Aula CEL033 Circuitos Lineares I - ufjf.br · Análise nodal de circuitos resistivos na presença...

NR-10

Aula

03/04/2012

Prof.: Ivo Chaves da Silva Junior

CEL033

Circuitos Lineares I

[email protected]

NR-10

Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes vinculadas (geradores dependentes)

Fontes Vinculadas:

Análise Nodal

Fontes de Corrente

Fontes de Tensão

Controladas Corrente ou

Tensão

NR-10


Circuitos contendo Fontes Vinculadas

Análise Nodal Modificada

Na análise nodal modificada algumas correntes , denominadas de essenciais, devem fazer parte da análise. São estas:

Análise Nodal

NR-10

Correntes que passam através de FONTES VINCULADAS DE TENSÃO;

Correntes que controlam FONTES VINCULADAS (Tensão ou Corrente).

Correntes Essenciais:


Análise Nodal

NR-10

A B

C

Caso 3

Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por tensão - FTCT

Análise Nodal

Corrente Essencial: 3i tensãode ganho

NR-10

Caso 3

Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por tensão -FTCT

EQUAÇÃO NÓ A

EQUAÇÃO NÓ B

EQUAÇÃO NÓ C

IvvGvvG CABA )()( 51

0)( 321 ivGvvG BAB

0)( 354 ivvGvG ACC

Variáveis: 3ivvv CBA

Equações: 3

Sistema Indeterminado ( Precisa-se de uma equação adicional)

)( BACB vvvv

EQUAÇÃO ADICIONAL

Análise Nodal

NR-10

EQUAÇÃO NÓ A

EQUAÇÃO NÓ B

EQUAÇÃO NÓ C

IvvGvvG CABA )()( 51

0)( 321 ivGvvG BAB

0)( 354 ivvGvG ACC

0)( BACB vvvv EQUAÇÃO ADICIONAL

Caso 3


Análise Nodal

Variáveis:

Equações: 4

3ivvv CBA

Sistema Possível e Determinado

NR-10

0

0

0

011

10

10

0

3

545

211

5151 I

i

v

v

v

GGG

GGG

GGGG

C

B

A

Caso 3


Forma matricial do sistemas de equações lineares

Análise Nodal

NR-10

1º) Determine, na forma matricial, o sistema de equações do circuito abaixo.

Análise Nodal

EXERCÍCIO

NR-10

Caso 4

Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por corrente - FTCC

Análise Nodal

Corrente Essencial: 31 ieitênciatransresisr

NR-10

Caso 4

Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por corrente -FTCC

EQUAÇÃO NÓ 1

EQUAÇÃO NÓ 2

EQUAÇÃO NÓ 3

IvvGi )( 3151

01322 iivG

0)( 313534 ivvGvG

Variáveis: 31 iivvv CBA

Equações: 3

Sistema Indeterminado ( Precisa-se de duas equações adicionais)

132 rivv

EQUAÇÕES ADICIONAIS

1121 iRvv

Análise Nodal

NR-10

EQUAÇÃO NÓ 1

EQUAÇÃO NÓ 2

EQUAÇÃO NÓ 3

EQUAÇÃO ADICIONAL

Caso 4


IvvGi )( 3151

01322 iivG

0)( 313534 ivvGvG

0132 rivv

EQUAÇÃO ADICIONAL

01121 iRvv

Análise Nodal

Variáveis:

Equações: 5

31 iivvv CBA

Sistema Possível e Determinado

NR-10

Caso 4


0

0

0

0

0011

0110

100

1100

010

1

3

3

2

1

1

545

2

55 I

i

i

v

v

v

R

r

GGG

G

GG

Forma matricial do sistemas de equações lineares

Análise Nodal

NR-10

2º) Determine, na forma matricial, o sistema de equações do circuito abaixo.

Análise Nodal

EXERCÍCIO

NR-10

EQUAÇÃO NÓ 1

sivGi 112

EQUAÇÃO NÓ 2

0)( 2432423 iivvGvG

EQUAÇÃO NÓ 3

0)( 234354 vvGvGi

Análise Nodal

Corrente Essencial: 42 iei

NR-10


232 irvv m

Variáveis: 24321 iivvv

Equações: 3

Sistema Indeterminado ( Precisa-se de duas equações adicionais)

sivGi 112

0)( 2432423 iivvGvG

0)( 234354 vvGvGi

2212 )( ivvG

Análise Nodal

NR-10

232 irvv m

sivGi 112

0)( 2432423 iivvGvG

0)( 234354 vvGvGi

2212 )( ivvG

Análise Nodal


5

5

EQUAÇÕES

VARIÁVEIS

42321 ,,, ieivvv

NR-10

EQUAÇÃO ADICIONAL (EA1):

)( 21232 vvGrvv m

)( 2122 vvGi

0)()1( 21322 GrvvGrv mm

232 irvv mSubstituindo i2 da equação EA1 em, , tem-se:

ou ainda:

Análise Nodal

SivGvvG 11212 )(

Substituindo i2 da equação EA1 em, , (equação do nó 1), tem-se:

sivGi 112

NR-10

11212 )( vGvvGiS

0)()( 432423122 ivvGvGvvG

0)( 234354 vvGvGi

0)()1( 21322 GrvvGrv mm

Colocando o sistema de equações apresentado na forma matricial, tem-se:

Análise Nodal

NR-10

0

0

0.

011

10

1

00

4

3

2

1

22

544

44322

221 s

mm

i

i

v

v

v

GrGr

GGG

GGGGG

GGG

Matriz de condutâncias original (G)

Equação Adicional ( nova linha e coluna na matriz A )

Vetor com as variáveis do problema

Vetor de correntes nodais (fontes independentes)

Forma Matricial ( sistema do tipo A.x=B):

Análise Nodal

NR-10

Análise Nodal

EXERCÍCIO

3º) Determine através da análise nodal, a forma matricial do conjunto de equações lineares para o circuito elétrico abaixo.

06i

24 3

32

V60+

-

0i1v

2v 3v

????)(4

sentidoi

NR-10

Análise Nodal

06i

24 3

32

V60+

-

0i1v

2v 3v

EQUAÇÃO NÓ 2

03

40

3 iiv

0242

600

22

ivv

EQUAÇÃO NÓ 3

EQUAÇÃO ADIC.1

03023 ivv

EQUAÇÃO ADIC.2

066003 iv

4i

NR-10

Análise Nodal

06i

24 3

32

V60 +

-

0i1v

2v 3v

EQUAÇÃO NÓ 3 03

40

3 iiv4

i

Matriz A

Vetor B

BAX .1

V2 V3 io i4

Solução

NR-10

Análise Nodal

06i

24 3

32

V60 +

-

0i1v

2v 3v

4i

Ai 84

06i

24 3

32

V60 +

-

0i1v

2v 3v

4i

Ai 84

SENTIDO ADOTADO NÃO INTERFERE

NR-10

4º ) Calcule a tensão sobre o resistor de 4Ω

Resp: 32 v

i

v30

4

8

v

+

-

v24

vi5

3 6

EXERCÍCIO (sala)

Correntes Essenciais ?

v1 v2

v3

T

1i

Fi

NR-10

Forma matricial do sistema de equações

NR-10

Solução do sistema de equações:

1v

2v

3vi

1i

Fi

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