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Aula 6- Metod. tradicional de verificação da segurança de estruturas de suporte rígidas. Dimensionamento sísmico.

Paulo Coelho - FCTUCMestrado em Engª. Civil - Construções Civis ESTG/IPLeiria

Milhões de anos antes do presente

Movimento das placas continentais

Legenda

Actividade Sísmica e Sua Origem

Movimento das placas continentais nos últimos milhões de anos:

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O movimento das placas requer que algumas placas se desloquem por baixo de outras (fronteiras convergentes), retornando a magma sob a crusta terrestre, sendo as placas recriadas noutras zonas por solidificação do magma (fronteiras divergentes):

Muitos destes movimentos não são “suaves” nem contínuos, e a libertação instantânea de energia associada a um movimento brusco de uma placa cujo movimento foi interrompido por algum tempo pode gerar sismos de intensidade/magnitude elevadas:

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A coincidência entre os sismos registados no passado e os limites das placas tectónicas (com cores diferentes) é evidente:

Os sismos mais importantes concentram-se no Sul da Europa, Médio Oriente, Este Asiático, Califórnia e Alaska, Andes…:

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Os movimentos das placas tectónicas mostram porque razão a actividade sísmica é tão intensa nessas regiões:

Mas alguns sismos resultam de movimentos em falhas na crusta terrestre- a falha de San Andreas, gerou alguns dos maiores sismos na zona de São Francisco, e é um bom exemplo (deslocamento médio de 20-35 mm/ano, 1200 km de comprimento):

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O Euro-Código 8 sugere neste momento as seguintes regiões, para dois sismos de características distintas (sismo próximo, intraplaca, e sismo longínquo, interplaca):

Dimensionamento Sísmico

Em regiões sismicamente activas como o território nacional, o dimensionamento das estruturas de suporte deve ter em conta a acção sísmica;

O dimensionamento sísmico é frequentemente conduzido com base no método pseudo-estático, em que a acção dinâmica (sísmica) é substituída por uma acção estática “equivalente”

A utilização deste método é aceitável em muitos casos (claro que não pode por si só prevenir fenómenos dramáticos como a ressonância!)

Mas em que se baseia este método?

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Osciladores com 1 Grau de Liberdade 1GL

Exemplos de estruturas que podem ser aproximadas por sistemas discretos (c/ massas concentradas ligadas por molas ou barras de rigidez k):

k k 2k

m m

k k

mm

Vibrações Forçadas de Sistemas Discretos

1) O1GL com amortecimento sob vibração induzida por força externa

Num O1GL com massa m, rigidez k e amortecimento c, o movimento vibratório induzido por força externa variável pode ser descrito por (2ª Lei de Newton):

m

k

c Q(t))(..

tumamFexternas ×=×=∑

)()()()(...

tumtuktuctQ ×=×−×−

)()()()(...

tuktuctumtQ ×+×+×=

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Vibrações Forçadas de Sistemas Discretos

2) O1GL c/ amortecimento sob vibração da fundação

Num O1GL com massa m, rigidez k e amortecimento c, o movimento induzido por vibração da fundação (sismo!) pode ser descrito por (2ª Lei de Newton):

)(..

tumamF totalexternas ×=×=∑

)()()(...

tumtuktuc total×=×−×−

)()()(......

tututu ftotal += u (t)f u(t)u (t)total

m

k

c

u (t)f

u(t)

Pelo que a equação pode ser reescrita como:

Que não é mais do que a equação do O1GL com amortecimento sujeito a vibração forçada por uma força:

sendo a força (dita Força de Inércia- FI):

0)()()()(.....

=×+×+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +× tuktuctutum f

)()()()(.....

tumtuktuctum f×−=×+×+

)()()()(...

tQtuktuctum =×+×+×

..( ) ( ) sismof hQ t m u t m a FI= − × = − × =

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Esta é a base do princípio do dimensionamento sísmico com base no método pseudo-estático.

O dimensionamento requer a selecção de coeficientes sísmicos adequados paras as direcções horizontal e vertical (Kh e KV: Kh=ah/g e KV=av/g)…

Em Portugal é usual considerar, consoante as regiões, o tipo de solos, etc (tipo de Estrutura no EC8), valores nos seguintes intervalos:

- Kh de 0,05 a 0,25;

- Kv ≈ Kh/3 ~ Kh/2 (observações recentes noutros países sugerem que este valor pode ser demasiado baixo!)

Mas e se existir ressonância?

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Teoria de Mononobe-Okabe

A Teoria de Mononobe-Okabe é um método Pseudo-Estático, i.e., a acção sísmica é simulada por forças fictícias (as ditas forças de inércia, dadas por FI=-m×a=-m ×Ki ×g)

Necessita por isso da definição de coeficientes sísmicos para as várias direcções (horizontal- h- e vertical- v)

É importante notar que, tal como a aceleração, as forças de inércia podem actuar em ambos os sentidos, tanto na direcção vertical como na horizontal.

