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Transformada de LaplaceProf. Juan Moises Mauricio Villanueva

[email protected]

www.cear.ufpb.br/juan

1

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBAPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

Transformada de Lapace

• A transformada de Laplace (TF) é importante para a análise de sistemas: Lineares Invariantes no tempo No tempo contínuo

2

0

( ) ( ) ( ) ( )s tL f t s f t e d t F s

F(s) é a transformada de Laplace de f(t)

Transformada de Lapace

• Assume-se que a função f(t) é o tipo exponencial, isto é:

• Se a parte real de s, satisfaz: ,,, então a integral que define a transformada de Laplaca converge.

3

( ) . ,tf t C e C

( )s

0 0

( )

0

( ) ( ) . .

( ) .

s t t s t

j t

F s f t e d t C e e d t

F s C e d t

( ) ( )Lx t X s

4

Transformada de Laplace s=+j

s: é uma variável complexa: é a componente real de s: é a componente imaginaria de s

0

( ) ( ) ( ) s tX s L x t x t e d t

Notação:

Definição da Transformada de Laplace

• A Transformada de Laplace converte uma equação diferencial(no tempo continuo) para uma equação polinomial/algébrica(na frequência).

5

transformada inversa

'0 1( ) ( ) 0na x t a x t

( )x t

Equação diferencial Equação algébrica

0 1( ) ( ) 0na s X s a sX s

( )X sSolução em

transformadaL

1L

Definição da Transformada de Laplace

6

Caso a variável de Laplace seja imaginaria pura: s=j

Então, a transformada de Laplace é igual à transformada de Fourier quando a variável s=j, ou seja para qualquer valor de “s” que esteja localizado no eixo complexo

Transformada de Laplace e Fourier

0

0

( ) ( )

( ) ( ) ( )

sts j

j ts j

X s x t e dt

X s x t e dt X j

Exemplos: Degrau Unitário

7

0, 0( )

1, 0

tu t

t

0

0

( ) ( ) ( ) 1 .

1( ) lim

s ts t

s t

t

eU s L u t s e d t

s

eU s

s s

Avaliando a função limite:

( ).lim lim lim

s t j t j tt

t t t

e e ee

s s s

Para >0 a exponencial é decrescente, e a avaliação do limite é zero

Exemplos: Degrau Unitário

8

1 1( ) lim

s t

t

eU s

s s s

.lim lim 0s t j t

t

t t

e ee

s s

Para >0a exponencial élimitada para t

Oscilatória

Foi escolhida uma região de s (para (s)>0) para garantir a convergência na avaliação dos limites da integral da transformada de Laplace.

Região de Convergência RoC: (s)>0

Alguns pares da Transformada de Laplace

9

2 2

2 2

( ) 1

( )

1( ) { } 0

1( ) { }

cos ( ) { } 0

sin ( ) { } 0

sT

t

oo

oo

o

t s

t T e s

u t ss

e u t sss

t u t ss

t u t ss

RoCLaplaceFunção

Amplificador Operacional

• Função de Transferência de um Opamp.A=Ganho =Constante de tempo

10

( ) ( ) ( )1o

AV s V s V s

s

Amplificador Inversor

11

( ) ( ) ( )1o

AV s V s V s

s

1

1 2

( ) 0

( ) o in in

V s

RV s V V V

R R

1 2

1 2 1 2

( )1o o in

R RAV s V V

s R R R R

Tensões nas entradas

Amplificador Operacional

12

2

1 1 2

1

( ) 1

( ) 11 .

o

in

V s R

V s R R R s

R A

1 2

1 2 1 2

( )1o o in

R RAV s V V

s R R R R

Função de Transferência

Análise em Frequência

13

2

1

1 2

1

( ) 1

( )1

1 .

o

in

o

V s R

V s R j

R R

R A

1

.

o

s j

Const deTempo

Função de Transferência:

Para Frequências Baixas <<<o e A

14

2

1

1 2

1

( ) 1

( )1

1 .

o

in

o

V s R

V s R j

R RR A

2

1 1 2

1

( ) 1

( ) 11 .

o

in

V s R

V s R R R

R A

2

1

( )

( )o

in

V s R

V s R

o

A

Ganho do amplificadorinverso

Largura de Banda do Amplificador

15

2

1

RG

R Ganho do amplificador

inversor

Define-se a largura de banda do Amplificador inversor, W, como a frequência na qual a magnitude da resposta em frequência decaipara ou equivalentemente para G-3dB

/ 2G


16

2

1

RG


2

1

2

1

1 2

1

( ) 1.

