ÁLGEBRA LINEAR

Transformações Lineares

Prof. Susie C. Keller

Transformações Lineares É um tipo especial de função (aplicação), onde o

domínio e o contradomínio são espaços vetoriais. Tanto a variável independente quanto a variável

dependente são vetores. As funções vetoriais lineares são denominadas

transformações lineares. Representa-se uma transformação do espaço vetorial

V no espaço vetorial W por:T:VW

Sendo T uma função, cada vetor v V tem um sóvetor imagem w W, que será indicado por w = T(v).

Transformações Lineares

Uma transformação de T:IR2IR3, associa vetoresv=(x,y) IR2 com vetores w=(x,y,z) IR3.

SendoT:IR2IR3

T(x,y) = (3x, -2y, x-y)

Exemplo: T(2,1) = (3.2, -2.1, 2 – 1) = (6, -2, 1)

Transformações Lineares

T:IR2IR3

T(x,y) = (3x, -2y, x-y)

Transformações Lineares Definição:

Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicaçãoT: VW é chamada transformação linear de V emW se:

I) T(u + v) = T(u) + T(v)II) T(u) = T(u)

para u, v V e IR.

Obs.: Uma transformação linear de V em V (é o casode V = W) é chamado operador linear sobre V.

Transformações Lineares Exemplos:1) T: IR2IR3, T(x,y) = (3x, -2y, x-y).

I ) Sejam u = (x1, y1) e v = (x2,y2) vetores genéricos do IR2:

Transformações Lineares

Transformações LinearesII ) Para todo IR e para qualquer u = (x1, y1) IR2,

tem-se:

Transformações LinearesII ) Para todo IR e para qualquer u = (x1, y1) IR2,

tem-se:

Transformações LinearesII ) Para todo IR e para qualquer u = (x1, y1) IR2,

tem-se:

Transformações LinearesII ) Para todo IR e para qualquer u = (x1, y1) IR2,

tem-se:

Transformações Lineares2) T: IRIR

x 3x.

I) Sejam u = x1 e v = x2 vetores genéricos do IR:

T(u + v) = T(x1 + x2)

T(u + v) = 3(x1 + x2)

T(u + v) = 3x1 + 3x2

T(u + v) = T(u) + T(v)

Transformações LinearesII ) IR e u = x1 IR, tem-se:

T(u) = T(x1)

T(u) = 3(x1)

T(u) = (3x1)

T(u) = T(u)

Transformações Lineares3) T: IRIR

T(x) = 3x + 1.I) Sejam u = x1 e v = x2 vetores quaisquer do IR:

T(u + v) = T(x1 + x2)T(u + v) = 3(x1 + x2) + 1T(u + v) = 3x1 + 3x2 + 1T(u + v) = (3x1 + 1) + 3x2

MasT(u) + T(v) = (3x1 + 1) + (3x2 + 1)

Logo T(u + v) ≠ T(u) + T(v)

Transformações Lineares Propriedade:

“Em toda transformação linear T:V→W, a imagemdo vetor 0 V é o vetor 0 W, isto é T(0) = 0.”Exemplos:4) T: IR2IR2

T(x,y) = (x2, 3y).I) Sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2) vetores genéricos doIR2:

T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2)

Transformações LinearesT(u + v) = ((x1 + x2)2, 3(y1 + y2))

Mas

LogoT(u + v) ≠ T(u) + T(v)

)y3y3 ,xxx2x( v)T(u 212221

21

)y3 ,x()y3 ,x( v)(T T(u) 2221

21

)y3y3 ,xx( v)(T T(u) 2122

21

Transformações LinearesOutros exemplos de transformações lineares:1. A transformação identidade

I: V → Vv v ou I(v) = v é linear.

De fato:

I) I(u + v) = u + v = I(u) + I(v)

II) I(u) = u = I(u)

Transformações Lineares

2. A transformação nula (ou zero)T: V → WT(v) = 0 é linear.

De fato:

I) T(u + v) = 0 = 0 + 0 = T(u) + T(v)

II) T(u) = 0 = 0. = T(u)

Transformações Lineares3. A simetria em relação à origem

T: IR3 → IR3

T(v) = -v é linear.

