B01 Múltiplos e Divisores - cursocem.com.br · = 300. Múltiplos e Divisores . Resolução: ......

MATEMÁTICA BÁSICA

Aula 01 – mtm B

Múltiplos e Divisores Paridade

Par: x = 2n, n∈Z

Exemplo 1: 6

6 = 2.3 n = 3

Ímpar: x = 2n+1, n∈Z

Exemplo 2: 9

9 = 2.4 +1 n = 4

Exemplo 3: Classifique como Verdadeiro ou Falso.

( ) 3,2 é um número sem paridade. ( ) 2,4 é um número par. ( ) Zero é um número sem paridade. ( ) - 2 é um número par. ( ) (UFPR) 0,999... é um número ímpar.

V F F

V V

Múltiplos e Divisores Critérios de divisibilidade

Divisibilidade por 2: Números pares.

Divisibilidade por 3: Números cuja soma dos algarismos for divisível por 3.

Exemplos: 4, 16, 13750.

Exemplo 1: 2759 2+7+5+9 = 23 23 não é divisível por 3, logo 2759 também não é.

Exemplo 2: 1902 1+9+0+2 = 12 12 é divisível por 3, logo 1902 também é.

Divisibilidade por 4: Número formados pelos dois últimos algarismos divisível por 4.

Divisibilidade por 5: Números terminados em 0 ou 5.

Exemplo 1: 777732 32 é divisível por 4, logo 777732 também é.


Exemplos: 10, 125, 22225.


Divisibilidade por 6: Números divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

Exemplo : 1902

1+9+0+2 = 12

1902 é divisível por 6.


12 é divisível por 3, logo 1902 é divisível por 3.

É um número par, logo divisível por 2.

Divisibilidade por 7:

Retira o algarismo das unidades, multiplica por 2 e subtrai do número que sobrou.

Exemplo 1: 715 4 7154 x 2 = 8 - 8 707 70 7 x 2 = 14

- 14 56

56 é divisível por 7, logo 7154 também é.


Divisibilidade por 7:

Retira o algarismo das unidades, multiplica por 2 e subtrai do número que sobrou.

Exemplo 2: 230 3 2303 x 2 = 6 - 6 224 22 4 x 2 = 8

- 8 14

14 é divisível por 7, logo 2303 também é.


Divisibilidade por 8: Números formado pelos três últimos algarismos divisível por 8.




Divisibilidade por 9: Números cuja soma dos algarismos for divisível por 9.

Divisibilidade por 10: Números terminados em 0 (zero).

Exemplo 2: 27594 2+7+5+9+4 = 27 27 é divisível por 9, logo 27594 também é.

Exemplo 1: 1902 1+9+0+2 = 12 12 não é divisível por 9, logo 1902 também não é.

Exemplos: 30, 920, 3131310.


Divisibilidade por 11: Números cuja soma dos algarismos de ordem par menos a soma dos algarismos de ordem ímpar for divisível por 11.

8 0 é divisível por 11, logo 35431 também é. - 8 = 0

3 - 22 é divisível por 11, logo 9130825 também é. - 25 = - 22


Exemplo 1: 3 5 4 3 1

Exemplo 2: 9 1 3 0 8 2 5

Divisibilidade por 12: Números divisíveis por 3 e por 4 ao mesmo tempo.

Exemplo: 54012

5+4+0+1+2 = 12 12 é divisível por 3, logo 54012 é divisível por 3.

É um número que termina em 12, logo divisível por 4.

54012 é divisível por 12.


Lei – O número deve ser divisível por outros dois, tais que eles sejam primos entre si e que o produto dê o divisor.

Exemplos: 18 Deve ser divisível por 2 e 9 ao mesmo tempo. 20 Deve ser divisível por 4 e 5 ao mesmo tempo.

Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.)

Menor múltiplo comum entre os números dados.

Exemplo 1: Calcule o M.M.C. de 50, 60 e 100.

50, 60, 100 2 25, 30, 50 2 25, 15, 25 3

25, 5, 25 5 5, 1, 5 5 1, 1, 1

multiplicar

M.M.C. (50, 60, 100) = 2.2.3.5.5 = 22.3.52 = 300

Múltiplos e Divisores

Resolução:

Máximo Divisor Comum (M.D.C.)

Maior divisor comum entre os números dados.

Exemplo 2: Calcule o M.D.C. de 60, 140 e 420.

60, 140, 420 2 30, 70, 210 2 15, 35, 105 5

3, 7, 21

multiplicar

M.D.C. (60, 140, 420) = 2.2.5 = 2².5 = 20


primos entre si

Resolução:

Exemplo 3: (FGV) Estudos e simulações são necessários para melhorar o trânsito. Por exemplo, imagine que, em uma avenida de um bairro temos três semáforos A, B e C. O semáforo A fica verde a cada 15 segundos; o semáforo B, a cada 20 segundos ; o semáforo C, a cada 25 segundos. Às 7h, simultaneamente os 3 semáforos, ficaram verdes ao mesmo tempo, a próxima vez que simultaneamente os 3 semáforos ficarão verdes ao mesmo tempo será à que horas:


Resolução: Você procura um número comum? Sua resposta é número maior ou menor? Múltiplo ou divisor? MMC ou MDC?

15, 20, 25 2 15, 10, 25 2

15, 5, 25 3 5, 5, 25 5

1, 1, 5 5 1, 1, 1

M.M.C. (15, 20, 25) = 2.2.3.5.5 = 2².3.5² = 300seg

300seg = 5min, logo às 7h e 5min.

Exemplo 4: Erivaldo possui 90 livros de geometria, 96 de trigonometria 144 de álgebra e 210 de culinária, ele deseja reparti-los pelo maior número possível de alunos, de modo que cada um receba o mesmo número de livros de cada tipo. Quantos alunos que ele conseguirá contemplar?



90, 96, 144, 210 2 45, 48, 72, 105 3

15, 16, 24, 35

M.D.C. (90, 96, 144, 210) = 2.3 = 6 alunos

Geo Trigo Álg Culinária

Exemplo 5: (CEM – SIMULADO) Ao fazer a triagem das doações para as famílias desabrigadas de SC, um grupo de pessoas contou 200 peças de roupas, 120 cobertores e 80 brinquedos. Se esse grupo montou o maior número possível de cestas com a mesma quantidade de itens de cada tipo por cesta, então haverá quantas cestas, com quantas peças de roupa, com quantos cobertores e quantos brinquedos em cada cesta.



200, 120, 80 2 100, 60, 40 2

50, 30, 20 2 25, 15, 10 5

5, 3, 2

M.D.C. (200, 120, 80) = 2.2.2.5 = 40 cestas

roupa cobertor brinquedo

Peças de roupa: Cobertores: Brinquedos: 5 3 2

Números Primos Todo número que assume apenas dois divisores naturais. Exemplos: 2, 3, 13.

Números Primos Entre Si Números que possuem o M.D.C. igual a 1. Exemplos: 5 e 12.

4, 9 e 35. 105 e 88.


Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( ) 1 é um número primo. ( ) (UFSC) 2 é o único número par primo.

F V

Números Compostos Todo número que assume mais de dois divisores naturais.

Múltiplos e Divisores Epístola de Eratóstenes

Método para verificar se um número é primo. Passo 1:

Exemplo 1: Verificar se 221 é primo.

Liste os números naturais que o quadrado é menor que o número a se verificar.

Passo 2: Verificar quais são os divisores da lista, através dos critérios de divisibilidade.

13²= 169 14²= 196 15²= 225

15² > 221, então vamos verificar até 14.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

221 não é primo.

Resolução:

Quantidade de Divisores de Um Número Fatorar o número e efetuar o produto de cada expoente acrescido de uma unidade. Exemplo 1: Encontre quantos divisores possui o número 36.

36 2 18 2

9 3 3 3 1

36 = 2.2.3.3 = 22.32

d = (2+1).(2+1) = 3.3 = 9


Resolução:

Quantidade de Divisores de Um Número Fatorar o número e efetuar o produto de cada expoente acrescido de uma unidade. Exemplo 2: Encontre quantos divisores possui o número 540.


540 2 270 2 135 3

45 3 15 3

5 5 1

540 = 2.2.3.3.3.5 = 22.33.51

d = (2+1).(3+1).(1+1) = 3.4.2 = 24

Resolução:

Quantidade de Divisores de Um Número Fatorar o número e efetuar o produto de cada expoente acrescido de uma unidade.


Exemplo 3: O número 9.10x possui 12 divisores. Calcule x.

As bases devem ser números primos.

x1 =

9.10x = 32.2x .5x

(2 + 1).(x + 1).(x + 1) = d - 1 3.(x + 1)2 = 12

(x + 1)2 = 4 x2 + 2x + 1 = 4 x2 + 2x - 3 = 0

2

S = {1}

Resolução:

Conhecendo os Divisores de Um Número

Exemplo 1: Encontre o conjunto dos divisores de 36.

36 2 18 2

9 3 3 3 1

1 2 4 3, 6, 12 9, 18, 36

36 = 2.2.3.3 = 22.32

d = (2+1).(2+1) = 3.3 = 9


D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Conhecendo os Divisores de Um Número

Exemplo 2: Encontre o conjunto dos divisores de 180.

180 2 90 2 45 3 15 3

5 5 1

1 2 4 3, 6, 12 9, 18, 36 5, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180

180 = 2.2.3.3.5 = 22.32.51

d = (2+1).(2+1).(1+1) = 3.3.2 = 18


D(180) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180}

M.M.C.(a, b) . M.D.C.(a, b) = a.b

Exemplo 1: Sabendo que M.M.C.(20, x) = 180 e M.D.C.(20, x) = 4, calcule x.

M.M.C.(20, x) . M.D.C.(20, x) = 20 . x

180 . 4 = 20 . x

720 = 20 . x

x = 36


S = {36}

FIM

Aula 01 – mtm B

B01 Múltiplos e Divisores - cursocem.com.br · = 300. Múltiplos e Divisores . Resolução: ......

Documents

Transcript of B01 Múltiplos e Divisores - cursocem.com.br · = 300. Múltiplos e Divisores . Resolução: ......