Algebra Linear – AL

Luiza Amalia Pinto CantaoDepto. de Engenharia Ambiental

Universidade Estadual Paulista – UNESP

luiza@sorocaba.unesp.br

Autovalores e Autovetores

1 Definicao e Exemplos

2 Polinomio Caracterıstico

3 Diagonalizacao

Autovalores e Autovetores

Atencao: Nesta secao consideraremos somente matrizes quadradas, ouseja, An×n.

Definicao: Seja An×n. O numero λ e chamado de autovalor de A seexistir um vetor nao-nulo x ∈ Rn tal que

Ax = λx (1)

Todo vetor x nao-nulo que satisfaz (1) e chamado de um autove-tor de A associado ao autovalor λ. Os autovalores tambem saochamados de valores proprios, ou de valores caracterısticos; eos autovetores tambem sao chamados de vetores proprios ou devetores caracterısticos.

Autovalores e Autovetores: Exemplos

Exemplo (1) Se A e a matriz identidade In entao o unico autovalor eλ = 1; todo vetor nao-nulo em Rn e um autovetor de A associadocom o autovalor λ = 1:

Inx = 1x

Exemplo (2) Seja A =

[0 1

212 0

]. Entao:

A

[11

]=

[0 1

212 0

] [11

]=

[ 1212

]=

1

2

[11

]

de modo que x1 =

[11

]e um autovetor de A associado ao autovalor

λ1 = 12.

Exemplo (3) Considere a matriz do Exercıcio (2). Calcule o autovalor

λ2, para o autovetor x2 =

[1

−1

].

Autovalores e Autovetores – Exemplo (cont. 1)

Exemplo (4) Seja A =

[0 00 1

]. Calcule os autovalores λ1 e λ2 para

os autovetores x1 =

[10

]e x2 =

[01

].

Observacao: Embora o autovetor nao possa ser o vetor nulo (de-finicao), o autovalor pode ser o numero zero.

Exemplo (5) Seja A =

[1 1

−2 4

]. Encontre os autovalores de A e

seus autovetores associados. Ou seja, encontre todos os numeros λ

e todos os vetores nao-nulos x =

[x1x2

]tal que:[

1 1−2 4

] [x1x2

]= λ

[x1x2

]

Calculando Autovalores e Autovetores

Definicao: Seja An×n. O determinante

f (λ) = det(λIn − A) = det

λ− a11 −a12 · · · −a1n

−a21 λ− a22 · · · −a2n... ... . . . ...

−an1 −an2 · · · λ− ann

e chamado de polinomio caracterıstico de A. A equacao

f (λ) = det(λIn − A) = 0

e chamada de equacao caracterıstica de A.

Exemplo (6) Seja A =

1 2 −11 0 14 −4 5

. Encontre o polinomio carac-

terıstico.

Autovalores e Autovetores: Teorema

Teorema 1 Os autovalores de A sao as raızes do polinomio carac-terıstico de A.

Demonstracao Seja λ um autovalor de A com autovetor associado x.Entao Ax = λx, que pode ser rescrito como

Ax = (λIn)x ou (λIn − A)x = 0

um sistema homogeneo de n equacoes e n incognitas. Este sistematem uma solucao nao-trivial se e somente se o determinante de suamatriz de coeficientes se anular, isto e, se e somente se det(λIn −A) = 0.

Reciprocamente, se λ e uma raiz do polinomio caracterıstico de A,entao det(λIn−A) = 0, logo o sistema homogeneo (λIn−A)x = 0tem solucao nao-trivial x. Portanto λ e um autovalor de A.

Autovalores e Autovetores: Exercıcios e Procedimento

Exercıcio (7) Seja A =

1 2 −11 0 14 −4 5

. Calcule os autovalores e seus

autovetores associados.

Exemplo (8) Calcule os autovalores e autovetores associados de

A =

0 0 31 0 −10 1 3

.

Procedimento Para encontrar os autovalores e autovetores associadosde uma matriz considere as seguines etapas:

Etapa 1 Determine as raızes do polinomio caracterıstico f (λ) = det(λIn−A). Estes sao os autovalores de A.

Etapa 2 Para cada autovalor λ, encontre todas as solucoes nao-triviais parao sistema homogeneo (λIn − A)x = 0. Estes sao os autovetoresde A associados ao autovalor λ.

Diagonalizacao: Matrizes Semelhantes

Definicao Uma matriz B e dita semelhante a uma matriz A se hauma matriz invertıvel P tal que

B = P−1AP.

