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Avaliação dos Parâmetros dos Algoritmos PSO e DE na Otimização de um

Riser de Produção em Configuração Lazy-Wave

Victor de Queiroz Alves

Projeto de Graduação apresentado ao Curso

de Engenharia Naval e Oceânica, Escola

Politécnica, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de

Engenheiro Naval e Oceânico.

Orientadores: Carl Horst Albrecht

Bruno da Fonseca Monteiro

Rio de Janeiro

Agosto de 2017

i

AVALIAÇÃO DOS PARÂMETROS DOS ALGORITMOS “PSO” E “DE” NA

OTIMIZAÇÃO DE UM RISER DE PRODUÇÃO EM CONFIGURAÇÃO LAZY-

WAVE


PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO

DE ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

ENGENHEIRO NAVAL E OCEÂNICO.

Examinado por:

_______________________________________________

Carl Horst Albrecht, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Bruno da Fonseca Monteiro, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Marcelo Igor Lourenço de Souza, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ- BRASIL.

AGOSTO DE 2017

ii

Alves, Victor de Queiroz

Avaliação dos Parâmetros dos Algoritmos PSO e DE

na Otimização de um Riser de Produção em Configuração

Lazy-Wave/ Victor de Queiroz Alves. - Rio de Janeiro: UFRJ

/ ESCOLA POLITÉCNICA, 2017.

IX, 44 p.: il.; 29,7 cm

Orientadores: Carl Horst Albrecht e Bruno da Fonseca

Monteiro

Projeto de Graduação – UFRJ / POLI / Engenharia

Naval e Oceânica, 2017.

Referências Bibliográficas: p.43-44.

1. Algoritmos Evolutivos. 2. PSO. 3.DE. 4. Riser de

Produção Offshore. I Carl Horst Albrecht, Bruno da Fonseca

Monteiro. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola

Politécnica, Curso de Engenharia Naval e Oceânica. III.

Título.

iii

Agradecimentos

Agradeço a toda minha família e amigos pela união e carinho, toda jornada é

mais simples sabendo que posso contar com vocês. Em especial, gostaria de agradecer

aos meus pais, Edson e Andréa, por me ensinarem sobre a vida com um belo equilíbrio

entre amor e disciplina. Sou grato também aos meus irmãos, Fábio e Lucas, pelos

conselhos, amizade e confiança.

Também dirijo meus agradecimentos à UFRJ e aos meus orientadores, Carl e

Bruno, pela paciência, suporte e oportunidade de trabalhar com um tema tão

interessante. Aos tão unidos estudantes de Engenharia Naval da UFRJ, especialmente a

turma de 2011.1, a turma de intercâmbio de 2014.1, e aos colegas como Laveglia,

Palanowski, Schimpf, Romar, Jonas, Pedro, Gassen, Fellipe, Daniel, Lucas, Sales,

Diogo.... Este curso teria sido mais difícil e certamente menos divertido sem vocês.

iv

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como

parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval.

AVALIAÇÃO DOS PARÂMETROS DOS ALGORITMOS “PSO” E “DE” NA

OTIMIZAÇÃO DE UM RISER DE PRODUÇÃO EM CONFIGURAÇÃO LAZY-

WAVE

Risers de produção offshore são uma parte fundamental de sistemas de

exploração de petróleo em águas profundas e ultra profundas, já que permitem a

conexão entre as instalações submersas e as unidades de produção. O projeto desse tipo

de estrutura requer um balanço complexo entre fatores de segurança e custo, o que

motiva o uso de técnicas de otimização. Nesse contexto, este trabalho analisa a

performance dos algoritmos Enxame de Partículas (PSO) e Evolução Diferencial (DE)

na otimização de um riser de produção offshore em configuração “Lazy - Wave”. Os

algoritmos e seus melhoramentos são brevemente descritos e um estudo paramétrico é

realizado para ajustar os coeficientes ao problema de otimização do riser. Finalmente,

ambos os algoritmos são comparados quanto a velocidade de convergência e melhor

solução encontrada. Os resultados mostram que o PSO apresenta melhor velocidade de

convergência enquanto o DE encontra resultados ligeiramente melhores.


Agosto/2017

Orientadores: Carl Horst Albrecht e Bruno da Fonseca Monteiro

Curso: Engenharia Naval e Oceânica

v

Palavras-chave: PSO, DE, Algoritmos Evolutivos, Riser de Produção Offshore

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfilment of

the requirements for the degree of Marine Engineer.

PARAMETER ANALYSIS OF “PSO” AND “DE” ALGORITHMS FOR THE

OPTIMIZATION OF A PRODUCTION RISER IN LAZY – WAVE

CONFIGURATION

Offshore Risers are a fundamental part of deepwater and ultra-deepwater oil production

systems, as they are the connection between the subsea field developments and

production facilities. The design of such structures requires a complex balance of safety

and cost factors, motivating the use of optimization techniques. In this context, this

work analyses the performance of the Particle Swam Optimization (PSO) and

Differential Evolution (DE) algorithms for the optimization of an offshore Riser in

Lazy-Wave Configuration. The algorithms and their enhancements are briefly

described and a parametric analysis is carried out to tune them for the riser optimization

problem. Finally, both algorithms are compared considering convergence speed and

best solution found. The results show that PSO has a better convergence speed while

DE yields slightly better solutions.


August/2017

Advisors: Carl Horst Albrecht e Bruno da Fonseca Monteiro

Graduation: Marine Engineering

vi

Keywords: PSO, DE, Evolutionary Algorithms, Offshore Risers

vii

SUMÁRIO

ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................. IX

ÍNDICE DE TABELAS ............................................................................. X

1 INTRODUÇÃO ....................................................................................... 1

1.1 Contexto e Motivação ........................................................................................ 1

1.2 Objetivos............................................................................................................. 2

1.3 Organização ....................................................................................................... 3

2 RISERS ................................................................................................. 4

3 MODELAGEM DO PROBLEMA.............................................................. 6

3.1 Variáveis de Projeto .......................................................................................... 7

3.2 Restrições de projeto ......................................................................................... 8

3.3 Função de Custo ................................................................................................ 9

3.4 Fitness ou Função Objetivo ............................................................................ 10

4 ALGORITMOS DE OTIMIZAÇÃO EVOLUTIVOS .................................. 11

4.1 Introdução ........................................................................................................ 11

4.2 Enxame de Partículas ...................................................................................... 13

4.2.1 Algoritmo Básico .................................................................................................... 13

4.2.2 Variação do Coeficiente de Inércia (ω) ................................................................... 15

4.2.3 Variação dos parâmetros social (C1) e cognitivo (C2) ............................................. 17

4.3 Evolução Diferencial ....................................................................................... 18

4.3.1 Inicialização dos vetores ......................................................................................... 18

viii

4.3.2 Mutação com a Diferença Entre Vetores ................................................................ 19

4.3.3 “Crossover” ............................................................................................................. 20

4.3.4 Seleção .................................................................................................................... 21

5 ESTUDO DE CASO .............................................................................. 23

5.1 Definição do Problema .................................................................................... 24

5.2 Escolha da População ...................................................................................... 25

5.3 Análise paramétrica PSO ............................................................................... 28

5.4 Análise Paramétrica DE ................................................................................. 34

5.5 Comparação de Desempenho entre DE e PSO ............................................. 37

6 COMENTÁRIOS FINAIS ...................................................................... 41

7 REFERÊNCIAS .................................................................................... 43

ix

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1: Riser rígido (à esquerda) e riser flexível (à direita). 4

Figura 2: Configurações aplicáveis a risers de produção. 5

Figura 3: Variáveis de projeto no problema do riser em configuração lazy-wave. 7

Figura 4: Fitness médio vs Número de Indivíduos (PSO) 25

Figura 5: Tempo de Execução versus Número de Indivíduos (PSO). 26

Figura 6: Fitness Médio versus Número de Indivíduos (DE). 27

Figura 7: Tempo de Execução versus Número de Indivíduos (DE). 27

Figura 8: Fitness médio e desvio padrão em função de C1 e C2. 30

Figura 9: Fitness Médio e Desvio Padrão em Função de ω, ω0 (linear) e ω0 (não linear). 30

Figura 10: Fitness Médio e Desvio Padrão em Função do Coeficiente n. 31

Figura 11: Fitness Médio e Desvio Padrão em Função de C1 e C2 Lineares. 32

Figura 12: Fitness médio e Desvio Padrão em Função de Cr e CF. 35

Figura 13: Fitness Médio e desvio padrão em função de Cr e F Variando Juntos. 35

Figura 14: Fitness médio e desvio padrão para combinações de Cr e F variando inversamente.

