BACEN2010 Econometria Barbosa Cunha Aula-3
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CURSO ON-LINE – ECONOMETRIA PARA ANALISTA DO BACEN PROFESSORES: ALEXANDRE DE LIMA E ANDRÉ CUNHA
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PONTO DOS CONCURSOS
Econometria BACENAula 7
Alexandre Barbosa de Lima e André Cunha
08/01/2010
Este documento aborda os seguintes tópicos: distribuição dos estimadores de mínimos quadrados, Teorema de Gauss-Markov e Análise de Variância.
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Conteúdo 1. Introdução ........................................................................................................ 4 2. O modelo de RLM ........................................................................................... 4 3. Pressupostos do modelo de RLM ............................................................. 5 4. Valores esperados de β1, β2,..., βk .......................................................... 6 5. Variâncias e Covariâncias ........................................................................... 7 6. O Teorema de Gauss-Markov .................................................................... 9 7. Análise de Variância (ANOVA) .................................................................. 9 8. Exercícios de Fixação .................................................................................. 11 9. Gabarito ........................................................................................................... 15 10. Resolução dos Exercícios de Fixação ................................................... 15 Complemento de Séries Temporais .................................................................. 24
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1. Introdução
Nesta aula estenderemos o modelo de regressão linear simples, apresentado nas Aulas 3 e 5, para o modelo de regressão linear múltipla (RLM)
Sugerimos comparar as propriedades da RLM com as da RLS, posto que a segunda pode ser interpretada como um caso particular da primeira.
Ao final desta aula encontra-se um complemento sobre séries temporais que preparamos, junto com uma batelada de exercícios para fixação da matéria.
2. O modelo de RLM
O modelo de RLM é
ikikiii xxxy εββββ +++++= ...33221 , (1)
sendo:
• y é a variável dependente
• x2,...,xk são as variáveis independentes (ou explanatórias)
• β1 o intercepto
• βt, t ≥ 2, o coeficiente da variável xt
• εi os termos de erro.
• xti a i-ésima observação da variável xt
• (y1, x21, x31,..., xk1), ... , (yn, x2n, x3n,..., xkn) são as n k-uplas ordenadas que queremos ajustar ao modelo.
A vantagem do modelo de RLM sobre o de RLS é o fato de o primeiro permitir que a variável y dependa de mais de uma variável independente, como na maioria dos problemas do mundo real.
Quando k = 3 temos duas variáveis dependentes (três β`s para estimar) e o modelo gera o gráfico de um plano. Quando k ≥ 4 não é possível representar graficamente.
Ainda que não possamos sempre representar graficamente uma equação de RLM, continuaremos a chamar β1 de intercepto. β1 é o valor esperado de y quando todas as variáveis explanatórias são iguais a zero, e o encontro do plano com o eixo y no caso particular quando k = 3.
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βt representa a variação estimada de y quando xt varia uma unidade, mantendo todos os outros x`s constantes.
3. Pressupostos do modelo de RLM
Os pressupostos do modelo de RLM são muito parecidos com os do modelo de RLS. São eles:
1. o valor de yi para cada valor de (x2i, x3i, ... , xki) é
ikikiii xxxy εββββ +++++= ...33221
2. não há relação linear exata entre duas ou mais variá-veis independentes
3. o valor médio do erro aleatório é
0)( =εE
pois admitimos que
kkk xxxyExxxyE ββββ ++++== ...][],...,,/[ 3322132
4. a variância do erro aleatório é
)var()var( 2 Y==σε
5. qualquer par de erros aleatórios iε e jε , i ≠ j, são
independentes, o que implica
0),cov(),cov( == jiji YYεε
6. (x2, x3, ... , xk) são variáveis não aleatórias.
7. A variável ε têm distribuição Normal
ε ~ ),0( 2σN
Se Y tem distribuição Normal e vice-versa.
O único pressuposto novo em relação ao modelo de RLS é o segundo, de que não há relação linear exata entre duas ou mais
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variáveis independentes. Em outras palavras, o pressuposto afirma
que não existe (λ2,..., λk) ≠ (0, ... ,0) de forma que ∑=
=k
ttit x
2
0λ .
4. Valores esperados de β1, β2, ... , βk
Para calcular os β`s da equação (1), assim como fizemos para o caso de k = 2 (RLS), temos de minimizar a soma dos quadrados dos erros residuais. Posto de outra forma,
∑ ∑∑ −−−−−=−==i i
kikiiiiii
i xxxyyyeSQE 233221
22 )ˆ...ˆˆˆ(min)ˆ(minminmin ββββ
Vamos escrever n equações usando (1) e as n observações (y1, x21, x31,..., xk1), ... , (yn, x2n, x3n,..., xkn). Temos então:
⎪⎪⎩
⎪⎨⎪⎧
+++++=
+++++=+++++=
nknknnn
kk
kk
xxxy
xxxyxxxy
εββββ
εββββεββββ
...................................................................
......
33221
2232322212
1131321211
(2)
Ou em notação matricial: Y = Xβ + ε (3)
Onde:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
ny
yy
Y...
2
1
,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
knn
k
k
xx
xxxx
X
...1............
...1
...1
2
222
121
,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
kβ
ββ
β...
2
1
, e
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nε
εε
ε...
2
1
, (4)
Mantendo a notação matricial, é facilmente verificável que
β̂ˆ XY = , (5)
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onde
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
kβ
ββ
β
ˆ...
ˆˆ
ˆ 2
1
e
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
ny
yy
Y
ˆ...ˆˆ
ˆ 2
1
é a matriz1 dos valores estimados pelo
modelo.
Sendo YY ˆˆ −=ε a matriz n x 1 dos resíduos e tε̂ sua transposta,
nosso trabalho agora é minimizar εεε ˆˆˆ1
2 tn
iiSQE == ∑
=
.
Prova-se, e não é trivial para quem não tem forte base matemática, que a matriz k x 1
)()(ˆ 1 YXXX tt −=β ,2 (6)
Onde A-1 denota a inversa da matriz A.
No caso de k = 3, o modelo fica iiii xxy εβββ +++= 33221 , e
aplicando (6) temos
∑ ∑∑∑∑∑∑−−−−−
−−⋅−−−−⋅−−= 2
33222
332
22
3322332
33222 )))((()()(
))(())(()())((ˆxxxxxxxx
xxxxyyxxxxyyxx
iiii
iiiiiiiβ
∑ ∑∑∑∑∑∑−−−−−
−−⋅−−−−⋅−−= 2
33222
332
22
3322222
22333 )))((()()(
))(())(()())((ˆxxxxxxxx
xxxxyyxxxxyyxx
iiii
iiiiiiiβ
33221 ˆˆˆ xxy βββ −−=
Não se preocupe em memorizar essas fórmulas. Nós as colocamos aqui apenas ilustrativamente, pois esperamos um mínimo de bom senso da banca examinadora em não cobrá-las. Normalmente as estimativas dos parâmetros da equação são fornecidas nas questões.
5. Variâncias e Covariâncias
1 Uma matriz que tenha apenas uma linha ou apenas uma coluna também recebe o nome de vetor. 2 Não acreditamos que o conhecimento da notação matricial será cobrado em prova. Entretanto, caso os dados sejam apresentados na forma matricial, acreditamos que estaremos já familiarizados com essa notação.
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Usando a notação matricial de (4), prova-se que
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−
)ˆvar(...)ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov(...............
)ˆ,ˆcov(...)ˆvar()ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov(...)ˆ,ˆcov()ˆvar()ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov(...)ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov()ˆvar(
)(
321
333231
232221
131211
12
kkkk
k
k
k
t XX
βββββββ
βββββββββββββββββββββ
σ (7)
Mais uma vez, não é trivial a demonstração de (7) e nem esperamos que se exija o cálculo das variâncias. Veremos em questões de concursos passadas (na próxima aula) que a matriz (7), também chamada de matriz de variância-covariância, muitas vezes é fornecida pela questão.
Ilustrando para k = 3,
∑ −−=
)1()()ˆvar(
232
22
2
2 rxx i
σβ (8)
∑ −−=
)1()()ˆvar(
232
33
2
3 rxx i
σβ , (9)
Onde r23, o coeficiente de correlação amostral entre x2 e x3, é tal que
∑ ∑∑
−−
−−=
233
2 22
332223
)()(
))((
xxxx
xxxxr
ii
ii (10)
Repare que nas equações (8) e (9), se fizermos r23 = 1 anulamos seus denominadores. Isso mostra as consequências, para k = 3, da violação do pressuposto 2 do modelo de RLM. Quando há relação linear exata entre duas ou mais variáveis independentes ocorre o que chamamos de multicolinearidade exata, e o processo de mínimos quadrados não pode ser aplicado.
