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Fontes de BPotencial Escalar Magnético

A Lei de Biot-SavartExemplos

Forças magnéticas entre correntes

Aula de Física III - A Lei de Ampère

Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected])

Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto Politécnico - IPRJ/UERJ

Departamento de Engenharia Mecânica e EnergiaGraduação em Engenharia Mecânica/Computação

2 de setembro de 2010

Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei de Ampère

IntroduçãoCampo Magnético de uma corrente retilínea

Introdução

Como ~∇ ∗ ~B = 0, as linhas de força magnéticas sãonecessariamente fechadas. Logo, a circulação de ~B ao longo deuma linha de força fechada é necessariamente diferente de zero.Resulta das experiências de Ampère que essa circulação éproporcional à intensidade de corrente total que atravessa a curvaC, ou seja: ∮

~B ∗ ~dl = µ0I (1)

onde µ0 ≡ 4π ∗ 10−7 N

A2 é dita permeabilidade magnética no vácuo.A equação (1) é a Lei de Ampère para correntes estacionárias.Se aplicarmos (1) no interior da distribuição de corrente, a umasuperfície S limitada pelo contorno C:

~j ∗ n ∗ dS (2)

Introdução

Como ~∇ ∗ ~B = 0, as linhas de força magnéticas sãonecessariamente fechadas. Logo, a circulação de ~B ao longo deuma linha de força fechada é necessariamente diferente de zero.

Resulta das experiências de Ampère que essa circulação éproporcional à intensidade de corrente total que atravessa a curvaC, ou seja: ∮

~B ∗ ~dl = µ0I (1)

onde µ0 ≡ 4π ∗ 10−7 N

~j ∗ n ∗ dS (2)

Introdução

Como ~∇ ∗ ~B = 0, as linhas de força magnéticas sãonecessariamente fechadas. Logo, a circulação de ~B ao longo deuma linha de força fechada é necessariamente diferente de zero.Resulta das experiências de Ampère que essa circulação éproporcional à intensidade de corrente total que atravessa a curvaC, ou seja:

~B ∗ ~dl = µ0I (1)

onde µ0 ≡ 4π ∗ 10−7 N

~j ∗ n ∗ dS (2)

Introdução

~B ∗ ~dl = µ0I (1)

onde µ0 ≡ 4π ∗ 10−7 N

~j ∗ n ∗ dS (2)

Introdução

~B ∗ ~dl = µ0I (1)

onde µ0 ≡ 4π ∗ 10−7 N

A2 é dita permeabilidade magnética no vácuo.A equação (1) é a Lei de Ampère para correntes estacionárias.

Se aplicarmos (1) no interior da distribuição de corrente, a umasuperfície S limitada pelo contorno C:

~j ∗ n ∗ dS (2)

Introdução

~B ∗ ~dl = µ0I (1)

onde µ0 ≡ 4π ∗ 10−7 N

~j ∗ n ∗ dS (2)

Introdução

~B ∗ ~dl = µ0I (1)

onde µ0 ≡ 4π ∗ 10−7 N

~j ∗ n ∗ dS (2)Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei de Ampère

Pelo Teorema de Stokes, temos que:

~B ∗ ~dl =

~∇ x ~B ∗ n ∗ dS (3)

Logo: ∫S

~∇ x ~B ∗ n ∗ dS = µ0I (4)

que tem que valer para toda S. Isso só é possível se:

~∇ x ~B = µ0~j (5)

As equações ~∇ ∗ ~B = 0 e ~∇ x ~B = µ0~j são as Equações de Maxwell

para o campo magnético no vácuo produzido por correntes

estacionárias, da mesma forma que ~∇ x ~E = 0 e ~∇ ∗ ~E = ρε0

são asEquações de Maxwell para o campo elétrico no vácuo produzido

por cargas estáticas.

Pelo Teorema de Stokes, temos que:∮C

~B ∗ ~dl =

~∇ x ~B ∗ n ∗ dS (3)

Logo: ∫S

~∇ x ~B ∗ n ∗ dS = µ0I (4)

~∇ x ~B = µ0~j (5)

~B ∗ ~dl =

~∇ x ~B ∗ n ∗ dS (3)

~∇ x ~B ∗ n ∗ dS = µ0I (4)

~∇ x ~B = µ0~j (5)

~B ∗ ~dl =

~∇ x ~B ∗ n ∗ dS (3)

Logo: ∫S

~∇ x ~B ∗ n ∗ dS = µ0I (4)

~∇ x ~B = µ0~j (5)

~B ∗ ~dl =

~∇ x ~B ∗ n ∗ dS (3)

Logo: ∫S

~∇ x ~B ∗ n ∗ dS = µ0I (4)

~∇ x ~B = µ0~j (5)

~B ∗ ~dl =

~∇ x ~B ∗ n ∗ dS (3)

Logo: ∫S

~∇ x ~B ∗ n ∗ dS = µ0I (4)

~∇ x ~B = µ0~j (5)

por cargas estáticas.Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei de Ampère

A restrição a correntes estacionárias está embutida na forma localda Lei de Ampère. De fato, vale a propriedade vetorial:

~∇ ∗ (~∇ x ~v) = 0 (6)

Logo:~∇ ∗ (~∇ x ~B) = µ0~∇ ∗~j =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (7)

que é a condição para que a distribuição de correntes sejaestacionária. A Lei de Ampère é útil para o cálculo de ~B quando esomente quando a distribuição de corrente é especialmentesimétrica: É preciso que a direção e o sentido de ~B possam serobtidos como consequência da simetria, e que a magnitude de ~Btambém esteja simetricamente distribuída.

