Regra de Trs Definio: Chamamos de regra de trs aos problemas nos quais figura uma grandeza (incgnita) que diretamente ou inversamente proporcionais a uma ou mais grandezas. Os chamados problemas de regra de trs podem ser classificados como problemas de regra de trs simples ou de regra de trs composta. No primeiro so dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra (que podem ser diretamente ou inversamente proporcionais) e deveremos ento, com o uso de uma proporo adequada, achar o segundo valor dessa segunda grandeza levando em conta o fato das duas grandezas serem diretamente ou inversamente proporcionais. J no segundo caso trataremos com mais de dois pares de grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Testes 1) (ESA) Dez pessoas realizam um trabalho em 15 dias. Seis pessoas fariam o mesmo trabalho em: a) 9 dias b) 10 dias c)15 dias d) 20 dias e) 25 dias 2) (FEI-SP) Um navio dispem de reservas para alimentar 12 homens durante 45 dias, mas recebe 6 sobreviventes de um naufrgio. As reservas de alimentos daro para no mximo, quantos dias? a) 40 dias b) 35 dias c) 30 dias d) 24 dias 3) 8 bombeiros utilizando 6 mangueiras conseguem extinguir um incndio em 9 horas. Em quanto tempo 9 bombeiros extinguiriam o mesmo incndio utilizando 8 mangueiras? 4) (USP-SP) Uma famlia composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 Kg de po. Quantos quilos sero necessrio para aliment-la durante 5 dias, estando ausente 2 pessoas? a) 3 b) 2 c) 4 d) 6 e) 5 5) (OBM) 40 operrios trabalhando 6h/d durante 40 dias asfaltam uma rua de 360 metros de comprimento e 6 metros de largura. Que comprimento deveria ter uma rua de 8 metros de largura, para que 50 operrios conseguissem asfaltar trabalhando 8h/d durante 30 dias, sabendo-se que este grupo tem capacidade dupla em relao ao primeiro, mas vai encontrar uma dificuldade tripla? 6) (ENEM-2009) Uma escola lanou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos no perecveis para doar a uma comunidade carente da regio. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas dirias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes at o trmino da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de: a) 920 kg. b) 800 kg. c) 720 kg. d) 600 kg. e) 570 kg.

Princpio Multiplicativo ou Princpio Fundamental da Contagem (PFC) Definio: Se uma deciso d1 pode ser tomada de x maneiras e se, uma vez tomada a deciso d1, a deciso d2 puder ser tomada de y maneiras ento o nmero de maneiras de se tomarem as decises d1 e d2 xy. Importante! Pequenas dificuldades adiadas costumam transforma-se em grandes dificuldades. Se alguma deciso mais complicada que as demais, ela deve ser tomada em primeiro lugar. Ex1.: (UFG-ADAPTADA) De quantas formas distintas podemos pintar uma bandeira constituda de 4 listras dento a disposio 4 cores diferentes e de modo que cada listra seja pintada com uma nica s cor e que listras adjacentes no tenham a mesma cor?

Ex2.: (FGV) Uma sala tem 6 lmpadas com interruptores independentes. De quantos modos pode-se ilumin-la, se pelo menos uma das lmpadas deve ficar acesa? a) 12 b) 6 c) 63 d) 64

Ex3.: (UNESP) Na conveno de um partido para lanamento da candidatura de uma chapa ao governo de certo estado havia 3 possveis candidatos a governador, sendo dois homens e uma mulher, e 6 possveis candidatos a vice-governador, sendo quatro homens e duas mulheres. Ficou estabelecido que a chapa governador/vicegovernador seria formada por duas pessoas de sexos opostos. Sabendo que os nove candidatos so distintos, o nmero de maneiras possveis de se formar a chapa a) 18. b) 12. c) 8. d) 6. e) 4.

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Testes 1) (IFRN) Um turista, em frias no Brasil, deseja fazer uma viagem da cidade A at a cidade C, passando pela cidade B. Para ir da cidade A cidade B, existem quatro rodovias e duas ferrovias. Para ir da cidade B at a cidade C, existem duas rodovias e trs ferrovias. O nmero de opes diferentes que o turista tem para fazer essa viagem, utilizando obrigatoriamente rodovia e ferrovia em qualquer ordem : (A) 36 (B) 16 (C) 14 (D) 48 2) (UFF) O estudo da gentica estabelece que, com as bases adenina (A), timina (T), citosina (C) e guanina (G), podem-se formar, apenas, quatro tipos de pares: A-T, T-A, C-G e G-C. Certo cientista deseja sintetizar um fragmento de DNA com dez desses pares, de modo que: 5) (UFMG) Observe o diagrama

O nmero de ligaes distintas entre X e Z a) 39 b) 41 c) 35 d) 45 6) (UFPE) O mapa abaixo representa a diviso do Brasil em suas regies. O mapa deve ser colorido de maneira que regies com uma fronteira em comum sejam coloridas com cores distintas. Determine o nmero (n) de maneiras de se colorir o mapa, usando-se 5 cores. Indique n/10.

