Automatizando a obtenção da complexidade baseada em...

UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃOENGENHARIA ELÉTRICA

Automatizando a obtenção da complexidadebaseada em linguagem regular de autômatos

celulares elementares

Fábio Tokio Miki

Dissertação de Mestradoapresentada ao Programa de Pós-Graduação em EngenhariaElétrica, como parte dasExigências para Obtenção do Graude Mestre em Engenharia Elétrica,na Área de Concentração emEngenharia da Computação.

Orientador: Prof. Dr. Pedro Paulo Balbi de Oliveira

São Paulo – SP2006

Livros Grátis

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Dedicatória

À minha amiga e companheiraFabíola, pelo carinho, amor, incentivo ecompreensão aos finais de semana ausente.

À minha mãe Hihumi, pelo exemplode força, perseverança, dedicação e amorcom seus filhos.

À minha irmã Cinthia, pela amizade,companheirismo e pela Luz que irradia.

Ao meu pai Eijiro, pelo caráter,sabedoria, carinho, amizade e apoio emtodos os momentos de minha vida.

Aos meus avós, pelo exemplo deconduta e união, vividas e repassadas paranossa família.

Agradecimentos

Ao nosso Deus, pela sabedoria e oportunidade oferecida.

A todos meus familiares, sempre presentes em minha vida.

Aos meus colegas empreendedores da empresa Setis Automação e Sistemas

Ltda, que em momentos necessários apoiaram o desenvolvimento deste trabalho.

A Universidade Presbiteriana Mackenzie, pelo idealismo e dedicação ao ensino

na nossa sociedade.

Ao MACKPESQUISA - Fundo Mackenzie de Pesquisa, pelo suporte, reserva técnica

e bolsa parcial concedida, que colaboraram com desenvolvimento do presente trabalho

À Wolfram Research, pela bolsa integral de hospedagem fornecida, durante

minha participação no NKS-Summer School 2005.

Ao Victor Trafaniuc, pela paciência e suporte técnico oferecido que

contribuíram com o desenvolvimento desta pesquisa.

Em especial ao professor Dr. Pedro Paulo, meu orientador e amigo, pela

dedicação, incentivo e por estar sempre presente direcionando esta pesquisa.

Esta pesquisa foi possível graças aos seguintes financiamentos concedidos a meu

orientador: o projeto, já concluído, Advances in computing with cellular automata,

concedido pelo MACKPESQUISA , Edital 2004; o Mathematica Academic Grant Nº 1149,

concedido pela Wolfram Research; e o projeto Computing with cellular automata and

their temporal or spatial compositions, concedido pela FAPESP (Proc. 2005/04696-3).

Sumário

RESUMO....................................................................................................................................... 1

CAPÍTULO 1 ................................................................................................................................. 2

INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 2

CAPÍTULO 2 ................................................................................................................................. 4

AUTÔMATOS CELULARES ........................................................................................................ 4

2.1 Introdução.......................................................................................................................................4

2.2 Conceito básico ...............................................................................................................................6

2.3 Autômatos celulares unidimensionais...........................................................................................6

2.3.1 Autômato celular elementar ......................................................................................................9

2.3.2 Numeração das regras de autômato celular elementar ...........................................................9

2.4 O espaço elementar de regras......................................................................................................10

2.5 Comportamento dinâmico e classificação dos autômatos celulares .........................................14

2.6 Sensibilidade às condições iniciais...............................................................................................18

CAPÍTULO 3 ............................................................................................................................... 21

CARACTERIZAÇÃO DE AUTÔMATO CELULAR ATRAVÉS DE AUTÔMATOS FINITOS .... 21

3.1 Introdução.....................................................................................................................................21

3.2 Alfabetos, palavras, linguagens formais e gramáticas...............................................................22

3.3 Linguagens regulares, autômatos finitos e representação gráfica de máquinas .....................23

3.4 Semi-autômato ..............................................................................................................................26

3.5 Configuração de autômatos celulares e relação com autômatos finitos...................................26

3.6 Estado inicial do reticulado e sua representação .......................................................................27

3.7 Evolução de autômato finito a cada passo de tempo .................................................................28

3.8 Complexidade em linguagem regular e caracterização de autômatos celulares .....................30

3.9 Tabela de complexidade das linguagens regulares ....................................................................31

3.10 Funções NetCAStep, TrimNet e MinNet ....................................................................................33

3.11 Métodos de análise desenvolvidos em [Trafaniuc, 2004]...........................................................35

3.12 Detecção de estruturas comuns em passos de tempo consecutivos...........................................38

CAPÍTULO 4 ............................................................................................................................... 42

ANÁLISE DA COMPLEXIDADE EM LINGUAGEM REGULAR RELACIONADA AAUTÔMATO CELULAR ............................................................................................................. 42

4.1 Análise automática do crescimento de grafos ............................................................................42

4.1.1 Módulo de geração e armazenamento de dados.....................................................................42

4.1.2 Operação de diferença entre grafos ........................................................................................43

4.1.3 Módulo de análise de resultados..............................................................................................46

4.2 Em busca da caracterização do comportamento limite.............................................................50

4.2.1 Grafo limite da regra elementar 184.......................................................................................51

4.2.2 Grafos e a relação com diagrama espaço temporal ...............................................................53

4.2.3 Componentes do comportamento limite .................................................................................55

CAPÍTULO 5 ............................................................................................................................... 58

CONCLUSÃO ............................................................................................................................. 58

5.1 Introdução.....................................................................................................................................58

5.2 Detalhamento dos Resultados......................................................................................................59

5.3 Comentários finais........................................................................................................................71

APÊNDICE.................................................................................................................................. 73

A.1. TABELA DE COMPLEXIDADE DAS LINGUAGENS REGULARES [WOLFRAM, 1994].73

A.2. TABELA DE COMPLEXIDADE DAS LINGUAGENS REGULARES [TRAFANIUC, 2004]...................................................................................................................................................... 76

A.3. RESULTADO DA ANÁLISE AUTOMÁTICA DE CRESCIMENTO .................................... 79

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS......................................................................................... 128

Índice de Figuras

FIGURA 2.1. REPRESENTAÇÃO DE UMA CADEIA FINITA UTILIZANDO LIMITESPERIÓDICOS. .....................................................................................................................................8

FIGURA 2.2. APLICAÇÃO DA REGRA DE TRANSIÇÃO EM UM AC. ...............................................8FIGURA 2.3. PROCESSO DE NUMERAÇÃO DE REGRAS – REGRA 110.........................................10FIGURA 2.3. DIAGRAMA ESPAÇO-TEMPORAL DAS REGRAS 110, 124, 137 E 193 [WOLFRAM,

2002]...................................................................................................................................................12FIGURA 2.4. EVOLUÇÃO DA REGRA 254 [WOLFRAM, 2002]. ........................................................14FIGURA 2.5. EVOLUÇÃO TEMPORAL DA REGRA 250 [WOLFRAM, 2002]...................................15FIGURA 2.6. REGRA 90 APLICADA EM 50 PASSOS DE TEMPO [WOLFRAM, 2002]....................15FIGURA 2.7. CLASSES DINÂMICAS DOS AUTÔMATOS CELULARES [WOLFRAM, 1984]. (A)

AUTÔMATO CELULAR CLASSE 1, (B) AUTÔMATO CELULAR CLASSE 2, (C) AUTÔMATOCELULAR CLASSE 3 E (D) AUTÔMATO CELULAR CLASSE 4. ..............................................17

FIGURA 2.8. FIGURA QUE DEMONSTRA OS EFEITOS CAUSADOS COM PEQUENAALTERAÇÃO NA CONDIÇÃO INICIAL PARA AS QUATRO CLASSES DE AUTÔMATOSCELULARES [WOLFRAM, 2002]. ..................................................................................................19

FIGURA 2.9. EFEITOS CAUSADOS COM PEQUENA MODIFICAÇÃO NA CONDIÇÃO INICIALNA REGRA 110 – CLASSE 4 DE AUTÔMATO CELULAR [WOLFRAM, 2002]........................20

FIGURA 3.1. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE AUTÔMATOS FINITOS DETERMINÍSTICOSCOM ALFABETO BINÁRIO Σ ={0,1} QUE (A) ACEITA TODAS AS PALAVRAS FORMADASPOR Σ; (B) ACEITA A LINGUAGEM (0+11)*. ..............................................................................25

FIGURA 3.2. RELAÇÃO ENTRE A EVOLUÇÃO TEMPORAL DE UM AUTÔMATO CELULARELEMENTAR E UM AUTÔMATO FINITO. ..................................................................................27

FIGURA 3.3. AUTÔMATO FINITO REPRESENTANDO GRAFICAMENTE A CONDIÇÃO INICIALDE UM AUTÔMATO CELULAR BINÁRIO : (A) SEGUINDO A MESMA NOTAÇÃODESCRITA NA FIGURA 3.1; (B) FORMA DE VISUALIZAÇÃO IMPLEMENTADA NOSOFTWARE MATHEMATICA E UTILIZADA EM [TRAFANIUC, 2004]. .....................................28

FIGURA 3.4. DIAGRAMA ESPAÇO TEMPORAL E GRAFOS GERADOS PARA 02 PASSOSTEMPORAIS DAS REGRAS 255 E 4 DO ESPAÇO ELEMENTAR [TRAFANIUC, 2004]. .........29

FIGURA 3.5. GRAFOS GERADOS A CADA PASSO DE TEMPO PARA A REGRA 126[TRAFANIUC, 2004].........................................................................................................................30

FIGURA 3.6. LEITURA DA TABELA A.1. [WOLFRAM, 1994]. ..........................................................32FIGURA 3.7. EXECUÇÃO DA FUNÇÃO TRIMNET.............................................................................33FIGURA 3.8. SEQÜÊNCIA DE UTILIZAÇÃO DE NETCASTEP, TRIMNET E MINNET. .................34FIGURA 3.9. VALIDAÇÃO DOS DADOS APRESENTADOS EM TABELA DE [TRAFANIUC,

2004]...................................................................................................................................................36FIGURA 3.10. ILUSTRAÇÃO DO ALGORITMO UTILIZADO EM [TRAFANIUC, 2004].................36FIGURA 3.11. GRAFOS DE TEMPOS CONSECUTIVOS (T E T+1) DA REGRA 128. .......................38FIGURA 3.12. GERAÇÃO DE SUBGRAFOS DE T+1 COM MESMA QUANTIDADE DE NÓS QUE

O GRAFO EM T. ...............................................................................................................................39FIGURA 3.13. SELEÇÃO DE SUBGRAFOS CANDIDATOS PARA IDENTIFICAÇÃO DA

ESTRUTURA COMUM EM PASSOS DE TEMPOS CONSECUTIVOS. ......................................39FIGURA 3.14. SELEÇÃO DE SUBGRAFO COM MENOR DIFERENÇA. ...........................................40FIGURA 4.1. MÓDULO DE GERAÇÃO E ARMAZENAMENTO. .......................................................43FIGURA 4.2. ILUSTRAÇÃO DA IMPLEMENTAÇÃO DA OPERAÇÃO DE DIFERENÇA. ..............44FIGURA 4.3. OPERAÇÃO DE DIFERENÇA APLICADA ENTRE GRAFOS DA REGRA 184 NOS

INSTANTES T=1 E T=2....................................................................................................................45FIGURA 4.4. RESULTADOS DA REGRA ELEMENTAR 11 RETIRADA DO APÊNDICE A.3.........48FIGURA 4.5. REGRA 184 EM EVOLUÇÃO TEMPORAL COM CONDIÇÃO INICIAL (#1S = #0S).51FIGURA 4.6. REGRA 184 EM EVOLUÇÃO TEMPORAL COM CONDIÇÃO INICIAL (#1S > #0S).52FIGURA 4.7. REGRA 184 EM EVOLUÇÃO TEMPORAL COM CONDIÇÃO INICIAL (#1S < #0S).

............................................................................................................................................................52FIGURA 4.8. GRAFO LIMITE DA REGRA 184. ....................................................................................53FIGURA 4.9. ANÁLISE DE ESTRUTURAS PRESENTES NOS GRAFOS RELACIONADOS À

REGRA 184. ......................................................................................................................................54FIGURA 4.10. ANÁLISE DO DIAGRAMA ESPAÇO TEMPORAL DA REGRA 184..........................54FIGURA 4.11. RESULTADOS DA OPERAÇÃO DE DIFERENÇA DE GRAFOS................................56FIGURA 4.12. ILUSTRAÇÃO DA OPERAÇÃO DE OBTENÇÃO DO GRAFO LIMITE PARA A

REGRA 184. ......................................................................................................................................56

FIGURA 5.1. RESULTADOS DA REGRA ELEMENTAR 43 COM CRESCIMENTO LINEAR DESDEO PRIMEIRO INSTANTE DE TEMPO............................................................................................61

FIGURA 5.2. RESULTADOS DA REGRA ELEMENTAR 56 COM CRESCIMENTO LINEAR DESDEO SEGUNDO INSTANTE DE TEMPO............................................................................................63

FIGURA 5.3. RESULTADOS DA REGRA ELEMENTAR 50 COM CICLO=2 E CRESCIMENTOLINEAR . ...........................................................................................................................................65

FIGURA 5.4. ESTRUTURA ADICIONADA E EXCLUÍDA DA REGRA 50 COM CRESCIMENTOLINEAR. ............................................................................................................................................66

FIGURA 5.5. RESULTADOS DA REGRA ELEMENTAR 81 SEM ESTRUTURA REPETITIVA MASCOM CRESCIMENTO LINEAR. .....................................................................................................68

FIGURA 5.6. RESULTADOS DA REGRA ELEMENTAR 11 CRESCIMENTO LINEAR PARATEMPO PAR E ÍMPAR.....................................................................................................................70

Índice de Tabelas

TABELA 2.1. REPRESENTAÇÃO DA REGRA DE TRANSIÇÃO DE ESTADOS DE UMAUTÔMATO CELULAR BINÁRIO. .................................................................................................7

TABELA 2.2. TRANSFORMAÇÃO DO AC ELEMENTAR 110 EM SUA REGRA EQUIVALENTE124......................................................................................................................................................11




TABELA 2.6. CLASSES DE REGRAS EQUIVALENTES DO ESPAÇO ELEMENTAR [WOLFRAM,1994]...................................................................................................................................................13

TABELA 3.1. EVOLUÇÃO DOS GRAFOS PARA REGRAS COM CRITÉRIOS DE PARADASDISTINTOS. ......................................................................................................................................37

TABELA 3.2. RESULTADO DO MÉTODO DE BUSCA DE SUBGRAFOS COMUM DA REGRA 128.............................................................................................................................................................41

TABELA 5.1. EXPRESSÕES DE CRESCIMENTO DA TABELA DE COMPLEXIDADE[WOLFRAM, 1994] QUE PERMANECIAM VAZIA ......................................................................71

TABELA A.1. COMPLEXIDADE DAS LINGUAGENS REGULARES [WOLFRAM, 1994]. .............75TABELA A.2. TABELA QUE DEMONSTRA A COMPLEXIDADE DAS LINGUAGENS

REGULARES, RETIRADA DO TRABALHO DE PESQUISA [TRAFANIUC, 2004]...................78

1

Resumo

Autômatos celulares são sistemas dinâmicos e computacionais totalmente discretos no

tempo, no espaço e em suas variáveis de estado. Sabe-se que, para um autômato celular

elementar, o conjunto de todas as configurações possíveis de se obter decorrida uma

quantidade finita de passos de tempo de sua evolução temporal constitui uma linguagem

regular. Com isso, esse conjunto de cadeias pode ser representado por um autômato finito

determinístico mínimo, e a quantidade de estados e transições entre eles pode ser

considerada uma medida da complexidade (em linguagem regular) da regra elementar em

questão; tal processo, apesar de eventualmente custoso computacionalmente, está bem

resolvido na literatura. No entanto, quando se deseja obter a representação do autômato

finito limite, isto é, para uma quantidade infinita de passos de tempo, essa máquina pode

não existir para algumas regras, e, mesmo em alguns casos em que se sabe que ela existe,

não há ainda um método que a gere automaticamente. O presente trabalho caminha na

direção de ajudar a solucionar este último problema, apesar de que ainda não foi possível

derivar o algoritmo de comportamento limite. No entanto, avança-se aqui com relação ao

método atualmente existente, no sentido de, através de um novo algoritmo, derivar

automaticamente expressões de crescimento do autômato finito representativo de cada

passo de tempo, inclusive em casos ainda não reportados, o que lança luz sobre a questão

original, abrindo perspectivas para que a obtenção automática do autômato finito limite

possa ser obtida posteriormente.

Abstract

Cellular automata are dynamical and computational systems, totally discrete in time, space

and their state variables. It is known that, for elementary cellular automata, the set of all

possible configurations that can appear at any finite number of time steps in their temporal

evolution constitutes a regular language. As a consequence, such a set of strings can be

represented by a minimal deterministic finite automaton, and the quantity of states and

transitions among them may be considered a measure of the (regular language) complexity

of the rule at issue; performing such a process may be computationally intensive, but it is

well solved in the literature. However, when the target is the limit finite automaton, that is,

the one after an infinite number of time steps, the machine may not exist for some rules, and

the currently existing method fails to automatically generate it for some rules for which it is

known otherwise that a solution does exist. This work aims at helping the solution of the

latter problem, although the actual derivation of the algorithm to automatically generate the

limit finite automaton has not yet been possible. However, it goes further the currently

existing method, by means of a new algorithm for automatically yielding the growth

expressions of the finite automaton representative of each time step, including some cases

not reported so far, therefore shedding light over the issue, and opening perspectives for a

subsequent automatic derivation of the limit finite automaton.

2

Capítulo 1

Introdução

Autômatos Celulares (ACs) são sistemas distribuídos espacialmente, consistindo

de um grande número de componentes simples e idênticos, com conectividade local.

Esses sistemas são discretos no tempo, no espaço, e nas variáveis de estado, cuja

interação local de seus componentes, pode resultar em comportamento global

extremamente complexo. Essa capacidade de processamento coordenado de

informações globais, a partir de forte restrição local, é conhecido como computação

emergente [Mitchell and Crutchfield, 1995], e está presente em inúmeros sistemas

naturais, razão pelo qual, os ACs vem sendo utilizados em modelagem de sistemas..

Os autômatos celulares durante a evolução temporal, apresentam um

comportamento de auto-organização, no qual pode ser atribuído a um processo

computacional. Essa evolução pode ser caracterizada, através da teoria das linguagens

formais [Wolfram, 1984]. O conjunto de configurações possíveis para um número finito

de passos da evolução temporal de um autômato celular, forma uma linguagem regular,

onde cada palavra ou cadeia de símbolos pertencente a esta linguagem, corresponde a

uma configuração do autômato celular. De acordo com hierarquia de Chomsky, as

linguagens regulares fazem parte da classe mais simples de linguagens, Tipo-3, e são

aceitas ou reconhecidas por máquinas classificadas como autômatos finitos (verificar

definição formal na Seção 3.3). O conceito dessas máquinas podem ser baseados na

idéia de um sistema capaz de efetuar leitura seqüencial e de gerar ou processar cadeias

de símbolos. Ao término de um processamento de uma cadeia de símbolos, quando

essas máquinas atingem um estado final de aceitação, pode-se afirmar que ocorreu a

aceitação da cadeia, ou seja, a cadeia de símbolos pertence à linguagem regular

reconhecida pelo autômato finito. O tamanho do autômato finito correspondente a uma

determinada linguagem regular, determina a complexidade da linguagem, e podem

indicar o grau de complexidade de configurações apresentadas por autômatos celulares

em evolução.