~∇ ∗ (~∇ x ~v) = 0 (6)

Logo:~∇ ∗ (~∇ x ~B) = µ0~∇ ∗~j =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (7)

~∇ ∗ (~∇ x ~v) = 0 (6)

Logo:~∇ ∗ (~∇ x ~B) = µ0~∇ ∗~j

=⇒ ~∇ ∗~j = 0 (7)

~∇ ∗ (~∇ x ~v) = 0 (6)

Logo:~∇ ∗ (~∇ x ~B) = µ0~∇ ∗~j =⇒

~∇ ∗~j = 0 (7)

~∇ ∗ (~∇ x ~v) = 0 (6)

Logo:~∇ ∗ (~∇ x ~B) = µ0~∇ ∗~j =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (7)

~∇ ∗ (~∇ x ~v) = 0 (6)

Logo:~∇ ∗ (~∇ x ~B) = µ0~∇ ∗~j =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (7)

Campo Magnético de uma corrente retilínea

Consideremos um o condutorcilíndrico longo, de raio a, quetransporta uma corrente I .A densidade de corrente ~j estáuniformemente distribuída so-bre a secção transversal, deforma que:

|~I | = πa2|~j |

Pela simetria axial, as linhas deforça de ~B dentro e fora do o,são círculos concêntricos, e amagnitude de ~B não varia aolongo de cada um deles.

Consideremos um o condutorcilíndrico longo, de raio a, quetransporta uma corrente I .

A densidade de corrente ~j estáuniformemente distribuída so-bre a secção transversal, deforma que:

|~I | = πa2|~j |

Logo, podemos tomar coordenadas cilíndricas com eixo Oz‖~j , eobter:

~B ∗ ~dl =

B(ρ)ϕ ∗ ρ ∗ dϕϕ = 2πρB(ρ) (8)

Para um ponto externo ao o (ρ ≥ a), a corrente que atravessa C éa corrente total I . Logo, a Lei de Ampère dá:

2πρB(ρ) = µ0I =⇒ ~B(ρ) =µ0I

2πρϕ (ρ ≥ a) (9)

~B ∗ ~dl =

B(ρ)ϕ ∗ ρ ∗ dϕϕ = 2πρB(ρ) (8)

2πρB(ρ) = µ0I =⇒ ~B(ρ) =µ0I

2πρϕ (ρ ≥ a) (9)

~B ∗ ~dl =

B(ρ)ϕ ∗ ρ ∗ dϕϕ = 2πρB(ρ) (8)

2πρB(ρ) = µ0I =⇒ ~B(ρ) =µ0I

2πρϕ (ρ ≥ a) (9)

~B ∗ ~dl =

B(ρ)ϕ ∗ ρ ∗ dϕϕ = 2πρB(ρ) (8)

2πρB(ρ) = µ0I =⇒ ~B(ρ) =µ0I

2πρϕ (ρ ≥ a) (9)

~B ∗ ~dl =

B(ρ)ϕ ∗ ρ ∗ dϕϕ = 2πρB(ρ) (8)

2πρB(ρ) = µ0I

=⇒ ~B(ρ) =µ0I

2πρϕ (ρ ≥ a) (9)

~B ∗ ~dl =

B(ρ)ϕ ∗ ρ ∗ dϕϕ = 2πρB(ρ) (8)

2πρB(ρ) = µ0I =⇒

~B(ρ) =µ0I

2πρϕ (ρ ≥ a) (9)

~B ∗ ~dl =

B(ρ)ϕ ∗ ρ ∗ dϕϕ = 2πρB(ρ) (8)

2πρB(ρ) = µ0I =⇒ ~B(ρ) =µ0I

2πρϕ (ρ ≥ a) (9)

Já para um ponto interno (ρ < a), a corrente que atravessa C é:

πρ2j = πρ2I

πa2=ρ2

a2I (10)

2πρB(ρ) = µ0ρ2

a2I =⇒ ~B(ρ) =

a2ϕ (0 ≤ ρ ≤ a) (11)

O comportamento de |~B| emfunção de ρ pode ser analisadogracamente.

