Aula 8 - Independência e Teorema de Bayes

Aula 8

Eventos Independentes

Teorema de Bayes

Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade

Independência e Teorema de Bayes

Cássius Henrique Xavier Oliveira

Universidade Federal de Ouro Preto

Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas

2015

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Relação entre a probabilidade condicional e sua inversa

Conhecendo como encontrar

1| ABP ?|1 BAP

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Exemplo 1

Três tipos diferentes de peças encomendadas por uma empresa foram entregues em 3 caixas, cada uma contendo um número diferente de peças. A primeira caixa tem 10 peças, das quais 4 são defeituosas. A segunda caixa tem 6 peças com 1 peça defeituosa. A terceira caixa tem 8 peças, das quais 3 são defeituosas.

a) Qual a probabilidade de uma peça defeituosa ser escolhida pelo operário, sendo que ele escolhe uma peça aleatoriamente dentre as 3 caixas?

b) Qual a probabilidade de uma peça ser da caixa 1 dado que o operário escolheu uma peça defeituosa?

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Exemplo 1 – Resolução

Três tipos diferentes de peças encomendadas por uma empresa foram entregues em 3 caixas, cada uma contendo um número diferente de peças. A primeira caixa tem 10 peças, das quais 4 são defeituosas. A segunda caixa tem 6 peças com 1 peça defeituosa. A terceira caixa tem 8 peças, das quais 3 são defeituosas.

Eventos:

A1 = escolher a caixa 1



B = escolher uma peça defeituosa

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Estamos interessados na Probabilidade Total de B:

332211

321

||| ABPAPABPAPABPAPBP

ABPABPABPBP

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Estamos interessados na Probabilidade Total de B:

360

113

8

1

18

1

12

2

||| 332211

321

BP

ABPAPABPAPABPAPBP

ABPABPABPBP

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Estamos interessados na Probabilidade Condicional

BAP |1

Não temos essa probabilidade

na árvore de probabilidades

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Estamos interessados na Probabilidade Condicional

Vamos reescrever a fórmula da probabilidade condicional

BAP |1

113

48

360

113

15

2

|

|||

||

|

1

332211

111

11

BAP

ABPAPABPAPABPAP

ABPAPBAP

BP

ABPBAP

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O procedimento geral de inferir a probabilidade de um evento passado em função de evidências presentes ou futuras chama-se procedimento Bayesiano, já que se baseia no Teorema de Bayes.

O Teorema de Bayes nos diz que:

BP

ABPAP

BP

ABPBAP

||

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Aplicações em diversas áreas do conhecimento

Técnicas de Aprendizado de máquina

Técnicas de computação para reconhecimento de imagens

Roteamento de redes

Estatísticas criminais:

Usadas na investigação de crimes onde pode-se inferir o passado através de probabilidades sobre o que ocorreu no crime condicionado nas evidências

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L1.6. Exercício 1

(CESGRANRIO) Em uma fábrica de pisos cerâmicos, as linhas de produção 1, 2 e 3 respondem respectivamente por 50, 30 e 20 por cento da produção. Algumas peças cerâmicas saem destas linhas com defeito. A porcentagem de peças defeituosas é de 0,4%, 0,6% e 1,2% respectivamente para as linhas 1, 2 e 3. Para evitar que peças defeituosas saiam da empresa e cheguem ao mercado, o controle de qualidade realiza inspeções individuais em todas as peças. Qual a probabilidade de uma peça cerâmica defeituosa encontrada na inspeção final ter sido produzida na linha de Produção 1?

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L1.6. Exercício 2

Uma companhia transnacional tem três fábricas que produzem o mesmo tipo de produto. A fábrica I é responsável por 30% do total produzido, a fábrica II produz 45% do total, e o restante vem da fábrica III. Cada uma das fábricas, no entanto, produz uma proporção de produtos que não atendem aos padrões estabelecidos pelas normas internacionais. Tais produtos são considerados “defeituosos” e correspondem a 1%, 2% e 1,5%, respectivamente, dos totais produzidos por fábrica. No centro de distribuição, é feito o controle de qualidade da produção combinada das fábricas.

a) Qual é a probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante a inspeção de qualidade?

b) Qual o princípio probabilístico foi utilizado para a resolução do item (a)? Justifique.

c) Se durante a inspeção, encontramos um produto defeituoso, qual é a probabilidade de que ele tenha sido produzido na fábrica II?

d) Qual o princípio probabilístico foi utilizado para a resolução do item (c)? Justifique.

