Aula 03 – Lógica

Ilustração de John Tenniel para o livro “Alice Através do Espelho e o Que Ela Encontrou por Lá” de Lewis Carroll

O que é a lógica?

Lógica é o estudo da maneira correta de raciocinar.

Como a filosofia é uma atividade que busca responder questões de maneira racional, a lógica é uma ferramenta de extrema importância.

Origens da Lógica

A lógica nasce juntamente com o pensamento filosófico da Grécia Antiga.

Já nos pré-socráticos havia uma tentativa de compreender a realidade de modo mais racional.

Os sofistas utilizavam da lógica para elaborar argumentos que vencessem uma discussão. Protágoras (481 aC – 420 aC) e Górgias (483 aC – 376 aC) foram os sofistas mais conhecidos.

Origens da Lógica

Platão desenvolveu um modo de pensar baseado na dialética, no entendimento da época, a arte do debate: os textos dele eram feitos em formato de diálogo.

Mas foi com Aristóteles, discípulo de Platão, que a lógica começou a ser estudada com mais cuidado.

Aristóteles

Lógica Aristotélica

Aristóteles pode ser considerado um precursor da lógica formal, ou seja, uma lógica analisada de maneira mais rigorosa.

A base da lógica aristotélica está nas proposições.

Proposições são sentenças que podem assumir um valor de verdade (verdadeiro ou falso).

Proposições podem apresentar termos (como “homem” ou “cão”), mas esses termos isolados não contém valor de verdade.

Lógica Aristotélica

Exemplo:

A sentença “Algum homem tem um cão.”

Essa sentença completa é uma proposição que pode ser verdadeira ou falsa.

Mas “homem” e “cão” isolados não assumem valor de verdade.

Lógica Aristotélica

Proposições da lógica aristotélica que envolvam Todo, Algum ou Nenhum são o que chamamos hoje de proposições categóricas.

Quadrado lógico das quatro proposições categóricas básicas: A, E, I e O.

Lógica Aristotélica

A lógica aristotélica segue alguns princípios básicos.

Princípio da Negação

Uma proposição que é negada tem seu valor de verdade invertido.

Exemplo:Primeira proposição: “Uma galinha é uma ave”Segunda proposição: “Uma galinha não é uma ave”

A segunda é negação da primeira. Se a primeira for verdadeira, a segunda será falsa. Se a primeira for falsa, a segunda será verdadeira.

Lógica Aristotélica

Princípio da Não-Contradição

Uma mesma proposição não pode ser verdadeira e ao mesmo tempo também ser falsa.

Exemplo:

“Uma galinha é uma ave e uma galinha não é uma ave”

Lógica Aristotélica

Princípio do Terceiro Excluído

Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. Para Aristóteles não há terceira opção!

Exemplo:

“Uma galinha é uma ave ou uma galinha não é uma ave”

Lógica Aristotélica

Silogismo

É um processo de raciocínio dedutivo. Partimos de uma premissa (pressuposto) universal e de uma premissa particular para tirarmos uma conclusão.

Exemplo:

Premissa 1 (universal): Todo homem é mortal.

Premissa 2 (particular): Sócrates é homem.

Conclusão: Sócrates é mortal.

Lógica Moderna

Com o passar dos séculos, a lógica se aproximou muito da matemática.

Gottlob Frege (1848 - 1925), um lógico do século XX, elaborou uma nova notação para falar em termos lógicos.

Nasce assim a lógica moderna, cujas principais divisões são a lógica proposicional e a lógica quantificacional.

Frege

Lógica Moderna

Lógica proposicional

Denotamos cada proposição por uma letra minúscula.

p, q, r, …

Cada proposição pode assumir um valor de verdade: verdadeiro (V) ou falso (F).

E ligamos essas proposições por conectivos lógicos.

Daí podemos analisar a tabela de verdade para cada composição de proposições (fórmulas).

Lógica Moderna

Negação (¬): Inverte o valor de verdade da proposição p.

p ¬p

V F

F V

Lógica Moderna

Conjunção (&): Só é verdadeira quando as duas proposições p e q forem verdadeiras. Leia p & q como “p e q”.

p q p & q

V V V

V F F

F V F

F F F

Lógica Moderna

Disjunção (v): Só é falsa quando as duas proposições p e q forem falsas. Lemos p v q como “p ou q”.

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

Lógica Moderna

Implicação (→): Só é falsa quando a primeira proposição for verdadeira e a segunda for falsa. Leia p→q como “p implica q” ou “se p, então q”.