36

Figura 15: Evolução dos valores máximos e mínimos do fitness médio dos algoritmos DE e

PSO e seus respectivos desvios padrões por geração. 38

Figura 16: Diferença percentual entre o fitness médio máximo entre PSO e DE ao longo das 50

gerações. 39

x

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1: Propriedades físicas e geométricas do Riser. .............................................................. 24

Tabela 2:Intervalo das variáveis livres. ...................................................................................... 24

Tabela 3: Restrições. ................................................................................................................... 24

Tabela 4: Fitness médio e tempo de execução em função do número de indivíduos para o PSO.

.................................................................................................................................................... 26

Tabela 5: Fitness médio para e tempo de execução em função do número de indivíduos para o

DE. .............................................................................................................................................. 26

Tabela 6: Resumo dos experimentos realizados com o PSO. ..................................................... 29

Tabela 7: Resumo dos experimentos realizados com os melhores parâmetros obtidos na análise

paramétrica para o PSO .............................................................................................................. 33

Tabela 8: Resumo das combinações dos experimentos realizados para o DE. ........................... 34

Tabela 9: Resumo das Melhores Combinações para o DE. ........................................................ 36

Tabela 10: Combinações dos algoritmos PSO e DE escolhidos para comparação juntamente

com os valores de fitness médio e desvio padrão. ...................................................................... 37

1

1 INTRODUÇÃO

1.1 Contexto e Motivação

A produção de petróleo em águas profundas cresceu aproximadamente 25% na

última década (incluindo-se condensados e gases de hidrocarbonetos em estado

líquido). Além disso, a fatia de produção oriunda de plataformas fixas foi de 64% em

2015, a menor já registrada até então. Tais fenômenos estão ligados a mudanças na

economia, a exaustão da exploração em águas rasas, e a descobertas de reservas em

águas mais profundas. Como resultado, os produtores se dirigem à exploração em

águas de elevada profundidade (EIA 2016).

Nesse contexto, a exploração das reservas de petróleo é feita por sistemas

flutuantes de produção (Floating Production Systems – FPS). Estes, estão conectados a

risers, espécie de tubulação que liga os poços de exploração no leito marinho as

unidades flutuantes na superfície. O projeto de risers exige um equilíbrio entre fatores

de custo e segurança que resultam em um problema formal de otimização e síntese. De

fato, a aceitação de uma determinada configuração depende de intensivas análises

dinâmicas não-lineares, as quais demandam tempo devido ao elevado custo

computacional. Com o objetivo de reduzir tal custo, diversos autores desenvolveram

procedimentos que utilizam algoritmos evolutivos na otimização de risers de produção

como em Vieira (2008) e Lima et al (2005). Além disso, algoritmos evolutivos também

foram utilizados por Albrecht (2005) e Monteiro (2008) em procedimentos de

otimização de linhas de ancoragem.

O crescente interesse por algoritmos evolutivos nos diversos ramos da ciência é

justificado por sua versatilidade, simplicidade e capacidade de gerar boas soluções.

Todavia, eles são dependentes do problema abordado e devem ser ajustados de acordo

com cada caso de aplicação. Sendo assim, este trabalho é motivado pelas vantagens

obtidas sobre problemas de otimização de risers ao se identificar características de

desempenho de dois famosos algoritmos evolutivos: Enxame de Partítculas (PSO) e

Evolução Diferencial (DE).

2

1.2 Objetivos

Este trabalho possui dois objetivos. O Primeiro é ajustar os parâmetros dos algoritmos

evolutivos PSO e DE para um problema de otimização de riser em configuração lazy-

wave. O segundo consiste em aplicar os algoritmos ajustados a um caso de estudo e

compará-los quanto a velocidade de convergência e melhor solução alcançada. Desse

modo, espera-se identificar qual deles é mais apropriado para procedimentos de

otimização de risers em configuração lazy-wave.

3

1.3 Organização

No Capítulo 2 há uma descrição do riser de produção analisado neste trabalho,

o Steel Catenary Riser. Os principais tópicos cobrem sua aplicação, composição e

configurações.

No capítulo seguinte discute-se a modelagem do problema, incluindo as

variáveis livres consideradas, suas restrições e a função objetivo.

No quarto capítulo há uma breve introdução sobre os algoritmos evolutivos. Em

seguida, PSO, DE e algumas de suas variantes são discutidos mais a fundo.

Os algoritmos são ajustados no quinto capítulo através de uma análise

paramétrica realizada em cima de um caso de estudo definido na seção 5.1. Nesse

capítulo também se define a população utilizada nos algoritmos. Na última seção foi

feita a comparação de desempenho entre PSO e DE, ajustados para o caso de estudo.

Os dois últimos capítulos, 6 e 7, contêm as conclusões finais e as referências

bibliográficas, respectivamente.

4

2 RISERS

Risers de produção offshore, de modo geral, realizam o transporte vertical de

matéria entre as instalações do leito marinho e os sistemas flutuantes ou de perfuração,

na superfície oceânica. O transporte pode ocorrer em ambos os sentidos e os fluidos

transportados são hidrocarbonetos, fluídos de injeção e controle, etc.

Os risers estão sujeitos a diversas cargas devido à ação da correnteza, das

ondas, dos movimentos do sistema flutuante e vibração induzida por vórtices. Sendo

assim, a preocupação com a integridade mecânica no projeto desses componentes é

crucial e fatores como a tensão equivalente e fadiga devem ser analisados.

Existem dois tipos básicos de riser: o flexível e o rígido. O primeiro, mais

complexo, é composto por diversas camadas de aço e plástico e normalmente é

utilizado em profundidades de até 1000 m. Acima desta, as cargas ambientais tornam

inviáveis a aplicação do riser flexível, o qual precisaria de um diâmetro muito grande

para suportá-las.

O riser rígido, estudado nesse trabalho, pode ser utilizado em profundidades

superiores a 1000 m. Eles são formados por estruturas tubulares mais simples

composta de aço, titânio ou compósitos; podendo contar com apêndices para aliviar seu

peso e alterar sua configuração de equilíbrio. Devido a sua simplicidade de produção e

fácil adaptação a maiores profundidades através do aumento de sua espessura, os risers

rígidos vem sendo empregado com sucesso em águas ultra profundas.

Figura 1: Riser rígido (à esquerda) e riser flexível (à direita).

5

Configurações típicas dos risers de produção estão apresentadas na Figura 2:

Catenária Livre (a): Trata-se da configuração mais simples possível. O riser se

estende livremente até o fundo assumindo uma configuração de catenária. Como não há

a presença de flutuadores para aliviar o peso, podem existir grandes esforços na

conexão entre o riser e o sistema flutuante.

Lazy-S e Steep-S (b e c): Estas configurações apresentam um arco sustentado

por flutuadores que aliviam o peso do riser e contribuem para as forças de restauração

da plataforma no plano horizontal.

Lazy Wave, Steep Wave e Pliant Wave (d, e, f): Estas configurações apresentam

comportamento semelhante ao Lazy-S e Steep-S. Entretanto, a instalação dos

flutuadores é feita diretamente nos riser, o que simplifica a operação.

Figura 2: Configurações aplicáveis a risers de produção.

6

3 MODELAGEM DO PROBLEMA

Nesta seção, tem-se a descrição do problema que será atacado pelos algoritmos

evolutivos PSO e DE, baseando-se na descrição apresentada em Pina (2009). Ambos os

algoritmos foram implementados no software ProgOtim desenvolvido no Laboratório

de Métodos Computacionais e Sistemas Offshore – LAMCSO (COPPE-UFRJ). O

programa permite dois tipos de análises. A primeira é baseada na análise dinâmica não-

linear no domínio do tempo de Elementos Finitos (EF). Já a segunda se baseia num

método de solução analítico de catenária. Embora esta última seja demasiadamente

simples para ser aplicada a um projeto real de riser, ela é extremamente rápida se

comparada a análise baseada em EF. Isso permite que várias combinações dos

parâmetros dos EAs (algoritmos evolutivos, do inglês, evolutionary algorithms) possam

ser analisadas, o que não seria viável utilizando o método numérico devido à restrição

de tempo ou capacidade de processamento. Considerando ainda que é necessário a

realização de um grande número de experimentos para garantir a confiabilidade

estatística dos resultados e que uma das principais propostas deste trabalho é comparar

o desempenho dos EAs (e não prosseguir com um projeto de riser), a análise baseada

em solução analítica se mostra a melhor opção.

7

3.1 Variáveis de Projeto

As variáveis de projeto presentes no problema de otimização estão apresentadas

na Figura 3.

Figura 3: Variáveis de projeto no problema do riser em configuração lazy-wave.

Onde:

L1: Comprimento do segmento superior do riser.

L2: Comprimento do segmento com flutuadores distribuídos.

L3: Comprimento do segmento inferior do riser.

α: Ângulo de topo, isto é, o ângulo entre o riser e o eixo vertical na conexão

com o sistema flutuante em equilíbrio.

z: Profundidade da conexão entre o riser e o sistema flutuante em equilíbrio.

