1

2/Nov/2012 – Aula 12

7/Nov/2012 – Aula 13

13. Lei de Ampère

13.1 Campo B no exterior de um fio infinito

13.2 Campo B num condutor

13.3 Campo B de um solenóide

13.4 Campo B de um toro

13.5 Exemplo de aplicação – fusão nuclear

12. Lei de Biot-Savart

12.1 Campo criado por uma corrente rectilínea

12.2 Campo criado por uma espira de corrente

12.3 Campo criado por N espiras de corrente

12.4 Campo criado por um arco de corrente

12.5 Momento magnético dipolar

2 2

12.1 Campo magnético criado por uma corrente rectilínea

Num condutor passa uma corrente

eléctrica I na direcção x.

Determine o campo magnético B no

ponto P da figura.

0

2

ˆ

4

q v rB

r

Lei de Biot-Savart (cargas em movimento)

0

2

ˆ

4

dl rdB I

r

Lei de Biot-Savart (correntes eléctricas)

Aula anterior

3

Num condutor passa uma corrente

eléctrica I na direcção x.

Determine o campo magnético B no

ponto P da figura.

Integrando esta expressão entre 1 e 2:

0 IdB cos d

4 R

2 2

1 1

0 0

02 1

I IB cos d cos d

4 R 4 R

Isen sen

4 R

Se 1 =-90º e 2=+90º 0IB

2 R

12.1 Campo magnético criado por uma corrente rectilínea Aula anterior

4

Uma corrente I passa numa espira de raio R.

Determine o campo magnético à distância z do

centro da espira, ao longo do eixo zz.

12.2 Campo criado por uma espira de corrente

0 02 2

Idl sen IdldB

4 4R R

No centro da espira, com z =0:

02

0 02

IB dB dl

4 R

II2 R

4 2RR

0 I

B2R

(B no centro de uma espira circular)

0

2

ˆ

4

dl rdB I

r

Aula anterior

5

Fora do centro da espira, com z 0:

Somando todas as contribuições ao

longo da espira

0z z 3 2

2 2

0 03 2 3 2

2 2 2 2

20

3 22 2

I RB dB dl

4z R

I R I Rdl 2 R

4 4z R z R

2 I R

4z R

20

z 3 22 2

2 R IB

4z R

(B no eixo de uma espira circular)

12.2 Campo criado por uma espira de corrente Aula anterior

6

Somando todas as contribuições

ao longo da bobina

z z

203 2

2 2

B dB

12 R n I dz

4z R

z R tg (tabela de integrais)

(B no eixo de um solenóide)

2 1x 0

2 2 2 22 1

z z1B n I

2 z R z R

12.3 Campo criado por N espiras de corrente Aula anterior

7

2

1

z

z

Se o solenóide for

suficientemente longo:

(B no eixo de um solenóide longo)

z 0B n I

12.3 Campo criado por N espiras de corrente Aula anterior

8

12.4 Campo criado por um arco de corrente

Uma corrente I passa num arco de

circunferência de raio R.

Determine o campo magnético no

centro da circunferência.

0 02 2

Ids sen90º IdsdB

4 4R R

I

R

ds Rd 0 IdB d

4 R

0

2

ˆ

4

dl rdB I

r

Aula anterior

9

O campo eléctrico produzido por

um dipolo eléctrico com momento

dipolar eléctrico p tem a forma:

dipolo 30

1 2 pE

4 z

2 20 0 0

dipolar 3 / 2 3 3z R2 2

IR 2( R )I 2AIB

2 4 4z zz R

12.5 Momento magnético dipolar

O campo magnético produzido

por uma corrente numa espira

tem uma forma semelhante, em

que o momento magnético dipolar

é igual a A I: 0dipolar 3

03

2AIB

4 z

2

4 z

Aula anterior

10

A força magnética dF exercida

sobre uma corrente I na presença

de um campo exterior B é:

dF I dl B

12.6 Força magnética entre correntes

F I L B

2 2 2 1dF I dl B 2 2 2 1dF I dl B

(na aproximação

de fios infinitos) 0 1

2 2 2I

dF I dl2 R

0 1 02 1 22

2

IdF I II 2

dl 2 R 4 R

(força por unidade

de comprimento)

Aula anterior

11

A Lei de Ampère está para o campo

magnético como a Lei de Gauss para

o campo eléctrico:

13. Lei de Ampère

0 int

C

B.dl I

O integral do campo magnético B ao longo de qualquer linha fechada é

proporcional ao somatório das correntes eléctricas incluídas nessa linha.

