SISTEMAS CONTNUOS

Vigas

Horacio V. Duarte

18 de Junho de 2015

Esforos em Elemento de Viga

IQ a fora cortante, dQ = Qx dx ;

IM momento etor, dM = Mx dx ;

If (x) a fora distribuida;

Ielemento innitesimal de massa dm = Adx

Balano de Foras em Elemento de Viga

F

y

= dm 2

y

t2= Adx 2

y

t2

Adx2y

t2= Q (Q + dQ) + f (x)dx

Adx2y

t2= Q (Q + Q

xdx) + f (x)dx

simplicando e eliminando dx :

A2y

t2+Q

x= f (x)

Balano de Momentos em Elemento de Viga

Desconsiderando o efeito inrcia de rotao do elemento:M

F

Esq

= M + (M + dM) (Q + dQ)dx f (x)dx dx2

= 0

dM Qdx dQdx f (x)dx2

2

= 0

M

xdx Qdx Q

xdx

2 f (x)dx2

2

= 0

Eliminando termos de segunda ordem dx

2

,

M

x Q = 0

Viga de Euler-Bernoulli

Q =M

xou

Q

x=2M

x2

Da equao obtida a partir do balano de foras

A2y

t2+Q

x= f (x)

A2y

t2+2M

x2= f (x)

Pela teoria de Euler-Bernoulli = dydx

, no h deformao devido ao

cisalhamento e M = EI ddx

= EI d2

y

dx

2

, logo a equao de movimento

ser:

A2y

t2+

2

x2

(EI

d

2

y

dx

2

)= f (x)

Problema Homogneo para Vigas de Seo Constante

A2y

t2+

2

x2

(EI

d

2

y

dx

2

)= f (x)

Da equao de movimento, se a seo transversal, A, a rigidez, EI ,

forem constantes:

A2y

t2+ EI

4y

x4= f (x)

Para problema homogneo

A2y

t2+ EI

4y

x4= 0

denindo a velocidade de propagao da perturbao, velocidade

do som como

C

2 =EI

A

A equao de movimento, para problema homogneo, pode ser

escrita como

2y

t2+ C 2

4y

x4= 0

E uma soluo possvel seria: (separao de variveis)

y(x , t) = Y (x)T (t)

Na equao original

Y (x)2T (t)

t2+ T (t)C 2

4Y (x)

x4= 0

C

2

Y (x)

4Y (x)

x4= 1T (t)

2T (t)

t2= F

como F uma constante arbitrria, as equaes podem ser

separadas:

2T (t)

t2+ FT (t) = 0

C

2

4Y (x)

x4 FY (x) = 0

Propondo soluo do tipo T (t) = Be it e substituindo na equao

2Be it + FBe it = 0 logo F = 2

Se Y (x) = Dex , na equao de deslocamento

C

24Dex FDex = 0

4 =F

C

2

=2

C

2

Denindo 4 = 2

C

2

, ento

1,2 = 3,4 = i

e a soluo ser expressa por:

Y (x) = B1

e

x + B2

e

x + B3

e

ix + B4

e

ix

Com alguma manipulao algbrica chega-se a:

Y (x) = A1

cos(x) + A2

sin(x) + A3

cosh(x) + A4

sinh(x)

E a soluo completa pode ser expressa por

y(x , t) = (A1

cos(x)+A2

sin(x)+A3

cosh(x)+A4

sinh(x))(B cos(t+))

Condies de Contorno para Viga Euler-Bernoulli

Da equao de movimento para problema homogneo:

A2y

t2+ EI

4y

x4= 0

a soluo dada por

y(x , t) = (A1

cos(x)+A2

sin(x)+A3

cosh(x)+A4

sinh(x))(B cos(t+))