Para encerrar esse item, faltou mencionar o estimador não tendencioso de 2σ , s2. Demonstra-se que
knknSQE
kne
st
−=
−=
−== ∑ εεσ
ˆˆˆ2
22 ,
em que k é o número de parâmetros que queremos estimar, e n – k os graus de liberdade (gl) da SQE.
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6. O Teorema de Gauss-Markov
O teorema de Gauss-Markov permanece válido para o modelo de RLM. Dessa forma, os k estimadores contidos na matriz β̂ de (5) são os de menor variância dentre todos os estimadores lineares possíveis não viesados para os elementos da matriz β. A demonstração deste teorema mais uma vez foge ao escopo deste trabalho.
7. Análise de Variância (ANOVA)
Inicialmente, SQT, SQE, SQR e o coeficiente de determinação R2 no modelo de RLM são definidos de forma idêntica à que vimos no modelo de RLS no item 7 da Aula 3. Reproduzimos abaixo alguns resultados, por conveniência.
SQT = SQE + SQR (11)
Onde
SQT = Soma dos quadrados total = Syy =
(ou variação total)
SQE = Soma dos quadrados dos erros = (12)
(ou variação residual)
SQR = Soma dos quadrados da regressão =
(ou variação explicada)
Definimos
SQTSQE
SQTSQRR −== 1 2 (13)
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Da definição, 0 ≤ R2 ≤ 1
Assim como no caso da RLS, na RLM quanto mais R2 se aproxima de 1, mais a variação de y é explicada pela regressão e melhor é o ajuste à equação. De forma oposta, quanto mais R2 se aproxima de 0, menos a variação de y é explicada pela regressão e pior é o ajuste à equação.
Entretanto, uma característica indesejável de R2 é que ele pode ser aumentado artificialmente adicionando-se mais variáveis ao modelo, mesmo que essa adição não seja suportada pela teoria econômica. Quando se acrescenta uma variável explanatória ao modelo, SQE diminui ou permanece igual, desta forma o novo coeficiente de determinação é no mínimo igual ao do modelo sem essa variável.
Para resolver esse problema definimos agora o R2 ajustado, ou 2R , da seguinte forma:
)1/()/(12
−−
−=nSQT
knSQER (14)
A fórmula de 2R é muito parecida com a de R2, com a diferença que em 2R dividimos as somas dos quadrados por seus respectivos graus de liberdade, n – k e n – 1.
Prova-se facilmente que )()1()1(1 22
knnRR−−
−−= (15)
Nota 1: 2R não mais representa o percentual da variação explicada. Esse papel permanece com R2.
Nota 2: De (14) ou de (15), segue que, se k > 1, então 2R < R2.
Nota 3: 2R pode ser negativo. Este resultado corrobora a Nota 1.
Podemos montar agora tabela de ANOVA semelhante à que fizemos na Aula 5, e que é o ponto de partida para testes de hipóteses que estudaremos na próxima aula.
Retornemos aos graus de liberdade
a) SQR tem k - 1 graus de liberdade (número de variáveis explanatórias do modelo)
b) SQE tem n - k graus de liberdade (número de observações menos o número de parâmetros)
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c) SQT tem n - 1 graus de liberdade (número de observações menos 1 porque tivemos de calcular a média)
Vale ainda a seguinte relação:
glSQT = glSQR + glSQE
Tabela de Análise de Variância
Fonte da variação
gl Soma Média da Soma
Estatística F
Regressão k - 1 SQR SQR/(k-1) )/()1/(
knSQEkSQR−−
Erros residuais n - k SQE SQE/(n-k)
Total n - 1 SQT
A estatística F constante da tabela será usada, como veremos, para testar a hipótese de que nenhuma variável explanatória ajuda a explicar a variação total SQT ou Syy. De forma equivalente, testar a hipótese conjunta β2= β3= ... = βk=0.
8. Exercícios de Fixação
Considere as seguintes informações para resolver as questões de números 1 e 2.
Uma das principais aplicações da Econometria tem sido sua utilização na obtenção de modelos que explicam a procura de produtos nos diversos setores da Economia. Por exemplo, em um determinado país, adotou-se o modelo zi = α + βxi + γyi + εi para avaliar a demanda per capita de um determinado produto, com base em observações nos últimos dez anos.
Dados:
• zi = ln(Qi), em que ln é o logaritmo neperiano (ln(e) = 1) e Qi um índice representando a demanda per capita do produto no ano i;
• xi = ln(Pi), em que Pi é o índice de preço do produto no ano i;
• yi = ln(Ri), em que Ri é a renda per capita do país no ano i;
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• α, β e γ são parâmetros desconhecidos;
• εi é o erro aleatório com as respectivas hipóteses consideradas para o modelo de regressão linear múltipla.
Utilizando-se o método dos mínimos quadrados, obteve-se a equação do plano:
iii yxz 76,012,04ˆ +−=
Dados obtidos do quadro de análise de variância:
Soma dos quadrados referente à regressão: 0,6160
Variação residual: 0,0140
1. (Analista BACEN – 2006/FCC) Considerando a equação do plano obtida pelo método dos mínimos quadrados para esse país, o valor da previsão em um determinado ano do índice de demanda per capita Q do produto analisado em função do índice de preço P e uma renda per capita R (PxQ ≠ 0) pode ser obtido pela fórmula:
A) 76,012,0
4
RPeQ⋅
=
B) 76,012,0
4−− ⋅
=RP
Q
C) 76,012,0
4
−⋅=
RPeQ
D) 76,012,0
4lnRP
Q⋅
=
E) 76,012,0
4lnRP
Q⋅
= −
2. (Analista BACEN – 2006/FCC) Com relação à equação do plano ajustado pelo método dos mínimos quadrados e considerando o quadro de análise de variância correspondente, é correto afirmar que:
A) O coeficiente de determinação (R2) da regressão linear múltipla é inferior a 97%.
B) Para o teste de hipótese de existência de regressão, tem-se que o número de graus de liberdade a considerar referente à variação residual é 9.
C) Como na regressão linear simples, o coeficiente de determinação (R2) da regressão linear múltipla é igual ao quociente da divisão da variação residual pela variação explicada pela regressão.
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D) A relação entre o número de graus de liberdade referente à variação residual e o número de graus de liberdade referente à variação explicada pela regressão é 3,5.
E) O valor da estatística F (F calculado) utilizado para a comparação com o F tabelado (variável F de Snedecor com m graus de liberdade no numerador e n graus de liberdade no denominador, ao nível de significância α) é igual a 44.
Julgue as questões 3 e 4, considerando o modelo de regressão linear múltipla para dados seccionais
.,,1,22110 niuxxxy ikikiii KL =+++++= ββββ
3. (ANPEC – 2003) Para que os estimadores de mínimos quadrados sejam os melhores estimadores lineares não-tendenciosos é necessário que os erros sejam normalmente distribuídos.
4. (ANPEC – 2003) A inclusão de uma nova variável explicativa no modelo reduzirá o coeficiente de determinação R2.
Julgue as questões 5 e 6, considerando o modelo de regressão múltipla
uxxxy ++++= 3322110 ββββ ,
cujos parâmetros tenham sido estimados pelo método dos mínimos quadrados ordinários.
5. (ANPEC – 2008) Se o R2 = 1, então y é uma combinação linear de x1, x2 e x3.
6. (ANPEC – 2008) Se o modelo satisfaz as hipóteses do teorema de Gauss-Markov, então 1β̂ é o estimador linear não viesado de β1
com menor variância possível.
Considerando o modelo de regressão múltipla
jkjkjjj XXXY εββββ +++++= K22110
julgue as afirmações das questões 7 a 10.
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7. (ANPEC – 1993) A análise de variância da regressão testa se todos os coeficientes estimados da regressão ( $β j) são significantes
simultaneamente.
8. (ANPEC – 1993) O vetor de soluções para os parâmetros β j é
expresso por $ ( ' ) 'β = −X X X Y1 .
9. (ANPEC – 1993) Para estimar os parâmetros β j da regressão é
necessário que as variáveis explicativas sejam independentes entre si.
