Aula 8 Metodologia de Dijkstra para desenvolvimento de ciclos.

Aula 8

Metodologia de Dijkstra para desenvolvimento de ciclos

2003/2004Introdução à Programação2

Ciclos

Parte importante da escrita de algoritmos Impossível demonstrar correcção com testes Condições invariantes importantes para

demonstrar correcção Verdadeiras do início ao fim dos ciclos Fortes! Referem todas instâncias envolvidas


potênciaDe()

/** Devolve a potência n de x. @pre 0 ≤ n. @post potênciaDe = xn. */double potênciaDe(double const x, int const n){ assert(0 <= n);

int i = 0; double potência = 1.0;

while(i != n) { potência *= x; ++i; }

return potência;}

Inicialização

Passopotência *= x;

Acção

++i;

Progresso


Diagrama de actividade

++i;

[i ≠ n]

[i = n]

int i = 0;double potência = 1.0;

potência *= x;

{PC: 0 ≤ n}

{0 ≤ n i = 0 potência = 1}

{0 ≤ n 0 ≤ i < n potência = xi}

{0 ≤ n 0 < i ≤ n potência = xi}

{0 ≤ n i = n potência = xn}

inic

prog

acção

passo


Condição invariante

CI: 0 ≤ i ≤ n potência = xi.

Condição invariante explica funcionamento do ciclo Durante todo o ciclo potência contém xi,

estando sempre i entre 0 e n Como i varia entre 0 e n, e termina com n, o

objectivo é atingido


Metodologia de Dijkstra

Edsger Dijkstra Fundador da programação disciplinada Programação é uma ciência

Metodologia Baseia-se na condição objectivo

• Programação é actividade orientada pelos objectivos

Condição invariante retirada da condição objectivo


Soma dosprimeiros n ímpares inteiros

int somaDosPrimeirosÍmpares(int const n){ int r = ?;

...

return r;}


Raiz inteira

int raizInteiraDe(int const x){ int r = ?;

...

return r;}

1 Especificar o problema

Escrevero Pré-condiçãoo Condição objectivo


somaDosPrimeirosÍmpares()

/** Devolve a soma dos primeiros n naturais ímpares. @pre 0 ≤ n. @post somaDosPrimeirosÍmpares = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). */int somaDosPrimeirosÍmpares(int const n){ assert(0 <= n);

// 0 ≤ n. int r = ?;

...

// CO: r = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). return r;}


raizInteiraDe()

/** Devolve a melhor aproximação por defeito de x1/2. @pre 0 ≤ x. @post 0 ≤ raizInteiraDe ≤ x1/2 < raizInteiraDe + 1. */int raizInteiraDe(int const x){ assert(0 <= x);

// 0 ≤ x. int r = ?;

...

// CO: 0 ≤ r ≤ x1/2 < r + 1. assert(0 <= r and r * r <= x and x < (r + 1) * (r + 1));

return r;}

2 Será necessário um ciclo?

Verificar se ciclo é melhor abordagemo Análise do problemao Intuição!o Experiência…




// 0 ≤ n. int r = ?;

while(...) { ... }

// CO: r = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). return r;}


raizInteiraDe()


// 0 ≤ x. int r = ?;

while(...) { ... }


return r;}

3 Obtenção da condiçãoinvariante

Programar é actividade orientada pelos

objectivoso Enfraquecer a CO para obter a CI



Substituição de constante na CO por variável

inic

int i = ?;int r = ?;

CO: r = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1).

r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1).

CO’: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1) i = n.

Não é equivalente a CO.




// 0 ≤ n. int i = ?; int r = ?;

while(...) { ... }

// CO’: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1) i = n. // que implica CO: r = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). return r;}



CO’: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1) i = n.

Enfraquecendo as restrições relativas a i

CI: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1) ? ≤ i ≤ ?.

CI: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1) 0 ≤ i ≤ n.




// 0 ≤ n. int i = ?; int r = ?;

// CI: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1) 0 ≤ i ≤ n. while(...) { ... }



raizInteiraDe()

Factorização da condição objectivo Parte é negação da guarda Parte restante é condição invariante

CO: A B C D

CI: A C

Sabendo que no final do ciclo se quer CI ¬G CO

¬G: B D

Logo, CI ¬G = CO

A

B

C

D

A B C D

A C


raizInteiraDe()

CO: 0 ≤ r ≤ x1/2 < r + 1, ou seja 0 ≤ r r2 ≤ x x < (r + 1)2 .

Começando a procurar em 0 (zero) e terminando quando se sabe que o valor seguinte já não serve…

CI: 0 ≤ r r2 ≤ x.¬¬GG: : xx < ( < (rr + 1) + 1)22..


raizInteiraDe()


// 0 ≤ x. int r = ?;

// CI: 0 ≤ r r2 ≤ x. while(...) { ... }


return r;}

4 Determinação da guarda

Procurar guarda que leve ao resultadoo CI ¬G CO



CI ¬G: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1) 0 ≤ i ≤ n ¬G.

CO’: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1) i = n.

Qual a guarda mais simples que garante a verificação da CO?

¬G: i = n.ou seja,G: i ≠ n.

CI ¬G: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1) 0 ≤ i ≤ n i = n.CI ¬G: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1) 0 ≤ n i = n.que implica CO.




