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Aula-7Fótons e ondas de matéria I

A radiação do corpo negro

Classicamente, a luz é encarada como onda. Entretanto, há casos em que a explicação convencional da teoria eletromagnética de Maxwell não é satisfatória.

Corpo Negro

Material aquecido emite no visível

Max Planck

• Para explicar o comportamento da radiação emitida por uma cavidade mantida a temperatura T, em função da sua freqüência (ou comprimento de onda), Planck (1900) usou uma expressão que, além de explicar as suas observações, reproduziu o resultado clássico da radiância espectral (lei de Rayleigh-Jeans):

S λ =2 π c k B T

λ4

k B= 1 .38×10−23 J / K


(Constante de Boltzmann)

S λ =2 π c k B T

λ4

A lei de Rayleigh-Jeans concorda com os resultados experimentais para longos comprimentos de onda

corpo negro


http://www.mi.infm.it/manini/dida/BlackBody.html

Planck postulou a expressão (lei da radiação de Planck):

S P λ =2 π c2 h

λ51

exp hc / λ k BT −1

Comparando esta expressão com resultados experimentais para várias temperaturas, Planck determinou o valor de h como:

h=6 . 63×10−34 J s(constante de Planck)


Dois limites importantes:

i h ν

k B T<< 1 ⇒ S P λ ≈

2 π k B cT

λ 4

lei de Rayleigh-Jeans da radiação.

ii h νk B T

>> 1 ⇒ S P λ ≈2 π c2 h

λ5 exp − hcλ k BT


• Para obter sua lei de radiação, Planck fez a hipótese de que a energia armazenada, em cada modo de oscilação eletromagnética (de frequência ), era discreta e da forma:

E n=n h ν n=0, 1, 2, . . .

ν

portanto, independente da amplitude do campo. Isso indicava que o movimento dos elétrons oscilantes nas paredes da cavidade (que geram o campo elétrico) deveria apresentar apenas valores discretos (quantizados), não contínuos, como se acreditava.

} ΔE =h ν


• Planck acreditava que a sua hipótese era apenas um artifício matemático, e que o fenômeno de radiação do corpo negro ainda viria a ser explicado de uma outra forma. Ele mesmo tentou obter uma outra explicação, por muitos anos.


Prob. 1:

Uma lâmpada de sódio de 100 W ( = 589 nm) irradia energia uniformemente em todas as direções. a) Quantos fótons por segundo (R) são emitidos pela lâmpada? b) A que distância da lâmpada uma tela totalmente absorvente absorve fótons à razão de 1,00 fóton/(cm2 s) ? c) Qual é o fluxo de fótons (por unid. de área e de tempo) em uma pequena tela situada a 2,00 m da lâmpada?

Prob. 1: Uma lâmpada de sódio com potência (P) de 100 W irradia energia ( = 589 nm) uniformemente em todas as direções. a) Quantos fótons por segundo (R) são emitidos pela lâmpada? b) A que distância da lâmpada uma tela totalmente absorvente absorve fótons à razão (ou fluxo: F) de 1,00 fóton/(cm2 s) ? c) Qual é o fluxo de fótons, F (por unid. de área e de tempo), em uma pequena tela situada a 2,00 m da lâmpada?

R=λ Phc

=589×10−9 m × 100 W

6,63×10−34 J s 3×108 m/s ≈2, 96×1020 fótons/s

F =R

4π r2 =2, 96×1020 fótons/s

4π 2 m 2 ≈5, 89×1018 fótons/ m2 s c)

F =R

4π r2 r= R4π F

1/2

= 2, 96×1020 fótons/s

4π×104 fótons/ m2 s 1/2

≈4, 85×107 m

onde: F = 1 fóton/(cm2s) = 104 fótons/(m2s)

b)

P=R E=R hν=R hcλ

a)

O efeito fotoelétricoObservado por Hertz (1887) e Hallwachs (1888)

i ν

νν 0

• Ocorre a emissão de elétrons de uma placa metálica, quando iluminada por radiação EM. Os fotoelétrons emitidos, e a corrente por eles gerada, só existem acima de um limiar de frequência , independente da intensidade da radiação.