10. (ANPEC – 1993) O coeficiente de determinação múltipla corrigido para graus de liberdade (R2 ) pode ser negativo.
Utilize o seguinte modelo de regressão linear múltipla na forma matricial:
Y X= +.β ε , onde as dimensões das matrizes e dos vetores envolvidos são: Y => (n × 1); X => (n × k); β => (k × 1); e ε => (n × 1).
Então, julgue as seguintes afirmações:
11. (ANPEC – 1993) Um dos pressupostos básicos do modelo é: Os elementos da matriz X são estocásticos com valores fixados em amostras repetidas.
12. (ANPEC – 1993) Outro pressuposto básico é: nenhuma das variáveis independentes deve estar perfeitamente correlacionada com qualquer outra variável independente ou com qualquer combinação linear de outras variáveis independentes.
13. (ANPEC – 1993) Quando testamos a existência do modelo de regressão, fazemos as seguintes hipóteses sobre os coeficientes β da regressão (admitindo que β1 0≠ , ou seja, a regressão não passa pela
origem): Hipótese nula => H0: β β β2 3 0= = = =... k Hipótese alternativa => H1: Todos os βi ≠ 0 , para i = 2,
3,…, k.
14. (ANPEC – 1993) Os intervalos de confiança dos coeficientes da regressão podem ser calculados da seguinte maneira:
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( $ . ; $ . )$ $β ββ βi n k i n kt s t s
i i− +− −
onde $β i = estimativa do coeficiente βi ; tn k− = abcissa de uma
distribuição “t” com (n - k) graus de liberdade, fixado o grau de
confiança de intervalo; e si$β = erro padrão estimado de $β i .
9. Gabarito
1 – C
2 – D
3 – FALSO
4 – FALSO
5 – VERDADEIRO
6 – VERDADEIRO
7 – FALSO
8 – VERDADEIRO
9 – FALSO
10 – VERDADEIRO
11 – FALSO
12 – VERDADEIRO
13 – FALSO
14 – VERDADEIRO
10. Resolução dos Exercícios de Fixação
Considere as seguintes informações para resolver as questões de números 1 e 2.
Uma das principais aplicações da Econometria tem sido sua utilização na obtenção de modelos que explicam a procura de produtos nos diversos setores da Economia. Por exemplo, em um determinado país, adotou-se o modelo zi = α + βxi + γyi + εi para
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avaliar a demanda per capita de um determinado produto, com base em observações nos últimos dez anos.
Dados:
• zi = ln(Qi), em que ln é o logaritmo neperiano (ln(e) = 1) e Qi um índice representando a demanda per capita do produto no ano i;
• xi = ln(Pi), em que Pi é o índice de preço do produto no ano i;
• yi = ln(Ri), em que Ri é a renda per capita do país no ano i;
• α, β e γ são parâmetros desconhecidos;
• εi é o erro aleatório com as respectivas hipóteses consideradas para o modelo de regressão linear múltipla.
Utilizando-se o método dos mínimos quadrados, obteve-se a equação do plano:
iii yxz 76,012,04ˆ +−=
Dados obtidos do quadro de análise de variância:
Soma dos quadrados referente à regressão: 0,6160
Variação residual: 0,0140
1. (Analista BACEN – 2006/FCC) Considerando a equação do plano obtida pelo método dos mínimos quadrados para esse país, o valor da previsão em um determinado ano do índice de demanda per capita Q do produto analisado em função do índice de preço P e uma renda per capita R (PxQ ≠ 0) pode ser obtido pela fórmula:
A) 76,012,0
4
RPeQ⋅
=
B) 76,012,0
4−− ⋅
=RP
Q
C) 76,012,0
4
−⋅=
RPeQ
D) 76,012,0
4lnRP
Q⋅
=
E) 76,012,0
4lnRP
Q⋅
= −
Resolução
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yxz 76,012,04 +−=
Substituindo com as informações fornecidas:
)ln(76,0)ln(12,04)ln( RPQ +−= 76,012,0 lnln4)ln(76,0)ln(12,04)ln(76,0)ln(12,04 RPRPRP eeeeeeeQ ⋅⋅=⋅⋅==
−−+−
Usando a relação ,)ln( xe x =
76,012,0
476,012,04
−−
⋅=⋅⋅=
RPeRPeQ
GABARITO: C
2. (Analista BACEN – 2006/FCC) Com relação à equação do plano ajustado pelo método dos mínimos quadrados e considerando o quadro de análise de variância correspondente, é correto afirmar que:
A) O coeficiente de determinação (R2) da regressão linear múltipla é inferior a 97%.
B) Para o teste de hipótese de existência de regressão, tem-se que o número de graus de liberdade a considerar referente à variação residual é 9.
C) Como na regressão linear simples, o coeficiente de determinação (R2) da regressão linear múltipla é igual ao quociente da divisão da variação residual pela variação explicada pela regressão.
D) A relação entre o número de graus de liberdade referente à variação residual e o número de graus de liberdade referente à variação explicada pela regressão é 3,5.
E) O valor da estatística F (F calculado) utilizado para a comparação com o F tabelado (variável F de Snedecor com m graus de liberdade no numerador e n graus de liberdade no denominador, ao nível de significância α) é igual a 44.
Resolução
Há 10 observações e 3 parâmetros estimados.
Logo, glSQE = n – k = 10 – 3 = 7
Há 2 variáveis independentes.
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Logo, glSQR = k – 1 = 3 – 1 = 2
Portanto, 5,327 ==
SQR
SQE
glgl
GABARITO: D
Julgue as questões 3 e 4, considerando o modelo de regressão linear múltipla para dados seccionais
.,,1,22110 niuxxxy ikikiii KL =+++++= ββββ
3. (ANPEC – 2003) Para que os estimadores de mínimos quadrados sejam os melhores estimadores lineares não-tendenciosos é necessário que os erros sejam normalmente distribuídos.
Resolução
Antes de resolver essa questão, um alerta: Nós baseamos todas as fórmulas no modelo dado na equação (1), com k parâmetros e k-1 variáveis independentes. Na equação deste exercício, e isso pode acontecer na prova do BACEN, o modelo conta com k+1 parâmetros e k variáveis independentes. Essa diferença não tem importância neste exercício, mas com certeza teria em um no qual teríamos de calcular gl ou estatísticas F.
Vamos à questão agora.
Assim como no modelo de RLS, no modelo de RLM, para que os estimadores de mínimos quadrados sejam BLUE, a hipótese de normalidade dos erros é a única não necessária dentre as 7 enunciadas no item 3.
GABARITO: FALSO
4. (ANPEC – 2003) A inclusão de uma nova variável explicativa no modelo reduzirá o coeficiente de determinação R2.
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Resolução
Vimos que ocorre exatamente o contrário: A inclusão de uma nova variável explicativa no modelo não reduzirá o coeficiente de determinação R2, podendo aumentá-lo ou não alterá-lo.
GABARITO: FALSO
Julgue as questões 5 e 6, considerando o modelo de regressão múltipla
uxxxy ++++= 3322110 ββββ ,
cujos parâmetros tenham sido estimados pelo método dos mínimos quadrados ordinários.
5. (ANPEC – 2008) Se o R2 = 1, então y é uma combinação linear de x1, x2 e x3.
Resolução
Se R2 = 1, então 100% da variação de y é explicada pelo modelo. Isso só ocorre se y for combinação linear das variáveis independentes.
GABARITO: VERDADEIRO
6. (ANPEC – 2008) Se o modelo satisfaz as hipóteses do teorema de Gauss-Markov, então 1β̂ é o estimador linear não viesado de β1
com menor variância possível.
Resolução
A afirmação é o próprio enunciado do teorema.
GABARITO: VERDADEIRO
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Considerando o modelo de regressão múltipla
,22110 jkjkjjj XXXY εββββ +++++= K
julgue as afirmações das questões 7 a 10.
7. (ANPEC – 1993) A análise de variância da regressão testa se todos os coeficientes estimados da regressão ( $β j) são significantes
simultaneamente.
Resolução
A estatística F dada na tabela de ANOVA serve para testar a hipótese conjunta H0: β2= β3= ... = βk=0. A hipótese alternativa é a de que pelo menos um (não todos) βi (que não o intercepto) seja diferente de 0, ou seja, significante.