O estudo de autômatos celulares em evolução e a relação existente com a

complexidade de autômatos finitos, foi iniciado em pesquisa anterior intitulada como

3

“Caracterização computacional do comportamento limite de alguns autômatos celulares

elementares” [Trafaniuc, 2004]. Nesse trabalho, a tabela de complexidade de

linguagens regulares de [Wolfram, 1994] foi reconstruída. Essa tabela, exibe a

complexidade de autômatos finitos, relacionada ao número de nós e arestas necessários

para a representação gráfica da máquina. Em [Trafaniuc, 2004], novos resultados foram

apresentados utilizando métodos iterativos [Wolfram, 2002] e representações gráficas

de máquinas, que permitiram análise e observações visuais. O presente trabalho

apresenta-se como continuidade a essa pesquisa, com novas investigações da

complexidade de linguagens regulares associadas a regras de autômatos celulares,

dentro do espaço elementar, através de processos automatizados desenvolvidos.

O Capítulo 2 apresenta uma descrição geral de autômatos celulares, definição,

funcionamento, classificação dinâmica e exemplos que fornecem uma introdução

teórica a essa classe de sistema, estudada nesta pesquisa.

O Capítulo 3 apresenta a relação existente entre a complexidade de autômatos

finitos e a caracterização de autômatos celulares, e o processo desenvolvido em

[Trafaniuc, 2004] abordando esse relacionamento.

O Capítulo 4 apresenta todos os processos desenvolvido nesta pesquisa,

módulos de geração e análise de dados, e a exibição e interpretação dos resultados

obtidos.

Por fim, o Capítulo 5 conclui esta pesquisa, analisando os processos

desenvolvidos, com base nos resultados com sucesso e falha, e deixa como sugestão, o

que pode ser feito num trabalho de continuidade.

4

Capítulo 2

Autômatos celulares

2.1 Introdução

Atualmente, as leis básicas da física relevantes aos fenômenos mais comuns, já

são conhecidas e modeladas. Porém, muitos sistemas naturais possuem estruturas e

comportamentos complexos, em consideração à análise qualitativa. Por exemplo, as leis

que regem o congelamento da água ou as leis de condução de calor, são conhecidas há

algum tempo, mas modelar os inúmeros e complexos padrões gerados pela formação e

crescimento de flocos de neve, é uma tarefa que ainda não foi realizada, mesmo com

sofisticadas técnicas matemáticas. Desenvolver modelos matemáticos que descrevem o

comportamento de sistemas naturais complexos, e a utilização de métodos

convencionais de simulação, na maioria das vezes, apresentam falhas no resultado,

devido ao grande número de componentes a serem considerados. Nos últimos anos,

pesquisadores vem obtendo resultados importantes, utilizando na modelagem de

fenômenos reais, estruturas computacionais bastante simples, mas com capacidade de

exibir uma dinâmica complexa. Essas estruturas computacionais são conhecidas como

autômatos celulares (ACs) e vem sendo utilizadas nos mais variados campos da ciência

como biologia, física, química, geologia, música, etc.

Em meados dos anos 50, com o propósito de desenvolver uma Máquina de

Turing que permitisse manipular mecanismos capazes de auto-reprodução, John von

Neumann construiu o primeiro modelo de AC, seguindo sugestão de Stannislaw Ulam

[Burks, 1970]. Na mesma época, Ulam investigava uma variedade de jogos matemáticos

dispostos em uma grade bidimensional onde o estado de cada ponto na grade era

atualizado de acordo com o seu próprio estado e os estados de seus vizinhos. Ulam

estudava diferentes vizinhanças, com diversos números de estados possíveis por célula e

regras de transição variadas. Ulam sugeriu a von Neumann o conceito de uma grade

artificial, como um tabuleiro de xadrez, na qual cada quadrado poderia ser visto como

uma ‘célula’, e cada célula agiria individualmente, de acordo com um conjunto de

regras, que seria aplicado a todas as células da grade individualmente. A evolução das

células seria feita em passos discretos de tempo. Cada célula saberia seu próprio estado

5

e poderia olhar os estados de suas células mais próximas (vizinhança). A cada passo de

tempo, seria consultado o conjunto de regras de transição para decidir o estado de cada

célula da grade. Uma coleção de células nesta grade poderia ser vista como um

organismo artificial [Oliveira, 2003]. O modelo de AC projetado por von Neumann é

caracterizado por uma grade bidimensional infinita, formado por células uniformes com

29 estados cada e conectadas aos seus quatro vizinhos ortogonais. Os resultados dos

experimentos e estudos de von Neumann só foram publicados após sua morte, por seu

colaborador Arthur Burks em 1966 [von Neumann e Burks, 1966].

Na década de 70, durante estudos de autômato celular e computabilidade

universal, John Conway criou o Game of Life [Berlekamp, Conway e Guy, 1992]. O

sistema consiste em um AC bidimensional com estados binários, que funciona com uma

simples regra de transição, onde células no estado 0 são interpretadas como ‘mortas’ e

as no estado 1 como ‘vivas’. O Life como é conhecido, popularizou-se nos meios

acadêmicos, pelo fato de ser o primeiro AC relativamente simples, que mostrou

capacidade em produzir padrões complexos e estruturas que se assemelhavam a

organismos artificiais [Oliveira 2003].

Stephen Wolfram iniciou diversas pesquisas durante a década de 80, sobre o

comportamento dinâmico dos ACs, que se tornaram as principais referências ([Wolfram

1983a], [Wolfram 1983b], [Wolfram 1984a], [Wolfram 1984b], [Wolfram 1988],

[Wolfram 1994]) para pesquisadores da área. Wolfram modificou o rumo das pesquisas

demonstrando que mesmo os modelos mais simples de ACs (unidimensionais, binários

e com vizinhança de 3 células), poderiam exibir padrões complexos e interessantes

[Oliveira 2003]. Nas inúmeras pesquisas efetuadas por Wolfram, pode-se destacar o

esquema de classificação de ACs, de acordo com seu comportamento dinâmico

[Wolfram, 1984a] e a demonstração que a regra elementar 110 de AC, apresenta

computabilidade universal [Cook, 2004]. Em 2002, com o lançamento do (polêmico e

aguardado) livro A New Kind of Science [Wolfram, 2002], o autor retrata quase 20 anos

de pesquisa, baseado em experimentos realizados com sistemas de natureza simples,

com destaque aos experimentos utilizando autômatos celulares.

6

2.2 Conceito básico

Autômatos Celulares (ACs) são sistemas dinâmicos discretos, capazes de

realizar computações segundo um modelo de processamento local, descentralizado e

totalmente paralelo [Wolfram, 2002].

Esses sistemas são formados por um espaço celular, regras de transição e

conjunto de estados. O espaço celular é um reticulado n-dimensional, composto por

células idênticas, representadas por autômatos finitos, que possuem conectividade

padrão com outras células, e condição de contorno. Para cada passo de tempo, de acordo

com uma regra de transição ou regra local, todas as células do reticulado são atualizadas

e podem assumir um estado, dentro de um conjunto de estados possíveis. A regra de

transição de estados, atualiza o valor do estado de cada célula, em função dos estados de

sua vizinhança. O conjunto de estados de todas as células em um determinado passo de

tempo é chamado de configuração ou estado global do autômato celular, e descreve o

estágio da evolução temporal do mesmo. No instante de tempo zero, o autômato celular

encontra-se em uma configuração inicial e, a cada passo de tempo subseqüente, ele

evolui de maneira determinística, de acordo com o efeito da regra local, a qual é

aplicada a cada uma de suas células, em paralelo.

2.3 Autômatos celulares unidimensionais

Autômatos Celulares unidimensionais são formados por uma lista composta por

i células. As células possuem conectividade com células vizinhas, dependendo do

tamanho do raio r. A cada passo de tempo t, de acordo com uma regra de transição de

estados φ , cada célula i poderá assumir um determinado estado i

tσ , pertencente a um

alfabeto finito A que é composto por símbolos: Aki

t ≡−∈ }1,,1,0{ �σ (onde k

representa o número de estados de um AC).

O estado i

tσ da célula i, junto com os estados das células às quais a célula i está

conectada, são chamados vizinhança itη da célula i e pode ser representado pela sentença

=i

tηri

t

ri

t

+− σσ ,..., .

7

A regra de transição ou regra local de um autômato celular é denotada por )( i

tηφ que

fornece o próximo estadoi

t 1+σ para cada célula i, como uma função de ηti . Dessa forma, a

cada passo de tempo, todas as células atualizam seus estados de maneira sincronizada, de

acordo com a expressão: )(1i

t

i

t ηφσ =+ ou ),...,(1ri

t

ri

t

i

t

+−

+ = σσφσ . A regra de transição de

estados é representada por uma tabela de transição, a qual relaciona para cada vizinhança

possível (entrada), o valor de atualização do estado da célula central da vizinhança (saída).

A Tabela 2.1 apresenta uma regra de transição de um AC unidimensional, com raio r = 1 e

número de estados k = 2 (AC binário), formada pelas oito vizinhanças possíveis e seus bits

de atualização.

ENTRADA

i

tη

SAÍDA

)( i

tηφ

Numeração 1−i

tσ i

tσ 1+i

tσ i

t 1+σ

0 1 1 1 0

1 1 1 0 1

2 1 0 1 1

3 1 0 0 0

4 0 1 1 1

5 0 1 0 1

6 0 0 1 1

7 0 0 0 0

Tabela 2.1. Representação da regra de transição de estados de um autômato celular binário.

Quando se aplica regras de transição em cadeias finitas também é necessário

especificar a condição utilizada nas bordas da cadeia, que normalmente é periódica; ou

seja, para aplicar a regra de atualização do autômato celular a primeira e a última célula

da cadeia são ligadas. Pode-se considerar a cadeia, então como um conjunto de células

que forma um anel, conforme a Figura 2.1:

8

Figura 2.1. Representação de uma cadeia finita utilizando limites periódicos.

Considerando-se uma célula no estado ‘1’ como preto e ‘0’ como branco, a

Figura 2.2 demonstra um autômato celular em evolução, aplicando a regra de transição

definida na tabela 2.1 e condição de contorno periódica. Os números que aparecem na

primeira linha, referem-se a uma condição aplicada, das oito apresentadas na tabela 2.1,

para definição do próximo estado.

Figura 2.2. Aplicação da regra de transição em um AC.

O estado st , ou configuração, de um autômato celular em um determinado passo

de tempo t representa a configuração de todo a lista neste dado momento: N

t As ∈ ,

onde NA representa o conjunto de todos os valores possíveis de uma célula em um lista

de N células. O espaço de estados estendido *A representa a união de todos os estados

para qualquer N:

N

N

AA �0

*

≥

=

A regra de atualização do autômato celular φ é aplicada em paralelo para todas

as células da cadeia: )( 1−= tt ss φ .

5 56 2 3 7Configuração Inicial

Configuração para t=1

Configuração para t=2

Número da condição de atualização retirada da tabela 2.1 para definição do próximo estado

0 1 1 0 1 0 1 0 1 1

Vizinhança da célula i=5

9

2.3.1 Autômato celular elementar

A classe mais simples de autômatos celulares é chamada de elementar, sendo

formada por autômatos celulares unidimensionais binários onde o estado da célula a

cada passo é determinado pelo estado atual da própria célula e dos estados das células

vizinhas imediatas, ou seja, a primeira célula vizinha à esquerda e a primeira célula

vizinha à direita. O tamanho da vizinhança utilizada para uma determinada classe de

autômatos celulares pode ser verificada pelo raio da vizinhança r, que para os autômatos

celulares elementares é 1 (k=2, r=1). Os autômatos celulares elementares são

representados, então, com a menor vizinhança possível e valores binários para as

células, 0 e 1 (que graficamente serão representados por células brancas e células pretas,

respectivamente), o que dá um total de 8 possíveis vizinhanças, uma vez que para cada

transição a célula pode assumir k valores que depende de 2r+1 células para ser

determinado, portanto: 82312 ==+rk . A partir do número de possíveis vizinhas, pode-

se chegar ao número de regras através da seguinte expressão:12 +r

kk , que para os

autômatos celulares elementares resulta em: .25622 82312

===+rkk Para classes de

autômatos celulares binários com raio maior, 2 por exemplo, há 32 possíveis

vizinhanças, que resultam em 2964.294.967.232 = possíveis regras.

2.3.2 Numeração das regras de autômato celular elementar

Stephen Wolfram propôs um esquema de numeração para os 256 ACs elementares,

no qual os bits de saídas são ordenados lexicograficamente (ver Figura 2.3) e são lidos da

direita para a esquerda para formar um binário entre 0 e 255 [Wolfram, 1983a]. Este

esquema proposto por Wolfram é adotado na maior parte das literaturas técnicas que

abordam o assunto. Dessa forma, é comum referenciar determinado autômato celular

elementar, apenas pelo número da regra de transição. Exemplo : AC elementar 184 ou

Regra 184, representa o autômato celular elementar que possui a regra de transição de

estados, de número 184 de acordo com o esquema de numeração [Wolfram, 1983a].

10

Vizinhança 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

Número na base binária 0 1 1 0 1 1 1 0

Figura 2.3. Processo de numeração de regras – Regra 110.

Para ilustrar o esquema de numeração, a regra apresentada na Figura 2.3 (em binário:

01101110) é o AC elementar 110, o mesmo apresentado na Tabela 2.1.

2.4 O espaço elementar de regras

Todas as 256 regras dos autômatos celulares elementares são equivalentes a uma

outra regra. Essa equivalência pode ser detectada com execução de uma transformação

tipo reflexão, transformação 0 por 1, ou pela operação conjunta das duas transformações

anteriores [Wolfram, 1994]. Regras classificadas como equivalentes, aplicadas N vezes,

a partir de uma mesma configuração inicial, resultam em um comportamento dinâmico

similar. Essa similaridade de comportamento dinâmico está ilustrada na Figura 2.3.

Pelas transformações sofridas pela regra 110 e demonstrada nas Tabelas 2.2, 2.3,

2.4 e 2.5, pode-se classificar as regras 110, 124, 137 e 193 como equivalentes.

01101110 b = 110 (convertido na base decimal)

11

• Transformação esquerda pela direita ou transformação do tipo reflexão

de espelho;

i

tη 111 110 101 100 011 010 001 000

)( i

tηφ (Regra 110) 0 1 1 0 1 1 1 0

Tipo Reflexão emi

tη 111 011 101 001 110 010 100 000

)( i

tηφ 0 1 1 0 1 1 1 0

i

tη 111 110 101 100 011 010 001 000

Reordenado (Regra 124) 0 1 1 1 1 1 0 0

Tabela 2.2. Transformação do AC elementar 110 em sua regra equivalente 124.

• Transformação de 0s por 1s ou preto por branco;

i

tη 111 110 101 100 011 010 001 000

)( i

tηφ (Regra 110) 0 1 1 0 1 1 1 0

0 por 1 emi

tη 000 001 010 011 100 101 110 111

)( i

tηφ 1 0 0 1 0 0 0 1

i

tη 111 110 101 100 011 010 001 000



• Transformação conjunta.

i

tη 111 110 101 100 011 010 001 000

)( i

tηφ (Regra 124) 0 1 1 1 1 1 0 0

0 por 1 emi

tη 000 001 010 011 100 101 110 111

)( i

tηφ 1 0 0 0 0 0 1 1

i

tη 111 110 101 100 011 010 001 000



12

i

tη 111 110 101 100 011 010 001 000

)( i

tηφ (Regra 137) 1 0 0 0 1 0 0 1

Tipo Reflexão emi

tη 111 011 101 001 110 010 100 000

)( i

tηφ 1 0 0 0 1 0 0 1

i

tη 111 110 101 100 011 010 001 000



A Figura 2.3 mostra a evolução destas 4 regras em 100 passos de tempo, sobre

um reticulado de 100 células, para uma mesma configuração inicial. A visualização das

configurações geradas pela evolução de um autômato celular, resulta numa figura

denominada diagrama espaço-temporal. Esses diagramas possibilitam efetuar análise de

regras de autômatos celulares, através da detecção de padrões visuais gerados durante a

evolução. Os 4 diagramas espaço-temporal ilustrados na Figura 2.3 associados as regras

110, 124, 137, 193, comprovam a equivalência entre as regras, pois o mesmo padrão é

apresentado em todas as evoluções.

Figura 2.3. Diagrama espaço-temporal das regras 110, 124, 137 e 193 [Wolfram, 2002].

Regra 110 Regra 124

Regra 137 Regra 193

13

Para as 256 regras dos autômatos celulares elementares, existem 88 classes de

regras equivalentes. A Tabela 2.6 mostra todas as classes de regras equivalentes do

espaço elementar de regras. Cada classe é representada por uma regra que está colocada

na primeira coluna. As regras equivalentes são representadas logo após a regra

representante da classe, na segunda coluna. A regra escolhida para ser a representante é

aquela com menor número de todas as regras equivalentes da classe.

REPRESENTANTEDA CLASSE

REGRASEQUIVALENTES


REGRASEQUIVALENTES


REGRASEQUIVALENTES

0 255 35 49,59,115 108 201

1 127 36 219 110 124,137,193

2 16,191,247 37 91 122 161

3 17,63,119 38 52,155,211 126 129

4 223 40 96,235,249 128 254

5 95 41 97,107,121 130 144,190,246

6 20,159,215 42 112,171,241 132 222

7 21,31,87 43 113 134 148,158,214

8 64,239,253 44 100,203,217 136 192,238,252

9 65,111,125 45 75,89,101 138 174,208,244

10 80,175,245 46 116,139,209 140 196,206,220

11 47,81,117 50 179 142 212

12 68,207,221 51 146 182

13 69,79,93 54 147 150

14 84,143,213 56 98,185,227 152 188,194,230

15 85 57 99 154 166,180,210

18 183 58 114,163,177 156 198

19 55 60 102,153,195 160 250

22 151 62 118,131,145 162 176,186,242

23 72 237 164 218

24 66,189,231 73 109 168 224,234,248

25 61,67,103 74 88,173,229 170 240

26 82,167,181 76 205 172 202,216,228

27 39,53,83 77 178

28 70,157,199 78 92,141,197 184 226

29 71 90 165 200 236

30 86,135,149 94 133 204

32 251 104 233 232

33 123 105

34 48,187,243 106 120,169,225

Tabela 2.6. Classes de regras equivalentes do espaço elementar [Wolfram, 1994].

Aplicando uma determinada regra a uma configuração de autômato celular,

pode-se obter apenas uma única configuração sucessora, porém o número de

predecessores é arbitrário e conhecido como pré-imagens. O tamanho do espaço de

14

estados de um autômato celular binário com reticulado de N células é 2N. Para

autômato celular com reticulado de tamanho finito, qualquer caminho encontra

inevitavelmente uma repetição de um estado prévio e o que leva a um ciclo de estados.

2.5 Comportamento dinâmico e classificação dos autômatos

celulares

Autômatos Celulares são estruturas computacionais simples, que durante sua

evolução, podem produzir resultados complexos [Wolfram, 2002]. Para melhor

entendimento, a Figura 2.4 ilustra a evolução da regra 254, aplicada em 4 passos

temporais, a uma simples configuração inicial representada por uma célula central preta.

Figura 2.4. Evolução da regra 254 [Wolfram, 2002].

O comportamento dessa regra que pode ser classificada como simples, durante

sua evolução, apresenta a cada passo temporal, células da cor preta preenchendo os

espaços no reticulado de maneira uniforme. Modificando sensivelmente esta regra, e

partindo da mesma configuração inicial, pode-se observar um comportamento

interessante na evolução do AC, ilustrado na Figura 2.5.

15

Figura 2.5. Evolução temporal da regra 250 [Wolfram, 2002].

Com uma simples mudança na regra, o AC apresenta um comportamento

diferente, preenchendo o reticulado com células alternadas de cor branca e preta, como

um tabuleiro de xadrez. Se modificarmos novamente a regra, podemos obter um

resultado bem mais complexo que os dois anteriormente apresentados.

A regra 90, ilustrada na Figura 2.6, apresenta estruturas triangulares, que se

repetem recursivamente, durante sua evolução.

Figura 2.6. Regra 90 aplicada em 50 passos de tempo [Wolfram, 2002].