Exemplo (9) Seja A =

[1 1

−2 4

](Exemplo (5)). Definimos P =[

1 11 2

]com P−1 =

[2 −1

−1 1

]. Assim,

B = P−1AP =

[2 −1

−1 1

] [1 1

−2 4

] [1 11 2

]=

[2 00 3

]Propriedades Elementares validas para semelhanca:

1. A e semelhante a A.

2. Se B e semelhante a A, entao A e semelhante a B.

3. Se A e semelhante a B e B e semelhante a C, entao A e seme-lhante a C.

Diagonalizacao: Definicao

Definicao Dizemos que a matriz A e diagonalizavel se ela for seme-lhante a uma matriz diagonal. Neste caso, dizemos tambem que Apode ser diagonalizada.

Exemplo (10) Sejam A e B do Exemplo (9), entao A e diagonalizavel,uma vez que e semelhante a B.

Teorema (2) Matrizes semelhantes tem os mesmos autovalores.

Demonstracao Sejam A e B semelhantes. Entao B = P−1AP , paraalguma matriz P invertıvel. Vamos provar que A e B tem os mesmospolinomios caracterısticos, fA(λ) e fB(λ), respectivamente. Temos

fB(λ) = det(λIn −B) = det(λIn − P−1AP )= det(P−1λInP − P−1AP ) = det(P−1(λIn − A)P )= det(P−1)det(λIn − A)det(P )= det(P−1)det(P )det(λIn − A)= det(λIn − A) = fA(λ)

Como fA(λ) = fB(λ), segue que A e B tem os mesmos autovalores.

Diagonalizacao: Teorema

Teorema 3 Uma matriz n×n e diagonalizavel se e somente se ela tivern autovetores linearmente independentes.

Demonstracao (=⇒) Suponha que A seja semelhante a D. EntaoP−1AP = D, uma matriz diagonal, logo AP = PD. Seja

D =

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0... ...0 · · · 0 λn

,

e seja xj, j = 1, 2, . . . , n, a j-esima coluna de P . A j-esima colunada matriz AP e Axj e a j-esima coluna de PD e λjxj. Assim, comoAP = PD, temos:

Axj = λjxj.

Como P e uma matriz invertıvel, suas colunas sao L.I.. Portanto, λj

e um autovalor de A e xj e um autovetor correspondente.

Diagonalizacao: Teorema 3 (Continuacao)

Demonstracao (⇐=) Considere λ1, λ2, . . . , λn, como n autovalores deA e que os autovetores x1,x2, . . . ,xn correspondentes sao L.I.. SejaP = [x1 x2 . . . xn] a matriz cuja j-esima coluna e xj. Comoas colunas de P sao L.I., P e invertıvel. De Axj = λjxj obtemosAP = PD, que implica que A e diagonalizavel.

Exemplo (11) Considere a matriz A do Exemplo (9), cujos autovaloresλ1 = 2 e λ2 = 3 foram encontrados no Exemplo (5).

Exemplo (12): Seja A =

[1 10 1

]. Os autovalores de A sao λ1 = 1

e λ2 = 1. Os autovetores associados a λ1 e λ2 sao vetores do tipo[k0

], k∗ ∈ R. Como A nao possui dois autovetores L.I., A nao e

diagonalizavel.

Diagonalizacao: Teorema 4

Teorema (4) Se as raızes do polinomio caracterıstico de uma matrizAn×n sao todas distintas, entao A e diagonalizavel.

Exemplo (13) Verifique se A =

0 0 10 1 20 0 1

e diagonalizavel.

Exemplo (14) Verifique se A =

0 0 00 1 01 0 1

e diagonalizavel.

Procedimento para Diagonalizacao de uma matrizAn×n

Etapa 1 Forme o polinomio caracterıstico f (λ) = det(λIn−A) de A.

Etapa 2 Encontre as raızes do polinomio caracterıstico de A.

Etapa 3 Para cada autovalor λj de A de multiplicidade kj, encontreuma base para o espaco de (λjIn − A)x = 0 (o auto-espaco as-sociado a λj). Se a dimensao do auto-espaco for menor do que kj,entao A nao e diagonalizavel. Assim, determinamos n autovetoresL.I. de A.

Etapa 4 Seja P uma matriz cujas colunas sao n autovetores L.I. de-terminados na Etapa 3. Entao, P−1AP = D e uma matriz diagonalcujos elementos da diagonal sao os autovalores de A que correspon-dem as colunas de P .

The End !