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MATEMÁTICA PARA CEF
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1
Aula 4 – Parte 2
1 Análise de Investimentos .................................................................... 2
1.1 Conceito ...................................................................................... 2
1.2 Valor Presente Líquido (VPL) .......................................................... 3
1.3 Taxa Interna de Retorno (TIR) ........................................................ 3
1.4 Payback Descontado ..................................................................... 3
1.5 Exercícios Resolvidos ..................................................................... 4
2 Relação das questões comentadas ...................................................... 16
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1 Análise de Investimentos
1.1 Conceito
Utilizaremos os principais conceitos da Matemática Financeira para abordar
alguns critérios de avaliação de investimentos. Aproveitaremos os “modelos” já
desenvolvidos para aplicá-los à tomada de decisão financeira em seus aspectos
quantitativos.
De um modo geral, a classificação dos investimentos é a mais variável
possível. Deixaremos os aspectos qualitativos dos investimentos de lado e
focaremos nosso objetivo no aspecto quantitativo da avaliação de
investimentos.
Consideraremos os fluxos de caixa de certas alternativas de investimentos
para compará-las entre si e formar uma “escala” de prioridades na consecução
da mais lucrativa.
Sob esse aspecto de avaliação, estudaremos dois critérios básicos de análise
de investimentos que são:
- Critério do Valor Presente Líquido (VPL) ou Valor Atual.
- Critério da Taxa Interna de Retorno.
- Critério do Payback Descontado
Esses critérios levam em consideração a taxa mínima de atratividade (TMA). É
taxa mínima que o investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento.
No método do Valor Presente Líquido (VPL), utilizaremos a Taxa
Mínima de Atratividade (TMA) para efetuar o transporte dos valores.
A visualização de um problema envolvendo receitas e despesas que ocorrem
em instantes diferentes do tempo é bastante facilitada por uma representação
gráfica simples chamada diagrama de fluxo de caixa.
Ou seja, quando desejamos analisar diferentes valores muitas vezes é difícil
imaginar a sua distribuição nas datas disponíveis, sem que para isso não
lancemos mão de um esquema financeiro que nos permita visualizar, ao
longo do tempo, todos aqueles recebimentos a serem auferidos (entradas de
recursos) e todos aqueles pagamentos a serem realizados (saída de recursos).
Representamos com setas para cima um recebimento (positivo) e setas para
baixo no caso de pagamentos (negativo).
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1.2 Valor Presente Líquido (VPL)
O valor presente de um projeto é o valor presente (data 0) de seu fluxo de
caixa, valor este obtido mediante o desconto do fluxo de caixa a uma taxa que
reflita o custo de oportunidade do capital investido. Lembrando que para
retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni .
Quanto maior o valor presente, melhor é o projeto. Caso existam duas ou mais
formas de investimento, será escolhida aquela que possuir o maior valor
presente líquido. No caso de haver apenas uma alternativa para o projeto, o
VPL de seu fluxo de caixa indicará se o projeto é viável, inviável ou indiferente.
Nesse caso, caso VPL > 0, o projeto é viável.
Se VPL < 0, então o projeto é inviável.
E se VPL = 0, então o projeto é indiferente.
No método do Valor Presente Líquido (VPL), utilizaremos a Taxa Mínima de
Atratividade (TMA) para efetuar o transporte dos valores.
1.3 Taxa Interna de Retorno (TIR)
É a taxa de juros que anula o valor presente líquido do fluxo de caixa do
investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0.
E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em
qualquer outra data. Assim, daremos preferência em usar como data focal
aquela que estiver mais a direita do fluxo.
Podemos utilizar o método da taxa interna de retorno em diversas situações,
como por exemplo:
- Existe apenas uma alternativa de investimento e esta será considerada viável
se a taxa interna de retorno for maior que um valor aceitável (taxa mínima de
atratividade), o qual representa o custo de oportunidade do capital. Ou seja,
se TIR > TMA, então o projeto é viável. Se TIR = TMA, então o projeto é
indiferente. Se TIR < TMA, então o projeto é inviável.
1.4 Payback Descontado
O que significa Payback?