Existem diferentes esquemas de classificação do comportamento dinâmico de

um autômato celular, dependendo do grau de refinamento desejado. O esquema de

16

classificação mais simples é separar as regras dos autômatos celulares em duas

categorias: as de dinâmica periódica e as de dinâmica não-periódica. Uma vez que as

dinâmicas dos autômatos celulares de reticulado finito são sempre periódicas, o critério

se transforma em determinar se a dinâmica possui uma periodicidade ‘longa’ ou ‘curta’.

Periodicidade ‘longa’ pode ser entendida como o tamanho do ciclo aumentando

exponencialmente com o tamanho do reticulado e periodicidade ‘curta’ como o tamanho

do ciclo independente do tamanho do reticulado.

De acordo com a periodicidade e o comportamento dinâmico que cada regra

elementar apresenta, Wolfram propôs uma classificação para os autômatos celulares

[Wolfram, 1984], que são as mais referenciadas atualmente (ver Figura 2.7):

• Classe 1: quase todas as configurações iniciais convergem, após um

período transiente, para a mesma configuração fixa.

• Classe 2: existem muitos estados finais possíveis, mas todos eles

pertencem a um grupo de estruturas simples que se repetem infinitas vezes a cada n

passos de tempo.

• Classe 3: o comportamento é mais complicado, e pode parecer, muitas

vezes, aleatório, embora estruturas em escala menor possam ser visualizados.

• Classe 4: envolve uma mistura entre a ordem e a aleatoriedade.

Estruturas localizadas são produzidas e repedidas aleatoriamente, interagindo e

possuindo uma complexidade própria.

17

Figura 2.7. Classes dinâmicas dos autômatos celulares [Wolfram, 1984]. (a) autômato

celular classe 1, (b) autômato celular classe 2, (c) autômato celular classe 3 e (d) autômato

celular classe 4.

Wentian Li e Norman Packard propuseram uma série de refinamentos na

classificação original de Wolfram [Li e Packard, 1990]. Eles apresentaram um esquema

de classificação que divide o espaço de regras em seis classes, descritas abaixo:

• Regras Nulas: a configuração limite é formada exclusivamente por

seqüência de 0s ou exclusivamente por sequência de 1s. Regras do Espaço Elementar: 0,

8, 32, 40, 128, 136, 160 e 168.

• Regras Ponto-Fixo: a configuração limite não se altera ao reaplicarmos a

regra do autômato celular. Regras do Espaço Elementar (as regras marcadas com * são

aquelas que possuem deslocamento espacial, ou seja, a configuração do autômato

celular é a mesma da anterior, com o descolamento de uma célula no reticulado): 2*, 4,

10*, 12, 13, 24*, 34*, 36, 42*, 44, 46*, 56*, 57*, 58*, 72, 76, 77, 78, 104, 130*, 132,

138*, 140, 152*, 162*, 164, 170*, 172, 184*, 200, 204 e 232.

• Regras Ciclo Duplo: a configuração limite não se altera ao reaplicarmos

a regra do autômato celular duas vezes. Regras do Espaço Elementar (as regras

marcadas com * são aquelas que possuem deslocamento espacial): 1, 3*, 5, 6*, 7*, 9*,

18

11*, 14*, 15*, 19, 23, 25, 27*, 28, 29, 33, 35*, 37, 38*, 43*, 50, 51, 74*, 108, 134*,

142*, 156 e 178*.

• Regras Periódicas: a configuração limite não se altera à aplicação da

regra N vezes, com o tamanho do ciclo N, ou independente ou fracamente dependente

do tamanho do reticulado. Regras do Espaço Elementar: 26, 41, 62, 94 e 154. Em

particular, as regras 62 e 94 exibem dinâmicas de ciclo triplo.

• Regras Complexas: embora a dinâmica limite possa ser periódica, o

intervalo de transição pode ser extremamente longo e, tipicamente, este intervalo cresce

mais que linearmente com o tamanho do sistema. Regras do Espaço Elementar: 54 e

110.

• Regras Caóticas: produzem dinâmicas não periódicas e se caracterizam

pela divergência exponencial do comprimento do seu ciclo com o tamanho do reticulado

e pela instabilidade com respeito a perturbações. Regras do Espaço Elementar: 18, 22,

30, 45, 60, 73, 90, 105, 106, 126, 146, 150 e 122. A regra 73 pode ser classificada como

Localmente Caótica; pois seu comportamento é periódico com regiões de

comportamento caótico.

2.6 Sensibilidade às condições iniciais

Observando a aparência produzida pela evolução de autômatos celulares, é

possível identificar as 4 classes de autômatos celulares proposto por Wolfram[1984] e

mostradas na Figura 2.7. Dentro dessa classificação, uma característica importante para

ser analisada é a sensibilidade a condições iniciais [Wolfram, 2002].

Mudanças nas condições iniciais representam um comportamento diferente, para

cada tipo de classe. A Figura 2.8, mostra a evolução de autômatos celulares pertencentes

a cada uma das 4 classes. Os pontos escuros nos reticulados, representam as células que

sofreram mudanças, conseqüente a única célula modificada na configuração inicial.

Na classe 1, representada pela regra 160 da Figura 2.8, o estado final alcançado é

sempre o mesmo independente das condições iniciais, dessa forma, as alterações nas

condições iniciais não causam efeito nesse tipo de classe. A informação sobre as

condições iniciais é perdida rapidamente, pois a configuração do autômato sempre

evolui de forma rápida para um mesmo estado final.

19

Em autômatos celulares da classe 2, representado pela regra 108 na Figura 2.8,

mudanças nas condições iniciais persistem durante a evolução do autômato celular, mas

elas sempre se mantém em uma pequena região do autômato. As informações da

condição inicial são mantidas durante a evolução do autômato celular, e permanecem

isoladas, nunca se comunicando com outras partes do reticulado.

Para a classe 3, entretanto, o comportamento apresentado é diferente. Qualquer

alteração feita nas condições iniciais se propaga de maneira uniforme. Uma

característica dos autômatos celulares da classe 3 é que eles apresentam uma

comunicação de informação de grande abrangência dentro do reticulado de forma que

qualquer alteração na condição inicial quase sempre se propagará por todo o reticulado.

Essa característica pode ser observada através da regra 126 na Figura 2.8.

Na classe 4, representada pela regra 110 da Figura 2.8, as mudanças nas

condições iniciais também se propagam, mas de maneira aleatória. Cada classe de

autômato celular lida com a informação de forma particular, esta característica, ocasiona

classes com diferentes sensibilidades para as condições iniciais.

Regra 160 Regra 108

Regra 126 Regra 110

Regra 160 Regra 108

Regra 126 Regra 110

Figura 2.8. Figura que demonstra os efeitos causados com pequena alteração na

condição inicial para as quatro classes de autômatos celulares [Wolfram, 2002].

20

Autômatos celulares da classe 4 representam comportamento intermediário entre

as classes 2 e 3. A propagação da informação contida nas condições iniciais é possível,

mas nem sempre ocorre, ver Figura 2.9.

Figura 2.9. Efeitos causados com pequena modificação na condição inicial na regra 110

– classe 4 de autômato celular [Wolfram, 2002].

Uma mudança se propaga, e afeta alguma estrutura localizada no espaço, que se

desloca no reticulado ao longo do tempo [Wolfram, 2002].

21

Capítulo 3

Caracterização de autômato celular através de autômatos

finitos

3.1 Introdução

A teoria de autômatos é um ramo da ciência da computação que estuda os

componentes computacionais abstratos, ou as máquinas, através de suas representações

matemáticas. Desde a década de 1930, quando Alan Mathison Turing iniciou o estudo

dessas máquinas e a criação da Máquina de Turing, até o final da década de 1950,

quando originou-se a Teoria das Linguagens Formais e a classificação conhecida como

Hierarquia de Chomsky [Chomsky, 1959], as máquinas passaram por um processo de

estudo e evolução. Todos estes desenvolvimentos teóricos estão relacionados com o que

a ciência da computação faz atualmente. Conceitos derivados de autômatos finitos e

gramáticas formais são utilizados com destaque em aplicações como análise léxica e

sintática de linguagens de programação, modelos de sistemas biológicos, desenhos de

circuitos e desenvolvimento de importantes tipos de software [Hopcroft, Motwani e

Ullman, 2001].

Em [Trafaniuc, 2004], utilizou-se de autômatos finitos para caracterização do

comportamento de autômatos celulares. O desenvolvimento de recursos para

representação gráfica, comparação e análise de complexidade dessas máquinas,

permitiram avaliar dinamicamente os autômatos celulares de outra maneira.

Este capítulo apresenta conceitos, definições e representações de máquinas

finitas de estados, explica a relação existente com os autômatos celulares, e faz uma

abordagem aos métodos desenvolvidos em [Trafaniuc, 2004], reutilizados neste

trabalho.

22

3.2 Alfabetos, palavras, linguagens formais e gramáticas

Uma linguagem formal L pode ser definida como conjunto de palavras formadas por

símbolos de um alfabeto Σ. Segue descrição de alguns componentes necessários

para compreensão da definição apresentada:

• Alfabeto e Símbolo: um alfabeto é um conjunto finito de símbolos. Portanto, um

conjunto vazio também é considerado um alfabeto. Um símbolo ou caractere �

é uma entidade abstrata básica que assume valores desse conjunto finito Σ. O

tamanho do alfabeto é representado por || Σ ||;

• Palavra: uma palavra, cadeia de caracteres ou sentença sobre um alfabeto Σ, é

uma seqüência finita de símbolos (do alfabeto) justapostos. O comprimento da

palavra �, |�|, representa o número de símbolos em �. A palavra vazia,

representada pelo símbolo ε, é uma palavra formada por zero símbolos

[Hopcroft, Motwani e Ullman, 2001];

• Sub-palavra, prefixo e sufixo : Uma sub-palavra é uma parte contígua da

palavra. A concatenação de duas palavras x e y é representada por xy. Um

prefixo x de uma palavra y é uma sub-palavra que consiste de algum número de

símbolos iniciais de y, que é y=xz, para algum z. Um sufixo x de uma palavra y é

uma sub-palavra tal que y=zx. Um símbolo pode ser identificado dentro de uma

palavra pela sua posição i da seguinte forma �i. Por convenção, assume-se

0≥i , sendo assim o primeiro símbolo da cadeia é �0.

Suponha o alfabeto Σ = {a,b}, então o conjunto vazio { } e o conjunto {ε} são

linguagens formais. O conjunto de todas as palavras de comprimento C no alfabeto Σ é

representado por ΣC. O conjunto de palavras de qualquer comprimento incluindo a

palavra vazia é representado por Σ*. Analogamente, Σ+ representa o conjunto de todas

as palavras sobre Σ excetuando-se a palavra vazia, ou seja, Σ+ = Σ* - {ε}. Existem dois

procedimentos essenciais para representar linguagens: como reconhecedores ou

aceitadores (autômatos), procedimentos que indicam quando uma sequência faz parte da

23

linguagem, e como geradores (gramáticas), procedimentos que enumeram os elementos

da linguagem. Segue definição de gramática:

• Gramática: É o tipo mais comum de sistema gerador. Fundamentalmente, uma

gramática é composta por regras de produção, ou regras de re-escrita, através das

quais é possível obter todos os elementos da linguagem a partir de um símbolo

inicial, usando as regras para re-escrever (produzir) os elementos. Formalmente,

definimos uma gramática G como sendo uma construção G={N, Σ, P, S}, onde

N é um alfabeto de símbolos auxiliares, chamados de símbolos não-terminais,

ou, simplesmente, de não-terminais;

o Σ é o alfabeto no qual a linguagem é definida, cujos elementos

são os símbolos terminais, ou, simplesmente, terminais;

o P é o conjunto de regras de re-escrita, chamadas simplesmente de

regras ou produções;

o S ∈ N, é o símbolo inicial.

3.3 Linguagens regulares, autômatos finitos e representação

gráfica de máquinas

De acordo com a hierarquia de Chomsky, as linguagens regulares ou Tipo-3

encontram-se na classe mais simples de linguagens. Nesta seção, a definição formal de

linguagem regular será efetuada através do sistema reconhecedor correspondente, o

autômato finito.

Um autômato finito é formalmente definido pela quíntupla },,,,{ 0 FqQA δΣ= ,

onde:

• Q representa o conjunto finito de estados;

• Σ é o alfabeto de símbolos;

• QQ →Σ×:δ é a regra de transição, normalmente representada na seguinte

forma paq =),(δ , onde q é o estado atual, a é o símbolo que a máquina lê, e p

é o novo estado;

• 0q é o conjunto de estados iniciais da máquina e Qq ∈0 ;

24

• F representa o conjunto de estados finais, ou estados de aceitação da máquina.

As transições de estado de um autômato finito ocorrem de acordo com a

representação da máquina; para uma dada transição paq =),(δ , o estado q é o estado

atual e o estado p é o destino para uma entrada a. Para um dado estado q e um símbolo a

a transição ),( aqδ pode estar definida, ou não. Caso ela não esteja, a máquina entra em

estado de erro, e sempre que a máquina encontra um erro durante a leitura de uma

palavra ela pára a operação imediatamente. A função de transição pode ser estendida

para trabalhar com palavras utilizando a seguinte notação: ),( sqiδ onde s é uma

palavra de símbolos. Um autômato reconhece uma palavra se ao final da leitura da

mesma a máquina não entrou em estado de erro. E, o autômato aceita uma palavra se

depois de reconhecê-la a máquina se encontra em um estado de aceitação do conjunto F

[Hanson, 1993].

Um autômato finito é determinístico se nele há apenas um estado inicial q0, e

para todos os estados as transições de q para outros estados ocorrem até uma vez para

cada símbolo. A designação determinístico é baseada no fato de que os símbolos que a

máquina lê determinam a seqüência de transições que será realizada. Em um autômato

finito determinístico um estado pode ter mais de uma transição, mas cada uma delas

utiliza símbolos diferentes.

Seja A um autômato finito (sistema reconhecedor). A linguagem reconhecida

por A, é uma linguagem regular e pode ser definida pela sentença :

L(A) = {x ∈ Σ* | δ’(q0, x) ∈ F}

A linguagem L(A) é o conjunto de todas as palavras reconhecidas pela máquina

A. Então, pode-se afirmar que o autômato finito A reconhece uma linguagem regular L

se o mesmo aceita todas as palavras de L, e não aceita as palavras que não pertencem a

L.

Através da relação existente entre autômatos finitos e linguagens regulares,

podemos efetuar a comparação de máquinas desse tipo. Imagine a existência de dois

autômatos finitos A1 e A2, e as seguintes linguagens regulares L1=L(A1) e L2=L(A2).

Quando L1 é idêntico a L2, pode-se afirmar que os dois autômatos finitos A1 e A2 são

equivalentes, ou seja, reconhecem a mesma linguagem regular. Quando L1 é um

subconjunto de L2, pode-se afirmar que o autômato finito A1 ⊂ A2.

25

Uma outra forma de representar uma linguagem regular é através de uma

expressão regular (sistema gerador). Uma expressão regular é construída a partir dos

seguintes elementos:

1. O alfabeto de símbolos �∈σ ;

2. xy representa a concatenação de x e y;

3. x + y representa x ou y;

4. x+ representa uma ou mais concatenações de x.

5. x* representa qualquer número de concatenações de x, incluindo

nenhuma (o que representa a cadeia vazia);

Como exemplo, as expressões regulares para as linguagens aceitas na Figura 3.1,

são: (0+1)* para a máquina da esquerda; e (0+11)* para a máquina da direita.

Figura 3.1. Representação gráfica de autômatos finitos determinísticos com alfabeto

binário Σ ={0,1} que (a) aceita todas as palavras formadas por Σ; (b) aceita a linguagem

(0+11)*.

Os exemplos de autômatos finitos apresentados na Figura 3.1, utilizam a

representação gráfica de máquinas, seguindo a seguinte notação:

• cada estado é representado por um círculo;

• as setas indicam as transições, e seus índices ou cores indicam o símbolo que é

lido para que a mesma ocorra;

• estado inicial é representados com uma seta; e

• os estados finais são representados por um círculo duplo.

q0 q1q0

1

1

1

0

0

(a) (b)

26

3.4 Semi-autômato

De acordo com Klaus Sutner, autor da biblioteca ‘Automata Package’, um semi-

autômato pode ser definido por [Sutner, 2003] :

},,{ δΣ= QSA , onde:

• Q representa o conjunto finito de estados;

• Σ é o alfabeto de símbolos;

• QQ 2: →Σ×δ é a regra de transição, onde Q2 é o conjunto potência de Q e

pode ser representada na seguinte forma },...,3,2,1{),( pnpppaq =δ , onde q é

o estado atual, a é o símbolo que a máquina lê, e {p1, p2, p3,...., pn} é o

conjunto de possíveis novos estados;

• Não possui definição de q0 (estado inicial) e F(estados finais), porque todos os

estados são iniciais e finiais.

Pela definição apresentada, semi-autômato é um autômato finito não-

determinístico, onde todos os estados da máquina são iniciais e finais. Portanto, uma

seqüência que será lida pelo autômato pode começar em qualquer estado, e da mesma

forma, terminar em qualquer estado que será reconhecida como uma cadeia válida. Essa

classe de máquina é manipulada e utilizada no processo iterativo desenvolvido e

apresentado em Seção 3.10.

3.5 Configuração de autômatos celulares e relação com

autômatos finitos

Durante a evolução temporal, os autômatos celulares apresentam uma relação

direta com linguagens regulares. Um método de caracterizar a evolução de um autômato

celular elementar vem da teoria das linguagens formais [Sarkar, 2000]. O conjunto de

estados que pode surgir após um número finito de iterações na evolução de um

autômato celular unidimensional forma uma linguagem regular, que pode ser

reconhecida por um autômato finito correspondente [Wolfram, 1984]. Dessa forma,

para cada passo temporal de uma regra elementar em evolução, pode-se obter uma

máquina de estado correspondente (ver Figura 3.2).

27

Figura 3.2. Relação entre a evolução temporal de um autômato celular elementar e um

autômato finito.

Algumas regras de autômato celular, apresentam a mesma relação entre

autômatos finitos e configuração de autômatos celulares, mesmo se tratando da

condição limite [Wolfram, 1984]. Ou seja, para algumas regras de autômato celular,

existe um autômato finito que reconheçe todas as configurações possíveis do diagrama

espaço temporal, quando o tempo ‘t’ tende a infinito. Os termos ‘autômato finito limite’

e ‘grafo limite’, utilizados posteriormente neste trabalho, fazem referência a essas

máquinas, relacionadas ao comportamento limite.

3.6 Estado inicial do reticulado e sua representação

O estado inicial de um autômato celular binário pode ser representado por um

autômato finito onde todas as configurações possíveis de células brancas e pretas (0 e 1,

respectivamente) podem ocorrer [Wolfram, 2002]. O autômato finito que representa a

condição inicial de um autômato celular binário, deve ser capaz de reconhecer qualquer

cadeia binária. A Figura 3.3 ilustra o grafo de duas maneiras:

‘autômato finito 5’ reconhecetodas as configurações daregra elementar que aparecemno instante de tempo t=5

‘autômato finito 13’ reconhecetodas as configurações da regraelementar que aparecem noinstante de tempo t=13

Evolução temporal de N Condições iniciais aplicado a mesma regra elememtar

1 2 N

28

Figura 3.3. Autômato finito representando graficamente a condição inicial de um

autômato celular binário : (a) seguindo a mesma notação descrita na Figura 3.1; (b) forma de

visualização implementada no software Mathematica e utilizada em [Trafaniuc, 2004].

Toda a apresentação de dados e experimentos desenvolvidos nesta pesquisa,

utilizará a notação (b) da Figura 3.3. Nesta notação, todos os estados são finais e o

último estado numerado é o inicial. Outra observação, está relacionada às arestas dos

grafos, que não possuem índice, mas apenas cores. A cor vermelha representa o símbolo

‘0’ e a cor preta o símbolo ‘1’. Durante todo esse trabalho, o termo ‘grafo’ é utilizado

para fazer referências à representação gráfica de autômatos finitos determinísticos,

conforme notação descrita.

