ITA Geometria Plana

Geometria Plana

Prof. Diego Fernandes

Adaptado de Arnaldo William Pinto (Dom Bosco 2008)

1.Classificação

2.Ângulos em 2 retas

3.Triângulos

4.Quadriláteros

5.Ângulos na circunferência

6. Polígonos

1.Base Média

2.Baricentro

3.Teorema de Tales

4.Teorema da Bissetriz

5.Semelhança

6.Triângulo Retângulo

7. Problemas de Tangência

8.Potência de Ponto

9.Teorema dos Senos

10.Teorema dos Co-senos

11.Polígonos Regulares

12.Comp.da circunferência

13.Cálculo de r e R

1.Fórmulas Elementares

2.Fórmulas do triângulo

3.Figuras circulares

4.Figuras Semelhantes

5. Regra do Chocolate

I) Ângulos II) Relações Métrica III) Áreas

GEOMETRIA PLANA

I) ESTUDO DOS ÂNGULOS

1.Classificação


3.Triângulos

4.Quadriláteros


6. Polígonos

o

e complementares

é o complemento de

é o suplemento de

Exemplo: 15o é o complemento de 75o

o

e suplementares

é o suplemento de

é o complemento de

Exemplo: 105o é o suplemento de 75o

1. Classificação

Sendo 0o < x < 90o podemos afirmar que:

• Metade do complemento de x:

• Complemento da metade de x:

• Metade do complemento da terça parte de x:

2

x90

2

x90

23

x90

b

a


• Quarta parte do suplemento de x:

• Suplemento da quinta parte de x:

• Terça parte do suplemento da metade de x:

4

x180

5

x180

32

x180

b

a


• Metade do suplemento da terça parte do complemento de x é:

23

x90180

90o- x = 60o

Assim: x = 30o

Problema:A quarta parte do complemento de um ângulo é 15o.Qual a medida desse ângulo?

Sendo x a medida do ângulo procurado temos:

154

x90

Problema:O suplemento da terça parte de um ângulo, excedea metade do complemento desse ângulo, em 145o.Qual a medida do ângulo citado?

A excede B de 10:

B

AB+10 A

A = B + 10

Problema:O suplemento da terça parte de um ângulo, excedea metade do complemento desse ângulo, em 145o.Qual a medida do ângulo citado?

Sendo x a medida do ângulo procurado temos:

1452

)x90(

3

x180

6

870)x90(3

6

x21080

1080o – 2x = 270o – 3x + 870o x = 60o


1.Classificação


3.Triângulos

4.Quadriláteros


6. Polígonos

2. ÂNGULOS EM DUAS RETAS

Ângulos alternos internos

r

s

r

s

tt

r//s

Problema: Sendo r//s, calcule x.

75o

87o

x

130o

75o

87o

x

130o

75o

75o

87o-75o=12o

12o

180o-130o=50o

50o

x = 12o +50o = 72o


1.Classificação


3.Triângulos

4.Quadriláteros


6. Polígonos

o

3. Triângulos

Propriedade dosÂngulos Internos

e

e

e

e

e

e

3. Triângulos

Propriedade dosÂngulos Externos

eeeo

e

e

3. Triângulos

Teorema do Ângulo Externo

e

3. Triângulos

escaleno

isósceles

eqüilátero

60

3. Triângulos: Pontos NotáveisA

B C

A

B C

A

B C

A

B C

M

mediana

NP

baricentroP

bissetriz

QR

incentro

3. Triângulos: Pontos Notáveis

A

B C

A

B C

medianaA

B CM

NP

baricentro

A

B CP

bissetriz

QR

incentro

H1

altura

H2

H3

ortocentro M

mediatriz

circuncentro

3. Triângulos: Posições do ortocentro.

acutângulo obtusângulo

retângulo

Ortocentrointerno

Ortocentroexterno

Ortocentroé o vértice

3. Triângulos: Posições do circuncentro.

acutângulo obtusângulo

retângulo

Circuncentro interno

Circuncentro externo

Circuncentro é o ponto médio da hipotenusa

Problema: Calcule a soma dos ângulos assinalados.

