AULA1E2COMPLETO
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CURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA BANCO DO BRASIL PROF. RONILSON MENDES
1
1-ÍNDICE
1- DICAS DE MATEMÁTICA BÁSICAS 1
2-PORCENTAGEM 5
3-JUROS SIMPLES E COMPOSTOS 18
3.1-JUROS SIMPLES 18
3.2- JUROS COMPOSTO 23
2 – DICAS DE MATEMÁTICA BÁSICAS Serão expostas técnicas de resolução rápidas de situações que surgem na resolução dos cálculos financeiros.
Caso você não tenha dificuldade na parte básica é
só partir direto para o próximo capítulo.
MMC
1 – Determine o mmc:
a) 12, 15
MMC(12,15)=60
b) 3, 7, 11
Os números acima são primos entre se. Logo o mmc entre eles é igual ao produto entre os mesmos.
mmc(3,7,11) = 3.7.11= 231
Note: Os números são primos entre se quando o único
divisor comum, tomados dois a dois é o número 1. No
exemplo acima o divisor comum de 3 e 7 ou de 3 e 11 ou de 7 e 11 é 1.
c) 10, 30, 240
Se numa sequência de número o maior é divisível
pelos demais, então o mmc é o maior.
mmc(10, 30, 240) = 240( pois 240 é divisível por 10 e 30 ao mesmo tempo)
FRAÇÕES
2-Determine o valor das frações
a) 5
32
Solução:
5
13
5
35.2
5
32
Dica: Multiplicamos o número inteiro pelo denominador da
fração e em seguida somamos o resultado pelo numerador da fração.
b) 5
23
Solução:
5
13
5
25.3
5
23
Dica: Multiplicamos o número inteiro pelo denominador da fração e em seguida subtraímos o resultado pelo numerador
da fração.
c) 11
4
6
3
5
2
Solução:
mmc(5,6,11) =5.6.11=330 (pois os números são primos
entre se).
330
4.30
330
3.55
330
2.66
11
4
6
3
5
2
Dica:Se um valor é o resultado do produto entre três
números, logo ao dividirmos esse produto por um desses números o resultado será o produto dos outros dois, ou seja,
se 330 = 5x6x11, implica 330:11 = 30(5x6).
616
417
330
120
330
165
30
132
3
d) 40
4
120
3
10
2
Solução:
mmc(10,120,40)=120( pois o maior dos valores é divisível
pelos demais)
40
13
120
39
120
12
120
3
120
24
120
4.3
120
3.1
120
2.12
40
4
120
3
10
2
e)
7
6:
5
2
Solução:
15
7
2:30
2:14
7
6:
5
2
Dica: no caso da divisão podemos sempre multiplicar como
no exemplo acima o que economiza um passo, em relação ao
método tradicional.
12, 15 2
6, 15 2
3, 15 3
1, 5 5
1, 1 60
CURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA BANCO DO BRASIL PROF. RONILSON MENDES
2
NÚMEROS DECIMAIS
3 – Resolva
a) 0,11 x 2,5
Solução:
Multiplica-se os números como se inteiro eles fossem, logo em seguida conta-se as casas decimais após a vírgula de
cada número e soma-se. O valor obtido corresponde ao número de casas que devemos deslocar no resultado do
produto.
11 x 25 = 275
Como a soma do número de casas é 2 + 1= 3, devemos correr três casas para a esquerda.
0,275
Dica de multiplicação por 11:
a)Número com dois algarismos
11 x 25 = 2__5
Separa-se o 2 e o 5. No espaço vazio do meio coloca-se 7,
que é o resultado da soma de 2 mais 5.
Daí 11 x 25 = 275
b)Número com três algarismos
11 x 235 = 2__ __5
O resultado obtido terá nos extremos os mesmos números do
multiplicando. Os dos espaços acima serão preenchidos da seguinte forma. O primeiro será 2 + 3 = 5 e o segundo será 3
+ 5 = 8, daí o resultado fica:
2585
b) 0,011 x 4,45=
Solução:
De modo semelhante temos:
11 x 445 = 4.895
O número de casas para a esquerda é: 3 + 2 = 5
0,04895
c) 0,54:9=
Solução:
Dica: Divide-se 54 por 9 que dá 6.
Como o número da esquerda tem 2 casas após a vírgula, logo descola-se o resultado da divisão de duas casas para
esquerda.
0,54
d) 64:0,008=
Solução:
64 dividido por 8 é igual a 8.
Dica:Como o número da direita tem três casas após a vírgula, deslocamos o resultado da divisão de três casas para
a direita.
8000
e) 133,1 : 0,011
Solução:
Dica: Dividindo-se 1331 por 11 encontramos 121. Como os dois números possuem vírgula, fazemos a diferença. O valor
encontrado corresponde ao número de casas de que devemos deslocar no resultado. Para a direita se o decimal da direita
tem mais casas e para a esquerda em caso contrário.
3-1 = 2
1,21( duas casas para a esquerda)
f) 0,012:0,12=
Solução:
12:12 = 1
3- 2 = 1
0,1( uma da casa para a esquerda)
g) 2)13,0(
Solução:
Dica: O valor de 13 ao quadrado é igual a 169.
A base da potência tem 2 casas após a vírgula e o expoente
vale 2.
Fazendo 2 x 2 = 4( será o número de casas após a vírgula que terá que ser deslocado o resultado)
O,0169
h) 3)011,0(
Solução:
O valor de 11 ao cubo é igual a 1331.
A base da potência tem 3 casas após a vírgula e o expoente
vale 3.
Fazendo 3 x 3 = 9( será o número de casas após a vírgula que terá que ter o resultado)
O,000001331
i) 36,0
Solução:
Dica: O valor da raiz quadrada de 36 é 6.
O número de casas após a vírgula é 2.
O índice é 2.
Dividindo 2 por 2, encontramos 1, que o número de casas do qual deveremos deslocar o resultado.
0,6
j) 000225,0 =
Solução:
Dica: O valor da raiz quadrada de 225 é 15.
O número de casas após a vírgula é 6.
O índice é 2.
Dividindo 6 por 2, encontramos 3, que o número de casas do
qual deveremos deslocar o resultado.
0,015
DÍZIMA PERIÓDICA
São números decimais infinitos.
- Período simples
Apenas um número se repete.
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3
Ex.:
1)0,222... = 2/9
2) 0,444... = 4/9
3) 0,555... = 5/9
Dica: é sempre esse número sobre 9
- período composto: quando dois ou mais números se repetem.
1) 0,141414...=99
14
2) 0,757575..=99
75
0,247247247 = 999
247
Dica: é sempre o algarismo formado com os números que se
repetem sobre tantos novos quanto forem esses números.
- Período Misto
Quando além dos números que se repetem existem números após a vírgula que não repetem.
Ex.
0,2444
período (n.º que se repete)
não periódico (não se repete)
Dica: no numerador teremos o não período seguido de
período menos o não período e no denominador teremos
tantos novos quantos forem os algarismos do não período.
1)90
22
90
224...244,0
2) 0,5131313...=990
508
990
5513
3) 0,21444...900
21214 =
900
193
EQUAÇÕES DO 2 GRAU - DICAS
Casos Exemplos Soluções rápida
ax2 + bx + c = 0
Para a = 1 x2–5x+6=0
“Quais são os dois números que somados
apresentam como resultado 5 e
multiplicados apresenta
como resultado 6”?
Resposta: x‟ = 2 e x”=3, pois 2 + 3 = 5 e
2.3 =6
Para a ≠ 1 2x2 – 16X +
30 =0
Nesse caso é possível dividirmos todos os
termos por 2. Aí fica:
2x2 – 16X + 30 =0 :(2) x2 – 8X + 15 =0
usando-se a soma e o produto vem:
Quais os números cuja soma é 8 e curso
produto é 15, logo x‟ = 3 e x” = 5
Para a ≠ 1 14x2 – 11X +
2 =0
Nesse caso não é possível dividirmos
todos os números por 14.
1º passo: multiplica-se
14 por 2, daí fica: x2 – 11X + 28 =0
2º passo: usando-se soma e produto
encontramos: x‟ = 4 e x” =7
3º passo: Dividi-se o 4 e o 7 por 14
encontramos a resposta final.
x‟ = 4/14 = 2/7 x” = 7/14 = ½
ax2 + c = 0 Nesse caso
só terá solução se
os sinais de a e c forem
diferentes.
Para a = 1 x2 – 25 =0
“Qual é a raiz de 25”? Resposta 5.
Nesse caso uma resposta será 5 e a
outra será -5.
Para a ≠ 1
3x2 – 12 = 0
Dividi-se o 12 por 3
que dá 4. X2 – 4 = 0
A raiz de 4 é 2, logo fica:
x‟ = - 2 e x” = 2 x‟ = -5 e x” = 5
ax2 + bx =
0
Para a = 1
X2 – 5x = 0
Nesse caso uma das
raízes sempre será zero e a outra resposta
é o valor do meio, ou seja 5, que será
positivo se a e b tiverem sinais
contrários e negativo se tiverem sinais iguais.
Daí: x‟ = 0 e x” = 5
QUESTÕES PROPOSTAS – COM GABARITO COMENTADO
1- Sejam os números a = 0,0016, b= 0016,0 e c =
(0,0016)2, em ordem crescente fica:
a) a<b<a
b) b<a<c
c) b<c<a
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4
d) c<a<b
e) c<b<a
2 – X = 5
73 e Y =
7
32 logo X + Y vale:
a) 7
123 b)
5
123 c)
35
209 d)
12
209
e) 35
12
3 –O valor do produto 0,000123 x 0,0011 é igual a
0,0000001353.
4- Ao dividirmos 7,29 por 0,027 encontramos como resposta:
a) 27
b) 0,27
c) 270
d) 2,7
e) 0,027
5-FCC – 2010. Simplificando a expressão
0004,0
)06,0()5,0( 22 obtém-se 12,32.
6-(FGV-2006) -Quanto vale a divisão 10
9:
5
6?
a) 75
2
b) 4
3
c) 1
d) 25
27
7- (FGV-2006) Quanto vale a soma: 6
1
3
1
2
1
a) 1
b) 1/8
c) 1/11
d) 3/11
e) 1/36
8. Dentre os números abaixo, qual representa o maior
número decimal.
a) 0,432
b) 0,431
c) 0,4301
d) 0,51
9 - Dentre os números abaixo qual é o que representa o menor número negativo.
a) – 0,12340
b) – 0,1245
c) – 0,12487
d) – 0,5
e) – 0,6
10 -Resolva a expressão abaixo:
...444,0
...777,0...555,0 x
GABARITO COMENTADO
Questão 1
Solução:
a = 0,0016
b= 0016,0 = 0,04
c= (0,0016)2= 0,00000256
“ O maior número decimal é aquele que possui o maior número após a vírgula”
Logo o maior número é o b e o menor é o c.
A sequência em ordem crescente é c < a < b.
Dica: Essa questão é muito solicitada em provas e a resposta
é sempre a mesma: o maior valor é o que possui o radical e o menor valor é o que possui o expoente.
Resposta: letra d
QUSTÃO 2
Solução:
X=5
73 e Y =
7
32
X + Y
5
73 +
7
32
7
11
5
22
7
37.2
5
75.3
35)7,5( mmc
=35
11.5
35
22.7 =
=35
209
35
55
35
154
Resposta: letra c
QUESTÃO 3
Solução:
123 x 11 = 1353
Nessa questão teremos 10 casas após a vírgula, como 1353
só tem 4 devemos completar com 6 zeros.
0,0000001353.
Resposta: certa
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5
QUESTÃO 4
Solução:
027,0
29,7
729 dividido por 27 é 27.
No denominador temos duas casas após a vírgula e no numerador temos 3 casas. Fazendo a diferença 3 – 2 = 1,
logo no valor de 27 devemos deslocar uma casa para a direita.
270
Resposta; letra c
QUESTÃO 5
Solução:
0004,0
)06,0()5,0( 22 =
02,0
0036,025,0
= 32,1202,0
2464,0
02,0
0036,025,0
Resposta: certa.
QUESTÃO 6
Solução:
É só fazer o produto em diagonal.
10
9:
5
6
3
4
15:45
15:60
9.5
10.6
Resposta: letra e.
QUESTÃO 7
Solução
O mmc entre 2, 3 e 6 é: 6.
16
6
6
1
6
1.2
6
1.3
Resposta: letra a.
QUESTÃO 8
Solução,
Se o número decimal é positivo o maior será o que tiver o
maior algarismo significa após a vírgula.