3.7 Evolução de autômato finito a cada passo de tempo

Para cada configuração de autômato celular, relacionada a um autômato finito

em particular, é obtido um novo autômato finito, após a evolução de um passo temporal

do autômato celular. A Figura 3.4 apresenta o diagrama espaço-temporal e os grafos

correspondentes aos 2 primeiros instantes de tempo das regras 255 e 4, do espaço

elementar. Através dos grafos pode-se verificar as possíveis seqüências de células

brancas e pretas (0s e 1s) que podem ocorrer a cada passo de tempo. Em cada caso, as

possíveis seqüências são representadas pelos caminhos percorridos no autômato finito.

q0

0

1

(a) (b)

29

0 20 40 60 80 100 120 140

0

10

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120 140

0

10

20

30

40

50

t=0t=0

t=0t=0

t=1 t=2

t=1 t=2

0

1

Regra 255 (1111.1111)b

Regra 004 (0000.0100)b

0 20 40 60 80 100 120 140

0

10

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120 140

0

10

20

30

40

50

t=0t=0

t=0t=0

t=1 t=2

t=1 t=2

0

1

Regra 255 (1111.1111)b

Regra 004 (0000.0100)b

Figura 3.4. Diagrama espaço temporal e grafos gerados para 02 passos temporais das

regras 255 e 4 do espaço elementar [Trafaniuc, 2004].

O autômato finito que representa a condição inicial (t=0), para ambas as regras,

representa as condições iniciais possíveis, onde qualquer seqüência binária pode

ocorrer. A partir do passo de tempo t=1 da regra elementar 255, o autômato finito passa

a aceitar apenas células pretas, enquanto que para a regra 4 as seqüências reconhecidas

pelo autômato finito são formadas por células pretas isoladas por pelo menos uma

célula branca. As duas regras são respectivamente parte das classes 1 e 2 de autômatos

celulares. Ao contrário das regras 4 e 255, a maior parte das regras, não estabilizam em

uma configuração limite após o primeiro passo de tempo. Essas regras passam a

aumentar progressivamente o número de estados e, com a evolução do autômato celular,

o conjunto de seqüências que podem ocorrer fica progressivamente menor e o autômato

finito resultante mais complexo. Para regras de classes 3 ou 4, após alguns passos de

tempo, o autômato finito apresenta um rápido crescimento no grau de complexidade.

Este aumento da complexidade do grafo pode ser explicado pela própria complexidade

das regras [Wolfram, 2002]. Observando a Figura 3.5, a evolução da regra 126 e a

representação gráfica dos autômatos finitos, para os três primeiros instantes de tempo

(t=1, t=2 e t=3), pode-se detectar um crescimento exponencial da complexidade em

linguagem regular, representada pelo número de estados e transições entre eles.

30

Figura 3.5. Grafos gerados a cada passo de tempo para a regra 126 [Trafaniuc, 2004].

Normalmente essa complexidade aumenta com o tempo, porém, mesmo assim,

há regras de autômatos celulares em que a configuração limite pode ser representada

através de linguagens regulares formais [Wolfram, 1984].

Durante este documento, a utilização de termos como ‘grafos em evolução

temporal’ ou ‘autômatos finitos em evolução temporal’ são utilizados para referenciar

os inúmeros grafos relacionados a cada instante de tempo de um autômato celular em

evolução temporal.

3.8 Complexidade em linguagem regular e caracterização de

autômatos celulares

A análise da complexidade de linguagens regulares representadas pelo número

de nós e arestas de um grafo para caracterização de autômatos celulares foi iniciada em

[Trafaniuc, 2004]. Nesse trabalho, utilizando-se de representações gráficas de máquinas

para mapear o espaço de estados, e recursos de manipulação e detecção de estruturas em

grafos, pôde-se detectar características para algumas regras de autômatos celulares, que

permitiram reconstruir por método iterativo [Wolfram, 2002], a tabela de complexidade

31

de linguagens regulares de [Wolfram, 1994], obtendo alguns resultados diferentes e

novos. O presente trabalho segue a mesma linha de raciocínio, extraindo características

do autômato celular em função da complexidade de linguagens regulares associadas.

3.9 Tabela de complexidade das linguagens regulares

Como já mencionado, foi demonstrado em [Wolfram, 1984] que o conjunto de

configurações que podem aparecer na evolução de um autômato celular unidimensional,

após um número t finito de iterações, forma uma linguagem regular. As configurações

possíveis para cada instante de tempo, correspondem aos caminhos possíveis de se

percorrer dentro de um autômato finito.

A Tabela A.1. [Wolfram, 1994], que representa a tabela de complexidade das

linguagens regulares, tem como base as 256 regras elementares de autômatos celulares e

apresenta o número mínimo de estados e transições dos autômatos finitos em cada caso.

As dimensões apresentadas são baseadas em autômatos finitos determinísticos, onde um

estado da máquina é inicial e todos os estados são finais. A tabela é constituída por 136

linhas, que representam as 255 regras agrupadas por equivalências obtidas apenas pelas

transformações de 0s por 1s. Para formação desta tabela, não são consideradas

equivalentes as regras obtidas pela transformação por tipo reflexão e, portanto, não são

excluídas da tabela. Por exemplo, verificando a Figura 2.3 que apresentam as regras

equivalentes 110, 124, 137 e 193, a Tabela A.1. apresenta a regra 110 e 124, porque são

equivalentes apenas pela transformação por tipo reflexão. Entretanto, as outras duas

regras 137 e 193, são equivalentes às regras 110 e 124 respectivamente, pela

transformação de 0s por 1s, dessa forma não aparecem na tabela porque são

consideradas de mesmo grupo. As regras equivalentes por transformação de 0s por 1s

são agrupadas porque um autômato finito relacionado a essas regras apresentariam as

mesmas conexões e mesmos números de nós, invertendo apenas as cores das arestas.

Por outro lado, regras equivalentes pela transformação por tipo reflexão retratam

máquinas não equivalentes, com conexões ou nós diferentes. A primeira coluna da

tabela indica o número da regra elementar, e as colunas seguintes indicam a dimensão

do autômato finito para determinados passos de tempo, que são: 1, 2, 3, 4, 5, passos de

tempo maiores que 5, e infinito. Para se efetuar a leitura da dimensão das máquinas, os

números que estão dentro dos colchetes significam o número de transições, e fora dos

colchetes o número de estados. O hífen indica que a linguagem regular é a mesma do

32

passo de tempo anterior. As entradas na última coluna apresentam o tamanho dos

autômatos finitos representando o limite de estados que pode ser atingido para qualquer

passo de tempo. Para algumas regras foram apresentadas fórmulas para compor o

autômato finito para um determinado passo de tempo t. Para ilustrar o funcionamento da

Tabela A.1, analisaremos os dados da regra 10 da tabela, junto com o grafo

correspondente, na Figura 3.6.

Regra t = 1 t =2 t = 3 t = 4 t = 5 t >5 �

10 4[6] - - - - 4[6] 4[6]

Figura 3.6. Leitura da Tabela A.1. [Wolfram, 1994].

Em [Trafaniuc, 2004] reconstruiu-se a tabela de complexidade de linguagens

regulares. A nova tabela exibe dados da tabela original [Wolfram, 1994] e de forma

comparativa, os novos dados gerados. Outras informações adicionais ilustram a tabela,

como a classificação dinâmica [Li e Packard, 1990] e a equivalência de regras.

Trafaniuc [2004] obteve novos resultados e algumas diferenças com relação à tabela

anterior, principalmente em regras ciclo-duplo e ponto-fixo. Estes resultados são

apresentados na Tabela A.2.

1

2

3

4

Dados extraído da Tabela A.1.

t=1

Indica uma máquina de4 estados e 6 transições

Após o instante detempo t=1, o autômatose repete.

Complexidade do autômato finito querepresenta a configuração limite da regra 10

O autômato finito gerado para o passo de tempo t=1 e t=2apresenta 4 estados e 6 transições, conforme a tabelaacima. Após o instante t=1, o AC atinge a configuraçãolimite.

1

2

3

4

t=2

33

3.10 Funções NetCAStep, TrimNet e MinNet

NetCAStep, TrimNet e MinNet [Wolfram, 2002] são funções desenvolvidas no

Mathematica e utilizadas para gerar e representar máquinas de estados finitos, a cada

passo de tempo na evolução de autômatos celulares elementares.

Dado um semi-autômato qualquer, relacionado a configurações de autômato

celular para um instante de tempo t, a função NetCAStep [Wolfram, 2002] retorna um

autômato finito relacionado ao instante de tempo t+1.

Os parâmetros de entrada da função NetCAStep são:

• o número de estados do autômato celular, que no caso é binário k=2;

• raio da vizinhança do autômato celular, no caso dos autômatos celulares

elementar, raio=1;

• número da regra de autômato celular;

• a lista de transições de estado do semi-autômato de instante t, a partir da qual

será aplicada a regra do autômato celular.

A função NetCAStep gera como saída, uma lista de transições de estados

correspondente a um autômato finito não-determinístico (AFND) [Wolfram, 2002].

Sobre a lista de transições de estado resultante da função NetCAStep é aplicada a

função TrimNet [Wolfram, 2002], que por sua vez, preserva todos os estados acessíveis

por qualquer nó da rede. Para exemplificar, verifique o grafo da esquerda na Figura 3.7

abaixo, que representa uma certa máquina.

1

2

3

4

5

Figura 3.7. Execução da função TrimNet.

Perceba-se que os estados 3 e 5 não são acessíveis se a máquina for iniciada

pelos nós 1, 2 e 4. Por outro lado, os nós 1, 2 e 4 da máquina podem ser acessados por

1

5 TrimNet

1

2

3

1

34

qualquer nó inicial na rede. O grafo da direita na Figura 3.7, ilustra a lista de transição

com a retirada dos nós.

Finalmente, a lista de transições de estado gerada pela função TrimNet é

aplicada na entrada da função MinNet [Wolfram, 2002]. O resultado obtido é uma lista

de transições de estado, referente a um autômato finito mínimo e determinístico

equivalente, com o último estado inicial e todos finais. Para esta função, é importante

destacar a seguinte informação fornecida: “Em geral, MinNet produzirá uma rede onde

qualquer sequência permitida de valores corresponderá a um caminho iniciado pelo nó

1” [Wolfram, 2002, página 957] . Baseados em experimentos realizados com a

aplicação da função para as regras 18, 22, 72 e 126 e, comparando os resultados obtidos

com os respectivos autômatos finitos determinísticos destacados em [Wolfram, 1984],

detectou-se que, o estado inicial produzido pelo MinNet é o último nó da rede, ao

contrário da informação em [Wolfram, 2002].

A saída da composição adequada das funções NetCAStep, TrimNet e MinNet é

um autômato finito determinístico que reconhece todas as configurações possíveis para

um passo de tempo seguinte, na evolução de uma regra dos autômatos celulares

elementares. A Figura 3.8 ilustra o funcionamento do fluxograma com as 3 funções

conectadas.

Figura 3.8. Seqüência de utilização de NetCAStep, TrimNet e MinNet.

NetCAStep

Entrada :- semi-autômato- número da Regra de AC.

Saída:- autômato finito não

determinístico relacionado aoinstante seguinte de tempo.

TrimNet

Entrada :- autômato finito

Saída (S.A.N.D.):- semi-autômato mantendoapenas os nós acessíveis porqualquer nó da rede.

Entrada:- semi-autômato

MinNet

Saída: (A.F.D.)- autômato finitodeterminístico equivalente

Deseja gerarautômato para

próximoinstante ?

sim não

35

3.11 Métodos de análise desenvolvidos em [Trafaniuc, 2004]

Utilizando como base as funções mencionadas na seção anterior, desenvolveu-se

no Mathematica métodos para analisar e exibir a evolução das regras elementares de

autômatos celulares. Através destes desenvolvimentos, a tabela de complexidade de

linguagens regulares [Wolfram, 1994] foi reconstruída, e para algumas regras

elementares, foi possível detectar padrões e expressões de crescimento do autômato

finito determinístico que estavam vazias na tabela original.

Em [Trafaniuc, 2004] o termo ‘grafo de processo’ ou ‘grafo de transição de

estados’ [Hanson, 1993] é definido como um semi-autômato. Desta forma, a seguinte

informação “Todos os autômatos finitos obtidos e estudados no presente trabalho serão

grafos de processo” [Trafaniuc, 2004, página 18], está equivocada, já que todas as

máquina geradas e representadas visualmente são derivadas da saída da função MinNet,

portanto são autômatos finitos determinísticos. Em [Trafaniuc, 2004] o problema de

divergência entre o funcionamento da função MinNet e a descrição em [Wolfram,

2002], explicado na Seção 3.10, também não foi identificado.

O método iterativo implementado em [Trafaniuc, 2004] utilizava uma seqüência

de realimentação diferente da apresentada na Figura 3.8, com a saída da função MinNet

efetuando a realimentação do laço. Para o desenvolvimento deste trabalho, essa

seqüência foi conceitualmente modificada, justificada pelo tipo de entrada esperada pela

função NetCAStep (Figura 3.8). A mudança nesta seqüência também foi uma tentativa

para explicar algumas diferenças encontradas entre os resultados de [Trafaniuc, 2004] e

[Wolfram, 1994]. Porém, para as 26 regras detalhadamente analisada neste trabalho, os

resultados se mantiveram iguais.

Um ponto importante para análise desta diferença, pode ser constatado através

da observação da regra 108 que apresenta dados divergentes entre as tabelas. Em

[Wolfram, 2002, página 278] a complexidade desta regra é exibida para 4 passos de

tempo. Contando o número de nós e arestas de cada grafo apresentados no livro e

comparados com os dados da regra 108 apresentados em [Trafaniuc, 2004], observamos

que são iguais (a Figura 3.9 ilustra o processo de validação). Através dessa observação,

podemos concluir que muito provavelmente existia um erro no código original utilizada

na construção de [Wolfram, 1994] que foi corrigido em [Wolfram, 2002].

36

Figura 3.9. Validação dos dados apresentados em tabela de [Trafaniuc, 2004].

Na primeira parte do método Trafaniuc [2004] utilizou-se de um algoritmo

iterativo, utilizando as funções NetCAStep, Minnet e TrimNet, e aplicou às 256 regras

de autômatos celulares com cinco número máximo de iterações (ver Figura 3.10).

Figura 3.10. Ilustração do algoritmo utilizado em [Trafaniuc, 2004].

retirado da Tabela A.2 [Trafaniuc, 2004]

retirado livro NKS [Wolfram, 2002]

NetCAStep, TrimNete MinNet

Autômato finito referente aoinstante t+1, na evolução do AC

Realimentação passando comoparâmetro autômato de t+1

Autômatode t é Igual aoAutômato de

t+1 ?

N iteraçãoatingido ?

NãoNão

SimSim

256 regras elementares

Regras do Grupo1 Regras do Grupo2

37

Como resultado da aplicação do algoritmo, as 256 regras elementares foram

divididas em dois grupos, de acordo com os critérios de parada:

• Grupo 1: regras que apresentam crescimento de complexidade no autômato

finito limite a cada passo de tempo, e o método é interrompido quando o número

máximo de passos de execução é atingido;

• Grupo 2: regras que não apresentam crescimento de complexidade no autômato

finito limite a cada passo de tempo, e o método é interrompido quando o

autômato finito limite é atingido

Para exemplificar, a Tabela 3.1 exibe a evolução de autômatos finitos para regra

do grupo 1 e 2.

Regra Passo 1 Passo 2 Passo 3 Grupo

19 2

128 1

Tabela 3.1. Evolução dos grafos para regras com critérios de paradas distintos.

Observe-se que, para cada passo, a regra 128 apresenta um grafo mais complexo,

ao contrário da regra 19 que apresenta máquinas iguais para o passo 2 e 3.

38

3.12 Detecção de estruturas comuns em passos de tempo

consecutivos

Observando grafos em evolução, pode-se detectar que para algumas regras do

grupo 1, uma parte das estruturas dos autômatos não se alteram, e se repetem em passos

de tempos consecutivos. Na Tabela 3.1, repare que a regra 128 apresenta para cada

instante de tempo um novo grafo, porém esses grafos possuem estrutura que se mantêm

durante a evolução. O que diferencia um instante do outro é a inclusão de novas

transições, representadas por arestas em vermelho. A presença destas estruturas em

passos consecutivos da evolução temporal, funcionam como um indicador das regras

para as quais há possibilidades de se obter expressões de crescimento e representação

dos grafos dela derivados. Com o objetivo de identificar essas regras, criou-se um

método de busca automático para identificação de estruturas básicas presentes na

evolução de autômatos celulares elementares. Abaixo, segue em 4 passos o algoritmo

desenvolvido em [Trafaniuc, 2004], exemplificado para a regra 128:

1. Gerar os grafos das regras de transição, para dois passos de tempo

consecutivos, t e t+1, de uma regra do espaço elementar (ver a Figura 3.11).

Figura 3.11. Grafos de tempos consecutivos (t e t+1) da regra 128.

2. Gerar todos os possíveis subgrafos do passo de tempo t+1 que tenham o

mesmo número de estados que o grafo do passo de tempo t. A Figura 3.12

exibe todos os subgrafos possíveis do Grafo T+1 com 4 estados;

1

2

3

4

12

3

4 5

6

Grafo T(instante t com 4 estados)

Grafo T+1(instante t+1 com 6 estados)

39

Figura 3.12. Geração de subgrafos de t+1 com mesma quantidade de nós que o grafo em

t.

3. Selecionar todos os subgrafos gerados com base no passo de tempo t+1 que

se encaixam perfeitamente no grafo do passo de tempo t. Ou seja, selecionar

os subgrafos gerados no passo 2, que também são subgrafos do grafo no

tempo t. Para melhor entendimento, verifique a Figura 3.13;

Figura 3.13. Seleção de subgrafos candidatos para identificação da estrutura comum em

passos de tempos consecutivos.

4. Realizar uma operação de diferença entre o grafo de t e todos os subgrafos

de t+1 selecionados no passo 3. Essa operação de diferença é executada pela

função GraphDifference do pacote DiscreteMath`Combinatorica do

Mathematica, e retorna as diferentes arestas entre dois grafos com mesmo

número de nós. O subgrafo que apresentar a menor diferença no número de

12

3

4 5

6

Grafo T+1 Subgrafos derivados doGrafo B com 4 estados.

Todos os subgrafosderivados do GrafoT+1 com 4 estados

Selecionar os subgrafos

que encaixam

perfeitamente

Os dois subgrafos F e A do GrafoT+1 encaixam perfeitamente noGrafo T.

1

2

3

4

Grafo T

D E F

A B C F A

40

transições de estados, é selecionado. No caso de empate, o primeiro subgrafo

é selecionado.

Figura 3.14. Seleção de subgrafo com menor diferença.

O processo de detecção de subgrafos desenvolvido em [Trafaniuc, 2004],

em resumo é uma operação entre grafos de tamanhos diferentes, que identifica o

maior grafo passado como parâmetro e retorna o maior subgrafo comum com

mesmo número de nós do grafo menor. O termo ‘máximo subgrafo comum’ é

utilizado neste trabalho para fazer referência ao subgrafo retornado por esta

operação. Lembrar que em alguns casos para essa operação, a inexistência do

máximo subgrafo comum pode ocorrer.

Em [Trafaniuc, 2004], o algoritmo foi executado para cinco instantes de

tempo da regra de autômato celular em evolução. Foram selecionados apenas as

regras que apresentam subgrafo comum de tempos consecutivos, entre os cinco

instantes executados.

1

2

3

4

Grafo T Subgrafos deT+1 Candidatos

1

2

3

4

SubgrafoSelecionado

Resultado daDiferença

41

Regra 128 Grafo TMáximoSubgrafocomum

Grafo T+1

Passo 1 e 21

2

3

4

12

3

4

12

3

4 5

6

Passo 2 e 312

3

4 5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

Passo 3 e 4 1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6 7

8

1

23

4

5

6

7 8

9

10

Passo 4 e 5 1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7

8

9

10

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

Tabela 3.2. Resultado do método de busca de subgrafos comum da Regra 128.