P: Projeção do riser no plano horizontal.

Lf: Comprimento do flutuador.

HDf: Diâmetro do flutuador.

Esp: Espaçamento entre flutuadores.

Vieira (2008) mostrou que os parâmetros necessários para a análise se reduzem

a: L1, L2, L3, HDf, Lf, e Esp. Isso ocorre porque z e P são determinados pelo sistema

flutuante enquanto o ângulo α depende da projeção P e do comprimento total (L1 + L2

+ L3). Assim, as variáveis livres se reduzem às 6 explicitadas anteriormente. Vale notar

que o número de flutuadores não é fixo, ele depende do comprimento do segmento dos

flutuadores (L2), o comprimento dos flutuadores (Lf) e o espaçamento entre os

mesmos (Esp).

8

3.2 Restrições de projeto

As restrições de projeto incorporam os limites geométricos e estruturais do riser

ao problema de otimização. Elas são verificadas através do método de solução analítico

de catenária e estão listados a seguir:

▪ A tensão equivalente de Von Mises não deve superar a tensão permitida

para garantir que o riser opere no regime elástico de deformação.

▪ O ângulo máximo entre o riser e o eixo vertical da conexão com a

plataforma não deve ultrapassar um valor de segurança.

▪ Há uma variação máxima permitida do ângulo de built-in, medida no

topo do eixo do riser, entre as configurações de equilíbrio estático (sem

cargas ambientais) e instantâneas.

▪ Tensão máxima no topo do riser.

▪ Tensão mínima na parte inferior do riser, que evite o encurvamento e

colapso de uma seção.

Uma vez que as restrições são especificadas, pode-se optar por penalizar ou

excluir qualquer solução candidata que as desrespeite. Neste trabalho foi definida uma

função de penalidade para todas as cinco restrições:

𝑃 = {

𝑘 × (1 − 𝑥3), 𝑠𝑒 𝑥 < 10, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1

(

1)

Onde:

▪ x é a razão entre o limite da restrição e o valor calculado.

▪ k é um fator para se admitir soluções que violem as restrições.

9

3.3 Função de Custo

Raros são os casos em que os projetistas não precisam se preocupar com a

viabilidade econômica do projeto ou com a escassez de recursos disponíveis para

executá-lo. Sendo assim, a função de custo é uma forma de medir e comparar o custo

de diversas soluções a um determinado problema de projeto. Ela faz parte da função

fitness (função objetivo) que mede a qualidade de uma solução candidata.

Naturalmente, espera-se que as melhores soluções alcancem todas as restrições de

projeto com o menor custo possível.

No caso do riser abordado neste trabalho, a função de custo é descrita por:

𝑓 =

𝑓𝑚𝑖𝑛

(∑ 𝐼𝐶𝑖 × 𝐿𝑖) + (𝑉𝑓𝑙𝑢𝑡 × 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑡)𝑛𝑖=1

(2)

Onde:

▪ 𝑓𝑚𝑖𝑛 é o menor custo possível, utilizado para normalizar f no intervalo

[0,1].

▪ 𝐼𝐶𝑖 é o índice de custo associado ao segmento de riser i.

▪ 𝐿𝑖 é o comprimento do segmento de riser i.

▪ 𝑉𝑓𝑙𝑢𝑡 é o volume do flutuador.

▪ 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑡 é o índice de custo associado ao volume do flutuador.

10

3.4 Fitness ou Função Objetivo

A Função Objetivo, no contexto da otimização, pode ser entendida como a

função que se deseja maximizar ou minimizar. No contexto dos algoritmos evolutivos,

mais especificamente, ela também é chamada de fitness (do inglês, “aptidão”). Tal

termo, como vários outros, foi apropriado do campo da teoria da evolução biológica, a

qual diz que os indivíduos mais aptos sobrevivem e passam adiante seu material

genético. Portanto, a função fitness deve englobar todas as variáveis livres pertinentes

ao problema de otimização para ser capaz de medir a “aptidão” de uma solução e

explicitar o quão próxima ela está do desejado.

Deseja-se maximizar o seguinte fitness para o problema de otimização do riser:

F = 100 × [

𝑓

1,0 + ∑𝑃𝑗]

(3)

Onde:

▪ 𝑃𝑗 corresponde a penalidade relativa a violação do j-ésimo critério de

restrição de projeto.

▪ 𝑓 é a função de custo (Equação 2).

▪ O fator 100 é usado como fator de escala.

11

4 ALGORITMOS DE OTIMIZAÇÃO

EVOLUTIVOS

4.1 Introdução

De modo geral, o processo de otimização é a busca pela melhor solução

possível dado um conjunto de critérios e restrições de um determinado problema. A

busca tem como objetivo encontrar o ponto ótimo da função que modela o problema, o

qual pode ser mínimo ou máximo, dependendo do contexto do mesmo. Esse ponto, ou

apenas uma boa aproximação dele, é alvo de interesse nos mais diversos campos de

estudo desde a engenharia de projetos até a tomada de decisões gerenciais em

investimentos de longo prazo.

Se a função de interesse puder ser descrita matematicamente por uma função

contínua e diferenciável, o ponto ótimo pode ser encontrado analiticamente calculando-

se os pontos críticos da função. Entretanto, é mais comum que a função a ser otimizada

seja descontínua ou não possa ser descrita matematicamente. Nesse caso, pode-se

utilizar a otimização numérica, a qual consiste em iterações e aproximações sucessivas

em busca do ponto ótimo no espaço de solução (ALBRECHT 2005).

Os Algoritmos Evolutivos (EA, do inglês Evolutionary Algorithms) se

enquadram na otimização numérica e apresentam características importantes que os

diferenciam de outros métodos. Primeiramente, como o próprio nome sugere, os EAs se

inspiram em comportamentos e processos de evolução observados na natureza como,

reprodução, mutação, recombinação, movimento de enxames, e seleção natural (AL-

SALAMI 2009). Esses comportamentos e processos, ao serem implementados

computacionalmente, incorporam elementos de aleatoriedade ao código evitando a

convergência prematura para máximos e mínimos locais. Por esse motivo, os EAs

também são conhecidos como métodos de otimização estocástica. Outra característica

marcante, é o uso de uma população de indivíduos os quais são avaliados de acordo

com uma função de qualidade (fitness) e modificados sucessivamente. Os indivíduos de

melhor qualidade são registrados e interagem com o restante da população transmitindo

as características que contribuem para boas soluções. O teste intensivo dos diversos

candidatos é uma ferramenta útil na solução de problemas não estruturados já que, a

12

primeira vista, não se conhece uma metodologia para encontrar uma boa solução e,

muito menos, o formato da mesma. No entanto, a qualidade de todos os indivíduos

pode ser avaliada pela função objetivo e uma boa solução pode ser facilmente

identificada (LUKE 2013).

As características acima fazem com que EAs sejam indicados para problemas

complexos ainda não resolvidos por outras técnicas computacionais. Eles podem ser

implementados em poucas linhas de código e são facilmente adaptáveis a problemas de

diversas áreas (GABRIEL 2008). Vale ressaltar, no entanto, que não há a garantia de

uma solução ótima em um intervalo finito de tempo e são necessários ajustes de

parâmetros e elevado gasto computacional para o seu efetivo funcionamento. (AL-

SALAMI 2009).

13

4.2 Enxame de Partículas

O conceito de otimização pelo Método de Enxame de Partículas (PSO, do inglês

Particle Swarm Optimization) foi proposto por Kennedy e Eberhart em 1995.

Inicialmente, o interesse era simular comportamentos sociais como visto em enxames,

cardumes e bandos de pássaros (KENNEDY e RUSSEL 1995). No entanto, não

demorou até que seu potencial para aplicação em otimização fosse reconhecido.

4.2.1 Algoritmo Básico

Como é comum em Algoritmos Evolutivos, o PSO se inicia com uma população

aleatória de indivíduos (partículas). Em seguida a trajetória de cada partícula evolui

após cada iteração de acordo com sua velocidade atual, sua própria experiência

(componente cognitiva) e o progresso das outras partículas da população (componente

social). Desse modo, pode-se distinguir 3 etapas básicas em um algoritmo PSO: i)

geração de uma população aleatória onde cada indivíduo possuí uma posição e

velocidade; ii) atualização das velocidades; e iii) atualização das posições

(MONTEIRO, ALBRECHT e JACOB 2011) .