Resposta = letra d.
QUSTÃO 9
Dica: o menor é o que tiver o maior algarismo significativo pós a virgula.
Resposta = letra e.
QUESTÃO 10
Solução:
34
12
9
49
12
9
49
7
9
5
...444,0
...777,0...555,0
x
x
3 - PORCENTAGEM Na matemática porcentagem ou percentagem é um
dos assuntos mais importantes pois suas técnicas são utilizadas nos mais variados problemas de Matemática.
Na realidade porcentagem é uma aplicação da regra
de três simples.
Neste trabalho fugindo do tradicionalismo, empregamos técnicas desenvolvidas pelo autor como outras
que já são de domínio público.
Elementos do cálculo percentual.
Taxa – É o valor que representa a quantidade dada que é tomada em cada 100 (80% = 80 a cada 100)
Porcentagem – É o valor que representa a quantidade
tomada de outra, proporcionalmente a taxa.
Ex: 20 é uma porcentagem de 20% sobre 100.
Principal – É o valor sobre o qual incide uma determinada taxa.
Exemplo:
20% de 1000 é 200
20% - taxa
200 - porcentagem
1000- principal.
Não é necessário fórmulas para resolvermos
problemas que envolvam porcentagem, visto que podem ser resolvidos pela aplicação de regra de três simples. No entanto
para os problemas mais comuns em concursos, mostraremos dicas para uma resolução rápida.
Exercícios
1) Um vendedor ganha 6% de comissão nos negócios que
faz. Qual sua comissão numa venda de R$ 3.600,00?
Solução:
O valor total da venda corresponde a 100%.
100% 3.600,00
6% X
100X = 6 x 3.600,00
(cortando dois zeros em ambos os lados fica):
X = 3 x 36 = 216,00
2)Em uma escola 13% dos alunos são meninas. Quantos
alunos possui o colégio, já que as meninas totalizam 364?
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6
Solução:
O valor total de alunos que possui a escola não foi dado, logo 100% corresponde a x.
100% x
13% 364
13x=100.364
X= 280013
36400
3)O salário de Januária é R$ 1.200,00 ao receber um aumento ela passará a ganhar R$ 1560,00. De quanto foi
esse aumento?
Solução:
O salário atual é R$ 1.200,00 que corresponde a 100% e o
salário futuro está aumentado em R$ 360,00(1560-1200=360), logo:
100% 1200
X 360
1200x=100.360
%301200
36000x
OPERAÇÕES COM MERCADORIAS
No dia a dia fazemos negócios. Devido as mais diversas situações podemos ter lucro ou prejuízo.
Acontece que nas provas de concursos quando se
fala em lucro ou prejuízo o candidato deve observar que logo em seguida aparece expressões como estas: sobre a venda,
sobre a compra.
a)Lucro sobre a compra
a.1- Usando a fórmula
valor de venda(V) = valor de compra(C) + lucro(L)
V = C + L
Exemplo:
João comprou uma geladeira por R$ 800,00 e vendeu com um lucro de 15% sobre a compra. Qual foi o valor de venda?
C = 800
L = 15% . C = 0,15 x 800 = 120,00
V = 800 + 120 = 920,00
a.2 – Pela regra de três
Agora a mesma questão usando regra de três.
Como o lucro é sobre a compra logo esse valor corresponde a 100% e o valor de venda será 115%(100 + 15).
100% 800
115% x
100x = 115 . 800
920100
92000x
b) Lucro sobre a venda
b.1-usando a fórmula
A fórmula é a mesma.
Exemplo:
Vitória vendeu uma geladeira por R$ 600,00 com lucro sobre a venda de 25%. Quanto essa geladeira custou?
V = 600
L = 25%.600 = 0,25 . 600 = 150
V = C + L
600 = C + 150
C = 600 – 150 = 450
b.2-usando a fórmula
Agora a mesma questão usando regra de três.
Como o lucro é sobre a venda, logo o valor de venda
é 100%. E o valor de compra será de 75%(100 – 25).
600 100%
C 75%
100x = 600 . 75
450100
45000x
c) Prejuízo sobre a compra
Valor de venda(V) = valor de compra(C) – prejuízo(P)
V = C - P
Exemplo:
Silas Cow comprou uma geladeira e vendeu por R$ 1200,00 com prejuízo de 25% sobre a compra. Quanto custou essa
geladeira?
c.1 – usando a fórmula.
V = 1200,00
C ?
P = 25%C = 0,25C
V = C – P
1200,00 = C – 0,25C
0,75C = 1200
C = 600.175,0
1200
c.2- usando regra de três
Como o prejuízo é sobre a compra, o valor da compra corresponde a 100% e valor de venda será 75%(100-25),
logo:
C 100%
1200 75%
75C = 1200. 100
C= 600.175
100.1200
d) Prejuízo sobre a venda
V = C - P
Exemplo:
Sir Pherou vendeu por R$9.000,00 um carro que ele havia
comprado. Na venda ele teve um prejuízo de 10% sobre a
venda, por quanto ele comprou o carro?
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7
d.1 – pela fórmula
V = 9000,00
C ?
P =10% . 9000 = 900
V = C – P
9000 = C – 900
C = 9000 + 900
C = 9900,00
d.2 – usando regra de três
Como o prejuízo é sobre a venda o valor de venda corresponde a 100%. O valor da compra é 90%(100+10),
logo:
9000 100%
C 110%
100C = 9000 . 110
C= 9900100
110.9000
Operações com taxa percentual.
São operações onde aparecem o símbolo % e que devemos estar atentos na hora de resolvermos.
Exercícios
1) %9 + %25
Solução:
%8010010
8
10
5
10
3
100
25
100
9
x
Dica:Some os números como se eles não fossem
percentagem. Em seguida é só multiplicar o resultado por 10.
%9 + %25 = 3 + 5 = 8 x 10 = 80%
2) (30%)2 + (20%)2
Solução:
%13100
13
10000
1300
10000
400
10000
900
100
20
100
3022
Dica:Eleva-se os números ao quadrado como se eles não
fossem percentuais e logo em seguida divide-se o resultado por 100.
(30%)2 + (20%)2 = 900 + 400 = 1300 : 100 = 13%
3) (12%) . 9%
08,110000
108
100
9.
100
12 %
Transformação para taxa percentual.
Consiste em transformarmos um número inteiro,
decimal ou fracionário em taxa percentual.
E só multiplicarmos o nº dado por 100.
Exemplos:
1) 8
5
Solução:
8
5. 100 = %5,62
8
500
8
1005
x
2) 4
3
Solução:
4
3. 100 = %7525.3
4) 0,75
0,75 . 100 = 75%
5) 0,222...
0,222... x 100 = 22,2% ( valor aproximado)
Taxa sobre a taxas
É quando aplicamos uma taxa sobre um determinado valor logo após ele ter recebido a incidência de outra taxa
Geralmente temos:
1- Dois aumentos seguidos ou mais
2- Dois descontos seguidos ou mais.
3- Um aumento e um desconto
4- Um desconto e um aumento
a)aumento sobre aumento
Exemplos:
1)Uma mercadoria recebe um aumento de 20% e logo após,
um outro de 20%. O aumento real será de:
Solução: lendo a questão de maneira rápida, muitas pessoas são levadas a responder que a resposta é 40%.
Quando a pergunta é de múltipla escolha geralmente 40%
seria uma das alternativas.
Método tradicional
Primeiro aumento
Como não sabemos o valor da mercadoria, dizemos que ela vale inicialmente 100.
100 100%
X 120%
(aumento de 20%)
100X = 12000
X = 120,00
Segundo aumento
Agora o valor inicial da mercadoria é 120 que corresponde a 100%
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8
120 100%
X 120%
(aumento de 20%)
100X = 14400
X = 144,00
Regra prática do Ronilson
1º passo - Soma-se os dois números como se eles não fossem percentuais.
20 + 20 = 40
2º passo- faz se o produto desses mesmos números
deslocados de uma casa para a esquerda.
2,0 x 2,0 = 4
3º passo – Soma se os valores encontrados nos passos anteriores.
40 + 4 = 44%( resposta rápida)
Obs: Este procedimento auxilia muitos cálculos na
matemática financeira deixando os cálculos bem mais rápidos a nível de concursos.
2) Um aumento de 25% seguindo de um outro de 40%
corresponde a um aumento real de:
Solução rápida:
25 + 40 + 2,5 . 4,0 = 75%
3) Dois aumentos de 6% em meses diferentes correspondem
a um aumento real de:
Solução rápida:
6 + 6 + 0,6 . 0,6 = 12,36%
4) Aumentar o preço de um produto em 25% e em seguida aumentar de 0,4%¨é o mesmo que aumentar esse produto
em:
Solução rápida:
25 + 0,4 + 2,5 . 0,04 = 25,5%
5) Em um ano a população de uma cidade aumentou 100% e no outro aumentou de 20%. O aumento real nos dois anos
foi de:
Solução rápida:
100 + 20 + 10,0 . 2,0 = 140%
6) Em três anos seguidos as ações de uma empresa aumentaram de 10%. O amento real ao final dos três anos foi
de:
Solução rápida:
O macete do Ronilson só pode ser usado de dois em dois períodos. Quando tivermos três períodos devemos fazer
primeiramente para os dois primeiros e logo em seguida pegar o acumulado e fazer com o terceiro período.
- Dois primeiros anos
10 + 10 1,0 . 1,0 = 21% (acumulado em dois anos)
- Terceiro ano
21 + 10 + 2,1 . 1,0 = 33,1%
7) Em um mês o salário dos funcionário de uma empresa
foram aumentados em 15,7% e no mês seguinte outro
aumento 14,3%. É correto afirmar que o aumento real ao final dos dois meses foi superior a 30%.
Resposta: certo
Obs: é o tipo de questão que geralmente é cobrado em
provas do CESPE e que não precisa de cálculo, uma vez que como já foi constatada a reposta é sempre superior á simples
soma aritmética dos valores.
3) Aumento e desconto
1)O salário de Paulo aumentou 30% . Devido a problemas financeiros pelo qual vem passando a sua empresa a única
solução encontrada foi reduzir o salário de todos em 20% sobre o valor já aumentado. Qual foi o aumento real do seu
salário?
Solução rápida:
30 – 20 + 3,0 . ( -2,0) = 10 – 6 = 4%
O sinal negativo do 20 é por que é desconto.
2) Em dois meses consecutivos as ações da Bolsa cairão de 5%. O valor da desvalorização total foi de:
Solução rápida:
- 5 – 5 + (-0,5) .(-0,5) = - 10 + 0,25 = -9,75%
3)Em um mês o salário de Joca foi reduzido em 20% e no
outro ele foi aumentado em 30%. O aumento real foi de:
Solução rápida:
- 20 + 30 + (-2,0) . 3,0 = 10 -6 = 4%
4) Marta tem duas opções. A primeira seria receber um
desconto de 20% sobre o valor da mercadoria. A segunda seria receber um dois descontos, um após o outro, de 10%.
É correto afirmar que a segunda opção seria a mais vantajosa?
Resposta: errado, pois dois desconto de 10% daria um
desconto real de 19%
- 10 – 10 + (-1,0) . (-1,0) = -19%(menor que 20% de desconto)
5)três aumentos consecutivos de 20%, corresponde a um aumento real de:
Primeiro passo:
Calcular o aumento real para os dois primeiros meses
20 + 20 + 2,0. 2,0 = 44%( valor acumulado para os dois
primeiros meses)
44 + 20 + 4,4. 2,0 = 72,8%
Mais problemas com porcentagem.
1 - Na compra de uma mesma calculadora, André pagou 10% a menos que Maura e Carla, 50% a mais que André. Em
relação a Maura o preço pago por Carla foi:
Solução:
A primeira pergunta a ser feita quem foi primeiro na loja?
Resposta: Maura, pois sabemos que André pagou 10% a menos que Maura, logo ela será a referência.
Maura= 100
André = 90 ( 10% a menos que André)
Carla = 135( 90 + 50% .90)
Logo em relação a Maura Carla pagou 35% a mais.
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2 – 20% da população de certo pais reside na capital. Se a população da capital aumentar 50% e a do pais apenas 20%,
quanto passará a ser a taxa de pessoas desse país que residem na capital?
Solução:
País = 100
Inicialmente
Capital = 20 (20% de 100)
País = 120 (100 + 20% de 100)
Finalmente
Capital = 30(20 + 50%.10)
Agora a população da capital é 30 e a população do país é
120. Para sabermos que porcentagem 30 é de 120 é dividirmos o menor pelo maior e o resultado multiplicarmos
por 100.