ν 0

•Cada elétron requer uma energia mínima para sair do metal. Assim, se fornecermos uma energia E o fotoelétron sairá com uma energia cinética:

E k= E− φ

φ

Assumindo que a absorção de energia de 1 elétron se dê através da absorção de 1 quantum, , teremos:hν

E k= hν− φ

Como diferentes elétrons necessitam diferentes energias para sairem, vamos definir o mínimo de como ; a função trabalho do metal

φ φ0

O efeito fotoelétrico

E k

φ0

hν

E k

φ0

hν

E k max = hν− φ0

E k max= 0 ⇒ hν −φ0= 0

ν 0=φ0

h

não há emissão de fotoelétrons para frequências abaixo de:


V 0

ν

ν 0=φ0

h

α

V 0=−φ0

e

Ekmax pode ser medida pelo circuito acima, pois os elétrons são freiados por V . Assim, podemos zerar a corrente para um certo valor V0 (potencial de corte):

α=he

E k max= eV 0 ⇒ eV 0=hν −φ 0 ⇒ V 0=he

ν −φ0

e


+ _

Coef. Ang.:

O que independe da intensidade da radiação incidente são os valores de e ; não o valor da corrente depois de estabelecida!

V 0 ν 0photoelectric


i V

V

−V 0

2I e ν

I e ν

ν 0

http://www.lon-capa.org/~mmp/kap28/PhotoEffect/photo.htm

O fóton• A partir do conceito do quantum de energia, , e da fórmula da energia de uma partícula relativística com massa de repouso m0= 0, podemos escrever:

hν

E 2=m0

2 c4 p2 c2

= p2 c2 E = hν = pc

Portanto, o momento linear do quantum é :hν

p=hλ

ou p=ℏ k ; onde ℏ≡h

2 π≈1 . 05×10−34 Js

p=ℏ kE= ℏ ω

¿

{¿ ¿¿

¿

pictoricamente:

Prob.2: Numa experiência do efeito fotoelétrico, onde utilizamos luz monocromática e um fotocatodo de sódio, encontramos um potencial de corte de 1,85 V para um comprimento de onda de 3000 Å e de 0,82 V para um comprimento de onda de 4000 Å. Destes dados determine:

a) O valor da constante de Planck. b) A função trabalho do sódio. c) O comprimento de onda de corte do sódio.

eV 01=hcλ1

−φ0

eV 02=hcλ2

−φ0

e V 01−V 02 =hc λ1−1−λ2

−1 h=ec

V 01−V 02

λ1−1− λ2

−1

a) e b)

h=1, 85 eV −0, 82 eV

3× 108×3−1− 4−1 ×10 7 =1, 03 eV

3×10 15× 0, 083 ≈ 4,136×10−15 eV s

φ 0=hcλ1

−eV 01=4, 136×10−15

×3×108

3×10−7 −1,85 eV≈2, 28 eV

ν 0=φ0

h=

cλmax

c)

ν 0 λmax

λmax=hcφ0

=4,136×10−15

×3×108

2, 28≈5, 44×10−7 m=544 nm

: frequência de corte : comprimento de onda de corte

Prob.2: Numa experiência do efeito fotoelétrico, onde utilizamos luz monocromática e um fotocatodo de sódio, encontramos um potencial de corte de 1,85 V para um comprimento de onda de 3000 Å e de 0,82 V para um comprimento de onda de 4000 Å. Destes dados determine: a) O valor da constante de Planck. b) A função trabalho do sódio. c) O comprimento de onda de corte do sódio.

O efeito Compton

•A hipótese da existência do fóton foi confirmada experimentalmente por Compton (1923), ao incidir raios-X sobre um alvo de carbono:

Elétron do alvoDetetor

Fóton do raio-X

Elétron espalhado

Fóton espalhado

compton

http://www.student.nada.kth.se/~f93-jhu/phys_sim/compton/Compton.htm

Classicamente esperaríamos somente um pico de da radiação incidente, o que não ocorre.