Resposta: Soma = 180o

Problema: Calcular a soma das medidas dos ângulosAssinalados.

180o

360o

Resposta: Soma = 180o+360o=540o

Problema: Na figura AB=BC=CD=CE=DE. Calcule a medida do ângulo BAC.

A

B

C

D E

A

B

C

D E

x

x2x

A

B

C

D E

x

x2x

2x

A

B

C

D E

x

x2x

2x3x

3x 3x

3x = 60o

x = 20o

Resposta: BAC=20o

Problema: A figura 1 apresenta o triângulo ABC, de papel,Isósceles de base BC, com ABC=ACB=80o. A figura 2apresenta o mesmo triângulo após uma dobra DE, comDE=AD. Calcule a medida x do ângulo assinalado.

A

B C

A

B C

D

E

A’

x

80o 80o

A

B C

D

E

A’

x

80o 80o

Â + 80o + 80o = 180o

Â = 20o

20o

A

B C

D

E

A’

x

80o 80o

Â + 80o + 80o = 180o

Â = 20o

20o

AD=DE => AED=20o20o

A

B C

D

E

A’

x

80o 80o

Â + 80o + 80o = 180o

Â = 20o

20o

AD=DE => AED=20o20o

AED=A’ED=20o

20o

A

B C

D

E

A’

x

80o 80o

Â + 80o + 80o = 180o

Â = 20o

20o

AD=DE => AED=20o20o

AED=A’ED=20o

20o

x = 20o + 40o

Resposta: x = 60o

Na figura as retas r e s são paralelas, BÂC=90o, BÊD=22o

e ED=2.BC. Calcule a medida do ângulo BCD.

A

B

C

E

r

s


1.Classificação


3.Triângulos

4.Quadriláteros


6. Polígonos

4. QUADRILÁTEROS

a

b

cd

a + c = b + d


1.Classificação


3.Triângulos

4.Quadriláteros


6. Polígonos

3. Circunferência

a

a

ÂNGULO CENTRAL

3. Circunferência

ÂNGULO INSCRITO

x

x

2x

yy

2y

2x + 2y

a

a/2

3. Circunferência

ÂNGULO DE SEGMENTO

y

x ya

a

y=90o-x

(90o-x)+ (90o-x)+a=180o=> x=a/2

a

a/2

3. Circunferência

ÂNGULO DE VÉRTICE INTERNO

xa

b

b/2 a/2

x=(a/2)+(b/2)

x=(a+b)/2

a

b

(a+b)/2

3. Circunferência

ÂNGULO DE VÉRTICE EXTERNO

x

a

b

(a/2)=x+(b/2) => x=(a/2)-(b/2)

x=(a-b)/2

a

(a-b)/2

a/2

b/2

b

Problema: Calcule a medida x na figura.

55o

25o

x

55o

25o

x

1a solução:

x

25o+x

55o

25o

x

1a solução:

x

25o+x

55o = x + (25o + x) 30o = 2x x = 15o

55o

25o

x

2a solução:

x = b/2 = 15o

ab

(a + b)/2 = 55o

(a - b)/2 = 25o

a + b = 110o

a - b = 50o

a=80o e b=30o


1.Classificação


3.Triângulos

4.Quadriláteros


6. Polígonos


1.Classificação


3.Triângulos

4.Quadriláteros

5.Polígonos


4. Polígonos

SOMA DAS MEDIDAS DO ÂNGULOS INTERNOS

n lados => (n-2) triângulos

SOMA=(n-2).180o

4. Polígonos

SOMA DAS MEDIDAS DO ÂNGULOS EXTERNOS

SOMA=360o

4. Polígonos

POLÍGONOS REGULARES

i

i

i

e

e

e

e=360o/n

i=(n-2).180o/n

n lados

1o polígono: n lados => Si = (n - 2).180o

2o polígono: n +1 lados => Si = (n + 1 - 2).180o= (n – 1).180o

3o polígono: n +2 lados => Si = (n + 2 - 2).180o= (n ).180o

(n – 2).180o + (n – 1).180o + (n).180o = 1620o

n – 2 + n – 1 + n = 9

3n = 12 n = 4

Resposta: Quadrilátero, Pentágono e Hexágono.