Resposta = 4
1
3:120
3:30 =
4
1
= 4
1. 100 = 25%
3 – Uma loja vende seus produtos em duas prestações iguais,
sem juros, sendo a primeira no ato da compra e a segunda para 30 dias. Se a mesma concede um desconto de 30% para
compras à vista, qual é a taxa de juros cobrada por essa loja?
Solução:
Não é preciso conhecimento de juros para que esse problema seja resolvido.
Esse problema é típico de concursos e pode ser resolvido
aplicando a dica de Ronilson
D
D
50
100( D = DESCONTO DA LOJA)
R = 3050
30100
=
20
3000= 150%
4 – (FUVEST)Um comerciante deu um desconto de 20%
sobre o preço de venda de uma mercadoria e, mesmo assim consegui um lucro de 20% sobre o preço que pagou pela
mesma. Se o desconto não fosse dado, seu lucro em porcentagem, seria:
a) 40%
b) 45%
c) 50%
d) 55%
e) 60%
Solução:
Para encontrarmos o lucro que essa empresa teria sem o desconto, devemos aplicar duas regras de três simples,
o que demandaria um certo raciocínio e tempo.
Abaixo, essa questão é resolvida pela Dica do Ronilson!!!
LB =d100
)L +d(100 L
Onde:
LB - lucro bruto
d – taxa de desconto
LL – lucro líquido
20100
)2020(100
=
80
40.100= 50
Resposta = 50%( letra C)
5 – O preço de uma mercadoria aumentou 600%. Se essa
mercadoria custava 120 o seu novo valor será:
Solução: Se uma mercadoria aumenta 100% o seu valor dobra(será multiplicado por 2). Se aumentar 200% o seu
valor triplica( será multiplicado por 3) e assim por diante. Logo se aumentar 600% o seu valor setuplica, ou seja será
multiplicado por 7.
Desta forma: 120 . 7 = 840,00
6- Paula ganha R$ 2.000,00 e Carlota ganha R$ 2.400,00 então responda:
a) O salário de Carlota supera o de Paula em:
solução:
Como o salário de Paula é a referência, logo ele corresponde
a 100%. Carlota ganha 400 (2400 – 2000) a mais que Paula, desta forma:
2000 100%
400 x
2000x = 400 . 100
X = %202000
100.400
b) O Salário de Carlota é equivalente a que porcentagem do
salário de Paula.
solução:
2000 100%
2400 x
2000x = 2400 . 100
X = %1202000
100.2400
7 – Em 2005 o número de correntista de um banco reduziu
em 20% a em relação a 2004. Para que em 2006 esse banco
venha ter o mesmo número de correntista de 2004 é necessário que haja, em relação a 2005 um aumento de:
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solução:
Suponhamos que este banco tenha em 100 correntista em 2004. Como houve uma redução em 2005 de
20%, logo o número de correntista passou a ser 80.
Para que em 2006 o número volte a ser novamente 100, devemos observar que o referencial agora é o número
de correntista de 2005, ou seja, 80 é equivalente a 100%.
80 100%
100 x
80x = 100. 100
x= %12580
10000
Resposta=125 – 100 = 25%
SINÓPSE -PORCENTAGEM
Transformações com porcentagem
- De porcentagem para número: é só dividir por 100.
- De número para porcentagem: é só
multiplica por 100
Operações como
mercadoria
- Com lucro:
V = C + L
- Com prejuízo
V = C - P
Onde:
V – valor de venda, C – valor de
custo, L – lucro
P – prejuízo
Obs: é possível resolver essas questões com o auxílio de regra de
três simples, devendo-se notar que se o lucro ou o prejuízo é sobre a compra
o valor de compra será 100% e se for sobre a venda o valor de venda será
100%
Dica especial do Ronilson:
Taxas sobre taxas
Soma-se ou subtraí-se as taxas somando-se mais um valor x.
X é o resultado do produto dos dois valores deslocados de uma casa
decimal.
Duas prestações iguais
e sem juros
Foi visto que na prática isso não existe uma vez que o vendedor para
compras à vista sempre consegue um desconto D.
O valor dos juros que incidem sobre a
operação é dado pela regra:D
D
50
100,
D – taxa de desconto
Cálculo do lucro
bruto
É o tipo de situação em que é
perguntado para o candidato qual seria o lucro bruto de uma operação
que após ser dado um desconto mesmo assim apresenta um lucro
líquido:
A regra é: LB =d100
)L +d(100 L
Onde:
LB - lucro bruto
d – taxa de desconto
LL – lucro líquido
PROVAS COM COM GABARITO COMENTADO
1-(FGV) A fração 5/8 equivale a:
(A) 50%
(B) 54%
(C) 56%
(D) 60%
(E) 62,5%
2-(FGV) Qual é a porcentagem dos alunos dessa escola que são canhotos e usam óculos?
(A) 3%
(B) 5%
(C) 15%
(D) 20%
(E) 25%
3-(FGV) Qual é a porcentagem de canhotos entre os alunos
dessa escola que usam óculos?
(A) 3%
(B) 5%
(C) 15%
(D) 20%
(E) 25%
4-(CESGRANRIO – 2010) - Um jovem tinha um capital e
fez com ele um investimento diversificado. Aplicou 40% do capital em um fundo de Renda Fixa e o restante na Bolsa de
Valores. A aplicação em Renda Fixa gerou lucro de 20%, enquanto o investimento na Bolsa, no mesmo período,
representou prejuízo de 10%. Com relação ao total investido nesse período, o jovem
a) teve lucro de 2%.
b) teve lucro de 20%.
c) não teve lucro e nem prejuízo.
d) teve prejuízo de 2%.
e) teve prejuízo de 20%.
5-CESGRANRIO – 2010 Uma empresa aérea que opera,
semanalmente, 60 voos entre o Brasil e os Estados Unidos, solicitou autorização para aumentar em 15% o número
semanal de voos entre os dois países. Se essa autorização for concedida, quantos voos semanais a referida empresa aérea
realizará entre o Brasil e os Estados Unidos?
a) 9
b) 15
c) 56
d) 69
e) 96
6-(CESGRANRIO – 2010) Uma mercadoria sofreu dois descontos sucessivos de 30% cada, passando a custar R$
392,00. Qual era, em reais, o preço dessa mercadoria antes dos descontos?
a) 600,00
b) 662,00
c) 700,00
d) 774,00
e) 800,00
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11
7- (FUNIVERSA – 2010) Um comerciante coloca em promoção um produto de sua loja, dando-lhe desconto de
20%. O mesmo produto, antes da promoção, era comercializado com 30% de aumento sobre o preço de custo
(preço pago pelo comerciante ao adquirir esse produto). Avaliando essa iniciativa, é correto afirmar que o comerciante
obteve, na venda desse produto,
a) lucro de 4%.
b) prejuízo de 4%.
c) lucro de 8%.
d) prejuízo de 10%.
e) lucro de 10%.
8 - Um barco adquirido por R$ 5.000,00 foi vendido com 20% de lucro sobre o preço de venda. Por quanto foi vendido em
R$?
a) 6.000,00
b) 4.750,00
c) 6.250,00
d) 5.250,00
9 - Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por
R$ 50,00, e a seguir, vendi com 10% de prejuízo sobre o
preço de venda?
a)40,50
b)45,00
c)45,45
d)40, 45
10 - Um objeto comprado por R$ 1.800,00 foi vendido com
um lucro de 30% sobre o preço de compra . Qual o preço de venda do objeto?
a)2.040,00
b)2.340,00
c) 3.000,00
d) 4.000,00
11- FCC - 2004. Certo dia, do total de pessoas atendidas no
período da tarde
em quatro caixas de um banco, sabe-se que o
- caixa 1 atendeu a 30%,
- caixa 2 não atendeu a 79% e
- caixa 3 não atendeu a 75%
O número de pessoas atendidas pelo caixa 4 correspondeu a
que porcentagem do total?
a)21%
b) 22%
c) 23%
d) 24%
e) 25%
12 - FCC. O gráfico seguinte apresenta a variação d cotação do dólar no Brasil, no período de 7 a 14 de maio de
2004.
Segundo os dados indicados no gráfico, do dia 13 ao dia 14de
maio houve uma variação de – 1,34%. No dia 13 de maio, a
cotação do dólar, em reais era:
(A) 3,129
(B) 3,134
(C) 3,138
(D) 3,145
(E) 3,148
13 – (TTN) Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preço da mercadoria. Sabendo-se que o preço de
venda, sem desconto, é superior em 20% ao do custo, pode-se afirmar que houve por parte do comerciante um:
a) Lucro de 5%
b) Prejuízo de 4%
c) Lucro de 4%
d) Prejuízo de 2%
e) Lucro de 2%
14 – (TTN) Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com um lucro de 10%; em seguida, foi revendido por R$
20.700,00. O lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de:
a) 38,00%
b) 40,00%
c) 28,00%
d) 51,80%
e) 25,45%
15– (CESPE) Um trabalhador gastava 30% do seu salário
com aluguel. Após certo período o seu aluguel havia aumentado 700%, enquanto o seu salário reajustado em
500%. Então, a porcentagem do salário que ele passou a gastar com o aluguel foi:
a) 34%
b) 38%
c) 40%
d) 42%
e) 45%
16– (CESPE) As ações de uma certa empresa subiram 20%
ao mês durante dois meses consecutivos e baixaram 20% ao
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12
mês em cada um dos dois meses seguintes. Com relação às variações sofridas por essas ações durante esses quatro
meses é correto afirmar:
a) o valor das ações permaneceram inalterado;
b) as ações desvalorizaram 7,84%
c) as ações valorizaram 7,84%
d) as ações desvalorizaram 8,48%
e) as valorizaram 8,48%
17– (CESPE) Uma empresa admitiu um funcionário no mês de Outubro deste ano(1996), sabendo-se que, já em Janeiro
de 1997, ele terá 25% de aumento de salário. A empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de Janeiro,
seja de R$ 1.500,00. assim a empresa admitiu-o com um salário X reais. Então, X satisfaz à condição:
a) X < 1.100,00
b) 1.100,00 X< 1.1700,00
c) 1.1700,00 X < 1.1900,00
d) 1.1900,00 X < 1.200,00
e) X 1.200,00
18– (CESPE) Um carro cujo custo é de R$ 7.000,00,
desvaloriza-se 20% a cada ano. Após dois anos o proprietário
decide trocá-lo por um carro novo, do mesmo modelo. O preço desse carro novo é 30% maior em relação ao valor
praticado dois anos antes. Na troca do carro velho pelo carro novo, o proprietário deverá desembolsar a quantia de:
a) R$ 4.200,00
b) R$ 4.620,00
c) R$ 4.700,00
d) R$ 4.820,00
e) R$ 4.900,00
19– (CESPE ) Foi solicitado a um aluno que calculasse 5%
de vinte e quatro milésimos. A calculadora evidenciou com resultado:
a) 0,012
b) 0,0012
c) 0,00012
d) 0,000012
e) 0,0000012
20 – (CESPE – 2011) Um cliente comprou, em uma agência
dos Correios, selos comemorativos dos 150 anos do nascimento do padre Landell de Moura e dos 150 anos de
fundação da Caixa Econômica Federal (CAIXA). Para o
pagamento desses produtos, o cliente entregou certa quantia em reais e notou que 3/4 dessa quantia correspondiam ao
custo dos selos comemorativos dos 150 anos do padre Landell de Moura e 1/5 , ao custo dos selos comemorativos
dos 150 anos da CAIXA. Nessa situação, com relação à quantia entregue para pagamento, o troco a que faz jus o
cliente corresponde a
a)20%.
b)5%.
c)8%.
d)10%.
e)12%.
21-(CESPE – 2011) Considere que, em uma empresa, 50% dos empregados possuam nível médio de escolaridade e 5%,
nível superior. Guardadas essas proporções, se 80 empregados dessa empresa possuem nível médio de
escolaridade, então a quantidade de empregados com nível superior é igual a
a) 8.
b)10.
c)15.
d)20.
e)5.
22 – (CESPE – 2011) Se 4 selos do tipo A e 4 selos do tipo B custam R$ 7,00 e se um selo do tipo A custa 50% a mais
que um selo do tipo B, então 8 selos do tipo A custam
a) R$ 9,00.
b)R$ 10,50.
c)R$ 12,00.
d)R$ 12,60.
e)R$ 8,40.