GABARITO: FALSO
8. (ANPEC – 1993) O vetor de soluções para os parâmetros β j é
expresso por $ ( ' ) 'β = −X X X Y1 .
Resolução
É a equação (6).
GABARITO: VERDADEIRO
9. (ANPEC – 1993) Para estimar os parâmetros β j da regressão é
necessário que as variáveis explicativas sejam independentes entre si.
Resolução
As variáveis explicativas podem estar correlacionadas. O que o pressuposto 2 do modelo de RLM exige é que não haja relação linear exata entre duas ou mais variáveis independentes.
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GABARITO: FALSO
10. (ANPEC – 1993) O coeficiente de determinação múltipla corrigido para graus de liberdade (R2 ) pode ser negativo.
Resolução
Ver Nota 3 do item 7.
GABARITO: VERDADEIRO
Utilize o seguinte modelo de regressão linear múltipla na forma matricial:
Y X= +.β ε , onde as dimensões das matrizes e dos vetores envolvidos são: Y => (n × 1); X => (n × k); β => (k × 1); e ε => (n × 1).
Então, julgue as seguintes afirmações:
11. (ANPEC – 1993) Um dos pressupostos básicos do modelo é: Os elementos da matriz X são estocásticos com valores fixados em amostras repetidas.
Resolução
Pressuposto 6: (x2, x3, ... , xk) são variáveis não aleatórias.
Portanto, não estocásticas.
GABARITO: FALSO
12. (ANPEC – 1993) Outro pressuposto básico é: nenhuma das variáveis independentes deve estar perfeitamente correlacionada com qualquer outra variável independente ou com qualquer combinação linear de outras variáveis independentes.
Resolução
Ver resolução da questão 9.
GABARITO: VERDADEIRO
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13. (ANPEC – 1993) Quando testamos a existência do modelo de regressão, fazemos as seguintes hipóteses sobre os coeficientes β da regressão (admitindo que β1 0≠ , ou seja, a regressão não passa pela
origem): Hipótese nula => H0: β β β2 3 0= = = =... k Hipótese alternativa => H1: Todos os βi ≠ 0 , para i = 2,
3,…, k.
Resolução
Testar a existência do modelo é testar se pelo menos uma variável independente é relevante. Em outras palavras, se pelo menos um βi
(que não o intercepto) é diferente de 0, não todos.
GABARITO: FALSO
14. (ANPEC – 1993) Os intervalos de confiança dos coeficientes da regressão podem ser calculados da seguinte maneira:
( $ . ; $ . )$ $β ββ βi n k i n kt s t s
i i− +− −
onde $β i = estimativa do coeficiente βi ; tn k− = abcissa de uma
distribuição “t” com (n - k) graus de liberdade, fixado o grau de
confiança de intervalo; e si$β = erro padrão estimado de $β i .
Resolução
Questão “antecipada” da Aula 8.
Se os pressupostos do modelo se verificam, inclusive o da normalidade dos erros, então prova-se que
is
t iikn
β
ββ
ˆ
ˆ −=− segue distribuição t com (n – k) graus de liberdade,
onde
isβ̂ é o desvio padrão amostral do estimador iβ̂ de iβ .
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Seguindo o mesmo raciocínio do item 3 da Aula 5, concluímos que a afirmação é verdadeira.
GABARITO: VERDADEIRO
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PONTO DOS CONCURSOS
Econometria BACENComplemento de Séries Temporais
Alexandre Barbosa de Lima e André Cunha
08/01/2010
Este documento aborda o seguinte tópico: modelagem de séries temporais: construção do modelo e região de admissibilidade.
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Conteúdo1. Modelagem de Séries Temporais ............................................................... 26
1.1. Construção do Modelo ......................................................................... 261.2. Estacionariedade e Invertibilidade.................................................. 29
2. Exercícios Extras .............................................................................................. 313. GABARITO ........................................................................................................... 344. Resolução dos Exercícios Extras ................................................................ 35
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1. Modelagem de Séries Temporais
A modelagem de uma série temporal tx consiste na estimação de uma função invertível (.)h , denominada modelo de tx , tal que
(1) ,...),,,,(..., 2112 ++−−= tttttt hx εεεεε
em que IIDt ~ε (seqüência independente e identicamente distribuída)
e
(2) tttttt xxxxxg ε=++−− ,...),,,,(..., 2112
em que 1(.)(.) −= hg .
As Eqs. (1) e (2) estão ilustradas na Fig. 1.
O processo tε é a inovação no instante t e representa a nova
informação sobre a série que é obtida no instante t.
Na prática, o modelo ajustado é causal, ou seja,
(3) ,...),,( 21 −−= tttt hx εεε .
1.1. Construção do Modelo
A metodologia de construção de um modelo é baseada no ciclo iterativo ilustrado pela Fig. 2 [BOX94], [MOR04]:
Figura 1: modelagem de uma série temporal.
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(a) uma classe geral de modelos é considerada para a análise (especificação);
(b) há a identificação de um modelo, com base em critérios estatísticos;
(c) segue-se a fase de estimação, na qual os parâmetros do modelo são obtidos. Na prática, é importante que o modelo seja parcimonioso. Diz-se que um modelo é parcimonioso quando o mesmo utiliza poucos parâmetros. A utilização de um número excessivo de parâmetros é indesejável porque o grau de incerteza no procedimento de inferência estatística aumenta com o aumento do número de parâmetros (Princípio da Parcimônia).
(d) finalmente, há o diagnóstico do modelo ajustado por meio de uma análise estatística da série tε̂ de resíduos ( tε̂ é compatível com um ruído branco?).
Postular a classe geral
do modelo
Identificaçãodo modelo
Estimação dos parâmetros
Diagnóstico
Não Sim
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O processo tx de (3) é linear quando corresponde à convolução de um processo IIDt ~ε com uma seqüência determinística tx
(4) ∑∞
=−=∗=
0kktkttt hhx εε
...2211 +++= −− ttt hh εεε
tBhBh ε...)1( 2 21 +++=
tBH ε)(= .
em que o símbolo ∗ denota a operação de convolução e h0=1. A Eq. (4) também é conhecida como representação de média móvel de ordem infinita (MA(∞)) [BRO96].
A forma geral ARMA(p,q) de (4) é
(5) ∑∑=
−=
− −+=q
kktk
p
kktkt txx
11)( εθεφ .
A seqüência ht é denominada resposta impulsiva do modelo ARMA(p,q) (5).
Numa forma mais compacta, tem-se que
(6) tt BxB εθφ )()( =
em que )(Bφ é o operador auto-regressivo de ordem p
ppBBBB φφφφ −−−= ...1)( 2
21
e )(Bθ denota o operador de média móvel de ordem q
....1)( 2 21
qqBBBB θθθθ −−−=
O leitor mais atento deve ter percebido que o processo de inovação }{ tε foi definido simplesmente como uma seqüência IID.
Fizemos assim por que as definições apresentadas até o momento são bastante gerais: elas englobam, por exemplo, a classe das séries
Figura 2: ciclo iterativo Box-Jenkins.
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ARMA(p,q) de variância infinita3. Daqui para frente, restringiremos }{ tε à classe dos processos IID com variância finita, e isto quer dizer
que a inovação tε passa a ser do tipo tε ~RB(0,σ2) (ruído branco de média zero e variância σ2)
1.2. Estacionariedade e Invertibilidade
Demonstra-se que um modelo ARMA(p,q) é estacionário e invertível se todas as raízes de )(Bφ e )(Bθ estão fora do círculo unitário (região de admissibilidade) [MOR04], [MOR08]
(7) ⎩⎨⎧
>=>=
1||,0)(1||,0)(
BBBB
θφ
Sendo assim, a região de admissibilidade de um modelo ARMA(1,1) é dada por
(8) ⎩⎨⎧
<<−<<−
1111
θφ
Como os modelos estimados na prática são invertíveis (ou seja, a condição (7) é válida), pode-se definir o operador inverso
(9) )()( 1 BHBG −=
e reescrever (4) na forma auto-regressiva de ordem infinita (AR(∞))
(10) tttt xgxgx ε+++= −− ...2211
tk
ktk xg ε+=∑∞
=−
1
Portanto, xt pode ser interpretado como uma soma ponderada de seus valores passados xt-1, xt-2, ..., mais uma inovação εt. O modelo equivalente AR(∞) sugere que pode-se calcular a probabilidade de um valor futuro xt+k estar entre dois limites especificados, ou seja, (9) afirma que é possível fazer inferências ou previsões de valores futuros da série.