- dois pares consecutivos no sejam iguais; - um par A-T no seja seguido por um par T-A e vice-versa; - um par C-G no seja seguido por um par G-C e vice-versa. Sabe-se que dois fragmentos de DNA so idnticos se constitudos por pares iguais dispostos na mesma ordem. Logo, o nmero de maneiras distintas que o cientista pode formar esse fragmento de DNA : a) 211 b) 220 c) 2 10 d) 210 e) 22 10 3) (UCSal-BA) Um cdigo pra leitura tica constitudo por 6 barras, branca ou pretas. Nenhum cdigo tem barras de uma s cor. Veja dois exemplos desses cdigos:

7) (UFRN) Um fenmeno raro em termos de data ocorreu s 20h02min de 20 de fevereiro de 2002. No caso, 20:02 20/02 2002 forma uma seqncia de algarismos que permanece inalterada se reescrita de trs para a frente. A isso denominamos capicua. Desconsiderando as capicuas comeadas por zero, a quantidade de capicuas formadas com cinco algarismos no necessariamente diferentes A) 120 B) 720 C) 900 D) 1000 8) (PUC-SP) Um debate poltico ser realizado por uma rede de televiso com 5 candidatos prefeitura de uma cidade. O debate ser formado por duas partes: 1 Parte: O jornalista que coordenar o debate escolher, de todas as formas possveis, dois candidatos: ao primeiro, o jornalista formular uma pergunta e, ao segundo, ele pedir que comente a resposta do primeiro. 2 Parte: Cada candidato escolher, tambm, de todas as formas possveis, dois outros candidatos: ao primeiro, o candidato formular uma pergunta e, ao segundo, ele pedir que comente a resposta do primeiro. Qual o nmero mnimo de perguntas que devem ser elaboradas pelo jornalista e pelos candidatos, admitindo que um mesma pergunta no seja formulada mais que uma vez? a) 36 b) 72 c) 80 d) 20 e) 64 9) (UFRN 2009) Uma pessoa foi ao dentista e constatou que estava com cinco cries, cada uma em um dente. Ficou decidido que seria restaurado um dente cada vez que ela voltasse ao consultrio. O dentista combinou que marcaria as datas em cinco semanas seguidas, um dia a cada semana. Considerando-se apenas os dias teis e sabendose que, nesse perodo, ocorreriam, ao todo, dois feriados, em semanas diferentes, o nmero de maneiras distintas para se programar o tratamento do paciente seria: a) 3.125 b) 1.875 c) 1.600 d) 2.000

Quantos desses cdigos, distintos entre si, podem ser formados? a) 128 b) 64 c) 32 d) 62 e) 12 4) (UFES) Num aparelho telefnico, as dez teclas numeradas esto dispostas em fileiras horizontais, conforme indica a figura a seguir. Seja N a quantidade de nmeros de telefone com 8 dgitos, que comeam pelo dgito 3 e terminam pelo dgito zero, e, alm disso, o 2 e o 3 dgitos so da primeira fileira do teclado, o 4 e o 5 dgitos so da segunda fileira, e o 6 e o 7 so da terceira fileira.

O valor de N a) 27 b) 216

c) 512

d) 729

e) 1.331

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10) (UFSCAR-2000) Considere a figura a seguir. O nmero de caminhos mais curtos, ao longo das arestas dos cubos, ligando os pontos A e B, .

(C) existem exatamente 232 endereos diferentes no sistema IPv4. (D) o nmero de endereos diferentes no sistema IPv6 o dobro do nmero de endereos diferentes do sistema IPv4. (E) existem exatamente (28 - 1)4 endereos diferentes no sistema IPv4.

a) 2.

b) 4.

c) 12.

d) 18.

e) 36.

11) (ENEM) No Nordeste brasileiro, comum encontrarmos peas de artesanato constitudas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um arteso deseja fazer peas com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura.

O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo no pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questo de contraste, ento o nmero de variaes que podem ser obtidas para a paisagem a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.

12) (UFF-2011) Muitos consideram a Internet como um novo continente que transpassa fronteiras geogrficas e conecta computadores dos diversos pases do globo. Atualmente, para que as informaes migrem de um computador para outro, um sistema de endereamento denominado IPv4 (Internet Protocol Version 4) usado. Nesse sistema, cada endereo constitudo por quatro campos, separados por pontos. Cada campo, por sua vez, um nmero inteiro no intervalo [0, 28 - 1]. Por exemplo, o endereo IPv4 do servidor WEB da UFF 200.20.0.21. Um novo sistema est sendo proposto: o IPv6. Nessa nova verso, cada endereo constitudo por oito campos e cada campo um nmero inteiro no intervalo [0, 216 - 1]. Com base nessas informaes, correto afirmar que (A) o nmero de endereos diferentes no sistema IPv6 o qudruplo do nmero de endereos diferentes do sistema IPv4. (B) existem exatamente 4.(28 - 1) endereos diferentes no sistema IPv4.

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