23 – (VUNESP 2011. Após muita negociação, Laura conseguiu um desconto de 5% sobre o preço de tabela e
comprou um carro novo por x reais. Deu 25% do preço de compra como entrada e financiou o restante. Se o valor
financiado foi R$ 28.500,00, então o preço de tabela desse carro era
a) R$ 40.000,00.
b) R$ 39.900,00.
c) R$ 39.000,00.
d) R$ 38.800,00.
e) R$ 38.000,00.
24-(VUNESP 2011) Ana e Luiza querem comprar um livro que custa R$ 60,00,mas o dinheiro que possuem juntas,
equivale a 60% do valor necessário. Sabendo-se que Ana possui R$ 6,00 a menos do que Luiza, então, o valor que
Luiza tem é
a) R$ 15,00.
b) R$ 18,00.
c) R$ 21,00.
d) R$ 25,00.
e) R$ 30,00.
25-(VUNESP 2011) Foi feita uma pesquisa com um grupo de 200 jovens sobre a preferência no consumo de bebidas
alcoólicas. Os resultados obtidos estão no gráfico.
Sabe-se que dos jovens que consomem cerveja, 25% são mulheres. Então, o número de homens pesquisados que
consomem cerveja é
a) 66.
b) 54.
c) 45.
d) 36.
e) 22.
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13
Em determinado órgão do Poder Executivo, foram alocados R$ 110.000,00 no orçamento para a aquisição de 1.000
cadeiras de escritório. Com a previsão de realização de um concurso para provimento de novas vagas, constatou-se a
necessidade de compra de mais 300 cadeiras, além das 1.000 já previstas. Com base nas informações da situação
hipotética apresentada, julgue os itens a seguir.
26-(CESPE – 2010) Se o orçamento for reduzido para R$
22.000,00, então, é correto afirmar que esse valor é 400%
menor do que foi previamente alocado.
27 –(CESPE – 2010) Se, na hora da compra das 1.000 cadeiras iniciais, um dos fornecedores oferecer uma cadeira a
mais a cada três cadeiras adquiridas, então, é correto afirmar que essa proposta é equivalente à concessão de um desconto
de 25%.
29-(CESPE – 2010) Para a aquisição das 300 unidades adicionais, a verba suplementar deverá ser de 35% do valor
inicialmente alocado, desde que não haja mudança no preço das cadeiras.
30-(CESPE – 2010) Se houver aumento de 20% no preço
para as 300 cadeiras adicionais, a verba suplementar para
aquisição dessas cadeiras será igual a 36% do valor
originalmente alocado para a aquisição das 1.000 cadeiras iniciais.
31-(CESPE – 2010) Caso seja oferecido um desconto de 10% sobre o valor das cadeiras adicionais, o preço unitário de
cada uma delas será inferior a R$ 100,00.
32 –(CESPE – 2011) Vários jornais e revistas anunciaram, nos últimos meses, que o preço do quilo de picanha, corte
preferido para o preparo de um bom churrasco, subiu 42%. Nesse caso, se um consumidor de picanha decidir manter o
mesmo gasto mensal com a compra desse alimento, ele deverá diminuir o consumo em
a) mais de 40% e menos de 44%.
b) mais de 44% e menos de 48%.
c)mais de 28% e menos de 32%.
d)mais de 32% e menos de 36%.
e)mais de 36% e menos de 40%.
33 –(VUNESP - 2011) Para uma reunião foram colocadas
252 cadeiras em um auditório, de modo que o número de cadeiras por fileira é 75% maior do que o número de fileiras.
Nessas condições, pode-se afirmar que o número de cadeiras
de uma fileira é
(A) 10.
(B) 12.
(C) 15.
(D) 18.
(E) 21.
33-Solução:
X – número de fileiras
Y – Número de cadeiras por cada fileira
Se fizermos o produto do número de fileiras pelo número de
cadeiras em cada fileira deveremos obter o número total de cadeiras.
X . Y = 252(I)
Como o número de cadeiras por fileira é maior em 75% ao
número de fileiras, logo:
Y = X + 0,75. X
Y = 1,75X(II)
Substituindo-se II em I
X. 1,75X = 252
X2 = 14475,1
252
X = 12144 (só a raiz positiva serve)
Substituindo-se o valor 12 em II, vem:
Y = 1,75. 12 = 21 cadeiras por fileira
34 – (FUNIVERSA) – 2010 QUESTÃO 19
Um artigo está a venda por R$ 32,50. Caso o produto seja vendido por esse preço, o comerciante contabilizará um lucro
bruto de 30% sobre o preço de custo do produto. Caso o produto não seja vendido em uma semana, o comerciante
passará a oferecê-lo com desconto. O maior número inteiro de desconto percentual no preço de venda que o comerciante
pode praticar para que a venda seja realizada com lucro bruto de, pelo menos, 10% sobre o preço de custo é igual a
a) 20.
b) 15.
c) 12.
d) 10.
e) 5.
34-Solução:
Nessa questão devemos usar a dica do Ronilson:
LB =d100
)L +d(100 L
LB = 30%
LL = 10%
1
30=
d100
10) +d(100
100.(d + 10) = 30.(100 – D)
100D + 1000 = 3000 – 30.d
100D + 3OD = 3000 – 1000
130D = 2000
D=
130
2000
D = 15,38
Como foi solicitado apenas a parte inteira, logo fia 15.
Resposta: letra b
35 –(FCC – BB/2011) Certo mês, um comerciante
promoveu uma liquidação em que todos os artigos de sua loja tiveram os preços rebaixados em 20%. Se, ao encerrar a
liquidação o comerciante pretende voltar a vender os artigos pelos preços anteriores aos dela, então os preços oferecidos
na liquidação devem ser aumentados em
(A) 18,5%.
(B) 20%.
(C) 22,5%.
(D) 25%.
(E) 27,5%.
35-Solução:
Suponhamos que o valor inicial de cada artigo seja R$ 100,00, após um desconto de 20% esses artigos começarão a
ser comercializados por R$ 80,00.
O valor com o desconto(R$ 80,00) corresponde a 100% e o novo(R$ 100,00) valor após o aumento
corresponde a x.
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14
Preço %
80 100
100 x
80x = 100. 100
X=
80
10000=125%
Desta forma o aumento será:
125 – 100 = 25%
Resposta: letra d
GABARITO COMENTADO
1-Solução:
Basta multiplicarmos o número por 100.
%5,628
500100
8
5x
Em uma escola, 10% dos alunos são canhotos, e, destes,
30% usam óculos. Além disso, 12% dos alunos dessa escola usam óculos.
2-Solução:
Suponhamos que nessa escola tenha 100 alunos,
Se 10% são canhotos, implica:
10% . 100 = 0,1 . 100 = 10
Desses 10%, 30% usam óculos:
30% . 10 = 0,3 . 10 = 3, logo:
Resposta: 3% alunos são canhotos e usam óculos.
3-Solução:
Agora a referência é a quantidade de alunos dessa
escola que usam óculos, ou seja, 12 que corresponde a 100%.
Da questão anterior já sabemos que desses 12
alunos 3 desses também usam óculos.logo:
100% 12
X 3
12x = 100 . 3
X= %2512
300
4-Solução:
Suponhamos que o valor do investimento seja R$ 100,00.
Fundo de Renda Fixa = 40% . 100 = 0,4 . 100 = 40
Bolsa de valores = 60% . 100 = 0,6 . 100 = 60
Após o final do período temos:
Fundo de Renda Fixa = 40 + 20% . 40 = 40 + 0,2 .40
40 + 8 = 48,00
Bolsa de valores = 60 - 10% . 60
60 – 0,1 . 60
60- 6 =54
Ao final do período o montante da aplicação é:
48 + 54 = 102
Logo o lucro foi de 2% (102 – 100)
Reposta: letra a
5-Solução:
Total dos vôos = 60
Como houve um aumento de 15%
60 + 15% . 60
60 + 0,15 . 60
60 + 9 = 69
Resposta: letra D
6-Solução:
Dois descontos sucessivos de 30% corresponde a um desconto real de:
Pela dica do Ronilson:
- 30 – 30 + (-3) . (-3)
-60 + 9 = -51%( desconto real) (x)
O valor original da mercadoria é o que queremos encontrar e
corresponde a 100%. O valor após os descontos é 392 que corresponde a 49%(100 – 51), logo:
100% X
49% 392
49x = 100 . 392
X = 80049
39200
Resposta: letra e
7-Solução:
Antes do desconto o aumento sobre o preço de custo era de
30%. Agora com desconto de 20% temos:
30 – 20 + 3,0.(-2,0)
10 -6 = 4%(lucro)
Resposta: letra a
8-Solução:
Como o lucro é sobre a venda o valor de venda corresponde a 100%. O valor de custo corresponde a 80%(100 – 80).
X 100%
5000 80
80X = 5000 . 100
X = 00,250.680
100.5000
Pela fórmula:
V = C + L
V =?
C = 5000
L = 20% . v = 0,2V
V = 5000 + 0,2V
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15
V – 0,2 V = 5000
0,8V = 5000
V = 250.68,0
5000
Resposta: letra c
9-solução:
Como o prejuízo é sobre a venda o valor de venda corresponde a 100%. O valor de custo corresponde a
110%(100 + 10).
X 100
50 110
110 x = 50. 100
X = 45,45110
100.50
Pela fórmula:
V = C – P
V = ?
C = 50
P = 10% . V = 0,1V
V = 50 – 0,1V
V + 0,1V = 50
1,1V = 50
V = 45,451,1
50
10-Solução:
Como o lucro é sobre a compra o valor de compra é 100% e
o valor de venda será 130%(100 + 30)
1800 100
X 130
100X = 1800 . 130
X = 2340100
130.1800
Usando a fórmula:
C = 1800
V = ?
L = 30% .C =0,3 . 1800 = 540
V = C + L
V = 1800 + 540
V = 2.340
11-Solução:
- caixa 1 atendeu a 30%,
- caixa 2 não atendeu a 79% e (logo atendeu 21%)
- caixa 3 não atendeu a 75% (logo atendeu 25%)
O caixa 4 atendeu x pessoas
Somando-se o percentual de todos os atendimentos encontramos:
30% + 21% + 25% + x = 100
X= 100 – 76= 24%
Resposta: letra d
12-Solução:
Como o período é do dia 13 ao dia 14 de maio o valor do dia
13 será o referencial, ou seja, 100%. O valor do dólar do dia
14(3,092), corresponde a 98,66%(100-1,34), pois é menor conforme pode ser constatado pelo gráfico.
100% x
98,66% 3,092
98,66x = 100 . 3,092
X = 1339955,366,98
092,3.100
Analisando as alternativas podemos constatar que o valor que
mais se aproxima é a letra b que vale 3,134.
Resposta: letra b
13-Solução:
Pela dica do Ronilson, vem:
+ 20 – 20 + 2,0.(-2,0) = -4%( o valor negativo indica que houve prejuízo).
Resposta: letra b.
14-Solução:
Como não falou se o lucro foi sobre a venda ou sobre a
compra, logo é sobre a compra.
V =16.500
L = 10% . C = 0,1C
C = ?
V = C + L
16.500 = C + 0,1C
1,1C = 16.500
C = 000.151,1
500.16
Como sabemos que o terreno foi comprado por 15.000 que
corresponde a 100%, logo:
15.000 100%
20.700 x
15.000X = 20.700 x 100
X= 13815000
100.700.20
Logo fazendo 138 – 100 = 38%(lucro total)
Resposta: letra a
15-Solução:
Suponhamos que o valor do salário do trabalhador era 100.
Logo o aluguel era 30
Salário inicial = 100
Com um aumento do 500% o seu salário passará a ser
100 + 500% .100 = 100 + 5.100 = 600
Salário final = 600
Aluguel inicial = 30
Com um aumento de 700% o seu novo aluguel será:
30 + 700% .30 = 30 + 7. 30 = 240
Aluguel final = 240
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Agora como a questão pergunta quanto ele está gastando com aluguel após os aumentos, o valor do salário passa a ser
100%.
100% 600
X 240
600X = 100 x 240
X= %40600
240.100
Resposta: letra c
16-solução:
Nos dois primeiros meses temos:
20 + 20 + 2,0 . 2,0 = 44% valor acumulado nos dois primeiros meses
No terceiro mês houve uma desvalorização de 20%:
44 – 20 + 4,4 . (-2,0) = 15,2%
No quarto mês desvalorizou 20%.