Cada partícula é representada por três vetores de dimensão N igual ao espaço de

busca. Eles são: a posição atual - 𝒙𝒊 , a melhor posição já visitada - 𝒑𝒊 e a velocidade -

𝒗𝒊 . Após cada iteração, os vetores 𝒙𝒊 e 𝒗𝒊 são atualizados e o mesmo ocorre com o

vetor 𝒑𝒊 se tal posição for melhor que todas as posições visitadas anteriormente. Desse

modo, a tendência é que o vetor 𝒑𝒊 seja melhorado progressivamente. A melhor

posição visitada por qualquer uma das partículas também é armazenada em um vetor

𝒑𝒈 para futuras comparações (Pina 2009)

O “voo” de uma partícula é expresso da seguinte forma:

𝒙𝒊 (𝑡 + 1) = 𝒙𝒊 (𝑡) + 𝒗𝒊 (𝑡 + 1) × ∆𝑡 (4)

Onde:

▪ 𝒙𝒊 (𝑡 + 1) é a posição futura da partícula;

▪ 𝒙𝒊 (𝑡) é a posição atual da partícula;

▪ 𝒗𝒊 (𝑡 + 1) é a velocidade atualizada da partícula.

▪ ∆𝑡 é a variação temporal unitária

14

Ou seja, a posição futura da partícula é dada pela soma dos vetores posição atual

e velocidade. O algoritmo trabalha ajustando 𝒗𝒊 o qual pode ser encarado como um

tamanho de passo (POLI, KENNEDY e BLACKWELL 2007). O ajuste ocorre

conforme a seguinte equação:

𝒗𝒊 (𝑡 + 1) =𝐶1

∆𝑡∗ 𝑟𝑛𝑑 (𝒑𝒈 − 𝒙𝒊 (𝒕)) +

𝐶2

∆𝑡∗ 𝑟𝑛𝑑(𝒑𝒊 − 𝒙𝒊 (𝑡)) + ω[𝒗𝒊

(𝑡)] (5)

Onde:

▪ 𝒗𝒊 (𝒕 + 𝟏) é a velocidade atualizada;

▪ 𝐶1 é o coeficiente para o controle da componente social;

▪ 𝐶2 é o coeficiente para o controle da componente cognitiva;

▪ 𝑟𝑛𝑑 é um número aleatório entre 0 e 1, segundo uma distribuição uniforme;

▪ (𝒑𝒈 − 𝒙𝒊 (𝒕)) é o termo de aceleração pela distância em relação a melhor

posição já visitada por qualquer partícula;

▪ (𝒑𝒊 − 𝒙𝒊 (𝒕)) é o termo de aceleração pela distância em relação a melhor

posição já visitada pela própria partícula;

▪ ω é o parâmetro de peso de inércia;

▪ 𝒗𝒊 (𝒕) é velocidade a ser atualizada.

A primeira parcela a direita da equação representa a componente social, já que

modela a interação entre um indivíduo do enxame e os demais. Já a segunda parcela

representa a componente cognitiva por envolver a melhor posição visitada

anteriormente pelo indivíduo. Os termos (𝒑𝒈 − 𝒙𝒊 (𝒕)) e (𝒑𝒊 − 𝒙𝒊 (𝒕)) são definidos

como aceleração pela distância (KENNEDY e RUSSEL 1995), já que modificam a

velocidade com base na distância entre a melhor posição já visitada por todas as

partículas e a melhor posição visitada pela própria partícula, respectivamente. Esses

termos são multiplicados por uma amostra rnd de distribuição aleatória uniforme de

intervalo [0,1] gerada em cada iteração, conferindo o caráter de otimização estocástica

do algoritmo.

O coeficiente C1 e C2 são parâmetros que controlam o grau de influência das

componentes social e cognitivas na variação da velocidade, respectivamente. Esses

parâmetros são importantes para a obtenção de bons resultados e devem ser calibrados

de acordo com o problema a ser resolvido.

15

A última parcela à direita da equação (5) incorpora a inércia da partícula através

do parâmetro peso de inércia (ω). Seu objetivo é ajustar o balanço entre busca global e

local (SHI e EBERHART 1998).

A velocidade máxima (�� 𝒎𝒂𝒙) possível é limitada com base nos limites

inferiores (�� 𝒎𝒊𝒏) e superiores (�� 𝒎𝒂𝒙) que podem ser alcançados pela partícula no

espaço de solução. Isso evita que a velocidade cresça indefinidamente (EBERHART e

KENNEDY 1995). Desse modo:

�� 𝒎𝒂𝒙 = �� 𝒎𝒂𝒙 − �� 𝒎𝒊𝒏 (6)

Assim, as etapas básicas de execução do PSO podem ser escritas da seguinte

forma (ALBRECHT 2005) (PINA 2010).

Início

Inicializa a população aleatória inicial P (posição e velocidade)

Avalia todas as partículas

Atualiza 𝒑𝒈

Repita

Atualiza velocidades

Atualiza posições

Avalia indivíduos

Atualiza 𝒑𝒈 e 𝒑𝒊

Até que o critério de parada seja satisfeito

Fim

Diversas modificações foram feitas no algoritmo básico PSO ao longo dos

últimos anos com o objetivo de melhorar seu desempenho. A seguir serão apresentadas

as modificações utilizadas nesse trabalho através do software ProgOtim desenvolvido

no Laboratório de Métodos Computacionais e Sistemas Offshore - LAMCSO.

4.2.2 Variação do Coeficiente de Inércia (ω)

Normalmente, o PSO apresenta rápida convergência nas primeiras iterações mas

demonstra estagnação nas iterações finais. O coeficiente de inércia ω possui grande

16

influência sobre esse comportamento. Maiores valores de ω contribuem para uma busca

global e para a exploração de novas áreas do espaço de solução, enquanto valores

menores ω favorecem a busca local, o que é interessante quando as partículas estão

próximas de uma boa solução.

Assim, pesquisadores propuseram um ω variável em detrimento do ω constante.

Eberhart e Shi (2000) sugeriram um coeficiente de inércia que varie linearmente ao

longo das iterações:

𝜔 (𝑡) = 𝜔 0(𝑁 − 𝑡)

𝑡 (7)

Onde:

▪ 𝜔 0 é o peso de inércia inicial;

▪ N é o número máximo de iterações;

▪ t é a iteração atual.

Com o intuito de melhorar ainda mais o desempenho nas iterações finais,

Chatterjee e Siarry (2006) utilizaram uma variação não linear para a adaptação de 𝜔:

𝜔 (𝑡) = [(𝑁 − 𝑡)𝑛

𝑁𝑛] (𝜔𝑖𝑛𝑖 − 𝜔𝑓𝑖𝑛) + 𝜔𝑓𝑖𝑛 (8)

Onde:

▪ n é o expoente de não linearidade;

▪ 𝜔𝑖𝑛𝑖 é o peso de inércia inicial;

▪ 𝜔𝑓𝑖𝑛 é o peso de inércia final.

Uma versão alternativa foi implementada no ProgOtim:

𝜔 (𝑡) = 𝜔0 [1 −(𝑡 − 1)𝑛

𝑁𝑛] (9)

Onde:

▪ n é o expoente de não linearidade;

▪ 𝜔 0 é o peso de inércia inicial.

17

4.2.3 Variação dos parâmetros social (C1) e cognitivo (C2)

Ratnaweera, Halgamuge e Watson (2004) estenderam a ideia de variação linear

ao longo das iterações também para os parâmetros C1 e C2 para se beneficiar de uma

busca global nas iterações iniciais e uma busca local nas finais:

𝐶1(𝑡) = (𝐶1𝑓𝑖𝑛−𝐶1𝑖𝑛𝑖)𝑡

𝑁+ 𝐶1𝑖𝑛𝑖 (10)

𝐶2(𝑡) = (𝐶2𝑓𝑖𝑛−𝐶2𝑖𝑛𝑖)𝑡

𝑁+ 𝐶2𝑖𝑛𝑖 (11)

Onde:

▪ Ciini é o valor inicial de Ci ;

▪ Cifin é o valor final de Ci.

18

4.3 Evolução Diferencial

O algoritmo de Evolução Diferencial (DE, do inglês Differential Evolution)

realiza uma otimização estocástica implementando processos naturais observados na

evolução biológica como seleção por aptidão, mutação e cruzamento. O DE, proposto

por Storn e Price (1995), opera de forma similar aos demais algoritmos evolutivos. No

entanto, diferentemente de EAs tradicionais, DE perturba os indivíduos de sua

população utilizando uma diferença escalada entre membros aleatórios da mesma.

Portanto, não há a necessidade de uma função de probabilidade utilizada especialmente

para gerar os descendentes. Nas últimas décadas o DE ganhou uma popularidade

expressiva na comunidade científica devido sua simplicidade de implementação,

flexibilidade e bom desempenho quando aplicado a problemas de difícil otimização

(CHENG e HWANG 2002).

O algoritmo DE pode ser dividido em 4 etapas básicas (DAS e SUGANTHAN

2011): i) Inicialização dos vetores; ii) Mutação baseada entre diferenças entre os

vetores; iii) Recombinação (Crossover) e iv) Seleção.