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

Lógica Moderna

Exemplos

O princípio aristotélico da não-contradição em lógica moderna seria escrever p & ¬p. Só há duas linhas possíveis de acordo com a tabela de verdade abaixo:

p ¬p p & ¬p

V F F

F V FExercício: como ficaria a tabela de verdade do princípio do terceiro excluído?

Lógica Moderna

Lógica Quantificacional

Lógica Quantificacional (ou Teoria de Quantificação ou Lógica de Primeira Ordem) é mais ampla que a lógica proposicional, englobando predicados e quantificadores.

Com essa lógica podemos expressar melhor as proposições categóricas e os silogismos.

Lógica Moderna

Exemplo de quantificação universal.

Pegue a proposiçaõ “Todo homem é mortal.”

Em lógica quantificacional:

∀x (Hx → Mx)

Traduzindo: Para todo x temos que se x é homem, então x é mortal.

∀x: para todo xHx: x é homem (predicado)Mx: x é mortal (predicado)

Lógica Moderna

Exemplo de quantificação existencial.

Tome a proposição “Alguns homens são pais.”

Em lógica quantificacional:

∃x (Hx & Px)

Traduzindo: Existe algum x tal que x é homem e também é pai.

∃x : existe algum xHx: x é homem (predicado)Px: x é mortal (predicado)

Lógica Moderna

Mas silogismos também podem ser analisados em termos de teoria de conjuntos.

M: conjuntos dos mortais.H: conjuntos dos homens.

M

H

Nesse diagrama de Venn expressamos a proposição “Todo homem é mortal”.

Argumentação

A noção de implicação pode ser útil para a avaliação de um argumento, ou seja, uma justificativa racional para a aceitação do valor de verdade de uma proposição.

Um argumento certamente será válido se conseguir ser encaixado em uma implicação necessária, ou seja, se uma conjunção de premissas levar necessariamente a uma conclusão verdadeira (como é o caso de um silogismo).

Argumentação

Exemplo: Faltei na reunião, pois meu carro quebrou.

Premissa 1 (P1): Se meu carro quebrar, então não tenho transporte.Premissa 2 (P2): Se não tenho transporte, então não tenho como ir à reunião.Premissa 3 (P3): Meu carro quebrou.

Conclusão (C): Não posso ir à reunião.

O argumento será válido se a conjunção das três premissas (P1&P2&P3) implicar necessariamente na conclusão C.

Argumentação

Então:

(P1&P2&P3) → C

Pela tabela de verdade, a implicação será falsa quando as premissas forem verdadeiras e a conclusão for falsa.

Se alguma das premissas for falsa, a conclusão pode ser verdadeira ou falsa (conferir tabela de verdade). Nesse caso, a conclusão não seria necessária!

Sendo assim, para um argumento ser válido, tanto as premissas quanto a conclusão precisam ser verdadeiras.

Argumentação

No exemplo dado, o argumento se tornará inválido se uma das premissas for falsa ou se a conclusão for falsa.

Você pode, por exemplo, negar uma das premissas: se seu carro quebrar, você não fica necessariamente sem transporte (você pode pegar um táxi ou um ônibus).

Repare que validade não é a mesma coisa que verdade.

Um argumento pode ser verdadeiro e ainda assim ser inválido (ele pode ter premissas falsas e uma conclusão verdadeira, ou seja, uma implicação verdadeira de acordo com a tabela de verdade).

Argumentação

Falácia

Um argumento não válido é chamado de falácia.

Sofisma

Sofisma é uma falácia elaborada com a intenção de parecer verdadeira.

Tem esse nome por conta dos filósofos sofistas que utilizavam de processo racional com a intenção de sempre vencerem o debate.

Argumentação

Exemplo de Falácia

P1: Alguns biscoitos são feitos de água e sal.P2: O mar é feito de água e sal.

C (Conclusão): O mar é um biscoito gigante!

P1 e P2 são verdadeiras, mas a conclusão é evidentemente falsa.

Sendo assim, o argumento é inválido.

Paradoxos

Pelo princípio da não-contradição não podemos ter uma proposição verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

No entanto, algumas proposições parecem contraditórias, em especial, proposições autorreferenciais (que falam de si mesmas).

Paradoxos

Paradoxo do Mentiroso

“Esta frase é uma mentira”

Se ela for verdadeira, então é falsa.

Se ela for falsa, então é verdadeira.

Mas se for verdadeira, então é falsa...

Paradoxos

Paradoxo de Russell

Bertrand Russell (1872 – 1970) trabalhou alguns problemas relativos a questões de autorreferência.

Pela teoria de conjuntos, nada impede que se tenha um conjunto de conjuntos.