15,2 – 20% + 1,52 . (-2,0) = -7,84%(desvalorização)
Resposta: letra b.
17-Solução:
O salário de outubro(X) de 1996 corresponde a 100% e o
salário de janeiro(1500) de 1997 corresponde a 125%(100+25), logo:
X 100
1.500 125
125X = 1500 . 125
X= 1200125
1001500
x
Resposta: letra e
18-Solução:
Era 7.000 com a primeira desvalorização de 20% o carro passou a custar 5.600
7000 – 20%.7000
7000 – 0,2.7000
7000 -1400
5600,00
Após a segunda desvalorização de 20%, passou a custar
4480,00
5600 – 20% .5600
5600 – 0,2.5600
5600 -1220
4480
O carro era 7.000. Hoje o carro novo está 30% mais caro,
logo :
7000 + 30%.7000= 9100
Na troca do carro o proprietário terá que desembolsar
9.100 -4.480
4.620
Resposta: letra b
19-Solução:
5% x 0.024 =
0.05 x 0.024 =0,0012
Resposta: letra b
20-Solução:
Somando se as frações:
20
19
20
1.43.5
5
1
4
3
No pagamento já fora consumido 19/20 do dinheiro, logo o troco é de 1/20, que em porcentagem corresponde a:
%510020
1x
Resposta: letra b
21-Solução:
Basta usarmos regra de três simples:
50% 80
5% x
50x = 5x 80
X = %850
400
22-Solução:
Basta usarmos regra de três simples:
50% 80
5% x
50x = 5x 80
X = %850
400
Resposta: letra a
22-Solução:
Sejam as informações:
4A + 4B= 7(I)
Um selo do tipo A custa 50% a mais que um selo do tipo B,
logo:
A = B + 50% . B = B + 0,5B = 1,5B
A = 1,5B(II)
Substituindo-se II em I vem:
4. 1,5B + 4B = 7
10B = 7
B = 7,010
7 e
A = 1,5B = 1,5 x 0,7 = 1,05
Logo 8 x 1,05 = 8,4
Resposta: letra e
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23-Solução:
O valor restante financiado corresponde a 75%(28.500,00), visto que Laura deu 25% de entrada.Logo:
75% 28.500,00
100% x
75X = 100 x 28.500
X = 000.3875
28500.100
Observe que este valor ainda não é a resposta, corresponde
apenas a 95% do valor de tabela, visto que Laura obteve 5% de desconto, logo:
95% 38.000
100% x
95X = 100. 38000
X = 000.4095
38000100
x
Resposta: letra a
24-Solução:
X – valor do dinheiro de Ana
Y – valor do dinheiro de Luíza
O valor que elas possuem juntas é:
60% . 60 = 36,00
X + Y = 36 (I)
Como Ana possui 6,00 a menos que Luíza tem:
X = Y – 6 (II)
Substituindo II em I, vem:
X + Y = 36
Y – 6 + Y = 36
2Y = 36 + 6
Y= 212
42
Logo X vale:
X = 21 – 6
X = 15( valor que Luíza possui)
Resposta: letra a
25-Solução:
Para saber o número de jovens que consomem cerveja
devemos subtrair de 100% a soma dos que consomem as demais bebidas.
100 - ( 16 + 15 + 25) = 44%(consomem cerveja)
44% . 200 =0,44 . 200 = 88
(total de alunos que consomem cerveja)
Se 25% dos 88 são mulheres, então o número de homens é
75%.
100% 88
75% x
100X = 75 . 88
X = %66100
6600
Resposta: letra a
Em determinado órgão do Poder Executivo, foram alocados
R$ 110.000,00 no orçamento para a aquisição de 1.000 cadeiras de escritório. Com a previsão de realização de um
concurso para provimento de novas vagas, constatou-se a necessidade de compra de mais 300 cadeiras, além das 1.000
já previstas. Com base nas informações da situação hipotética apresentada, julgue os itens a seguir.
26-Solução:
O valor 22.000 é o valor de referência, logo corresponde a 100%.
22.000 100%
110.000 x
22.000.x = 100x 110.000
X = %500000.22
00.110100
x
Se 22.000 corresponde a 100% e 110.000 corresponde a 500%, logo 22.000 é 400% (500 – 100) menor que 110.000
Resposta: certa.
27-Solução:
Se na hora da compra é oferecido 1 cadeira a mais a cada
três compradas equivale a dizer que para cada 3 compradas devo receber 4.
Se 4 cadeiras corresponde a 100% , então 3 vai ser:
4 100%
3 x
4x = 3. 100
X = %754
300
Logo o desconto será: 100 – 75 = 25%
29-Solução:
Era 1000 cadeiras inicialmente. Caso aumente 300 cadeira, o
acréscimo será de 30%.
Para descobrir é só fazer o maior dividido pelo menor e o resultado multiplicar por 100.
X= %301001000
300x que não é igual a 35%
Resposta: errada
30-Solução:
Método 1
Inicialmente cada cadeira custava:
X = 1101000
000.110
Com um aumento de 20%, fica:
110 + 20%.110 = 132
O valor de das 300 cadeiras é:
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300 x 132 = 39.6000
Agora é só descobrir o acréscimo em relação ao orçamento inicial.
110.000 100%
39.600 x
110.000x=3.960.000
X= %36000.110
3960000
31-Solução:
Sabemos que cada cadeira inicialmente custa 110,00 como um desconto de 10% ela passa a custar 99,00:
110 – 10% .110
110 – 11 = 99,00
Resposta: certa
32-Solução:
Suponhamos que inicialmente tenha sido gasto 100% com carne. Caso o gasto aumente de 42%, ou seja
passe para 142%, para que o desembolso mantenha-se constante é necessário que o consumo diminua.
Subindo o preço da carne, para que um consumidor
continue gastando o mesmo valor, ele terá que diminuir a quantidade de carne consumida, logo é uma regra de três
inversa.
A regra de três inversa pode ser resolvida igualando-se o produto dos valores na horizontal.
Gasto consumo
100% 100%
142% x
142x = 100. 100
X= %42,70142
10000
Diminuição= 100 – 70,42 = 29,58%
Esse valor está compreendido entre 28% e 32%
Resposta: letra c
33-Solução:
X – número de fileiras
Y – Número de cadeiras por cada fileira
Se fizermos o produto do número de fileiras pelo número de cadeiras em cada fileira deveremos obter o número total de
cadeiras.
X . Y = 252(I)
Como o número de cadeiras por fileira é maior em 75% ao
número de fileiras, logo:
Y = X + 0,75. X
Y = 1,75X(II)
Substituindo-se II em I
X. 1,75X = 252
X2 = 14475,1
252
X = 12144 (só a raiz positiva serve)
Substituindo-se o valor 12 em II, vem:
Y = 1,75. 12 = 21 cadeiras por fileira
34-Solução:
Nessa questão devemos usar a dica do Ronilson:
LB =d100
)L +d(100 L
LB = 30%
LL = 10%
1
30=
d100
10) +d(100
100.(d + 10) = 30.(100 – D)
100D + 1000 = 3000 – 30.d
100D + 3OD = 3000 – 1000
130D = 2000
D=
130
2000
D = 15,38
Como foi solicitado apenas a parte inteira, logo fia 15.
Resposta: letra b
35-Solução:
Suponhamos que o valor inicial de cada artigo seja
R$ 100,00, após um desconto de 20% esses artigos começarão a ser comercializados por R$ 80,00.
O valor com o desconto(R$ 80,00) corresponde a
100% e o novo(R$ 100,00) valor após o aumento corresponde a x.
Preço %
80 100
100 x
80x = 100. 100
X=
80
10000=125%
Desta forma o aumento será:
125 – 100 = 25%
Resposta: letra d
4- JUROS SIMPLES E COMPOSTOS Quando compramos algum objeto financiado ou
fazemos algum empréstimo no mercado financeiro, incidem juros nas parcelas.
Os juros podem ser simples ou composto.
JUROS SIMPLES É o sistema de juros onde a capitalização ocorre ao final dos períodos em que o capital é aplicado de forma linear.
Pouco são os casos em que esse sistema é utilizado. São
usados pricipalmente nos cálculo dos juros judiciais.
Para calcularmos os juros simples utilizamos a fórmula:
J = Cin
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Onde:
C = capital ou principal( valor presente)
i = taxa
n = tempo
J = 100
Cin ( fórmula alternativa)
Obs: Para usarmos a primeira fórmula devemos
primeiramente dividir o valor da taxa por 100.
Pela observação da fórmula percebemos que os juros são diretamente proporcionais à taxa, ao tempo e ao
capital aplicado.
Entre se, capital, taxa e tempo são inversamente
proporcionais.
Também pela utilização da fórmula percebemos que C, i e n são inversamente proporcionais entre se.
Na resolução dos problemas a taxa e o tempo devem
está na mesma unidade.
Juros comerciais
Juros exatos
Mês 30 dias Depende do mês
Ano 360 dias 365
Quando a questão solicitar o cálculo de juros exatos
os dias deverão ser contados dia a dia exemplo,
Quando na questão quisermos calcular os juros de 3 de agosto de 2010 À 20 de dezembro de 2010, o problema
estará tratando de juros exatos e desta forma estaremos trabalhando dia a dia.
Um ano exato tem 365 dias. As exceções são os
anos bissextos(2008, 2012, 2016, 2020...).
É necessário que o aluno também saiba quantos dias tem cada mês do ano.
Entoe esta música que ajuda a fixar quantos dias tem cada
mês:
“Trinta dias tem abril, junho, setembro e novembro. Fevereiro 28 tem. Os demais 31 todos terão.”
Grafico dos juros simples:
Para um mesmo capital, temos o gráfico dos juros
como mostra a figura abaixo.
Os juros crescem proporcionalmente ao capital, a taxa e o tempo. Suponhamos que i e n seja1, vamos contruir o gráfico
dos juros em função do capital.
J = Cin
J =C.1.1
J = C
Para C = 10, J = 10
Para C = 20, J = 20
Para C = 30, J = 30
E assim sussecivante:
Juros Capital
10 10
20 20
30 30
40 40
O capital aumenta de 10 em 10 reais e os juros também.
Logo o gráfico é uma reta, visto que os juros crescem proporcionalmento ao capital.
Construindo-se o gráfico vem:
GRAFICO DOS JUROS SIMPLES
0
10
20
30
40
50
CAPITAL
JUR
OS Juros
Capital
OBS:Para um determinado capital fixo os juros são diretamente proporcionaisl, a taxa e ao tempo.
MONTANTE EM JUROS SIMPLES
Montante ou valor futuro em juros compostos para
um capital fixo cresce linearmente em função da taxa e do tempo.
Mn = C(1 + i)
Obs: para usamos essa fórmula devemos primeiramente dividir o valor da taxa por 100.
Na resolução dos problemas a taxa e o tempo devem está na
mesma unidade.
Grafico do montante em simples:
De m aneira similar o gráfico será uma reta crescente
M
C i, n
PROVAS COM GABARITO COMENTADO
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20
1 – Um capital de R$ 600,00 foi aplicado durante 5 meses a juros simples a uma taxa de 6% ao mês. Qual foi os juros
obtidos ao final desse período?
1-Solução:
Método 1
Nesse caso basta multiplicarmos o número de meses pelo valor da taxa: 5 x 6 = 30% que corresponde aos juros.
J = 30% . 600 = 0,3 . 600 = 180,00
2 – Qual foi capital que aplicado 3 meses à 20% ao ano
rendeu R$ 800,00 de juros simples.
3 – Qual é o montante a juros simples de uma aplicação de R$ 1200,00 à taxa de 10% a.m. durante 6 meses?
4 – A que taxa anual um certo capital deve ser aplicado para
que, num prazo de 2 anos, triplique de valor?