Observe que a regra 128 apresenta subgrafos em comum entre dois

passos de tempo consecutivos, nos 5 passos temporais de evolução em que foi

executada. Após a aplicação do método às regras do grupo 1, identificaram-se 26

regras (11, 14, 23, 35, 43, 50, 56, 70, 81, 98, 113, 128, 132, 136, 140, 142, 162,

168, 172, 176, 184, 192, 196, 212, 224 e 232) que apresentaram estruturas

comuns em passos de tempos consecutivos, e que foram analisadas e

investigadas posteriormente. Essas regras são classificadas como ciclo-duplo,

nula ou ponto-fixo.

42

Capítulo 4

Análise da complexidade em linguagem regular

relacionada a autômato celular

4.1 Análise automática do crescimento de grafos

Como explicado na Seção 3.12, os processos desenvolvidos por Trafaniuc

[2004], selecionaram 26 regras. Em continuidade Trafaniuc [2004] passou a observar

visualmente os grafos e os relacionamentos existentes, obtendo manualmente algumas

expressões de crescimento de nós e arestas, ou expressão de crescimento de

complexidade, dos autômatos finitos determinísticos em função do tempo. Como parte

do objetivo deste trabalho, essa tarefa foi automatizada. O método original [Trafaniuc,

2004], que gerava e exibia resultados no mesmo processo, foi modificado e dividido em

dois módulos: módulo de geração e armazenamento de dados, e o módulo de análise de

resultados. As mesmas 26 regras (11, 14, 23, 35, 43, 50, 56, 70, 81, 98, 113, 128, 132,

136, 140, 142, 162, 168, 172, 176, 184, 192, 196, 212, 224 e 232) que apresentaram

estruturas em comum, para passos de tempos consecutivos, identificadas na Seção 3.12

[Trafaniuc, 2004], foram executadas nos novos módulos para avaliação.

4.1.1 Módulo de geração e armazenamento de dados

O módulo de geração foi desenvolvido com base no algoritmo de [Trafaniuc,

2004] ilustrado na Figura 3.10, utilizando as funções NetCAStep, Minnet, TrimNet

[Wolfram, 2002], e a função de detecção de subgrafos comuns, descrito na Seção 3.12.

Porém, verificou-se que para algumas regras de autômato celular, além dos grafos em

evolução, e subgrafos comuns de grafos em tempos consecutivos (ver exemplo na

Tabela 3.2), seriam necessárias informações adicionais para permitir que o módulo de

análise detectasse características presentes nas regras. Dessa forma, foi desenvolvida e

incluída ao módulo, uma nova operação que representasse a diferença entre grafos,

durante a evolução temporal.

43

Todos os resultados gerados neste módulo são armazenados de forma

estruturada em arquivos de disco.

Figura 4.1. Módulo de geração e armazenamento.

Para cada regra elementar executada, os seguintes dados são gerados:

• autômato finito determinístico referentes a cada passo temporal;

• subgrafos comuns para grafos de tempos consecutivos;

• grafos que representam a diferença entre autômatos finitos determinístico

de tempos consecutivos.

4.1.2 Operação de diferença entre grafos

A detecção do máximo subgrafo comum apresentado na Seção 3.12 permite

identificar regras que apresentam estrutura em comum para instantes consecutivos de

tempo. Porém não permitem identificar e, por conseqüência comparar essas estruturas

ao longo de um período. Dessa forma, surgiu a necessidade de obter uma informação

que demonstrasse a diferença entre grafos de tempos consecutivos. No pacote

Método iterativo de evoluçãotemporal (NetCastep, Minnet,Trimnet,)

Dados armazenados de formaestruturada:

- número da regra;- grafo em evolução temporal;- subgrafo comum em temposconsecutivos de grafos;- diferença de grafos em temposconsecutivos;

Módulo de geração e armazenamentode dados

Gravação de resultados emarquivos de disco

44

DiscreteMath`Combinatorica do Mathematica, existe a função GraphDifference que

efetua a diferença de dois grafos com o mesmo número de nós. Essa função não foi

utilizada diretamente na comparação de máquinas de tempos consecutivos, porque o

número de nós normalmente cresce com o tempo. Por essa razão, houve a necessidade

de criar uma nova função

Durante a criação dessa função, levou-se em consideração o universo de regras

em que ela seria utilizada, ou seja, as 26 regras mencionadas na Seção 4.1. Dessa

maneira pôde-se partir da premissa que a operação ocorreria entre grafos que

apresentam máximo subgrafo comum para passos de tempos consecutivos. O algoritmo

desenvolvido para operação de diferença é demonstrado nos passos seguintes:

1. Obter o máximo subgrafo comum (descrito na Seção 3.12) entre o grafo

no instante t e o grafo no instante t+1;

2. Como o máximo subgrafo comum possui o mesmo número de nós do

grafo de instante t, utilizar a função GraphDifference e obter a diferença

de arestas entre o máximo subgrafo comum e o grafo de t. Essa diferença

de arestas representa o grafo excluído em t na construção de t+1, e é

mencionada neste documento como ‘estrutura excluída’ (ver Figura 4.2);

Figura 4.2. Ilustração da implementação da operação de diferença.

3. Extrair do grafo do instante t+1 o máximo subgrafo comum utilizado no

passo 2, mantendo o mesmo número de nós do grafo t+1;

EstruturaExcluída

Extrai omáximosubgrafocomum

GRAFOT +1

Máximosubgrafo

comum deT e T+1

EstruturaAdicionada

GraphDifference

GRAFOT

GraphDifference

resultado da operaçãoformado pelo par de

estruturas

45

4. Utilizar a função GraphDifference e obter a diferença de arestas entre o

máximo subgrafo comum do passo 3 e o grafo de t+1. Essa diferença de

arestas representa o grafo adicionado em t+1 que não existe em t, e é

mencionada neste documento como ‘estrutura adicionada’ (ver Figura

4.2);

Além da diferença de número de nós, a operação que representa a diferença entre

grafos foi desenvolvida considerando o fato de que, um grafo em evolução temporal

sofre algumas transformações. Ou seja, para cada avanço do passo temporal, estruturas

são excluídas e adicionadas ao grafo. O resultado da operação de diferença

desenvolvido é representado pelos grafos ‘Estrutura Adicionada’ e ‘Estrutura Excluída’.

A Figura 4.3 ilustra o resultado da operação de diferença para grafos em instantes

consecutivos de tempo para regra elementar 184.

1

2

3

4

12

3

4 5

6

12

3

4 5

6

1

2

3

4

1

2

3

4

12

3

4 5

6

Figura 4.3. Operação de diferença aplicada entre grafos da regra 184 nos instantes t=1 e

t=2.

t=1 t=2 Estrutura Adicionada Estrutura Excluída

t=1 t=2

Estrutura excluídaMáximo subgrafo comumEstrutura adicionada

REGRA 184

46

Na ilustração, a estrutura excluída é destacada em vermelho e a estrutura

adicionada destacada em verde. As duas estruturas forma o retorno da operação de

diferença. As arestas marcadas em azul, representam o que foi mantido, ou seja, o

máximo subgrafo comum entre t e t+1. Essas informações coletadas durante a execução

do método iterativo, permitem efetuar importantes observações e análise do

comportamento de algumas regras em evolução.

O termo ‘estrutura líquida adicionada’ utilizado neste documento está

relacionado ao par de grafos estrutura adicionada e excluída, e tem o objetivo de fazer

referência a transformação sofrida pelo grafo T para construir T+1.

4.1.3 Módulo de análise de resultados

O módulo de análise de resultados efetua a recuperação dos dados gerados pelo

módulo de geração e, em função dessas informações, analisa e exibe resultados que

caracterizam as regras elementares de autômatos celulares. As regras analisada por este

módulo apresentam:

• tipo do crescimento dos grafos durante a evolução de um autômato

celular (linear ou não-linear);

• expressão de crescimento do número de nós em função do tempo;

• expressão de crescimento do número de arestas em função do tempo;

• instante de tempo em que o grafo inicia um crescimento cíclico;

• dimensão do ciclo de crescimento dos grafos (simples, duplo);

• estrutura(s) adicionada(s) ciclicamente durante a evolução temporal.

O Apêndice A.3 exibe o resultado das 26 regras analisadas pelo módulo, com 8

iterações. Para cada regra analisada, as informações anteriormente citadas são

organizadas nos tópicos explicados abaixo, que é ilustrado na Figura 4.4. com

resultados da regra 70:

47

REGRA ELEMENTAR 70

Grafo em Evolução

GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC. ESTR.EXCLUÍDA

1

2

3

1

2

3

12

3

4

56

7

12

3

4

56

7

1

2

3

12

3

4

56

7

1

2

3

45

6

7

1

23

4

5

67

8

9

1

23

4

5

67

8

9

12

3

4

56

7

1

23

4

5

67

8

9

12

3

4

5

6 7

8

9

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

67

8

9

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

12

3

4

5

6

78

9

10

11

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

48

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

8 910

11

12

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

123

4

5

6

7

89 10

11

12

13

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 6+t Início em t= 3- Expressao de Crescimento Aresta: 12+t Início em t=3

Estrutura Repetitiva

12

3

4

56

7

1

2

3

45

6

1

2

3

1

2

3

4

Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 0 Inicio em t = 3- Estrutura 3 => Ciclo: 2 Inicio em t = 4- Estrutura 4 => Ciclo: 2 Inicio em t = 5

Figura 4.4. Resultados da regra elementar 11 retirada do Apêndice A.3.

1. Grafo em Evolução: são exibidos todos os grafos utilizados na análise, ou seja,

os grafos de cada instante de tempo, máximo subgrafo comum para grafo de

passos consecutivos e os grafos que representam a diferença de grafos: estrutura

excluída e adicionada.

2. Análise de Crescimento: informa se o número de nós e arestas do grafo cresce

linearmente com o tempo. Quando afirmativo, as expressões de crescimento são

apresentadas, junto com o instante de tempo em que se inicia a linearidade. Ver

pela Figura 4.4 que a regra 70 possui crescimento linear a partir do instante de

49

tempo t=3. Dessa forma, a expressão de crescimento tanto para o número de nós

(6+ t), quanto para o número de arestas (12+t) são apresentadas. Essa linearidade

é calculada utilizado a função FindFit com base nos números de nós e arestas

dos grafos de T para cada instante de tempo.

3. Estrutura Repetitiva: neste item são exibidas as diferentes estruturas

adicionadas aos grafos durante o período de dado coletado. Para obter essas

estruturas o algoritmo efetua um agrupamento de todas as estruturas da coluna

‘Estr.adic’. Observe pela Figura 4.4. que 4 estruturas são exibidas nesse item

para regra 70, ou seja, se a coluna que exibe os grafos que representam as

estruturas adicionais forem verificadas e agrupadas para o período executado,

será identificado 4 diferentes grafos. A mesma informação poderia ser extraída

da coluna estrutura excluída, porém como não acrescenta nenhuma informação

adicional, não foi implementada na análise de resultados.

4. Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas: todas as estruturas repetitivas

apresentadas no item anterior possuem uma classificação conforme o ciclo de

repetição. Dependendo da regra, as estruturas podem aparecer somente em uma

única iteração (ciclo = 0), durante todas as iterações (ciclo = 1 ou ciclo simples),

ou em iterações intercaladas com outra estrutura repetitiva (ciclo = 2 ou ciclo

duplo), e assim por diante. Para exemplificar, observe os dados da regra 70, na

Figura 4.4. A regra apresenta 4 estruturas repetitivas, onde as duas primeiras não

possuem ciclo de repetição (ciclo=0), ou seja, aparecem somente em uma única

iteração (t=1 para t=2 e t=2 para t=3). As demais estruturas repetitivas,

classificadas como ciclo duplo (ciclo = 2), indicam que após a iteração t=3 para

t=4, ficam intercalando entre si. Uma observação neste item é válida para a

interpretação do tempo ‘início em t’ apresentada. Como a estrutura repetitiva

considera sempre dois grafos de instantes de tempos consecutivos, quando o

tempo t é apresentado, considerar que a estrutura aparece na iteração do instante

(t-1) para t.

5. Quadro Resumo: exibe todas as regras que foram executadas e analisadas,

classificando-as por linearidade no crescimento. Apresenta as regras com os

respectivos ciclos. Por exemplo, à regra 70 associa-se ‘Ciclo {0, 2}’, sendo que

o zero indica que inicialmente não existe estrutura(s) repetitiva(s), mas após um

50

ou mais instantes de tempo, a regra passa a apresentar estruturas com ciclo

duplo representada pelo número 2.

4.2 Em busca da caracterização do comportamento limite

A estratégia de trabalho adotada para o desenvolvimento de um algoritmo capaz

de obter o autômato finito determinístico que corresponda ao comportamento limite de

um autômato celular foi observar e associar dados gerados pelos módulos, para algumas

regras com comportamento limite conhecido. Como não foi possível obter esse

algoritmo, esta seção descreve o que foi observado e estudado.

Na dinâmica de autômatos celulares existem configurações que são transientes e

de certo modo podem aparecer previamente somente durante a evolução. O conceito de

configuração limite está relacionado às configurações que são importantes num período

longo de execução, ou seja, configurações não transientes [Kari, 2005]. Na realidade, a

configuração limite de um autômato celular é uma configuração única contendo apenas

a configuração estável, ou é infinita e contém algumas configurações não periódicas.

Dessa maneira, para os casos em que a configuração é estável após n passos, a

configuração limite é finita [Hurd, 1987].

Como já mencionado, o conjunto de configurações gerados por um autômato

celular, para um número finito de passos, forma uma linguagem regular. Quando se trata

de limite de tempo infinito, apenas algumas regras podem ser caracterizadas por uma

linguagem regular. Os autômatos celulares com comportamento de classe 1 e 2 fazem

parte dessas regras, por outro lado, as regras com comportamento de classe 3 e 4, que

apresentam como conjunto de configuração linguagem regular com crescimento de

complexidade exponencial ao tempo, provavelmente apresentarão conjuntos de

configuração limite correspondente a linguagens formais mais complicadas [Wolfram,

1984].

As 26 regras selecionadas e analisadas no presente trabalho são classificadas

dinamicamente como classe 1 e 2 [Wolfram, 1984]. Mesmo trabalhando em universo

restrito, com regras que convergem a linguagens regulares em suas configurações

limites, a tarefa de desenvolver um algoritmo para obtenção da linguagem regular

correspondente ao comportamento limite não foi concluída com sucesso. Todos os

51

dados gerados e analisados nos módulos de crescimento tratados na Seção 4.5

permitiram concluir informações importantes relativas ao comportamento dinâmico e

limite das regras no entanto, encontrou-se grande dificuldade em conectar esses dados

com o comportamento limite, através de um único algoritmo.

Os próximos itens desta seção ilustram o estudo efetuado utilizando como base a

regra 184, destacando associações importantes observadas e pontos críticos

encontrados, durante a tentativa de desenvolvimento do algoritmo.

4.2.1 Grafo limite da regra elementar 184

A regra elementar 184 foi utilizada como base para o desenvolvimento do

algoritmo de geração de grafo limite por ser uma regra com comportamento limite

conhecido. Ela possui basicamente 3 configurações limites, representadas por uma

linguagem regular, e que dependem exclusivamente da configuração inicial do autômato

celular:

• Configuração inicial com número de 1s igual ao número de 0s (#1s = #0s),

implica em configuração limite com 0s e 1s intercalados, conforme a Figura

4.5;

Figura 4.5. Regra 184 em evolução temporal com condição inicial (#1s = #0s).

• Configuração inicial com número de 1s maior que o número de 0s (#1s > #0s),

implica em configuração limite com formação de grupos de 1s, intercalados por

blocos 01, conforme a Figura 4.6;

01

52

Figura 4.6. Regra 184 em evolução temporal com condição inicial (#1s > #0s).

• Configuração inicial com número de 0s maior que o número de 1s (#1s < #0s),

implica em configuração limite com formação de grupos de 0s, intercalados por

blocos 10, conforme a Figura 4.7;

Figura 4.7. Regra 184 em evolução temporal com condição inicial (#1s < #0s).

Considerando as 3 variações de configurações limites, construiu-se manualmente

o autômato finito que reconhece a linguagem regular formada pelo comportamento

limite da regra 184 (verificar a Figura 4.8). O autômato finito passou a ser o grafo alvo

do algoritmo em desenvolvimento.

01

01

53

1

2

3

4

5

Figura 4.8. Grafo limite da regra 184.

4.2.2 Grafos e a relação com diagrama espaço temporal

Para obter o grafo limite apresentado na Figura 4.8, foi efetuada uma análise das

estruturas presentes nos grafos da regra 184. Observando os 5 grafos da Figura 4.9,

podemos destacar dois pontos que aparecem em todos os instantes de tempo, ponto A

(em cinza) e B (em vermelho). Percebe-se que no ponto A, existe uma aresta de cor

preta em loop, representando uma cadeia de um ou mais caracteres 1 (expressão regular

1+). O ponto B, representa uma expressão regular análoga, agora considerando o

caractere 0 (expressão regular 0+ ).

54

REGRA 184

1

2

3

4

12

3

4 5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Figura 4.9. Análise de estruturas presentes nos grafos relacionados à regra 184.

Dessa forma, podemos dizer que o ponto A representa blocos de 1s e o ponto B,

blocos de 0s, visíveis em um diagrama espaço temporal da regra 184 (verificar a Figura

4.10).

Figura 4.10. Análise do diagrama espaço temporal da regra 184.

A B

A BA B A BA B

A B

Ponto A – grupo de 1sPonto B – grupo de 0s

Distância entre grupo de 1s e grupo de 0sDistância entre grupo de 0s e grupo de 1s

11

t=5

t = 1 t = 2 t = 3 t = 4

55

Observando as Figuras 4.9 e 4.10, podemos relacionar estruturas dos grafos, com

o diagrama da evolução temporal da regra 184. A Figura 4.9 destaca em azul o caminho

necessário a ser percorrido para conectar o ponto B ao ponto A, ou seja, bloco de 0s ao

bloco de 1s. Pelos 5 grafos, observe-se que a conexão entre os pontos é imediata, ou

seja, a qualquer instante de tempo finito, poderão aparecer cadeias de 0s seguidos de

cadeias de 1s (expressão regular 0+1+). Essa informação pode ser confirmada na Figura

4.10, destacada também em azul.

A Figura 4.9 destaca em verde o caminho necessário a ser percorrido para

conectar o ponto A ao ponto B, ou seja, bloco de 1s ao bloco de 0s. Observe pelos 5

grafos, que a distância de conexão entre os pontos aumenta a cada instante de tempo, e

já no primeiro instante (t=1), uma seqüência de caracteres alternados 01 deve ser

percorrida; ou seja, da segunda linha (t=1) em diante da Figura 4.10 não é possível

visualizar grupos de 1s junto com grupos de 0s, e a seqüência de blocos alternadas de 01

aumenta a cada instante de tempo, separando os dois grupos (ponto A e B).

Pelo fato dos grafos da regra 184 não serem simétricos, o diagrama espaço

temporal da regra 184 poderá apresentar bloco de 0s seguido de bloco de 1s, porém

nunca apresentará bloco de 1s junto com bloco de 0s. Mas como o grafo limite da regra

184 é simétrico, quando a evolução temporal atinge o comportamento limite (t tende a

infinito), o diagrama não apresentará bloco de 0s seguido de bloco de 1s e vice-versa.

Essas associações permitiram compreender porque a regra 184, para cada instante

definido de tempo, apresenta aumento da complexidade dos grafos em evolução. A

transformação necessária do grafo não simétrico para um grafo simétrico (quando atinge

a condição limite), foi uma das grandes dificuldades encontradas no desenvolvimento

do processo.

4.2.3 Componentes do comportamento limite

Após a análise do comportamento dinâmico dos grafos em evolução da regra

184, procurou-se observar os resultados do módulo de análise e criar associações para

obter o grafo limite da Figura 4.8.

