AULAS – MATEMÁTICA – PROFº SAMUEL

Descrição: Geometria Plana 3 - Triângulo Retângulo

1. (ITA) Suponhamos que p e q são os catetos de um triângulo retângulo e h é a altura relativa à hipotenusa do mesmo. Nestas condições, podemos afirmar que a

equação: ( R é o conjunto dos

números reais) .

a) não admite raízes reais.b) admite uma raiz da forma , onde m R , m > 0c) admite sempre raízes reais.d) admite uma raiz da forma , onde m R , m > 0e) n.d.a.

2. (ITA) Num triângulo ABC, BC = 4 cm, o ângulo C mede 30° e a projeção do lado AB sobre BC mede 2,5 cm. O comprimento da mediana que sai do vértice A mede:

a) 1 cm b)√2 c) 0,9 cm d) √3 cm e) 2 cm

3. (ITA-2004) Em um triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é a média geométrica das medidas dos catetos. Então, o valor do cosseno de um dos ângulos do triangulo é igual a:

a) b) c) d) e)

4. (USP) As retas r e s são paralelas e A é um ponto entre elas que dista 1 de r e 2 de s. Considere um ângulo reto, de vértice em A, cujos lados interceptam r e s nos pontos B e C, respectivamente. O ângulo agudo entre

o segmento e a reta r mede .

a) Calcule a área do triângulo ABC em função do ângulo .b) Para que valor de a área do triângulo ABC é mínima ?

5. (USP) O triângulo retângulo ABC, cujos catetos e

medem 1 e , respectivamente, é dobrado de tal

forma que o vértice C coincida com o ponto D do lado .

Seja o segmento ao longo do qual ocorreu a dobra.

Sabendo que é reto, determine:

a. O comprimento dos segmentos e ;

b. A área do triângulo CMN.

6. (USP) Na figura ao lado, M é o ponto médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O segmento

RM é perpendicular a PQ e

Calcule:a) O raio da circunferência.

b) A medida do ângulo , onde O é o centro

da circunferência.

7. (USP-2005) Na figura a seguir, as 12 circunferências têm todas o mesmo raio r, cada uma é tangente a duas outras e ao quadrado. Sabendo-se que cada uma das retas suporte das diagonais do quadrado tangencia quatro das circunferências (ver figura) e que o quadrado tem lado , determine r.

8. (IBMEC - 2007) Na figura abaixo:

• AB e AD são lados de dois quadrados;• os quatro quadriláteros menores são quadrados de mesmo lado;• o arco BCD é uma semi-circunferência;• a área do retângulo BDEF é igual a 180.

A medida de AC é igual a:

a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) 9.

9. (UNICAMP – 2003) Considere dois triângulos retângulos T1 e T2, cada um deles com sua hipotenusa medindo 1cm. Seja a medida de um dos ângulos agudos de T1 e 2a medida de um dos ângulos agudos de T2.

a) Calcule a área de T2 para = 22,5º.b) Para que valores de a área de T1 é menor que a área de T2?

10. (UNESP –2005) Em Uma residência, há uma área de lazer com uma piscina redonda de 5 m de diâmetro. Nessa área há um coqueiro, representado na figura por um ponto Q.

Se a distância de Q (coqueiro) ao ponto de tangência T (da piscina) é 6 m , a distância d = QP, do coqueiro à piscina, é:

a) 4 m b) 4,5 m c) 5 m d) 5,5 m e) 6 m

11. (UNESP) A área de um triângulo retângulo é 12 dm². Se um dos catetos é 2/3 do outro, calcule a medida da hipotenusa desse triângulo.

12. (UNESP) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45°. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4 Km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular à rodovia B. A distância do posto de gasolina à rodovia B, indo através de C, em quilômetros, é:

a) b) c) d) e)

13. (ITA) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante quando o navio está em A, observa um farol em L, e calcula o ângulo LAC = 30º. Após navegar 4 milhas até B, verifica o ângulo LBC = 75º. Quantas milhas separam o farol do ponto B?

a) 4 b) 2√ 2 c) 8/3 d) 3 / 2 e) n.d.a.

14. (USP) Os lados de um triângulo medem 5, √5 e √10, calcule a altura relativa ao lado maior.

15. (USP-2005) Na figura, ABC e CDE são triângulos retângulos, AB = 1, BC = √3 e BE = 2 DE. Logo, a medida de AE é:

a) b) c) d) e)

16. (ITA) O perímetro de um triângulo retângulo isósceles é 2p. Nesse triângulo, a altura relativa à hipotenusa é:

a) b) c)

d) e)

17. (FGV-2006) Na figura a seguir, em que os ângulos A e B são retos, considere que um indivíduo esteja no ponto O e queira atingir o ponto C, passando pelos pontos A e B. Sabe-se que OC = 10 000 m, AB = 8 000 m e que a distância entre B e

C é 25% do percurso que o indivíduo pretende fazer para atingir o ponto C. Suponha que, no trajeto entre A e B, exista um ponto D, de parada obrigatória. A partir desse ponto, a distância que ainda falta para chegar ao ponto C é 60% do caminho já percorrido. Determine a distância entre D e B.

18. Determinar h,m e n no triângulo abaixo:

Gabarito

1) c 2) a 3) c 4) a) 2 / sen(2) b) = 45°5) CN = CM = 2/3 b) Área de CMN = √3/96) a) r = 8√3 / 3 b) POQ = 120° 7) √7(√2-1)8) b 9) a) ¼ cm² b) 0 < < 30° 10) a 11) 2√13 12) e 13) b 14) 1 15) c 16) c17) 3500 18) h = 2.4, m = 3.2 e n = 1.8