A explicação é baseada no fato do fóton carregar momento linear ( ) e energia ( E ).

λ= λ0

O efeito Compton

λ0

λ0

λ0

λ0

p

p1p 2=p 3 p 4

E 1 E 2= E 3 E 4

E m0 c2= E ' p 4

2 c 2 m02 c 4

p1−p 3= p 4

E− E 'm0 c2

2= p4

2 c2m0

2 c 4

p42= p1

2 p3

2−2p1 p3 cos θ

1

E ' −1E

=1

m0 c 2 1−cos θ

p1=Ec

m1=0

p2=0

p4=?

p3=E '

cθ

O efeito Compton

Como podemos escrever: E =hν

1

h ν ' −1

hν=

1

m0 c2 1−cos θ λ '− λ 0=

hm0 c

1− cos θ

Δλ = λ c 1−cos θ λ c≡h

m0 c≈2, 43×10−12 m; onde:

é o comprimento de onda de Compton da partícula espalhada.

• Se um elétron que espalha a radiação está fracamente ligado ao átomo de carbono, m0 = me . Mas se um elétron está fortemente ligado ao átomo, m0 = M, onde M é a massa do átomo. Como isso sempre ocorre, deteta-se sempre dois picos (para > 0) porque:

M >> m e ⇒ Δλ a << Δλ e

O efeito Compton

Prob. 3:

Considere um feixe de raios-X com comprimento de onda de 1,00 Å. Se a radiação espalhada pelos elétrons livres é observada a 90o do feixe incidente, determine:

a) O deslocamento Compton.b) A energia cinética fornecida ao elétron.c) A percentagem da energia do fóton incidente que é cedida ao

elétron.

Prob. 3: Considere um feixe de raios-X com comprimento de onda de 1,00 Å. Se a radiação espalhada

pelos elétrons livres é observada a 90o do feixe incidente, determine:a) O deslocamento Compton.b) A energia cinética fornecida ao elétron.c) A percentagem da energia do fóton incidente que é cedida ao elétron.

a)

Δλ =h

m0 c 1−cos 90 ° =

hm0 c

Δλ=6,63×10−34 Js

9, 11×10−31 kg 3×108 m/s ≈2, 43×10−12 m=2, 43 pm

λ i=10−10 m ; θ =90 ° Δλ = λ f − λ i

E fiE e

i= E f

f E e

f hν i≈ hν f E cin ; E e

i≈0b)

E cin= h cλ i

−cλ f = hc [ λi

−1− λi Δλ

−1 ]= 6, 63× 10−34 3×108

[10 10−10 10 1, 0243 −1 ]

E cin≈1, 989×10−15 [2, 37×10−2 ]≈ 4, 72×10−17 J ≈ 2,95×10 2 eV =295 eV

c) Variação da energia do fóton: ΔE f = E ff −E f

i

E fi = hc λ f

−1

hc λ i−1−1=

λ i

λ f−1

ΔE f ≈100 10−10

1,0243×10−10 −1≈100 0, 976−1 ≈−2,4 (cedida ao elétron)

Aula-7Fótons e ondas de matéria II

Curso de Física Geral IV

A experiência de YoungA teoria ondulatória da radiação eletromagnética nos ensinou que depois de passar por duas fendas ela apresenta uma figura de interferência ao ser detectada num anteparo.

A experiência de Young

Como conciliar a teoria ondulatória com a corpuscular ?

Por outro lado, corpúsculos clássicos apresentariam uma figura da forma:

I=I1+I2


1- feixe de luz intenso: figura de interferência na medida de intensidade no anteparo


2- feixe de luz intenso + detector no anteparo: figura de interferência na medida de intensidade no anteparo, mas... contagem discreta da chegada dos fótons; apesar de muitos por segundo

detector


3- feixe de luz não intenso + detector no anteparo: 1 fóton por segundo atravessa uma das fendas e 1 fóton por segundo é registrado em algum ponto do anteparo. (Experiência de 1 fóton)

detector

A experiência de YoungMas, no decorrer de um intervalo de tempo muito longo: o histograma apresenta um perfil de interferência...