3 Vide SAMORODNITSKY, G; TAQQU, M. S. Stable non-Gaussian random processes.London: Chapman & Hall, 1994.
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Bibliografia
[BOX94] BOX, G. E. P.; JENKINS, G. M.; REINSEL, G. C. Time Series Analysis: Forecasting and Control. 3rd ed. Prentice Hall, 1994.
[BRO96] BROCKWELL, P. J.; DAVIS, R. A. An Introduction to Time Series and Forecasting. Springer-Verlag, 1996.
[BUE08] BUENO, Rodrigo de Losso da Silveira. Econometria de Séries Temporais. São Paulo: Cengage Learning, 2008.
[GUJ00] GUJARATI, Damodar N. Econometria Básica, 3ª Edição. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.
[MOR04] MORETTIN, Pedro A.; TOLOI, Clélia M. C. Análise de Séries Temporais. São Paulo: Editora Edgard Blücher, 2004.
[MOR08] MORETTIN, Pedro A. Econometria Financeira – Um Curso em Séries Temporais Financeiras. São Paulo: Editora Blücher, 2008.
[PER93] PERCIVAL, Donald B.; Walden, Andrew T. Spectral Analysis for Physical Applications. Cambridge, 1993.
[SHU06] SHUMWAY, Robert H.; STOFFER, David S. Time Series Analysis and Its Applications with R Examples. Springer, 2006.
[TSA05] TSAY, Ruey S. Analysis of Financial Time Series. 2nd ed. Wiley-Interscience, 2005.
[ZIV03] ZIVOT, Eric; WANG, Jiahui. Modeling Financial Time Series with S-PLUS. Springer, 2003.
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2. Exercícios Extras
Considere que o número de pousos e decolagens em um aeroporto siga um processo autorregressivo na forma
1121 5,05,05,1 −−− −+−= tttt aaZZZ , em que tZ representa o número observado de pousos e decolagens no tempo t ( ,...,3,2,1,0=t ) e ta
representa um ruído branco com média igual a zero e variância igual a 8. Com base nessas informações e considerando que 1−−= ttt ZZY ,
julgue os próximos itens.4 (Especialista em Regulação de Aviação Civil – Área 4 – ANAC/CESPE/2009)
1. A série temporal }{ tZ não é estacionária.
2. A série diferenciada }{ tY segue um ruído branco.
3. A variância do processo }{ tY é igual 8.
4. A autocorrelação entre tY e 1−tY é superior a 0,01.
5. A autocorrelação entre tY e 2−tY é igual a zero.
6. A variância do passeio aleatório ∑=
=t
kkt YS
1
é igual a 3
32t.
7. (MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006) Seja Z = {Z(t), t ∈ T} um processo estocástico, considere as seguintes condições
(i) E{Z(t)} = µ(t) = µ = constante, para todo t ∈ T;
(ii) E{Z(t)} = 0, para todo t ∈ T;
(iii) E{Z2(t)} < ∞, para todo t ∈ T;
(iv) E{Z2(t)} = t, para todo t ∈ T;
(v) Cov{Z(t1), Z(t2)} é um função de |t1-t2|
Dizemos que Z é estacionário de segunda ordem ou fracamente estacionário se e somente se estiverem satisfeitas as condições, além da (v)
A) (i) e (ii)
4 São 6 itens.
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B) (ii) e (iv)
C) (i) e (iii)
D) (i) e (iv)
E) (ii) e (iii)
8. (MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006) De um modo geral, a análise espectral de séries temporais estacionárias decompõe a série em
A) componentes senoidais com coeficientes aleatórios correlacionados.
B) um componente de tendência e uma componente sazonal.
C) uma componente polinomial, uma componente cíclica e uma componente sazonal.
D) componentes senoidais com coeficientes aleatórios correlacionados e componentes cossenoidais com coeficientes aleatórios não correlacionados.
E) componentes senoidais com coeficientes aleatórios não correlacionados.
9. (MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006) Seja Z = {Zt, t ∈ T} um processo AR(1) dado por Zt = φZt-1 + at, onde at é o ruído branco com média zero e variância um. Seja ρj, j ≥ 1 a função de autocorrelação do processo Zt. É correto afirmar:
A) ρ1=φ e ρj=0, se j≥2
B) ρj=φj, j≥1
C) ρj=1/(1-φj), j≥1
D) ρj=φj/(1-φj), j≥1
E) ρj=1/φj, j≥1
10.(MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006) Para o processo ARIMA(1,d,1), onde φ é o coeficiente autoregressivo e θ é o coeficiente de médias móveis, é correto afirmar:
A) a função de autocorrelação parcial só é diferente de zero no lag 1
B) a função de autocorrelação só é diferente de zero nos lags 1 e 2.
C) Se d=1, o processo é estacionário.
D) A região de admissibilidade é dada por |φ|<1 e |θ|<1
E) A função de autocorrelação é dominada por senóides amortecidas.
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(Exame Nacional ANPEC/Prova de Estatística/2009) Julgue os itens a seguir.
11. A estatística de Dickey-Fuller para testar a presença de raiz unitária em séries temporais possui sempre distribuição Normal.
12. O teste t em regressões envolvendo variáveis não-estacionárias não será válido caso a regressão seja espúria.
13. No processo AR(1), ,110 ttt eYy ++= −φφ , em que |φ1|<1 e te é um ruído branco de média nula e variância σ2, a média de yt será igual a φ0.
14. O processo MA(1), ,1−+= ttt eey θ , em que te é um ruído branco de
média nula e variância constante, será estacionário mesmo que 1|| >θ .
15. (Adaptada) Seja a função de autocorrelação do processo AR(1) definido no item (13) dada por ρj. É correto afirmar que j
j 1φρ = .
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3. GABARITO
1 – CERTO
2 – CERTO
3 – CERTO
4 – ERRADO
5 – CERTO
6 – ERRADO
7 – C
8 – E
9 – B
10 - D
11- FALSO
12 – VERDADEIRO
13 – FALSO
14 – VERDADEIRO
15 - VERDADEIRO
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4. Resolução dos Exercícios Extras
Considere que o número de pousos e decolagens em um aeroporto siga um processo autorregressivo na forma
1121 5,05,05,1 −−− −+−= tttt aaZZZ , em que tZ representa o número observado de pousos e decolagens no tempo t ( ,...,3,2,1,0=t ) e ta
representa um ruído branco com média igual a zero e variância igual a 8. Com base nessas informações e considerando que 1−−= ttt ZZY ,
julgue os próximos itens5 (Especialista em Regulação de Aviação Civil – Área 4 – ANAC/CESPE/2009)
Comentários preliminares
Primeiramente, é preciso notar que há um erro tipográfico no enunciado, uma vez que aparece o termo 1a em vez de ta no lado direito da equação que define o modelo tZ . Lembre que um processo ARMA(p,q) tX de média nula é definido pela equação de
diferenças6
qtqttptptt XXX −−−− −−−+++= εθεθεφφ ...... 1111
em que pφφφ ,...,, 21 denotam coeficientes auto-regressivos, qθθθ ,...,, 21
representam parâmetros de médias móveis e tε ~RB(0,σ2) (ruído branco de média zero e variância σ2). Logo, não faz sentido definir o processo da forma como está no enunciado. Por este motivo, os seis itens que dependem deste enunciado deveriam ter sido anulados (não foram, até onde é do nosso conhecimento).
Não obstante, prossigamos com a questão, porque ela tem valor didático.
Nós já aprendemos que o operador auto-regressivo de ordem p é dado por
ppBBBB φφφφ −−−= ...1)( 2
21
e que o operador de médias móveis de ordem q é definido como
....1)( 2 21
qqBBBB θθθθ −−−=
5 São 6 itens. 6 Aula 4.
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Deste modo, o modelo ARMA(p,q)
qtqttptptt XXX −−−− −−−+++= εθεθεφφ ...... 1111
pode ser escrito na forma compacta
tt BXB εθφ )()( = .
Observação: a definição
tt BXB εθφ )()( =
requer que os polinômios )(Bφ e )(Bθ não tenham fatores comuns[SHU06, pág. 95]. Explicaremos o que isto quer dizer por meio do Exemplo A abaixo.