Problema: Os números de lados de três polígonosconvexos, são consecutivos. Sabendo que a somadas medidas dos ângulos internos dos três polígonosé 1620o, determine esses polígonos.

Problema: Num polígono regular a razão entre as medidas de cada ângulo interno e cada ângulo externoé 4. Que polígono é esse?

Sendo e e i as medidas de cada ângulo externo einterno, respectivamente, do polígono regular, temos:

)II(180e)I(44 eieie

i

1804:temos)II(em)I(dosubstituin ee

361805 ee

10n36n

360

Resposta: Decágono Regular.

Fuvest-SPOs pontos B, P e C pertencem a uma circunferência e BC é um dos lados de um polígono regular inscrito em . Sabendo-seque o ângulo BPC mede 18o, podemos concluir que o número de lados do polígono é igual a:

P

B

C

a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 12

B

C

P

n

36036

10n

Reposta: D

18o

Fuvest-SPDois ângulos internos de um polígono convexo medem 130o

cada um e os demais ângulos internos medem 128o cada um.O número de lados do polígono é:

a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17

130o

130o

128o

128o128o

130o + 130o + 128o + 128o +...+ 128o = (n-2).180o

260o + (n-2).128o = (n-2).180o

260 + 128n –256 = 180n –360 => 52n = 364 => n = 7

Resposta: B

1.Classificação


3.Triângulos

4.Quadriláteros


6. Polígonos

1.Base Média

2.Baricentro

3.Teorema de Tales


5.Semelhança




9.Teorema dos Senos











GEOMETRIA PLANA

II) RELAÇÕES MÉTRICAS

1.Base Média2.Baricentro3.Teorema de Tales4.Teorema da Bissetriz5.Semelhança6.Triângulo Retângulo7.Problemas de Tangência8.Potência de Ponto9.Teorema dos Senos10.Teorema dos Co-senos11.Polígonos Regulares12.Comprimento da circunferência13.Cálculo de r e R

1. BASE MÉDIA

Base média de triângulo

A

B Ca

M N

MN = base média

MN = a/2

Base média de trapézio

A B

CD

M N

MN = base média

MN = (a+b)/2

a

b

Mediana de Euler

A B

CD

M NP Q

PQ = mediana de Euler

a

b

b/2

a/2 PQ = (a/2) – (b/2)

PQ = (a–b)/2

2. BARICENTRO DE TRIÂNGULO

A

BC M

NP

G

G é o baricentro do triângulo ABC

CG = 2 GNBG = 2 GPAG = 2 GM

3. TEOREMA DE TALES

a

a’

b

b’

'b

b

'a

a

Problema: Na figura, as retas r e s são paralelas. Calcule x+y.

3 2

1 x

5 y

3

yx 2

6 9yx

Problema: No quadrado ABCD da figura, de lado 4cm, o segmentoAE é tal que o ângulo BAE tem o triplo da medida do ângulo EAD.Calcule DE.

A B

CD E

4cm

4cm

5. Figuras Semelhantes:ÂNGULOS CONGRUENTES

5. Figuras semelhantes

'a

a

'b

b 'c

c 'd

d

a’a

bb’

c’

c

d’

d

SEGMENTOS HOMÓLOGOS PROPORCIONAIS

Definição: Dois triângulos são semelhantes quando têm ângulos correspondentes congruentes e segmentos homólogosproporcionais.

A

B C

A’

B’ C’

~

' C' B' A ~ ABC

'CC;'BB;'AA

aa’

b b’c c’

'c

c

'b

b

'a

a

Caso AA~: Dois triângulos que têm dois ângulosrespectivamente congruentes são semelhantes.

Caso AA~: Dois triângulos que têm dois ângulosrespectivamente congruentes são semelhantes.

a a’bb’

c

c’

'a

a

'b

b

'c

c

Problema:Na figura, AD=6cm, DB=2cm e AE=5cm. Calcule EC.

