AULA 4

Produto escalar

Produto escalar – definição algébrica

Sejam 222111 z,y,xvez,y,xu , chamamos de produto

escalar o número real:

212121 zzyyxxvu

Notação: vu ou v,u e se lê: “ u escalar v ”.

Exemplos:

1) Dados os vetores 3,2,1u

e 1,4,3v

, calcular:

a) vu = 1 . (-3) + 2 . 4 + 3 . (-1) = –3 + 8 – 3 = 2

b) vuvu = (-2 , 6 , 2) (-4 , 2 , -4) = (-2) . (-4) + 6 . 2 + 2 . (-4)

=

= 8 + 12 – 8 = 12

2) Dados os vetores 1,,4u

e 3,2,v

e os pontos A(4 , -1 , 2)

e B(3 , 2 , -1), determinar o valor de tal que 5BAvu .

)3,3,1(BABA

BAv = ( + 1 , -1 , 6)

5BAvu 5)6,1,1(1,,4

4 . ( + 1) + . (-1) + (-1) . 6 = 5

4 + 4 - - 6 = 5

3 = 7

3

7

Propriedades do produto escalar:

i) uvvu

ii) wuvuwvu

iii) vuvuvu

iv) 0use0uue0use0uu

v) 2

uuu

Exemplos:

1) Sendo z,y,xu , demonstre a propriedade v)

Resolução:

222 zyxzzyyxxz,y,xz,y,xuu

2222

22222

222 zyxuzyxuzyxu

2

uuu

2) Mostrar que 222

vvu2uvu

Resolução:

22v2

i2

iiv2

vvu2uvu

vvvu2uuvu

vvuvvuuuvuvuvu

Analogamente, 222

vvu2uvu

Resolva você ...

3) Sendo ,3vue2v,4u calcular v4uv2u3 .

Resolução:

38324248

2831443

v8vu14u3

vv8uv2vu12uu3v4uv2u3

22

22

Exercício resolvido:

Determinar o vetor v

, paralelo ao vetor u

= (2 , -1 , 3), tal que 42uv

.

Resolução:

Seja z,y,xv o vetor procurado.

Como 42uv

, temos: 42z3yx23,1,2z,y,x (i)

Como os vetores são paralelos, temos:

3

z

1

y

2

xu//v

Ou seja, multiplicando em cruz, temos:

- x = 2y x = - 2y

- z = 3y z = - 3y (ii)

Logo, substituindo as equações obtidas em (ii) em (i), obtemos:

2(- 2y) – y + 3(- 3y) = - 42

- 4y – y – 9y = - 42

- 14y = - 42

y = 3

x = - 2 . 3 x = - 6

z = -3 . 3 z = - 9

Logo, 9,3,6v

Produto escalar – definição geométrica

Sejam veu ,vetores não paralelos, e o ângulo formado por eles,

então temos que:

º1800;cosvuvu

Demonstração:

Exemplo: Sendo 3v,2u e 120º o ângulo entre veu , calcule

vu .

Resolução:

cosvuvu

º120cos32vu

32

132vu

A B

C

u

v

u - v

Propriedades:

i) º90º00cos0vu , ou seja, é um ângulo agudo.

ii) º180º900cos0vu , ou seja, é um ângulo obtuso.

iii) º900cos0vu , ou seja, é um ângulo reto:

vu0vu : condição de ortogonalidade de dois vetores

Exemplo: Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais:

a) 2,5,4ve3,2,1u

vu = 1 . 4 + (-2) . 5 + 3 . 2 = 4 – 10 + 6 = 0

são ortogonais.

b) jei

0,1,00,0,1ji = 1 . 0 + 0 . 1 + 0 . 0 = 0 + 0 + 0 = 0

são ortogonais.

Exercícios resolvidos:

1) Qual o valor de para que os vetores k4j2ia

e

k3j)21(i2b

sejam ortogonais?

A B

C

u

v

u - v

cos

sen

0º

90º

180º +_

Resolução:

0baba

( , 2 , -4) (2 , 1 - 2 , 3) = 0

2 + 2 - 4 - 12 = 0

- 2 = 10

= - 5

2) Dados os pontos A(m , 1 , 0); B(m – 1 , 2m , 2) e C(1 , 3 , -1), determinar m

de modo que o triângulo ABC seja retângulo em A. Calcular a área do

triângulo.