De fato:

I) T(u + v) = – (u + v) = – u –v = T(u) + T(v)

II) T(u) = – u = (– u) = T(u)

v

- v

x

y

z

Transformações Lineares

4. Seja V = Pn. Aplicação da derivada D: Pn → Pn queleva f Pn em sua derivada f ’, isto é D(f) = f ’ élinear.

De fato, pelas regras de derivação sabe-se que:

I) D(f + g) = D(f) + D(g)

II) D(f) = D(f)

Transformações Lineares

5. Seja V = Pn e W = IR. A transformação T: Pn → IRdefinida por

que a cada polinômio de u V associa sua integraldefinida em T(u), é linear.

IRba, com udt)u(Tb

a

Transformações Lineares

De fato, sabe-se que:

I)

II)

b

a

b

a

b

a)v(T)u(Tvdtudtdt)vu()vu(T

)u(T udtdt)u()u(Tb

a

b

a

2. Seja a matriz

que determina a transformaçãoT: IR2 → IR3

TA(v) = Av que é linear.

De fato:I) TA(u + v) = A(u + v) = Au + Av = TA(u) + TA(v)II) TA(u) = A(u) = (Au) = TA(u)

Transformações Lineares

403221

A

Transformações Lineares

TA(x, y) = (x +2y, -2x + 3y, 4y)

Transformações LinearesObservações:a) Uma matriz A(mn) sempre determina uma

transformação linearTA: IRn IRm

onde a imagem TA(v) = Av é o produto da matriz A pelovetor v IRn considerado como uma matriz de ordemn1. Esse tipo de transformação linear chama-semultiplicação por A.

b) A interpretação geométrica da transformação linear noplano pode ser visualizada por meio do exemplo aseguir.

Transformações Lineares Ex.: Seja o operador linear T: IR2IR2 definido por:

T(x,y)=(-3x + y, 2x + 3y)e os vetores u=(-1,1) e v=(0,1).Portanto,

T(u) = T(-1,1) = (-3.(-1) + 1, 2.(-1) + 3.1) = (4,1)T(v) = T(0,1) = (-3.0 + 1, 2.0 + 3.1) = (1,3)T(u + v) = T(-1,2) = (-3.(-1) + 2, 2.(-1) + 3.2) = (5,4)

Como pode-se notar T preserva a adição de vetores:T(u + v) = T(u) + T(v)

Transformações Lineares Se multiplicarmos o vetor u por 2, sua imagem T(u)

fica também multiplicada por 2.

T(2u) = T(-2,2) = (-3.(-2) + 2, 2.(-2) + 3.2) = (8,2)

2.T(u) = 2.T(-1,1) = 2. (-3.(-1) + 1, 2.(-1) + 3.1)= 2. (4,1) = (8,2)

Esse fato vale para qualquer real, isto é,

T(v) = T(v)

Diz-se que T preserva a multiplicação por escalar.

Transformações Lineares

Transformações Lineares Propriedade:

Se T: V W for uma transformação linear, então

T(a1v1 + a2v2) = a1T(v1) + a2T(v2)para v1, v2 V e a1, a2 IR.

De forma análoga, tem-se:

T(a1v1+a2v2 + ... +anvn) = a1T(v1) + a2T(v2) +...+ anT(vn)para vi V e ai R, i = 1, 2, ..., n.

Isto é, a imagem de uma combinação linear de vetores éuma combinação linear das imagens desses vetores, com osmesmos coeficientes.

Transformações Lineares Suponhamos que {v1, v2, ..., vn} seja uma base do

domínio V e que sejam conhecidas as imagens T(v1),T(v2), ..., T(vn) dos vetores dessa base: Sempre é possível obter a imagem T(v) de qualquer

v V, pois sendo v uma combinação linear dosvetores da base:

v = a1v1 + a2v2 + ... + anvne pela relação acima, vem:

T(v) = a1T(v1) + a2T(v2) + ... + anT(vn) Assim, uma transformação linear T:VW fica

complemente definida quando se conhecem as imagensdos vetores de uma base de V.

Transformações Lineares Exemplo:

Seja T:IR3 → IR3 uma transformação linear eB={v1,v2,v3} uma base do IR3, sendo v1=(0,1,0), v2=(1,0,1) ev3=(1,1,0). Determinar T(5,3,-2), sabendo que T(v1) = (1,-2),T(v2) = (3,1) e T(v3) = (0,2).

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