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1
Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Disciplina: Física Fundamental – Professora: Talita – Data: ____/____/2014
Nome: __________________________________________ – Matrícula: ______________
Aula 2
Movimento Retilíneo
Um pica-pau bate repetidamente o bico contra o tronco de uma árvore para procurar
insetos para comer, para criar um depósito ou para anunciar que está à procura de uma
parceira. O movimento em direção ao tronco pode ser muito rápido, mas a
desaceleração quando o bico se choca com a madeira é quase instantânea, e seria fatal
para um ser humano. Na verdade, um pica-pau deveria cair da árvore morto ou
inconsciente, toda vez que batesse o bico no tronco. Entretanto, ele não só sobrevive
como repete o movimento. Como o pica-pau pode sobreviver aos violentos impactos de seu bico em uma
árvore? Você encontrará a resposta desta e de outras perguntas intrigantes nesta aula.
1. Movimento retilíneo
Por razões óbvias, estudar o movimento dos corpos é de extrema relevância para compreendermos a
natureza. O mundo, e tudo que está nele, se move. O entendimento deste movimento pode ser a resposta
para diversas questões que sempre intrigaram a humanidade. Os engenheiros da NASCAR são fanáticos
por esses aspectos da física quando determinam o desempenho dos seus carros antes e durante uma corrida.
Os geólogos usam esta física para estudar o movimento de placas tectônicas na tentativa de prever
terremotos. Os médicos necessitam desta física para mapear o fluxo de sangue em um paciente quando
examinam uma artéria parcialmente obstruída, e motoristas a usam para tentar reduzir a velocidade e
escapar de uma multa quando percebem um radar à frente. Nesta aula, estudamos a física básica do
movimento nos casos em que o objeto (carro de corrida, placa tectônica, célula sanguínea, automóvel) está
se movendo em linha reta. Ou seja, vamos estar o movimento retilíneo ou movimento unidimensional. Isto
significa que:
1. O movimento acontece sobre uma reta (trajetória retilínea). Esta trajetória pode ser vertical
(por exemplo, uma bola de basquete lançada para cima) ou horizontal (por exemplo, um
automóvel numa estrada plana).
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2
2. A causa do movimento (empurrões ou puxões) não será, por enquanto, investigada.
3. O objeto em movimento pode ser uma partícula (caso onde sua dimensão é insignificante
comparada a outros parâmetros) ou um corpo extenso.
2. Posição e deslocamento
Como sabemos, localizar um objeto significa
determinar sua posição em relação a algum ponto de
referência, chamado de origem, como mostrado na
figura ao lado. O sentido positivo do eixo está no
sentido dos números crescentes (direita). O sentido
oposto é o sentido negativo. Uma partícula
localizada, por exemplo, em x = 5 está a 5 metros da
origem do sentido positivo. Uma partícula localizada
em x = -5 também se encontra a 5 metros da origem, mas no sentido oposto.
Se a partícula, então, sai de um ponto do eixo, dizemos que ela se deslocou. Definimos, portanto, o
deslocamento como sendo:
Como vimos na aula passada, o deslocamento é uma grandeza vetorial, possuindo módulo, direção
e sentido. Neste capitulo, como estudamos o movimento retilíneo, o vetor deslocamento, dado por
kxjxixx zyxˆˆˆ ++=
possuirá apenas uma componente.
3. Velocidade média
Uma forma compacta de descrever a posição de um objeto é
desenhar um gráfico da posição x em
função do tempo t, ou seja, um
gráfico de x(t). Como um exemplo
simples, a figura a seguir mostra a
função posição x(t) para um tatu em
repouso (tratado como uma partícula)
durante um intervalo de tempo de 7 segundos. A posição do animal
tem sempre o mesmo valor, x = - 2 m.
A figura à esquerda é mais interessante, já que envolve o
12 xxx −=∆
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3
movimento. O tatu é aparentemente avistado em t = 0, quando está na posição x = - 5 m. Ele se move no
sentido de x = 0, passa por este ponto em t = 3 s e continua a se deslocar para maiores valores positivos de
x. A figura (b) abaixo mostra o movimento real do tatu em linha reta, que é a trajetória que você veria. O
gráfico da figura (a) abaixo é mais abstrato e bem diferente daquilo que você realmente veria, mas é muito
mais rico em informações. Ele também revela com que rapidez o tatu se move. Um parâmetro importante a
ser definido é justamente a rapidez com que um corpo se desloca. Esta “rapidez” recebe o nome de
velocidade.