Resolução:

Para que o triângulo ABC seja retângulo em A, precisamos que o vetor AB

seja ortogonal ao vetor AC :

0ACABACAB

(-1 , 2m – 1 , 2) (1 – m , 2 , -1) = 0

- 1 + m + 4m – 2 – 2 = 0

5m = 5

m = 1

Para calcular a área do triângulo, precisamos das medidas de sua base ( AB )

e de sua altura ( AC ):

621)1(AB2,1,12,1m2,1AB 222

5)1(20AC1,2,01,2,m1AC 222

A B

C

u

v

u - v

cos

sen

0º

90º

180º +_

A B

C

Logo,

.a.u2

30

2

56

2

ACAB

2

hbA

3) Determinar o vetor v

, sabendo que , v

é ortogonal ao eixo x,

6wv

e j2iw

.

Resolução:

Seja z,y,xv o vetor procurado.

Como v

é ortogonal ao eixo x, tomamos o vetor 0,0,1i como

representante do eixo x. Portanto, temos:

0iviv

0x000x00,0,1z,y,x

Como 6wv

, temos:

3y60y2060,2,1z,y,0

Por ultimo, para determinarmos o valor de z, usamos o fato de que :

4z16z25z95z30 22222

Logo, 4,3,0vou4,3,0v

Cálculo do ângulo entre dois vetores:

De cosvuvu , temos: vu

vucos

Exemplos:

1) Calcular o ângulo entre os vetores 4,1,1u

e 2,2,1v

Resolução:

9821vu

23181611u

39441v

2

2

2

2

2

1

323

9

vu

vucos

Logo, º452

2arccos

2) Seja o triângulo de vértices A(2 , 1 , 3); B(1 , 0 , -1) e C(-1 , 2 , 1).

Determinar o ângulo interno ao vértice B. Qual o ângulo externo ao vértice

B?

Resolução:

A B

C

u

v

u - v

A B

C

u

v

u - v

q

cos

sen

0º

90º

180º +_

A B

C

A B

C

B^ 180 - B

^

BCBA

BCBAB̂cos

23181611BA4,1,1BABA

3212444BC2,2,2BC

8822BCBA

9

62

36

68

6

6

66

8

3223

8B̂cos

Logo, º02,579

62arccosB̂

E, portanto, o ângulo externo ao vértice B, é:

180º - 57,02º = 122,98º

3) Sabendo que o vetor v

= (2 , 1 , - 1) forma ângulo de 60º com o vetor AB

determinado pelos pontos A(3 , 1 , -2) e B(4 , 0 , m),calcular m.

Resolução:

vAB

vABº60cos

2m,1,1ABAB

1m2m12)2m()1(2vAB

6m4m4m4m112m11AB 22222

6114112v222

66m4m

1m

2

1º60cos

2

Elevando ambos os membros da equação ao quadrado, obtemos:

36m24m6

1m2m

4

1

6m4m.6

1m2m

4

12

2

2

2

4m

2

08m

016m8m

)2(032m16m2

36m24m64m8m4

2

2

22

4) Um vetor v

do espaço forma com os vetores i

e j

ângulos de 60º e 120º

respectivamente. Determinar o vetor v

sabendo que sua norma é 2.

Resolução:

Seja z,y,xv o vetor procurado.

Como v

forma ângulo de 60º com o vetor 0,0,1i , temos:

1x

2

x

2

1

21

z,y,x0,0,1

2

1

vi

viº60cos

Como v

forma ângulo de 120º com o vetor 0,1,0j , temos:

1y

2

y

2

1

21

z,y,x0,1,0

2

1

vj

vjº120cos

Por ultimo, para determinarmos o valor de z, usamos o fato de que 2v :

2z2z4z112z11 22222

Logo, 2,1,1vou2,1,1v

Obs.: Os ângulos formados entre um vetor e os eixos coordenados são

chamados ângulos diretores.

5) Determinar o vetor v

, tal que: 4v ; v

é ortogonal ao eixo Oz e forma

ângulo de 60º com o vetor i

e ângulo obtuso com j

.