Exemplo A. Considere um ruído branco ttX ε= . Também podemos defini-lo na forma equivalente 11 5,05,0 −− = ttX ε (para tal, basta i) aplicar o operador atraso unitário nos dois lados de ttX ε= e ii) multiplicar os
dois membros por 0,5). Subtraindo as duas representações obtemos
,5,05,0 11 −− −=− tttt XX εε
ou
,5,05,0 11 −− −+= tttt XX εε
que tem a aparência (enganosa!) de um processo ARMA(1,1). É claro que tX continua a ser um ruído branco, pois ttX ε= é a solução de
11 5,05,0 −− −+= tttt XX εε .
Diz-se que 11 5,05,0 −− −+= tttt XX εε é uma representação sobre-parametrizada ou com parâmetros redundantes do ruído branco
ttX ε= . Desta forma, demonstra-se que a sobre-parametrização
“mascara” a característica de ruído branco de Xt.
A forma compacta do modelo redundante é
.)5,01()5,01( tt BXB ε−=−
Se aplicarmos o operador 11 )5,01()( −− −= BBφ em ambos os lados do modelo acima obtemos
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tttt BBXBBX εε =−−=−−= −− )5,01()5,01()5,01()5,01( 11
que é o modelo original.
Observe que o modelo tt BXB ε)5,01()5,01( −=− é redundante porque os polinômios )(Bφ e )(Bθ têm o fator comum )5,01( B− , o qual, diga-se de passagem, é o único fator presente. Se descartarmos o fator comum, tem-se que )(Bφ = )(Bθ = 1 e deduzimos que o modelo representa um ruído branco.
A consideração da sobre-parametrização é crucial para a estimação de modelos ARMA. O exemplo acima mostrou que é possível ajustar um modelo ARMA(1,1) para dados provenientes de um ruído branco e supor que as estimativas dos parâmetros são significativas. Se não estivermos cientes do fenômeno da redundância, estamos sujeitos a afirmar que os dados são correlacionados quando na verdade não são.
Assumiremos, para os 6 itens que se seguem, que o número de pousos e decolagens Zt seja modelado por
121 5,05,05,1 −−− −+−= ttttt aaZZZ
De acordo com os dados, tem-se que ta ~RB(0,8).
1. A série temporal }{ tZ não é estacionária.
Resolução
121 5,05,05,1 −−− −+−= ttttt aaZZZ
121 5,05,05,1 −−− −=+− ttttt aaZZZ
ttttt aaZZZ +−=+− −−− 112 5,05,15,0
tt aBZBB )15,0()15,15,0( 2 −−=+−
)2()15,0()2()15,15,0( 2 ×−−=×+− tt aBZBB
tt aBZBB )2()20,3( 2 −−=+−
Fatorando o polinômio do lado esquerdo da última equação acima, temos que
tt aBZBB )2()2)(1( −−=−−
e, assim, constatamos a presença do fator comum )2( −B nos dois lados da equação. Simplificando o modelo redundante, obtemos
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tt aZB −=− )1(
ttt aZZ −=−−1
ttt aZZ += −1 ⇒ passeio aleatório.
O passeio aleatório é não estacionário porque possui uma raiz unitária. Logo, o item está CORRETO (supondo-se que
121 5,05,05,1 −−− −+−= ttttt aaZZZ ).
GABARITO: CERTO
2. A série diferenciada }{ tY segue um ruído branco.
Resolução
ttt aZZ += −1 ⇒ ttt aZZ =− −1 ⇒ tt aY = . Logo }{ tY segue um ruído branco e o item está CERTO (supondo-se que 121 5,05,05,1 −−− −+−= ttttt aaZZZ ).
Observe que o “gabarito oficial definitivo” do CESPE é ERRADO (tudo leva a crer que o examinador “enrolou-se” com a sua própria questão, tendo classificado }{ tY como um pseudo-ARMA(1,1)!).
GABARITO: CERTO
3. A variância do processo }{ tY é igual 8.
Resolução
tt aY = . Logo 8]var[]var[ == ttY a ⇒ CERTO. Observe que o “gabarito
oficial definitivo” do CESPE é ERRADO.
Suponha que você não tivesse identificado que o modelo é redundante. Como você calcularia a variância 0γ do pseudo-processo
ARMA(1,1)? Indo mais longe, como você determinaria a autocovariância de lag 1 ( 1γ ) do pseudo-processo ARMA(1,1)?
Cálculo de 0γ e 1γ de uma ARMA(1,1):
Seja o modelo ARMA(1,1)
11 −− −+= tttt aaYY θφ .
A autocovariância de lag 0, denotada por ][]var[0 ttt YYEY ==γ (pois a
média de Yt é nula) é dada por
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][ 110 tttttt YaYaYYE −− −+= θφγ][][][ 110 tttttt YaEYaEYYE −− −+= θφγ][][][ 110 tttttt YaEYaEYYE −− −+= θφγ
Observe que 11 ][ φγφ =− tt YYE . Logo,
][][ 110 tttt YaEYaE −−+= θφγγ . Note que é preciso calcular as esperanças ][ ttYaE e ][ 1 tt YaE −θ (tratam-se de covariâncias cruzadas).
CÁLCULO DE ][ ttYaE :
][][][)]([][ 12
111 −−−− −+=−+= ttttttttttt aaEaEYaEaaYaEYaE θφθφ
mas 0][ 1 =−ttaaE (at é ruído branco) e 0][ 1 =−ttYaE , pois 1−tY só depende dos choques aleatórios passados },,{..., 123 −−− ttt aaa , ou seja, 1−tY não depende dos choques aleatórios futuros ,...},,{ 21 ++ ttt aaa . Sendo assim,
22 ][][ σ== ttt aEYaE
CÁLCULO DE ][ 1 tt YaE −θ :
])][][][)]([][ 21
21111111 −−−−−−−− −+=−+= ttttttttttt aEaaEYaEaaYaEYaE θθθφθφθθ
22221 )(0][ σθφθσθθθφσθ −=−×+=− tt YaE
Voltando ao cálculo da variância,
2210 )( σθφθσφγγ −−+= (1)
A autocovariância de lag 1 é dada por
][ 111211 −−−− −+= ttttt YaYaYE θφγ
][][][ 111211 −−−− −+= ttttt YaEYaEYEφγ θ
20
201 0 θσφγθσφγγ −=−+= (2)
Chegamos ao seguinte sistema de duas equações a duas incógnitas:
⎩⎨⎧
−=−−+=2
01
2210 )(
θσφγγσθφθσφγγ
cujas soluções são
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22
2
0 121 σ
φθφθγ
−−+
=
e
221 1
))(1( σφ
θφφθγ−
−−= .
Agora, observe que
885,01
5,05,025,012
2
0 =×−
××−+=γ ⇒ o que confirma a resolução dada para a
questão e o problema da redundância do modelo.
GABARITO: CERTO
4. A autocorrelação entre tY e 1−tY é superior a 0,01.
Resolução
Como tY é um ruído branco, tem-se que 0][ =−τttYYE . Logo, a autocorrelação entre tY e 1−tY é nula ⇒ item ERRADO. Observe que o
“gabarito oficial definitivo” do CESPE é CERTO.
Podemos chegar ao mesmo resultado aplicando a fórmula
0
11 γ
γρ =
221 1
))(1( σφ
θφφθγ−
−−=
085,01
)5,05,0)(5,01(2
2
1 =×−
−−=γ ⇒ 01 =ρ ⇒ como 1−= ττ φρρ , 1>τ , então 0=τρ
para 1>τ ⇒ Yt é um ruído branco.
GABARITO: ERRADO
5. A autocorrelação entre tY e 2−tY é igual a zero.
Resolução
A questão aborda o tema da Identificação do modelo.
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Os processos AR(p), MA(q) e ARMA(p,q) apresentam FAC com características especiais. Assim [MOR08]:
(i) Um processo AR(p) tem FAC que decai de acordo com exponenciais e/ou senóides amortecidas, infinita em extensão;
(ii) Um processo MA(q) tem FAC finita, pois é igual a zero para lag superior a q;
(iii) Um processo ARMA(p,q) tem FAC infinita em extensão, que decai de acordo com exponenciais e/ou senóides amortecidas após o lag q-p.
Estas observações são úteis no procedimento de identificação do modelo que será ajustado à série observada; calculando-se as estimativas das FAC que acreditamos reproduzir adequadamente as verdadeiras FAC desconhecidas e comparando seu comportamento com o descrito acima, para cada modelo, tentamos escolher um (ou mais) modelo(s) que descreva(m) a série dada.
Em particular, a FAC é útil para identificar modelos MA, dada a característica (ii) acima, não sendo útil para identificar modelos ARMA, que têm FAC complicada [MOR08].
Box, Jenkins e Reisel [BOX94] propuseram um procedimento alternativo de identificação baseado na função de autocorrelação parcial (FACP).
Pode-se demonstrar que, para os processos AR(p), MA(q) e ARMA(p,q), temos:
(i) Um processo AR(p) tem FACP 0≠kkφ , para pk ≤ e 0=kkφpara pk > ;
(ii) Um processo MA(q) tem FACP que se comporta de maneira similar à FAC de um processo AR(p): é dominada por exponenciais e/ou senóides amortecidas;
(iii) Um processo ARMA(p,q) tem FACP que se comporta como a FACP de um processo MA puro.
Segue-se que a FACP é útil para identificar modelos AR puros, não sendo tão útil para identificar modelos MA e ARMA.
Ora, a função de autocorrelação parcial (FACP) de um ruído branco é igual a zero para qualquer lag maior que zero ⇒ CERTO.
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GABARITO: CERTO
6. A variância do passeio aleatório ∑=
=t
kkt YS
1
é igual a 3
32t.
Resolução
Seja um processo estacionário tY . A soma ∑=
=t
kkt YS
1
é denominada
tendência estocástica.
Se ),0(~ 2σRBYt então tS é conhecido como passeio aleatório,
pois
ttt YSS += −1 .
Demonstra-se que a variância do passeio aleatório é dada por
22 σσ tt = ⇒ logo o item está ERRADO.
GABARITO: ERRADO
7. (MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006)Seja Z = {Z(t), t ∈ T} um processo estocástico, considere as seguintes condições
(i) E{Z(t)} = µ(t) = µ = constante, para todo t ∈ T;
(ii) E{Z(t)} = 0, para todo t ∈ T;
(iii) E{Z2(t)} < ∞, para todo t ∈ T;
(iv) E{Z2(t)} = t, para todo t ∈ T;
(v) Cov{Z(t1), Z(t2)} é um função de |t1-t2|
Dizemos que Z é estacionário de segunda ordem ou fracamente esta-cionário se e somente se estiverem satisfeitas as condições, além da (v)
A) (i) e (ii)
B) (ii) e (iv)
C) (i) e (iii)
D) (i) e (iv)
E) (ii) e (iii)
Resolução
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Um processo estocástico }),({ TttZ ∈ é fracamente estacionário ou estacionário de segunda ordem se e somente se
a) μμ == )()]([ ttZE , constante, para todo Tt∈ ; b) ∞<)]([ 2 tZE , para todo Tt∈ ; c) ),( 21 ttγ é uma função apenas do valor absoluto da defasagem
|| 21 tt − .
A primeira condição afirma que a média é igual para todo período, mesmo que a distribuição da variável aleatória vá se alterando ao longo do tempo. A segunda condição afirma apenas que o segundo momento não centrado deve ser finito, ainda que desigual em diferentes instantes. A terceira condição estabelece que a variânciaé sempre igual para todo instante de tempo e que a autocovariância não depende do tempo, mas apenas da distância temporal (defasagem) || 21 tt − entre as observações.
GABARITO: C
8. (MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006)De um modo geral, a análise espectral de séries temporais estacionárias decompõe a série em
A) componentes senoidais com coeficientes aleatórios correlacionados.
B) um componente de tendência e uma componente sazonal.
C) uma componente polinomial, uma componente cíclica e uma componente sazonal.
D) componentes senoidais com coeficientes aleatórios correlacionados e componentes cossenoidais com coeficientes aleatórios não correlacionados.
E) componentes senoidais com coeficientes aleatórios não correlacionados.
Resolução
Primeiramente, é importante ressaltar que o tópico “Análise Espectral de Séries Temporais” não aparece de forma explícita no conteúdo programático da prova de Econometria do BACEN, o que nos leva a crer que a probabilidade desse assunto ser cobrado na prova é praticamente nula. Mas vamos à resolução, por via das dúvidas.
Vejam só o seguinte parágrafo da pág. 415 do livro de Morettin e Toloi [MOR04]:
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“De uma forma geral, a análise espectral de séries temporais estacionárias {Zt} decompõe a série em componentes senoidais com coeficientes aleatórios não correlacionados. Juntamente com essa decomposição, existe a correspondente decomposição, em senóides, da função de autocovariância γ(t). Assim, a decomposição espectral de um processo estacionário é um análogo à representação de Fourier de funções determinísticas.”
A afirmação feita por Morettin e Toloi está baseada no Teorema da Representação Espectral de Cramér7. O Cap. 4 do livro [PER93] de Percival e Walden apresenta a motivação do Teorema e o discute em profundidade. Entretanto, a prova rigorosa do teorema não é dada8, pois ela é muito (mas muito mesmo) complicada!
Vamos analisar brevemente cada uma das alternativas.
(A) ⇒ está errada porque diz que os coeficientes aleatórios das senóides são correlacionados.
(B) ⇒ está errada porque refere-se a uma análise que pertence ao domínio do tempo (a questão trata da análise de séries no domínio da freqüência). (C) ⇒ está errada pelo mesmo motivo da alternativa acima.
(D) ⇒ está errada pelo mesmo motivo da alternativa (A).
(E) ⇒ correta, conforme explicado acima.
Enfim, para a prova, basta memorizar o enunciado do teorema da representação espectral.
Aproveitamos a oportunidade para apresentar a definição da função densidade espectral de um processo aleatório estacionário.
Seja )}({ tZ , ,...2,1,0 ±±=t , um processo estacionário com média zero e função de autocovariância )(τγ , em que τ denota lag. A função densidade espectral f(λ) ou, simplesmente, espectro de Zt, é definida como a transformada de Fourier de )(τγ , dada por
7 Cramér, H. (1942) On Harmonic Analysis in Certain Functional Spaces. Arvik för Matematik, Astronomi och Fysik, 28B, 1-7 8 Ela pode ser encontrada em: Priestley, M. B. (1981) Spectral Analysis and Time Series. London: Academic Press.
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∑∞
−∞=
−=τ
λττγπ
λ ief )(21)(
com λτλτλτ sincos +=ie e 1−=i . A definição dada acima está de acordo com a notação de Morettin e Toloi em [MOR04, pág. 416]. Percival e Walden [PER93] usam o símbolo S(f), em que f=λ/2π, para denotar o espectro de Z(t). Neste caso a definição de espectro fica na forma
∑∞
−∞=
−=τ
τπτγ fiefS 2)()(
Resumindo para a prova: a função de autocovariância )(τγ de Z(t) e a função densidade espectral de Z(t) possuem uma relação de Fourier (ou formam um par de Fourier)
)()( fS↔τγ .
A função de autocovariância )(τγ é uma caracterização de Z(t) no domínio do tempo. O espectro S(f) é uma caracterização (equivalente) que é feita no domínio da freqüência.
GABARITO: E
9. (MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006)Seja Z = {Zt, t ∈ T} um processo AR(1) dado por Zt = φZt-1 + at, onde at é o ruído branco com média zero e variância um. Seja ρj, j ≥ 1 a função de autocorrelação do processo Zt. É correto afirmar:
A) ρ1=φ e ρj=0, se j≥2
B) ρj=φj, j≥1
C) ρj=1/(1-φj), j≥1
D) ρj=φj/(1-φj), j≥1
E) ρj=1/φj, j≥1
Resolução
Seja o processo AR(1) ttt aZZ += −1φ . Vimos na Aula 4 que podemos expressar a autocovariância de defasagem τ na forma
221 σ
φφ
γτ
τ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎝⎜⎛
−=
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em que 2σ denota a variância de at.
A FAC de um processo AR(1) satisfaz
,1−= ττ φρρ 0>τ .
Como 10 =ρ , temos que
,ττ φρ = 1≥τ .
Este resultado nos diz que o valor absoluto da FAC de um modelo estacionário AR(1) decai exponencialmente à taxa φ com valor
10 =ρ . O decaimento exponencial da FAC de um modelo AR(1) com φpositivo é monotônico. Por outro lado, o plot da FAC de um modelo AR(1) com φ negativo mostra que há dois decaimentos exponenciais alternados (um positivo e outro negativo) com taxa 2φ .
