Análise Cinemática através do Cálculo Vetorial

Mecanismos

Movimentos absoluto e relativo – vetor posição

P

X

Y

Z

x

y

z

RP R

ROO

RRR OP

kjiR zyx

Movimentos absoluto e relativo – vetor velocidade

RRRV OPP

kjikjiR zyxzyx

kjiV zyx

kωk

jωj

iωi

kjiωkωjωiωkji zyxzyxzyx

P

X

Y

Z

x

y

z

RP R

ROO

Movimentos absoluto e relativo – vetor velocidade

P

X

Y

Z

x

y

z

RP R

ROO

Rωkji zyx

RωVR

RωVVV OP

VP a velocidade do ponto P em relação ao sistema de referência fixo XYZ (velocidade absoluta de P);VO a velocidade absoluta da origem do sistema de referência móvel xyz em relação ao sistema de referência fixo XYZ;V a velocidade do ponto P em relação ao sistema de referência móvel xyz (velocidade relativa de P); a velocidade angular do movimento de rotação do sistema de referência móvel xyz em relação ao fixo XYZ.

Movimentos absoluto e relativo – vetor aceleração

P

X

Y

Z

x

y

z

RP R

ROO

RωRωVVVA OPP

kjikjiV zyxzyx

kjiA zyx

kjiωkωjωiωkji zyxzyxzyx

Vωkji zyx

VωAV

RωωVωRω

Movimentos absoluto e relativo – vetor aceleração

RωωRωVωAAA 2OP

AP é a aceleração do ponto P no sistema de referência fixo XYZ (aceleração absoluta de P)AO é a aceleração do ponto O, origem do sistema de referência móvel xyz, no sistema de referência fixo XYZ (aceleração absoluta de O)A é a aceleração do ponto P em relação ao sistema de referência móvel xyz (aceleração relativa de P)x R é a aceleração tangencial do ponto P, originada pela rotação do sistema móvel.x (x R) é a aceleração centrífuga do ponto P, originada pela rotação do sistema móvel; 2x V é a componente provocada pela rotação do vetor velocidade relativa, chamada aceleração de Coriolis;

Exemplo

O2

A

B

1

2

O4y

4

X

x

3

Y

2

1

37o

120o

87o

G3 G4

Dados dimensionais:O2A = 0,0762 m AB = 0,203 m O4B = 0,203 m AG3 = 0,1015 m

O4G4 = 0,134 m O4C = 0,203 m

Dado cinemático:2 = - 24 k rad/s

O2

A

B

1

2

O4y

4

X

x

3

Y

2

1

37o

120o

87o

G3 G4

Dados dimensionais:O2A = 0,0762 m

AB = 0,203 mO4B = 0,203 m

AG3 = 0,1015 m

O4G4 = 0,134 m

O4C = 0,203 m

Dado cinemático:2 = - 24 k rad/s

m 06599,00381,060sen60cos2 jijiR oo

A AO

AOA RωVV 22

02OV

m/s 9144,0584,1 jiV A

AAAOAOOA RωωRωVωAAA 2222 2222

02OA 0

22 AOAO VA 02 ω

AA RωωA 22

2m/s 01,3895,219144,0584,124 jijikA A

O2

A

B

1

2

O4y

4

X

x

3

Y

2

1

37o

120o

87o

G3 G4

m/s 9144,0584,1 jiV A

2m/s 01,3895,21 jiA AA velocidade do ponto B é

BAAB RωVV 3

kω 33

m 203,0 iR BA

jijjiV 9144,0203,0584,10,2039144,0584,1 33 B

Como VB possui direção perpendicular a O4B

jijiV 9144,0203,0584,13sen3cos 3 BB V

9144,0203,03sen

584,13cos

3

B

B

V

V

rad/s 913,4

m/s 586,1

3

BV

m/s 08300,0584,1 jiV B

m/s 9144,0584,1 jiV A

2m/s 01,3895,21 jiA AA aceleração do ponto B é

Como B executa trajetória circular em torno de O4

m/s 08300,0584,1 jiV B BABABABAAB RωωRωVωAAA 33332

0 BABA VA

BABAAB RωωRωAA 333

kω 913,43

m 203,0 iR BA kω 33

jiikkikjiA 01,38203,085,26203,0913,4913,4203,001,3895,21 33 B

jijiAAA 3sen3cos93sen93cos t

B

n

B

t

B

n

BB AA

2

44

2

4 203,0 BOAnB

444 203,0 BOAtB

rad/s 813,7203,0

59,1

4

4 BO

VB kω 813,74

22 m/s 39,12813,7203,0 n

BA

m/s 9144,0584,1 jiV A

2m/s 01,3895,21 jiA AA aceleração do ponto B é

m/s 08300,0584,1 jiV B

kω 913,43 jiA 01,38203,085,26 3 B

jiA 44 3sen203,093sen39,123cos203,093cos39,12 Bkω 813,74

2

4 rad/s 2,1293cos203,0

85,2693cos39,12

jiji 443 3sen203,093sen39,123cos203,093cos39,1201,38203,085,26

43

4

3sen203,093sen39,1201,38203,0

3cos203,093cos39,1285,26

2

3 rad/s 4,241203,0

01,382,1293sen203,093sen39,12

kα 4,2143

kα 2,1294

m/s 9144,0584,1 jiV A

2m/s 01,3895,21 jiA AA aceleração do ponto B

m/s 08300,0584,1 jiV B

kω 913,43

kω 813,74

kα 4,2143

kα 2,1294

2

4 m/s 23,262,129203,0203,0 t

BA

2m/s 00,1185,26 jiA B

m/s 9144,0584,1 jiV A

2m/s 01,3895,21 jiA A

m/s 08300,0584,1 jiV B

kω 913,43

kω 813,74

kα 4,2143

kα 2,1294

2m/s 00,1185,26 jiA B

Aceleração de G3

AGAGAGAGAG 33333 33332 RωωRωVωAAA

033

AGAG VA

AGAGAG 333 333 RωωRωAA

m 1015,03

iR AG

2m/s 51,1340,241015,0913,4913,41015,04,24101,3895,213

jiikkikjiA G

2m/s 51,1340,243

jiA G

2m/s 88,273GA

m/s 9144,0584,1 jiV A

2m/s 01,3895,21 jiA A

m/s 08300,0584,1 jiV B

kω 913,43

kω 813,74

kα 4,2143

kα 2,1294

2m/s 00,1185,26 jiA B

Aceleração de G4

2m/s 51,1340,243

jiA G

4444444444 44442 OGOGOGOGOG RωωRωVωAAA

04443 OGOG VA 0

4OA

44444 444 OGOGG RωωRωA

m 1274,004141,072sen72cos134,044

jijiR OG

jikkjikA 1274,004141,0813,7813,71274,004141,02,1294

G

2m/s 427,200,194

jiA G

2m/s 15,194GA