( ) 2

( ) 1

( )1

1 .

o

in

o

in

o

V jW R

V jW R

V j R

V j R j

R R

R A

=W


17

2

1

RG


1 2

1

1

1 . 2o

jW

R R

R A

Considerando-se que W>>o

1 2

1

11 . . 2

o

R R Wj

R A

1 2

1

1. . 1

o

R R W

R A

Parte imaginaria


18

2

1

RG


1 2

1

1. . 1

o

R R W

R A

11 . . 1

o

WG

A

1. . 1

o

WG

A

.

.oA A

WG G

Largura de banda do amplificador inversor

aproximando

A=Ganho do opamp=Const. de tempo do opamp.G=Ganho do amplificador inversor


19

.A

GW

Gain Bandwidth Product

Este produto é constante e depende das características do opamp, usualmente especificado nos data-sheet do fabricante.

Propriedades da Transformada de Laplace

20


• Linearidade

21

1 1 1

2 2 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ),

( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( ),

L

L

L

Se

x t X s com ROC R

x t X s com ROC R

Então

ax t bx t aX s bX s com ROC R R

• Deslocamento no Tempo

1

( ) ( ),

( ) ( ), { }o

L

s t Lo o

Se

x t X s com ROC R

Então

e x t X s s com ROC R R s

22

( ) ( ),

( ) ( ),o

L

stLo

Se

x t X s com ROC R

Então

x t t e X s com ROC R

• Deslocamento em “s”


• Escalamento no Tempo

1 1 1

2 2 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ),

( ) ( ),

( )* ( ) ,

L

L

L

Se

x t X s com ROC R

x t X s com ROC R

Então

x t x t X s X s com ROC R R

23

( ) ( ),

1( ) , /

| |

L

L

Se

x t X s com ROC R

Então

sx at X com ROC R a

a a

• Convolução


• Derivada no domínio do Tempo

( ) ( ),

( )( ) ,

L

L

Se

x t X s com ROC R

Então

dX stx t com ROC R

ds

24

( ) ( ),

( ),

L

L

Se

x t X s com ROC R

Então

dx tsX s com ROC R

dt

• Derivada no domínio “s”


• Integração no domínio do Tempo

0

(0 ) lim ( )

lim ( ) lim ( )

s

t s

x sX s

x t sX s

25

( ) ( ),

1( ) ( ), { { } 0}

L

t L

Se

x t X s com ROC R

Então

x d X s com ROC R ss

• Teorema do valor inicial e final


Teoremas da Transformada de Laplace

• Teorema da Derivação Real

• Em que f(0) é o valor inicial de f(t) calculado em t=0

26

( ) ( ) (0)d

L f t sF s fdt

11 2

1

(0) (0)( ) ( ) (0) ...

n nn n n

n n

d df d fL f t s F s s f s

dt dt dt

• Teorema do Valor Final

• Exemplo:

27

0lim ( ) lim ( )t s

f t sF s


0

0 0

1( ) ( )

( 1)

lim ( ) ?

lim ( ) lim ( )

1lim ( ) lim lim 1

( 1) ( 1)

t

t s

t s s

L f t F ss s

f t

f t sF s

sf t

s s s

Teorema do Valor Final

• Teorema do Valor Inicial

• Teorema da Derivada

28

(0 ) lim ( )s

f sF s

2

22

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( 1) ( )n

n nn

dL tf t F s

ds

dL t f t F s

ds

dL t f t F s

ds


Exemplos: Circuito RLC

29

Para: 5 , 10 , 10 , 625V v R L mH C F

Condições iniciais nulas, isto é, sem fluxo de corrente e sem carga no capacitor. Para t=0:

010 0.01 1600 ( ) 5 ( )

tdii i z dz u t

dt

Resistor Indutor Capacitor Fonte


30

Aplicando a Transformada de Laplace, com condições iniciais nulas:

010 0,01 1600 ( ) 5 ( )

tdii i z dz u t

dt

1600 510 0,01 ( )s I s

s s

2

500( )

1000 160000I s

s s

500

( )200 800 200 800

A BI s

s s s s

(Decomposição emfrações parciais)

500 ( 800) ( 200) 5 / 6 , 5 / 6A s B s A B

( ) ( )

1( ) ( )

L

t L

x t X s

x d X ss


31

Aplicando a Transformada de Laplace Inversa

(5 / 6) (5 / 6)( )

200 800I s

s s

200 8005( ) ( )

6t ti t e e u t

1( )te u t

s

Propriedade

i(A

)


32

Verificando o resultado utilizando o teorema de valor inicial e final

(5 / 6) (5 / 6)( )

200 800I s

s s

0

(0 ) lim ( )

lim ( ) lim ( )s

t s

f sF s

f t sF s

Valor Inicial(5 / 6) (5 / 6)

(0 ) lim200 800

5(0 ) lim .

6 200 800

5 1 1(0 ) lim .