Quando você vem por uma rua em um veículo, ao olhar o velocímetro você perceberá diferentes
valores da velocidade ao longo do trajeto. Quando o valor indicado no velocímetro é baixo você demora
mais para percorrer um trecho da rua. À medida que se aumenta o valor você percorre o trecho mais
rapidamente. Ora, podemos dizer, então, que a velocidade é uma medida da rapidez com que um objeto se
desloca.
Agora, vamos supor que você esteja parado em
um determinado ponto de uma pista de corrida e que
de repente dois carros entrem simultaneamente no
trecho em que você se encontra. Ao carro que passar
primeiro por você podemos atribuir-lhe maior
velocidade? Bem, durante o trajeto, nada impede que o
veículo que passou por último tenha, em alguns
instantes, alcançado uma velocidade maior que o outro. Isso poderia ser constatado claramente se
tivéssemos visto os velocímetros de ambos. Então, se a velocidade é uma medida da rapidez com que um
objeto se desloca, podemos afirmar que, na média, o veículo que chegou primeiro até você teve maior
velocidade que o outro. Conceituamos, assim, velocidade média como sendo a razão entre a distância que
o objeto percorre e o tempo que ele gastou para percorrer, que podemos expressar pela seguinte fórmula:
Assim, para determinarmos o quão rápido um corpo sai do ponto x1 e chega a x2 escrevemos:
Matematicamente:
onde t1 é o tempo quando o corpo se encontra na posição x1 e t2 é
o tempo quando o corpo se encontra em x2. Desta forma, para um
dado valor fixo de ∆x, quanto menor for o valor de ∆t maior será
a velocidade média, ou seja, quanto menos tempo você gastar
12
12
ttxx
txvméd −
−=
∆∆
=
tempotodeslocamenvelocidade =
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4
hkmvméd /5,732
147==
para percorrer a distância ∆x, maior será a sua velocidade média.
A unidade da velocidade no Sistema Internacional (SI) é o metro por segundo (m/s).
Se quisermos expressar graficamente x versus t, teremos o gráfico a seguir.
A velocidade média, portanto, é a inclinação da curva de x versus
t. O módulo da velocidade, então, corresponde à inclinação (ou
coeficiente angular) da reta em vermelho no gráfico ao lado. Um valor
positivo de vméd indica que a inclinação da reta é para cima à direita. Por
outro lado, se vméd < 0, a reta está inclinada para baixo.
A figura a seguir mostra como determinar a velocidade média
para o intervalo de tempo de t = 1s a t = 4 s; Traçamos a linha reta que
une os pontos correspondentes ao início e ao final do intervalo de tempo considerado. Em seguida,
calculamos a inclinação ∆x/∆t da linha reta.
Agora, vamos ver um exemplo: suponha que
você tenha ido passar o carnaval em Aracati, distante
147 km de Fortaleza. Nessa viagem você gastou 2
horas para chegar até lá. É claro que durante o
percurso o carro ou ônibus que você estava
desenvolveu diversas velocidades diferentes, mas a
sua velocidade média foi de:
Isso é equivalente a se dizer que o veículo deslocou-
se durante todo o trajeto a uma velocidade média de
73,5 km/h. Isto não quer dizer que sua velocidade se manteve 73,5 km/h durante todo o trajeto. Em alguns
trechos, talvez você tenha diminuído a velocidade e, em outros, aumentado. Assim, é preciso definir a
velocidade instantânea, que é aquela que o velocímetro indica. Como o próprio nome diz, velocidade
instantânea é aquela medida num determinado instante. Em outras palavras a velocidade média esta ligada
a um intervalo de tempo ∆t enquanto a velocidade instantânea a um instante de tempo t.
Matematicamente, a velocidade instantânea v de um corpo é o valor onde vméd se aproxima no limite
em que contraímos o intervalo de tempo ∆t a zero. Ou seja:
txv
t ∆∆
=→∆ 0
lim ⇒ dtdxv =
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5
A equação anterior nos diz que a velocidade instantânea de um corpo é a derivada temporal da sua posição.