... compatível com a sobreposição dos resultados de N >>1 experiências envolvendo apenas 1 fóton!


Por onde passou o fóton?

Bloqueador de fenda

Esta informação destrói a figura de interferência!


Quem sofre interferência?

Um raciocínio apenas qualitativo:

Intensidade no anteparo é dada por: I r =c ε0 E2 r ,t

Em termos do número de fótons: I r =ΔN r

ΔA Δthν

Δt onde é o número de fótons que atinge a placa, numa área , em segundos.ΔA

ΔN r

ΔN r

c ΔA Δt= ε0

E 2 r

hν≡ ρ r que dá o número de fótons

por unidade de volume

A experiência de YoungPara compatibilizar essa grandeza com a “experiência de 1 fóton” devemos interpretá-la como uma densidade de probabilidade de se encontrar um fóton em torno de !

∫V

ρ r d 3 r=1

Nesse caso seria o campo elétrico “associado” à existência de 1 único fóton! Mas, devemos interpretar este “campo” com muito cuidado, já que a visão clássica a ele associada é exatamente o que os resultados experimentais contradizem.

E r

Outro ingrediente a ser introduzido: princípio de superposição (ignorando o caráter vetorial do campo elétrico):

E r = E 1 r E 2 r

r

A experiência de YoungSe definirmos uma função complexa

ψ r ≡ε 0

hνE r , teremos ∣ψ r ∣

2=ψ ¿

r ψ r =ε 0

hν∣E r ∣

2

∣ψ r ∣2=∣ψ1 r ∣

2∣ψ2 r ∣

22 Re ψ1

¿ r ψ 2 r =

ε 0

hν [∣E1 r ∣2∣E 2 r ∣22 Re E1¿ r E2 r ]

ψ r =ψ 1 r ψ 2 r

⇓

Termo de interferência

Daí:

A experiência de YoungO objeto principal da teoria é a função de onda, ou amplitude de probabilidade , cujo módulo quadrado é a densidade de probabilidade de se encontrar um fóton no ponto :

ψ r , t

ρ r , t =∣ψ r , t ∣2

r

No caso de fótons, não podemos somar as probabilidades dele ser oriundo de uma fenda ou outra. Devemos somar as amplitudes de probabilidade (superposição) para depois tomar o seu módulo quadrado (intensidade) !

No caso de N fótons:

ψ r ≡ε 0

Nh νE r ⇒ ∣ψ r ∣

2=ψ ¿

r ψ r =ε0

Nh ν∣E r ∣

2

Aqui, é o campo “associado” à presença de N fótons.E r

A experiência de YoungConvém enfatizar que a proporcionalidade entre e é apenas de caráter formal. é o campo elétrico, uma variável clássica cuja dinâmica é regida pelas equações de Maxwell. Já é uma função criada para explicar os resultados da experiência da fenda dupla no caso de poucos fótons. A sua interpretação é probabilística e poderíamos postulá-la sem qualquer menção ao campo elétrico. Os dois pontos fundamentais são:

ψ r , t E r , t

E r , t

ψ r , t

ψ r , t =ψ 1 r , t ψ 2 r , t

ρ r , t =∣ψ r , t ∣2

• Princípio da superposição:

• Interpretação probabilística:

∫V

ρ r , t d 3 r=1

onde

A hipótese de de Broglie• Baseado no fato da radiação eletromagnética (EM) propagar-se como onda e, ao interagir com a matéria, apresentar características corpusculares, Louis de Broglie (1924) considerou a possibilidade de corpúsculos apresentarem comportamento ondulatório, em determinadas circunstâncias.

• Mesmo argumentando que era irrelevante questionar se a radiação EM é uma onda, que ao interagir com a matéria manifesta um comportamento ondulatório, ou um conjunto de partículas, cujo movimento é governado por ondas, de Broglie adotou o segundo ponto de vista para determinar as características ondulatórias da matéria.