5 – Um certo capital foi aplicado a uma taxa i, durante um período t e rendeu só De juros J. Caso esse mesmo capital
seja aplicado a uma taxa que é o dobro da primeira e durante
um período que é o quádruplo do primeiro o valor dos novos
juros simples será o do primeiro multiplicado por:
a)2
b)4
c)6
d) 8
e) 10
6 – (ESAF) Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 desta
mesma quantia de juros simples em 4 anos, qual é a taxa aplicada?
a) 20% ao ano
b) 125% ao ano
c) 12.5% ao ano
d) 200% ao ano
e) 10% ao ano
7 – (ESAF) Um capital de R$ 14.400 aplicado a 22% ao ano
rendeu R$ 880 de juros simples. Durante quanto tempo esteve empregado?
a) 3 meses e 3 dias
b) 3 meses e 8 dias
c) 2 meses e 23 dias
d) 3 meses e 10 dias
e) 27 dias
8 – (ESAF) Se em 5 meses o capital de R$ 250.000,00 rende
R$ 200.000,00 de juros simples à taxa de 16% ao mês, qual o tempo necessário para ganhar os mesmos juros se a taxa
fosse de 160% ao ano?
a) 6meses
b) 7meses
c) 8meses
d) 9meses
e) 10meses
9 – (FCC) Emprestei ¼ do meu capital, a 8% ao ano, 2/3 a 9% ao ano, e o restante a 6% ao ano. No fim de um ano
recebi R$ 102,00 de juros simples. Determine o capital.
a) R$ 680,00
b) R$ 840,00
c) R$1.200,00
d) R$ 2.530,00
e) R$ 12.600,00
10 – FCC - O capital de R$ 1.200.000,00 está para seus juros assim como 4 está para 3. determinar a taxa de juros
simples, considerando que o capital esteve empregado 1 ano e 3 meses.
a) 6% a.m.
b) 60% a.m.
c) 5% a.a.
d) 66% a.a.
e) 50% a.a.
11 – (ESAF) Quanto se deve aplicar a 12% ao mês para que
se obtenha os mesmos juros simples que os produzidos por R$ 400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o
mesmo período?
a) R$ 420.000,00
b) R$ 450.000,00
c) R$ 480.000,00
d) R$ 520.000,00
e) R$ 500.000,00
12 – (ESAF) Três capitais são colocadas a juros simples: o primeiro a 25% a.a., durante 4 anos, o segundo a 24% a.a.,
durante 3 anos e 6 meses o terceiro a 20% a.a., durante 2 anos e 4 meses. Juntos renderam um juro de R$ 27.591,80.
Sabendo que o segundo capital é o dobro do primeiro e que o
terceiro é o triplo do segundo, o valor do terceiro capital é:
a) R$ 30.210,00
b) R$ 10.070,00
c) R$ 15.105,00
d) R$ 20.140,00
e) R$ 5.035,00
13 – (ESAF) Carlos aplicou ¼ de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de um ano, e o restante
do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo e regime de capitalização. Sabendo-se que uma das aplicações
rendeu R$ 594,00 de juros a mais do que a outra, o capital inicial era de R$:
a) 4.600,00
b) 4.400,00
c) 4.200,00
d) 4.800,00
e) 4.900,00
14- (FCC) Numa aplicação a juro simples um capital produz
em 2 meses o montante de R$ 5 460,00. Se aplicado à mesma taxa mensal, o mesmo capital produziria, ao final de
5 meses, o montante de R$ 5 850,00. O valor desse capital é
(„A) R$ 5 280,00
(B) R$ 5 200,00
(C) R$ 5 180,00
(D) R$ 5 100,00
(E) R$ 5 008,00
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21
15- (FCC). Um capital foi aplicado a juro simples e, ao completar um período de 1 ano e 4 meses, produziu um
montante equivalente a 7/5 de seu valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de.
a) 2%
b) 2,2%
c) 2,5%
d) 2,6%
e) 2,8%
16- FCC Um capital de R$ 15 000,00 foi aplicado a juro
simples à taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19050,00, o prazo dessa aplicação deverá
ser de
a)1 ano e 10 meses.
b)1 ano e 9 meses.
c)1 ano e 8 meses.
d)1 ano e 6 meses.
e)1 ano e 4 meses.
17-(BANESE-2004) O valor aplicado pelo investidor nos 2 bancos foi superior a R$ 15.000,00.
18-(BANESE-2004) Os juros obtidos pelo investidor no
banco B foi superior a R$ 2.800,00.
19-(BASA-2004)
Se a taxa mensal for de 2% ao mês, os juros simples obtidos
por um capital de R$ 24.000,00, aplicado durante 3 anos e quatro meses, são iguais a R$ 19.200,00.
20-CESPE-2007
O valor dos juros produzidos por um capital aplicado durante
quatro anos à taxa anual de juros simples de 12,5% corresponde a 50% do capital inicial.
21 - (FCC – BB/2011) Um capital de R$ 10.500,00 foi
aplicado a juros simples. Sabendo que a taxa de juros contratada foi de 42% ao ano, então, não tendo sido feito
qualquer depósito ou retirada, o montante de R$ 11.725,00 estará disponível a partir de quanto tempo da data de
aplicação?
(A) 4 meses.
(B) 3 meses e 20 dias.
(C) 3 meses e 10 dias.
(D) 3 meses.
(E) 2 meses e 20 dias
GABARITO COMENTADO
1-Solução:
Método 1
Nesse caso basta multiplicarmos o número de meses pelo valor da taxa: 5 x 6 = 30% que corresponde aos juros.
J = 30% . 600 = 0,3 . 600 = 180,00
Método 2:
Usando a fórmula J = Cin, vem
C = 600,00
n = 5 meses
i = 6% = 0,06
J = Cin
J = 600 . 0,06 . 5
J = 180,00
2-Solução:
Método 1:
C ?
n = 3 meses
i = 20% ao ano = 20/12 = 5/3 % ao mês
obs: foi dividido por 12 pois um ano tem 12 meses.
j = 800
utilizando-se a fórmula:
j = 100
Cin
800 =
100
.33
5C.
(cortando-se 3 com 3)
800 =
100
C.5
5C = 800 . 100
C = 5
800.100
C = 16.000,00
Método 2
O capital aplicado(X) corresponde a 100%.
Em 3 meses a 20% ao ano tivemos um acréscimo de 800,00,
que nesta questão corresponde a 5%( %512
3.20 ).
100% x
5% 800
5. X = 100. 800
X = 5
800.100
X = 16.000
3-Solução:
Método 1:
Como o juros é simples e a taxa é de 10% ao mês, logo em 6 meses esse capital estará aumentado em 60%.
Daí vem:
1200 100%
X 160%
(160% = 100% + 60%)
100X = 1200. 160
X = 12 . 160
X = 1920,00
Método 2:
M = ?
C = 1200
i = 10% a.m = 0,1
n = 6meses
Aplicando diretametne na fórmula:
M = C(1 +in)
M = 1200(1 + 0,1 .6)
M = 1200. 1,6
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22
M = 1920,00
4-Solução:
i = ?
C = 100
Obs: quanto não for citado valores, ao invés de se trabalhar com incógnitas é bem mais prático se atribuir ao valor
desconhecido 100.
n = 2 anos
M = 3. 100 = 300, daí concluimos que os juros é de 200.
Aplicando na fórmula J = Cin
200 = 100 . i. 2
200i = 200
i = 1 x 100 = 100%
Obs: Quando a questão é encontrar o valor da taxa no final sempre multiplicamos por 100.
5-solução:
Como sabemos os juros simples são proporcionais ao capital,
taxa e ao tempo.
Se o capital é o mesmo. A taxa foi dobrada e o tempo foi
quadruplicado, então os juros serão multiplicado por oito.
2 . 4 = 8
Resposta: letra d
6-Solução:
O valor do capital não foi apresentado no problema. Para
facilitar o cálculo podemos atribuir qualquer valor ao capital,
porém é melhor atribuir um que seja divisível pelos denominadores das frações apresentadas, digamos 80.
C = .8
6
J = 8
3
Utilizando a fórmula J = Cin:
3/8 =(6/8) .i. 4
(elimina-se o 8 de um lado e outro pois estão na mesma
horizontal)
3 = 6.i.4
24i= 3
%5,12100.8
1
3:24
3:3i ao ano
Resposta: letra c
7-Solução:
C = 14.400
i = 22% ao ano = 0,22 a.a.
J = 880
Como a questão trata de juros simples, logo a podemos usar a regra J = C.i.n
J = C.i.n
880 = 14.400x0,22 . n
144. 22n = 880
n = ano18
5
8:144
8:40
22.144
880
Obs: foi dividido 880 por 22 que dar 40 o que ajuda a simplificar a questão.
Devemos agora multiplicar o resultado por 360 dias
18
5x 360 = 100 dias
100 dias = 3 meses e 10 dias
Resposta: letra d
9-Solução:
É uma questão um tanto trabalhosa.
Jtotal = 102
C = X
C1 = 4
1X a 8% = 0,08 a.a, n = 1ano
J1 =4
1X.0,08 .1 =0,02.X
C2 = 3
2x a 9% = 0,09 a.a, n = 1 ano
J2 =3
2X.0,09 .1 = 06,0
3
0,18X x
Somando as frações já utilizadas: 4
1+
3
2=
12
11
12
2.41.3
Se já foi emprestado 11/12 ainda falta ser emprestado 1/12:
C3 = 12
1X, n = 1ano, n = 6% = 0,06
J3 =12
1x 0,06 .1= 0,005X
J1 + J2 + J3 = Jtotal
0,02x +0,06x + 0,005x = 102
0,085.x = 102
X =085,0
102=1200,00
Resposta: letra C
10-Solução:
C=1.200.000,00
J = ?
n = 1 ano e 3 meses = 15 meses
Como 1.200.000 está para os seus juros assim como 4 está para 3, logo forma-se uma proporção.
3
400.200.1
J
4J = 1.200.00 x 3
J = 000.9004
00.600.3
Aplicando na fórmula, J = Cin, vem:
900.000 = 1.200.000. i. 15
i = 05,015000.200.1
000.900
x
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23
i = 0,05 x 100
i = 5% ao mês
i = 5% x 12 = 60% ao ano
Resposta: letra b
11-Solução:
Como C, i e n são inversamente logo devemos igualar os produtos horizontais abaixo:
12% X
15% 400.000
12X = 15X 400.000
X = 50000012
400000.15
Resposta: letra e
12-Solução:
C1 = X, i1=25%aa = 0,25, n = 4 anos
J1 = X. 0,25. 4 = X
C2 =2 X, i2=24%aa = 0,24, n = 3 anos e 6 meses = 3,5 anos
J2 = 2X. 0,24. 3,5 = 1,68X
C3 = 3. 2X = 6X, i3=20%aa = 0,2 n=2 anos e 4 meses = 2
+3
7
12
4 anos
J2 = 6X. 0,2. 7/3 = 2,8X
A soma de todos os juros, vale?
J1 + J2 + J3 = 27.591,80
X + 1,68X + 2,8X = 27.591,8
5,48X = 27.591,80
X =48,5
80,591.27
X = 30.210,00
Resposta: letra a
13-Solução:
C1= X4
1, i = 18%aa = 0,18aa, n=1ano
J1 = X4
1.0,18 = 0,045X
C2= X4
3, i = 24% aa = 0,24aa, n = 1 ano
J2 = X4
3. 0,24 = 0,18X( J2 > J1)
J2 = J1 + 594
0,18X = 0,045X + 594
(0,18 – 0,045). X = 594
0,135X = 594
X = 135,0
594= 4.400,00
Resposta: letra b
14-Solução:
A regra ser utilizada é a do montante a juros simples:
M = C(1 + in)
M1 = X.(1 +2i) = 5.460 (I)
M2 = X.(1 + 5i) = 5.840 (II)
Dividindos-e a I por II, vem:
5.840
5.460
5i) + X.(1
2i)+ X.(1
5.840
5.460
5i + 1
2i+ 1
(1+5i).5460 = (1 + 2i).5850
5460 + 27.300i = 5850 + 11700i
27300i – 11700i = 5850 – 5460
15.620i = 380
025,0 15600
390i
Substituindo-se em qualquer uma das regras I ou II
encontramos o valor do capital X.
X.(1 +2i) = 5.460
X(1 + 2. 0,025) = 5.460
1,05X = 5460
00,200.5 1,05
5460X
Resposta: letra b
15-Solução:
C = 100( quando o valor não é sabido)
n = 1ano e 4 meses = 16meses
M = 00,140100. 5
7
Aplicando na regra: M =C(1 + in)
140 =100(1 + 16i)
100 + 1600i = 140
1600i =140 – 100
i = 025,0 1600
40
i = 0,025 x 100 = 2,5% ao mês
resposta:letra c.
16-Solução:
C = 15.000
i = 3% ao bimestre=0,03
M = 19.050
n = ?
A regra ser aplicada é M = C(1 + in)
19.050= 15.000(1 + 0,03n)
15.000(1 + 0,03n) = 19.050
15.000 + 450n = 19.050
450n = 19.050 – 15.000
n= 450
4050
450
40509 bimestres x 2 = 18 meses
n = 1 ano e 6 meses
Resposta: letra d
Um investi7dor aplicou 2/3 do seu capital no banco A à taxa de juros simples de 4,5% a.m. e o restante no banco B à
taxa de juros simples de 36% a.a., ambos com capitalização
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24
mensal. Decorridos 2 anos e 6 meses de aplicação, esse investidor recebeu um total de juros, correspondente aos dois
bancos, de R$ 10.800,00.