A figura ao lado mostra o gráfico x(t) de um
elevador que, depois de passar algum tempo parado,
começa a se mover para cima (que tomamos como
sendo o sentido positivo de x) e depois pára novamente.
Plote v(t).
4. Movimento Retilíneo Uniforme
Imagine agora que você se encontra dentro de um veículo. Ao longo do trajeto, você observa que o
ponteiro do velocímetro sempre permanece na mesma posição, 60 km/h, por exemplo. Como o movimento
acontece numa linha reta, é chamado de movimento retilíneo (trajetória em linha reta) uniforme (a
velocidade não varia ao longo do percurso).
No movimento retilíneo uniforme (MRU)
12
12
ttxxv
txv médméd −
−=⇒
∆∆
=
, a velocidade é constante no decorrer do tempo. Portanto:
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Mas, se a velocidade não varia, vméd = v. Além disso, vamos chamar x2 de uma posição x qualquer, x1 = x0 e
o tempo inicial é t1 = 0. Logo:
vtxxttvxx +=⇒−=− 01212 )(
Temos, então, a equação horária do movimento para o MRU, dada por:
Usando a função horária, você encontrará qualquer posição no movimento retilíneo uniforme.
No MRU a posição é uma função (de primeiro grau) do tempo e o gráfico dessa função é mostrado
na figura abaixo.
No gráfico ao lado você tem:
Aqui não consideramos t0=0.
Vamos usar um pouco de trigonometria:
A definição da velocidade é exatamente igual
à inclinação da reta que representa a posição
como função do tempo.
Movimento retrógrado e movimento progressivo
Como sabemos, o deslocamento é um vetor. Então podemos associar a cada trajetória sentido
positivo ou negativo de percurso. Veja a figura abaixo
Um dos rapazes se desloca para a direita, o sentido considerado como positivo no eixo-x.
0
0
tttsssx
−=∆−=∆=∆
tx
adjacentecatetoopostocatetotg
∆∆
==θ
vtxx += 0
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O movimento que se efetua neste sentido é chamado progressivo e se caracteriza por ter sua velocidade
positiva. O outro se desloca em sentido contrário, o sentido negativo.
O movimento neste sentido é chamado retrógrado e se caracteriza por ter sua velocidade negativa.
Movimento progressivo Movimento retrógrado
4. Aceleração
Como vimos agora a pouco, a velocidade é uma grandeza que mostra a rapidez com que um corpo
se desloca. Existe também uma grandeza que mostra a rapidez com que a velocidade varia. Essa grandeza é
a aceleração. Podemos observar a variação de velocidade de carros, ônibus, caminhões e aviões no
velocímetro desses veículos. Não existe aceleração quando o ponteiro do velocímetro não se move, isto é,
quando o velocímetro marca sempre a mesma velocidade. Se o ponteiro do velocímetro está se movendo
lentamente, é porque a velocidade está variando lentamente. Nesse caso, a aceleração é “pequena”. Quando
o ponteiro se move rapidamente, a velocidade está variando rapidamente. Nesta situação, a aceleração é
“grande”.
Resumidamente, quando a velocidade de uma partícula varia, dizemos que a partícula sofre
aceleração (ou desaceleração). Logo, a aceleração é a taxa de variação da velocidade. Assim:
onde a partícula tem velocidade v1 no tempo t1 e velocidade v2 no tempo t2.
tv
ttvvaméd ∆
∆=
−−
=12
12
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A aceleração instantânea é o valor da aceleração de um corpo num determinado instante. Ou seja, a
aceleração instantânea a de um corpo é o valor onde améd se aproxima no limite em que contraímos o
intervalo de tempo ∆t a zero. Ou seja:
dtdva
tva
t=⇒
∆∆
=→∆ 0
lim
A equação acima nos diz que a aceleração instantânea de um corpo é a derivada temporal da sua velocidade.
Isto quer dizer que a aceleração de uma partícula em qualquer instante é a taxa na qual sua velocidade está
mudando, naquele instante. Graficamente, a aceleração é a inclinação da curva v(t) no ponto.
Se lembrarmos que
temos:
2
2
dtxda
dtdx
dtd
dtdva =⇒
==
Portanto, podemos interpretar a aceleração de uma partícula num instante qualquer como sendo a
derivada segunda da sua posição x(t) em relação ao tempo. No SI, a aceleração é medida em metro por
segundo ao quadrado (m/s2).