4.3.1 Inicialização dos vetores

O DE se inicia com uma população aleatória de NP indivíduos representados na

forma de vetores, cada um sendo uma solução multidimensional para o problema de

otimização. Cada vetor possui dimensão D e as variáveis que os compõem representam

as características do problema a ser modelado. As gerações são denotadas por G=0, 1,

..., Gmax. Como os vetores podem sofrer mudanças ao longo das gerações usa-se a

seguinte notação para representá-los:

�� 𝑖,𝐺 = [𝑥1,𝑖,𝐺 , 𝑥2,𝑖,𝐺 , … , 𝑥𝐷,𝑖,𝐺] (12)

Onde:

▪ �� 𝑖,𝐺 é o i-ésimo vetor da população da geração G.

As componentes de cada vetor representando um indivíduo podem ainda serem

restringidas por limites inferiores e superiores, para representar aspectos físicos do

problema (por exemplo: grandezas como massa e comprimento não podem assumir

valores negativos). Os limites são estabelecidos da seguinte forma (PAIVA 2011):

19

𝑥𝑗,𝑖,𝐺 = 𝑥𝑗,𝑚𝑖𝑛 + 𝑟𝑛𝑑𝑗,𝑖 × (𝑥𝑗,𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑗,𝑚𝑖𝑛) (13)

Onde:

▪ 𝑥𝑗,𝑖,𝐺 é a componente j do indivíduo i na geração G;

▪ 𝑥𝑗,𝑚𝑖𝑛 é o menor valor que pode ser assumido pela componente j;

▪ 𝑥𝑗,𝑚𝑎𝑥 é o maior valor que pode ser assumido pela componente j;

▪ 𝑟𝑛𝑑𝑗,𝑖 é um número aleatório entre 0 e 1, segundo uma distribuição

uniforme.

4.3.2 Mutação com a Diferença Entre Vetores

No campo da biologia, mutação significa uma mudança no material genético de

um organismo. No contexto dos Algoritmos Evolutivos, a mutação é representada

como uma perturbação envolvendo um elemento aleatório. O algoritmo DE básico

utiliza três vetores para realizar a mutação (DAS e SUGANTHAN 2011):

▪ Vetor Alvo: é o indivíduo da geração atual que será o pai para a próxima

geração;

▪ Vetor Doador: é o indivíduo obtido pela operação de mutação por diferença;

▪ Vetor Teste: é o descendente da combinação entre os vetores Alvo e

Doador.

O DE cria um Vetor Doador para cada indivíduo (Vetor Alvo) da população

atual usando três outros vetores, �� 𝒓𝟏𝒊 , �� 𝒓𝟐

𝒊 e �� 𝒓𝟑𝒊 . Os índices 𝑟1

𝑖 , 𝑟2𝑖 e 𝑟3

𝑖 são números

inteiros mutualmente excludentes obtidos aleatoriamente do intervalo [1, NP]. Eles

também são diferentes do vetor base i. Em seguida, a diferença entre quaisquer dois

vetores dos três escolhidos é multiplicada por um fator de perturbação (F),

normalmente pertencente ao intervalo [0,4;1,0]. Essa diferença é somada ao terceiro

vetor obtendo-se o Vetor Doador (DAS e SUGANTHAN 2011):

�� 𝑖,𝐺 = �� 𝑟1𝑖 ,𝐺 + 𝐹 × (�� 𝑟2𝑖 ,𝐺 − �� 𝑟3𝑖 ,𝐺) (14)

Onde:

20

▪ �� 𝒊,𝑮 é o i-ésimo Vetor Doador obtido de outros 3 vetores aleatórios na geração

G;

▪ �� 𝒓𝟏𝒊 ,𝑮 é o vetor aleatório 1 selecionado para gerar o i-ésimo Vetor Doador na

geração G;

▪ �� 𝒓𝟐𝒊 ,𝑮 é o vetor aleatório 2 selecionado para gerar o i-ésimo Vetor Doador na

geração G;

▪ �� 𝒓𝟑𝒊 ,𝑮 é o vetor aleatório 3 selecionado para gerar o i-ésimo Vetor Doador na

geração G;

▪ 𝐹 é o fator de perturbação, normalmente escolhido entre [0,4;1,0], ou seja, real e

constante.

4.3.3 “Crossover”

Para aprimorar a diversidade da população, Storn e Price (1995) propuseram a

operação de crossover. Tal processo é bem conhecido na biologia e consiste na troca de

material genético entre dois cromossomos para aumentar a diversidade dos

descendentes. O objetivo da operação é gerar o Vetor Teste (�� 𝒊.𝑮) resultante da

combinação entre os vetores Doador e Alvo.

�� 𝒊.𝐺 = [𝑢1,𝑖,𝐺 , 𝑢2,𝑖,𝐺 , … , 𝑢𝐷,𝑖,𝐺] (15)

O crossover pode ocorrer principalmente de duas formas, exponencial ou

binomial (implementado no ProgOtim). No caso exponencial, são escolhidos dois

números inteiros para delimitar a faixa de troca de componentes entre o Vetor Alvo e o

Doador. O primeiro é o número inteiro n pertencente ao intervalo [1; D] e define o

ponto de partida para o crossover. O segundo é o inteiro L, também pertencente ao

intervalo [1; D], que estipula quantas componentes o Vetor Doador irá compartilhar

com o Vetor Alvo. Com n e L definidos, as componentes do Vetor Teste são obtidas da

seguinte maneira: (PRICE, STORN e LAMPINEN 2006).

𝑢𝑗,𝑖,𝐺 = 𝑣𝑗,𝑖,𝐺; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 𝑛, (𝑛 + 1),… , (𝑛 + 𝐿 − 1) (16)

𝑢𝑗,𝑖,𝐺 = 𝑥𝑗,𝑖,𝐺 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑗 ∈ [1, 𝐷] (17)

Onde:

▪ 𝑢𝑗,𝑖,𝐺 é a j-ésima componente do i-ésimo Vetor Teste na geração G;

21

▪ 𝑣𝑗,𝑖,𝐺 é a j-ésima componente do i-ésimo Vetor Doador na geração G;

▪ 𝑥𝑗,𝑖,𝐺 é a j-ésima componente do i-ésimo Vetor Alvo na geração G.

O inteiro L que limita o número de componentes a sofrerem crossover é obtido

segundo o seguinte pseudo-código:

L = 0; DO

{

L = L + 1;

} WHILE ((rnd(0, 1) ≤ Cr) AND (L ≤ D))

Portanto, a operação de crossover depende fortemente do fator Cr, denominado

taxa de crossover. Cr é um parâmetro a ser ajustado no algoritmo DE, assim como o

fator de perturbação F.

No caso do cruzamento binomial todas as componentes são analisadas. A troca

entre as componentes dos Vetores Doador e Alvo é feita se Cr for maior que um

número gerado aleatoriamente entre 0 e 1 (PAIVA 2011). Ou seja:

𝑢𝑗,𝑖,𝐺 = 𝑣𝑗,𝑖,𝐺 𝑠𝑒 𝑟𝑛𝑑(0,1) ≤ 𝐶𝑟,

𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑏𝑒 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐷𝑜𝑎𝑑𝑜𝑟

(18)

𝑢𝑗,𝑖,𝐺 = 𝑥𝑗,𝑖,𝐺 𝑠𝑒 𝑟𝑛𝑑(0,1) ≥ 𝐶𝑟,

𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑏𝑒 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐴𝑙𝑣𝑜

(19)

Onde:

▪ 𝑟𝑛𝑑(0,1) é um valor aleatório entre 0 e 1, novo para cada componente

analisada;

▪ Cr é a taxa de crossover

4.3.4 Seleção

Por fim, a função objetivo é calculada para os Vetores Teste e Alvo para que o

melhor seja selecionado e ocupe um lugar na próxima geração. O menos apto é

eliminado já que o número de indivíduos deve ser constante. (CHENG e HWANG

2002). A operação de seleção é feita da seguinte forma:

�� 𝑖,𝐺+1 = �� 𝑖,𝐺 𝑠𝑒 𝑓(�� 𝑖,𝐺) ≥ 𝑓(�� 𝑖,𝐺) (20)

�� 𝑖,𝐺+1 = �� 𝑖,𝐺 𝑠𝑒 𝑓(�� 𝑖,𝐺) ≤ 𝑓(�� 𝑖,𝐺) (21)

Onde:

22

▪ 𝑓(�� ) é a função objetivo a ser otimizada (minimizada no exemplo acima).

Portanto, a população tende a melhorar ou permanecer com o mesmo fitness e

os descendentes nunca serão piores em termos de qualidade da função objetivo se

comparados aos pais.

23

5 ESTUDO DE CASO

Com o objetivo de realizar uma comparação de desempenho entre os algoritmos

DE e PSO, efetuou-se uma análise paramétrica sistemática para encontrar uma

combinação de parâmetros que retorne bons resultados da função objetivo. Essa análise

foi feita em cima do problema definido na seção 5.1. Ele consistiu basicamente em

executar experimentos nos quais variou-se um determinado parâmetro mantendo-se os

demais constantes de modo a verificar seu impacto na qualidade dos resultados. O

passo de variação adotado foi 0,1 e cada experimento foi rodado 30 vezes para garantir

robustez estatística.