Exemplo:

A = {{B}, {C}}

{B} ϵ A

Paradoxos

Paradoxo de Russell

Nada impede que se tenha um conjunto que seja elemento de si mesmo.

Exemplo:A = {{A}, {B}, {C}}

Sendo assim, há conjuntos que são elementos de si mesmos (se pertencem) e outros que não.

Paradoxos

Paradoxo de Russell

Nesse caso, podemos ter um conjunto S de todos os conjuntos que não se pertencem.

Mas S se pertencerá?

Se sim, S não será um conjunto fechado de todos os conjuntos que não se pertencem.

Se não, S não tem todos os conjuntos que não se pertencem (faltaria o próprio S!)

Paradoxo!

Paradoxos

Paradoxo do Barbeiro

Uma analogia que pode ajudar a entender o paradoxo de Russell:

Um barbeiro de certa cidade barbeia todas as pessoas que não se barbeiam. Ele se barbeia?

Se sim, então ele barbeia uma pessoa que se barbeia (ele mesmo). Contradição.

Se não, então ele não barbeia todas as pessoas que não se barbeiam (ele mesmo, de novo!). Outra contradição!

Paradoxos

Como resolver esses paradoxos?

Russell concluiu que sentenças autorreferenciais não podem ser classificadas no mesmo nível que as sentenças comuns.

Um conjunto que pertença a si mesmo deve ser estudado em uma classe diferente de conjuntos.

Paradoxos

Teorema da Incompletude

Kurt Gödel (1906 – 1978) utilizou essa questão da autorreferência para mostrar que nenhum sistema lógico é completo e consistente, em outras palavras, não é possível demonstrar todas as proposições geradas em um sistema lógico sem cair em contradição.

Paradoxos

Teorema da Incompletude

Pense no sistema lógico da nossa própria linguagem.

Podemos elaborar a proposição: “É impossível provar que esta proposição é verdadeira”

→ Se ela for verdadeira, então não pode ser provada.→ Se ela for falsa, pode ser provada que é verdadeira, mas seria uma contradição (pois estamos dizendo que ela é falsa!).

Sendo assim, um sistema lógico terá proposições inconsistentes.

Problemas Lógicos

A lógica pode ser utilizada para solucionar certos tipos de problema.

Um exemplo típico é o problema das duas portas.

Problemas Lógicos

Problema das duas portas

Você está preso em um labirinto e encontra duas portas. Uma leva para a saída e a outra para uma armadilha que certamente irá te matar. Você não sabe qual é a certa. Cada porta é protegida por uma guardiã. As duas sabem qual porta é qual. Mas você só pode fazer uma, e apenas uma, pergunta que tenha Sim ou Não como resposta para apenas uma delas. Acontece que uma dessas guardiãs sempre mente e a outra sempre fala a verdade, mas você não sabe quem é quem. Que pergunta você deve fazer?

Problemas Lógicos

Solução

Precisamos ter em mente que queremos saber qual é a porta correta e não qual guardiã fala a verdade.

Sendo assim, se tivermos uma resposta que nos oriente para a porta correta, solucionaremos o problema.

Não sabemos quem mente, mas sabemos que a mentirosa sempre inverterá a resposta correta.

Assim, podemos pensar nas possibilidades.

Problemas Lógicos

Se falar a verdade

e guardar a saída, ela responde:

Se mentir e guardar a saída, ela responde:

Se falar a verdadee não

guardar a saída, ela responde:

Se mentir e não guardar a saída, ela responde:

Guarda a saída?

Sim Não Não Sim

A outra guardiã guarda

a saída?

Não Sim Sim Não

A outra guardiã diria que guarda a saída?

Sim Sim Não Não

Problemas Lógicos

Se falar a verdade

e guardar a saída

Se mentir e guardar a

saída

Se falar a verdadee não

guardar a saída

Se mentir e não

guardar a saída

Guarda a saída?

Sim Não Não Sim

A outra guardiã

guarda a saída?

Não Sim Sim Não

A outra guardiã diria que guarda a

saída?

Sim Sim Não Não

Problemas Lógicos

De acordo com a tabela anterior, a pergunta “A outra guardiã diria que guarda a saída?” terá Sim como resposta se ela guardar a saída, independente da guardiã que você perguntar ser mentirosa ou não.

Sendo assim, uma solução possível seria perguntar justamente “A outra guardiã diria que guarda a saída?”

Raymond Smullyan é um lógico contemporâneo responsável pela criação de vários enigmas desse tipo. Obras famosas: Alice no País dos Enigmas, O Enigma de Sheherazade, A Dama e o Tigre.