A

B

CD

E

Problema:Na figura, AD=6cm, DB=2cm e AE=5cm. Calcule EC.

A

B

CD

E6

2

5

x

26

5

x5

6

5

23x

6. Relações Métricas no Triângulo Retângulo

A

B C

c b

am n

h

c2 = a . m b2 = a . n

h2 = m . n

b . c = a . h

a2 = b2 + c2


A

B C

c b

am n

h

a

bc

m

hc

h

b m

c

c

a


A

B C

c b

am n

h

c2 = a . m b2 = a . n

h2 = m . n

b . c = a . h

a2 = b2 + c2

PONTO “GOSTOZINHO”

A B

C

O

O é o circuncentro do triângulo ABC

AO = OB = OC

Problema: No quadrilátero ABCD da figura, os ângulos BAD e BCDsão retos. Sabendo que as diagonais AC e BD são perpendiculares emO, e que BO=3,2cm e DO=1,8cm, calcule:a) AC.b) Perímetro do quadrilátero ABCD.

A

B

C

DO

A

B

C

DO

1,8 3,2

x y

x y

h

h

a) h2 = 1,8 . 3,2 = 5,76 Assim h = 2,4 cm

b) x2 = 5,0 . 1,8 = 9

Assim x = 3cm

y2 = 5,0 . 3,2 = 16

Assim x = 4cm

Perímetro = 3 + 4 + 3 + 4

Perímetro = 14cm

7. PROBLEMAS DE TANGÊNCIA ORTOPEDISTA

Roteiro para Radiografar:

1. Colocar os raios nos pontos de tangência de retas.

2. Unir os centros das circunferências tangentes.

3. Buscar na “radiografia” a estrutura da figura.

O raio é imantado e barato.

Lembre que as distâncias entre os centros é R+r ou R-r

Localize: quadrados, triângulos eqüiláteros e trapézios retângulo.

LEMBRE QUE FIGURAS GRÁVIDAS NÓS NÃO RADIOGRAFAMOS

8.POTÊNCIA DE PONTO

TEOREMA 1

P

A

B

C

D

PA . PB = PC . PD

P

A

B

C

D

PCBPAD

PB

PD

PC

PA

PD.PCPB.PA


TEOREMA 2

PA

D

B

C

PA . PB = PC . PD

PCBPAD

PB

PD

PC

PA

PD.PCPB.PA

PA

D

B

C


TEOREMA 3

PA . PB = PT2

PTBPAT

PB

PT

PT

PA

PB.PAPT 2

P

B

T

A

O

P

B

T

A


TEOREMA 3

PA . PB = PT2

P

B

T

AO

PA

B

C

D

PA . PB = PC . PD

TEOREMA 1

PA

D

B

C

PA . PB = PC . PD

TEOREMA 2

Potência de P = PA . PB = PC . PD = PT2

Problema: Calcule a medida do raio da circunferência da figura, sabendo que PA=6cm, AB=9cm, e que a distância de P à circunferência é 5cm.

P

A

B

O

P

A

B

O 5cm

6cm

9cm

xx

6 . 15 = 5 . (5 + 2x)

90 = 25 +10x

10x = 65

x = 6,5cm

9. Teorema dos Senos

C

A

B

b

c

a

R

R2sen

c

sen

b

sen

a

9. Teorema dos Senos

a

R2sen

c

sen

b

sen

a:Assim

P

OR

R

O triângulo APB é retângulo em B.

R2sen

c

Analogamente concluímos que:

R2sen

aeR2

sen

b

C

A

B

b

c

Problema: Calcule o raio da circunferência da figura, sabendo queBC=6cm e que Â=30o.

A

C

B

A

C

B

6cm

30o

R

R230sen

6

cm6R2

1.R26

11. Teorema dos co-senos

A

B C

c b

a

cos.bc2cba222

11. Teorema dos co-senos

A

B C

c b

a cos.ac2cab222

m a-mH

h

c2 = h2 + m2 (II)b2 = h2 + (a-m)2 (I)

(I)-(II) b2 – c2=a2 – 2am + m2 – m2

b2 = c2 + a2 – 2am Como m=c.cos temos:

Problema: Num paralelogramo de lados 5cm e 8cm, a menor diagonaltem 7cm. Calcule a medida da maior diagonal.

