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Departamentode Cincias

Exatas eAplicadas -

ICEA/UFOP -Monlevade

Prof. MarcosGoulart Lima

1-Sistemas deequaes

lineares ematrizes1.1 Sistemas deequaes lineares

1.2 EliminaoGaussiana

1.3 Matrizes

1.4 Operaes commatrizes

1.5 Matrizesparticionadas

Geometria Analtica e lgebra Linear

Prof. Marcos Goulart Lima
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1-Sistemas deequaes



1.3 Matrizes



Ementa

lgebra vetorial. Retas e planos. As cnicas. Matrizes, sistemaslineares e determinantes. Espaos vetoriais. Autovalores eautovetores. Diagonalizao.
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1-Sistemas deequaes



1.3 Matrizes



1 1-Sistemas de equaes lineares e matrizes

1.1 Sistemas de equaes lineares1.2 Eliminao Gaussiana1.3 Matrizes1.4 Operaes com matrizes1.5 Matrizes particionadas
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1.3 Matrizes



Sistemas de equaes lineares

Definio: Uma equao linear nas nvariveisx1, x2, ..., xn umaequao da formaa1x1+a2x2+...+anxn=b, ondea1, a2, ..., anso constantes reais.

Exemplos de equaes lineares:

2x+y=1, 2xq+2x2+3x3 =10, x+y z=0

Exemplos de equaes no-lineares:xy=0, x+sen(y) =1, x21 +x

22 =9

Uma soluo de uma equao lineara1x1+a2x2+...+anxn=b uma sequncia dennmeross1, s2, ..., sntal que a equao satisfeita quando substitumosxi=s+iparai=1, 2, ..., n.

O conjunto de todas solues de uma equao o

conjunto-soluo ou, s vezes, soluo geral da equao.
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1-Sistemas deequaes



1.3 Matrizes



Exemplos: exiba o conjunto-soluo das equaes.a) 4x=2 b)x1 4x2 =0 c)x1 x2+x3 =1Definio: Um conjunto finito de equaes lineares nas variveisx1, x2, ..., xn chamado sistema de equaes lineares ou sistemalinear. Uma sequncias1, s2, ..., sn chamado soluo do

sistema ses1 =x1, s2 =x2, ..., sn=xn, uma soluo de cadaequao do sistema.

Exemplos:

a) 4x1 x2+3x3 =1

3x1+x2+9x3 =4b)

x+y=2x+y=1

c)

x1 x2 =13x1 x2 =4
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1.3 Matrizes



Definio: Um sistema de equaes lineares que no possui

soluo chamado de inconsistente; se existir pelo menos umasoluo ele chamado de consistente.

Sistema linear na forma geral

a11x1+a12x2+...+a1nxn = b1

a21x1+a22x2+...+a2nxn = b2... ...

...an1x1+an2x2+...+annxn = bn

Tiramos as incgnitas e montamos uma matriz, chamada dematriz aumentada do sistema:

a11 a12 ... a1n b1a21 a22 ... a2n b2

... ...

... . . .

...

an1 an2 ... ann bn
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1.3 Matrizes



Montar a matriz a matriz aumentada de:

a)

x1+x2 x3 =1x1+x2+x3 =0x1+2x2+2x3 =4

b)

x+y z=1x z=3

Existem trs tipos de operaes que podem ser realizadas emum sistema linear e que mantm o conjunto soluo inalterado:1- Multiplicar uma equao do sistema por um nmero diferentede zero.2- Trocar as posies das linhas

3- Somar um mltiplo de uma equao a outra.Essa operaes so chamadas de operaes elementares.Exemplo: Usar operaes elementares no sistema:

x+y+2z=92x+4y 3z=1

3x 6y 5z=0
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1.3 Matrizes



Eliminao Gaussiana

Uma matriz est na forma escalonada reduzida por linhas se:1. Se uma linha no consistir s de zeros, ento o primeironmero nu-nulo da linha 1. Chamamos este nmero 1 de lderou piv.2. Se existirem linhas constitudas somente de zeros, elas estoagrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz.3. Em quaisquer duas linhas sucessivas que no consistirem sde zeros, o lder da linha inferior ocorre mais direita que o lderda linha superior.4. Casa coluna que contm um lder tem zero nas demaisentradas.

Dizemos que uma matriz est na forma escalonada se temsomente as trs primeiras propriedades.Exemplos de Matrizes na forma escalonada reduzida por linhas:

1 0 0 40 1 0 7

0 0 1 1

,

1 00 0

,

0 1 1 0 50 0 0 1 2

0 0 0 0 0

.
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1.3 Matrizes



Exemplos de Matrizes na forma escalonada: 1 1 2 50 1 5 5

0 0 1 2

,

1 10 1

,

1 1 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

.