É o tempo necessário para recuperação do investimento.
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O Payback descontado atualiza os fluxos de caixa por meio de operações de
desconto racional composto.
Em suma, o Payback Descontado é o tempo decorrido até que o VPL (Valor
Presente Líquido) se iguale ao investimento inicial do projeto em análise.
1.5 Exercícios Resolvidos
01. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) O fluxo de caixa abaixo corresponde a um
projeto de investimento (com os valores em reais), em que se apurou uma
taxa interna de retorno igual a 20% ao ano.
O valor de X é igual a
a) R$ 13.824,00
b) R$ 12.960,00
c) R$ 12.096,00
d) R$ 11.232,00
e) R$ 10.368,00
Resolução
Por definição, a taxa interna de retorno é aquela que torna o valor presente
líquido igual a 0. Se o valor presente líquido é igual a 0, então em qualquer
outra data o somatório de entradas e saídas será igual a 0.
Adotaremos como data focal a data 3.
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Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni .
Assim, a equação de equivalência de capitais será:
Letra B
02. (BB – Escriturário FCC 2006) Considere o seguinte fluxo de caixa cuja
taxa interna de retorno é igual a 10% ao ano:
O valor de X é igual a
a) R$ 11 000,00
b) R$ 11 550,00
c) R$ 13 310,00
d) R$ 13 915,00
e) R$ 14 520,00
Resolução
A taxa interna de retorno é a taxa de juros que anula o valor presente
líquido do fluxo de caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0.
E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em
qualquer outra data. Assim, daremos preferência em usar como data focal
aquela que estiver mais a direita do fluxo.
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni .
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Letra E
03. (Agente Fiscal de Rendas 2006 FCC) A representação gráfica abaixo
corresponde ao fluxo de caixa de um projeto de investimento com a escala
horizontal em anos.
Se a taxa interna de retorno referente a este projeto é igual a 10% ao ano e
(X+Y) = R$ 10.285,00, tem-se que X é igual a
a) R$ 3.025,00
b) R$ 3.267,00
c) R$ 3.388,00
d) R$ 3.509,00
e) R$ 3.630,00
Resolução
A taxa interna de retorno é a taxa de juros que anula o valor presente
líquido do fluxo de caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0.
E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em
qualquer outra data. Assim, daremos preferência em usar como data focal
aquela que estiver mais a direita do fluxo. A data focal será a data 3.
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni .
Representamos com setas para cima um recebimento (positivo) e setas para
baixo no caso de pagamentos (negativo).
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Como o enunciado nos disse que X + Y = 10.285, então Y = 10285 – X.
Substituindo na equação anterior:
Letra E
04. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Considerando o Gráfico abaixo, onde o eixo Y
representa os VPL(s) em $ e o Eixo X, as taxas em %.
Assinale a alternativa que identifica corretamente a Taxa Interna de Retorno (TIR).
a) 30%
b) 25%
c) 20%
d) 15%
e) 0%
Resolução
A Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que anula o valor presente líquido
do fluxo de caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0.
O gráfico mostra claramente que VPL = 0 para uma taxa de 20%.
Letra C
05. (Prefeitura Municipal de Brusque – Auditor Fiscal Tributário- 2009 –
FEPESE) Considerando o fluxo de caixa de $50.000, $30.000, $80.000 e $20.000 para o 1o, 2o, 3o e 4o ano, respectivamente, assinale a alternativa que
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demonstra corretamente o valor presente desse fluxo, no ano zero, com a aplicação das taxas de desconto de 10% a.a., 5% a.a. e 0% a.a.,
respectivamente.
a) $ 144.013 ; $ 180.000 ; $ 160391 b) $ 180.000 ; $ 160391 ; $ 144.013
c) $130.000 ; $ 140.000 ; $ 150.000 d) $ 144.013 ; $ 160.391 ; $ 180.000
e) $ 180.000; $ 170.000; $ 160.000
Resolução
Vejamos o desenho do fluxo de caixa.
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni .
Dessa forma, o valor presente líquido desse fluxo de caixa (X) será igual a
Calcularemos o valor presente líquido com a aplicação das taxas de desconto
de
10% a.a. = 0,10 a.a., 5% a.a. = 0,05 a.a. e 0% a.a
i) i = 0,10
Vamos reduzir as frações ao um mesmo denominador comum. O m.m.c. dos
denominadores é igual a 1,104. Então dividiremos esse valor pelo denominador
e multiplicaremos o resultado pelo numerador. Por exemplo, olhemos para a
X
0 1 ano 2 anos 3 anos 4 anos
20.000
80.000
30.000
50.000
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primeira fração. 1,104 dividido por 1,101 é igual a 1,103, isso porque para
dividir potências de mesma base repetimos a base e subtraímos os expoentes.
Então o numerador será 50.000 vezes 1,103. Repetiremos o mesmo processo
nas 4 frações.
i) i = 0,05
Vamos reduzir as frações ao um mesmo denominador comum. O m.m.c. dos
denominadores é igual a 1,054. Então dividiremos esse valor pelo denominador
e multiplicaremos o resultado pelo numerador. Por exemplo, olhemos para a
primeira fração. 1,054 dividido por 1,051 é igual a 1,053, isso porque para
dividir potências de mesma base repetimos a base e subtraímos os expoentes.
Então o numerador será 50.000 vezes 1,053. Repetiremos o mesmo processo
nas 4 frações.
iii) i = 0%
Se a taxa é de 0%, então os valores não serão alterados ao longo do tempo.
Em qualquer época, a soma dos valores será igual a R$ 180.000,00. Basta
somar os 4 valores. Na verdade, você nem precisava fazer as contas acima. Se
você percebesse que quando a taxa é de 0% o VPL é 180.000 reais, já dava
para marcar a resposta.
Letra D
06. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Podemos afirmar que o resultado do Valor Presente Líquido (VPL) depende do custo inicial, dos retornos e suas datas de
ocorrência, e da taxa requerida ajustada ao nível de risco de um determinado projeto. A partir da análise do fluxo de caixa abaixo, considerando uma taxa de
juros de 10% ao ano,
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Calcule o VPL e assinale a alternativa que indica a resposta correta.
a) $ 89.790,57
b) $ 87.029,57
c) $ 80.920,57
d) $ 78.290,57
e) $ 72.790,57
Resolução
O valor presente de um projeto é o valor presente (data 0) de seu fluxo de
caixa, valor este obtido mediante o desconto do fluxo de caixa a uma taxa
que reflita o custo de oportunidade do capital investido. Lembrando que para
retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni .
Quanto maior o valor presente, melhor é o projeto.
Para calcular o VPL devemos transportar todos os valores para a data 0.
Letra B
07. (Universidade Federal da Fronteira Sul – Economista – 2009 – FEPESE) Os métodos de análise de investimentos do valor presente líquido e da taxa interna de retorno estão de certa forma relacionados. Considerando um
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determinado valor presente líquido (VPL), uma taxa interna de retorno (TIR), e um custo de oportunidade i%, o critério aceitar-rejeitar dos métodos de
avaliação de investimentos deve estar de acordo com a seguinte alternativa:
a) Se VPL > 0, a TIR < i%.
b) Se VPL > 0, a TIR = i%.
c) Se VPL = 0, a TIR > i%.
d) Se VPL > 0, a TIR > i%.
e) Se VPL < 0, a TIR = i%.
Resolução
Para que o projeto seja viável o VPL deve ser positivo e taxa interna de retorno
deve ser maior do que a taxa mínima de atratividade.
Letra D
08. (CVM 2003/FCC) A empresa "Y" realiza certo investimento em projeto
que apresenta o fluxo de caixa a seguir:
Se a taxa mínima de atratividade for de 25% ao ano (capitalização anual), o valor presente líquido deste investimento no ano 0 será de
a) Zero
b) R$ 448,00 c) R$ 480,00
d) R$ 960,00
e) R$ 1.560,00
Resolução
O valor presente de um projeto é o valor presente (data 0) de seu fluxo de
caixa, valor este obtido mediante o desconto do fluxo de caixa a uma taxa
que reflita o custo de oportunidade do capital investido. Lembrando que para
retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni .
Para calcular o VPL devemos transportar todos os valores para a data 0.
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Letra B
09. (CVM 2003/FCC) O esquema abaixo representa o fluxo de caixa de um investimento no período de 3 anos, valores em reais:
Sabendo-se que a taxa interna de retorno (TIR) é de 10% ao ano, o valor do desembolso inicial (D) é de
a) R$ 17.325,00
b) R$ 16.500,00 c) R$ 16.000,00
d) R$ 15.500,00
e) R$ 15.000,00
Resolução
A taxa interna de retorno é a taxa de juros que anula o valor presente
líquido do fluxo de caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0.
E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em
qualquer outra data. Assim, daremos preferência em usar como data focal
aquela que estiver mais a direita do fluxo. A data focal será a data 3.
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni .
Representamos com setas para cima um recebimento (positivo) e setas para
baixo no caso de pagamentos (negativo).
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Para efetuar a divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e
apagar a vírgula.
Letra D
10. (BB 2006/FCC) Uma empresa deverá escolher um entre dois projetos X e Y, mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de caixa:
A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verifica-
se que os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, o desembolso D referente ao projeto X é igual a
a) R$ 30 000,00
b) R$ 40 000,00 c) R$ 45 000,00
d) R$ 50 000,00
e) R$ 60 000,00
Resolução
No regime de juros compostos, se dois conjuntos de capitais são equivalentes
em certa data, o serão em qualquer outra data.
Dizer que os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais é o
mesmo que dizer que os dois conjuntos de capitais são equivalentes na data 0.
Desta forma, podemos afirmar que os conjuntos de capitais também são
equivalentes na data 2.
Vamos, então, utilizar a data 2 como data focal.
Para transportar um valor para o futuro, devemos multiplicá-lo por
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Letra A
11. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) A tabela abaixo registra o fluxo de caixa
anual de um projeto de investimento com duração de 4 anos. A terceira coluna
fornece os respectivos valores atuais (na data 0) em função da taxa mínima
requerida de 10% ao ano.
Utilizando interpolação linear, obtém-se que, pelo método do Payback
descontado, o tempo necessário para recuperar o investimento é
a) 3,2 anos
b) 2,8 anos
c) 2,6 anos
d) 2,4 anos
e) 2,2 anos
Resolução
O Payback descontado atualiza os fluxos de caixa por meio de operações de
desconto racional composto.
E o que significa Payback? É o tempo necessário para recuperação do
investimento.
No segundo ano, o somatório das receitas é de R$ 1.800,00. Já que o
investimento inicial foi de R$ 2.000,00 precisamos de R$ 200,00 para
recuperar o investimento. No terceiro ano, recuperamos mais R$ 1.000,00.
Então fazemos a interpolação.
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Período (ano) Capital
1 1.000
X 200
Assim o payback descontado é de 2 + 0,2 = 2,2 anos.
Letra E
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2 Relação das questões comentadas
01. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) O fluxo de caixa abaixo corresponde a um
projeto de investimento (com os valores em reais), em que se apurou uma
taxa interna de retorno igual a 20% ao ano.
O valor de X é igual a
a) R$ 13.824,00
b) R$ 12.960,00
c) R$ 12.096,00
d) R$ 11.232,00
e) R$ 10.368,00
02. (BB – Escriturário FCC 2006) Considere o seguinte fluxo de caixa cuja
taxa interna de retorno é igual a 10% ao ano:
O valor de X é igual a
a) R$ 11 000,00
b) R$ 11 550,00
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c) R$ 13 310,00
d) R$ 13 915,00
e) R$ 14 520,00
03. (Agente Fiscal de Rendas 2006 FCC) A representação gráfica abaixo
corresponde ao fluxo de caixa de um projeto de investimento com a escala
horizontal em anos.
Se a taxa interna de retorno referente a este projeto é igual a 10% ao ano e
(X+Y) = R$ 10.285,00, tem-se que X é igual a
a) R$ 3.025,00
b) R$ 3.267,00
c) R$ 3.388,00
d) R$ 3.509,00
e) R$ 3.630,00
04. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Considerando o Gráfico abaixo, onde o eixo Y
representa os VPL(s) em $ e o Eixo X, as taxas em %.