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens subseqüentes.
17-Solução:
C1 = (2/3).X (banco A)
i1 = 4,5% a.m.=0,045
n1=2,5 anos = 30 meses
J1 =(2/3).X. 0,045. 30 =0,9X
Se já foi aplicado 2/3 ainda falta ser aplicado mais 1/3.
C2 = (1/3).X ( banco B)
i2= 36% a.a. = 36/12 = 3% a.m. = 0,03,
n2 = 2,5 anos = 30 meses
J2 = (1/3).X. 0,03. 30 =0,3X
Juros total = 10.800,00
J1 + J2 = JT
0,9X + 0,3X = 10.800
1,2. X = 10.800
X = 000.9 1,2
10.800 que é muito inferior a 15.000, logo:
Resposta: errada
18-Solução:
J2 = 0,3.X
J2 = 0,3. 9000 =2.700 valor inferior a R$ 2.800,00, logo:
Resposta: errada
19-Solução:
i = 2% ao mês = 0,02
C = 24.000,00
n = 3 anos e 4 meses = 40 meses
J = Cin
J = 24.000 x 0,02 x 40
J = 19.200
Resposta: certa
20-Solução:
n = 4 anos
i = 12,5% = 0,125
J = 50% do Capital
Fazendo 12,5 x 4 = 50% logo o capital inicial estará aumentado em 50%
Resposta: certa
21 -Solução:
C = 10.500
i = 42% ao ano= 42/12 = 3,5% ao mês = 0,035
M = 11.725
n = ?
Substituindo-se os dados na fórmula: M = C(1 + in), vem:
11725 = 10500( 1 + o,035n)
10500 + 367,5n = 11725
367,5n = 11725 – 10500
n = 367,5
12253,333...meses ou 3 meses e 1/3 do mês = 10
dias
(ver dízima periódica no capítulo 2)
n = 3 meses e 10 dias
JUROS COMPOSTOS É o regime de juros, onde a capitalização é feita
periodicamente. É o que comumente se fala em juros sobre juros.
A taxa é cumulativa, ou seja, cresce
exponencialmente.
Montante é o saldo final que obtemos após aplicarmos em capital por um certo período e a uma
determinada taxa.
Para calcularmos o montante utilizamos a seguinte fórmula:
M = C(1 + i)n
Onde:
M = montante ou valor futuro
C = capital ou valor presente ou valor atual
i = taxa
n = tempo
Observações:
1- O Montante também pode ser conhecido valor nominal,
valor de face ou valor futuro.
2 - Nas questões de juros compostos não devemos mexer com a unidade da taxa. Se a unidade do tempo não for a
mesma da taxa, devemos transformá-la para a unidade da taxa
QUESTÕES COMENTADAS
1- Aplicando 1500,00 em um banco a juros compostos,
obteremos após 2 meses, a uma taxa de 20% ao mês, um montante de:
Solução:
Método 1:
C = 1.500
n = 2 meses
i = 20% ao mês = 0,2
M = C(1 + i)n
M = 1500(1 + 0,2)2
M = 1500 1,22
M = 1500 . 1,44
M = 2.160
Método 2
Pela dica de Ronilson sabemos que 20% ao mês, em juros compostos é equivalente a 44% ao bimestre
20 + 20 + 2,0 . 2,0 = 44%
Desta forma o montante será:
M=1500 + 44% de 1500
M=1500 + 0,44 . 1500
M=1500 + 660
M=2.160,00
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25
2 – Qual a quantia que, colocada em um banco,a juros compostos de 10% a.m., durante 2 meses, rendeu R$
2100,00?
Solução:
Método 1:
Pelo macete do Ronilson, sabemos que se a taxa é de 10% ao mês, em dois meses, como é juros sobre juros, o
valor equivalente é 21% em dois meses.
Desta forma, fazendo-se uma regra de três simples, vem:
21% 21.000
100% x
21x = 21000 . 100
X = 1000021
2100000
Resposta: 10.000
Método 2
i = 10% ao mês = 0,1
n = 2 meses
J = 2.100
C = ?
M = C(1 + i)n
M = C + j
C + j = C(1 + i)n
C + 2100 = C(1 + 0,1)2
C(1,1)2 = C + 2100
1,21C – C = 2100
0,21C = 2100
C = 1000021,0
2100
3 – Um capital de 1000,000, aplicado a juros compostos, em 3 meses, apresentou um montante de 1331,00. Qual foi a
taxa dessa aplicação?
Solução:
Método 1
Como passou de 1000 para 1331 é porque houve um
aumento de 331, que em porcentagem corresponde a:
%1,33100.1000
331
Sabemos que no sistema de juros compostos, 10% em dois meses é equivalente a 21%. Fazendo o acumulado de 21%
com mais 10% do terceiro mês aí dá 33,1%. Logo a taxa dessa aplicação foi de 10%.
Resposta: 10%
Método 2
i = ?
n = 3 meses
C = 1000
M = 1331
M = C(1 + i)n
1331=1000(1 +i)3
1000
1331(1 +i)3
(1 +i)3 =1,331 (como é sabido 1,331 = 1,13)
(1 +i)3 =1,13
1 + i = 1,1
i =1,1-1
i =0,1.100
i = 10% ao mês
REGRAS ESPECIAIS DE JUROS
São regras que são utilizadas quando o problema é encontrar a taxa ou tempo
a)Cálculo da taxa em juros compostos
n
nn
C
CMi
1
11
QUESTÕES COMENTADAS
1-(CAIXA – 2004) Num regime de capitalização composta, o montante M, resultante da aplicação de um capital C à taxa
porcentual i, por n períodos, é dado pela lei M = C.(1+i). Assim, dados M, C e n, a taxa i pode ser calculada pela
expressão:
a) i =(M/C)1/n
b) i =(M - C)1/n
c) i =(M1/n –C1/n)/C1/n
d) i =(Mn – Cn)/Cn
e) i =(M + C)n
Solução:
De acordo com a relação anterior a resposta certa é a letra C.
b)Cálculo do período:
iC
M
n
1log
log
QUESTÃO COMENTADA
1 – Um capital foi quadruplicado em um certo período no
regime de juros compostos sabendo-se que a taxa é de 100% ao mês, então determine o período dessa aplicação:
Solução:
Suponhamos que o capital é R$ 100,00, logo o valor do
montante é R$ 400,00, pois foi quadruplicado.
Aplicando na fórmula, vem.
n =?
i =100% ao mês = 1
C = 100
M = 400
11log
100
400log
n
2log
4logn
Aplicando o inverso da mudança de base, vem:
2log
4logn =log2
4
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26
n = 2 meses
GRÁFICO DO MONTANTE EM FUNÇÃO DE n
O montante varia em função do capital aplicado, da taxa e do tempo da aplicação. Suponhamos um capital de
R$100,00 que será aplicado durante n períodos diferentes e a uma taxa de 10%. Determine o gráfico:
Substituindo-se na fórmula M = C (1 + i)n, vem:
Para n = 0(momento da aplicação)
Mo= 100(1+ 0,1)0 = 100
Para n = 1
M1 = 100. 1,11= 110
Para n = 2
M2= 100. 1,12=100. 1,21 = 121
Para n = 3
M3=100. 1,13 = 100. 1,331 = 133,1
Para n = 4
M4= 100. 1,14 = 100. 1,4641 = 146,41
Para n = 5
M5= 100. 1,15 = 100. 1,621051= 161,051
Tempo Montante
0 100,00
1 110,00
2 121,00
3 133,10
4 146,41
5 161,05
6 177,16
7 194,87
8 214,36
9 235,79
MONTANTE EM JUROS COMPOSTOS
0
50
100
150
200
250
TEMPO
MO
NTA
NTE
TEMPO
MONTANTE
PROGRESSÃO LINEAR E ESPONENCIAL
Situações menos corriqueiras em concursos. Caso em que o período é quebrado, como por exemplo 40 dias( que no caso
corresponde a um mês e dez dias.
a)Linear
Um capital de R$ 1000,000 é aplicado a uma taxa de 10% ao mês, durante 3 meses e 10 dias no sistema de capitalização
composto. Determine o valor do montante ao final desse período utilizando a progressão linear;
Solução:
- Nos três primeiros meses toma-se a parte inteira do período
e aplica-se a fórmula do montante.
C = 1000,00
n = 3 meses
i = 10% ao mês 0,1
M = C(1 + i)n
M = 1000.(1 +0,1)3
M = 1000.(1,1)3
M = 1000. 1,331
M = 1.331
- Nos dez dias restantes utiliza-se a regra de três simples.
10% 30 dias
X 10
30.X = 100
X= %33,330
100
3,33% . 1000 = 0,0333 .1000 = 33,33
Logo o montante total ao final do período é a soma dos
valores encontrados nos dois períodos acima.
1.331 + 33,3 = 1364,3
b) Exponencial
Nesse caso o valor do período n a ser utilizado na fórmula do montante será:
n = 3 meses + 1/3 do mês(os dez dias)
n = 3 + 3
10
3
1 meses
C = 1000,00
i = 10% ao mês 0,1
M = C(1 + i)n
M = 1000.(1 +0,1)10/3
M = 1000.1,110/3 = 1000. 1,373964
M = 1.373,9
Observação importante
O montante exponencial é sempre superior ao montante linear.
Mexponencial > Mlinear
EVOLUÇÃO NO TEMPO DO MONTANTE JSIMPLES X
JCOMPOSTOS
O montante em juros simples para períodos menores que a unidade e maiores que zero é superior ao
montante em juros compostos.
Quando o tempo é igual a uma unidade o os valores dos montantes são iguais.
Pelas regras
Ms =C.(1 + in)= C (1 + i.1)=C .(1 + i)
Mc= C.(1 + i)n = C.(1 + i)1 = C .(1 + i)
A partir de n maior que uma unidade o montante em juros compostos passa a ser maior que o montante a juros
simples;
0<n < 1 n = 1 n > 1
JUROS MS > MC MS = MC Mc > Ms
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Essas afirmações também podem ser constatadas através do gráfico:
a) para 0<n < 1, implica que M1 > M2
b) para n = 1, implica que MS = MC
c) para n > 1, implica Mc > Ms
M MC
Ms=MC MS
1
C 2
n = 1 n
QUESTÃO COMENTADA
1 – (CAIXA-2008) O gráfico a seguir representa as
evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros.
M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa
de juros utilizada.
Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros
(A) compostos, sempre.
(B) compostos, se o período do empréstimo for menor do que
a unidade de tempo.
(C) simples, sempre.
(D) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo.
(E) simples, se o período do empréstimo for menor do que a
unidade de tempo.
Solução:
A resposta certa é a letra E.
Se for traçado uma reta perpendicular entre zero e um,
percebe-se que nesse intervalo é mais vantajoso os juros SIMPLES, pois a reta está abaixo da curva.
SINÓPSE – JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS
DEFINIÇÃO É o regime de
capitalzação onde a incidência dos
juros ocorrem no final do período
em que o capital é aplicado a taxas
que são apresentadas em
intervalos menores
É o regime de
capitalização onde os juros incidem durante
todo
JUROS J = c . i . n -
MONTANTE M = C(1 + in) M = C(1 + i)n
TAXA
nC
Ji
.
n
nn
C
CMi
1
11
TEMPO
iC
Jn
.
iC
M
n
1log
log
GRÁFICO DO
MONTANTE
Linear
exponencial
PROVAS COM GABARITO COMENTADO
Um funcionário demitido recebeu o seu FGTS e investiu
parte dele em uma instituição financeira que remunera os investimentos captados com juros compostos capitalizados
mensalmente.
A partir dessa situação, julgue os itens que se seguem, considerando 0,301 e 0,477 como valores aproximados de log
2 e log 3, respectivamente.
1-(BRB – 2009) Se, ao final do terceiro mês após o investimento, o montante for de R$ 20.000,00 e, ao final do
quinto mês, de R$ 24.200,00, então o capital investido inicialmente foi inferior a R$ 16.000,00.
2- (BASA – CESPE-2007)
Considere a seguinte situação hipotética.