Exercícios

1) Construa a tabela de verdade das seguintes fórmulas:

p & (p v q)

p → (p&q)

p & ¬q

(p → q) & (q → p)

Exercícios

2)

Leia o texto abaixo:

“A população mundial quadruplicou desde 1900 e o consumo de água, no mesmo período, aumentou quase dez vezes, esse crescimento populacional exige maior demanda de recursos hídricos, que não pode ser atendida pelo ciclo natural hidrográfico e consequentemente a qualidade da água é progressivamente prejudicada.”

Marcus Augusto da Silva Braga. Texto original publicado em: http://www.sermelhor.com.br/ecologia/sobre-a-agua-e-a-falta-dagua.html

Identifique o argumento (premissas e conclusão) apresentado.

Exercícios

3) Um homem precisa levar uma raposa, uma galinha e uma espiga de milho para a outra margem de um rio utilizando um barco. No entanto, ele não pode levar mais do que dois deles ao mesmo tempo neste barco. Se ele deixar a raposa sozinha com a galinha, a raposa devora a galinha. Se ele deixar a galinha sozinha com a espiga de milho, a ave come o milho. Como ele poderá levar os três (raposa, galinha e milho) para o outro lado do rio?

Exercícios

4) Em certo local há um hospício onde os pacientes sofrem da seguinte loucura: eles acreditamque todas as proposições falsas são verdadeiras e que todas as proposições verdadeiras são falsas. Sendo assim, um louco desse local acreditaria que 2 + 2 = 4 é mentira, mas que1 + 1 = 3 é verdade. Os médicos do local são mentalmente saudáveis e acreditam que proposições verdadeiras são verdadeiras e proposições falsas são falsas.

Imagine que você chegue nesse local e não saiba reconhecer quem são os médicos e quem são os pacientes. Ao se aproximar de dois dos habitantes (vamos chamá-los de A e B) do hospício, A diz que ambos são pacientes (ou seja, ambos loucos). Isso é verdade?

Exercícios

5) Um grupo de pessoas com olhos de diferentes cores mora numa ilha. Elas são perfeitas em seus pensamentos lógicos, se uma conclusão pode ser deduzida logicamente, elas a farão instantaneamente. Ninguém sabe a cor de seus próprios olhos. Toda noite, à meia-noite, uma balsa chega na ilha. Qualquer uma que descobrir a cor de seus próprios olhos deixa a ilha e o resto fica. Qualquer uma pode ver qualquer uma o tempo todo e sabem a contagem do número de pessoas que elas veem com cada cor dos olhos (excluindo a si próprias), mas elas não podem se comunicar. Todos na ilha conhecem as regras deste parágrafo.

Nessa ilha há 100 pessoas de olhos azuis, 100 pessoas de olhos castanhos e a Guru (ela tem olhos verdes). Então, qualquer pessoa de olhos azuis pode ver 100 pessoas de olhos castanhos e 99 de olhos azuis (e uma de olhos verdes), mas isso não lhe diz a cor de seus próprios olhos. Podem imaginar que os totais são 101 castanhos e 99 azuis, ou 100 castanhos, 99 azuis e ela pode ter olhos vermelhos.

A Guru pode falar apenas uma vez (digamos, ao meio-dia) em um único dia de toda eternidade delas na ilha. Em pé em frente aos habitantes da ilha, ela diz o seguinte:

"Eu posso ver alguém que tem olhos azuis."

Quem deixa a ilha, e em que noite?

Lá não há espelhos ou superfícies refletivas. Não é uma pegadinha e a resposta é lógica. Não depende de truque de palavras ou alguém mentindo ou supondo e não envolve pessoas fazendo coisas como comunicação por sinais etc. A Guru não fez sinal com os olhos para alguém em particular, ela simplesmente disse "eu contei pelo menos uma pessoa de olhos azuis nesta ilha que não sou eu".

E finalmente, a resposta não é "ninguém deixou a ilha".

Exercícios

6) Esse problema é conhecido como o problema de lógica mais difícil de todos os tempos.

Três deuses A, B e C são chamados, em alguma ordem, Verdadeiro, Falso, e Acaso. Verdadeiro sempre fala a verdade, Falso sempre fala mentindo, mas se Acaso fala a verdade ou mente é uma questão completamente aleatória. Sua tarefa é determinar a identidade de A, B e C, fazendo três perguntas do tipo sim-não; cada pergunta deve ser colocada para exatamente um deus. Os deuses entendem Português, mas irão responder todas as perguntas na sua própria língua, em que as palavras para sim e não são 'da' e 'ja', em alguma ordem. Você não sabe qual palavra significa sim e por conseguinte qual significa não.