As condies de contorno ou de restrio em x = 0 ou x = L;

deslocamento x x = 0 y(0, t) = 0 x = L y(L, t) = 0

deslocamento x = 0 yx (0, t) = 0 x = Lyx (L, t) = 0

engastamento x = 0 y(0, t) = 0 yx (0, t) = 0

engastamento x = L y(L, t) = 0 yx (L, t) = 0

Para extremidade livre x = 0

M(0, t) = 0 EI2y

x2(0, t) = 0

2y

x2(0, t) = 0

Q(0, t) = 0

x

(EI

2y

x2

)(0, t) = 0

3y

x3(0, t) = 0

Para extremidade livre x = L

M(L, t) = 0 EI2y

x2(L, t) = 0

2y

x2(L, t) = 0

Q(L, t) = 0

x

(EI

2y

x2

)(L, t) = 0

3y

x3(L, t) = 0

Determine as condies de contorno da viga se em x = 0 h umartula e em x = L h uma mola de rigidez k (direo dodeslocamento)

em x = 0y(0, t) = 0

EI

2yx2

(0, t) = 0

em x = LEI

2yx2

(L, t) = 0

EI

3yx3

(L, t) = ky(L, t)

Determine as condies de contorno da viga se em x = 0 h umamola de toro, rigidez k

t

, e mola axial de rigidez k (direo do

deslocamento)

em x = 0EI

2yx2

(0, t) = kt

yx (0, t)

EI

3yx3

(0, t) = ky(0, t)

em x = LEI

2yx2

(L, t) = 0

EI

3yx3

(L, t) = 0

Frequncias Naturais de Viga Engastada-Engastada

Condies de contorno para viga engastada-engastada

em x = 0y(0, t) = 0yx (0, t) = 0

em x = Ly(L, t) = 0yx (L, t) = 0

A funo de deslocamento transversal da viga Y (x) e sua derivada:

Y (x) = A1

cos(x) + A2

sin(x) + A3

cosh(x) + A4

sinh(x)

Y

x(x) = A1

sin(x)+A2

cos(x)+A3

sinh(x)+A4

cosh(x)

Se em x = 0, Y (0) = 0 substituindo na equao :

0 = A1

cos(0) + A2

sin(0) + A3

cosh(0) + A4

sinh(0)

Como sinh(x) = eixex2

logo sinh(0) = 0. Se cosh(x) denido

como cosh(x) = ex+ex2

ento cosh(0) = 1. Portanto

A

1

+ A3

= 0 ou A3

= A1

Se em x = 0, Yx (0) = 0 substituindo na equao :

0 = A1

sin(0) + A2

cos(0) + A3

sinh(0) + A4

cosh(0)

A

2

+ A4

= 0 ou A4

= A2

Na extremidade x = L o deslocamento Y (L) = 0

A

1

cos(L) + A2

sin(L) A1

cosh(L) A2

sinh(L) = 0

E em x = L o deslocamento Yx (L) = 0 na equao de rotao:

A1

sin(L) + A2

cos(L) A1

sinh(L) A2

cosh(L) = 0

As equaes resultantes da aplicao das condies de contorno en

x = L so transcedentais e resultam no seguinte sistema matricial[cos(L) cosh(L) sin(L) sinh(L) sin(L) sinh(L) cos(L) cosh(L)

]{A

1

A

2

}=

{0

0

}Para que a soluo no seja a trivial o determinante da matriz deve

ser nulo,

[cos(L) cosh(L)] (cos(L)cosh(L)) = . . .

. . . [ sin(L) sinh(L)] (sin(L) sinh(L))cos

2(L)2 cosh(L) cosh(L)+cosh2(L) = sinh2(L)sin2(L)

Usando as identidades

cos

2(L) + sin2(L) = 1 cosh2(L) sinh2(L) = 1

resulta em

2 cosh(L) cosh(L) = 2

cosh(L) cosh(L) = 1

Ortogonalidade dos Modos

Para a equao de movimento do problema homogneo:

A2y

t2+ EI

4y

x4= 0

A soluo y(x , t) = Y (x)T (t) resulta nas equaes:

2T (t)

t2+ 2T (t) = 0

C

2

4Y (x)

x4 2Y (x) = 0

como 4 = 2

C

2

4Y (x)

x4 4Y (x) = 0 ou 4

Y (x)

x4= 4Y (x)

Para o n-simo modo

4Yn

(x)

x4 4n

Y

n

(x) = 0 (1)

e para o k-simo modo

4Yk

(x)

x4 4k

Y

k

(x) = 0 (2)

multiplicano a Equao (1) por Y

k

(x) e Equao (2) por Yn

(x),subtraindo a Equao (1) da Equao (2) e integrando de 0 a L:L

0

(4Yk

(x)

x4Y

n

(x) 4

Y

n

(x)

x4Y

k

(x)

