Algebra Linear – AL
Luiza Amalia Pinto CantaoDepto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
Autovalores e Autovetores
1 Definicao e Exemplos
2 Polinomio Caracterıstico
3 Diagonalizacao
Autovalores e Autovetores
Atencao: Nesta secao consideraremos somente matrizes quadradas, ouseja, An×n.
Definicao: Seja An×n. O numero λ e chamado de autovalor de A seexistir um vetor nao-nulo x ∈ Rn tal que
Ax = λx (1)
Todo vetor x nao-nulo que satisfaz (1) e chamado de um autove-tor de A associado ao autovalor λ. Os autovalores tambem saochamados de valores proprios, ou de valores caracterısticos; eos autovetores tambem sao chamados de vetores proprios ou devetores caracterısticos.
Autovalores e Autovetores: Exemplos
Exemplo (1) Se A e a matriz identidade In entao o unico autovalor eλ = 1; todo vetor nao-nulo em Rn e um autovetor de A associadocom o autovalor λ = 1:
Inx = 1x
Exemplo (2) Seja A =
[0 1
212 0
]. Entao:
A
[11
]=
[0 1
212 0
] [11
]=
[ 1212
]=
1
2
[11
]
de modo que x1 =
[11
]e um autovetor de A associado ao autovalor
λ1 = 12.
Exemplo (3) Considere a matriz do Exercıcio (2). Calcule o autovalor
λ2, para o autovetor x2 =
[1
−1
].
Autovalores e Autovetores – Exemplo (cont. 1)
Exemplo (4) Seja A =
[0 00 1
]. Calcule os autovalores λ1 e λ2 para
os autovetores x1 =
[10
]e x2 =
[01
].
Observacao: Embora o autovetor nao possa ser o vetor nulo (de-finicao), o autovalor pode ser o numero zero.
Exemplo (5) Seja A =
[1 1
−2 4
]. Encontre os autovalores de A e
seus autovetores associados. Ou seja, encontre todos os numeros λ
e todos os vetores nao-nulos x =
[x1x2
]tal que:[
1 1−2 4
] [x1x2
]= λ
[x1x2
]
Calculando Autovalores e Autovetores
Definicao: Seja An×n. O determinante
f (λ) = det(λIn − A) = det
λ− a11 −a12 · · · −a1n
−a21 λ− a22 · · · −a2n... ... . . . ...
−an1 −an2 · · · λ− ann
e chamado de polinomio caracterıstico de A. A equacao
f (λ) = det(λIn − A) = 0
e chamada de equacao caracterıstica de A.
Exemplo (6) Seja A =
1 2 −11 0 14 −4 5
. Encontre o polinomio carac-
terıstico.
Autovalores e Autovetores: Teorema
Teorema 1 Os autovalores de A sao as raızes do polinomio carac-terıstico de A.
Demonstracao Seja λ um autovalor de A com autovetor associado x.Entao Ax = λx, que pode ser rescrito como
Ax = (λIn)x ou (λIn − A)x = 0
um sistema homogeneo de n equacoes e n incognitas. Este sistematem uma solucao nao-trivial se e somente se o determinante de suamatriz de coeficientes se anular, isto e, se e somente se det(λIn −A) = 0.
Reciprocamente, se λ e uma raiz do polinomio caracterıstico de A,entao det(λIn−A) = 0, logo o sistema homogeneo (λIn−A)x = 0tem solucao nao-trivial x. Portanto λ e um autovalor de A.
Autovalores e Autovetores: Exercıcios e Procedimento
Exercıcio (7) Seja A =
1 2 −11 0 14 −4 5
. Calcule os autovalores e seus
autovetores associados.
Exemplo (8) Calcule os autovalores e autovetores associados de
A =
0 0 31 0 −10 1 3
.
Procedimento Para encontrar os autovalores e autovetores associadosde uma matriz considere as seguines etapas:
Etapa 1 Determine as raızes do polinomio caracterıstico f (λ) = det(λIn−A). Estes sao os autovalores de A.
Etapa 2 Para cada autovalor λ, encontre todas as solucoes nao-triviais parao sistema homogeneo (λIn − A)x = 0. Estes sao os autovetoresde A associados ao autovalor λ.
Diagonalizacao: Matrizes Semelhantes
Definicao Uma matriz B e dita semelhante a uma matriz A se hauma matriz invertıvel P tal que
B = P−1AP.
