Aula 5: Capacitância

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Curso de Física Geral III

Profa. Ana Barros

Capacitores Dois condutores carregados com cargas +Q e –Q e isolados, de formatos arbitrários, formam o que chamamos de um capacitor .

A sua utilidade é armazenar energia potencial no campo elétrico por ele formado .

Capacitância

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Quatro capacitores carregados formando uma “Bateria”. Esse sistema foi usado por Daniel Gralath para armazenar energia potencial no campo elétrico existente no interior dos capacitores - 1756.

Daniel Bernoulli, e Alessandro Volta, mediram a força entre placas de um capacitor, e Aepinus em 1758 foi quem que supôs que era uma lei de inverso-de-quadrado. (Em 1785 - Lei de Coulomb).

Réplica do sistema de Gralath exitente no museu de Ciência da Cidade de Leiden (Holanda).

História – Garrafa de Leiden e bateria

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Capacitores O capacitor mais convencional é o de placas paralelas . Em geral, dá-se o nome de placas do capacitor (ou armaduras) aos condutores que o compõem, independentemente das suas formas.

Outros capacitores Capacitor de placas paralelas

Capacitância

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Capacitores Como as placas do capacitor são condutoras, elas formam superfícies equipotenciais. A carga nas placas é proporcional à diferença de potencial entre elas, ou seja:

CVQ =onde C é a chamada capacitância do capacitor. Então: A constante depende apenas da geometria do capacitor. No SI a capacitância é medida em farads (F).

1farad = 1F = 1coulomb/volt = 1C/V

Importante: pF/m85,80 =ε1 farad = µ F10 6−

,

VQC =

C

Capacitância

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Esquema de cálculo Em geral, os capacitores que usamos gozam de alguma simetria, o que nos permite calcular o campo elétrico gerado em seu interior através da lei de Gauss:

ϕ =

E(r ) ⋅ n̂ dA

S∫ =

qint

ε0

De posse do campo elétrico, podemos calcular a diferença de potencial entre as duas placas como:

∫ ⋅−=−=f

i

r

rif ldrEVVV

!

!

!!! )(

E, finalmente, usamos o resultado anterior em , de onde podemos extrair C.

CVQ =

Cálculo da Capacitância

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Capacitor de placas paralelas

EdV =

dAC 0ε=

0

intˆ)(ε

φ qdAnrES

=⋅=∫!!

∫ ⋅−=−f

i

r

rif ldrEVV

!

!

!!! )(

Nota-se que a capacitância é proporcional a um comprimento e só depende de fatores geométricos do capacitor.

CVq=

AqE0ε

=

Capacitância: Exemplos

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⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=ab

LQV ln

2 0πε

CVQ =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

=

abLC

ln2 0πε

Capacitor cilíndrico

∫ ⋅−=−f

i

r

rif ldrEVV

!

!

!!! )(

LrQE02 επ

=

(L>> b)

L

L

superfície gaussiana

0

int

εqAdE

S

=⋅=Φ ∫!!

Capacitância: Exemplos

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Capacitor esférico

ababQV −=

04πε

CVQ =ab

abC−

= 04πε

∫ ⋅−=−f

i

r

rif ldrEVV

!

!

!!! )(

0

intˆ)(ε

φ qdAnrES

=⋅=∫!!

204 rQEεπ

=

S

Capacitância: Exemplos

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Esfera isolada

baa

ababC

−=

−=

144 00 πεπε

∞→b

aC 04πε=

)( aR =

Exemplo numérico:

pF/m85,80 =ε F101,1 10−×≈C ,

+

E!

+ + +

+

+ + +

+

+ +

∞→b

a

mR 1=

Capacitância: Exemplos

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Carregando o capacitor Podemos carregar um capacitor ligando as suas placas a uma bateria que estabelece uma diferença de potencial fixa, V , ao capacitor. Assim, em função de V

cargas +Q e –Q irão se acumular nas placas do capacitor estabelecendo entre elas uma diferença de potencial –V que se opõe à diferença de potencial da bateria e faz cessar o movimento de cargas no circuito.

, CVQ =

Capacitância

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Associação de capacitores em paralelo VCqVCqVCq 332211 e, ===

VCCCqqqqq )( 321321 ++=⇒++=

321 CCCCeq ++=

∑=i

ieq CCou

Como VCq eq=

Associação de capacitores

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Associação de capacitores em série

332211 e, VCqVCqVCq ===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=++=

321321

111CCC

qVVVV

321

1111CCCCeq

++= ∑=i ieq CC11

ou

Como eqCqV= :

Associação de capacitores

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Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um capacitor. Este trabalho fica armazenado sob a forma de energia potencial na região do campo elétrico entre as placas.