Assinale a alternativa que identifica corretamente a Taxa Interna de Retorno (TIR).
a) 30%
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b) 25%
c) 20%
d) 15%
e) 0%
05. (Prefeitura Municipal de Brusque – Auditor Fiscal Tributário- 2009 –
FEPESE) Considerando o fluxo de caixa de $50.000, $30.000, $80.000 e
$20.000 para o 1o, 2o, 3o e 4o ano, respectivamente, assinale a alternativa que demonstra corretamente o valor presente desse fluxo, no ano zero, com a
aplicação das taxas de desconto de 10% a.a., 5% a.a. e 0% a.a., respectivamente.
a) $ 144.013 ; $ 180.000 ; $ 160391
b) $ 180.000 ; $ 160391 ; $ 144.013
c) $130.000 ; $ 140.000 ; $ 150.000 d) $ 144.013 ; $ 160.391 ; $ 180.000
e) $ 180.000; $ 170.000; $ 160.000
06. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Podemos afirmar que o resultado do Valor Presente Líquido (VPL) depende do custo inicial, dos retornos e suas datas de
ocorrência, e da taxa requerida ajustada ao nível de risco de um determinado projeto. A partir da análise do fluxo de caixa abaixo, considerando uma taxa de
juros de 10% ao ano,
Calcule o VPL e assinale a alternativa que indica a resposta correta.
a) $ 89.790,57
b) $ 87.029,57
c) $ 80.920,57
d) $ 78.290,57
e) $ 72.790,57
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07. (Universidade Federal da Fronteira Sul – Economista – 2009 – FEPESE) Os métodos de análise de investimentos do valor presente líquido e da taxa
interna de retorno estão de certa forma relacionados. Considerando um determinado valor presente líquido (VPL), uma taxa interna de retorno (TIR), e
um custo de oportunidade i%, o critério aceitar-rejeitar dos métodos de avaliação de investimentos deve estar de acordo com a seguinte alternativa:
a) Se VPL > 0, a TIR < i%.
b) Se VPL > 0, a TIR = i%.
c) Se VPL = 0, a TIR > i%.
d) Se VPL > 0, a TIR > i%.
e) Se VPL < 0, a TIR = i%.
08. (CVM 2003/FCC) A empresa "Y" realiza certo investimento em projeto
que apresenta o fluxo de caixa a seguir:
Se a taxa mínima de atratividade for de 25% ao ano (capitalização anual), o valor presente líquido deste investimento no ano 0 será de
a) Zero
b) R$ 448,00 c) R$ 480,00
d) R$ 960,00
e) R$ 1.560,00
09. (CVM 2003/FCC) O esquema abaixo representa o fluxo de caixa de um investimento no período de 3 anos, valores em reais:
Sabendo-se que a taxa interna de retorno (TIR) é de 10% ao ano, o valor do desembolso inicial (D) é de
a) R$ 17.325,00
b) R$ 16.500,00
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c) R$ 16.000,00 d) R$ 15.500,00
e) R$ 15.000,00
10. (BB 2006/FCC) Uma empresa deverá escolher um entre dois projetos X e Y, mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de caixa:
A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verifica-
se que os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, o desembolso D referente ao projeto X é igual a
a) R$ 30 000,00
b) R$ 40 000,00 c) R$ 45 000,00
d) R$ 50 000,00
e) R$ 60 000,00
11. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) A tabela abaixo registra o fluxo de caixa
anual de um projeto de investimento com duração de 4 anos. A terceira coluna
fornece os respectivos valores atuais (na data 0) em função da taxa mínima
requerida de 10% ao ano.
Utilizando interpolação linear, obtém-se que, pelo método do Payback
descontado, o tempo necessário para recuperar o investimento é
a) 3,2 anos
b) 2,8 anos
c) 2,6 anos
d) 2,4 anos
e) 2,2 anos
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01. B
02. E
03. E
04. C
05. D
06. B
07. D
08. B
09. D
10. A
11. E