Assim, no caso geral é sempre preciso verificar 2 situações (expressas à esquerda!).

Nota- Verifique porque é que as situações da direita não precisam ser verificadas…

CGhKW .

v

W

W K± ×

CG hKW .

v

W

W K± ×CGCG

wm.kh

±wm.kv

wm

±wm.kv

wm

wm.kh

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A resultante de forças mássicas (de origem gravítica e sísmica) que actuam na estrutura de suporte e na cunha de deslizamento têm uma inclinação relativamente à vertical (θ) que se defina do seguinte modo:

vhK1

Karctg±

=θCG

hKW .

)1.( vKW ±

θ

Hipóteses Base da Teoria de Mononobe-Okabe

Hipóteses base da Teoria de Coulomb adicionadas às seguintes:

- O maciço de fundação não experimenta liquefacção sob a acção do sismo;

- é válido o princípio da análise pseudo-estática (a cunha de terras suportadas comporta-se como um corpo rígido durante o sismo, sendo uniforme o campo de acelerações- tem a mesma intensidade que na fundação-, não ocorre ressonância, etc).

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Aplicação da Teoria de Mononobe-Okabe

Cálculo dos Impulsos em Condições Sísmicas (note-se a inclinação positiva dos ângulos)

Impulso Activo em Condições Sísmicas

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2212

2

as

coscos'sen'sen1coscoscos

'cosK

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ+λ+δ⋅λ−βθ−β−φ⋅δ+φ

+⋅θ+λ+δ⋅λ⋅θ

θ−λ−φ=

asv2

as K).K1.(h.21I ±γ=

vhK1

Karctg±

=θ

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Impulso Passivo em Condições Sísmicas

vhK1

Karctg±

=θ

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2212

2

ps

coscos'sen'sen1coscoscos

'cosK

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ+λ−δ⋅λ−βθ−β+φ⋅δ+φ

−⋅θ+λ−δ⋅λ⋅θ

θ−λ+φ=

psv2

ps K).K1.(h.21I ±γ=

Nota- verifique-se que a inclinação máxima que o terrapleno pode ter é, em condições estáticas:

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

21 22

cos '

sin ' .sin 'cos .cos . 1

cos .cos

' 0 '

aKφ λ

φ δ φ βλ δ λ

β λ δ λ

φ β β φ

−=

⎡ ⎤⎛ ⎞+ −⎢ ⎥+ + ⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

=> − ≥ => ≤

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Nota- MAS, a inclinação máxima que o terrapleno pode ter é, em condições sísmicas:

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

21 22

cos '

' 'cos cos cos 1

cos cos

' 0 '

asKsen sen

φ λ θ

φ δ φ β θθ λ δ λ θ

β λ δ λ θ

φ β θ β φ θ

− −=

⎡ ⎤⎛ ⎞+ ⋅ − −⎢ ⎥⋅ ⋅ + + ⋅ + ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⋅ + +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

=> − − ≥ => ≤ −

De notar ainda que o o aumento do impulso com a inclinação do terrapleno (β) é maior em condições sísmicas do que em condições estáticas (Kh= 0), sendo a diferença crescente com o valor de Kh:

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Ponto de Aplicação do Impulso em Condições Sísmicas

- Não é claro onde está aplicado o impulso das terras em condições sísmicas;

- Para reduzir o potencial erro, separa-se em geral o impulso nas suas componentes estática (ponto de aplicação conhecido!) e no acréscimo devido ao sismo (ΔIas=Ias-Ia)

- Vários estudos demonstram que ΔIas está aplicado entre 0,5 e 2/3 de H. Em geral, é usual admitir que ΔIas está aplicado a meia altura.

Verificação da Segurança (Metod. Tradicional)

Se em condições estáticas é usual exigir um coeficiente de segurança global mínimo da ordem de 1,5 ou mais;

Em condições sísmicas, dado o carácter excepcional da acção, é usual reduzir a margem de segurança exigida… sendo frequente aceitar valores mínimos para o factor de segurança da ordem de 1,2 ou até menos…

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EXERCÍCIO: Considere o muro de suporte representado na figura abaixo.

EXERCÍCIO (Cont.):

a) Calcule os factores de segurança relativos ao derrube e ao escorregamento pela base em condições estáticas, considerando o atrito terras-muro.

b) Calcule os mesmos factores de segurança para o solo seco, supondo uma solicitação sísmica definida por coeficientes sísmicos horizontal e vertical de, respectivamente, 0,2 e 0.