O resultado da operação de diferença de grafos permitiu identificar que uma

estrutura é adicionada e outra excluída de forma repetitiva, a cada passo temporal (ver

Figura 4.11). A estrutura adicional está relacionada à seqüência alternada de blocos 01

56

que separam o bloco de 1s do bloco de 0s, explicada na seção anterior. A estrutura

eliminada está relacionada à transformação que o grafo sofre, para encaixe da estrutura

adicional ao novo instante de tempo.

Intuitivamente a informação que compõe o grafo limite parece estar no grafo

referente ao instante de tempo que antecede o início da repetição, e o resultado da

operação de diferença de grafos (estrutura adicionada e estrutura excluída).

Estrutura adicionada Estrutura excluída

Figura 4.11. Resultados da operação de diferença de grafos.

Como o ciclo de repetição identificado inicia-se na primeira aplicação da

operação de diferença, entre os instantes t=1 e t=2, a operação ‘alvo’ não desenvolvida

neste trabalho receberia os parâmetros ilustrados na Figura 4.12 para a regra 184.

Figura 4.12. Ilustração da operação de obtenção do grafo limite para a regra 184.

A dificuldade na geração dessa operação foi encontrar uma lógica de associação

entre esses componentes, e obter o grafo limite. Se analisarmos o primeiro parâmetro da

operação representado pelo grafo t=1, verificamos a presença dos pontos A e B,

ilustrados na Figura 4.9, que são informações referentes a blocos de 0s e blocos de 1s,

presentes em todos os grafos da regra 184. De fato, os pontos A e B também aparecem

no grafo limite, com a diferença de que estão localizados em nós que nunca se

encontram (nós 2 e 5). Se afirmarmos que o segundo e o terceiro parâmetros indicam

OPERAÇÃO

57

que a cada passo temporal uma estrutura é inserida repetidamente do ponto A para o

ponto B, para o tempo tendendo a infinito, o ponto A passará a não possuir conexão

direta com o ponto B. Porém, faltou alguma informação ou associação que possibilitasse

afirmar o contrário, já que no grafo limite, o ponto B também não possui conexão com o

ponto A. Seguindo essa linha de raciocínio, e trabalhando com esses componentes é que

se tentou obter o algoritmo que gerasse o grafo limite.

58

Capítulo 5

Conclusão

5.1 Introdução

Como já citado, o presente trabalho é uma continuidade à pesquisa iniciada em

[Trafaniuc, 2004] e, dessa forma, foi utilizado o recurso de análise da complexidade de

grafos correspondente a configurações de autômatos celulares elementares. A utilização

desta abordagem permite efetuar visualmente associações da evolução dos autômatos

finitos relacionados a configurações celulares ao longo de um período, com

características presentes no comportamento dinâmico de regras elementares.

O objetivo desta pesquisa teve como foco a automatização de processos para

caracterização de regras de autômatos celulares elementares. Essa caracterização

compreendia desde dados como a expressão de crescimento, até o autômato finito

correspondente a configuração limite de autômato celular.

Todo o desenvolvimento foi conduzido com o software Mathematica versão 5.1,

[Wolfram, 2006], pela facilidade que apresenta na manipulação de grafos e autômatos

celulares. Em muitos experimentos foi utilizada a biblioteca Automata Package versão

5.0, desenvolvida por Klaus Sutner [2006].

O desenvolvimento principal foi dividido em dois módulos: módulo de geração e

armazenamento de dados e o módulo de análise de resultados. O primeiro módulo

utiliza as mesmas funções NetCAStep, TrimNet e MinNet [Wolfram, 2002], utilizadas

por [Trafaniuc, 2004]. Porém, além dos grafos para cada instante de tempo e das

estruturas comuns presentes em grafos de tempos consecutivos, foi desenvolvido neste

módulo uma operação de diferença entre grafos, conforme apresentado na Seção 4.1.2.

Através desta operação, foi possível observar de outra maneira o comportamento

dinâmico das regras, durante a geração de grafos referentes a tempos consecutivos e,

por conseqüência, a obtenção de alguns resultados que preencheram a tabela de

complexidade das linguagens regulares [Wolfram, 1994] que ainda estavam vagos em

[Trafaniuc, 2004] (ver Seção 5.2).

59

O segundo módulo, responsável pela análise de resultados, foi desenvolvido para

computar os dados coletados pelo primeiro módulo, e extrair informações do

crescimento do autômato finito que reconhece a configuração limite de um autômato

celular. Esse módulo foi parcialmente construído, dado que o algoritmo para obtenção

do autômato finito referente à configuração limite, não pôde ser concebido.

5.2 Detalhamento dos Resultados

As mesmas 26 regras elementares (11, 14, 23, 35, 43, 50, 56, 70, 81, 98, 113,

128, 132, 136, 140, 142, 162, 168, 172, 176, 184, 192, 196, 212, 224 e 232) que

apresentaram máximo subgrafo comum para passos de tempos consecutivos de

autômatos finitos, analisadas manualmente em [Trafaniuc, 2004], foram submetidas aos

módulos de geração e análise. A implementação da operação de diferença, já

mencionada, permitiu ao módulo extrair informações importantes ao crescimento dos

grafos. Pôde-se detectar, por exemplo, estruturas adicionais repetitivas ao crescimento,

o ciclo de aparição dessas estruturas e o instante em que o ciclo de repetição se inicia. O

resultado da análise de crescimento das 26 regras, com todas as informações obtidas

pelo módulo, pode ser verificado no Apêndice A.3.

Como resultado o módulo indicou que 23 regras apresentaram crescimento

linear na complexidade dos autômatos finitos, conforme detalhado a seguir:

1. Crescimento linear desde o primeiro instante de tempo

17 regras (23, 43, 113, 128, 132, 136, 140, 142, 162, 168, 176, 184, 192, 196,

212, 224 e 232) apresentaram crescimento linear na complexidade do autômato

finito, desde o primeiro instante de tempo. A Figura 5.1 ilustra a regra elementar

43.

REGRA ELEMENTAR 43

Grafo em Evolução


60

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

56

7

8

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

2

34

5

6

7

8 9

10

11

12

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2

345

6

7

8

9

1011 12

1314

15

16

1

2

3456

7

8

9

0

11

1213

14 15 161718

19

20

1

2

3456

7

8

9

0

1

1213

14 15 161718

19

20

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2

3456

7

8

9

0

11

1213

14 15 161718

19

20

1

23

4567

8

9

0

11

12

13141516

1718

19

20

1

23

456789

10

1

2

3

141516171819

202122

23

24

1

23

456789

10

1

2

3

141516171819

202122

23

24

1

2

3456

7

8

9

0

11

1213

14 15 161718

19

20

1

23

456789

10

1

2

3

141516171819

202122

23

24

123

45

6789

10

1

231415

1617181920

21222324

123

456789

1011123

451617181920212223

2425262728

123

456789

1011123

451617181920212223

2425262728

1

23

456789

10

1

2

3

141516171819

202122

23

24

123

456789

1011123

451617181920212223

2425262728

1234

5678910

1112

345161718

192021222324

25262728

1234

567891011

121314567181920212223242526

272829303132

1234

567891011

121314567181920212223242526

272829303132

123

456789

1011123

451617181920212223

2425262728

61

1234

567891011

121314567181920212223242526

272829303132

12345

67891011

121314

56718192021

22232425262728

29303132

1234567

891011121314151678920212223242526272829

30313233343536

12345

6789101112

13141567890212223242526272829

30313233343536

1234

567891011

121314567181920212223242526

272829303132

Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 4 (1+t) Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 8+6 t Início em t= 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 1 Inicio em t = 2

Figura 5.1. Resultados da regra elementar 43 com crescimento linear desde o primeiro

instante de tempo.

Observe que visualizando apenas as colunas grafo t, comum e grafo t+1,

exibidas em [Trafaniuc, 2004] fica difícil observar que a regra possui

crescimento linear. Através das colunas estrutura adicionada e excluída

implementadas neste trabalho, torna-se mais fácil essa percepção, uma vez

detectado que sempre a mesma estrutura é adicionada e excluída do grafo para

todos os instantes de tempo executado. Na análise automática executada pelo

módulo, a informação de repetição e crescimento linear pode ser confirmada

pelo item ‘Análise de Ciclo’ da Figura 5.1, onde a regra 43 apresenta uma única

estrutura repetitiva que se apresenta com ciclo=1 e início em t=2.

62

2. Crescimento linear após o primeiro instante de tempo

03 regras (56, 98 e 172) apresentaram crescimento linear na complexidade do

autômato finito, após o primeiro instante de tempo. A Figura 5.2 ilustra a regra

elementar 56.

REGRA ELEMENTAR 56

Grafo em Evolução


1

2

3

1

2

3 1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

1

2

3

4

1

2

3

4

12

3

4 5

6

12

3

4 5

6

1

2

3

4

12

3

4 5

6

1

2

3

4 5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

12

3

4 5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

78

9

10

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7 8

9

10

63

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

89 10

11

12

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

2345

6

7

8

9

10 11 12

13

14

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 2 t Início em t= 2- Expressao de Crescimento Aresta: 3 t Início em t= 2


1

2

3

12

3

4 5

Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 1 Inicio em t = 3

Figura 5.2. Resultados da regra elementar 56 com crescimento linear desde o segundo

instante de tempo.

Essas regras (que exibem crescimento linear após o primeiro instante de tempo)

apresentam maior dificuldade ainda para detecção do crescimento linear, sem

utilização dos grafos de diferença. A Figura 5.2 mostra que a regra elementar 56

possui crescimento linear de nós e arestas do segundo instante de tempo em

diante, e que, entre a iteração dos grafos de t=1 para t=2, a estrutura repetitiva 1

é apresentada uma única vez. Já a estrutura repetitiva 2, que se repete entre a

iteração t=2 para t=3 em diante, inclui a característica de linearidade no

crescimento.

64

3. Crescimento linear e estruturas repetitivas com ciclo duplo

2 regras (50 e 70), mesmo com estruturas adicionais repetitivas a cada dois

instantes de tempo (ciclo=2), apresentaram crescimento linear do número de nós

e arestas.

REGRA ELEMENTAR 50

Grafo em Evolução


1

2

3

1

2

3

12

3

4

56

7

12

3

4

56

7

1

2

3

12

3

4

56

7

1

2

3

45

6

7

1

23

4

5

67

8

9

1

23

4

5

67

8

9

12

3

4

56

7

1

23

4

5

67

8

9

12

3

4

5

6 7

8

9

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

1

23

4

5

67

8

9

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

1

23

4

5

6

7 89

10

11

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

65

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

1

234

5

6

7

89 10

11

12

13

1

234

5

6

7

8

9

1011 12

13

14

15

1

234

5

6

7

8

9

1011 12

13

14

15

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

1

234

5

6

7

8

9

1011 12

13

14

15

1

23

45

6

7

8

9

10 1112

13

14

15

1

23

456

7

8

9

10

1112 13

1415

16

17

1

23

456

7

8

9

10

1112 13

1415

16

17

1

234

5

6

7

8

9

1011 12

13

14

15

1

23

456

7

8

9

10

1112 13

1415

16

17

1

2

3456

7

8

9

1011 12 13

14

15

16

17

1

23

4567

8

9

0

11

1213 14 15

16

17

18

19

1

23

4567

8

9

0

11

1213 14 15

16

17

18

19

1

23

456

7

8

9

10

1112 13

1415

16

17

Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 3+2 t Início em t= 2- Expressao de Crescimento Aresta: 3 (2+t) Início em t=2


12

3

4

56

7

1

23

4

5

67

1

23

4

5

6

Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 2 Inicio em t = 3- Estrutura 3 => Ciclo: 2 Inicio em t = 4

Figura 5.3. Resultados da regra elementar 50 com ciclo=2 e crescimento linear .

Essas duas regras apresentam crescimento linear porque, coincidentemente, as

duas estruturas repetitivas que se intercalam na evolução, adicionam o mesmo

número de nós e arestas em cada instante de tempo.

66

Figura 5.4. Estrutura adicionada e excluída da regra 50 com crescimento linear.

Observe pela Figura 5.4 que o número de arestas da estrutura líquida adicionadas

ao grafo no próximo instante de tempo é o mesmo.

4. Crescimento linear e estruturas repetitivas com ciclo zero

A regra 81 mesmo não apresentando estrutura adicional repetitiva (ciclo=0),

apresentou crescimento linear do número de nós e arestas após o instante t=3

(ver Figura 5.5).

REGRA ELEMENTAR 81

Grafo em Evolução


1

2

3

1

2

3

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

Estrutura adicionada Estrutura excluída

Estrutura adicionadacom 6 arestas eexcluída com 3, entãoa estrutura liquida tem3 arestas

Estrutura adicionadacom 5 arestas eexcluída com 2, entãoa estrutura liquida tem3 arestas

67

1

2

3

4

5

12

3 4

5

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

7

8

12

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

67

8

9

10

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

123

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

2

34

5

6

7

89 10 11

12

13

14

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

234

5

6

7

8

9

1011

1213

14

15

16

1

2

345

6

7

8

9

10

1112

13 141516

17

18

1

2

345

6

7

8

9

0

1112

13 1415

16

17

18

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16


68

Estrutura Repetitiva1

23

4

12

3

456

7

1

2

34

5

1

234 5

12

3456

1

2345 6

1

34567

Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 0 Inicio em t = 3- Estrutura 3 => Ciclo: 0 Inicio em t = 4- Estrutura 4 => Ciclo: 0 Inicio em t = 5- Estrutura 5 => Ciclo: 0 Inicio em t = 6- Estrutura 6 => Ciclo: 0 Inicio em t = 7- Estrutura 7 => Ciclo: 0 Inicio em t = 8

Figura 5.5. Resultados da regra elementar 81 sem estrutura repetitiva mas com

crescimento linear.

A regra 81 apresenta um comportamento bastante interessante. Observe-se pelas

colunas estrutura adicionada e excluída na Figura 5.5 que, para os dois primeiros

instantes de tempo, os pares correspondentes de estrutura adicionada e retirada

aparecem uma única vez. Depois disso, a estrutura líquida adicionada apresenta

mesmo número de nós e arestas, seguindo a mesma explicação de crescimento

linear da Figura 5.4. Uma segunda observação é que analisando visualmente as

colunas estrutura adicionada e estrutura excluída, pode-se observar um

crescimento linear dessas estruturas ao longo do tempo.

Além dessas regras com crescimento linear, o módulo detectou 03 regras (11, 14

e 35) que não apresentaram crescimento linear do número de nós e arestas, porém

apresentaram estruturas adicionais repetitivas com ciclo duplo. O número de arestas que

varia de acordo com o instante de tempo (par e ímpar) é que impede a linearidade no

crescimento. Essa percepção também só foi possível com a análise de ciclo e estruturas

repetitivas incluídas neste trabalho (ver Figura 5.6).

REGRA ELEMENTAR 11

Grafo em Evolução


69

1

2

3

1

2

3 12

3

4 5

6

12

3

4 5

6

1

2

3

12

3

4 5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

12

3

4 5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5 6

7

8

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

78 9

10

11

12

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

2345

6

7

8

9

10 11

12

13

14

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

70

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2

34

5

6

7

8

910

11 1213

14

15

16

1

2

345

6

7

8

9

10

1112

13 141516

17

18

1

2

345

6

7

8

9

0

1112

13 1415

16

17

18

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Não- Expressao de Crescimento Nó: 2 (1+t) Início em t= 2- Expressao de Crescimento Aresta: --- - -


12

3 4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4


Figura 5.6. Resultados da regra elementar 11 crescimento linear para tempo par e ímpar.

Observe que essas regras mesmo assemelhando-se a regra 50 da Figura 5.3, por

apresentarem ciclo duplo na iteração de tempo t=2 para t=3 em diante, não possui

crescimento linear. Essas três regras não apresentam o crescimento linear porque as

duas estruturas repetitivas que se intercalam na evolução, não apresentam o mesmo

número de arestas. Porém, como essas estruturas são repetitivas e intercalam, através de

observações de grafos dessas regras, pôde-se extrair expressões de crescimento para

tempo par e ímpar.

Para todas as 26 regras analisadas, obteve-se uma expressão de crescimento do

número de nós e arestas do grafo em função do tempo. Dessas 26, as expressões de 06

regras (11, 14, 35, 50, 70 e 81), não haviam sido preenchidas na tabela de complexidade

das linguagens regulares nem em [Wolfram, 1994] nem em [Trafaniuc, 2004].

A Tabela 5.1 abaixo, ilustra as expressões de crescimento do número de nós e

arestas obtidas neste trabalho:

71

Numero de Nós Número de ArestaRegra

Expressão Observação Expressão Observação

9 + 5(t/2 -1) t �2 (Par)11 2 (1+t) t �2

12+ 5/2(t-3) t �2 (Ímpar)

10 + 5(t/2 -1) t �2 (Par)14 2 (1+t) t � 2

12+ 5/2(t-3) t �2 (Ímpar)

6 + 3(t/2 -1) t �2 (Par) 10 + 4(t/2 -1) t �2 (Par)35

7+3/2(t-3) t �2 (Ímpar) 11+ 2(t-3) t �2 (Ímpar)

50 3+2 t t �2 3 (2+t) t �2

70 6+t t �3 12+t t �2

81 2 (1+t) t �3 4+3 t t �3

Tabela 5.1. Expressões de crescimento da tabela de complexidade [Wolfram, 1994] que

permaneciam vazia

5.3 Comentários finais

Nesta pesquisa detectou-se que a função MinNet [Wolfram, 2002, página 957]

está com o descritivo errado no livro. Através de experimentos efetuados comprovaram

que a função retorna o último estado como inicial, e não o primeiro como mencionado.

Essa desvio de informação nos levou em muitos momentos desta pesquisa a trabalhar

com alguns conceitos errados, principalmente com relação a que cada função(MinNet,

TrimNet e SetCAStep) utilizadas no processo iterativo efetua de fato. Relacionado a

esta mesma função, e talvez relacionado a esse erro de descrição, Trafaniuc [2004]

referencia em alguns pontos de sua pesquisa, de forma errada, à máquina gerada por

esta função como semi-autômato, ao invés de autômato finito determinístico.

As diferenças encontradas entre as tabelas de complexidade em linguagem

regular de [Wolfram, 1994] e [Trafaniuc, 2002], foram investigadas e podem ser

atribuídas a um possível erro existente no código anterior utilizado por Wolfram para

construção da tabela [1994] e corrigido em [2002]. A comparação de grafos da regra

108 exibidos pelo próprio Wolfram [2002] e constatação da condição de igualdade com

dados da tabela de [Trafaniuc, 2002], é que nos induz a acreditar nessa hipótese.

72

Todos os resultado da análise automática desenvolvida nesta pesquisa gerou

informações novas e importantes na análise de crescimento da complexidade de

autômatos finitos, porém, a informação relativa ao comportamento limite da regra

permanece em aberto. Neste trabalho, a manipulação de grafos foi o recurso mais

utilizado e focado na tentativa de obter o autômato finito determinístico que

representasse o comportamento limite de uma regra elementar. Em algumas situações,

tentou-se utilizar expressões regulares utilizando a biblioteca Automata Package para

conversão de máquinas em expressões. Porém, essas conversões normalmente

resultavam em expressões regulares extremamente grandes e complexas, que

impossibilitavam a associação ou desenvolvimento de algum raciocínio lógico. Outro

ponto a ser destacado, é que mesmo encontrando alguns componentes importantes na

caracterização do comportamento limite, conforme apresentado na Seção 4.2.3, intui-se

que ainda falta alguma informação adicional que permitirá finalizar a operação de

obtenção do comportamento limite, para uma regra elementar.

73

Apêndice

A.1. Tabela de complexidade das linguagens regulares

[Wolfram, 1994].

75

Tabela A.1. Complexidade das linguagens regulares [Wolfram, 1994].