As sensações que você teria se estivesse no
elevador da figura ao lado estão indicadas pelos
bonequinhos que aparecem na parte inferior da
figura. Quando o elevador acelera, você se sente
como se estivesse sendo empurrado para baixo;
mais tarde, quando o elevador freia até parar, tem a
impressão de que está sendo puxado para cima.
Entre estes dois intervalos não se sente nada de especial. Em outras palavras, nosso corpo reage a
acelerações (é um acelerômetro), mas não a velocidades (não é um velocímetro). Quando estamos viajando
em um carro a 90 km/h ou viajando a 900 km/h não temos nenhuma sensação de movimento. Entretanto, se
o carro ou o avião muda bruscamente de velocidade, percebemos imediatamente a mudança e podemos até
ficar assustados. Boa parte da emoção que sentimos quando andamos de montanha-russa se deve às
mudanças súbitas de velocidades às quais somos submetidos.
5. Aceleração constante
dtdxv =
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Em muitos tipos de movimento, a aceleração se mantém constante ou aproximadamente constante.
Por exemplo, você pode acelerar um carro a uma taxa aproximadamente constante quando a luz de um
semáforo muda de vermelho para verde. Neste caso, os gráficos de sua posição, velocidade e aceleração se
assemelhariam às figuras abaixo.
Para casos especiais onde a aceleração se mantém constante, vamos deduzir algumas equações.
Quando a aceleração é constante, tanto a aceleração média quanto a aceleração instantânea são
iguais. Logo:
12
12
ttvvaa méd −
−==
Chamaremos v2 = v e v1 = v0. Consideraremos que t1 = t0 = 0. Assim:
⇒−
=⇒−−
=tvv
at
vva 00
0
Observe, na equação acima, que se a = 0 ⇒ v = v0, ou seja, se a aceleração é nula, a velocidade não
varia.
Vamos, agora, escrever a velocidade média como sendo a média entre duas velocidades. Logo:
( )vvvméd += 021
Mas, sabemos que atvv += 0 . Assim:
( ) atvvatvvvvvv médmédméd 21)(
21
21
0000 +=⇒++=⇒+=
Se lembrarmos os conceitos iniciais desta aula, temos que:
tatvxxtvxx méd
++=⇒+=
21
000
Esta, portanto, é a equação horária do espaço quando a ≠ 0. Se a = 0, temos vtxx += 0 .
Notemos que x depende quadraticamente do tempo. Assim, a curva de x(t) em função do tempo é
atvv += 0
200 2
1 attvxx ++=
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10
uma parábola, onde a concavidade é definida pelo sinal da aceleração (positiva ou negativa).
Podemos, ainda, combinar as duas equações horárias anteriores, de modo a obter uma terceira
equação, independente de alguma variável desejada. Por exemplo, podemos obter uma equação
independente do tempo. Assim:
avv
tatvv 00
−=⇒+=
Logo:
⇒
−
+
−
+=⇒++=2
0000
200 2
121
avv
aa
vvvxxattvxx
( ) { }⇒×
+−+
−+=⇒ avvvv
aavvv
xx 2221 2
002
200
0
⇒−=−⇒+−+−+=⇒ 20
20
200
22000 )(222222 vvxxavvvvvvvaxax
A equação acima é conhecida como equação de Torricelli.
No movimento uniformemente acelerado, a velocidade sempre aumenta, como em um carro de
corrida que partindo do “grid” de largada, vai acelerando mais e mais para aumentar a velocidade e ficar na
frente dos competidores.
No movimento uniformemente desacelerado ou retardado, os vetores velocidade e aceleração estão
em sentidos opostos: A velocidade sempre diminui, como no carro de corrida que precisa parar no
“pitstop” para trocar os pneus: ele aplica os freios e vai desacelerando até parar.
A equação atvv += 0 representa a velocidade como função do tempo, pode ser representada em
um gráfico como mostrado abaixo. Como se pode ver a velocidade é uma função de primeiro grau, o
gráfico é uma reta.
)(2 02
02 xxavv −+=
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Voltemos à equação que nos dá a velocidade como função do tempo, atvv += 0 . Na figura da esquerda,
vemos um exemplo de movimento em que a velocidade do móvel é sempre crescente. Dizemos que o
móvel está acelerado. Na figura da direita, temos o caso em que a velocidade vai diminuindo, o móvel está
desacelerando, está freando.
