AXIOMATIZAÇÃO

Equipe: André Augusto Kaviatkovski, Daniel Elias Ferreira, Vinicius Zaramella

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Sistema Dedutivo:

•Sistemas Dedutivos são métodos utilizados na lógica e em outras ciências para se inferir conseqüências lógicas a partir de um conjunto de fórmulas tomadas a priori.

•Existem várias formas de se realizar inferênciasentre esses métodos estão os Sistemas de Deduções Naturais, Métodos dos Tableaux analíticos e Axiomatizações.

•Quando um Sistema Dedutivo infere uma fórmula A de uma teoria , escreve-se ⱵA, chamado de seqüente e constituído do antecedente (ou hipótese) e do conseqüente (ou conclusão) A.

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Axiomatização:

• O axioma era um importante elemento do método lógico dedutivo dos gregos, tal método era utilizado na apresentação da geometria euclidiana, tratava-se na época de axiomatizar uma teoria, a teoria geométrica.

•as axiomatizações foram utilizadas em tentativas de prover um fundamento seguro para a matemática.

•Em lógica, porém, compreende-se axiomatização como uma forma lógica de inferência.

•uma axiomatização possui dois elementos distintos: axiomas e regras de inferência.

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Axioma:

•Um axioma é aceito como verdade e serve como ponto inicial para dedução e inferências de outras verdades (dependentes de teoria).

•Um axioma não é necessariamente uma verdade auto-evidente, mas apenas uma expressão lógica formal usada em uma dedução, visando obter resultados mais facilmente.

•Axiomatizar um sistema é mostrar que suas inferências podem ser derivadas a partir de um pequeno e bem-definido conjunto de sentenças.

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Regras de inferência:

•As regras de inferência possuem como características:

I)Se a Hipótese inicial for verdadeira, então a Conclusão é verdadeira.

II) As premissas de um sistema de inferência são regras sem hipóteses.

III) Permitem inferir novas fórmulas a partir de formulas já inferidas.

•No caso da axiomatização da lógica proposicional clássica será utilizado o Modus Ponens:

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Modus Ponens:

•A partir de A B e A, infere-se B.

•O argumento tem duas premissas:-A condição "se - então", nomeadamente que A implica B.-A é verdadeiro.

•Destas duas premissas pode ser logicamente concluído que B tem de ser também verdadeiro.

EXEMPLO:

- Se chover, então fico em casa.- Choveu.- Então fico em casa.

Fonte: WIKIPEDIA. Modus Ponens. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Modus_ponens>. Acesso em: 21 mar. 2009.

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Substituição:

•A substituição de um átomo p por uma fórmula B em uma fórmula A é representada por A[p := B].

•A definição formal de substituição se dá por indução estrutural sobre a fórmula A, sobre a qual se processa a substituição, da seguinte maneira:

1.p[p := B] = B

2.q[p := B] = q, para q ≠ p.

3.(A) [p:=B]= (A [p:=B]).

4.(A1 A2) [p := B] = (A1 [p := B]) (A2 [p := B]), para {,,}

Fonte: CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, 2006. p. 35..

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Substituição:

Exemplo:

(p (p q))[p := (r s)]

= p[p := (r s)] (p q)[p := (r s)]

= (r s) (p[p := (r s)] q[p := (r s)])

= (r s) ((r s) q)

•Quando uma fórmula B é resultante da substituição de um ou mais átomos da fórmula A, dizemos que B é uma instância da fórmula A.

Fonte: CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, 2006. p. 35. .

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Dedução, teoremas:

• Axiomas da lógica proposicional clássica:(1) p (q p);

(2) (p (q r)) ((p q) (p r));

(1) p (q (p q));

(2) (p q ) p ;

(3) (p q ) q ;

(1) p (p q);

(2) q (p q);

(3) (p r) ((q r) ((p q) r));

(1) (p q) ((p q) p);

(2) p p . Fonte: CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, 2006. p. 36 .

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Dedução, teoremas:

• Dedução: uma seqüência de fbf A1, A2 … An tal que cada fbf na seqüência é um axioma ou pode ser obtida das mesmas por meio das regras de inferência.

• Teorema: uma fbf A tal que existe uma dedução A1, A2

… An = A . Neste caso escreve-se Ⱶ A .

• A axiomatização possui a propriedade da substituição uniforme, isto é, se A é um teorema e se B é uma instância de A, então B também é um teorema

Fonte: KAESTNER, Celso A. A. Disponível em: <http://www.dainf.cefetpr.br/~kaestner/Logica/SistemasDedutivos.ppt>. Acesso em: 18 mar. 2009.

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Dedução, teoremas:

• “Pode-se ainda definir o conceito de fórmula dedutível de uma teoria (conjunto de fbf);

• Diz-se que A é dedutível a partir de uma teoria se há uma dedução, ou seja seqüência de fbf A1, A2 … An = A tal que cada fbf na seqüência é:

1. uma fbf da teoria ;

2. uma instância de um axioma;

3. pode ser obtida das fórmulas anteriores por meio das regras de inferência;”

Fonte: KAESTNER, Celso A. A. Disponível em: <http://www.dainf.cefetpr.br/~kaestner/Logica/SistemasDedutivos.ppt>. Acesso em: 18 mar. 2009.

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Exemplo de axiomatização:•Dedução do teorema I = A A.

• (2), onde p := A, q := A A e r := A. Assim temos:1.(A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)).

• (1), onde p := A, q :=A A.Obtemos assim:2.A ((A A) A).

•Aplicando Modus Ponens 1, 2, obtemos a fórmula 3:3. ((A (A A)) (A A).

•(1) onde p := A e q := A:4. A (A A).

•Aplicando Modus Ponens 3, 4, obtemos a fórmula 5:5. A A.

Fonte: Adaptado de CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, 2006. p. 38.

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Teorema da dedução:•O teorema da dedução diz que: , A Ⱶ B se e somente se Ⱶ A B.•É capaz de transformar uma dedução que poderia ser complexa em uma dedução bastante simples.

•Exemplo:• B= (A B) ((C A) (C B))• A B, C A, C Ⱶ B. Tomamos como Hipótese as fórmulas:

1 – A B2 – C A3 – C.

•Aplicamos agora o Modus Ponens 2,3 e obtemos a fórmula: 4 – A•Por fim, aplicamos o Modus Ponens 1,4 e obtemos a fórmula:

5 – B

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Referências:

CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, 2006. p. 33 – 41.

KAESTNER, Celso A. A. Disponível em: <http://www.dainf.cefetpr.br/~kaestner/Logica/SistemasDedutivos.ppt>. Acesso em: 18 mar. 2009.

WIKIPEDIA. AXIOMA. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma>. Acesso em: 13 mar. 2009.

WIKIPEDIA. Modus Ponens. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Modus_ponens>. Acesso em: 21 mar. 2009.

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