Resolução:

Seja z,y,xv o vetor procurado.

Como v

é ortogonal ao eixo z, tomamos o vetor 1,0,0k como

representante do eixo z. Portanto, temos:

0kvkv

0z0z0001,0,0z,y,x

Como v

forma ângulo de 60º com o vetor 0,0,1i , temos:

2x

4

x

2

1

41

z,y,x0,0,1

2

1

vi

viº60cos

Como v

forma ângulo obtuso (maior que 90º) com o vetor 0,1,0j ,

temos:

0y00,y,20,1,00vj0cos ()

Por ultimo, para determinarmos o valor de y, usamos o fato de que 4v :

32y12y16y440y2 22222

De (), temos que 32y

Logo, 0,32,2v

Projeção de um vetor sobre outro

Sejam veu vetores não nulos e o ângulo entre eles:

Seja 1v é a projeção ortogonal de v sobre u .

Notação: vprojvu1

uuu

uvvproj

u

Observação: veja a demonstração dessa fórmula em WINTERLE (2000).

Exemplos:

1) Dados os vetores 1,0,3u e 2,1,2v , determinar vproju

e

uprojv

.

Resolução:

5

2,0,

5

61,0,3

5

2

1,0,310

41,0,3

110033

12013)2(u

uu

uvvproj

u

9

8,

9

4,

9

82,1,2

9

4

2,1,29

42,1,2

2211)2()2(

4v

vv

vuuproj

v

u

v

u - v

q

cos

sen

0º

90º

180º +_

A B

C

A B

C

B^ 180 - B

^

v1

2) Sejam os pontos A(-1 , -1 , 2); B(2 , 1 , 1) e C(m , -5 , 3).

a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A?

b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.

Resolução:

a) Para que o triângulo ABC seja retângulo em A, precisamos que o vetor AB

seja ortogonal ao vetor AC :

0ACABACAB

(3 , 2 , -1) (m + 1 , - 4 , 1) = 0

3m + 3 – 8 – 1 = 0

3m = 6

m = 2

b) Para determinarmos o ponto H, precisamos, em primeiro lugar, determinar o

vetor BH que é a projeção do vetor BA sobre o vetor BC :

)1,2,3(BABA

)2,6,0(BCBC

10

7,

10

21,0

20

14,

20

42,02,6,0

20

72,6,0

40

41

2,6,022)6()6(00

21)6()2(0)3(BC

BCBC

BCBABAprojBH

BC

Como BH = H – B, temos:

H = BH + B

H =

10

17,

10

11,21,1,2

10

7,

10

21,0

A

B CH

3) Sejam A(2 , 1 , 3); B(m , 3 , 5) e C(0 , 4 , 1) vértices de um triângulo.

Determine:

a) O valor de m para que o triângulo ABC seja retângulo em A.

b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC.

c) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.

d) Mostrar que AH BC.

Resolução:

a) Para que o triângulo ABC seja retângulo em A, precisamos que o vetor AB

seja ortogonal ao vetor AC :

0ACABACAB

(m - 2 , 2 , 2) (- 2 , 3 , - 2) = 0

- 2m + 4 + 6 – 4 = 0

- 2m = - 6

m = 3

b) A medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC é a norma do

vetor BH que é a projeção do vetor BA sobre o vetor BC :

)2,2,1(BABA

)4,1,3(BCBC

26

36,

26

9,

26

274,1,3

26

9

4,1,3)4()4(11)3()3(

)4()2(1)2()3()1(BC

BCBC

BCBABAprojBH

BC

Logo,

A

B CH

.c.u26

269

26

2106

26

129681729

26

36

26

9

26

27BH

22

222

c) Como BH = H – B, temos:

H = BH + B

H =

26

94,

26

87,

26

515,3,3

26

36,

26

9,

26

27

d) 0BCAHBCAH

De fato:

026

64

26

61

26

34,1,3

26

16,

26

61,

26

1

REFERÊNCIAS

CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria Analítica: um tratamento

vetorial. São Paulo: Pearson, 2010.

STEINBRUCHY, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo:

Makron Books, 1987.

WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books,

2000.