Observe as inclinações das retas que representam as acelerações em cada caso.
Vamos interpretar as duas figuras geometricamente. Observe a Figura 1
Veja, vf > vi portanto v > 0, isto é, v é POSITIVO
Como definimos a aceleração:
então teremos
Agora, olhe novamente para a figura da esquerda. Veja o ângulo . A tangente desse ângulo define a
inclinação da reta. Vamos calcular a tangente desse ângulo?
Agora observe a figura abaixo.
Agora vf < vi portanto v < 0, isto é, v é NEGATIVO
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Lembrando novamente que :
Teremos agora
Da mesma forma como visto na figura anterior, a tangente do ângulo define a inclinação da reta. Vamos
calcular a tangente desse ângulo?
Portanto, pode concluir que
A inclinação da reta que representa a velocidade como função do tempo é igual à aceleração.
Exemplo: A cabeça de um pica-pau está se movendo para frente com uma velocidade de 7,49 m/s
quando o bico faz contato com o tronco de uma árvore. O bico pára depois de penetrar 1,87 mm do tronco.
Determine o módulo da aceleração, em unidades de g, supondo que ela é constante. Lembre-se que 1g =
9,8 m/s2 (unidade de g).
Idéia-chave para resolver a questão: Podemos usar as equações de aceleração constante; em
particular, podemos usar ( )020
2 2 xxavv −+= , que relaciona a velocidade ao deslocamento.
Cálculos: Como a cabeça do pica-pau pára, sua velocidade final é v = 0. A velocidade inicial é v0 =
7,49 m/s e o deslocamento durante a aceleração constante é x – x0 = 1,87 × 10-3 m. Substituindo estes
valores na equação mencionada acima:
( )24
3220
20
2
/105,1
)1087,1(2)49,7(02
smaaxxavv
⋅=
⋅+=⇒−+= −
Dividindo o resultado anterior por g = 9,8 m/s2 e tomando o valor absoluto descobrimos que o
módulo da aceleração da cabeça é
( )ga 31053,1 ⋅=
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Comentário: Esta aceleração típica da cabeça de um pica-pau é aproximadamente 70 vezes maior
que a aceleração experimentada por uma pessoa em um trenó a jato e certamente seria mortal para um ser
humano. A capacidade de um pica-pau em suportar acelerações tão elevadas ainda não foi bem explicada,
mas existem duas teorias: (1) O movimento da cabeça do pica-pau é quase retilíneo. Alguns pesquisadores
acreditam que uma concussão pode acontecer nos seres humanos e nos animais quando a cabeça gira muito
depressa em torno do pescoço (e do tronco cerebral), mas esta concussão é bem menos provável em um
movimento retilíneo. (2) O cérebro do pica-pau está tão firmemente preso ao crânio que as duas estruturas
se movem em uníssono, o que minimiza os efeitos da aceleração.
Algumas equações que vimos nesta aula são equações básicas a partir das quais outras equações
podem ser deduzidas. Estas equações podem ser obtidas a partir da integração da aceleração com a
condição de que a seja uma constante, ou seja:
adtdv =
Em seguida, escrevemos a integral indefinida em ambos os lados da equação:
.Catvadtdv +=⇒= ∫∫
Para determinar a constante de integração C, fazemos t = 0, instante no qual v = v0. Substituindo estes
valores na equação anterior (que é válida para qualquer valor de t, incluindo t = 0), obtemos
CCav =+= )0)((0
Substituindo este valor na equação Catv += , obtemos
atvv += 0
Para demonstrar 200 2
1 attvxx +=− , escrevemos a definição de velocidade dtdx
txv
t=
∆∆
=→∆ 0
lim na forma
vdtdx =
e integramos ambos os membros da equação para obter
∫∫ = .vdtdx
Substituindo v pelo seu valor, dado por atvv += 0 , temos:
∫∫ += .)( 0 dtatvdx
Como v0 e a são constantes, podemos escrever
∫ ∫∫ += .0 tdtadtvdx
Integrando, obtemos
'20 2
1 Cattvx ++=
onde C’ é outra constante de integração. No instante t = 0, temos x = x0. Substituindo estes valores na
equação anterior, obtemos x0 = C’. Substituindo este dado na equação anterior, obtemos
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14
.21 2
00 attvxx +=−