Aula 4 - Resistencia dos Materiais

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Resistência de Materiais Gisele Duarte Caboclo, M. C. [email protected] Aula 4

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Resistência de Materiais

Gisele Duarte Caboclo, M. [email protected]

Aula 4

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Problemas estaticamente indeterminados

• Em alguns problemas as forças internas não podem ser determinadas apenas com as equações da estática

• Considerações geométricas do corpo

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Exemplo 2.02

Uma barra de comprimento L e área da secção transversal A1, com módulo de elasticidade E1, foi colocada dentro de um tubo de mesmo comprimento L, mas de área de secção transversal A2 e módulo de elasticidade E2. Qual é a deformação da barra e do tubo, quando uma força P é aplicada por meio de uma placa rígida?

Page 4: Aula 4 - Resistencia dos Materiais

• Da geometria do problema:

• A deformação nas duas barras devem ser iguais

• A deformação das barras pode ser calculada por qualquer uma das equações

11

11 EA

LP

22

22 EA

LP

22

2

11

1

EA

P

EA

P

2211

111 PAEA

PEAP

2211

222 PAEA

PEAP

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Exemplo 2.03

A barra AB de comprimento L e secção transversal de área constante é presa a suportes indeslocáveis em A e B antes de ser carregada. Quais são os valores das tensões em AC e BC, devido à aplicação da carga P no ponto C?

PRR BA

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A deformação da barra deve ser nula:

Utilizando a eq. 1 e a última eq.:

021

02211 AE

LP

AE

LP

ARP 1 BRP 2

021 LRLR BA

L

PLRA

2L

PLRB

1

Podemos calcular as tensões nas partes AC e BC dividindo P1=RA e P2=RB, respectivamente, pela área da secção transversal da barra

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Método da superposição

• Uma estrutura é estaticamente indeterminada quando estiver ligada a mais suportes do que o necessário para manter seu equilíbrio

• O número de equações a determinar é maior que o número de equações de equilíbrio

• Estrutura superabundante Força desconhecida

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Exemplo 2.04

A barra de aço é presa a dois apoios fixos A e B. Determinar as reações nestes apoios quando se aplica o carregamento indicado.

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• Reação em B superabundante (retira-se o apoio e deixa-se o carro livre nesta extremidade).

• RB será uma força desconhecida

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A barra é dividida em quatro partes . Da equação temos a deformação F

01 P NxPP 332 10600 NxP 3

4 10900

2621 10400 mxAA 26

43 10250 mxAA

mLLLL 150,04321

i ii

ii

EA

LP

Page 11: Aula 4 - Resistencia dos Materiais

E

Rx

AE

LP

AE

LP B3

2211 1095,1Para o cálculo da deformação, temos:

BRPP 21

261 10400 mxA 26

2 10250 mxA

mLL 300,021

Para a determinação de R devido à RB, divide-se a barra em duas partes e escreve-se:

E

x

E

m

mx

Nx

mx

Nx

mx

Nx

EA

LP

F

i ii

iiF

9

26

3

26

3

26

3

10125,1

150,0

10250

10900

10250

10600

10400

106000

Page 12: Aula 4 - Resistencia dos Materiais

0 RF

Como a deformação da barra deve ser igual a zero:

0)1095,1(10125,1 39

E

Rx

E

x B

Levando os valores de F e R, na equação anterior, temos:

Dessa última expressão calcula-se o valor de Rb

kNNxRb 57710577 3 A reação de RA no apoio superior e é obtida do diagrama de corpo livre da barra. Tem-se então:

0600300 ;0 BAv RkNkNRF

kNkNkNRkNR BA 323577900900

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Exemplo 2.05

Calcular as reações em A e B, na barra do exemplo anterior supondo que existe uma distância de 4,5mm entre a barra e o apoio B, quando o carregamento é aplicado. Adotar E=200GPa.

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• Considerar como superabundante o apoio em B• Calcular as deformações F e R

• A barra pode ser alongada, logo sua deformação não é nula (=4,5mm)

Utilizando os valores de F e R que foram calculados no exercício anterior na equação acima, e lembrando que E=200GPa:

mxRF3105,4

3

9

3

9

9

105,410200

)1095,1(

10200

10125,1 xx

Rx

x

x B

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Essa expressão nos leva ao valor de RB

kNNRB 4,115104,115 3

A reação no apoio A é obtida do diagrama de corpo livre da barra:

0600300 ;0 BAv RkNkNRF

kNkNkNRkNR BA 7854,155900900

Page 16: Aula 4 - Resistencia dos Materiais

Um poste de concreto armado de 1,5m de comprimento tem seis barras de aço de 22mm de diâmetro. Sabendo-se que Es=200GPa e que Ec=20GPa, determinar a tensão normal no concreto quando uma força axial de 900kN é aplicada ao poste.

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Pc= Força axial no poste de concretoPs= Força nas seis varas de aço

26232 1064,2279102214,35,14

6 mxxdA ss

2633 06,01022791025010250 mxxx

AbxhA scc

L

AEP

EA

LP ccc

cc

c

L

AEP

EA

LP sss

ss

s

L

AEAEPPP ssccsc

sscc AEAE

P

L

Page 18: Aula 4 - Resistencia dos Materiais

kPaxxE

kPaxxE

xxx

x

mL

ss

ss

4,10891047,5431020

1086941047,54310200

1047,54300228,01020006,01020

10900

5,1

69

69

699

3

Page 19: Aula 4 - Resistencia dos Materiais

Uma placa rígida transmite ao bloco composto da figura uma força axial centrada P=385kN. Determinar as tensões normais: a) na placa interna de aço; b) nas placas externas de alumínio.

200mm

20mm30mm

50mm

Placa interna de aço

Placa de alumínioPlaca rígida

20mm

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L

AEP

EA

LP bbb

bb

b

L

AEP

EA

LP aaa

aa

a

L

AEAEPPP aabbab

aabb AEAE

P

L

Pb= Carga axial na placa interna de açoPa= Carga nas placas de alumínio

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002,0)10200107010150010105(

10385

102000)50).(20.(2

101500)50()30(

6969

3

26

26

xxxxxx

x

mxmmmmA

mxmmxmmA

a

b

MPaxxE

MPaxxE

aa

bb

140002,01070

210002,0101059

9