)dx(4k

4n

)

L

0

Y

k

(x)Yn

(x)dx = 0

Integrando por partes o termoL

0

4Yk

(x)

x4Y

n

(x)dx =3Yk

(x)

x3Y

n

(x)

L0

L

0

3Yk

(x)

x3Yn

(x)

xdx

Repetindo o procedimento para o ltimo termo da expesso anteriorL

0

3Yk

(x)

x3Yn

(x)

xdx =

2Yk

(x)

x2Yn

(x)

x

L0

L

0

2Yk

(x)

x22Yn

(x)

x2dx

PortantoL

0

4Yk

(x)

x4Y

n

(x)dx = . . .

3Yk

(x)

x3Y

n

(x)

L0

2

Y

k

(x)

x2Yn

(x)

x

L0

+

L

0

2Yk

(x)

x22Yn

(x)

x2dx

IOs dois primeiros termos do lado direito da expresso acima

so combinaes das condies de contorno;

Ipara qualquer modo as condies de contorno devem ser

satisfeitas;

Ia subtrao destes termos, em modos distintos, nula.

Fica provado queL

0

(4Yk

(x)

x4Y

n

(x) 4

Y

n

(x)

x4Y

k

(x)

)dx = 0

como os modos so distintos Y

k

(x) 6= Yn

(x) e n

6= k

ento

(4k

4n

) 6= 0 restando provado a ortogonalidade dos modos, asaber: L

0

Y

k

(x)Yn

(x)dx = 0

Determine a resposta de uma viga engastada-engastada, rea, A, e

rigidez, EI , constantes ao longo do comprimento L. Um

equipamento ao centro produz uma fora dada por

f (t) = Fo

cos(t)(x L2

), determine a resposta y(x , t) para osistema.

A equao de movimento ser:

A2y

t2+ EId

4

y

dx

4

= Fo

cos(t)(x L2

)

A fora de excitao descrita por:

Iuma funo de posio (x L2

);

Iuma funo temporal F

o

cos(t);Ia soluo do problema homogneo y(x , t) = Y (x)T (t)

Ipermitiu a determinao de Y (x) impondo as condies decontorno.

IT (t) permaneceu uma funo indeterminada.

Os modos descrevem todos os deslocamentos possveis para as

condies de contorno dadas. Para o problema os modos so:

Y

n

(x) = cn

[sinh(n

x) sin(n

x) + n

(cos(n

x) cosh(n

x))]

sendo n

= sinh(nLsin(nL)cos(n

Lcosh(n

L) os modos satisfazem a equao

resultante da separao de variveis y(x , t) = Y (x)T (t)

4Yn

(x)

x4 4n

Y

n

(x) = 0 ou4Yn

(x)

x4=2n

C

2

Y

n

(x)

Substituindo y(x , t) = Y (x)T (t) na equao de movimento

AYn

(x)2T (t)

t2+ EIT (t)d

4

Y

n

(x)

dx

4

= Fo

cos(t)(x L2

)

AYn

(x)2T (t)

t2+ EIT (t)

2n

C

2

Y

n

(x) = Fo

cos(t)(x L2

)

como C

2 = EIA

AYn

(x)2T (t)

t2+ EIT (t)

2n

A

EI

Y

n

(x) = Fo

cos(t)(x L2

)

fazendo as simplicaes

Y

n

(x)2T (t)

t2+ 2n

Y

n

(x)T (t) =F

o

Acos(t)(x L2

)

empregando a ortogonalidade dos modos

In 6= k ento L0

Y

k

(x)Yn

(x)dx = 0;

In = k logo

L

0

Y

k

(x)Yn

(x)dx 6= 0;IImpondo a condio

L

0

Y

k

(x)Yn

(x)dx = L2

o problema ter soluo apenas para o n-simo modo

Usando a ortogonalidade dos modos, multiplicando por Y

n

e

integrando de 0 a LL

0

Y

n

(x)Yn

(x)2T (t)

t2dx + 2n

L

0

Y

n

(x)Yn

(x)T (t)dx = . . .

