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Curso de Engenharia - UNIVESP Disciplina Matemática

Bimestre 1

Exercícios da semana 5 - vídeoaulas 19 e 20

Resumo da aula:

Há muitas maneiras de representarmos um número. Quanto à base, podemos

utilizar a base 10 (mais comum no cotidiano), base 2 (mais usada e

computação), base 16, dentre outras. Além disso, podemos ainda representar

os números na forma decimal, fracionária, com aproximação, com expoente,

etc.

Isso porque dependendo da finalidade é mais prático usar uma ou outra forma.

Não que exista certo ou errado, mas algumas representações em determinado

contextos tornam o entendimento mais claro e mais fácil de ser manipulado.

No caso de números extremamente grande ou extremamente pequenos a

solução encontrada há centenas de anos foi representá-lo na forma de escala

de logaritmo. Ou seja, quando dizemos que um número é 1, podemos pensar

que ele é log1010, e quando dizemos 2, podemos pensar que é log10100, e

assim por diante.

Note que a cada unidade que eu digo como log (1, e, 3, etc), na verdade

significa dizer que se tratam dos números, 10, 100, 1000, etc.

Ou seja, o que varia são os expoentes. Assim, podemos dizer que a mediada

ocorre em escala exponencial.

Alguns exemplos para utilização da escala logarítmica são: o decibel, o pH e a

escala Richter.

Joel Vieira de Lima Júnior.

02/10/2014.

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Exercícios das vídeoaulas 19 e 20 – Matemática

Texto A

Como foi visto em aula, os logaritmos são utilizados para tornar números muito

grandes ou muito pequenos mais facilmente perceptíveis, associando-os a

números menores. Em vez de 107 ou 10-7, penso nos expoentes 7 ou no -7.

O logaritmo de um número N é apenas o expoente da potência de 10 que

expressa o valor de N: log N = n quer dizer que 10n = N.

Na verdade, qualquer outra base poderia ser utilizada, mas a conveniência da

base 10 nos cálculos cotidianos torna o começo do estudo por essa base mais

natural. Quando a base for diferente de 10, isso precisa ser destacado. Assim,

se

N = ax então x = logaritmo de N na base a = logaN.

De modo geral, os números que correspondem a potências inteiras da base

têm logaritmos inteiros; os outros, têm logaritmos fracionários, sendo a grande

maioria números irracionais. Desde o século XVII são construídas tabelas que

fornecem os valores aproximados de tais expoentes.

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1. Sendo dados os valores aproximados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47,

preencha a tabela abaixo:

N N = 10n n (log

N)

1 1 = 100 0

2 2 = 100,30 0,30

3 3 = 100,47 0,47

4 4 = 100,6 0,6

5 5 = 100,7 0,7

6 6 = 100,77 0,77

8 8 = 100,9 0,9

9 9 = 100,94 0,94

10 10 = 101 1

12 12 = 101,07 1,07

15 15 = 101,17 1,17

18 18 = 101,24 1,24

20 20 = 101,30 1,30

3

27 27 = 101,42 1,41

30 30 = 101,47 1,47

32 32 = 101,50 1,50

36 36 = 101,54 1,54

40 40 = 101,60 1,60

60 60 = 101,77 1,77

100 100 = 102 2

300 300 = 102,47 2,47

400 400 = 102,60 2,60

1000 1000 = 103 3

3000 3000 = 103,47 3,47

9000 9000 = 103,94 3,94

10000 10000 = 104 4

50000 50000 = 104,70 4,70

100000 100000 = 105 5

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Texto B

Escala Richter para medir intensidade de Terremotos

A intensidade de um terremoto é expressa pelo número R tal que

R = log(A/Ao)

onde a razão A/Ao representa a comparação, medida por um aparelho

chamado sismógrafo, entre a amplitude A das ondas de destruição com

uma amplitude de referência Ao. Como esta razão costuma ser um

número muito grande, ele é expresso por uma potência de 10; o

expoente de tal potência, ou seja, o logaritmo da razão, é a medida R

em graus na escala Richter.

A energia que provoca a destruição está diretamente relacionada com a

amplitude das vibrações. Empiricamente, é utilizada uma fórmula para

relacionar o valor da medida R e o montante da Energia destruidora E:

R = 0,67.log E – 3,25. A consequência prática é o fato de que a cada

grau a mais na escala R, o valor de E cresce cerca de 31,6 vezes.

Um terremoto de 2 graus na escala Richter é, então, 10 vezes maior do

que um terremoto de 1 grau, uma vez que 2 e 1 são expoentes de

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potências de 10; entretanto, a energia correspondente é 31,6 vezes

maior a cada grau R a mais.

Os exercícios seguintes explorarão tais fatos.

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1. Complete a tabela abaixo:

Escala Richter

(graus)

Amplitude

(n x valor de referência)

Energia

(n x valor de referência)

0 1 1

1 10 31,6

2 100 31,62 = 1000 (aprox.)

3 1000 31,63 = 31.600

4 10000 31,64 = 106

5 100000 31,65 = 31,6 . 106

6 1000000 31,66 = 109

7 10000000 31,67 = 31,6.109

8 100000000 31,68 = 1012

9 1000000000 31,69 = 31,6.1012