Aula 6 - Análise Combinatória
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Sumario
ANALISE COMBINATORIA
Luciana Santos da Silva Martino
PROFMAT - Colegio Pedro II
08 de maio de 2015
O Princıpio Fundamental da Contagem Permutacoes e Combinacoes
Sumario
1 O Princıpio Fundamental da Contagem
2 Permutacoes e Combinacoes
O Princıpio Fundamental da Contagem Permutacoes e Combinacoes
Outline
1 O Princıpio Fundamental da Contagem
2 Permutacoes e Combinacoes
O Princıpio Fundamental da Contagem Permutacoes e Combinacoes
O Princıpio Fundamental da Contagem
Se ha x modos de tomar uma decisao D1 e, tomada a decisaoD1, ha y modos de tomar a decisao D2, entao o numero demodos de tomar sucessivamente as decisoes D1 e D2 e xy
Exemplo 1: Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos sepode formar um casal?
Exemplo 2: Uma bandeira e formada por 7 listras que devem sercoloridas usando apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listradeve ter apenas uma cor e nao se pode usar cores iguais em listrasadjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?
O Princıpio Fundamental da Contagem Permutacoes e Combinacoes
O Princıpio Fundamental da Contagem
Exemplo 2: Uma bandeira e formada por 7 listras que devemser coloridas usando apenas as cores verde, azul e cinza. Secada listra deve ter apenas uma cor e nao se pode usar coresiguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorira bandeira?
Exemplo 3: Quantos sao os numeros de tres dıgitos distintos?
O Princıpio Fundamental da Contagem Permutacoes e Combinacoes
O Princıpio Fundamental da Contagem
Estrategia para resolver os problemas de contagem:
1 Postura2 Divisao3 Nao adiar dificuldades
Exemplo 4: O codigo Morse usa duas letras, ponto e traco, eas palavras tem de 1 a 4 letras. Quantas sao as palavras docodigo Morse?
O Princıpio Fundamental da Contagem Permutacoes e Combinacoes
O Princıpio Fundamental da Contagem
Exemplo 5: Quantos divisores inteiros positivos possui onumero 360? Quantos divisores sao pares? Quantos saoımpares? Quantos sao quadrados perfeitos?
Exemplo 6: Quantos sao os numeros pares de tres dıgitosdistintos?
O Princıpio Fundamental da Contagem Permutacoes e Combinacoes
Outline
1 O Princıpio Fundamental da Contagem
2 Permutacoes e Combinacoes
O Princıpio Fundamental da Contagem Permutacoes e Combinacoes
Problemas de Combinatoria: PermutacoesSimples
Problema das permutacoes simples: De quantos modospodemos ordenar em fila n objetos distintos?
Pn = n!
Exemplo 7: Quantos sao os anagramas da palavra “calor”? Quantoscomecam com consoante?
Exemplo 8: De quantos modos podemos arrumar em fila 5 livrosdiferentes de Matematica, 3 livros diferentes de Estatıstica e 2 livrosdiferentes de Fısica, de modo que livros de uma mesma materiapermanecam juntos?
O Princıpio Fundamental da Contagem Permutacoes e Combinacoes
Problemas de Combinatoria: PermutacoesSimples
Exemplo 9: Quantos sao os anagramas da palavraCURICICA?
O numero de permutacoes de n objetos,dos quais α sao iguaisa A, β sao iguais a B, γ sao iguais a C, etc, e dado por
Pα,β,γ,...n = n!
α!β!γ!
Exemplo 10: De quantos modos podemos dividir 8 objetos emum grupo de 5 objetos e um de 3 objetos?
O Princıpio Fundamental da Contagem Permutacoes e Combinacoes
Problemas de Combinatoria: CombinacoesSimples
De quantos modos podemos selecionar p objetos distintosentre n objetos distintos dados?
Cpn = n!
p!(n−p)!
Exemplo 11: Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissoesde 5 pessoas, com exatamente 3 homens, podem serformadas?
O Princıpio Fundamental da Contagem Permutacoes e Combinacoes
Problemas de Combinatoria: CombinacoesSimples
Exemplo 12: Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissoesde 5 pessoas, com pelo menos 3 homens, podem serformadas?
Exemplo 12: Tem-se 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontossobre uma reta R’ paralela a R. Quantos triangulos e quantosquadrilateros convexos com vertices nesses pontos existem?