// 0 ≤ n. int i = ?; int r = ?;

// CI: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1) 0 ≤ i ≤ n. while(i != n) { ... }



raizInteiraDe()

CO: 0 ≤ r r2 ≤ x x < (r + 1)2 .

CI: 0 ≤ r r2 ≤ x.

Logo, sabendo que CI ¬G = CO

¬G: x < (r + 1)2

ou seja,G: (r + 1)2 ≤ x.


raizInteiraDe()


// 0 ≤ x. int r = ?;

// CI: 0 ≤ r r2 ≤ x. while((r + 1) * (r + 1) <= x) { ... }


return r;}

5 Determinação da inicialização

Escolher inicialização tão simples quanto

possível:o Sabendo que PC é verdadeirao Garantir verificação da CI




// 0 ≤ n. int i = ?; int r = ?;






// 0 ≤ n. int i = 0; int r = 0;




raizInteiraDe()


// 0 ≤ x. int r = ?;

// CI: 0 ≤ r r2 ≤ x. while((r + 1)*(r + 1) <= x) { ... }


return r;}


raizInteiraDe()


// 0 ≤ x. int r = 0;

// CI: 0 ≤ r r2 ≤ x. while((r + 1)*(r + 1) <= x) { ... }


return r;}

6 Escolha de um progresso

Um ciclo tem de terminaro Num número finito de passoso Rapidamente? Pode valer a pena

investigar progressos complexos



/** ... */int somaDosPrimeirosÍmpares(int const n){ assert(0 <= n);

// 0 ≤ n. int i = 0; int r = 0;

// CI: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1) 0 ≤ i ≤ n. while(i != n) { acção ++i; }



raizInteiraDe()

/** ... */int raizInteiraDe(int const x){ assert(0 <= x);

// 0 ≤ x. int r = 0;

// CI: 0 ≤ r r2 ≤ x. while((r + 1)*(r + 1) <= x) { acção ++r; }


return r;}

7 Determinação da acção

Escolher acção tal que // CI e G. acção prog // CI.

Garante veracidade de CI apesar do progresso



// CI: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1) 0 ≤ i ≤ n.

while(i != n) { // CI G: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1) 0 ≤ i ≤ n i ≠ n.

// CI G: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1) 0 ≤ i < n.

acção

// r = (S j : 0 ≤ j < i + 1 : 2j + 1) 0 ≤ i + 1 ≤ n.

// r = (S j : 0 ≤ j < i + 1 : 2j + 1) -1 ≤ i < n.

++i; // CI: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1) 0 ≤ i ≤ n.

}Falta um termo ao somatório.



/** ... */int somaDosPrimeirosÍmpares(int const n){ assert(0 <= n);

// 0 ≤ n. int i = 0; int r = 0;

// CI: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1) 0 ≤ i ≤ n. while(i != n) { r += 2 * i + 1; ++i; }



raizInteiraDe()

// CI: 0 ≤ r r2 ≤ x.while((r + 1)*(r + 1) <= x) { // CI G: 0 ≤ r r2 ≤ x (r + 1) 2 ≤ x. // CI G: 0 ≤ r (r + 1) 2 ≤ x. acção // 0 ≤ r + 1 (r + 1) 2 ≤ x. // -1 ≤ r (r + 1) 2 ≤ x. ++r; // CI: 0 ≤ r r2 ≤ x.}

Não é necessária acção!


raizInteiraDe()

/** ... */int raizInteiraDe(int const x){ assert(0 <= x);

// 0 ≤ x. int r = 0;

// CI: 0 ≤ r r2 ≤ x. while((r + 1)*(r + 1) <= x) ++r;


return r;}

8 E se alguma coisa falhar?

Voltar atrás acção ou inic demasiado complexas CI menos boa ...


Será que na soma dos ímpares o ciclo é necessário?Inteiros na base 1

1: *

2: **

3: ***

4: ****

5: *****

...

Impares

1: *

3: * **

5: * * ***

7: * * * ****

Soma dos primeiros4 ímpares

1 + 3 + 5 + 7

=

*



1: *

2: **

3: ***

4: ****

5: *****

...

Impares

1: *

3: * **

5: * * ***

7: * * * ****


1 + 3 + 5 + 7

=

** **



1: *

2: **

3: ***

4: ****

5: *****

...

Impares

1: *

3: * **

5: * * ***

7: * * * ****


1 + 3 + 5 + 7

=

*** *** ***



1: *

2: **

3: ***

4: ****

5: *****

...

Impares

1: *

3: * **

5: * * ***

7: * * * ****


1 + 3 + 4 + 7

=

****************



/** Devolve a soma dos primeiros n naturais ímpares.

@pre 0 ≤ n.

@post somaDosPrimeirosÍmpares = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). */int somaDosPrimeirosÍmpares(int const n){ assert(0 <= n);

return n * n;}


Aula 8: Sumário

Importância da especificação do problema Noção de invariante de um ciclo Condição invariante, inicialização e guarda de um ciclo Metodologia de Dijkstra para desenvolvimento de ciclos:

Obtenção da condição invariante Obtenção da guarda Inicialização Progresso Acção

Importância da metodologia: Base formal para desenvolvimento Controlo dos erros Redução de surpresas Melhor raciocínio Maior eficiência

Prática da construção de ciclos: usar ou não usar metodologia?

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