Aula 9 – Sistemas de Equações Lineares / Parte 2 – A=LU
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Aula 9 – Sistemas de Equações Lineares / Parte 2 – A=LU
Prof. Guilherme Amorim
2014.1 - 13/05/2014
Cálculo Numérico
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Aula passada... Vimos como resolver sistemas de
equações lineares utilizando 3 métodos: Cramer Eliminação de Gauss Eliminação de Gauss-Jordan
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E hoje? Processo de correção residual Método de decomposição LU
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Processo de Correção Residual “O processo de correção residual
consiste em fazer um tratamento na solução aproximada de modo que o resto r = b – Ax torne-se tão pequeno quanto possível.”
Seja o sistema: Ax = b x representa a solução exata do sistema:
“Devido aos arredondamentos, entre outros erros, temos soluções aproximadas representadas por:
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Processo de Correção Residual “Considere uma correção residual para ” Temos E temos que: Portanto: Chamando , temos: Resolvendo esse novo sistema obtém-se
uma solução aproximada Nova aproximação de x: +
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Processo de Correção Residual
Porém, em razão das aproximações numéricas na solução de , não satisfaz a .
Existe um erro ou Logo: Fazendo , temos: é a solução aproximada de Nova aproximação de x: E assim sucessivamente...
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Processo de Correção Residual O processo de refinamento pode ser
repetido calculando-se , , ... para o erro ir se tornando cada vez menor.
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Método de Decomposição LU Seja o sistema Ax = b No Método de Decomposição LU a matriz
A é decomposta em duas matrizes L e U. L: matriz triangular inferior U: matriz triangular superior com os
elementos da diagonal principal iguais a 1. Logo, LUx = b. Ou Ux = y & Ly = b.
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Exemplo
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Exemplo
Logo, x1= -21/5 e x2=-29/10
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Pergunta:
Como calcular as matrizes L e U?
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Representação de L & U
“A decomposição A = LU existirá e será única se as condições do Teorema 3.1 forem satisfeitas.”
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Teorema 3.1
A demonstração deste teorema pode ser vista em [4].
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Obtendo L e U Como calculamos o produto de duas
matrizes?
Exemplo 3x3
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Obtendo L e U
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Obtendo L e U Passo 1: Se j=1, min{i, j}=1
Os elementos da 1ª coluna de L são iguais aos da 1ª coluna de A.
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Passo 1
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Obtendo L e U Passo 2: Se i=1, min{i, j}=1
Os elementos da primeira linha de U são a razão dos elementos da primeira linha de A por l11.
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Passo 2
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Obtendo L e U Passo 3: Se j=2, i≥j=2 , min{i, j}=2
Definimos a segunda coluna de L ai2:conhecido, pois é elemento de A li1:conhecido, pois é elemento da primeira
coluna de L u12:conhecido, pois é elemento da primeira
linha de U (passo 2)
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Passo 3
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Obtendo L e U Passo 4: se i=2, j>i=2 ; min{i, j}=2
Definimos a segunda linha de U a2j: conhecido, pois vem da matriz A l21: conhecido do passo anterior u1j: conhecido do passo 2 l22: conhecido do passo anterior
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Passo 4
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Passo 5
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Obtendo L e U Generalizando...
Na seguinte ordem: li1, u1j ,li2 ,u2j,...
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Exemplo 3.4
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Exemplo 3.4 1ª coluna de L
1ª linha de U
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Exemplo 3.4 2ª coluna de L
2ª linha de U
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Exemplo 3.4 3ª coluna de L
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Exemplo 3.4
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Comentário sobre o método: “Este método é particularmente muito
importante quando o usuário tem muitos sistemas de equações lineares com os mesmos coeficientes das variáveis, mudando apenas os valores do vetor independente. Isto se deve ao fato de que não é necessário repetir a decomposição LU já realizada.”
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Exercício Resolva o seguinte sistema utilizando o
método de decomposição LU
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Bibliografia [1] Silva, Zanoni; Santos, José Dias. Métodos
Numéricos, 3ª Edição. Universitária, Recife, 2010.
[2] Notas de aula do prof. Divanilson Campelo [3] Ruggiero, Márcia; Lopes, Vera. Cálculo
Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª Edição. Pearson. São Paulo, 1996.
[4] G.H. Gulob; C.F. Van Loan. Matrix Computations. Lhon Hopkins, Baltimore, 2ª edição, 1989.
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