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L1.6. Exercício 3

Considere duas urnas idênticas. A primeira contém uma bola branca e uma bola preta. A segunda urna contém duas bolas pretas e uma bola branca. Escolhe-se aleatoriamente uma urna. Extrai-se a primeira bola e constata-se que é preta. A bola é reposta na urna e é feita uma segunda extração. Obtém-se novamente bola preta. Dadas essas informações, calcule a probabilidade de ter sido escolhida a primeira urna.

a) 8/25

b) 25/72

c) 12/51

d) 9/25

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Exercício 3 – Solução

25

9

72

252

1

2

1

2

1|

|

72

25

9

2

8

1

3

2

3

2

2

1

2

1

2

1

2

1

21

1211211

21

21221121

PPP

UPPPUPPPUP

PPP

PPUPPPUPPPP

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L1.6. Exercício 4

(CEA012 – Teste T1/2014) Em uma fábrica de parafusos, as máquinas 1, 2 e 3 produzem 25%, 35% e 40% do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina, 5%, 4% e 2%, respectivamente são defeituosos. Seja D o evento em que o parafuso é defeituoso e Mi o evento em que o parafuso é produzido pela máquina i (para i = 1, 2 e 3).

a) “O experimento de se retirar uma peça ao acaso dentro das condições enunciadas acima é um experimento aleatório”. Justifique essa afirmação.

b) Se escolhermos ao acaso um parafuso desta fábrica, qual a probabilidade de que este parafuso seja defeituoso?

c) Os eventos Mi e D são independentes? Justifique.

d) Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que ele é defeituoso. Qual a probabilidade de que ele seja proveniente da máquina 3?

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L1.6. Exercício 5

Consumidores são usados para avaliar projetos iniciais de produtos. No passado, 95% dos produtos altamente aprovados recebiam bons conceitos. 60% dos produtos moderadamente aprovados recebiam bons conceitos e 10% dos produtos ruins recebiam bons conceitos. Além disso, 40% dos produtos tinham sido altamente aprovados, 35% moderadamente aprovados e 25% tinha sido produtos ruins.

a) Qual a probabilidade de um produto atingir um bom conceito?

b) Se um novo projeto atingir um bom conceito, qual será a probabilidade de que ele será um produto altamente aprovado?

c) Se um produto não atingir uma boa revisão, qual será a probabilidade de que ele seja um produto altamente aprovado?

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L1.6. Exercício 6

Amostras de emissões de três fornecedores são classificados com relação às especificações de qualidade do ar. Os resultados são apresentados na tabela:

Seja A o evento em que uma amostra seja proveniente do Fornecedor 1 e B o evento em que uma amostra atende às especificações.

a) Os eventos A e B são independentes?

b) Determine

)|( ABP

Conforme

Sim Não

Fornecedor

1 44 16

2 50 10

3 60 20

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Gabarito

1. 0,3326

2. a) 0,01575; c) 0,5714

3. (d)

4. b) 0,345; d) 0,2319

5. a) 0,615; b) 0,618; c) 0,052

6. a) Não; b) 0,733

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Próxima Aula: Revisão para Prova P1

Desenvolver o mapa conceitual da parte 1. (Utilize apenas o anverso de uma folha branca sem pauta; anote fórmulas, exemplos,... Não será permitido fazer cópias de mapas desenvolvidos por colegas. O mapa deverá ser todo manuscrito. É obrigatória a apresentação do mapa na próxima aula).

Estudar Capítulo 2 (exceto item 2.8) da referência abaixo; fazer exercícios de todas as aulas até esta.

MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Editora LTC.

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