Marta, estudando a possibilidade de trocar de carro daqui a 1
ano, fez uma pesquisa e concluiu que necessitará, na data da negociação, de R$ 30.000,00. Ela procurou então uma
instituição financeira para fazer uma aplicação e ter, no tempo certo, a quantia necessária. A instituição financeira
remunera as aplicações de seus clientes em 1% ao mês.
Nessa situação, tomando-se 1,13 como valor aproximado
para , conclui-se que, para que Marta tenha o valor
necessário para a troca do seu carro daqui a um ano, ela necessitará aplicar hoje uma quantia inferior a R$ 25.000,00.
4- SEFAZ-CESPE-2009
Os juros aplicados foram de 1% ao mês.
5- SEFAZ-CESPE-2009
Foi utilizado o sistema de capitalização composto.
6- SEFAZ-CESPE-2009
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Se a aplicação fosse por um período de 5 meses, então o montante no final do período seria superior a
R$ 1.050.000,00.
7-(CESPE-BANESE/2004)Considere que uma pessoa tome
R$ 1.500,00 emprestados a juros de 10% ao mês, pelo prazo de 2 meses. Nesse caso, se a capitalização for
composta, o montante a ser devolvido no final do período será superior a R$ 1.800,00.
8-(BASA-2004)No regime de juros simples, o capital evolui
linearmente enquanto que, no regime de juros compostos, essa evolução é exponencial.
9-(BASA-2004)Investindo-se R$ 10.000,00 hoje a uma taxa
anual de juros composta de 20%, capitalizados anualmente, obter-se-ão, daqui a dois anos, R$ 14.400,00.
Julgue os próximos itens, acerca de matemática financeira.
10-(CESPE-SEFAZ-2008) Se um capital de R$ 2.000,00
foi aplicado por um período de 2 meses, sem saques no período, e o montante desse investimento, ao final dos 2
meses, foi de R$ 2.205,00, então, nesse investimento, foi praticada a taxa de juros compostos de 5% a.m.
11-CESPE-SEFAZ-2008 Considere que R$ 2.000,00 tenham
sido investidos em uma aplicação financeira que paga juros
compostos de 5% a.m. e que, depois de certo período em que não houve qualquer saque ou nova aplicação nesse
investimento, o montante era de R$ 2.315,25. Nessas condições, é correto concluir esse investimento foi feito por 3
meses.
12-CESPE- 2008 Considere que os investimentos feitos na instituição financeira A são pagos a uma taxa de juros
simples de 1% ao mês, enquanto os feitos na instituição financeira B são pagos a uma taxa de juros compostos
também de 1% ao mês.
Nessas condições, se o capital de R$ 1.000,00 foi aplicado por um período de 3 meses em uma dessas instituições e o
montante dessa aplicação, ao final dos 3 meses, foi superior a R$ 1.030,00, é correto concluir que o capital foi investido na
instituição financeira B.
13 –A aplicação de R$ 5.000,00 a taxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o montante de:
a) R$ 10.358,00
b) R$ 10.368,00
c) R$ 10.378,00
d) R$ 10.388,00
14 –Um investidor aplicou a quantia de R$ 20.000,00 a taxa
de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital irá gerar após 3 meses?
a) R$ 26.420,00
b) R$ 26.520,00
c) R$ 26.620,00
d) R$ 26.720,00
15 - Um capital de US$ 2.000,00, aplicado à taxa racional
composta de 5% a.m., em 1 ano produz um montante de
quantos dólares? Dado: (1,05)12
= 1,79586.
a) US$ 3.291,72
b) US$ 3.391,72
c) US$ 3.491,72
d) US$ 3.591,72
16 – (ESAF) A aplicação de um capital de R$ 10.000,00, no regime de juros compostos, pelo período de três meses, a
uma taxa de 10% ao mês, resulta, no final do terceiro mês, num montante acumulado:
a) de R$ 3.000,00
b) de R$ 13.000,00
c) inferior a R$ 13.000,00
d) superior a R$ 13.000,00
e) menor do que aquele que seria obtido pelo regime de juros
simples.
17 – (ESAF) Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos, na base de 10% ao ano,
seu montante final é:
a) 30% superior ao capital inicial.
b) 130% do valor do capital inicial.
c) aproximadamente 150% de capital inicial
d) aproximadamente 133% do capital inicial
18 –Um investidor aplicou a quantia de R$ 100.000,00 a taxa
de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital
irá gerar após 4 meses?
a) R$ 140.410,00
b) R$ 142.410,00
c) R$ 144.410,00
d) R$ 146.410,00
19 – (AFTN) Uma pessoa aplicou R$ 10.000,00 a juros
composto de 15% a.a., pelo prazo de 3 ano e 8 meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao
final do prazo era de:
a) R$ 16.590
b) R$ 16.602
c) R$ 16.698
d) R$ 16.705
e) R$ 16.730
20– (AFC-TCU) Um certo tipo de aplicação duplica o capital em dois meses. Essa aplicação renderá 700% de juros em:
a) 5 meses e meio
b) 6 meses
c) 3 meses e meio
d) 5 meses
e) 3 meses
GABARITO COMENTADO
1-Solução:
M3 =20.000
M5 = 24.200
C = ?
Os valores atuais dos dois valores acima referem-se ao
mesmo capital, logo eles são iguais.
A3 = 3
3
)1( i
M
=
3)1(
000.20
i
A5 = 5
5
)1( i
M
=
5)1(
200.24
i
Como os valores atuais são iguais, fica:
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3)1(
000.20
i=
5)1(
200.24
i
Aplicando-se a propriedade da proporção fica:
3
5
)1(
)1(
i
i
=
000.20
200.24
Aplicando-se a propriedade da potenciaçãomn
m
n
aa
a ,
temos:
21,1)1( 35 i
21,1)1( 2 i
22 1,1)1( i
Como os expoentes são iguais, logo iguala- se as bases:
1 + i = 1,1
i = 1,1 – 1
i = 0,1
agora substituindo-se em A3 ou em A5, obtemos:
A3 = 3)1,01(
000.20
331,1
000.20
)1,1(
000.203 =1.502,29 que é
menor que 1.600,00, logo:
Resposta: certa
2-Solução:
Método 1:
Quando for solicitado o valor que deve ser aplicado e for
dado o montante(30.000) esperado e o fator de capitalização(1,13). É só dividir aquele por este.
30.000 : 1,13 = 26.548( valor superior a 25.000) logo:
Resposta: errada
Método 2:
M = 30.000
i = 1% ao mês = 0,01
n = 12 meses
Substituindo-se os dados na fórmula M = C. (1 + i)n, vem:
30000 = C. (1 + 0,1)12
1,112 .C = 30000
C = 67,2654813,1
000.30 > 25.000
Logo resposta: errada
3-Solução:
Pela observação do gráfico constatamos que o valor C está abaixo do valor 1.010.000, logo ele é inferior ao mesmo,
logo:
Resposta: errada
4-Solução:
É só pegar um intervalo de 1 a 2.
Em 1 o valor do montante é 1.010.000 e em 2 o valor é 1.020.100, logo o valor da taxa será dado por:
i = 100000.010.1
000.010.1100.020.1x
i = 100000.010.1
100.10x
i = 0,01 x 100 = 1%
Resposta: certa
5-Solução:
Pelo comportamento do gráfico a resposta certa é:
Resposta: certa
6-Solução:
No mês 4 o valor já é de 1.040.604, logo com um acréscimo
de mais 1% fica:
1,01. 1.040.604 = 1.051.010 que é superior a 1.050.000, logo:
Resposta: certa
7-Solução:
É o tipo de questão que nem precisa utilizar a regra do
montante em juros compostos uma vez se fosse juros simples 10% ao mês em dois meses daria 20%. Se aplicarmos 20%
sobre 1.500 o resultado seria 300 que ao somado com 1500 daria 1.800. Como sabemos o montante em juros compostos
é sempre superior ao montante em juros simples para uma mesma taxa e em um mesmo período. Logo:
Resposta: certa
8-Solução:
Conforme foi estudado os juros simples crescem conforme
uma reta e os juros compostos crescem segundo uma exponencial, logo:
Resposta: errada
9-Solução:
Método 1
C = 10.000
i = 20% ao ano = 0,2
n = 2 anos
Substituindo-se na fórmula, temos:
M = C.(1 + i)n
M = 10000.(1 + 0,2)2
M = 10000. 1,22
M = 10000. 1,44
M = 14.400
Resposta: certa
Método 2
20% ao mês em juros compostos é equivalente a 44% ao mês,logo aplicando sobre o principal de R$10.000,00, vem:
44% = 0,44
M = 1,44 . 10.000
M = 14.400
Julgue os próximos itens, acerca de matemática financeira.
10-Solução:
Em juros composto 5% ao mês em dois meses é equivalente
a:
É só usar a dica do Ronilson:
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30
5 + 5 + 0,5 . 0,5
10 + 0,25 = 10,25% = 0,1025
Para obter o montante é só multiplicar o capital por 1+ 0,1025
1,1025
M = 2000 x 1,1025
M = 2.205, logo:
Resposta: certa
11-Solução:
A questão anterior apresenta o montante(2.205) em juros
compostos em 2 meses a uma taxa de 5% ao mês. Se acrescentarmos mais um mês, vem:
M=1,05 . 2205
M = 2.315,25,logo:
Resposta: certa
12-Solução:
Se o capital for aplicado a juros simples a 1% ao mês em 3
meses ele estará aumentado de 3%(0,03), logo o montante será:
M = 1,03. 1000 = 1.030.
Como sabemos em o montante em juros compostos para
período superior à unidade é sempre superior ao montante a juros simples, logo como o valor apresentado foi superior a
1.030 concluímos que o capital foi investido na instituição B.
Resposta: certa
13-Soluçaõ:
C = 5.000
i = 20% ao mês = 0,2
n = 4 meses
Aplicando na fórmula do montante, vem:
M = C .(1 +i)n
M = 5000. (1 + 0,2)4
M = 5000. 1,22
Consultando a tabela no final do livro temos 1,24 = 2,0736
M = 5000. 2,0736
M = 10.364
Resposta: letra b
14-Solução:
C = 20.000
i = 10% ao mês = 0,1
n = 3 meses
Aplicando na fórmula do montante, vem:
M = C .(1 +i)n
M = 20000.(1 +0,1)3
M = 20000. 1,13
M = 20000. 1,331
M = 26.620
Resposta: letra c
16- Solução:
Quando é dado o capital e o fator de capitalização é só
fazermos o produto e já temos a resposta:
M = 20000. 1,79586
M = 3.591,72
Resposta: letra d
16-Solução:
Se fosse juros simples o montante acumulado em três meses seria 30% ( 3 x 10) a mais que o capital investido, o que
daria um montante de 1,3 x10.000 = 13.000
Como o regime foi de juros compostos então o valor do montante será superior a 13.0000.
Resposta: letra d
17-Solução:
Pela dica de Ronilson, sabemos que em juros compostos 10%
ao mês é equivalente a 33,1% em três meses.
Desta forma o montante é aprosimadamente 133%(100 + 33) do capital inicial.
Resposta: letra d
18-Soluçaõ:
C =100.000
i = 10% ao mês = 0,1
n = 4 meses
Aplicando na fórmula do montante, vem:
M = C .(1 +i)n
M = 100.000. (1 + 0,1)4
M = 100.000. 1,24
Consultando a tabela no final do livro temos 1,14 = 1,4641
M = 100.000. 1,4641
M = 146.410
Resposta: letra d
19-Solução:
C = 10.000
i = 15% a.a= 0,15
n = 3 anos 8 meses
-Primeiramente para o período inteiro de 3 anos, vem:
M = C .(1 +i)n
M = 10.000. (1 + 0,15)3
M = 10.000. 1,153
Consultando a tabela no final do livro percebemos que 1,153 = 1,520875, daí:
M= 10.000 x 1,520875
M =15208,75
Aplicando a progressão linear:
15% 12 meses
X 8 meses
12x = 15 . 8
X = %1012
120
Aplicando 10% sobre o valor 15.208,75, vem:
M = 15.208,75 . 1,1
M = 16.729,59 mais próximo de 16.730
Resposta: letra e
20 -Solução:
Suponhamos que o capital inicial era R$ 100,00. Em 2 meses um capital de R$ 100,00 para a ser R$ 200,00. Em mais 2
meses o capital passa a ser R$400,00. Em mais 2 meses o capital passa a ser R$800,00.
Se o valor era R$100,00 e agora é R$800,00 é por que o
valor foi aumentado de 700% e isso levou 6 meses.
Resposta: letra b