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Universidade Federal de LavrasDepartamento de Cincias Exatas

Prof. Daniel Furtado Ferreira

2a Aula Prtica Coleta, organizao e apresentao de dados

1) Os dados apresentados a seguir referem-se ao tempo que uma bateria levou para apresentar umafalha grave, em anos, ou seja, para descarregar completamente. A amostra de tamanhon = 20 foiobtida com objetivo de caracterizar a robustez das baterias e dada por:

8,52 4,19 2,52 1,91 8,78 5,91 0,76 12,04 2,60 1,695,63 6,36 5,07 3,03 1,13 1,39 12,58 2,03 0,60 0,45

a) Agrupar os dados do tempo at a falha das baterias em uma distribuio de frequncias, deter-minando o nmero de classes pelo critrio k =

n.

Dado: A= X(n)X(1)(amplitude total),c = A/(k1)(amplitude de classe),LI1= X(1)c/2,LS1 = LI1 +c, LI2 = LS1, etc.; computar as frequncias a partir dos dados originais (depreferncia dos dados elaborados, ordenados).

b) Obter o histograma (classes na abscissa e frequncias na ordenada) e o polgono de frequncia(linha poligonal unindo os centros dos retngulos) em um mesmo grfico.

c) Construir as distribuies de frequncias acumuladas: utilizar os limites de classes, calcular asfrequncias acumuladas abaixo e acima destes limites e construir a tabela correspondente.

d) Traar as ogivas no mesmo plano cartesiano. As ogivas so os grficos correspondentes sfrequncias acumuladas abaixo e acima (ordenada) dos limites de classes (abscissa).

e) Qual a porcentagem de baterias com tempo at falhar superior a 3 anos? Utilizar as ogivas(leitura grfica) e a interpolao algbrica na distribuio de frequncia para responder a estapergunta. Comparar e discutir os resultados obtidos com a proporo obtida diretamente naamostra.

f) Acima de qual valor em anos esto 50%das baterias?g) Qual a porcentagem de baterias com tempo at falhar inferior a 8 anos?

h) Obter o tempo em que 20% das baterias falham antes deste valor? Determinar, tambm, otempo em que, alm dele, apenas 20% das baterias falham.Obs. Utilize nos casos1f,1ge 1ha distribuio de frequncia para realizar os clculos.

2) Os dados a seguir referem-se ao nmero de empresas/ano que decretaram falncia observadas emn= 85anos na cidade de Lavras, MG.

Empresas Frequncias

0 361 192 163 74 45 26 1

a) Obter o grfico da ocorrncia de empresas falidas.

b) possvel, em sua opinio, encontrar um ano em que mais de seis empresas venham a falir?Justificar sua resposta.

c) Qual a natureza da distribuio de frequncias? (simtrica, assimtrica direita ou esquerda)d) Existe diferena entre a varivel apresentada neste exerccio e a do exerccio1? Se afirmativo ,

qual a diferena?

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Resoluo

1) Antes de realizar-se qualquer anlise, ordena-se o conjunto de dados, obtendo:

0,45 0,60 0,76 1,13 1,39 1,69 1,91 2,03 2,52 2,603,03 4,19 5,07 5,63 5,91 6,36 8,52 8,78 12,04 12,58

a) Para agrupar os dados deve-se obter:

O nmero de classe dado por k =

n =

20 4 e amplitude total por A = x(20) x(1) =12,580,45 = 12,13. Assim, a amplitude de classe dada por c = A/(k1) = 12,13/3 4,04e olimite inferior da primeira classe porLI1= x(1)c/2 = 0,454,04/2 = 1,57. Os demais limitesde classe so obtidos somando-se c = 4,04 aos limites anteriormente obtidos. A distribuio defrequncias obtida desta forma :

Classes dos tempos Xi Fi F ri F pi(%)

1,57 2,47 0,45 8 0,40 402,47 6,51 4,49 8 0,40 406,51 10,55 8,53 2 0,10 10

10,55 14,59 12,58 2 0,10 10

b) O histograma e o polgono de frequncias foram plotados em um mesmo grfico, obtendo:

x

Fi

3,59 0,45 4,49 8,53 12,58 16,62

2

8

0

c) A distribuio de frequncia acumuladas abaixo de e acima de

Limites F C(X < Xi) F C(X Xi)1,57 0 20

2,47 8 126,51 16 4

10,55 18 214,59 20 0

d) As ogivas so:

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x

Fc

1,57 2,47 6,51 10,55 14,592

4

6

810

12

14

16

18

20

0

Fc

Fc

e) Acima de3anos, pela ogiva, esto aproximadamente10,5baterias. Se20 baterias correspondema100%, ento 10,5correspondem a 10,5 100/20% = 52,5%.Utilizando a interpolao na distribuio de frequncias, tem-se: As duas ltimas classes possuem

tempos de falhas superiores a 3. Se as suas frequncias forem somadas, tm-se 4 baterias,certamente com tempo de falha superior a 3 anos. Assim, tem-se a segunda classe que possui8 baterias com valores entre 2,47 e 6,51. necessrio identificar quantas das 8 so superioresa 3 anos, ou seja, quantas possuem tempo de falha entre 3e 6,51. Para isso faz-se a suposioque a distribuio dos dados em cada classe uniforme e estima-se a frequncia de bateriasque superam o tempo de 3 anos na classe em questo. A variao na classe toda de 4,04 ecorresponde a uma frequncia de 8 baterias. A variao de 3 a 6,51, que corresponde a variaode tempo de falhas das baterias que possuem valores superiores a 3 anos, 6,51 3 = 3,51.Assim,