76

Resultados diferentes entre as duas tabelasNovos ResultadosRegras Equivalentes já apresentadas

* - regras válidas a partir do segundo passo de tempo

Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições Estados Transições

0 nula 1 1 - - - - - - - - 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - 1 1 1 1 255

1 ciclo-duplo 4 6 - - - - - - - - 4 6 4 6 4 6 - - - - - - - - 4 6 4 6 127

2 ponto-fixo 3 4 - - - - - - - - 3 4 3 4 3 4 - - - - - - - - 3 4 3 4 16,191,247

3 ciclo-duplo 3 5 - - - - - - - - 3 5 3 5 3 5 - - - - - - - - 3 5 3 5 17,63,119

4 ponto-fixo 2 3 - - - - - - - - 2 3 2 3 2 3 - - - - - - - - 2 3 2 3 223

5 ciclo-duplo 9 15 - - - - - - - - 9 15 9 15 9 15 - - - - - - - - 9 15 9 15 95

6 ciclo-duplo 9 16 13 22 22 37 26 44 31 52 10 17 21 37 28 49 33 57 43 75 20,159,215

7 ciclo-duplo 4 7 7 12 12 21 14 24 16 27 4 7 8 14 11 19 13 22 15 25 21,31,87

8 nula 3 4 1 1 - - - - - - 1 1 1 1 3 4 1 1 - - - - - - 1 1 1 1 64,239,253

9 ciclo-duplo 9 16 22 40 44 80 106 198 266 500 9 15 20 35 36 63 67 115 213 387 65,111,125

10 ponto-fixo 4 6 - - - - - - - - 4 6 4 6 4 6 - - - - - - - - 4 6 4 6 80,175,245

11 ciclo-duplo 3 5 7 12 10 17 12 20 14 23 3 5 6 9 8 12 10 14 12 17 47,81,117

12 ponto-fixo 2 3 - - - - - - - - 2 3 2 3 2 3 - - - - - - - - 2 3 2 3 68,207,221

13 ponto-fixo 6 11 10 17 12 19 14 21 16 23 5 8 9 15 11 17 13 21 15 23 69,79,93

14 ciclo-duplo 3 5 7 12 10 17 12 20 14 23 3 5 6 10 8 12 10 15 12 17 84,143,213

15 ciclo-duplo 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 85

16 ponto-fixo 3 4 - - - - - - - - 3 4 3 4 3 4 - - - - - - - - 3 4 3 4 2,191,247

17 ciclo-duplo 3 5 - - - - - - - - 3 5 3 5 3 5 - - - - - - - - 3 5 3 5 3,63,119

18 caótica 5 9 47 91 143 270 5 9 47 91 143 270 183

19 ciclo-duplo 3 5 5 8 - - - - - - 5 8 5 8 3 5 4 6 - - - - - - 5 8 5 8 55

20 ciclo-duplo 10 17 21 37 32 57 37 65 50 89 9 16 13 22 22 37 26 44 31 52 6,159,215

21 ciclo-duplo 4 7 9 16 12 21 14 24 16 27 4 7 7 12 11 19 13 22 15 25 7,31,87

22 caótica 15 29 280 551 4506 8963 15 29 274 539 151

23 ciclo-duplo 11 20 15 26 19 32 23 38 27 44 10 18 14 24 18 30 22 36 26 42 -

24 ponto-fixo 2 3 3 4 - - - - - - 3 4 3 4 2 3 3 4 - - - - - - 3 4 3 4 66,189,231

25 ciclo-duplo 6 11 26 50 55 106 114 220 333 649 5 9 16 30 35 66 82 154 169 318 61,67,103

26 periódica 13 25 92 179 2238 4454 82,167,181

27 ciclo-duplo 10 18 14 25 18 32 21 37 24 42 9 16 14 23 16 26 20 31 22 34 39,53,83

28 ciclo-duplo 3 5 8 14 10 17 11 18 12 19 3 5 7 12 8 13 10 17 - - 10 17 10 17 70,157,199

29 ciclo-duplo 4 7 - - - - - - - - 4 7 4 7 4 7 - - - - - - - - 4 7 4 7 71

30 caótica 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 86,135,149

32 nula 2 3 5 7 7 9 9 11 11 13 2t+1 2t+3 4 6 2 3 5 7 7 9 9 11 11 13 (2t+1) (2t+3) 4 6 251

33 ciclo-duplo 5 9 11 20 26 47 40 68 41 68 5 9 11 20 21 37 35 58 36 58 123

34 ponto-fixo 2 3 - - - - - - - - 2 3 2 3 2 3 - - - - - - - - 2 3 2 3 48,187,243

35 ciclo-duplo 4 7 7 13 9 16 10 18 12 21 4 7 6 10 7 11 9 14 10 15 49,59,115

36 ponto-fixo 3 5 3 4 - - - - - - 3 4 3 4 3 5 3 4 - - - - - - 3 4 3 4 219

37 ciclo-duplo 15 29 15 29 91

38 ciclo-duplo 5 9 5 8 - - - - - - 5 8 5 8 5 9 5 8 - - - - - - 5 8 5 8 52,155,211

40 nula 10 17 12 19 15 22 18 25 21 28 9 16 11 17 14 20 17 23 20 26 96,235,249

41 periódica 14 27 128 250 1049 2069 14 27 94 185 97,107,121

42 ponto-fixo 3 5 - - - - - - - - 3 5 3 5 3 5 - - - - - - - - 3 5 3 5 112,171,241

43 ciclo-duplo 9 16 13 22 17 28 21 34 25 40 8 14 12 20 16 26 20 32 24 38 (4t+4) (6t+8) 113

44 ponto-fixo 4 7 11 20 18 32 23 40 27 46 5 9 11 19 15 25 16 25 20 30 100,203,217

45 caótica 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 75,89,101

46 ponto-fixo 3 5 5 8 - - - - - - 5 8 5 8 3 5 116,139,209

Regras

EquivalentesREGRA CLASSE

Tabela Wolfram 1986 Nova Tabela Utilizando as funções do NKSt=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t>5 Infinito t=1 t=2 Infinitot=3 t=4 t=5 t>5

A.2. Tabela de complexidade das linguagens regulares [Trafaniuc, 2004].

77




48 ponto-fixo 2 3 - - - - - - - - 2 3 2 3 2 3 - - - - - - - - 2 3 2 3 34,187,243

49 ciclo-duplo 4 7 6 10 7 11 9 14 10 15 4 7 6 11 8 14 9 16 11 19 35,59,115

50 ciclo-duplo 3 5 8 14 10 17 12 20 14 23 3 5 7 12 9 15 11 18 13 21 179

51 ciclo-duplo 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 -

52 ciclo-duplo 4 7 5 9 - - - - - - 5 9 5 9 5 9 5 8 - - - - - - 5 8 5 8 38,155,211

53 ciclo-duplo 10 18 15 25 17 28 21 33 23 36 8 14 11 19 14 24 17 29 20 34 27,39,83

54 complexa 9 16 17 32 94 179 675 1316 8 14 16 30 93 177 147

56 ponto-fixo 3 5 5 9 7 12 9 15 11 18 3 5 4 6 6 9 8 12 10 15 (2t)* (3t)* 98,185,227

57 ponto-fixo 11 20 15 27 15 26 24 42 32 55 10 18 14 25 13 22 21 36 28 47 99

58 ponto-fixo 10 18 20 35 33 55 55 88 76 122 8 14 16 27 29 48 44 70 63 97 114,163,177

60 caótica 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 102,153,195

61 ciclo-duplo 5 9 16 30 10 76 94 177 185 350 6 11 26 50 53 102 112 216 327 637 25,67,103

62 periódica 5 9 21 39 61 114 81 150 129 240 5 9 14 25 41 76 70 131 79 143 118,131,145

64 nula 3 4 1 1 - - - - - - 1 1 1 1 3 4 1 1 - - - - - - 1 1 1 1 8,239,253

65 ciclo-duplo 9 15 20 35 42 75 88 157 220 401 9 16 22 40 42 76 104 194 261 490 9,239,253

66 ponto-fixo 2 3 3 4 - - - - - - 3 4 3 4 2 3 3 4 - - - - - - 3 4 3 4 24,189,231

68 ponto-fixo 2 3 - - - - - - - - 2 3 2 3 2 3 - - - - - - - - 2 3 2 3 12,207,221

69 ponto-fixo 5 8 10 17 12 19 14 23 16 25 5 9 9 15 11 17 13 19 15 21 13,79,93

70 ciclo-duplo 3 5 8 14 9 15 11 19 11 19 3 5 7 12 9 15 10 16 11 17 28,157,199

72 ponto-fixo 5 9 5 8 - - - - - - 5 8 5 8 5 9 3 4 - - - - - - 3 4 3 4 237

73 caótica 15 29 82 155 390 757 1443 2796 15 29 75 141 109

74 ciclo-duplo 13 25 45 85 66 123 69 125 75 135 13 25 88,173,229

76 ponto-fixo 3 5 - - - - - - - - 3 5 3 5 3 5 - - - - - - - - 3 5 3 5 205

77 ponto-fixo 11 20 15 26 19 32 23 38 27 44 10 18 14 24 18 30 22 36 26 42 -

78 ponto-fixo 10 18 15 27 18 30 20 34 22 36 9 16 13 21 17 27 17 25 21 31 92,141,197

80 ponto-fixo 4 6 - - - - - - - - 4 6 4 6 4 6 - - - - - - - - 4 6 4 6 10,175,245

81 ciclo-duplo 3 5 7 11 9 14 11 16 13 19 3 5 5 8 8 13 10 16 12 19 11,47,117

82 periódica 13 25 167 331 3134 6257 13 25 92 179 26,167,181

84 ciclo-duplo 3 5 7 12 9 14 11 17 13 19 3 5 5 8 8 13 10 16 12 19 14,143,213

85 ciclo-duplo 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 15

86 caótica 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 30,135,149

88 ciclo-duplo 13 25 63 117 114 210 117 213 1288 2106 13 25 42 79 62 115 65 117 71 127 74,173,229

89 caótica 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 45,75,101

90 caótica 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 165

92 ponto-fixo 10 18 14 23 18 29 18 27 22 33 8 14 12 21 15 24 17 28 19 30 78,141,197

94 periódica 15 29 230 455 3904 7760 15 29 230 455 133

96 nula 9 16 11 17 14 20 17 23 20 26 10 16 12 19 15 22 18 25 21 28 40,235,249

97 periódica 14 27 99 195 626 1237 14 27 128 250 41,107,121

98 ponto-fixo 3 5 4 6 6 9 8 12 10 15 3 5 4 7 6 10 8 13 10 16 (2t)* (3t+1)* 56,185,227

100 ponto-fixo 5 9 11 19 17 29 18 29 22 34 4 7 7 12 14 24 18 30 22 36 44,203,217

102 caótica 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 60,153,195

104 ponto-fixo 15 29 265 525 2340 4647 1394 2675 1542 2913 15 29 265 525 233

105 caótica 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 -

106 caótica 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 120,169,225

108 ciclo-duplo 9 16 11 19 - - - - - - 11 19 11 19 8 14 8 13 - - - - - - 8 13 8 13 201

Regras


Tabela Wolfram 1986 Nova Tabela Utilizando as funções do NKSt=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t>5 Infinito t=1 t=2 Infinitot=3 t=4 t=5 t>5

78




110 complexa 5 9 20 38 160 312 1035 2037 5 9 20 38 124,137,193

112 ponto-fixo 3 5 - - - - - - - - 3 5 3 5 3 5 - - - - - - - - 3 5 3 5 42,171,241

113 ciclo-duplo 9 16 13 22 17 28 21 34 25 40 8 14 12 20 16 26 20 32 24 38 (4t+4) (6t+8) 43

114 ponto-fixo 10 18 20 35 33 56 50 82 72 115 9 16 19 33 32 53 54 86 75 120 58,163,177

116 ponto-fixo 3 5 5 8 - - - - - - 5 8 5 8 3 5 3 4 - - - - - - 3 4 3 4 46,139,209

118 periódica 5 9 16 29 49 92 74 139 95 175 5 9 19 35 59 110 79 146 122 226 62,131,145

120 caótica 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 106,169,225

122 caótica 15 29 179 347 5088 9933 15 29 161

124 complexa 5 9 20 38 208 407 1356 2672 5 9 20 38 110,137,193

126 caótica 3 5 13 23 107 198 2867 5476 3 5 13 23 106 196 129

128 nula 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 (2t+2) (2t+4) 3 5 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 (2t+2) (2t+4) 3 5 254

130 ponto-fixo 9 15 14 21 18 25 22 29 26 33 9 16 13 22 17 28 21 34 25 40 144,190,246

132 ponto-fixo 5 9 7 12 9 15 11 18 13 21 5 9 7 12 9 15 11 18 13 21 (2t+3) (3t+6) 222

134 ciclo-duplo 14 27 44 82 99 182 125 224 14 27 64 119 109 201 178 327 182 324 148,158,214

136 nula 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 (t+2) (t+4) 3 5 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 (t+2) (t+4) 3 5 192,238,252

138 ponto-fixo 3 5 - - - - - - - - 3 5 3 5 3 5 - - - - - - - - 3 5 3 5 174,208,244

140 ponto-fixo 4 7 5 9 6 11 7 13 8 15 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11 (t+3) (t+6) 196,206,220

142 ciclo-duplo 9 16 13 22 17 28 21 34 25 40 8 14 12 20 16 26 20 32 24 38 (4t+4) (6t+8) 212

144 ponto-fixo 9 16 16 28 20 34 24 40 28 46 9 15 14 21 18 25 22 29 26 33 130,190,246

146 caótica 15 29 92 177 1587 3126 15 29 92 177 182

148 ciclo-duplo 14 27 68 127 113 209 188 347 14 27 44 82 99 182 125 224 159 282 134,158,214

150 caótica 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 -

152 ponto-fixo 6 11 20 37 30 55 32 59 36 65 5 9 14 25 21 36 25 43 33 56 188,194,230

154 periódica 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 166,180,210

156 ciclo-duplo 11 20 20 35 24 42 28 47 34 58 10 18 19 33 23 40 27 45 33 56 198

160 nula 9 15 16 24 25 35 36 48 49 63 (t+2)^2 (t+2)(t+4) 9 15 9 15 16 24 25 35 36 48 49 63 (t+2)^2 (t+2)(t+4) 9 15 250

162 ponto-fixo 5 8 7 10 9 12 11 14 13 16 5 8 7 10 9 12 11 14 13 16 (2t+3) (3t+6) 176,186,242

164 ponto-fixo 15 29 116 227 667 1310 1214 2363 15 29 116 227 667 1310 1214 2363 218

168 nula 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11 t+3 t+6 3 5 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11 (t+3) (t+6) 3 5 224,234,248

170 ponto-fixo 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 240

172 ponto-fixo 10 18 11 20 12 22 13 24 14 26 8 14 11 19 12 20 13 21 14 22 (t+9)* (t+17)* 202,216,228

176 ponto-fixo 6 11 8 14 10 17 12 20 14 23 5 8 7 10 9 12 11 14 13 16 (2t+3) (2t+6) 162,186,242

178 ciclo-duplo 11 20 15 26 19 32 23 38 27 44 10 18 14 24 18 30 22 36 26 42 -

180 periódica 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 154,166,210

184 ponto-fixo 4 7 6 10 8 13 10 16 12 19 4 7 6 10 8 13 10 16 12 19 (2t+2) (3t+4) 226

188 ponto-fixo 5 9 14 25 21 36 25 43 33 55 6 11 20 37 30 55 29 53 33 59 152,194,230

192 nula 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 (t+2) (t+4) 136,238,252

196 ponto-fixo 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11 (t+3) (2t+5) 140,206,220

200 ponto-fixo 3 5 - - - - - - - - 3 5 3 5 3 5 - - - - - - - - 3 5 3 5 236

204 ponto-fixo 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 -

208 ponto-fixo 3 5 - - - - - - - - 3 5 3 5 3 5 - - - - - - - - 3 5 3 5 138,174,244

212 ciclo-duplo 9 16 13 22 17 28 21 34 25 40 8 14 12 20 16 26 20 32 24 38 (4t+4) (6t+8) 142

216 ponto-fixo 10 18 11 19 12 20 13 21 14 22 9 16 10 18 11 20 12 22 13 24 172,202,228

224 nula 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11 t+3 t+6 3 5 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11 (t+3) (t+6) 3 5 168,234,248

232 ponto-fixo 11 20 15 26 19 32 23 38 27 44 10 18 14 24 18 30 22 36 26 42 (4t+6) (6t+12) -

240 ponto-fixo 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - - 1 2 1 2 170

t=3 t=4 t=5 t>5 Infinitot>5 Infinito t=1 t=2Regras


Complexidade das linguagens regulares[Wolfram 1994] Funções NetCAStep, TrimNet e MinNett=1 t=2 t=3 t=4 t=5

Tabela A.2. Tabela que demonstra a complexidade das linguagens regulares, retirada do trabalho de pesquisa [Trafaniuc, 2004].

79

A.3. Resultado da análise automática de crescimento

Segue abaixo, a exibição da análise de resultado automática emitida pelo módulo deanálise, para as 26 regras, com 8 iterações.

* * * * * MODULO DE ANALISE * * * * *

REGRA ELEMENTAR 11

Grafo em Evolução


1

2

3

1

2

3 12

3

4 5

6

12

3

4 5

6

1

2

3

12

3

4 5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

12

3

4 5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5 6

7

8

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7 8

9

10

80

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

78 9

10

11

12

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

2345

6

7

8

9

10 11

12

13

14

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2

34

5

6

7

8

910

11 1213

14

15

16

1

2

345

6

7

8

9

10

1112

13 141516

17

18

1

2

345

6

7

8

9

0

1112

13 1415

16

17

18

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16



12

3 4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4


REGRA ELEMENTAR 14

Grafo em Evolução


81

1

2

3

1

2

3

12

3

4 5

6

12

3

4 5

6

1

2

3

12

3

4 5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

12

3

4 5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

67

8

9

10

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

2345

6

7

8

9 10 11

12

13

14

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

82

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2

34

5

6

7

8

9

1011

12 13

14

15

16

1

2

345

6

7

8

9

10

1112

13 141516

17

18

1

2

345

6

7

8

9

0

1112

13 1415

16

17

18

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16



12

3

4 5

6

1

2

3

4

1

2

3

4

5


REGRA ELEMENTAR 23

Grafo em Evolução


1

23

4

5

6

7 8

9

10

12

3

4

5

67

8

9

10

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

23

4

5

6

7

8910

1112

13

14

1

2

345

6

7

8

9

10

1112

13 141516

17

18

1

2

345

6

7

8

9

0

1112

13 1415

16

17

18

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

83

1

2

345

6

7

8

9

10

1112

13 1415

16

17

18

1

2

345

6

7

8

9

10

11121314

1516

17

18

1

2

34567

8

9

0

1

2

13141516 1718

1920

21

22

1

2

34567

8

9

0

1

2

13141516 1718

1920

21

22

1

2

345

6

7

8

9

10

1112

13 1415

16

17

18

1

2

34567

8

9

10

1

12

13141516 1718

1920

21

22

1

23

4567

89

0

1

2

13

1415161718

1920

21

22

1

23

45678

91011

2

3

4

15161718192021

222324

25

26

1

23

45678

910

11

2

3

4

15161718192021

222324

25

26

1

2

34567

8

9

10

1

12

131415161718

1920

21

22

1

23

45678

910

11

2

3

4

15161718192021

222324

25

26123

456789

10112341516

171819202122

23242526

1234

5678910

1112134561718192021222324

252627282930

123

456

789101112134561718192021222324

252627282930

1

23

45678

910

11

2

3

4

15161718192021

222324

25

26

123

456

789101112134561718192021222324

252627282930

1234

567891011

1213456171819

20212223242526

27282930

123456

789101112131415678192021222324252627

28293031323334

123456

789101112131415678192021222324252627

28293031323334

123

456

7891011

12134561718192021222324

252627282930

123456

789101112131415678192021222324252627

28293031323334

123456

78910111213

141567819202122

2324252627282930

31323334

123456

78910111213141516178902122232425262728293031

32333435363738

123456

789101112131415167890122232425262728293031

32333435363738

1234

56789101112

131415678192021222324252627

28293031323334

Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 6+4 t Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 6 (2+t) Início emt= 1