5 5

8

8

7

72 = 52 + 82 – 2.5.8.cos

80cos = 40

cos = 1/2

5 5

8

8

x180o-

cos = 1/2 => cos(180o – = -1/2

x2 = 52 + 82 – 2.5.8.cos(180o –

x2 = 52 + 82 – 2.5.8.(– 1/2

cm129x

11. Polígonos regulares

r

R2

3h

2

3

3

hr

3

3

3

h2r2R

TRIÂNGULO EQÜILÁTERO


d

R

r

2d

2r

2

2

2

dR

QUADRADO


r R

HEXÁGONO REGULAR

2

3r

R

12. COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA

R

R2. comp

R

R

x

2 rad 2R

rad x

R.x

Comprimento de um arco

13.CÁLCULO DE R e r no triângulo retângulo

r

r

r

r

3

4

53-r 3-r

4-r

4-r5 = (3-r)+(4-r)

2r=3+4-5

r = 1

2R = 5

R = 2,5

13.CÁLCULO DE R e r no triângulo eqüilátero

6 6

6

r

R33

2

36h

33

hr

322rR

13.CÁLCULO DE R e r em qualquer triângulo

5

6

7

92

765p

66)79)(69)(59(9 S

rS .966p.r

3

62r

RR

cbaS

4

7.6.566

4

..

24

635

64

35R

1.Classificação


3.Triângulos

4.Quadriláteros


6. Polígonos

1.Base Média

2.Baricentro

3.Teorema de Tales


5.Semelhança




9.Teorema dos Senos











GEOMETRIA PLANA

1. Fórmulas Elementares2. Fórmulas para triângulos3. Figuras circulares4. Figuras semelhantes5. Regra do chocolate

III) CÁLCULO DE ÁREAS

1. Fórmulas Elementares

retângulo

quadrado

paralelogramo losango

a

b

a

a

h

a

triângulo

a

h

Dd

trapézio

a

b

h

b.aS

2aS

h.aS

2

h.aS

2

d.DS

h.2

)ba(S

A

B C

A’

B’ C’

''' CBAABC KCB

BC

CA

AC

BA

AB

''''''

2

'''

KS

S

CBA

ABC

4. Figuras Semelhantes

a

a

a

a

a

h

S=(a.h)/2

S=(a.h)/2

S=(a.h)/2

S=(a.h)/2

S=(a.h)/2

a

a

a

Área = S

Área = S

Área = S

A

B

C

D

CD = 6.BD

SADC = 6.SABD

A

B C

D

E

F

O triângulo ABC da figura tem área 120 cm2. Sendo BE=2EC, AD=DE e BF=FD, calcule a área do triângulo DEF.

BE=2EC SAEC=40cm2 e SABE= 80cm2

AD=DE SABD= SBDE= 40cm2

BF=FD SBFE= SDEF= 20cm2

A

B

C

MA

MC

MB

a

a

bb

c

c2a + c = 2b +c

a = b

2a + b = 2c +b

a = c

assim: a = b = c

A

B

C

MA

MC

MB

S

S

SS

S

S

G

SACG=2.SAGMc CG=2.GMc

SBAG=2.SBGMa AG=2.GMa

SBAG=2.SAGMb BG=2.GMb

Propriedade do Baricentro de um triângulo

Baricentro de ABC

O triângulo ABC da figura tem área 132 cm2. Se os pontosP e Q dividem o lado AC em três partes iguais e os pontosM, N e O dividem o lado BC em quatro partes iguais, calculea área do quadrilátero hachurado.

A

CM N O

P

Q

B

BA

CD

E

F

No trapézio ABCD, CD= 10 cm, AE=ED e CF=2BF. Se A área de ABFEe EFCD são iguais, calcule AB.

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