Você pode fazer mais de uma pergunta para o mesmo deus (não é necessário que todos os deuses respondam uma das três perguntas). Essa história do Acaso falar a verdade ou mentir aleatoriamente pode ser entendida como uma moeda que o deus joga mentalmente antes de responder. Se der cara ele fala a verdade, mas se der coroa ele mente. Você não tem como saber o resultado desse lançamento. De qualquer maneira, Acaso responderá Da ou Ja. A resposta de uma pergunta pode depender da pergunta anterior.

Respostas

p q p v q p&q ¬q p → q q → p p & (p v q)

p → (p&q) p & ¬q (p → q) & (q → p)

V V V V F V V V V F V

V F V F V F V V F V F

F V V F F V F F V F F

F F F F V V V F V F V

1)

Respostas

2) “A população mundial quadruplicou desde 1900 e o consumo de água, no mesmo período, aumentou quase dez vezes, esse crescimento populacional exige maior demanda de recursos hídricos, que não pode ser atendida pelo ciclo natural hidrográfico e consequentemente a qualidade da água é progressivamente prejudicada.”

Premissa 1: Se a população e o consumo de água aumentam, então há maior demanda por recursos hídricos.Premissa 2: Se há maior demanda de recursos hídricos, então o ciclo natural hidrográfico não consegue atender essa demanda.Premissa 3: Se o ciclo natural hidrográfico não consegue atender a demanda, então a qualidade da água é prejudicada.

Conclusão: Se a população e o consumo de água aumentam, então a qualidade da água é prejudicada.

Respostas

3)

* Levar a galinha (pois a raposa não vai comer o milho);* Voltar;* Levar o milho e pegar a galinha (para ela não comer o milho);* Voltar com a galinha e pegar a raposa;* Levar a raposa;* Voltar;* Pegar a galinha e levar a galinha.

Respostas

4)

Suponha que A seja médico. Isso significa que ele acredita que proposições verdadeiras são verdadeiras e que proposições falsas são falsas. Se ele diz que ambos (ele e B) são loucos, então ele acredita que isso seja verdade. Se ele for médico, só poderia acreditar em proposições verdadeiras. Mas se for verdade que ambos são loucos, então A não poderia ser médico. Sendo assim, A deve ser louco. Mas um louco acreditaria que uma proposição falsa é verdadeira. Sendo assim, se A é louco, então é falso que ambos sejam loucos. Portanto, A é louco, mas B não é.

Respostas

5)

Suponha exatamente o mesmo enigma, mas ao invés de 201 pessoas tivessemos apenas três: uma de olhos azuis, uma de olhos castanhos e a Guru. Quando a Guru dissesse que há uma pessoa de olhos azuis, a pessoa de olhos azuis poderia pensar o seguinte: “há uma pessoa de olho azul. Se isso é verdade e nenhuma das outras pessoas tem olho azul, logo o meu olho deve ser azul.” Com isso, podemos dizer que com uma pessoa de olho azul na ilha, ela sairá da ilha na primeira noite após o pronunciamento da Guru.

Agora imagine que há duas pessoas de olhos azuis na ilha. Após o pronunciamento da guru, uma das pessoas de olhos azuis (vamos chamá-la de A) poderia pensar o seguinte: “se o meus olhos não forem azuis, então só há mais uma pessoa de olhos azuis na ilha. Como ela perceberá apenas pessoas que não tem olhos azuis, concluirá que os olhos delas são azuis e sairá”. Passa a primeira noite e aquela pessoa não sai. A pensará o seguinte: “Se os meus olhos não fossem azuis, então ela deveria ter saído ontem. Ela não saiu. Logo, os meus olhos devem ser azuis.”

Respostas

5 - Continuação)

Portanto, se há duas pessoas de olhos azuis na ilha, a primeira sairá na segunda noite.

E se houvesse três pessoas de olhos azuis na ilha? Uma delas iria ver as outras duas com olhos azuis e raciocinaria de modo semelhante ao caso acima, com duas pessoas e considerando que o olho dela não deve ser azul. Mas se nenhuma das duas na segunda noite após o pronunciamento da Guru, então significa que o olho dela deve ser azul e poderia sair na terceira noite. Nesse caso, com três pessoas, a primeira sairá na terceira noite após o pronunciamento.

Expandindo esse raciocínio, você perceberá que para n pessoas de olhos azuis, a primeira pessoa de olhos azuis sairá na n-sima noite após o pronunciamento da Guru. Sendo assim, para 100 pessoas de olhos azuis, uma pessoa de olhos azuis sairá na centésima noite.

Respostas

4)

A solução é um pouquinho complexa...

Acesse http://criticanarede.com/puzzle.html para conferir.

Até a próxima aula!