πρ2j = πρ2I

πa2=ρ2

a2I (10)

2πρB(ρ) = µ0ρ2

a2I =⇒ ~B(ρ) =

a2ϕ (0 ≤ ρ ≤ a) (11)

πρ2j = πρ2I

πa2=ρ2

a2I (10)

2πρB(ρ) = µ0ρ2

=⇒ ~B(ρ) =µ0I

a2ϕ (0 ≤ ρ ≤ a) (11)

πρ2j = πρ2I

πa2=ρ2

a2I (10)

2πρB(ρ) = µ0ρ2

a2I =⇒

~B(ρ) =µ0I

a2ϕ (0 ≤ ρ ≤ a) (11)

πρ2j = πρ2I

πa2=ρ2

a2I (10)

2πρB(ρ) = µ0ρ2

a2I =⇒ ~B(ρ) =

a2ϕ (0 ≤ ρ ≤ a) (11)

πρ2j = πρ2I

πa2=ρ2

a2I (10)

2πρB(ρ) = µ0ρ2

a2I =⇒ ~B(ρ) =

a2ϕ (0 ≤ ρ ≤ a) (11)

πρ2j = πρ2I

πa2=ρ2

a2I (10)

2πρB(ρ) = µ0ρ2

a2I =⇒ ~B(ρ) =

a2ϕ (0 ≤ ρ ≤ a) (11)

Potencial Escalar Magnético

Seja uma espira plana C percorrida por uma corrente I . Pela Lei deAmpère, temos que

∮Γ2

~B ∗ ~dl = 0 e∮Γ1

~B ∗ ~dl = −µ0I

Assim, podemos denir um potencial escalar magnético ψ tal que:

~B = −~∇ψ =⇒2∫

~B ∗ ~dl = −2∫

dψ = ψ2 − ψ1 (12)

∮Γ2

~B ∗ ~dl = 0 e∮Γ1

~B ∗ ~dl = −µ0I

~B = −~∇ψ =⇒2∫

~B ∗ ~dl = −2∫

dψ = ψ2 − ψ1 (12)

∮Γ2

~B ∗ ~dl = 0 e∮Γ1

~B ∗ ~dl = −µ0I

~B = −~∇ψ =⇒2∫

~B ∗ ~dl = −2∫

dψ = ψ2 − ψ1 (12)

∮Γ2

~B ∗ ~dl = 0 e∮Γ1

~B ∗ ~dl = −µ0I

~B = −~∇ψ =⇒2∫

~B ∗ ~dl = −2∫

dψ = ψ2 − ψ1 (12)

∮Γ2

~B ∗ ~dl = 0 e∮Γ1

~B ∗ ~dl = −µ0I

~B = −~∇ψ

=⇒2∫

~B ∗ ~dl = −2∫

dψ = ψ2 − ψ1 (12)

∮Γ2

~B ∗ ~dl = 0 e∮Γ1

~B ∗ ~dl = −µ0I

~B = −~∇ψ =⇒

~B ∗ ~dl = −2∫

dψ = ψ2 − ψ1 (12)

∮Γ2

~B ∗ ~dl = 0 e∮Γ1

~B ∗ ~dl = −µ0I

~B = −~∇ψ =⇒2∫

~B ∗ ~dl = −2∫

dψ = ψ2 − ψ1 (12)

O potencial escalar magnético é produzido por uma camada dedipolos magnéticos distribuídos sobre a superfície S. De fato, daEletrostática, temos que:

V (P) =δ

4πε0

dS ∗ cosθr2

4πε0Ω (13)

V (P) =δ

4πε0

dS ∗ cosθr2

4πε0Ω (13)

V (P) =δ

4πε0

dS ∗ cosθr2

4πε0Ω (13)

onde δ é a densidade supercial dos dipolos elétricos, e Ω é oângulo sólido total sob o qual a superfície S é vista a partir de P.fazendo as analogias:

δ −→ I ; ε−10 −→ µ0 (14)

temos o resultado análogo da Magnetostática dado por:

ψ(~R) =µ0I

dS ∗ cosθr2

4πΩP (15)

que é o potencial escalar magnético criado pela corrente I, dado por~B = −~∇ψ, em relação ao ponto P, orientado por ~R .

δ −→ I ; ε−10 −→ µ0 (14)

ψ(~R) =µ0I

dS ∗ cosθr2

4πΩP (15)

δ −→ I ; ε−10 −→ µ0 (14)

ψ(~R) =µ0I

dS ∗ cosθr2

4πΩP (15)

δ −→ I ; ε−10 −→ µ0 (14)

ψ(~R) =µ0I

dS ∗ cosθr2

4πΩP (15)

δ −→ I ; ε−10 −→ µ0 (14)

ψ(~R) =µ0I

dS ∗ cosθr2

4πΩP (15)

A Lei de Biot-Savart

Se deslocarmos o ponto P de ~R para ~R + ~dR , temos:

Ψ = Ψ(~R + ~dR)−Ψ(~R) = ~∇Ψ ∗ ~dR = −~B ∗ ~dR (16)

de forma que: