Bacen Marcus Pio a Avancada Aula 01

Prof. Macus Pio Estatística Avançada

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CONCEITOS PRELIMINARES

EXPERIMENTO ALEATÓRIO: É qualquer experimento que, repetido um grande número finito de vezes, mantidas as mesmas condições em cada um deles, não se consegue prever o resultado que dará. ESPAÇO AMOSTRAL: É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de ocorrer em um experimento aleatório. EVENTO: É qualquer subconjunto de um espaço amostral. Obs: Quando o evento é um subconjunto unitário do espaço amostral, ele é denominado evento elementar. ESPAÇO EQUIPROVÁVEL: É um espaço amostral no qual todos os eventos elementares tem a mesma probabilidade de acontecer. Exemplos: 1) O lançamento de uma moeda no jogo de cara ou coroa: Espaço Amostral: {Cara, Coroa}. 2) Lançamento simultâneo de dois dados, observando as faces superiores: Espaço Amostral: {(1,1); (1,2); (1,3);...;(2,1);(2,2);...(6,6)}. Um exemplo de evento é: Soma das faces menor que 4: {(1,1);(1,2);(2,1)}. Um exemplo de evento elementar é: {(3,5)}.

PROBABILIDADE NUM ESPAÇO EQUIPROVÁVEL

Chamando de U o espaço amostral, de n(U) o número de elementos de U e de n(A) o número de elementos do evento A ( U⊂ ), a probabilidade do evento A é dada por:

)()(

UnAnPA =

Obs: Essa fração é usualmente escrita como “casos favoráveis / casos possíveis”. Como 0 ≤ n(A) ≤ n(U), a probabilidade é sempre um número entre 0 e 1. A probabilidade de ocorrer o evento U é sempre 1.

Exemplo: Qual a probabilidade de obtermos a seqüência {Coroa, Cara, Coroa} quando lançamos uma moeda três

vezes? Solução: 83

2

23

3 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

==possíveiscasosfavoráveiscasosp

TEOREMAS Os teoremas a seguir são válidos em qualquer espaço amostral (equiprovável ou não). “A probabilidade de um evento A é dada pela soma das probabilidades dos resultados individuais que constituem o evento A”, isto é,

kAk pppPaaaA +++=→= ...},...,,{ 2121 Exemplo: Considere um dado viciado no qual a probabilidade de ocorrer um número i entre 1 e 6 é proporcional a i. Determine a probabilidade de ocorrer 4 no lançamento desse dado. Solução: As probabilidades são x, 2x, 3x, 4x,5x, 6x. Como a soma dá 1, 21x = 1 e, portanto a probabilidade de

sair 4 é 214

.

Probabilidade da União de Eventos “Se A e B são dois eventos quaisquer de um experimento aleatório de espaço amostral U, então

)()()()( BAnBnAnBAn ∩−+=∪ “ Dividindo ambos os membros dessa igualdade por n(S),

temos ( )

( )( )( )

( )( )

( )( )Sn

BAnSnBn

SnAn

SnBAn ∩

−+=∪

)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪∴ Obs: Quando A e B são disjuntos, isto é, apresentam interseção vazia, teremos que 0)( =∩BAP e, portanto, )()()( BPAPBAP +=∪ Exemplo: Escolhe-se aleatoriamente um número n tal que 12 ≤ n ≤ 100. Determine a probabilidade de n ser múltiplo de 3 ou de 5.




2

Solução:

Probabilidade de ser múltiplo de 3:8930

;

Probabilidade de ser múltiplo de 5:8918

;

Probabilidade de ser múltiplo de 15: 896

Resposta = 8942

896

8918

8930

=−+

Probabilidade de não ocorrer um evento Representa-se por A (A traço), a negação do evento A. (diz-se que A e A são eventos complementares). Como A e A são eventos disjuntos e A ∪ A = S temos: P(A ∪ A ) = P(S); 1)()( =+ APAP Ou ainda, )(1)( APAP −= Exemplo: No exercício anterior, determine a probabilidade de n não ser múltiplo de 3 nem de 5.

Solução: 8947

89421 =−=p

PROBABILIDADE DE EVENTOS SUCESSIVOS

Dois eventos A e B são denominados independentes quando a ocorrência de um não afeta o resultado do outro. Nesse caso, a probabilidade de ocorrer o evento A e o evento B em sequência é dada por:

BABA ppp ⋅=∩ Observação: Quando os eventos não são independentes, define-se pA|B

como sendo a probabilidade de ocorrência do evento A dado que o evento B ocorreu. Nesse caso, tem-se

B

BABA p

pp ∩=| .

Exemplos: 1. Numa urna há 12 bolas, sendo 5 delas brancas, 6 pretas e uma azul. Determine a probabilidade de se retirarem 2 bolas sucessivamente, com reposição, sendo a primeira branca e a outra preta. Solução:

245

126

125

=⋅=p

2. Qual a probabilidade de termos obtido dois números ímpares no lançamento de dois dados, sabendo que a soma desses números foi 6? Solução: Casos possíveis: (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1) Casos favoráveis (1,5); (3,3); (5,1) Resposta = 3/5 = 60%

QUESTÕES DE CONCURSOS

01) (SEFAZ/PI – Agente Fiscal de Tributos Estaduais – ESAF – 2001) De dez contas de um arquivo, quatro contêm erro de apropriação. Se um auditor seleciona, aleatoriamente e sem reposição, duas contas entre as dez, a probabilidade de que apenas uma das contas selecionadas contenha erro de apropriação é igual a: a) 13,3% b) 23,3% c) 33,3% d) 43,3% e) 53,3% 02) (ELETROBRAS) Uma urna contém seis cartões. Em três deles há uma letra A pintada, dois têm a letra T e um tem a letra B. Se você sortear ao acaso, seqüencialmente, sem reposição, seis cartões, a probabilidade de que saia a seqüência BATATA é igual a: a) 1/120; b) 1/60; c) 1/36; d) 1/30; e) 1/24. 03) (MPU – Analista Administrativo – ESAF – 2004) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes, José o faz em 5% das vezes e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a a) 0,15. b) 0,25. c) 0,30. d) 0,20. e) 0,40.




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04) (SERPRO – Técnico em Programação – ESAF – 2001) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A probabilidade de ele ter ido de avião é: a) 5% b) 8% c) 10% d) 15% e) 18% 05) (STN – Analista de Finanças e Controle – ESAF – 2000) Uma companhia preocupada com sua produtividade costuma oferecer cursos de treinamento a seus operários. A partir da experiência, verificou-se que um operário, recentemente admitido, que tenha freqüentado o curso de treinamento tem 82% de probabilidade de cumprir sua quota de produção. Por outro lado, um operário, também recentemente admitido, que não tenha freqüentado o mesmo curso de treinamento, tem apenas 35% de probabilidade de cumprir com sua quota de produção. Dos operários recentemente admitidos, 80% freqüentaram o curso de treinamento. Selecionando-se, aleatoriamente, um operário recentemente admitido na companhia, a probabilidade de que ele não cumpra sua quota de produção é a) 11,70% b) 27,40% c) 35% d) 83% e) 85% 06) (CGU – Técnico de Finanças e Controle – ESAF – 2008) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,40; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a: a) 0,04 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,45 e) 0,95 07) Escolhidos, ao acaso, dois números distintos do conjunto {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} a probabilidade de que o produto deles seja ímpar é:

a) 53

b) 92

c) 21

d) 72

e) 43

08) (MPU – Técnico Controle Interno – ESAF – 2004) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a a) 0,624. b) 0,064. c) 0,216. d) 0,568. e) 0,784. 09) (AFRF - ESAF) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a a) 30/200 b) 130/200 c) 150/200 d) 160/200 e) 190/200 10) (MPU – Técnico Administrativo – ESAF – 2004) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a a) 1/3. b) 1/5. c) 9/20. d) 4/5. e) 3/5. 11) (MPU – Técnico Administrativo – ESAF – 2004) Marcelo Augusto tem cinco filhos: Primus, Secundus, Tertius, Quartus e Quintus. Ele sorteará, entre seus cinco filhos, três entradas para a peça Júlio César, de Sheakespeare. A probabilidade de que Primus e Secundus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que Tertius e Quintus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que sejam sorteados Secundus, Tertius e Quartus, é igual a a) 0,500. b) 0,375. c) 0,700. d) 0,072. e) 1,000.




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12) (STN – Analista de Finanças e Controle – ESAF – 2000) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Ana ir para o trabalho: ou de carro ou de metrô. A probabilidade de Ana ir de carro é de 60% e de ir de metrô é de 40%. Quando ela vai de carro, a probabilidade de chegar atrasada é de 5%. Quando ela vai de metrô a probabilidade de chegar atrasada é de 17,5%. Em um dado dia, escolhido aleatoriamente, verificou-se que Ana chegou atrasada ao seu local de trabalho. A probabilidade de ela ter ido de carro nesse dia é: a) 10% b) 30% c) 40% d) 70% e) 82,5% 13) (MPOG – ESAF – 2002) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a: a) 1/6 b) 1/3 c) 2/3 d) 4/5 e) 5/6 14) (MPOG – ESAF – 2005) Há três moedas em um saco. Apenas uma delas é uma moeda normal, com “cara” em uma face e “coroa” na outra. As demais são moedas defeituosas. Uma delas tem “cara” em ambas as faces. A outra tem “coroa” em ambas as faces. Uma moeda é retirada do saco, ao acaso, e é colocada sobre a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada para baixo. Vê-se que a face voltada para cima é “cara”. Considerando todas estas informações, a probabilidade de que a face voltada para baixo seja “coroa” é igual a: a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 2/3 e) 3/4 15) (MPU – Técnico Controle Interno – ESAF – 2004) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a a) 0,25. b) 0,35. c) 0,45. d) 0,15. e) 0,65. 16) (TCE) Considerando-se 240 processos divididos em dois grupos de 120 processos cada, qual a probabilidade de dois desses processos ficarem no mesmo grupo? a) 119/239 b) 129/242 c) 117/221 d) 120/240 e) 128/248

17) (ANEEL – Analista Administrativo – ESAF – 2006) Ana tem o estranho costume de somente usar blusas brancas ou pretas. Por ocasião de seu aniversário, Ana ganhou de sua mãe quatro blusas pretas e cinco brancas. Na mesma ocasião, o pai de Ana a presenteou com quatro blusas pretas e duas brancas. Vítor, namorado de Ana, a presenteou com duas blusas brancas e três pretas. Ana guardou todas essas blusas - e apenas essas - em uma mesma gaveta. Uma tarde, arrumando-se para ir ao parque com Vítor, Ana retira, ao acaso, uma blusa dessa gaveta. A probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua mãe ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai é igual a: a) 4/5 b) 7/10 c) 3/5 d) 3/10 e) 2/3 18) (EPE) Lançando um dado não tendencioso duas vezes, qual é a probabilidade de o resultado do segundo lançamento ser maior que o do primeiro? a) 5/6 b) 1/2 c) 17/36 d) 5/12 e) 1/3 19) (TCE) Sacam-se, com reposição, 4 bolas de uma urna que contém 7 bolas brancas e 3 bolas pretas. Qual é a probabilidade de serem sacadas 2 bolas de cada cor? a) 0,1987 b) 0,2067 c) 0,2646 d) 0,3476 e) 0,4412 20) (CGU – Analista de Finanças e Controle – ESAF – 2008) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a: a) 0,10 b) 0,12 c) 0,15 d) 0,20 e) 0,24 21) (EPE) A e B são eventos independentes com probabilidades P(A) = 1/2 e P(B) = 1/3. Quanto vale a probabilidade de A ocorrer e B não ocorrer? a) 1/4 b) 1/3 c) 5/12 d) 1/2 e) 2/3




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O enunciado a seguir refere-se às questões de nº 22 e 23 Em um jogo, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando representadas em cada uma delas as letras T, C e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TCE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta, ganhará um prêmio de R$ 500,00. 22) (TCE) A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a: a) 0 b) 1/6 c) 1/4 d) 1/3 e) 1/2 23) (TCE) A probabilidade de o participante ganhar exatamente o valor de R$ 1 000,00 é igual a: a) 3/4 b) 2/3 c) 1/2 d) 1/6 e) 0 24) (AGU) Um grupo de 4 brasileiros e 4 bolivianos será aleatoriamente dividido em dois grupos de tamanho 4. A probabilidade de que ambos tenham o mesmo número de brasileiros e bolivianos é: a) 17/35 b) 1/2 c) 18/35 d) 19/35 e) 2/3 25) (EPE) Se um indivíduo tem 5 moedas de cinqüenta centavos e 4 moedas de 1 real no bolso, a probabilidade de obter o total de 2 reais ao tirar somente duas moedas aleatoriamente é: a) 1/4 b) 1/6 c) 2/5 d) 2/9 e) 3/8 26) (PRONIMP) Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 bolas pretas. Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas dessa urna. A probabilidade de as bolas sacadas terem cores diferentes vale: a) 1/7 b) 2/7 c) 3/7 d) 4/7 e) 5/7 27) (MPU – Técnico Controle Interno – ESAF – 2004) André está realizando um teste de múltipla escolha, em que cada questão apresenta 5 alternativas, sendo uma e apenas uma correta. Se André sabe resolver a questão, ele marca a resposta certa. Se ele não sabe, ele marca aleatoriamente uma das alternativas. André sabe 60% das questões do teste. Então, a probabilidade de ele acertar uma questão qualquer do teste (isto é, de uma questão escolhida ao acaso) é igual a

a) 0,62. b) 0,60. c) 0,68. d) 0,80. e) 0,56. 28) Em uma urna há 10 cartões, cada qual marcado com apenas um dos números: 2, 5, 6, 7, 9, 13, 14, 19, 21 e 24. Para compor uma potência, devem ser sorteados sucessivamente e sem reposição dois cartões: no primeiro o número assinalado deverá corresponder à base da potência e no segundo, ao expoente. Assim, a probabilidade de que a potência obtida seja equivalente a um número par é de a) 45% b) 40% c) 35% d) 30% e) 25% 29) (AFC - ESAF) Em uma sala de aula estão 10 crianças sendo 6 meninas e 4 meninos. Três das crianças são sorteadas para participarem de um jogo. A probabilidade de as três crianças sorteadas serem do mesmo sexo é: a) 15% b) 20% c) 25% d) 30% e) 35% 30) Em um ônibus há apenas 4 bancos vazios, cada qual com 2 lugares. Quatro rapazes e quatro moças entram nesse ônibus e devem ocupar os bancos vagos. Se os lugares forem escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de que cada banco seja ocupado por 1 rapaz e 1 moça é

a) 701

b) 356

c) 143

d) 358

e) 72

31) (PRONIMP) Uma urna contém exatamente 3 bolas pretas e 5 bolas brancas. Seja n o número de bolas azuis que devem ser colocadas nessa urna, além das que lá estão, a fim de que, ao retirarmos aleatoriamente uma bola dessa mesma urna, a probabilidade de ela ser azul seja 50%. Acerca de n, pode-se afirmar, corretamente, que é: a) ímpar. b) primo. c) um quadrado perfeito. d) maior do que 6. e) múltiplo de 3. 32) (ANEEL – Técnico Administrativo – ESAF – 2004) Uma empresa possui 200 funcionários dos quais 40% possuem plano de saúde, e 60 % são homens. Sabe-se que 25% das mulheres que trabalham nesta empresa possuem planos de saúde. Selecionando-se, aleatoriamente, um funcionário desta empresa, a probabilidade de que seja mulher e possua plano de saúde é igual a: a) 1/10 b) 2/5 c) 3/10 d) 4/5 e) 4/7




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33) (ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: a) 2/25 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/25 e) 4/5 34) (ESAF) Um dado de seis faces numeradas de 1 a 6 é viciado de modo que, quando lançado, a probabilidade de ocorrer uma face par qualquer é 300% maior do que a probabilidade de ocorrer uma face ímpar qualquer. Em dois lançamentos desse dado, a probabilidade de que ocorram exatamente uma face par e uma face ímpar (não necessariamente nesta ordem) é igual a: a) 0,1600 b) 0,1875 c) 0,3200 d) 0,3750 e) 1 35) Bruno e Carlos pegaram cinco cartas do mesmo baralho, numeradas de 1 a 5, para uma brincadeira de adivinhação. Bruno embaralhou as cartas e, sem que Carlos visse, as colocou lado a lado, com os números voltados para baixo. Eles combinaram que Carlos deveria virar duas das cinco cartas simultaneamente e somar os números obtidos. A probabilidade de que a soma obtida fosse maior ou igual a 7 era de: a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 50% 36) (MPOG – ESAF) A probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma moeda viciada é igual a 2/3. Se ocorrer cara, seleciona-se aleatoriamente um número X do intervalo {X ∈ Ν ⏐ 1 ≤ X ≤ 3}; se ocorrer coroa, seleciona-se aleatoriamente um número Y do intervalo {Y ∈ Ν ⏐ 1 ≤ Y ≤ 4}, onde Ν representa o conjunto dos números naturais. Assim, a probabilidade de ocorrer um número par é igual a: a) 7/18 b) 1/2 c) 3/7 d) 1/27 e) 2/9 37) (TCU - ESAF) Um dado viciado, cuja probabilidade de se obter um número par é 3/5, é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda é: a) 1/5 b) 3/10 c) 2/5 d) 3/5 e) 7/10 38) (ANEEL – Técnico Administrativo – ESAF – 2004) Todos os alunos de uma escola estão matriculados no curso de Matemática e no curso de História. Do total

dos alunos da escola, 6% têm sérias dificuldades em Matemática e 4% têm sérias dificuldades em História. Ainda com referência ao total dos alunos da escola, 1% tem sérias dificuldades em Matemática e em História. Você conhece, ao acaso, um dos alunos desta escola, que lhe diz estar tendo sérias dificuldades em História. Então, a probabilidade de que este aluno esteja tendo sérias dificuldades também em Matemática é, em termos percentuais, igual a a) 50%. b) 25%. c) 1%. d) 33%. e) 20%. 39) (SFC – Técnico de Finanças e Controle – ESAF – 2000) Beraldo espera ansiosamente o convite de um de seus três amigos, Adalton, Cauan e Délius, para participar de um jogo de futebol. A probabilidade de que Adalton convide Beraldo para participar do jogo é de 25%, a de que Cauan o convide é de 40% e a de que Délius o faça é de 50%. Sabendo que os convites são feitos de forma totalmente independente entre si, a probabilidade de que Beraldo não seja convidado por nenhum dos três amigos para o jogo de futebol é: a) 12,5% b) 15,5% c) 22,5% d) 25,5% e) 30%

40) (ANEEL – Técnico Administrativo – ESAF – 2004) Ana é enfermeira de um grande hospital e aguarda com ansiedade o nascimento de três bebês. Ela sabe que a probabilidade de nascer um menino é igual à probabilidade de nascer uma menina. Além disso, Ana sabe que os eventos “nascimento de menino” e “nascimento de menina” são eventos independentes. Deste modo, a probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é igual a a) 2/3. b) 1/8. c) 1/2. d) 1/4. e) 3/4.

41) Dois primos que sempre brincam juntos, Artur e Beto, inventaram uma nova maneira de solucionar os conflitos entre eles. Cada um lança um dado comum não viciado (numerado de 1 a 6), eles observam os valores das faces que ficam voltadas para cima, e fazem a soma destes dois números. Se o resultado for um número primo, Artur ganha a disputa, se for um número composto, Beto vence. É correto afirmar que a) a probabilidade de Beto ganhar excede em 61 a probabilidade de Artur ganhar. b) a probabilidade de Beto ganhar excede em 31 a probabilidade de Artur ganhar. c) a probabilidade de Beto ganhar é igual à probabilidade de Artur ganhar. d) a probabilidade de Artur ganhar excede em 31 a probabilidade de Beto ganhar.




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e) a probabilidade de Artur ganhar excede em 61 a probabilidade de Beto ganhar.

42) Um candidato faz uma prova de múltipla escolha com 10 questões, cada uma com 5 alternativas. Ele resolve e assinala a alternativa correta de 4 questões, escolhendo, arbitrariamente, uma alternativa para cada uma das outras 6 questões. A probabilidade de ele acertar exatamente 8 questões na prova é:

a) 4536

b) 3534

c) 6542

d) 5548

e) 5645

43) (ANA – Prova Comum – ESAF – 2009) Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais próximo da probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor? a) 11,53% b) 4,24% c) 4,50% d) 5,15% e) 3,96% 44) (ANA – Prova Comum – ESAF – 2009) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pesssoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética? a) 0,98% b) 1% c) 2,94% d) 1,30% e) 3,96% 45) (MPOG – ESAF – 2008) Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas. Retirando-se, aleatoriamente, três bolas sem reposição, a probabilidade de se obter todas da mesma cor é igual a:

a) 101

b) 58

c) 12011

d) 72011

e) 36041

46) (FUNRIO) Em um grupo de cinco artistas, dois deles têm a mesma nacionalidade. Um produtor quer escolher três artistas deste grupo para encenar uma peça. A probabilidade dos dois artistas com a mesma nacionalidade encenarem juntos essa peça é A) 20% B) 25% C) 40% D) 30% E) 35% 47) (NCE) Um número é escolhido ao acaso dentre os números 1, 2, 3, ..., 300. A probabilidade de que o número escolhido seja divisível por 3 ou por 5 é: (A) 1/15 (B) 1/5 (C) 1/3 (D) 7/15 (E) 8/15 48) (NCE) Dois dados não-viciados são lançados simultaneamente. A probabilidade condicional de que

tenha ocorrido pelo menos uma face 6, dado que a soma obtida foi 9, é: (A) 1/9 (B) 1/6 (C) 11/36 (D) 1/3 (E) 1/2 49) (NCE) Sejam A e B dois eventos independentes com P(A) = 0,25 e P(B) = 0,4. A probabilidade de que apenas um deles ocorra é: (A) 0,10 (B) 0,15 (C) 0,30 (D) 0,45 (E) 0,55 50) (NCE) Para desligar um sistema de segurança, devem ser acionados simultaneamente dois determinados botões de um painel que possui 6 botões. A probabilidade de desligar o sistema escolhendo-se ao acaso os 2 botões é:

A)21

B) 31

C) 61

D) 121

E) 151

51) (STN – Analista de Finanças e Controle – ESAF – 2008) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se: a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula. b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A. c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1. 52) (STN – Analista de Finanças e Controle – ESAF – 2008) Marco estuda em uma universidade na qual, entre as moças de cabelos loiros, 18 possuem olhos azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos pretos, 9 possuem olhos azuis e 9 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos castanhos. Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada possui olhos castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a:

a) 0 b) 1910

c) 5019

d) 5010

e) 3119




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53) (SEFAZ/RJ – Fiscal de Rendas – FGV – 2008) A tabela abaixo apresenta a distribuição de 1.000 pessoas classificadas por Sexo (Masculino e Feminino) e Estado Civil (Solteiro, Casado e Viúvo).

Uma pessoa é selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do sexo Feminino ou Viúva é igual a: (A) 0,6. (B) 0,2. (C) 0,4. (D) 0,7. (E) 0,5. 54) (SEFAZ/RJ – Fiscal de Rendas – FGV – 2008) Um candidato se submete a uma prova contendo três questões de múltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para ser aprovado. Cada questão apresenta cinco alternativas, mas apenas uma é correta. Se o candidato não se preparou e decide responder a cada questão ao acaso, a probabilidade de ser aprovado no concurso é igual a: (A) 0,104. (B) 0,040. (C) 0,096. (D) 0,008. (E) 0,200. 55) (SEFAZ/RJ – Fiscal de Rendas – FGV – 2008) Sejam A e B dois eventos definidos em um espaço amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e P(A∩B) = 0,14. Então, pode-se dizer que A e B são eventos: (A) mutuamente exclusivos. (B) complementares. (C) independentes. (D) condicionais. (E) elementares. 56) (IRB – ESAF – 2004) Uma população de indivíduos é constituída 80% por um tipo genético A e 20% por uma variação genética B. A probabilidade de um indivíduo do tipo A ter determinada doença é de 5%, enquanto a probabilidade de um indivíduo com a variação B ter a doença é de 40%. Dado que um indivíduo tem a doença, qual a probabilidade de ele ser da variação genética B? a) 1/3. b) 0,4. c) 0,5. d) 0,6. e) 2/3. 57) (IRB – Analista – ESAF) Sendo qx a probabilidade de uma pessoa de idade “x” falecer nesta idade “x” e qy a probalidade de uma pessoa de idade “y” falecer nesta

idade “y” e px = (1 – qx) e py = (1 - qy), pode-se afirmar que o resultado da equação [1 – px py] indica: a) a probabilidade de ambos vivos. b) a probabilidade de pelo menos um vivo. c) a probabilidade de pelo menos um morto. d) a probabilidade de ambos mortos. e) a probabilidade de “x” vivo e “y” morto ou “y” vivo e “x” vivo. 58) (AFRF - ESAF) Para duas variáveis aleatórias do tipo discreto, X e Y, sabe-se que P(X = x) = 0,2; P(Y = y) = 0,1 e P(X = x,Y = y) = 0,03. Pode-se afirmar com certeza que: (A) as variáveis aleatórias X e Y são independentes (B) as variáveis aleatórias X e Y são dependentes (C) a correlação entre as variáveis aleatórias X e Y é negativa (D) a correlação entre as variáveis aleatórias X e Y é positiva (E) numa amostra de 1000 observações da população definida pelo par (X,Y), espera-se que aproximadamente 20 observações sejam iguais a (x, y) 59) (TRANSPETRO - CESGRANRIO) Uma aplicação dos relés magnéticos é o controlador para motores. O relé de partida é um relé normalmente aberto, com dois conjuntos de contatos em série com o motor e um conjunto de contatos em paralelo com o botão de partida. Considerando os três elementos em série, cujas probabilidades de falha valem, respectivamente, 10%, 10% e 20%, a probabilidade de que não passe corrente pelo circuito é de: (A) 0,2% (B) 30,0% (C) 35,2% (D) 40,0% (E) 64,8% 60) (TCE – Estatístico - CESGRANRIO) Sara tem três cartões magnéticos de Bancos diferentes, A, B e C. Na última semana ela usou os três cartões para retirar dinheiro em caixas eletrônicos (o mesmo valor e a mesma quantidade de notas), e descobriu que uma das notas sacadas durante esse período era falsa. O banco A diz que a probabilidade de uma nota ser falsa, dado que o dinheiro foi retirado de um de seus caixas eletrônicos, é 0,2%. Já os Bancos B e C afirmam que essas probabilidades para os seus caixas eletrônicos são, respectivamente, 0,1% e 0,05%. Sara recebeu uma nota falsa. Qual é a probabilidade dessa nota ter vindo do Banco A? (A) 0,47 (B) 0,57 (C) 0,67 (D) 0,77 (E) 0,87




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61) (REFAP – ACSJ - CESGRANRIO) A probabilidade de que o preço da farinha de trigo aumente em um determinado mês é estimada em 40%. Se isso ocorrer, a probabilidade de que o preço do pão francês também aumente é de 50%; caso contrário, a probabilidade de aumento do pão francês será de apenas 10%. Se o preço do pão francês subiu, a probabilidade de que o preço da farinha de trigo tenha sofrido majoração é igual a: (A) 1/13 (B) 2/10 (C) 6/13 (D) 6/11 (E) 10/13 62) (BACEN – ESAF) Os registros de uma instituição financeira indicam que 90% das contas de empréstimo consideradas inadimplentes apresentaram pagamentos com mais de duas semanas de atraso em pelo menos duas prestações. Sabe-se também que 10% de todas as contas de empréstimo tornam-se inadimplentes e que 40% das contas de empréstimo integralmente liquidadas mostram pelo menos duas prestações com atraso no pagamento em mais de duas semanas. Assinale a opção que corresponde à probabilidade de que uma conta de empréstimo com duas ou mais prestações pagas com atraso de duas semanas torne-se inadimplente. a) 20% b) 10% c) 9% d) 15% e) 18% 63) (BACEN – ESAF) Uma empresa fabrica motores a jato em duas fábricas A e B. Um motor é escolhido ao acaso de um lote de produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. De observações anteriores a empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motores fabricados com algum defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fábrica A é responsável por 40% da produção, assinale a opção que dá a probabilidade de que o motor escolhido tenha sido fabricado em A. a) 0,400 b) 0,030 c) 0,012 d) 0,308 e) 0,500 64) (PETROBRAS) A probabilidade de se dar um evento em uma prova é igual a 1/k. A probabilidade desse evento se repetir n vezes em n provas é igual a: a) 1/n b) (1/k)n c) (1/n)k d) 1/k e) 0,8 65) (SEFAZ/RJ – FGV – 2008) Sejam A, B e C, três eventos quaisquer definidos em um espaço amostral S. Então,

)()()()()()( CBPCAPBAPCPBPAP ∩−∩−∩−++ refere-se à probabilidade de: a) um ou dois dos eventos b) exatamente um dos eventos

c) pelo menos um dos eventos d) no máximo dois eventos e) pelo menos dois eventos 66) (SEFAZ/RS – 2006) Jogam-se dois dados equilibrados (entende-se por dado equilibrado aquele que, ao ser arremessado, todas suas 6 faces, com números de 1 a 6, possuem a mesma probabilidade de ocorrer). Qual a probabilidade de o produto dos números das faces superiores estar entre 12 (inclusive) e 15(inclusive)? a) 1/2 b) 1/3 c) 14 d) 1/5 e) 1/6 67) (PETROBRAS) Lançando-se uma moeda não tendenciosa até a obtenção da segunda “cara”. Qual é a probabilidade de a moeda ser lançada quatro vezes ? a) 1/16 b) 1/8 c) 3/16 d) 1/4 e) 5/16 68) (ICMS-RJ) Na firma X, uma grande quantidade de faturas é normalmente inspecionada. Em inspeções anteriores, observou-se que 2% das faturas apresentavam algum tipo de irregularidade. A probabilidade de três faturas escolhidas aleatoriamente conterem uma irregularidade é de: a) 0,0002% b) 0,0004% c) 0,0006% d) 0,0008% e) 0,0010% 69) (BACEN) Suponha que a probabilidade de um carro qualquer sofrer um acidente ao longo de 1 ano seja 1%. Se tomarmos uma amostra de 10 carros, a probabilidade de que nesta amostra nenhum carro se acidente ao longo de 1 ano (admitindo independência entre os acidentes) é: a) 0,80 b) 1 – (0,01)10 c) 0,99 d) (0,99)10 e) 0,10 70) (TCE – ES) Num teste de múltipla escolha, um estudante sabe uma questão ou “chuta” a resposta. Seja 2/3 a probabilidade de que o estudante saiba uma questão do teste. Suponha que cada questão tenha 5 alternativas e que a probabilidade de acertar no “chute” seja 1/5. Assinale a opção que dá a probabilidade condicional de que o estudante saiba realmente uma pergunta que respondeu corretamente a) 10/11 b) 2/15 c) 1/5 d) 2/3 e) 13/15

71) (ELETROBRAS – 2007) A urna I contém 3 fichas vermelhas e 2 fichas azuis, a urna II contém 2 fichas vermelhas e 8 fichas azuis. Joga-se uma moeda. Se a moeda der cara, extrai-se uma ficha da urna I e se der coroa extrai-se uma ficha da urna II. Determine a probabilidade de escolha de uma ficha vermelha. a) 1/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 5/5




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72) (ANALISTA LEGISLATIVO – Contador – 2007) Uma rede local de computadores é composta por um servidor e 2 (dois) clientes (Z e Y). Registros anteriores indicam que dos pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de Z e 70% de Y. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Sabendo-se que 2% dos pedidos feitos por Z e 1% dos feitos por Y apresentam erro, a possibilidade do sistema apresentar erro é: a) 5% b) 4,1% c) 3,5% d) 3% e) 1,3% 73) (Fiscal do Trabalho – ESAF – 2006) Beatriz, que é muito rica, possui 5 sobrinhos: Pedro, Sérgio, Teodoro, Carlos e Quintino. Preocupada com a herança que deixará para seus familiares, Beatriz resolveu sortear, entre seus cinco sobrinhos, três casas. A probabilidade de que Pedro e Sérgio, ambos, estejam entre os sorteados, ou que Teodoro e Quintino, ambos, estejam entre os sorteados é igual a: a) 0,8 b) 0,375 c) 0,05 d) 0,6 e) 0,75 74) (PETROBRAS) Uma corda é dividida em dois pedaços. O ponto de divisão é selecionado aleatoriamente. Qual é a probabilidade de o comprimento maior ser superior ao triplo do comprimento do pedaço menor ? a) 1/4 b) 1/3 c) 2/5 d) 1/2 e) 2/3 75) (BACEN/ESAF) Um fabricante de discos rígidos sabe que 2% dos discos produzidos falham durante o período de garantia. Assinale a opção que dá a probabilidade de que pelo menos um disco falhe numa amostra aleatória de 10 discos tomados da linha de produção. a) (0,98)10 – (0,02)10 b) (0,02)10 c) 1 – (0,98)10 d) 1 – (0,02)10 e) 0,2 76) (ICMS/SP) Os produtos de uma empresa são vendidos em lotes de 4 peças e, se houver uma ou mais peças defeituosas no lote, o comprador não paga. Se a proporção de defeituosos da fábrica é de 10%, então, a probabilidade de isto ocorrer é de, aproximadamente: a) 0,19 b) 0,27 c) 0,34 d) 0,40 e) 0,46

77) (BACEN – FCC – 2006) A probabilidade de um associado de um clube pagar a sua mensalidade com atraso é de 5%. Entre 5 associados escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos um pagar a sua mensalidade sem atraso é de:

a) 1 – (0,95)5 b) (0,95)5 c) 4,75 (0,95)5 d) 5 (0,95)5 e) 1 – (0,05)5

78) (BACEN) De uma urna contendo 10 bolinhas numeradas de 1 a 10, duas são sorteadas sucessivamente sem reposição (a ordem dos números não é levada em consideração). A probabilidade de que os números sejam inferiores a 4 é: a) 3/10 b) 1/15 c) 2/7 d) 1/3 e) 19/86 79) (ANALISTA LEGISLATIVO – TÉC. MAT. E PAT. – 2007) Sabe-se que existem inúmeros fornecedores de um material X. Porém, somente 60% deles estão aptos a participar de uma licitação para fornecimento do material X para o setor público. Então, a probabilidade de que, numa amostra aleatória simples de 3 destes fornecedores, pelo menos um esteja apto a participar de uma licitação para fornecimento do material X para o setor público é: a) 60,0% b) 78,4% c) 80,4% d) 90,4% e) 93,6% 80) (PETROBRAS) Um levantamento feito em determinada empresa, sobre o tempo de serviço de seus funcionários, apresentou o resultado mostrado na tabela abaixo:

Homens Mulheres Total 10 anos ou

mais 33 21 54

Menos de 10 anos

48 24 72

Total 81 45 126 Um prêmio será sorteado entre os funcionários que trabalham há pelo menos 10 anos nessa empresa. A probabilidade de que o ganhador seja uma mulher é de: a) 1/6 b) 5/6 c) 4/9 d) 7/18 e) 11/18 81) (PETROBRAS) Joga-se um dado não tendencioso. Se o resultado não foi “quatro”, qual é a probabilidade de que tenha sido “um” ? a) 1/5 b) 1/6 c) 1/9 d) 1/12 e) 1/18 82) (MPU/2004) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispões, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de beatriz também estar hoje em Paris é igual a:




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a) 1/7 b) 1/3 c) 2/3 d) 57 e) 4/7 83) (BACEN – FCC – 2006) O número de automóveis modelo K vendidos diariamente em uma concessionária de veículos é uma variável aleatória discreta (X) com a seguinte distribuição de probabilidades:

X 0 1 2 3 P(X) m n n m

O preço unitário de venda do modelo K é de R$ 20.000,00 e somente em 20% dos dias tem-se vendas superiores a duas unidades. Se num determinado dia a receita de vendas referente a este modelo for positiva, a probabilidade de ela ser inferior a R$ 60.000,00 é de: a) 60% b) 75% c) 80% d) 87,5% e) 90% 84) (BACEN) Os registros de uma instituição financeira indicam que 90% das contas de empréstimos consideradas inadimplentes apresentam pagamentos com mais de 2 semanas de atraso em pelos menos duas prestações. Sabe-se também que 10% de todas as contas de empréstimos tornam-se inadimplentes e que 40% das contas de empréstimos integralmente liquidadas mostram pelo menos duas prestações com atraso no pagamento em mais de duas semanas. Assinale a opção que corresponde à probabilidade de que uma conta de empréstimo com duas ou mais prestações pagas com atraso de duas semanas torne-se inadimplente. a) 20% b) 10% c) 9% d) 15% e) 18% 85) (FISCAL – MG – 2005) Ana precisa chegar ao aeroporto para buscar uma amiga. Ela precisa escolher dois trajetos, A ou B. Devido ao intenso tráfego, se Ana escolher o trajeto A, existe uma probabilidade de 0,4 de ela se atrasar. Se Ana escolher o trajeto B, essa probabilidade passa a ser 0,3. As probabilidades de Ana escolher os trajetos A ou B, são respectivamente, 0,6 e 0,4. Sabendo-se que Ana não se atrasou, então a probabilidade de ela ter escolhido o trajeto B é igual a: a) 6/25 b) 6/13 c) 7/13 d) 7/25 e) 7/16 86) (GESTOR /MG – 2005) Em uma caixa há 8 bolas brancas e 2 azuis. Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa. Após, sem haver recolocado a bola na caixa, retira-se, ao acaso, uma segunda bola. Verifica-se que essa segunda bola é azul. A probabilidade de que a primeira bola extraída também seja azul é: a) 1/3 b) 2/9 c) 1/9

d) 2/10 e) 3/10 87) (SEFAZ) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Anália ir para seu trabalho, de metrô ou moto. A probabilidade de Anália ir de metrô é de 40% e de ir de moto é de 60%. Se ela for de metrô, a probabilidade de chegar ao trabalho com dez minutos de atraso é de 10%. Se ela for de moto a probabilidade de chegar com 10 minutos de atraso é de 20%. Sabe-se que Anália se atrasou dez minutos. A probabilidade de ter ido de metrô é: a) 20% b) 25% c) 30% d) 40% e) 45% 88) (BACEN – FCC – 2006) Uma pessoa poderá investir seu dinheiro em três setores (A, B e C) da economia. Sabe-se que a probabilidade de uma empresa apresentar lucro é 0,70 sendo uma empresa do setor A; 0,80 sendo empresa do setor B e 0,90 sendo empresa do setor C. Tem-se ainda que nesta economia existem 750 empresas do setor A, 300 do setor B e 150 do setor C. Escolhendo-se aleatoriamente uma empresa destes três setores e detectando-se que ela não apresenta lucro, a probabilidade de ela pertencer ao setor A é de: a) 30% b) 40% c) 50% d) 75% e) 80%

GABARITO 01 – E 02 – B 03 – D 04 – D 05 – B 06 – D 07 – B 08 – E 09 – D 10 – A 11 – C 12 – B 13 – A 14 – B 15 – E 16 – A 17 – D 18 – D 19 – C 20 – D 21 – B 22 – D 23 – E 24 – C 25 – B 26 – D 27 – C 28 – B 29 – B 30 – D 31 – D 32 – A 33 – B 34 – C 35 – D 36 – A 37 – E 38 – B 39 – C 40 – D 41 – A 42 – D 43 – E 44 – C 45 – C 46 – D 47 – D 48 – E 49 – D 50 – E 51 – D 52 – B 53 – E 54 – A 55 – C 56 – E 57 – C 58 – B 59 – C 60 – B 61 – E 62 – A 63 – D 64 – B 65 – A 66 – E 67 – C 68 - D 69 – D 70 – A 71 – B 72 – E 73 – D 74 – D 75 – C 76 – C 77 – E 78 – B 79 – E 80 – D 81 – A 82 – B 83 – B 84 – A 85 – E 86 – C 87 – B 88 – D

Bacen Marcus Pio a Avancada Aula 01

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