Suponha que haja e – armazenadas nas placas de um capacitor. O trabalho para se deslocar uma carga elementar de uma placa para a outra é então:

qdCqqdVdW ′′

=′′= Cqqd

CqdWW

q

2

2

0

=′′

== ∫∫2

2

21

2CV

CqU ==

qd ′q′ q′

E!

ld!

dq’

- - - - - - - - - -

Energia armazenada no campo elétrico

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Densidade de energia

Em um capacitor de placas paralelas sabemos que:

dAC 0ε=

2202

21

21 dE

dACVU ε==

EdV =e

202

1 EAdUu ε=≡

(Apesar de a demonstração ter sido feita para o capacitor de placas paralelas, esta fórmula é sempre válida!)

volumepotencialenergia =u

Energia no capacitor

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Exercício: energia de uma esfera Considere um condutor esférico de raio R carregado com uma carga q.

Qual a energia total neste condutor? Duas interpretações:

a)  Energia potencial de um capacitor esférico de raio R:

CqU2

21=

b) Integração da densidade de energia u:

+q

– q

c) Qual o raio R0 que contém metade da energia total?

RC 04πε= RqU0

2

8πε=

204

)(r

qrEπε

=

202

1 Eu ε=

U = 1

2ε0 E2 (r)4πr 2 dr

R

∞

∫ = q2

8πε0 R

RRRRRr

drrdrURU

R

R

R

212111(...)

21(...)

21)( 0

0220

0

=⇒=−⇒=⇒= ∫∫∝

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d

x A, εo V=Ax a) Qual é o trabalho W necessário para aumentar em x a separação das placas?

- É a energia adicional que apareceu no volume Ax, que antes não existia. Então:

QExAQxAE

xAExAuUW

21

21

21

00

20

==

====

εε

εAQE00 εε

σ ==

b) Qual é a força de atração entre as placas?

- Como xFW =

E!

QEF21=

Uma nova visão de U

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Visão atômica Dielétricos são materiais isolantes que podem ser polares ou não-polares.

+ - + - + - + -

+ - + - + - + -

+ - + - + - + - E0= 0 E0 E0

E ́E -

-

-

+

+

+

E!

E ′!

0E!

0E!00

!!=E

E ′!

σ ′+

0E!

0E!

dielétrico não-polar

um dielétrico polar: molécula de água

E!

p!

σ ′−

Dielétricos

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Ao colocarmos um material dielétrico entre as placas de um capacitor, se V é mantido constante, a carga das placas aumenta; se Q é mantida constante, V diminui. Como Q = CV, ambas as situações são compatíveis com o fato de que o dielétrico entre as placas do capacitor faz a sua capacitância aumentar.

Vimos: C0=ε0L, onde L é uma função que depende apenas da geometria e tem dimensão de comprimento. Então, na presença de um dielétrico preenchendo totalmente o capacitor: Cd = κε0L = κC0, onde κ >1

No vácuo, κ =1

Capacitores com dielétricos

Dielétricos

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Material Constante dielétrica

Resistência Dielétrica (kV/mm)

Ar (1 atm) 1,00054 3 Poliestireno 2,6 24 Papel 3,5 16 Pirex 4,7 14 Porcelana 6,5 5,7 Silício 12 Etanol 25 Água (20º) 80,4 Água (25º) 78,5

Dielétricos

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0

ˆ)(εqqdAnrE

S

′−=⋅∫!!

AqE0

0 ε=

AqqE

0ε′−=

AqE0

0

κεκ=

κqqq =′−

qdAnrDA

=⋅∫ ˆ)(!!

é o vetor de deslocamento elétrico. Então, na lei de Gauss expressa com o vetor , aparecem apenas as cargas livres (das placas).

D!)()( 0 rErD !!!! κε≡

,

onde

∴

00 ˆ)(

εqdAnrE

S

=⋅∫!!(a):

(b):

=E

Em (b): 0

ˆ)(κεqdAnrE

S

=⋅∫!!

Ou:

Aqq

0ε′−=

q−

q+

κ

q+

q−

q′+q′−

(a)

(b)

superfície gaussiana

superfície gaussiana

0E!

E!

Lei de Gauss com dielétricos

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Exemplo Capacitor de placas paralelas com A=115 cm2, d=1.24 cm, V0=85.5 V, b=0.78 cm, .

a) C0 sem o dielétrico; b) a carga livre nas placas; c) o campo E0 entre as placas e o dielétrico; d) o campo Ed no dielétrico; e) a ddp V entre as placas na presença do dielétrico; f) A capacitância C com o dielétrico.

Calcule:

2.61κ =

superfície gaussiana II

superfície gaussiana I

Dielétricos: Exemplo

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