TRANSFERÊNCIATRANSFERÊNCIA

DEDE

MASSAMASSA

44ªª aulaaula: Difusão em Regime Permanente sem : Difusão em Regime Permanente sem ReaReaçção Quão Quíímicamica

DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAREAÇÇÃO QUÃO QUÍÍMICAMICA

Considere os sistemas:Considere os sistemas:

CONSIDERACONSIDERAÇÇÕES SOBRE ÕES SOBRE ““MEIO ESTAGNADOMEIO ESTAGNADO””

Como deduzido anteriormente, considerando a difusão do componentComo deduzido anteriormente, considerando a difusão do componente A e A (vapor (vapor dd´́ááguagua para o sistema da esquerda e vapor de para o sistema da esquerda e vapor de naftalenonaftaleno para o da para o da direita) teremos: direita) teremos:

Esfera de naftaleno

Ar estagnadoágua

brisa

(1)(1))NN(ydz

dyCDN z,Bz,AAA

ABz,A ++−=

•• Difusão em sDifusão em sóólidoslidos: difusão simples : difusão simples →→ Lei de Lei de FickFick

•• Difusão em gDifusão em gáás estagnados estagnado: intrinsecamente promove a convec: intrinsecamente promove a convecçção pois ão pois a a prpróópria difusão induz o movimento da misturapria difusão induz o movimento da mistura, ou seja, todo o fluido se , ou seja, todo o fluido se movimenta, não apenas A.movimenta, não apenas A.

••Analisando a equaAnalisando a equaçção de fluxo para o componente A:ão de fluxo para o componente A:

)NN(ydz

dyCDN z,Bz,AAA

ABz,A ++−=

• Se há gradiente de concentração de A ⇒ há fluxo de A ⇒ NA,z ≠ 0.

• Esse efeito é mais pronunciado quanto maior for a pressão de vapor de A.

posiposiççãoão

Escrevendo para o componente B (ar para ambos os sistemas acimaEscrevendo para o componente B (ar para ambos os sistemas acima):):

(2)(2)

difusãodifusão convecconvecççãoão

Como o ar estComo o ar estáá estagnado: Nestagnado: NB,zB,z = 0, ou seja:= 0, ou seja:

Assim, todo o movimento Assim, todo o movimento convectivoconvectivo de B de B éé balanceado pelo seu movimento balanceado pelo seu movimento difusivodifusivo. Em outras palavras, o que . Em outras palavras, o que éé arrastado de B pelo fluxo preferencial de arrastado de B pelo fluxo preferencial de A em direA em direçção ão àà sasaíída dos sistemas, retorna a esses sistemas por difusão da dos sistemas, retorna a esses sistemas por difusão (devido (devido àà diferendiferençça de concentraa de concentraçção). ão).

xx22

BrisaBrisa

arar (B)(B)

ÁÁguagua (A)(A)

xx22

xx11 ←← difusão de Adifusão de A(J(JAA))

difusão de Bdifusão de B(J(JBB) ) →→

←←Arraste A + B (Arraste A + B (JJiiCC)) ÁÁguagua (A) (A)

xx11

CCB1B1

CCB2B2

CCA1A1

CCA2A2

Conc.Conc.CCtt

)NN(ydz

dyCDN z,Bz,ABB

BAz,B ++−=

dzdyCDNy B

BAz,AB =

Partindo da equaPartindo da equaçção:ão:

Como NComo NB,zB,z = 0, então = 0, então vvBB,z ,z = 0, confirmando que o ar est= 0, confirmando que o ar estáá estagnado.estagnado.Nas condiNas condiçções de gões de gáás estagnado, a s estagnado, a eqeq. (1) pode ser rearranjada como:. (1) pode ser rearranjada como:

A soluA soluçção desta equaão desta equaçção em termos de fluxo com as condião em termos de fluxo com as condiçções de contorno: ões de contorno: z = zz = z11 →→ yyAA = y= yA1A1 e z = ze z = z22 →→ yyAA = y= yA2A2 leva a:leva a:

Na determinaNa determinaçção da distribuião da distribuiçção de concentraão de concentraçção de A no ar a soluão de A no ar a soluçção obtida ão obtida éé: :

(3)(3)z,BBzBzz,BBz,B vCVC)Vv(CN =+−=

(4)(4)

(5)(5)

(6)(6)

dzdy

y1CDN A

A

ABz,A −

−=

)yyln(

zzCDN

1B

2B

12

ABz,A −=

21A CzC)y1ln( +=−−

12

1

zzzz

1B

2B

1B

B )yy(

yy −

−

=

∫

∫=

z

zB

B dz

dzyy

Considerando as Considerando as condicondiççõesões de contorno: z = zde contorno: z = z11 →→ yyAA = = yyA1A1z = zz = z22 →→ yyAA = = yyA2A2 chegachega--se a: se a:

CCÁÁLCULO DA CONCENTRALCULO DA CONCENTRAÇÇÃO MÃO MÉÉDIA DE ADIA DE A

(7)(7)

lnB

1B

2B

1B2BB

1B

2B

1B

1B2B

1B

2B

1B

2B

1B

2B

12

1B

2B

121B

B

z

z1B

2B

12

zzzz

1B

2B

12

1Bz

z

z

z

zzzz

1B

2B1B

z

z 1B

B1B

B

)y()

yyln(

yyy

)yyln(

yyy

)yyln(

1yy

])

yyln(

zz1

1)yy(

[zz

1yy

])

yyln(

zz1

)yy(

[zz

y

dz

dz)yy(y

dz

dzyyy

y

2

1

12

1

2

1

2

1

12

1

=−

=

−

=−

=

−

−

−=

−−

===

−−

−−

∫

∫

∫

∫

alnadxa

xx =∫

lnB

1B

2B

1B2BB )y(

)yyln(

yyy =−

= )y1(y BA −=

)yyln(

1B

2B

B

1B2B

12

ABz,A y

yyzzCDN −

−=

medio,B

1B2B

12

ABz,A y

yyzzCDN −

−=

Lembrando queLembrando que

Substituindo o termo Substituindo o termo na equana equaçção (5) chegaão (5) chega--se a:se a:

ou ou

(9)(9)

(8)(8)

EXPERIMENTO DA ESFERA ISOLADAEXPERIMENTO DA ESFERA ISOLADA

Esfera de Esfera de naftalenonaftaleno de diâmetro dde diâmetro d

Ar estagnadoAr estagnado

Manta de aquecimentoManta de aquecimento

DD

SuporteSuporte

)dtdm(w r,A −=

r,Ar,A N.areaW =

)NN(y)dr

dy(CDN r,Br,AAA

ABr,A ++−=

Considerando Considerando D >> dD >> d, que o , que o fluxo ocorre essencialmente na direfluxo ocorre essencialmente na direçção rão r, que , que não hnão háá variavariaçção significativa do raio da esferaão significativa do raio da esfera mas se consiga medir a mas se consiga medir a variavariaçção de sua massa num intervalo de tempo considerão de sua massa num intervalo de tempo consideráável, a taxa de vel, a taxa de sublimasublimaçção w (mão w (máássica) ssica) éé dada por:dada por:

A taxa molar (WA taxa molar (WAA) pode ser obtida por:) pode ser obtida por:

com com

(10)(10)

(11)(11)

)]dr

dy(y1

CD.[r4W A

A

AB2r,A −

−π= )dr

dy.(y1

CDr4W A

A

AB2

r,A −π

−=

∫∫∞∞

/−π−= y

yA

AABR 2

r,A 0A0 y1dyCD4

rdrW )

y1y1ln(CDR4W

0A

AAB0r,A −

−π= ∞

r = Rr = R00 ⇒⇒ yyA A = = yyA0A0 = = PPAAvapvap/P/P

r r →→ ∞∞ ⇒⇒ yyA A = = yyAA∞∞e integrando: e integrando:

→→

Assim:Assim:

SubstituindoSubstituindo o termo envolvendo o o termo envolvendo o logaritmo pela fralogaritmo pela fraçção molar mão molar méédiadia e, e, conhecendoconhecendo--se o valor da taxa molar de sublimase o valor da taxa molar de sublimaçção do ão do naftalenonaftaleno, fra, fraçções ões molares na superfmolares na superfíície do corpo e no ar estagnado, pressão e temperatura, cie do corpo e no ar estagnado, pressão e temperatura, ééposspossíível determinar a difusividade do vel determinar a difusividade do naftalenonaftaleno no ar pela expressão:no ar pela expressão:

ouou

(13)(13)

Ny)dr

dy(CDN r,AAA

ABr,A +−=

Neste caso, NNeste caso, NB,rB,r tambtambéém m éé nulo (ar estagnado) e vamos obter:nulo (ar estagnado) e vamos obter:

)dr

dy(y1

CDN A

A

ABr,A −

−=e e (12)(12)

usando as condiusando as condiçções de contorno:ões de contorno:

)yy(CR4yW

DA0A0

medio,Br,AAB

∞−π=

AA y)y1ln( −≅−

0A0A y)y1ln( −≅−

Essa equaEssa equaçção ão éé indicada para solutos volindicada para solutos volááteis.teis.Por outro lado, para Por outro lado, para llííquidos volquidos volááteis a baixas temperaturasteis a baixas temperaturas e na e na sublimasublimaçção de ão de ssóólidoslidos, a equa, a equaçção 13 (ou 14) pode ser simplificada uma vez que o efeito da ão 13 (ou 14) pode ser simplificada uma vez que o efeito da convecconvecçção vai ser desprezão vai ser desprezíível comparada vel comparada àà contribuicontribuiçção ão difusivadifusiva (y(yA0A0 vai ser vai ser muito pequeno: ymuito pequeno: yA0 A0 →→ 0). Nesse caso,0). Nesse caso, pela spela séérie de Taylor:rie de Taylor:

Para x = Para x = --yyAA::

Aplicando ao ponto yAplicando ao ponto yA0A0: :

A outra condiA outra condiçção de contorno para essa situaão de contorno para essa situaçção ão éé: : yyAA = 0 = 0 qdoqdo r r →→ ∞∞AssimAssim, , a equaa equaçção (13) fica:ão (13) fica:

(14)(14)

Como:

0B

B

0BBmedio,B

yyln

yyy∞

∞ −=

)]y1ln()y1[ln(CDR4)y1y1ln(CDR4W 0AAAB0

0A

AAB0r,A −−−π=

−−

π= ∞∞

CCCDR4yCDR4W 0A

AB00AAB0r,A π=π=

0AAB0r,A CDR4W π=

0A0

r,AAB CR4

WD

π=

ou ou

(15)(15)

(16)(16)

DIFUSÃO PSEUDODIFUSÃO PSEUDO--ESTACIONESTACIONÁÁRIARIA

→→ Regime permanente: não hRegime permanente: não háá variavariaçção da posião da posiçção da fronteira com o tempoão da fronteira com o tempo

•• EM UM FILME GASOSO ESTAGNADO (experimento de EM UM FILME GASOSO ESTAGNADO (experimento de StefanStefan))

→ Regime pseudoRegime pseudo--estacionestacionáário: considera a variario: considera a variaçção da posião da posiçção com o tempo ão com o tempo de uma das fronteiras da região onde a difusão se processa.de uma das fronteiras da região onde a difusão se processa.→→ ReavaliaReavaliaçção dos experimentos envolvendo difusão em um capilar contendo ão dos experimentos envolvendo difusão em um capilar contendo ar estagnado onde se difunde vapor de um lar estagnado onde se difunde vapor de um lííquido volquido voláátil e o da esfera de um til e o da esfera de um ssóólido que sublima tamblido que sublima tambéém em ar estagnado.m em ar estagnado.

brisabrisa

z = zz = z11(t(t00)) t = tt = t0 0 yyAA = y= yA1A1

z = zz = z11(t)(t) t = t t = t yyAA = y= yA1A1

z = zz = z2 2 yyAA = y= yA2A2

llííquido A puro e volquido A puro e voláátiltil

ar estagnadoar estagnado

capilarcapilar

S = S = áárearea dada seseççãoãotransversaltransversal

Considere o esquema acima referente a um lConsidere o esquema acima referente a um lííquido volquido voláátil preenchendo til preenchendo parcialmente um capilar e sobre o qual existe uma camada de ar eparcialmente um capilar e sobre o qual existe uma camada de ar estagnado.stagnado.

ApApóós um intervalo de tempo considers um intervalo de tempo consideráável houve uma diminuivel houve uma diminuiçção do não do níível do vel do llííquido no capilar de forma que:quido no capilar de forma que:

→→ t = tt = t00 z = zz = z11(t(t00))

→→ t = tt = t z = zz = z11(t)(t)

→→ Modelo pseudoModelo pseudo--estacionestacionááriorio:: a difusão ocorre em regime permanente, com a difusão ocorre em regime permanente, com variavariaçção lenta da superfão lenta da superfíície de contorno. Dessa forma, a cie de contorno. Dessa forma, a eqeq. 9. 9 se aplica (uma se aplica (uma vez que o processo vez que o processo difusivodifusivo estestáá em regime permanente) mas deixamos z como em regime permanente) mas deixamos z como uma variuma variáável:vel:

medio,B

2A1AAB

medio,B

1B2BABz,A y

yyz

CDy

yyz

CDN −=

−= (9)(9)

Relacionando o fluxo com a variaRelacionando o fluxo com a variaçção do volume do lão do volume do lííquido:quido:

taxa de evaporataxa de evaporaçção = quantidade evaporada/tempoão = quantidade evaporada/tempo

)dtdm(w r,A −= (10)(10)

dt

)V.(dw ALr,A

ρ−=

Sendo ρAL= massa específica do líquido:

Em termos molares:

dt

)V.(dM

1W AL

Ar,A

ρ−=

dtdV

MW

A

ALz,A

ρ=

2zz

D)yy(CDMy

t

:testancons P e T Paray

yyz

CDdtdz

M

yyy

zCDSarea.N

dtdz

MSW

20

2t

AB2A1AABA

medio,BAL

medio,B

2A1AAB

A

AL

medio,B

2A1AABz,A

A

ALz,A

−−

ρ=

−=

ρ

−==

ρ=

E como E como dVdV = S.= S.dzdz, onde S = , onde S = áárea da serea da seçção ão transversal do capilar, então:transversal do capilar, então:

A determinaA determinaçção experimental da difusividade mão experimental da difusividade máássica consiste no ssica consiste no acompanhamento do desnacompanhamento do desníível do lvel do lííquido por perquido por perííodo de tempo estabelecido.odo de tempo estabelecido.