. . . =F

o

Acos(t)

L

0

Y

n

(x)(x L2

)dx

L

2

2T (t)

t2+ 2n

L

2

T (t) =F

o

Acos(t)Yn

(L

2

)

2T (t)

t2+ 2n

T (t) =2F

o

ALcos(t)Yn

(L

2

)

O termo Y

n

(L2

) implica em que s haver soluo para modos em

que Y

n

(L2

) 6= 0, para o problema haver apenas modos mpares.

O problema foi reduzido a uma srie innita de equaes de 2

a

ordem com coecientes constantes cuja soluo ser dada por

T

n

(t) = Xn

cos(t), que substituida na equao original

2Xn

cos(t) + 2n

X

n

cos(t) =2F

o

ALcos(t)Yn

(L

2

)

X

n

=2F

o

Y

n

(L2

)

AL

1

2n

2A soluo completa ser ento:

y(x , t) =n=1

Y

n

(x)2F

o

Y

n

(L2

)

AL

cos(t)

2n

2

Para soluo completa do problema a constante que multiplica o

modo c

n

deve ser determinada:

Y

n

(x) = cn

[sinh(n

x) sin(n

x) + n

(cos(n

x) cosh(n

x))]L

0

Y

n

(x)Yn

(x) =L

2

fazendo Y

n

= cn

W

n

(x)

L

0

c

2

n

W

n

(x)2dx =L

2

portanto c

n

=

L

2

L

0

W

n

(x)2dx

Problemas de Valor Inicial

Viga apoiada(rotulada)-apoiada, com rigidez, EI , e rea, A,

constantes ao longo de L, apresenta deslocamento inicial y

o

(x) evelocidade y

o

(x) conhecidos. Determine y(x , t) para o sistema.Equao de movimento

A2y

t2+ EId

4

y

dx

4

= 0

Empregando a separao de variveis y(x , t) = Y (x)T (t) usandoas bases modais, Y

n

(t), para Y (x)

AYn

(x)2T (t)

t2+ EIT (t)d

4

Y

n

(x)

dx

4

= 0

como

4Yn

(x)

x4=2n

C

2

Y

n

(x)

substituindo na equao resulta em

AYn

(x)2T (t)

t2+ EIT (t)

2n

A

EI

Y

n

(x) = 0

Simplicando a expresso, multiplicando por Y

n

e usando a

ortogonalidade dos modos integrando de 0 a LL

0

Y

n

(x)Yn

(x)2T (t)

t2dx + 2n

L

0

Y

n

(x)Yn

(x)T (t)dx = 0

L

2

2T (t)

t2+ 2n

L

2

T (t) = 0

2T (t)

t2+ 2n

T (t) = 0

A soluo para o problema conhecida,

T

n

(t) = An

cos(n

t) + Bn

sin(n

t) aplicando as condies decontorno resulta:

T

n

(t) = yon

cos(n

t) +y

o

n

n

sin(n

t)

y

o

n

6= yo

(x), yon

=? e yon

6= yo

(x), yon

=?

Para que y

o

(x) faa parte da soluo

y(x , 0) = yo

(x)

como y(x , t) =Y

n

T

n

, multiplicando a expresso acima por

Y

n

(x), usando a ortogonalidade dos modos integrando de 0 a Lresulta em:L

0

Y

n

(x)Yn

(x)Tn

(0)dx =

L

0

Y

n

(x)yo

(x)dx

Arbitrando

L

0

Y

k

(x)Yn

(x)dx = L2

T

n

(0) = yon

=2

L

L

0

Y

n

(x)yo

(x)dx

onde a constante c

n

, Y

n

= cn

W

n

(x)

c

n

=

L

2

L

0

W

n

(x)2dx

Para que y

o

(x) faa parte da soluo

y

t(x , 0) = yo

(x) Yn

(x)T (0) = yo

(x)

como y(x , t) =Y

n

T

n

, multiplicando a expresso acima por

Y

n

(x), usando a ortogonalidade dos modos integrando de 0 a Lresulta em:L

0

Y

n

(x)Yn

(x)Tn

(0)dx =

L

0

Y

n

(x)yo

(x)dx

logo

T

n

(0) = yon

=2

L

L

0

Y

n

(x)yo

(x)dx

A soluo ser ento:

y(x , t) =n=1

Y

n

(x)

[y

o

n

cos(n

t) +y

o

n

n

sin(n

t)

]