(sentido positivo

para a integração)

12

13.1 Campo no exterior de um fio infinito

Exemplo: simetria cilíndrica, amplitude de B

constante para qualquer ângulo azimutal

(para a mesma distância r)

C

B.dl B 2 r

0 int 0I I

0IB

2 r

I

dl

B r

C

Lei de Ampère- fio infinito

simulação

13

13.2 Campo B num condutor

ext ext ext

ext

C C C

B.dl Bcos0º dl B dl B2 R

0 int 0I I

0

ext

IB

2 R

Considere um condutor longo, de raio

R, por onde passa uma corrente I

uniformemente distribuída pela secção

do condutor.

Determine o campo magnético B no

exterior e no interior do condutor.

1º) No exterior (Rext > R):

extRCext

14

C C C

B.dl Bcos0º dl B dl B2 r 0 intI ?

2º) No interior (r < R):

Considere um condutor longo, de raio

R, por onde passa uma corrente I

uniformemente distribuída pela secção

do condutor.

Determine o campo magnético B no

exterior e no interior do condutor.

2

I

R

22 2

0 int 0 0 02 2

I rI r r I

R R

02

I rB

2 R

13.2 Campo B num condutor

15

Considere um condutor longo, de raio

R, por onde passa uma corrente I

uniformemente distribuída pela secção

do condutor.

Determine o campo magnético B no

exterior e no interior do condutor.

02

I rB , r R

2 R

0IB , r R

2 r

13.2 Campo B num condutor

16

13.3 Campo B de um solenóide

Pode-se usar a Lei de Ampère para calcular o campo magnético criado por um solenóide, desde que se escolha a linha de integração apropriada. Considere-se para circulação um rectângulo L xW em que um dos lados horizontais (L) está dentro do solenóide. Se o rectângulo englobar N fios da bobina, então Iinterior = NI. Pela Lei de Ampère tem-se:

1 2 3 4B ds B L B W B L B W

1

2

3

4 W

0B ds NI

17

13.3 Campo B de um solenóide

1 2 3 4B ds B l B W B l B W

1

2

3

4 W

0B ds NI

O lado 1 é paralelo a B B1=B.

Os lados 2 e 4 são perpendiculares a B

B2=B4=0.

O lado 3 está fora do solenóide, pelo que

B3=0.

1 0B ds B l NI 0NIB

l

Se n = N/l for o número de espiras

por unidade de comprimento: 0B n I

l

18

13.4 Campo B de um toro

Considere uma corrente I que passa

num condutor enrolado N vezes sobre

um toro, como indicado na figura.

Determine o campo magnético criado

por esta corrente, pela Lei de Ampère

Por simetria, B é tangente à circunferência C e a sua amplitude é

constante ao longo desta:

0 intB ds B2 r I

A corrente total englobada

pela circunferência é NI. 0B2 r NI 0NIB

2 r

a r b

19

13.4 Campo B de um toro

Para r<a, não há correntes dentro da

circunferência de circulação, pelo que B=0.

Para r>b, “cada corrente” entra com um

sentido e sai com o oposto uma vez em cada

espira, pelo que a soma das correntes é

zero e B=O.

B 0

r a ; r b

20

13.5 Aplicações – fusão nuclear

Energia

Fusão

Neutrão

Quando dois núcleos leves (A < 20) se combinam para formar um

núcleo mais pesado dá-se libertação de energia (porque a energia

de ligação dos núcleos leves é menor do que a do núcleo pesado).

Deutério Trítio

Reacção

de fusão

Neutrão Partícula

alfa

21

13.5 Aplicações – fusão nuclear

Exemplos:

2 2 3 11 1 2 0H H He n

2 2 3 11 1 1 1H H He H

2 3 4 11 1 2 0H H He n

Q = 3,27 MeV

Q = 4,03 MeV

Q = 17,59 MeV

Hidrogénio

Deutério

Trítio

A

1

2

3

22

13.5 Aplicações – fusão nuclear

Reacção Temperatura de ignição Energia libertada

Combustível Produtos (x 106 ºC)

17 600

18 300

~ 4 000

~ 4 000

23

13.5 Aplicações – fusão nuclear

Dois campos magnéticos confinam

o plasma no interior de um toro.

As linhas de campo são helicoidais

e evitam que o plasma toque nas

paredes da câmara de vácuo.

Diagrama de um TOKAMAK

24

13.5 Aplicações – fusão nuclear

25

13.5 Aplicações – fusão nuclear

Divertor

Central

Solenoid

Outer Intercoil

Structure

Toroidal Field Coil

Poloidal Field Coil

Machine Gravity Supports

Blanket Module

Vacuum Vessel

Cryostat

Port Plug (IC Heating)

Torus Cryopump

ITER- International Thermonuclear Experimental Reactor

26

• Will cover an area of about 60 ha

• Large buildings up to 170 m long

• Large number of systems

Tokamak

building

Tritium

building

Cryoplant

buildings

Magnet power

convertors buildings

Hot

cell

Cooling towers

ITER- International Thermonuclear Experimental Reactor

Visita virtual ao reactor ITER

Simulação 2 Simulação 1