A qualidade de cada experimento foi medida com base na média dos fitness

médios populacionais, calculada com base nas 30 rodadas (nesta seção, a média dos 30

fitness médios populacionais será referenciada somente como fitness médio por

simplicidade). Também foi analisada a média dos desvios padrões calculados para cada

uma das 30 rodadas (referenciada somente como desvio padrão).

O procedimento foi realizado para cada parâmetro individualmente, além disso,

combinações propostas por outros autores também foram testadas. Os experimentos

admitiram um número máximo de 50 gerações o qual assegurou a convergência de

ambos os algoritmos.

24

5.1 Definição do Problema

Um estudo de caso foi proposto com o objetivo de comparar as melhores

soluções e convergência dos algoritmos DE e PSO. A configuração de riser “Lazy

Wave” será otimizada para uma profundidade de 1290 metros e uma projeção

horizontal de 2000 metros. As propriedades físicas e geométricas do mesmo se

encontram na Tabela 1 a seguir. As Tabela 2 Tabela 3 apresentam os intervalos das seis

variáveis livres e as restrições admitidas, respectivamente. O segmento com flutuadores

possui uma razão de custo (C2/C1) igual a 2, o que significa que seu custo supera em

duas vezes o do riser convencional.

Tabela 1: Propriedades físicas e geométricas do Riser.

MATERIAL

Densidade 7800 kg/m3

Peso Específico 77 kN/m3

Limite de Escoamento 413 MPa

Tensão Admissível 277 MPa

Módulo de Elasticidade 207800 MPa

Razão de Custo C2/C1 2.0

GEOMETRIA

Espessura 0.01985 m

Diâmetro Externo 0.21908 m

Diâmetro Interno 0.18098 m

Peso do Flutuador 0.162 ton/m

Flutuabilidade do Flutuador 0.3175 ton/m

Diâmetro Externo do Flutuador 0.568 m

Tabela 2:Intervalo das variáveis livres.

VARIÁVEIS LIVRES MIN(m) MAX(m)

Segmento de Riser (L1) 800 2000



Diâmetro do Flutuador (HDf) 1.2 3

Comprimento do Flutuador(Lf) 0.8 3

Espaçamento entre Flutuadores

(Esp) 0.5 3

Tabela 3: Restrições.

RESTRIÇÕES VALOR

Tensão de Von Mises 415.5 MPa

Angulo de Topo Máximo 18º

Angulo de Topo Mínimo 5º

Variação de ângulo Built-in 5º

Tração Máxima no Topo 1000 kN

Tração Mínima 300 kN

25

5.2 Escolha da População

A escolha da população deve ser feita com base em um balanço entre custo

computacional e qualidade das soluções. Além disso, para fins de comparação, o

mesmo número de indivíduos deve ser utilizado nos experimentos com DE e PSO, já

que populações maiores implicam em um maior número de candidatos à solução

objetivo e, portanto, uma probabilidade maior de se encontrar boas soluções. Assim,

experimentos foram realizados variando-se a população com incrementos de 10 ou 5

indivíduos para o PSO e para o DE com o intuito de identificar o ponto em que o

aumento de esforço computacional não melhora significativamente o fitness médio.

Para isso, foram utilizadas combinações default, sendo [C1 = C2 1,7 e ω = 0,6] para o

PSO e [Cr=0,2 e F = 0,8] para o DE (TRELEA 2002) (PEDERSEN 2010). O mesmo

PC foi utilizado em ambos os casos para garantir a igualdade de capacidade de

processamento entre DE e PSO. Os resultados estão representados na Tabela 4 e Tabela

5 a seguir. Elas foram utilizadas para plotar os gráficos da Figura 4 e Figura 5 abaixo.

Figura 4: Fitness médio vs Número de Indivíduos (PSO)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

49

49,5

50

50,5

51

51,5

52

52,5

Número de Indivíduos

Fit

nes

sM

édio

Fitness Médio vs N. de Indivíduos (PSO)

26

Tabela 4: Fitness médio e tempo de execução em função do número de indivíduos para

o PSO.

População Fitness Médio Tempo de Execução (hh:mm)

20 49,435 02:05

30 51,431 03:04

40 51,594 05:39

50 51,529 06:40

60 51,703 06:09

70 51,735 07:39

80 51,263 09:45

90 51,989 10:48

Figura 5: Tempo de Execução versus Número de Indivíduos (PSO).

Tabela 5: Fitness médio para e tempo de execução em função do número de indivíduos

para o DE.

População Fitness Médio Tempo de execução (h)

5 49,748 00:26:55

10 53,455 00:48:42

15 53,944 01:14:48

20 53,999 01:59:18

30 54,007 02:45:40

40 54,032 03:30:23

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Tem

po

de

Exec

uçã

o (

h)


Tempo de Execução vs N. de Indivíduos (PSO)

27

Figura 6: Fitness Médio versus Número de Indivíduos (DE).

Figura 7: Tempo de Execução versus Número de Indivíduos (DE).

Como se pode perceber das Tabelas e Figura 6, o PSO atinge a convergência

para 30 indivíduos enquanto o DE converge em torno de 15 indivíduos. Portanto a

população escolhida para comparar os dois algoritmos foi de 30 indivíduos.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

49

50

51

52

53

54

55


Fit

nes

sM

édio

Fitness Médio vs N. de Indivíduos (DE)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4


Tem

po

de

Exec

uçã

o (

h)

Tempo de Execução vs N. de Indivíduos

28

5.3 Análise paramétrica PSO

O algoritmo PSO possui parâmetros que controlam sua capacidade de busca

local, global e de interação entre os indivíduos que compõem o enxame. Desse modo, a

qualidade dos resultados depende fortemente da seleção dos parâmetros que controlam

os algoritmos.

Os parâmetros analisados foram apresentados na seção 4.2. O incremento

utilizado na variação de todos os parâmetros foi de 0,1 enquanto um parâmetro era

variado os demais eram mantidos constantes segundo uma combinação default sugerida

por Trelea (2002): C1 = C2 1,7 e ω = 0,6.

C1 e C2 variaram de 1 a 2; variou-se o coeficiente de inércia ω de 0,3 a 0 1,2

para seu comportamento fixo; ω0 variou de 0,3 a 1,2 para o caso linear e de 0,3 a 1,2

para o não linear. O expoente n utilizado na variação não linear de ω também foi

analisado para um intervalo de 0,6 a 1,8 (adotou-se um intervalo maior para esse

parâmetro devido ao comportamento instável do fitness médio em função do mesmo).

Por fim, testou-se combinações de C1 e C2 com pelo menos um deles variando

linearmente: C1=1,7 e C2 de 1 a 2; C1 de 1 a 2 e C2 = 1,7; C1 de 1 a 2 e C2 de 2 a 1;

C1 de 2 a 1 e C2 de 1 a 2; C1 de 1 a 2,5 e C2 de 2,5 a 1.

Os experimentos estão resumidos na Tabela 6 seguir. Nela, o conjunto {i a j}

representa todas as combinações possíveis para o incremento de 0,1. Por exemplo: {1 a

2} = {1; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0}. Já a representação i : j (linear)

significam que um único experimento foi feito, no qual os coeficientes C1 e C2 são

variados linearmente de i a j.

29

Tabela 6: Resumo dos experimentos realizados com o PSO.

Número de

Indivíduos 30

Número de

Gerações 50

Incremento 0,1

Experimento C1 C2 ω (fixo)

ω0

(variação

Linear)

ω0

(variação

não

linear) n

1 {1 a 2} 1,7 0,6 n/a n/a n/a

2 1,7 {1 a 2} 0,6 n/a n/a n/a

3 1,7 1,7 {0,3 a 1,2} n/a n/a n/a

4 1,7 1,7 n/a {0,3 a 1,2} n/a n/a

5 1,7 1,7 n/a n/a

{0,3 a

1,2} 1,2

6 1,7 1,7 n/a n/a 0,6

{0,5 a

1,8}

7 2 : 1 (linear) 1,7 0,6 n/a n/a n/a

8 1,7

1 : 2

(linear) 0,6 n/a n/a n/a

9 2 : 1 (linear)

1 : 2


10 1 : 2 (linear)

2 : 1


11

2,5 : 0,5

(linear)

0,5 : 2,5


Os resultados estão plotados a seguir. A Figura 8 mostra a relação entre C1 e C2

(fixos), o fitness médio e o desvio padrão. A Figura 9 demonstra a influência dos

coeficientes de inercia fixo, linear e não linear sobre as médias da função objetivo e

desvio padrão. O mesmo foi feito na Figura 10 para o coeficiente n, utilizado na

variação não linear do coeficiente de inércia. Finalmente, na Figura 11 pode-se

visualizar as combinações de C1 e C2 não lineares e seus respectivos fitness médio e

desvio padrão.