6 1 200 / 1 800 /

5 1 1(0 ) lim . 0

6 1 0 1 0

s

s

s

s

i ss s

s si

s s

is s

i

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

t(s)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4


33

Verificando o resultado utilizando o teorema de valor inicial e final

(5 / 6) (5 / 6)( )

200 800I s

s s

0

(0 ) lim ( )

lim ( ) lim ( )s

t s

f sF s

f t sF s

Valor Final

0

0

0

(5 / 6) (5 / 6)lim ( ) lim

200 800

5lim ( ) lim .

6 200 800

5 0 0lim ( ) lim . 0

6 0 200 0 800

t s

t s

t s

i t ss s

s si t

s s

i t

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

t(s)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Caracterização de SLIT usando a TL

• Exemplo:

34

( ) ( ) ( )Y s H s X s

3

( )3 ( ) ( )

( ) 3 ( ) ( )

( ) 1( )

( ) 3

3

( ) ( )t

dy ty t x t

dtsY s Y s X s

Y sH s

X s s

RoC s

h t e u t

Modelos Matemáticos de Componentes Eletrônicos Discretos

35

( )( )

( ) ( )

L

L

di tv t L

dtV s LsI s

( ) ( )

( ) ( )R

R

v t Ri t

V s RI s

1( ) ( )

1( )

c

c

v t i t dtC

V ssC

C

Exemplo: Circuito RLC

• Modelo Matemático de um circuito elétrico

)()(1

)(1

)()(

)(

tedttiC

dttiC

tRidt

tdiLte

o

i

36

i

i

2i

( ) 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Aplicando-se a transformada de Laplace

1 1E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Combinando as equações

1E ( ) ( ) ( ) ( )

E ( ) ( ) 1

i o

o

o o o

o

di te t L Ri t i t dt i t dt e t

dt C C

s LsI s RI s I s I s E sCs Cs

s Ls CsE s R CsE s CsE sCs

s E s LCs RCs

2

( ) 1

( ) 1o

i

E s

E s LCs RCs

37


Exemplo: Circuito RLC

FT:

1

12 RCsLCs

( ) Mudança na saída do processo

( ) Mudança na entrada do procceso

Y s

X s

38

H(s)Ei(s)

(Tensão de entrada)

Eo(s)

(Tensão de saída)

Analise do sistema :

-Resposta ao degrau-Resposta ao impulso-Diagrama de zeros e polos


Resposta ao degrau (step)

39

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Resposta ao impulso (impulse)

40

0 2 4 6 8 10 12-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Diagrama de zeros e polos (rlocus)

41

-0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

2

2

2

1

1

1 1 1

1

1

: 1 0

0.5 0.866

0.5 0.866

LCs RCs

Si L R y C

s s

zeros Nemhum

Polos s s

j

j

Plano “s”

Análise de Sistemas usando a Transformada de Laplace

43

Filtros Analógicos

• Os filtros eletrônicos restringem o passo de alguns componentes de frequência.

( )( ) | ( ) | jH H e

Aplicações de Filtros

– Rádios– Televisores– Sistemas multimídia– Analisadores de espectros– Geradores de sinais– Componente dos sistemas digitais para prever o efeito

aliasing– Elemento primário para reduzir o EMI (electro-magnetic

interference)– Para limitar a largura de banda dos sistemas

Filtro Passa-Banda

46

)(

)()(

sV

sVsH

i

o

Função de Transferência de 2a Ordem

Frequência NaturalFator de qualidadeGanho do filtro passa-banda

47

Hos

Qs

sQ

sH

oo

o

22

)(

o

Q

oH

48

QQo

o 24

11

21

QQo

o 24

11

22

21 o

2 1 Largura de bandaoBWQ

Hos

Qs

sQ

sH

oo

o

22

)(

Implementação do Filtro

• Determinar os parâmetros do filtro passa-banda comas especificações dadas.

• Utilizar uma estrutura com componentes eletrônicospassivos e ativos

49

Implementação do Filtro usando componentes eletrônicos discretos

50

)()(

5321453

31

YYYYYYY

YYsH

1 5

2 22

4 3 5 4 3 5 1 2

1

( )1 1 1 1 1 1

oo

oo

s H sRC Q

H s

s ss sQR C C R C C R R

• Identificando os elementos correspondentes

51

)11

(1

21534 RRCCRo

)11

(1

534 CCRQo

51

1

CRH

Q oo

• Para as especificações

• Valores Teóricos dos componentes

• Valores Comerciais dos componentes (Reais)

52

060 , 10, 2of Hz H BW Hz

nFC

MRnFC

RKR

100

6.1100

8.4454.79

5

43

21

nFC

MRnFC

RKR

100

5.1100

47082

5

43

21

Simulação com valores teoricos/reais

53

Simulação

54

060 , 10, 2of Hz H BW Hz

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