Mtodo de Eliminao:1. Localizar a primeira coluna no-nula;2. Permutar para que o elemento do item q fique na primeiralinha;3. Fazer o elemento virar 1;4. Zerar os outros elementos da coluna abaixo do 1;5. Prosseguir para prxima coluna no-nula.Se deixarmos a matriz na forma escalonada o procedimento chamado de eliminao Gaussiana. Se produzirmos uma matrizna forma escalona reduzida por linhas, o mtodo chamado deeliminao de Gauss-Jordan.
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1.3 Matrizes



Exemplo: Resolva o sistema usando o mtodo de eliminao deGauss-Jordan.

x1+3x2 2x3+2x5 =02x1+6x2 5x3 2x4+4x5 3x6 =15x3+10x4+15x6 =52x1+6x2+8x4+4x5+18x6 =6

.
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1-Sistemas deequaes



1.3 Matrizes



Retro-substituio

Usando a seguinte matriz associada a um sistema linear.

1 3 2 0 2 0 00 0 1 2 0 3 1

0 0 0 0 0 1 1/30 0 0 0 0 0 0

Escreva o sistema associado resolvido em funo das variveislderes:

x1 =3x2+2x3 2x5x3 =1 2x4 3x6

x6 =1/3
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1.3 Matrizes



Comeando de baixo para cima, substitua cada resultado obtidoem todas equaes acimax6 =1/3

x1 =3x2+2x3 2x5x3 =1 2x4 3(1/3)x

6=1/3

Comox4e x5so variveis livres, atribuiremos os parmetros resa elas respect.

x5 =

s,

x4 =

r

x1 =3x2+2x3 2sx3 =2rx4 =rx5 =sx6 =1/3
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1.3 Matrizes



x2 uma varivel livre, logox2 =t. O ltimo passo obterx1:

x2 =t

x1 =3t 4r 2sx2 =tx3 =2rx4 =rx5 =sx6 =1/3

Obtendo assim o conjunto soluo:

S={(3t 4r 2s, t,2r, r, s, 1/3/r, s, t R)}.Exemplo: Resolva o sistema abaixo usando a eliminao deGauss e a Retrosubstituio.

x+y+2z=92x+4y 3z=1

3x+6y 5z=0
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1.3 Matrizes



Sistemas lineares homogneos

Definio: Um sistema linear dito homogneo se os termosconstantes so todos iguai a zero, ou seja, o sistema tem a forma:

a11x1+a12x2+...+a1nxn = 0a21x1+a22x2+...+a2nxn = 0

... ...

...an1x1+an2x2+...+annxn = 0

Observe que todo sistema homogneo tem soluo,x1 =x2 =...= xn=0. Essa soluo chamada de soluo trivialou soluo nula.Exemplo: Resolva o sistema linear homogneo usandoeliminao de Gauss-Jordan.

x+y+2z=92x+4y 3z=1
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1.3 Matrizes



O exemplo anterior ilustra um fato que acontece em geral: se umsistema linear homogneo ten nais incgnitas que equaes eleter infinitas solues.
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1-Sistemas deequaeslineares ematrizes

1.1 Sistemas deequaes lineares


1.3 Matrizes



Matrizes

Definio: Uma matriz um agrupamento retangular de nmeros.Os nmeros deste agrupamento so chamados de entradas da

matriz. Usaremos letras maisculas para denotar matrizes.Exemplo: A=

1 02 5

,B=

2 4 r2 5 b

.

O tamanho ou ordem da matriz ser indicado na forma(linha)x(coluna). No exemplo anteriorA uma matriz 2x2 eB

uma matriz 2x3, ou ainda, A2

2eB2

3.
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1.3 Matrizes



Uma matriz com uma nica coluna chamada de matriz-coluna,ou vetor coluna. Uma matriz com uma nica linha chamada dematriz-linha, ou vetor linha.Usaremos a notaoaijpara denotar a entrada da i-sima linha e

j-sima coluna. Assim uma matriz 2x2 fica denotada, de maneiragenrica.

A=

a11 a12a21 a22

.

Podemos tambm indicar as entradas de uma matriz ppor uma

equao. Por exemploA3x6 = (aij), ondeaij=3(i+j) +j.Uma matriz comnlinhas encolunas chamada de matrizquadrada.
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1.3 Matrizes



Operaes com matrizes

Igualdade

Adio

Multiplicao por escalar

Multiplicao de matrizes
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1.3 Matrizes



Matrizes particionadas

Uma matriz pode ser subdividida em blocos ou particionada emmatrizes menores.Exemplo: SejaAuma matriz 3x4 genrica. Ento, podemos

escrever:A= [A1 A2], ondeA1 =

a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

e A2 =

a41a42

a43

.

ou

A= A1

A2A3

, ondeAi=

ai1 ai2 ai3 ai4

.
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1.3 Matrizes



Exemplo: SejaA3x4e B4x3matrizes com entradas reais. Escreva

A=

A1A2A3

onde cadaAi uma linha deAe

A=

B1 B2 b3, onde cadeBj uma coluna deB. Ento

AB= (cij)3x3ondecij=AiBj.

Exerccio: SejamA =

1 1 2 22 3 1 40 0 2 1

0 0 2 2

eB=

1 0 20 1 31 3 0

1 2 5

.

Se cadaAi uma linha deAento calcule: A1.B, A2.B, A3B, A4BeAB.
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1.3 Matrizes



Produtos Matriciais como combinaes lineares

Dadas duas matrizesA =

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n

... ...