30

Figura 8: Fitness médio e desvio padrão em função de C1 e C2.

Na Figura 8 pode-se perceber um comportamento inversamente proporcional

entre fitness médio e o desvio padrão. Este último apresentou leves variações em torno

de 8. Além disso vemos uma tendência de diminuição fitness médio com o aumento dos

coeficientes C1 e C2, sendo que os maiores fitness médios obtidos ocorreram para os

pontos [C1 = 1,2; fitness médio = 51,249] e [C2 = 1,1; fitness médio = 51,520].

Figura 9: Fitness Médio e Desvio Padrão em Função de ω, ω0 (linear) e ω0 (não

linear).

Da Figura 9, pode-se inferir que o aumento do coeficiente de inércia (ω) tem um

impacto negativo expressivo sobre o fitness médio. O mesmo não ocorre para ω0

(linear) o qual demonstra uma melhora inicial em torno de 0,5, seguido por uma queda

e recuperação somente em 1,1. Já ω0 (não linear), apresentou uma oscilação no

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

40,00

42,00

44,00

46,00

48,00

50,00

52,00

54,00

1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,20

ST

D m

édio

Fit

nes

sM

édio

Fitness Médio e Desvio Padrão em Função de C1 e C2

C2 C1 STD médio C2 STD médio C1

0

5

10

15

20

25

30

37

39

41

43

45

47

49

51

53

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3

ST

D m

édio

Fit

nes

sM

édio

Fitness Médio e Desvio Padrão em Função de ω, ω0

(linear) e ω0 (não linear)

ω (fixo) ω0 (linear) ω0 (não linear)

STD médio ω STD médio ω0 (linear) STD médio (não linear)

31

intervalo estudado em torno de um fitness médio igual a 51. O desvio padrão médio de

ω aumentou significativamente para maiores valores do coeficiente de inércia enquanto

os demais se mantiveram quase constantes em torno de 7. Os maiores valores de fitness

médio ocorreram para os pontos [ω= 0,3; fitness médio = 51,764], [ω0 (linear) = 0,5;

fitness médio = 51,555] e [ω0 (não linear) = 0,5; fitness médio = 51,865].

Na Figura 10 a seguir, pode-se visualizar o comportamento do fitness médio em

função do coeficiente n.

Figura 10: Fitness Médio e Desvio Padrão em Função do Coeficiente n.

Como mostra Figura 10, o aumento coeficiente n tem um comportamento

oscilatório sobre a Média da Função Objetivo, apresentando resultados de fitness médio

que oscilam em torno de 51,5. O desvio padrão médio, entretanto, se manteve

relativamente constante com o aumento de n. O maior fitness médio observado ocorreu

no ponto [n = 1,5; fitness médio = 52,223].

Na Figura 11, estão representadas as combinações com C1 e C2 variando

linearmente.

0

5

10

15

20

25

30

48

48,5

49

49,5

50

50,5

51

51,5

52

52,5

0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

ST

D m

édio

Fit

nes

sM

édio

Fitness Médio e Desvio Padrão em Função do Coeficiente

n

Coeficiente n STD médio n

32

Figura 11: Fitness Médio e Desvio Padrão em Função de C1 e C2 Lineares.

Espera-se melhores resultados de fitness médio para combinações em que o C1

inicia-se com grande valor e decaí para valores menores, enquanto C2 inicia-se

pequeno. Tal comportamento favorece a busca global no início da execução do

algoritmo e a busca local nas últimas gerações. Essa expectativa foi correspondida já

que o melhor resultado ocorreu para a combinação de C1 variando linearmente de 2,5 a

0,5 e C2 de 0,5 a 2,5 a qual retornou um fitness médio de 51,234. O desvio padrão

médio apresentou pequenas variações em torno de 8.

Com a análise paramétrica feita, foram realizados experimentos com as

melhores combinações utilizando os melhores parâmetros encontrados. Elas estão

resumidas na Tabela 7 abaixo e contemplam as 3 combinações com C1 = 2,5 a 0,5 e

C2= 0,5 a 2,5 variando linearmente e os coeficientes de inércia estático (ω = 0,3), linear

(ω0 = 0,5) e não linear (ω0 = 0,5 com n = 1,5). Analogamente, mais três combinações

foram feitas para combinações de C1 e C2 estáticos e os três tipos de coeficiente de

inércia. Finalmente, as combinações propostas por Trelea (2002) também foram

testadas, elas são: [C1 = C2 = 1,7 e 𝜔 = 0,6]; [C1 = C2 = 1,494 e 𝜔 = 0,729].

0

5

10

15

20

25

30

45

46

47

48

49

50

51

52

C1 de 2,5 a 0,5 e

C2 de 0,5 a 2,5

C1 de 2 a 1 e C2

de 1 a 2

C1 de 2 a 1 e C2

= 1,7

C1 de 1 a 2 e C2

de 2 a 1

C1 = 1,7 e C2 de

1 a 2

ST

D m

édio

Fit

nes

sM

édio

Fitness Médio e Desvio Padrão em Função de C1 e C2

Lineares

C STD médio n

33

Tabela 7: Resumo dos experimentos realizados com os melhores parâmetros obtidos na

análise paramétrica para o PSO

Combinação C1 C2 ω

Tipo de

Variação

de ω

Fitness

Médio

Desvio

Padrão

1 2,5 : 0,5 (linear) 0,5 : 2,5 (linear) 0,3 estático 51,568 7,047

2 2,5 : 0,5 (linear) 0,5 : 2,5 (linear) 0,5 linear 49,908 7,1045

3 2,5 : 0,5 (linear) 0,5 : 2,5 (linear) 0,5

não linear

(n=1,5) 50 7,124

4 1,2 1,1 0,3 estático 49,795 7,181

5 1,2 1,1 0,5 linear 50,203 7,255

6 1,2 1,1 0,5

não linear

(n=1,5) 51,035 7,342

7 1,7 1,7 0,6 estático 50,272 8,906

8 1,494 1,494 0,729 estático 50,210 7,94

Como pode ser visto na Tabela 7, o maior fitness médio foi obtido para a

combinação 1. Portanto, esta combinação será utilizada para comparação de

desempenho com uma combinação do algoritmo DE que passará por um processo

similar de análise paramétrica.

34

5.4 Análise Paramétrica DE

A análise paramétrica para o algoritmo DE também foi realizada com um

incremento de 0,1 para os coeficientes apresentados na seção 4.3. O intervalo analisado

para o Fator de Perturbação (F) foi [0,1 a 1] segundo (PAIVA 2011) e para a Taxa de

Crossover (Cr) foi [0,1 a 1] segundo Storn (1995).

Para uma população de 30 indivíduos e 50 gerações, foram realizados 4 tipos de

variação. O primeiro com Cr variando de 0,1 a 1 e F constante igual a 0,8; o segundo

com F variando de 0,1 a 1 e Cr constante igual a 0,2. Também foi feita uma análise

com Cr e F variando juntos de 0,2 a 1 e, por fim, variando de maneira inversa da

seguinte forma: Cr variando de 0,9 a 0,2 enquanto F varia de 0,1 a 0,8. As combinações

dos experimentos estão resumidas na Tabela 8 a seguir.

Tabela 8: Resumo das combinações dos experimentos realizados para o DE.

População 30

Número máximo de gerações 50

Incremento 0,1

Tipo de variação Cr F

Variação com F constante {0,1 a 1} 0,8

Variação com Cr constante 0,2 {0,2 a 1}

Variação Conjunta {0,2 a 1} {0,2 a 1}

Variação Inversa {0,9 a 0,2}

{0,1 a

0,8}

A seguir encontram-se os gráficos do fitness médio e do desvio padrão em

função dos coeficientes Cr e F para as variações com Cr constante, F constante, ambos

variando de forma conjunta e inversa.

35

Figura 12: Fitness médio e Desvio Padrão em Função de Cr e CF.

Na Figura 12 acima, vemos a tendência do fitness médio em aumentar com o

aumento de Cr (F mantido constante) e diminuir com o aumento de F (Cr mantido

constante). O desvio padrão de Cr se comporta de maneira inversamente proporcional

ao seu fitness médio e um comportamento similar é observado para o desvio padrão de

F. Os melhores fitness médio ocorreram para os pontos [ Cr = 1 e F = 0,8; fitness

médio = 53,328 ], no caso da análise de Cr e [Cr = 0,2 e F= 0,2; fitness médio =

51,770] no caso de F.

Figura 13: Fitness Médio e desvio padrão em função de Cr e F Variando Juntos.