Variao Frequncias

4,04 83,51 x

Logo, x = (8 3,51)/4,04 = 6,95. Portanto, tm-se 6,95 + 4 = 10,95 baterias com tempo defalha superior a3 anos, o que corresponde a10,95 100/20% = 54,75%.Finalmente, pode-se obter a contagem direta na amostra original. O nmero de baterias comtempo de falha superior a 3 anos 10, correspondendo a10 100/20% = 50,0%.Os trs mtodos apresentaram resultados parecidos. A contagem direta na amostra a maisprecisa, mas pode-se observar que a utilizao da tabela de frequncias e o grfico das ogivas so,relativamente, eficientes, pois a diferena em pontos percentuais no ultrapassou 5%. naturalque, ao se simplificar a informao por meio de tabelas e grficos, haja uma perda de preciso,mas espera-se que ainda seja confivel utilizar os dados sumariados para extrair informaesteis a respeito do que se est estudando.

f) A percentagem de 50%corresponde a 10baterias. Se for utilizado o seguinte raciocnio: acimade10,55esto apenas 2 baterias, acima de6,51, esto4 baterias, as duas da classe e as duas daclasse posterior, e acima de 2,47 esto 12 baterias, as 8 da classe e as 4das classes posteriores.Assim, pode-se concluir que o tempo de falha que deixa 10 baterias acima dele est entre 2,47e6,51. Se este nmero for denominado de y , conclu-se que entre y e 6,51 tem-se 6 baterias, poisacima de y , sem limite superior, h 10baterias e acima de 6,51h 4. Logo, basta realizar umaregra de trs simples. Se a variao entrey e 6,51for denominada de x, o valor dey poder sercalculado por y = 6,51 x. Entre 2,47 e 6,51 h uma variao de 4,04 (amplitude de classe) ecorresponde a 8 baterias e entre y e 6,51 h uma variao de x, correspondendo a 6 baterias.

Logo,Variao Frequncias

4,04 8x 6

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Logo,x = (6 4,04)/8 = 3,03. Portanto, tm-sey = 6,51 3,03 = 3,48anos. Portanto 50% dasbaterias possuem tempo de falha superior a 3,48 anos.

g) A porcentagem de baterias com tempo de falha inferior a 8anos pode ser computada da seguinteforma. O valor 8anos pertence a terceira classe e todas as baterias das duas primeiras classes,16, possuem tempos de falha inferiores a 8. necessrio determinar na terceira classe, quantasdas duas baterias possuem tempos de falhas inferiores a 8 anos. Assim, realiza-se a seguinte

regra de trs:

Variao Frequncias4,04 2

8 6,51 = 1,49 xLogo,x = (21,49)/4,04 = 0,74baterias possuem tempo de falha entre 6,51e8anos. Portanto,tem-se 16 + 0,74 = 16,74 baterias com tempo de falha inferior a 8 anos, totalizando 100 16,74/20 = 83,7%das baterias.

h) Para se determinar tempo de falha que deixa20%das baterias,4, abaixo dele, tem-se que aplicarregras de trs semelhantes s anteriores. Verifica-se que abaixo de2,47 anos tem-se 8 baterias,indicando que o tempo de falha almejado est na primeira classe. Assim,

Variao Frequncias4,04 8

x 4

Logo,x = (44,04)/8 = 2,02representa a variao em tempo de falha das baterias entre 1,57eyanos. Portanto, tem-se20%das baterias com tempo de falha inferior a y = 1,57+2,02 = 0,45anos.Para se determinar tempo de falha que deixa 20% das baterias, 4, acima dele, verifica-se quealm dos 6,51 anos existem 4 baterias, indicando que o tempo de falha almejado exatamenteeste limite. Assim, tem-se que 20%das baterias possuem tempo de falha superior a 6,51anos.

2) A varivel nmero de empresas falidas por ano foi analisada da seguinte forma:

a) O grfico da ocorrncia de empresas falidas/ano dado por:

x

Fi

0 1 2 3 4 5 60

36

19

16

7

42

b) possvel encontrar tal ano, mesmo em uma regio (municpio) que tem baixa incidncia defalncias de empresas como essa. Para isso necessrio apenas aumentar o tamanho da amos-tra, pois anos com tal nmero de falncia, pelo que indica os dados e o grfico anterior, sopotencialmente pouco provveis na populao amostrada.

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c) A natureza da distribuio assimtrica direita.

d) Sim, a varivel do exerccio1 quantitativa contnua e a varivel do exerccio atual quantitativadiscreta.

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