9889; e) 0,1858

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Sugesto para a prxima aula...

Estudar as pginas 22 a 28 (item 1.4) da referncia abaixo:

DANTAS, C. A. B. Probabilidade: Um curso introdutrio. Ed. da universidade de So Paulo.

Estudar os itens 2.2 e 2.3 da referncia abaixo:

MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatstica Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Editora LTC.

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