Exemplo (9) Seja A =
[1 1
−2 4
](Exemplo (5)). Definimos P =[
1 11 2
]com P−1 =
[2 −1
−1 1
]. Assim,
B = P−1AP =
[2 −1
−1 1
] [1 1
−2 4
] [1 11 2
]=
[2 00 3
]Propriedades Elementares validas para semelhanca:
1. A e semelhante a A.
2. Se B e semelhante a A, entao A e semelhante a B.
3. Se A e semelhante a B e B e semelhante a C, entao A e seme-lhante a C.
Diagonalizacao: Definicao
Definicao Dizemos que a matriz A e diagonalizavel se ela for seme-lhante a uma matriz diagonal. Neste caso, dizemos tambem que Apode ser diagonalizada.
Exemplo (10) Sejam A e B do Exemplo (9), entao A e diagonalizavel,uma vez que e semelhante a B.
Teorema (2) Matrizes semelhantes tem os mesmos autovalores.
Demonstracao Sejam A e B semelhantes. Entao B = P−1AP , paraalguma matriz P invertıvel. Vamos provar que A e B tem os mesmospolinomios caracterısticos, fA(λ) e fB(λ), respectivamente. Temos
fB(λ) = det(λIn −B) = det(λIn − P−1AP )= det(P−1λInP − P−1AP ) = det(P−1(λIn − A)P )= det(P−1)det(λIn − A)det(P )= det(P−1)det(P )det(λIn − A)= det(λIn − A) = fA(λ)
Como fA(λ) = fB(λ), segue que A e B tem os mesmos autovalores.
Diagonalizacao: Teorema
Teorema 3 Uma matriz n×n e diagonalizavel se e somente se ela tivern autovetores linearmente independentes.
Demonstracao (=⇒) Suponha que A seja semelhante a D. EntaoP−1AP = D, uma matriz diagonal, logo AP = PD. Seja
D =
λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0... ...0 · · · 0 λn
,
e seja xj, j = 1, 2, . . . , n, a j-esima coluna de P . A j-esima colunada matriz AP e Axj e a j-esima coluna de PD e λjxj. Assim, comoAP = PD, temos:
Axj = λjxj.
Como P e uma matriz invertıvel, suas colunas sao L.I.. Portanto, λj
e um autovalor de A e xj e um autovetor correspondente.
Diagonalizacao: Teorema 3 (Continuacao)
Demonstracao (⇐=) Considere λ1, λ2, . . . , λn, como n autovalores deA e que os autovetores x1,x2, . . . ,xn correspondentes sao L.I.. SejaP = [x1 x2 . . . xn] a matriz cuja j-esima coluna e xj. Comoas colunas de P sao L.I., P e invertıvel. De Axj = λjxj obtemosAP = PD, que implica que A e diagonalizavel.
Exemplo (11) Considere a matriz A do Exemplo (9), cujos autovaloresλ1 = 2 e λ2 = 3 foram encontrados no Exemplo (5).
Exemplo (12): Seja A =
[1 10 1
]. Os autovalores de A sao λ1 = 1
e λ2 = 1. Os autovetores associados a λ1 e λ2 sao vetores do tipo[k0
], k∗ ∈ R. Como A nao possui dois autovetores L.I., A nao e
diagonalizavel.
Diagonalizacao: Teorema 4
Teorema (4) Se as raızes do polinomio caracterıstico de uma matrizAn×n sao todas distintas, entao A e diagonalizavel.
Exemplo (13) Verifique se A =
0 0 10 1 20 0 1
e diagonalizavel.
Exemplo (14) Verifique se A =
0 0 00 1 01 0 1
e diagonalizavel.
Procedimento para Diagonalizacao de uma matrizAn×n
Etapa 1 Forme o polinomio caracterıstico f (λ) = det(λIn−A) de A.
Etapa 2 Encontre as raızes do polinomio caracterıstico de A.
Etapa 3 Para cada autovalor λj de A de multiplicidade kj, encontreuma base para o espaco de (λjIn − A)x = 0 (o auto-espaco as-sociado a λj). Se a dimensao do auto-espaco for menor do que kj,entao A nao e diagonalizavel. Assim, determinamos n autovetoresL.I. de A.
Etapa 4 Seja P uma matriz cujas colunas sao n autovetores L.I. de-terminados na Etapa 3. Entao, P−1AP = D e uma matriz diagonalcujos elementos da diagonal sao os autovalores de A que correspon-dem as colunas de P .
The End !