... ...

an1 an2 ... ann

ex=

x1x2...

xn

,

podemos calcular o produtoAx.

Ax=

a11x1+a12x2+...+a1nxna21x1+a22x2+...+a2nxna31x1+a32x2+...+a3nxn

.

..an1x1+an2x2+...+annxn

=

x1

a11a21

...an1

+x2

a12a22

...an2

+...+xn

a1na2n

...ann

.
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1.3 Matrizes



Logo a matrizAx pode ser escrita como uma combinao lineardas matrizes-colunas deAcom coeficientes na matriz x.

Exemplo:

1 3 21 2 3

2 1 2

.

21

3

=

2

11

2

+ (1)

32

1

+ (1)

23

2

=

19

3

.

Exerccio: Escrever as colunas de ABcomo combinao lineardas colunas deA.

AB=

1 2 42 6 0

.

4 1 4 30 1 3 1

2 7 5 2

=

12 27 30 13

8 4 26 12
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1.3 Matrizes



Forma matricial de um sistema linear

O sistema linear na forma geral

a11x1+a12x2+...+a1nxn = b1

a21x1+a22x2+...+a2nxn = b2... ...

...an1x1+an2x2+...+annxn = bn

pode ser visto na forma de multiplicao de matrizes:

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n

... ...

... ...

an1 an2 ... ann

x1x2...

xn

=

b1b2...

bn

.
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1.3 Matrizes



Obtemos assim, a equao matricial Ax=b, ondeA a matrizdos coeficientes do sistema,x a matriz-coluna das variveis e b a matriz-coluna das constantes. Lembrando que a matrizaumentada desse sistema da forma

A b

.

Transposta de uma matrizDefinio: SeA uma matriz mxn qualquer, ento a transpostadeA, denotada porAT, definida como a matriz nxm que resultada permutao das linhas pelas colunas de A.

Exemplos: A= 1 2

3 4

,AT

= 1 3

2 4

.

B=

1 2 3

,BT =

12

3

.
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1-Sistemas deequaeslineares e

matrizes1.1 Sistemas deequaes lineares


1.3 Matrizes



C=

a eb fc gd h

,CT =

a b c d e f g h

.

Observe que se os elementos de Amn= (aij)entoATnm= (bij)ondebij=aji.Definio: SeA uma matriz quadrada ento o trao deA,denotado portr(A), definido pela soma das entradas dadiagonal principal deA. tr(A)est definidosomentepara

matrizes quadradas.Exemplos:
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1.3 Matrizes



Propriedades de matrizes

SejamA, Be Cmatrizes eaum nmero real. Supondo que ostamanhos das matrizes so tais que as operaes podem ser

efetuadas, valem as seguintes propriedades:a)A +B=B+Ab)A + (B+C) = (A +B) +Cc)A(BC) = (AB)Cd)A(B+C) =AB+ACe)(A +B)C=AC+BCf)A(B C) =AB ACg)(B C)A= BA CAh)a(B+C) =aB+aCi)a(B C) =aB aC
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1.3 Matrizes



Exemplo: SejamA =1 0

2 3

e B=

1 23 0

. CalculeABe

BA.Uma matriz com todasas entradas nulas chamada de matriz

zero ou matriz nula. Uma matriz zero ser denotada por 0.

Exemplo de matrizes 0: [0],A =

0 00 0

0 0

,

A=

0 0 0 0 0

.

Para matrizes azero vale:A +0= A =0 +A,A.0=0.A=0a0=0 eA A=0
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1.3 Matrizes



Para nmeros reais valem as seguintes propriedades:

Seab=acea=0 entob=cSea.b=0 entoa=0 oub=0.Exerccio casa: Encontre matrizes A, B, CeD, 2x2, tais que:-AB=ACeB=CcomA =0-AD=0 comA=0 eD=0.

Definio: Matriz identidades a matriz quadrada com 1 emtodas as entradas da diagonal principal e 0 nas restantes.Denotaremos a matriz identidade porIn, onden a ordem damatriz.

I1 = [1],I2 =

1 00 1

, ...,

In=

1 0 0 ... 00 1 0 ... 00 0 1 ... 0...

... ...

... ...

0 0 0 ... 1

n linhas e n colunas
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1.3 Matrizes



Para matriz identidade valeAI=IA.Teorema: Toda matrizRescalonada reduzida por linhas de umamatrizAnn a matriz identidadeInou tem pelo menos uma linhade zeros.Definio: Dada uma matriz quadrada A, se existir uma matriz B

do mesmo tamanho tal que

AB=BA = I

ento diremos queB a matriz inversa deA. Se no for possvelencontrarBento diremos queA no invertvel ou singular.

Exemplo: Verifique queB=

3 51 2

a inversa de

A=

2 51 3

.
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1.3 Matrizes



Exerccio: Verifique queA =

1 4 02 5 03 6 0

no possui inversa, ou

seja,A singular.

Teorema: SeA uma matriz invertvel ento existe uma nicaBtal queB a inversa de A.
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