2zz

t)yy(CMy

D20

2t

2A1AA

medio,BALAB

−−

ρ= (17)(17)

Da mesma forma que no experimento do capilar, a taxa de evaporação de uma esfera que sublima é calculada por:

-) alsintempo o com r de decrescimo( dt

dRM

R4W

dRR4dVR34V mas

dtdV

MW

00

A

20As

r,A

02

03

0

A

Asr,A

∴πρ

−=

π=⇒π=

ρ=

Essa equação fornece a taxa molar de evaporação de uma gota (esférica) de líquido ou de sublimação de um sólido esférico.Quando analisamos a difusão estacionária de um sólido esférico sublimando, chegamos na expressão (14) anterior:

medio,B

A0AAB0r,A y

)yy(CDR4W ∞−π=

•• EM ESFERA SUBLIMANDOEM ESFERA SUBLIMANDO

∫∫∞

∞

−ρ

−=

πρ−=

−π=

t0

0t0

R

R 00A0AA

medio,BAst

0AB

0

A

20As

medio,B

A0AAB0r,A

dRR)yy(CM

ydtD

dtdR

MR4

y)yy(CDR4W

2)RR(

)yy(tCMy

D2

0t02

t0

A0AA

medio,BAsAB

−−

ρ−=

∞

2)RR(

MtCD

2t0

20t0

A0A

AsAB

−ρ=

Como, pelo modelo pseudoComo, pelo modelo pseudo--estacionestacionáário a difusão ocorre em regime rio a difusão ocorre em regime permanente, com variapermanente, com variaçção lenta da superfão lenta da superfíície de contorno, então:cie de contorno, então:

Para situaPara situaçções onde o efeito ões onde o efeito convectivoconvectivo pode ser desprezado: pode ser desprezado: yyAA muito muito pequeno e pequeno e yyAA∞∞ = 0.= 0.

CONTRADIFUSÃO EQUIMOLARCONTRADIFUSÃO EQUIMOLAR

Regime permanente: não hRegime permanente: não háá variavariaçção da posião da posiçção da fronteira com o tempoão da fronteira com o tempo

Em regime permanente, a equaEm regime permanente, a equaçção que rege a ão que rege a contradifusãocontradifusão equimolarequimolar éé a Lei a Lei de de FickFick: :

A relaA relaçção entre os fluxos molares ão entre os fluxos molares éé::

AA BB

11 22

NNA,zA,z NNB,zB,z

z,Bz,A NN −=

dzdCDN A

ABz,A −=

DIFUSÃO EM MEMBRANAS FICKIANASDIFUSÃO EM MEMBRANAS FICKIANAS→→ Membrana Membrana FickianaFickiana: difusão do soluto obedece a Lei de : difusão do soluto obedece a Lei de FickFick →→ para isso para isso ocorrer a mobilidade do soluto deve ser muito menor que a dos seocorrer a mobilidade do soluto deve ser muito menor que a dos segmentos de gmentos de polpolíímero da cadeia polimmero da cadeia poliméérica rica ⇒⇒ difusividade independe da concentradifusividade independe da concentraçção de ão de soluto.soluto.

→→ difusão de gdifusão de gáás por uma membranas por uma membrana::

i.i. adsoradsorçção do gão do gáás na superfs na superfíície da membranacie da membranaii.ii. difusão do gdifusão do gáás na matriz polims na matriz polimééricaricaiii.iii. dessorsãodessorsão do gdo gáás na outra extremidade da membranas na outra extremidade da membrana

→→ forforçça motriza motriz: diferen: diferençça de concentraa de concentraçção (ou pressão parcial) do ão (ou pressão parcial) do difundentedifundenteentre a entrada e a saentre a entrada e a saíída da membrana.da da membrana.

→→ nas fronteiras da membrana o equilnas fronteiras da membrana o equilííbrio segue a Lei de Henry:brio segue a Lei de Henry: AA SPC =

onde S = solubilidade do soluto na membranaonde S = solubilidade do soluto na membrana

→→ Permeabilidade = Pe = S. Permeabilidade = Pe = S. DDAmeAme