GABARITO: B
10.(MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006)Para o processo ARIMA(1,d,1), onde φ é o coeficiente autoregressivo e θ é o coeficiente de médias móveis, é correto afirmar:
A) a função de autocorrelação parcial só é diferente de zero no lag 1
B) a função de autocorrelação só é diferente de zero nos lags 1 e 2.
C) Se d=1, o processo é estacionário.
D) A região de admissibilidade é dada por |φ|<1 e |θ|<1
E) A função de autocorrelação é dominada por senóides amortecidas.
Resolução
As alternativas sugerem que a questão aborda os seguintes tópicos: procedimento de identificação e critérios de estacionariedade e invertibilidade (“região de admissibilidade”) de processos ARIMA(p,d,q).
Segue-se transcrição de parte do item 6.2 de Morettin e Toloi [MOR04].
O objetivo da identificação é determinar os valores de p, d e q do modelo ARIMA(p,d,q), além de estimativas preliminares dos parâmetros a serem usadas no estágio de estimação.
O procedimento de identificação consiste de 3 partes:
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(a) Verificar se existe necessidade de uma transformação na série original, com o objetivo de estabilizar sua variância.
(b) Tomar diferenças da série obtida no item (a), tantas vezes quantas necessárias para se obter uma série estacionária, de modo que o processo ΔdZ(t) seja reduzido a um ARMA(p,q). O número de diferenças, d, necessárias para que o processo se torne estacionário, é alcançado quando a FAC amostral de Wt = ΔdZ(t) decresce rapidamente para zero. Neste está-gio a utilização de um teste (como o teste tau de Dickey-Fuller) para verificar a existência de raízes unitárias no polinômio auto-regressivo, pode ser de grande utilidade.
(c) Identificar o processo ARMA(p,q) resultante, através da análise das autocorrelações e autocorrelações parciais estimadas, cujos comportamentos devem imitar os comportamentos das respectivas quantidades teóricas, conforme resumido pela Tabela abaixo:
(1,d,0) (0,d,1) ρk decaimento exponencial somente ρ1≠0 φkk somente φ11≠0 decaimento exponencial
dominante região de admissibilidade
-1<φ<1 (estacionariedade9)
-1<θ<1 (invertibilidade10)
(2,d,0) (0,d,2) ρk mistura de exponenciais
ou senóides amortecidassomente ρ1≠0 e ρ2≠0
φkk somente φ11≠0 e φ22≠0 dominada por mistura de exponenciais ou senóides amortecidas
região de admissibilidade
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<+<−<<−
1111
12
12
2
φφφφφ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<+<−<<−
1111
12
12
2
θθθθθ
(1,d,1) ρk decai exponencialmente após o lag 1 φkk dominada por decaimento exponencial após o lag 1
região de admissibilidade
-1<φ<1-1<θ<1
Análise das alternativas:
(A) ⇒ errada. A FACP de uma ARIMA(1,d,1) é dominada por decaimento exponencial após o lag 1. 9 Qualquer processo AR(p) é invertível. 10 Qualquer processo MA(q) é estacionário.
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(B) ⇒ errada. A FAC de uma ARIMA(1,d,1) decai exponencialmente após o lag 1.
(C) ⇒ errada. Se d =1 o processo é integrado, logo é não estacionário.
(D) ⇒ certa, conforme a Tabela acima.
(E) ⇒ errada. A FAC decai exponencialmente após o lag 1
GABARITO: D
(Exame Nacional ANPEC/Prova de Estatística/2009) Julgue os itens a seguir.
11. A estatística de Dickey-Fuller para testar a presença de raiz unitária em séries temporais possui sempre distribuição Normal.
Resolução
Podemos testar a estacionariedade de uma série temporal por meio de um teste de raiz unitária. Suponha o modelo AR(1)
,1 ttt yy ερ += −
em que ρ é o coeficiente e tε denota a perturbação aleatória do
modelo, com média zero e variância 2εσ . Se 1=ρ , então temos o
passeio aleatório ttt yy ε+= −1 , que possui uma raiz unitária, pois 1=ρ(lembre que o modelo AR(1) acima é estacionário se 1|| <ρ ).
Podemos testar a estacionariedade do modelo ttt yy ερ += −1 , testando a hipótese nula de que 1=ρ , contra a alternativa de que 1|| <ρ , ou simplesmente 1<ρ . Coloca-se o teste em uma forma conveniente subtraindo-se 1−ty de ambos os membros do modelo, obtendo-se
ttttt yyyy ερ +−=− −−− 111
ttt yy ερ +−=Δ −1)1( , logo
ttt yy εγ +=Δ −1
em que 1−−=Δ ttt yyy e 1−= ργ . Então
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⎩⎨⎧
<↔<=↔=
0:1:0:1: 00
γργρ
aa HHHH
Nós já aprendemos que 1−−=Δ ttt yyy é a primeira diferença de ty . Se ty é um passeio aleatório, então 0=γ e
tty ε=Δ
é um ruído branco (processo estacionário).
O estimador de mínimos quadrados de ρ no modelo AR(1) mencionado anteriormente tem distribuição assintoticamente normal quando o modelo é estacionário. No caso de raízes unitárias, a aproximação normal não se aplica e a estatística t não possui distribuição t. Portanto, não podemos aplicar a distribuição t para o teste de hipóteses. Quando isto acontece, a estatística t passa a ser chamada de estatística τ (tau), a qual deve ser comparada com valores críticos tabelados. Originalmente, estes valores críticos foram calculados por Dickey e Fuller com base em simulações de Monte Carlo e o teste que usa esses valores críticos tornou-se conhecido como teste tau ou teste de Dickey-Fuller (DF). Note que, se a hipótese nula 1=ρ (passeio aleatório) for rejeitada, podemos usar o teste t (de Student) da forma usual.
A estatística τ é dada por
.ˆ
γ̂
γτs
=
Após ter calculado o valor de τ, consultamos a tabela de Dickey-Fuller para ver se a hipótese nula 1=ρ é rejeitada. O critério a ser usado é o seguinte: se o valor da estatística τ é menor que os valores críticos τc de DF, então a série é estacionária, ou seja, se τ < τc
⇒ série sob teste é estacionária. Se, por outro lado, τ for maior que o valor crítico τc de DF, então a série temporal não é estacionária, isto é, se τ > τc ⇒ série sob teste tem raiz unitária (é não estacionária do tipo I(1)).
O item é falso porque a estatística de Dickey-Fuller nunca tem distribuição Normal. Ela poderá ter distribuição t-Student caso a série seja estacionária.
GABARITO: FALSO
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12. O teste t em regressões envolvendo variáveis não-estacionárias não será válido caso a regressão seja espúria.
Resolução
Aprendemos na Aula 6 que os procedimentos de teste t e F não são válidos caso a regressão seja espúria ⇒ item verdadeiro.
GABARITO: VERDADEIRO
13. No processo AR(1), ,110 ttt eYy ++= −φφ , em que |φ1|<1 e te é um ruído branco de média nula e variância σ2, a média de yt será igual a φ0.
Resolução
Tomando a esperança de ambos os membros de ,110 ttt eYy ++= −φφobtemos
][][ 110 −+= tt yEyE φφ ,
pois 0][ =teE . Como o modelo é estacionário, pois foi dito que |φ1|<1, tem-se que μ== − ][][ 1tt yEyE e portanto
μφφμ 10 += ou
01
0
1][ φ
φφμ ≠−
==tyE ⇒ portanto o item é FALSO.
GABARITO: FALSO
14. O processo MA(1), ,1−+= ttt eey θ , em que te é um ruído branco de
média nula e variância constante, será estacionário mesmo que 1|| >θ .
Resolução
Um processo MA(q) é estacionário por definição, pois 1−+= ttt eey θsempre será uma série limitada, ou seja, ∞<< Myt || . Contudo a série é não invertível se 1|| >θ .
GABARITO: VERDADEIRO
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15. (Adaptada) Seja a função de autocorrelação do processo AR(1) definido no item (13) dada por ρj. É correto afirmar que j
j 1φρ = .
Resolução
Para o modelo AR(1) do item (13), vale ,1j
j φρ = 1≥j . O enunciado
não especificou a condição 1≥j . Apesar disso, não vemos motivo para considerar o item como sendo falso.
GABARITO: VERDADEIRO