A Figura 13 mostra um leve aumento na média da função objetivo para Cr e F

variando simultaneamente. O melhor resultado ocorreu para a combinação [Cr = F =

0,6; fitness médio = 52,805], a partir desse ponto, a média da função objetivo tende a

piorar com o aumento conjunto de Cr e F. Mais uma vez, o desvio padrão demonstra

um comportamento inverso em relação ao fitness médio.

0

2

4

6

8

10

40

42

44

46

48

50

52

54

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ST

D m

édio

Fit

nes

sm

édio

Fitness Médio e Desvio Padrão em Função de Cr e F

Cr F STD médio Cr STD médio F

0

2

4

6

8

10

40

42

44

46

48

50

52

54

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ST

D m

édio

Fit

nes

sM

édio

Fitness Médio e Desvio Padrão em Função de Cr e F

Variando Juntos

Cr e F Variando Juntos STD médio Cr e F

36

Figura 14: Fitness médio e desvio padrão para combinações de Cr e F variando

inversamente.

A Figura 14 mostra que pode-se obter bons resultados para valores de Cr e F

próximos, na faixa de 0,4 a 0,6. No entanto, o melhor fitness médio ocorreu no ponto

[Cr = 0,8 e F = 0,2; fitness médio = 53,651]. Os menores desvios padrão ocorreram

para os maiores valores da média da função objetivo.

Após a análise paramétrica, foram realizados experimentos combinando os

melhores parâmetros encontrados. Eles estão resumidos na Tabela 9 abaixo e totalizam

4 combinações. A combinação 1 utiliza os valores de Cr e F resultantes da análise feita

com um parâmetro variando (Cr ou F) enquanto o outro era mantido constante. A

combinação 2 foi escolhida com base no tamanho da população e número de avaliações

da função objetivo, segundo recomendado por Pedersen (2010). As combinações 3 e 4

resultaram da análise de Cr e F variando inversamente e juntos, respectivamente.

Tabela 9: Resumo das Melhores Combinações para o DE.

Combinação C F Fitness Médio STD Médio

1 1,000 0,200 52,336 0,950

2 0,943 0,661 51,642 1,094

3 0,800 0,200 53,651 0,040

4 0,500 0,500 52,808 0,688

Como pode ser visto na Tabela 9, a combinação 3 resultou no melhor fitness

médio. Assim, essa combinação será utilizada para a comparação de desempenho em

relação a combinação encontrada para o PSO.

0

2

4

6

8

10

30

35

40

45

50

55

Cr = 0,9 e

F = 0,1

Cr = 0,8 e

F = 0,2

Cr = 0,7 e

F = 0,3

Cr = 0,6 e

F = 0,4

Cr = 0,5 e

F = 0,5

Cr = 0,4 e

F = 0,6

Cr = 0,3 e

F = 0,7

Cr = 0,2 e

F = 0,8

ST

D m

édio

Fit

nes

sM

édio

Fitness Médio Para Combinações de Cr e F Variando

Inversamente

Cr e F Variando Inversamente STD médio Cr e F variando Inversamente

37

5.5 Comparação de Desempenho entre DE e PSO

Utilizando as combinações resultantes da análise paramétrica, realizou-se uma

comparação de velocidade de convergência entre DE e PSO aplicado a um caso de

estudo de riser em configuração “lazy-wave”. Foram executadas 30 rodadas para fazer

média com os maiores fitness registrado em cada uma das 50 gerações. Ou seja, foi

possível acompanhar a evolução do melhor fitness médio encontrado pelos algoritmos

ao longo das gerações, evidenciando qual convergiu primeiro e qual alcançou melhores

valores de fitness. As combinações comparadas estão reiteradas na Tabela 10 e são

apresentadas em conjunto com o fitness médio do melhor indivíduo na 50ª geração, seu

desvio padrão, o fitness médio populacional (registrado na seção anterior) e o desvio

padrão médio populacional. A evolução do fitness médio máximo está representada na

Figura 15 para ambos os algoritmos; assim como a evolução do menor valor da função

objetivo e desvio padrão da média dos melhores valores. A Figura 16 mostra a

diferença percentual entre o fitness médio máximo do PSO e DE ao longo das 50

gerações.

Tabela 10: Combinações dos algoritmos PSO e DE escolhidos para comparação

juntamente com os valores de fitness médio e desvio padrão.

Algoritmo Parâmetros

Fitness

Médio do

Melhor

Indivíduo

Desvio Padrão

do Melhor

Indivíduo

Fitness

Médio

Populacional

Desvio Padrão

Médio

Populacional

PSO

C1 = 2,5 : 0,5

(linear); C2 = 0,5 :

2,5 (linear); ω

= 0,3 (estático)

53,677 0,941 51,568 7,047

DE C = 0,8; F = 0,2 53,730 0,940 53,651 0,040

38

Figura 15: Evolução dos valores máximos e mínimos do fitness médio dos algoritmos DE e PSO e seus respectivos desvios padrões por

geração.

39

Figura 16: Diferença percentual entre o fitness médio máximo entre PSO e DE ao longo das 50 gerações.

40

A partir da Tabela 10 percebe-se que, embora o DE apresente um desvio padrão

muito menor que o PSO para o fitness médio da população, o desvio padrão do fitness

médio do melhor indivíduo é praticamente igual. Ou seja, a população do DE tende a se

concentrar mais em torno do indivíduo de melhor fitness enquanto a população de PSO

tende a estar mais espalhada pelo espaço de soluções. Além disso, a Tabela 10 mostra

que o DE foi capaz de encontrar configurações ligeiramente melhores que o PSO ao

fim das 50 gerações.

A Figura 15 demonstra que o PSO possui maior capacidade de convergência

quanto ao fitness do melhor indivíduo se comparado ao DE. Isso fica mais claro na

Figura 16, a qual apresenta a diferença percentual entre os fitness médios máximos do

PSO e DE ao longo das 50 gerações (valores positivos indicam superioridade do PSO).

Na primeira geração os melhores indivíduos produzidos pelo PSO apresentam fitness

médio 12% maiores que os indivíduos do DE. Tal superioridade cai drasticamente até a

quinta geração na qual o fitness médio do PSO é 1% maior que DE. Essa diferença

decai levemente até que finalmente DE e PSO se equiparam na geração de número 40.

A Figura 15 mostra ainda que os indivíduos de menor fitness médio do

algoritmo DE se aproximam rapidamente dos indivíduos de maior fitness médio até a

geração de número 15. Já os indivíduos de menor fitness médio do PSO melhoram

somente até a décima geração, o que justifica seu elevado desvio padrão médio

populacional.

41

6 COMENTÁRIOS FINAIS

Conclusões

Neste trabalho foram realizadas análises e comparações de desempenho entre

dois algoritmos evolutivos, PSO e DE, na otimização de um riser em configuração

“lazy-wave”.

Através de um estudo paramétrico, foi possível investigar a sensibilidade dos

algoritmos em relação a cada um de seus parâmetros para o problema do riser. No caso

do PSO, percebe-se um maior impacto no fitness médio com a variação dos

coeficientes social (C1), cognitivo (C2) e do coeficiente de inércia (ω) nos casos em

que estes não variam ao longo das gerações. Ou seja, coeficientes que apresentam

algum tipo de variação ao longo das gerações penalizam menos o fitness médio caso o

intervalo de variação deles seja “mal selecionados”, se comparado aos coeficientes

“estáticos”. A melhor combinação observada para o PSO foi [C1 = 2,5 : 0,5 (linear);

C2 = 0,5 : 2,5 (linear) e ω = 0,3 (estático)].

No caso do DE, não foram consideradas variações nos parâmetros ao longo das

gerações. Mesmo assim, a taxa de cross over (Cr) foi o parâmetro que apresentou maior

impacto sobre o fitness médio se comparado ao fator de perturbação (F).

A Figura 15 evidencia a superioridade quanto a velocidade de convergência do

PSO se comparado ao DE. Já a Tabela 10 mostra que o DE é capaz de encontrar

soluções um pouco melhores que o PSO. Vale ressaltar, que o processo de análise

paramétrico do DE foi muito menos trabalhoso que o do PSO, já que este último contou

com algumas alterações que aumentaram as possibilidades de análise paramétrica, mas

que não melhoraram significativamente o fitness médio populacional.

Trabalhos Futuros

A comparação entre PSO e DE pode ser continuada utilizando uma análise

dinâmica não-linear no domínio do tempo de Elementos Finitos (EF). Tal tarefa,

validaria as configurações encontradas por cada um dos algoritmos e colocaria a prova

a comparação feita neste trabalho utilizando o modelo analítico de catenária.

Outros algoritmos evolutivos também poderiam passar pelo mesmo processo de

comparação apresentado neste trabalho com a finalidade de encontrar o mais indicado

para o problema do riser. Na ferramenta ProgOtim, inclusive, estão implementados

42

algoritmos como: Algoritmo Genético, Sistema Imunológico Artificial e “Invasive

Weed Optimization”.

43

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