A hipótese de de Broglie

de Broglie associou um comprimento de onda e uma freqüência a uma partícula de momento p e energia E, através das relações:

νλ

λ=hp

ν=Eh

Usando as relações de Planck – Einstein:

p=ℏ k E = ℏ ω

Louis de Broglie recebeu o prêmio Nobel em 1929

Difração eletrônica• A confirmação da hipótese de de Broglie veio através das observações de Davisson e Germer (1927) e Thomson (1928), que fizeram experimentos com feixes de elétrons incidindo sobre amostras cristalinas de níquel (os dois primeiros) ou pó de alumínio (o segundo).

Difração eletrônica

E=p2

2m⇒ p=2 mE ⇒ λ=

h2 mE

E=1. 6×10−19 J =1 eVm=9 . 1×10−31 kgh=6 . 6×10−34 J . s

λ1 eV

=12 . 2 Aο

λ= d sin φ

d =2 . 15 Aο

φ=50 ο λ=1 . 65 Aο

Experimento de Davisson-Germer

Difração de Bragg:

Difração eletrônicaExperimento de Thomson

Davisson e Thomson receberam o prêmio

Nobel em 1937

• Os resultados aqui apresentados para elétrons são compatíveis com os dos fótons através da fenda dupla

raios – X elétrons


• Os experimentos de difração eletrônica indicam que, depois de passar por duas fendas , partículas suficientemente pequenas (elétrons, por exemplo) apresentam uma figura de interferência ao serem detectadas num anteparo.


Como conciliar a teoria ondulatória com a corpuscular ?

Mas, corpúsculos clássicos apresentariam uma figura da forma:

I = I1+I2

I1

I2


1- feixe eletrônico intenso: figura de interferência na medida do número de partículas que chegam no anteparo


2- feixe eletrônico intenso + detector no anteparo: figura de interferência na medida de intensidade no anteparo, mas...contagem discreta da chegada dos elétrons, apesar de muitos por segundo

detector


3- feixe eletrônico não intenso + detector no anteparo: 1 elétron por segundo atravessa uma das fendas e 1 elétron por segundo é registrado em algum ponto do anteparo.

detector

A experiência de YoungMas, no decorrer de um intervalo de tempo muito longo: o histograma apresenta um perfil de interferência...

... compatível com a sobreposição dos resultados de N >>1 experiências envolvendo apenas 1 elétron!


Intensidade do feixe de elétrons

wavemechanics-duality

http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/en/


Por onde passou o elétron?

Bloqueador de fenda

Esta informação destrói a figura de interferência!

Interferência de objetos complexos

Recentemente (1999), foi mostrado que moléculas com um grande número de átomos também podem apresentar uma figura de interferência.

Interferência de objetos complexos

Nature 401 (1999) 1131

Prob. 4:

Se o comprimento de onda de de Broglie de um próton é 100 fm,a) qual é a velocidade do próton?b) A que diferença de potencial deve ser submetido o próton para chegar a esta velocidade?

a) p=m p v=hλ

v =h

m p λ

b) eV =m p v2

2 V =

m p v 2

2 e

A função de onda

ψ r , t

ψ r , t =ψ 1 r , t ψ 2 r , t

ρ r , t =∣ψ r , t ∣2

• Princípio da superposição:

• Interpretação probabilística: (Max Born)

∫V

ρ r , t d 3 r=1

A nossa conclusão sobre tudo o que foi dito até agora é que, dada uma partícula atômica ou um fóton, este objeto pode ser descritopela chamada amplitude de probabilidade , ou função de onda, à qual podemos aplicar:

A função de onda carrega a informação máxima que podemos ter sobre o sistema em questão.

Dualidade e complementaridade

Assim, as propriedades ondulatórias e corpusculares coexistem.

Esta é a chamada dualidade partícula – onda .

Entretanto, não há nenhuma forma destas duas propriedades serem testadas simultaneamente. Ou fazemos um esquema de medida onde o aspecto corpuscular seja evidenciado ou um que revele o caráter ondulatório do sistema em questão.

Este é o princípio da complementaridade, que ficou bem claro na experiência de Young que analisamos.

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