84

1

2

34

5

6

7

8

9

10

11

12


REGRA ELEMENTAR 35

Grafo em Evolução


1

2

3

4

1

2 3

4

12

3

4 5

6

12

3

4 5

6

1

2

3

4

12

3

4 5

6

12

3

45

6

12

3

4

56

7

12

3

4

56

7

12

3

4 5

6

12

3

4

56

7

1

2

3

4

5

6

7

1

23

4

5

67

8

9

1

23

4

5

67

8

9

12

3

4

56

7

85

1

23

4

5

67

8

9

1

23

4

5

6 7

8

9

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

67

8

9

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

8 910

11

12

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

1

234

5

6

7

8

910

11

12

13

1

234

5

6

7

8

9

1011 12

13

14

15

1

234

5

6

7

8

9

1011 12

13

14

15

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Não- Expressao de Crescimento Nó: --- - -- Expressao de Crescimento Aresta: --- - -


12

3

4

1

2

3

12

3

45


REGRA ELEMENTAR 43

86

Grafo em Evolução


1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

56

7

8

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

2

34

5

6

7

8 9

10

11

12

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2

345

6

7

8

9

1011 12

1314

15

16

1

2

3456

7

8

9

0

11

1213

14 15 161718

19

20

1

2

3456

7

8

9

0

1

1213

14 15 161718

19

20

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2

3456

7

8

9

0

11

1213

14 15 161718

19

20

1

23

4567

8

9

0

11

12

13141516

1718

19

20

1

23

456789

10

1

2

3

141516171819

202122

23

24

1

23

456789

10

1

2

3

141516171819

202122

23

24

1

2

3456

7

8

9

0

11

1213

14 15 161718

19

20

1

23

456789

10

1

2

3

141516171819

202122

23

24

123

45

6789

10

1

231415

1617181920

21222324

123

456789

1011123

451617181920212223

2425262728

123

456789

1011123

451617181920212223

2425262728

1

23

456789

10

1

2

3

141516171819

202122

23

24

123

456789

1011123

451617181920212223

2425262728

1234

5678910

1112

345161718

192021222324

25262728

1234

567891011

121314567181920212223242526

272829303132

1234

567891011

121314567181920212223242526

272829303132

123

456789

1011123

451617181920212223

2425262728

87

1234

567891011

121314567181920212223242526

272829303132

12345

67891011

121314

56718192021

22232425262728

29303132

1234567

891011121314151678920212223242526272829

30313233343536

12345

6789101112

13141567890212223242526272829

30313233343536

1234

567891011

121314567181920212223242526

272829303132

Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 4 (1+t) Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 8+6 t Início em t=1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


REGRA ELEMENTAR 50

Grafo em Evolução


1

2

3

1

2

3

12

3

4

56

7

12

3

4

56

7

1

2

3

88

12

3

4

56

7

1

2

3

45

6

7

1

23

4

5

67

8

9

1

23

4

5

67

8

9

12

3

4

56

7

1

23

4

5

67

8

9

12

3

4

5

6 7

8

9

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

1

23

4

5

67

8

9

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

1

23

4

5

6

7 89

10

11

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

1

234

5

6

7

89 10

11

12

13

1

234

5

6

7

8

9

1011 12

13

14

15

1

234

5

6

7

8

9

1011 12

13

14

15

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

1

234

5

6

7

8

9

1011 12

13

14

15

1

23

45

6

7

8

9

10 1112

13

14

15

1

23

456

7

8

9

10

1112 13

1415

16

17

1

23

456

7

8

9

10

1112 13

1415

16

17

1

234

5

6

7

8

9

1011 12

13

14

15

1

23

456

7

8

9

10

1112 13

1415

16

17

1

2

3456

7

8

9

1011 12 13

14

15

16

17

1

23

4567

8

9

0

11

1213 14 15

16

17

18

19

1

23

4567

8

9

0

11

1213 14 15

16

17

18

19

1

23

456

7

8

9

10

1112 13

1415

16

17

Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 3+2 t Início em t= 2- Expressao de Crescimento Aresta: 3 (2+t) Início em

89

t= 2


12

3

4

56

7

1

23

4

5

67

1

23

4

5

6


REGRA ELEMENTAR 56

Grafo em Evolução

GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC.ESTR.EXCLUÍDA

1

2

3

1

2

3 1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

1

2

3

4

1

2

3

4

12

3

4 5

6

12

3

4 5

6

1

2

3

4

12

3

4 5

6

1

2

3

4 5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

12

3

4 5

6

90

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

78

9

10

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

89 10

11

12

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

2345

6

7

8

9

10 11 12

13

14

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 2 t Início em t= 2- Expressao de Crescimento Aresta: 3 t Início em t= 2


1

2

3

12

3

4 5


91

REGRA ELEMENTAR 70

Grafo em Evolução

GRAFO T COMUM GRAFO T+1 ESTR.ADIC.ESTR.EXCLUÍDA

1

2

3

1

2

3

12

3

4

56

7

12

3

4

56

7

1

2

3

12

3

4

56

7

1

2

3

45

6

7

1

23

4

5

67

8

9

1

23

4

5

67

8

9

12

3

4

56

7

1

23

4

5

67

8

9

12

3

4

5

6 7

8

9

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

67

8

9

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

12

3

4

5

6

78

9

10

11

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

92

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

8 910

11

12

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

123

4

5

6

7

89 10

11

12

13

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 6+t Início em t= 3- Expressao de Crescimento Aresta: 12+t Início em t= 3


12

3

4

56

7

1

2

3

45

6

1

2

3

1

2

3

4

Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 0 Inicio em t = 3- Estrutura 3 => Ciclo: 2 Inicio em t = 4- Estrutura 4 => Ciclo: 2 Inicio em t = 5

REGRA ELEMENTAR 81

Grafo em Evolução


1

2

3

1

2

3

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

93

1

2

3

4

5

12

3 4

5

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

7

8

12

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

67

8

9

10

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

123

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

2

34

5

6

7

89 10 11

12

13

14

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

234

5

6

7

8

9

1011

1213

14

15

16

1

2

345

6

7

8

9

10

1112

13 141516

17

18

1

2

345

6

7

8

9

0

1112

13 1415

16

17

18

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16


94

Estrutura Repetitiva1

23

4

12

3

456

7

1

2

34

5

1

234 5

12

3456

1

2345 6

1

34567

Análise do Ciclo das Estruturas Repetitivas- Estrutura 1 => Ciclo: 0 Inicio em t = 2- Estrutura 2 => Ciclo: 0 Inicio em t = 3- Estrutura 3 => Ciclo: 0 Inicio em t = 4- Estrutura 4 => Ciclo: 0 Inicio em t = 5- Estrutura 5 => Ciclo: 0 Inicio em t = 6- Estrutura 6 => Ciclo: 0 Inicio em t = 7- Estrutura 7 => Ciclo: 0 Inicio em t = 8

REGRA ELEMENTAR 98

Grafo em Evolução


1

2

3

1

2

3

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

1

2

3

4

1

2

3

4

12

3

4 5

6

12

3

4 5

6

1

2

3

4

12

3

4 5

6

12

3

4 5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

12

3

4 5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

95

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

78

9

10

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

89 10

11

12

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

2345

6

7

8

9

10 11 12

13

14

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 2 t Início em t= 2- Expressao de Crescimento Aresta: 1+3 t Início em t=2


1

2 3

12

3

4

1

2

3

4

5


REGRA ELEMENTAR 113

Grafo em Evolução


96

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

56

7

8

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

2

34

5

6

7

8 9

10

11

12

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2

345

6

7

8

9

1011 12

1314

15

16

1

2

3456

7

8

9

0

11

1213

14 15 161718

19

20

1

2

3456

7

8

9

0

1

1213

14 15 161718

19

20

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2

3456

7

8

9

0

11

1213

14 15 161718

19

20

1

23

4567

8

9

0

11

12

13141516

1718

19

20

1

23

456789

10

1

2

3

141516171819

202122

23

24

1

23

456789

10

1

2

3

141516171819

202122

23

24

1

2

3456

7

8

9

0

11

1213

14 15 161718

19

20

1

23

456789

10

1

2

3

141516171819

202122

23

24

123

45

6789

10

1

231415

1617181920

21222324

123

456789

1011123

451617181920212223

2425262728

123

456789

1011123

451617181920212223

2425262728

1

23

456789

10

1

2

3

141516171819

202122

23

24

123

456789

1011123

451617181920212223

2425262728

1234

5678910

1112

345161718

192021222324

25262728

1234

567891011

121314567181920212223242526

272829303132

1234

567891011

121314567181920212223242526

272829303132

123

456789

1011123

451617181920212223

2425262728

97

1234

567891011

121314567181920212223242526

272829303132

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67891011

121314

56718192021

22232425262728

29303132

1234567

891011121314151678920212223242526272829

30313233343536

12345

6789101112

13141567890212223242526272829

30313233343536

1234

567891011

121314567181920212223242526

272829303132



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


REGRA ELEMENTAR 128

Grafo em Evolução


1

2

3

4

12

3

4

12

3

4 5

6

12

3

4 5

6

1

2

3

4

98

12

3

4 5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

12

3

4 5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6 7

8

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7 8

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10

1

23

4

5

6

7

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10

1

23

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5

6

7

89

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11

12

1

23

4

5

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1

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5

6

7 8

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1

23

4

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6

7

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12

1

234

5

6

7

8

910

11

12

1

234

5

6

7

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910 11

12

13

14

1

234

5

6

7

8

910 11

12

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14

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

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12

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1

2345

6

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8

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1

2345

6

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16

1

2345

6

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11 12 13

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15

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1

234

5

6

7

8

910 11

12

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14

1

2345

6

7

8

9

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11 12 13

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15

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1

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345

6

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9

10

1112

13 14

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1

2

345

6

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17

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1

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6

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0

1112

13 1415

16

17

18

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 2 (1+t) Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 2 (2+t) Início em

99

t= 1


1

2

3

4


REGRA ELEMENTAR 132

Grafo em Evolução


1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

12

3

4

56

7

12

3

4

56

7

1

2

3

4

5

12

3

4

56

7

1

2

3

4

5

6

7

1

23

4

5

67

8

9

1

23

4

5

67

8

9

12

3

4

56

7

100

1

23

4

5

67

8

9

1

23

4

5

6

7

8

9

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

1

23

4

5

67

8

9

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

1

234

5

6

7

8

9 1011

12

13

1

234

5

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9 1011

12

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1

23

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1

234

5

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1

234

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6

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12

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1

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234

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23

45

6

7

8

9

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13

14

15

1

23

456

7

8

9

10

1112 13

1415

16

17

1

23

456

7

8

9

10

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16

17

1

234

5

6

7

8

9

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14

15

1

23

456

7

8

9

10

1112 13

1415

16

17

1

23

456

7

8

9

10

1112 13 14

15

16

17

1

23

4567

8

9

0

11

1213 14 15

16

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19

1

23

4567

8

9

0

11

1213 14 15

16

17

18

19

1

23

456

7

8

9

10

1112 13

1415

16

17



101

1

2

3

4

5

6


REGRA ELEMENTAR 136

Grafo em Evolução


1

2

3

1

2

3

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

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102

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56

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56

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8

1

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8

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3

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56

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1

23

4

5

6

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9

10

1

23

4

5

67

8

9



103

1

2 3


REGRA ELEMENTAR 140

Grafo em Evolução


1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

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2

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5

12

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6

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12

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56

7

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56

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104

12

3

4

56

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1

2

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1

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1

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1

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10

11

1

23

4

5

6

7 8

9

10



105

1

2

3


REGRA ELEMENTAR 142

Grafo em Evolução


1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

56

7

8

1

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1

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8

1

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5

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11

12

1

2

34

5

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10

11

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1

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1

2345

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1

23

4

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1

2345

6

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0

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1213

14 15 161718

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20

1

2345

6

7

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9

10

11 12 13

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106

1

2

3456

7

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0

11

1213

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19

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1

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0

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1

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1

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3456

7

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0

11

1213

14 15 161718

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1

23

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1

2

3

141516171819

202122

23

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45

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10

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456789

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1

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456789

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1

2

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141516171819

202122

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456789

1011123

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2425262728

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345161718

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567891011

121314567181920212223242526

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123

456789

1011123

451617181920212223

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567891011

121314567181920212223242526

272829303132

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1234

567891011

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272829303132



107

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


REGRA ELEMENTAR 162

Grafo em Evolução


1

2

3

4

5

1

2

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4

5

12

3

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7

12

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11

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1

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8 9

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234

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6

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456

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456

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4567

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0

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1213 14 15

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1

23

456

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8

9

10

1112 13

1415

16

17



109

1

2

3

4

5


REGRA ELEMENTAR 168

Grafo em Evolução


1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

5

1

2

3

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3

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4

5

6

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9

10



111

1

2

3


REGRA ELEMENTAR 172

Grafo em Evolução


1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

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1

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1

2345

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11 12 13

14

15

16

1

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5

6

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9

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1

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1

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1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16



1

23

4

5

6

7

8

1

2

3


113

REGRA ELEMENTAR 176

Grafo em Evolução


1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

12

3

4

56

7

12

3

4

56

7

1

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1

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1

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1

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1

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1

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1

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12

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1

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11

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17

1

23

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1

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1

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0

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1

23

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8

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0

11

1213 14 15

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17

18

19

1

23

456

7

8

9

10

1112 13

1415

16

17



1

2

3

4


REGRA ELEMENTAR 184

Grafo em Evolução


115

1

2

3

4

1

2

3

4

12

3

4 5

6

12

3

4 5

6

1

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6

1

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5

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8

1

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7

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12

3

4 5

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1

2

3

4

5

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7

8

1

23

4

5

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1

23

4

5

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9

10

1

23

4

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1

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3

4

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1

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4

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9

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1

23

4

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12

1

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4

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1

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4

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10

11

12

1

234

5

6

7

89 10

11

12

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

1

234

5

6

7

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12

13

14

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

234

5

6

7

8

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12

13

14

1

2345

6

7

8

9

10 11 12

13

14

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

234

5

6

7

8

910 11

12

13

14

116

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2

345

6

7

8

9

1011

12 1314

15

16

1

2

345

6

7

8

9

10

1112

13 141516

17

18

1

2

345

6

7

8

9

0

1112

13 1415

16

17

18

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16



12

3

4 5


REGRA ELEMENTAR 192

Grafo em Evolução


1

2

3

1

2

3

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

117

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

1

2

3

4

5

12

3

4

5

12

3

4 5

6

12

3

4 5

6

1

2

3

4

5

12

3

4 5

6

1

2

3

4

5

6

12

3

4

56

7

12

3

4

56

7

12

3

4 5

6

12

3

4

56

7

1

2

3

4

5 6

7

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

12

3

4

56

7

1

2

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5

6

7

8

1

23

4

5

6

7

8

1

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4

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8

9

1

23

4

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9

1

2

3

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5

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8

1

23

4

5

67

8

9

1

23

4

5

6

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9

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

67

8

9


118


1

2 3


REGRA ELEMENTAR 196

Grafo em Evolução


1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

1

2

3

4

5

12

3

4

5

12

3

4 5

6

12

3

4 5

6

1

2

3

4

5

119

12

3

4 5

6

1

2

3

4

5

6

12

3

4

56

7

12

3

4

56

7

12

3

4 5

6

12

3

4

56

7

1

2

3

4

5 6

7

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

12

3

4

56

7

1

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3

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8

1

23

4

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7

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9

1

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2

3

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5

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7

8

1

23

4

5

67

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9

1

23

4

5

6

7

8

9

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

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9

10

1

23

4

5

67

8

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1

23

4

5

6

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9

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1

23

4

5

6

7

8

9

10

1

23

4

5

6

7

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10

11

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

1

23

4

5

6

7 8

9

10

Análise do Crescimento- Crescimento Linear: Sim- Expressao de Crescimento Nó: 3+t Início em t= 1- Expressao de Crescimento Aresta: 5+2 t Início em t=1


120

1

2

3

4


REGRA ELEMENTAR 212

Grafo em Evolução


1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

56

7

8

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

2

3

4

5

6

7

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1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

2

34

5

6

7

8 9

10

11

12

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

1

23

4

5

6

7

89

10

11

12

1

2345

6

7

8

9

10

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14

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1

2

345

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9

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2

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20

1

2

3456

7

8

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0

1

1213

14 15 161718

19

20

1

2345

6

7

8

9

10

11 12 13

14

15

16

121

1

2

3456

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8

9

0

11

1213

14 15 161718

19

20

1

23

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8

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0

11

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1

23

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1

2

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24

1

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456789

10

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2

3

141516171819

202122

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1

2

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7

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1213

14 15 161718

19

20

1

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456789

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1

2

3

141516171819

202122

23

24

123

45

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10

1

231415

1617181920

21222324

123

456789

1011123

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123

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1

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141516171819

202122

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456789

1011123

451617181920212223

2425262728

1234

5678910

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345161718

192021222324

25262728

1234

567891011

121314567181920212223242526

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1234

567891011

121314567181920212223242526

272829303132

123

456789

1011123

451617181920212223

2425262728

1234

567891011

121314567181920212223242526

272829303132

12345

67891011

121314

56718192021

22232425262728

29303132

1234567

891011121314151678920212223242526272829

30313233343536

12345

6789101112

13141567890212223242526272829

30313233343536

1234

567891011

121314567181920212223242526

272829303132



122

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


REGRA ELEMENTAR 224

Grafo em Evolução


1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

1

2

3

4

5

12

3 4

5

12

3

4 5

6

12

3

4 5

6

1

2

3

4

5

12

3

4 5

6

12

3

45

6

12

3

4

56

7

12

3

4

56

7

12

3

4 5

6

123

12

3

4

56

7

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

12

3

4

56

7

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

6

7

8

1

23

4

5

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8

9

1

23

4

5

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8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

4

5

67

8

9

1

23

4

5

6

7

8

9

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

67

8

9

1

23

4

5

6

7 8

9

10

1

23

4

5

6

78

9

10

1

23

4

5

6

7

8 9

10

11

1

23

4

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------------------------------------------------------------------------------------ QUADRO RESUMO------------------------------------------------------------------------------------

REGRAS:{11,14,23,35,43,50,56,70,81,98,113,128,132,136,140,142,162,168,172,176,184,192,196,212,224,232}

EXPRESSÃO DE CRESCIMENTO DE NOS E ARESTASRegras com Crescimento Linear:{0,0,23,0,43,50,56,70,81,98,113,128,132,136,140,142,162,168,172,176,184,192,196,212,224,232}Regras com Crescimento Não Linear: {11,14,35}

127

CICLO DE REPETIÇÃORegras com Ciclo Simples desde t=1 (puramente linear):{23,43,113,128,132,136,140,142,162,168,176,184,192,196,212,224,232}Regras com Ciclo Simples após um dado t : {56,98,172}

Regras com Ciclo Duplo: {11,14,35,50,70}Regras SEM Ciclo: {81}

Regra: 11 Ciclo: {0,2}Regra: 14 Ciclo: {0,2}Regra: 23 Ciclo: {1}Regra: 35 Ciclo: {0,2}Regra: 43 Ciclo: {1}Regra: 50 Ciclo: {0,2}Regra: 56 Ciclo: {0,1}Regra: 70 Ciclo: {0,2}Regra: 81 Ciclo: {0}Regra: 98 Ciclo: {0,1}Regra: 113 Ciclo: {1}Regra: 128 Ciclo: {1}Regra: 132 Ciclo: {1}Regra: 136 Ciclo: {1}Regra: 140 Ciclo: {1}Regra: 142 Ciclo: {1}Regra: 162 Ciclo: {1}Regra: 168 Ciclo: {1}Regra: 172 Ciclo: {0,1}Regra: 176 Ciclo: {1}Regra: 184 Ciclo: {1}Regra: 192 Ciclo: {1}Regra: 196 Ciclo: {1}Regra: 212 Ciclo: {1}Regra: 224 Ciclo: {1}Regra: 232 Ciclo: {1}

128

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