Aula de MatemáticaProfessor : Neilton Satel

02 de setembro 2014

Bom dia!

POLÍGONO vem do grego e quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon).

POLÍGONO é figura plana limitada por uma linha poligonal fechada, ou seja, os polígonos precisam ser figuras fechadas.

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PolígonosDefinição

Chama-se polígono toda linha poligonal fechada simples juntamente com os pontos da região interna que essa linha

determina.

As figuras a seguir são polígonos

As figuras a seguir não são polígonos

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Um polígono se diz convexo quando o segmento de reta que une dois pontos quaisquer de sua região interna está

sempre contido nela.

Polígonos convexos e polígonos côncavos

Polígonos convexos Polígonos côncavosUm polígono se diz côncavo quando

existem dois pontos de sua região interna tais que o segmento de reta por eles determinado não está contido nela.

A

B

A

B

São polígonos convexos São polígonos côncavos

Polígonos

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PolígonosElementos de um polígono

No polígono ABCDE ao lado temos que:

A

B

CD

E

• Os segmentos são os lados do polígono;

, , , ,AB BC CD DE EA

• Os pontos A, B, C, D, E são os vértices do polígono;

• Os segmentos são as diagonais do polígono;

, , , ,AC AD BD BE CE

• são os ângulos do polígono;

ˆ ˆˆ ˆ ˆABC, BCD,CDE, DEA, EAB

Nota:Diagonal de um polígono é o segmento de

reta que une dois vértices não consecutivos desse polígono.

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Polígonos

Chama-se polígono regular a todo polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos

congruentes (ângulos que possuem a mesma medida).

Polígonos regulares

A

B

CD

E Num polígono regular destacamos:

• O centroÉ o ponto que dista igualmente de todos

os vértices do polígono. (Na figura ao lado é o ponto O.)M

O

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Nome dos polígonos

De acordo com o número de ângulos, o polígono recebe um nome especial.Veja, no quadro abaixo, o nome de alguns polígonos:

Número de lados Nome Número de

lados Nome

3 Triângulo 9 Eneágono4 Quadrilátero 10 Decágono5 Pentágono 11 Undecágono6 Hexágono 12 Dodecágono7 Heptágono 15 Pentadecágono

8 Octógono 20 Icoságono

Polígonos

8

Polígonos

Soma das medidas dos ângulos internos:

180º 2iS n

Soma das medidas dos ângulos externos:

360ºeS

Ângulos internos de um polígono regular:

180º 2 ou i

i i

nSa an n

Ângulos externos de um polígono regular:

360º ou ee eSa an n

Número de diagonais de um polígono:

32

n nd

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Triângulos ― classificação

Quanto aos ângulos Quanto aos lados

Acutângulo: possui três ângulos agudos. Equilátero: três lados de mesma medida.Obs.: os três ângulos internos têm medidas de 60º.

Retângulo: possui dois ângulos agudos e um ângulo reto. Obs.: pode ser aplicado o teorema de Pitágoras:

hipotenusa2 = cateto2 + cateto2

Isósceles: dois lados de mesma medida.Obs.: os ângulos opostos aos lados congruentes também são de mesma medida.

Obtusângulo: possui dois ângulos agudos e um obtuso.

Escaleno: três lados de medidas diferentes entre si.

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Quadriláteros

Quanto aos ângulos

Quanto às diagonais

Quanto aos lados

ParalelogramoÂngulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares.

Encontram-se no seu ponto médio.

Lados opostos congruentes.

RetânguloQuatro ângulos retos.

São congruentes. Lados opostos congruentes.

LosangoÂngulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares.

São perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango.

Quatro lados congruentes.

QuadradoQuatro ângulos retos.

Encontram-se no seu ponto médio e são congruentes.

Quatro lados congruentes.

São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º.

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Quadriláteros

Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos, chamados base maior e base menor.

Trapézio retânguloÉ todo trapézio que tem dois ângulos retos. Nele, um dos lados que não é base é perpendicular às duas bases.

Trapézio isóscelesÉ todo trapézio que tem dois lados não paralelos congruentes.

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CircunferênciaÂngulos em uma circunferência

Ângulo central: É um ângulo que tem como vértice o centro da circunferência e seus lados passam por pontos pertencentes a ela.

Ângulo inscrito: É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência e cujos lados passam por dois outros pontos da circunferência, determinando nela duas cordas.

Ângulo de segmento: É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência, um lado secante à circunferência e outro tangente a ela.

Se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma circunferência tem o mesmo arco, então a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.

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Circunferência

Relações métricas na circunferência

Cruzamento de duas cordas:

Dois segmentos secantes a partir de um mesmo ponto:

PA PB PC PD

Segmento secante e segmento tangente a partir de um mesmo ponto:

2PA PB PT

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CircunferênciaPolígonos regulares inscritos na circunferência

Polígono regular é aquele que possui todos os lados (l) congruentes e todos os ângulos congruentes. Apótema (a) é um segmento com uma extremidade no centro da circunferência e outra no ponto médio de um dos lados do polígono. Ele também equivale ao raio da circunferência inscrita ao polígono.Raio da circunferência circunscrita (r) é o segmento com uma extremidade no centro da circunferência e a outra na própria circunferência.

3ra2 4

r 2a2

6r 3a

23 r 3l 4 r 2l 6 rl

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Áreas: medidas de superfície

Área do quadrado, do retângulo e do paralelogramo

Quadrado

Retângulo

Paralelogramo

A = b h A = b h2A = l

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Áreas: medidas de superfície

Área do triângulo

Área do triângulo

Área do triângulo

sendo conhecido os

três lados

Área do triângulo equilátero

Área do triângulo

com o auxílio da

trigonometria

b h 1A b h2 2

A p p a p b p ca b cp

2

1A a b senα2

2 3A4

l

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Áreas: medidas de superfície

Área do trapézio e do losango

Trapézio Losango

B b hA =

2D dA =2

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Áreas: medidas de superfície

Área de polígonos regulares

(l) lado do polígono(a) apótema(n) número de lados do polígono(p) semiperímetro

A p a.

np2l

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Áreas: medidas de superfície

Área do círculo e do setor circular

Círculo Setor circular

2A π r

graussetor2

A = =π r 360º 2 π r

l

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Resolução de triângulos quaisquer

Resolução de triângulos retângulos

2 2 2a b ccateto oposto bsenα

hipotenusa acateto adjacente ccosα

hipotenusa acateto oposto btgα

cateto adjacente c

a = hipotenusab = cateto oposto ao ângulo c = cateto adjacente ao ângulo

30º 45º 60ºsencostg

12

12

22

22

32

32

33 31