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AULA 6 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II

Mudança de Coordenadas

Fonte: Anton, Stewart, Thomas, Buske

Prof. Guilherme J. WeymarCENG - UFPel

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Tópicos:

2D:Coordenadas polares

3D:Coordenadas cilíndricasCoordenadas esféricas

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Introdução:No monitoramento por radar, um operador está interessado na posição

ou no ângulo que o objeto rastreado forma com algum raio fixo (por

exemplo, uma semi-reta direcionada para leste) e a que distância o

objeto está localizado no momento. Nesta aula estudaremos um sistema

de coordenadas inventado por Newton, chamado de sistema de

coordenadas polares, o qual é prático de usar para tais propósitos.

Estudaremos as coordenadas polares e sua relação com as coordenadas

cartesianas. Enquanto que um ponto no plano tem apenas um par de

coordenadas cartesianas, ele tem infinitos pares de coordenadas

polares. Isso tem características interessantes no esboço de gráficos.

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Definição de coordenadas polares:

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OBS.: Como em trigonometria, θ é positivo quando medido no sentido anti-

horário e negativo quando medido no sentido horário. O ângulo associado a

dado ponto não é único. Por exemplo, o ponto a 2 unidades da origem, na

semi-reta θ = π /6 tem coordenadas polares r = 2, θ = π /6, mas também

tem coordenadas r = 2, θ = -11π /6 (ver figura).

As coordenadas polares não são únicas.

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Há ocasiões em que desejamos permitir que r seja negativo. Essa é a razão

de usarmos a distância orientada na definição de P(r,θ). O ponto P(2,7π/6)

pode ser alcançado rodando 7π/6 radianos no sentido anti-horário a partir

do raio inicial e indo 2 unidades em frente (ver figura). Ou ainda rodando

π/6 radianos no sentido anti-horário e voltando 2 unidades e o ponto tem

coordenadas polares r = -2, θ = π/6.

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EXEMPLO 1. Determinando coordenadas polares

Determine todas as coordenadas polares do ponto P(2,π/6).

Resolução ... Completar!

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Gráficos polares:

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EXEMPLO 2. Determinando equações polares para gráficos

a) r = 1 e r = -1 são equações para o círculo de raio 1 centrado em O

b) θ = π/6, θ = 7π/6 e θ = -5π/6 são equações da reta da figura do

exemplo 1:

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EXEMPLO 3. Identificando gráficos

Desenhe os conjuntos de pontos cujas coordenadas polares satisfazem:

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Relacionando coordenadas polares e cartesianas:

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EXEMPLO 4. Equações equivalentes

Algumas curvas são mais tratáveis em coordenadas polares; outras não.

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EXEMPLO 5. Convertendo coordenadas cartesianas a polares

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EXEMPLO 6. Convertendo coordenadas polares a cartesianas

(b) ExercícioResposta: y = 2x – 4reta, coeficiente angular m = 2, intersecção com o eixo y em b = -4

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Desenhando gráficos em coordenadas polares

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EXEMPLO 7. Uma cardióide

17A seta indica a direção de crescimento de θ.

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EXEMPLO 8. Desenhe a curva r2 = 4cosθ

19As setas indicam a direção de crescimento de θ.

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Uma técnica para desenhar gráficos:

Um modo de desenhar o gráfico de uma equação polar r = f(θ) é fazer uma

tabela de valores (r,θ), depois marcar os pontos correspondentes e

conectá-los na ordem de crescimento de θ. Isso pode funcionar bem se for

marcado um nº suficiente de pontos para revelar todos os laços e

reentrâncias do gráfico.

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Outro método de desenhar o gráfico, que é geralmente mais rápido e

confiável, é:

1) Primeiro esboçar o gráfico de r = f(θ) no plano cartesiano r θ,

2) usar então o gráfico cartesiano como uma “tabela” para guiar o

esboço do gráfico em coordenadas polares.

Esse método é melhor do que simplesmente marcar pontos, pois o

primeiro gráfico cartesiano, mesmo quando desenhado

apressadamente, mostra em um relance onde r é positivo, negativo,

onde não está definido e também onde r é crescente e decrescente.

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EXEMPLO 9. Uma lemniscata.

Desenhe a curva r2 = sen2θ

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Determinando interseções de gráficos polares:

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EXEMPLO 10. Coordenadas polares enganosas.

Mostre que o ponto (2,π/2) está na curva r = 2cos2θ

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EXEMPLO 11. Pontos de intersecção enganosos.

Determine os pontos de intersecção das curvas r2 = 4cosθ e r = 1 - cos θ

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Quando um cálculo em física, engenharia ou geometria envolve um

cilindro, um cone ou uma esfera, freqüentemente podemos simplificar

nosso trabalho usando coordenadas cilíndricas ou esféricas.

O procedimento de transformação para essas coordenadas é semelhante à

transformação para coordenadas polares no plano.

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Coordenadas cilíndricas:

Obtemos coordenadas cilíndricas

para o espaço combinando

coordenadas polares no plano xy

com o eixo z usual. Isso associa a

cada ponto no espaço uma ou mais

ternas ordenadas da forma (r,θ,z)

como mostra a figura.

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Em coordenadas cilíndricas, a

equação r = a não descreve

apenas uma circunferência no

plano xy, mas um cilindro inteiro

em relação ao eixo z (figura).

* O eixo z é dado por r = 0.

* A eq. θ = θo descreve o plano

que contém z e forma um ângulo

θo com o eixo x positivo.

* Como nas coord. cartesianas, a

equação z = zo descreve um

plano perpendicular ao eixo z.

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OBS.: Coordenadas cilíndricas são boas para descrever cilindros cujos

eixos coincidem com o eixo z e planos que contêm o eixo z ou são

perpendiculares a ele.

Superfícies como essas tem equações de coordenadas constantes:

r = 4 cilindro, raio 4, eixo coincide com o eixo z.

θ = π/3 plano contendo o eixo z.

z = 2 plano perpendicular ao eixo z.

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Coordenadas esféricas:

Coordenadas esféricas posicionam pontos

no espaço com dois ângulos e uma

distância (figura).

A 1ª coordenada, ρ = |OP|, é a distância

do ponto à origem. Diferentemente de r, a

variável ρ nunca é negativa.

A 2ª coordenada, φ, é o ângulo que OP

forma com o eixo z positivo. É necessário

que esteja no intervalo [0,π].

A 3ª coordenada é o ângulo θ como

medido nas coordenadas cilíndricas.

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Nos mapas da Terra, θ está relacionada ao

meridiano de um ponto na Terra, φ

corresponde a sua latitude e ρ está

relacionada à elevação acima da superfície

terrestre.

* A eq. ρ = a descreve a esfera de raio a

centrada na origem (figura).

* A eq. φ = φo descreve um cone simples

cujo vértice está na origem e cujo eixo é o

eixo z.

* A eq. θ = θo descreve o semiplano que

contém o eixo z e forma um ângulo θo com

o eixo x positivo.

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OBS.: Coordenadas esféricas são boas para descrever esferas centradas

na origem, semiplanos com fronteira no eixo z e cones de uma folha

cujos vértices estão na origem e cujos eixos se encontram ao longo do

eixo z.

Superfícies como essas tem equações de coordenadas constantes:

ρ = 4 esfera, raio 4, centro na origem.

φ = π/3 cone abrindo-se da origem, formado com um ângulo de π/3

radianos com o eixo z positivo.

θ = π/3 semiplano, com fronteira igual ao eixo z, formando um ângulo

de π/3 radianos com o eixo x positivo.