Seminrio de Fsica IV

Bandas de Energia e Materiais Condutores e Isolantes

Grupo: Filipe, Julio Cesar, Renan e Willian

Professor: Savio Corra

Introduo

Conforme visto a resoluo da Equao de Schroedinger para o eltron no tomo de

hidrognio conduz a identificao de trs variveis independentes, os nmeros

qunticos principal (), azimutal () e magntico (). Alm destes nmeros qunticos,

ainda existe o spin ().

Desta forma, os possveis nveis de energia em um tomo multieletrnico dependem

fundamentalmente da camada (nmero quntico principal ) e da subcamada (nmero

quntico azimutal ) no qual o eltron se encontra.

Tabela 1 - Subnveis de energia. Fonte: EISBERG.

Nmero quntico

n,lSubcamada

Capacidade da

subcamada

- - -

- - -

6,2 6d 10

5,3 5f 14

7 7s 2

6,1 6p 6

5,2 5d 10

4,3 4f 14

6,0 6s 2

5,1 5p 6

4,2 4d 10

5,0 5s 2

4,1 4p 6

3,2 3d 10

4,0 4s 2

3,1 3p 6

3,0 3s 2

2,1 2p 6

2,0 2s 2

1,0 1s 2

Ene

rgia

Cre

scen

te -

----

----

->

Na Figura 1 so apresentados a configurao eletrnica e o poo de potencial para um

nico tomo Na em seu estado fundamental. Por meio da Figura 1 possvel verificar que

existem valores discretos de energia permitidos. Alm disso, em cada subcamada, no

existem nmeros qunticos repetidos, ou seja, o Princpio de Exluso de Pauli

respeitado. Cada funo de onda (estado quntico do eltron) com o mesmo nvel de

energia chamado de Estado Degenerado.

Figura 1 Barreira potencial de Coulomb e nveis de energia permitidos.

Um fenmeno diferente ocorre quando dois atmos so aproximados. Estando os

tomos suficientemente prximos, as autofunes (funes de onda) se sobrepem,

fazendo com que a energia do sistema dependa da simetria da autofuno espacial.

Desta forma, um mesmo nvel de energia desdobrado em dois nveis de energia

distintos, assim como apresentado na Figura 2.

Figura 2 - Desdobramento de um nvel de energia de 6 tomos em funo da distncia entre os

ncleos.

Figura 3 - Formao das bandas de energia. A primeira parte apresenta dois tomos muito afastados. A

segunda parte apresenta dois tomos prximos, com a diviso dos nveis em 2 subnveis de energia. A

terceira parte apresenta 4 tomos prximos e a diviso de cada nvel em 4 subnveis de energia.

Quando N tomos so colocados juntos numa rede linear uniforme, cada nvel de

energia dividido em N nveis distintos. Ressalta-se o nvel de energia mais prximo do

ncleo do tomo no subdividido porque os eltrons deste nvel so pouco afetados

pela presena de outros tomos.

Se um grande nmero de tomos forem aproximados, uma banda quase contnua com

um nmero elevado de subnveis prximos ser formada. Esta formao chamada de

Bandas de Energia.

Seja a energia potencial no constante, a propagao do eltron sofre alterao

obedecendo equao de Bragg (Eq.1), no qual so refletidas pela rede surgindo uma

onda estacionria.

2 sin = = 2/ Eq. 1

Para um inteiro m positivo ou negativo, a onda de quebra em duas de acordo com

= /, onde se resulta nas bandas. Assim, a figura 4 representar a variao de

energia dos estados eletrnicos, no qual chamada de esquema de zona estendida.

Figura 4 Modificao da relao de disperso pelo efeito do potencial peridico no modelo de eltron

quase livre.

possvel transladar as bandas para primeira zona, isto , 2/, de modo com que as

banda ficam na zona de Brillouin (1 zona). O processo de translado chamado de

reduzido primeira zona. Indicado pela seta na figura b, temos a chamada faixa

proibida, onde no se encontra nveis eletrnicos.

Figura 5 (a) Ilustrao do deslocamento das bandas da segunda zona de Brillouin de 2/.

(b) Esquema de bandas reduzido primeira zona, resultante desse deslocamento.

Materiais Condutores, Isolantes e Semicondutores

Em um cristal, as bandas provenientes dos eltrons de valncia podem estar ou no

completamente preenchidas. Se um campo eltrico for aplicado, os eltrons ganharo

energia somente se existir em nveis no ocupados dentro do intervalo de energia que o

campo eltrico permita aos eltrons adquirir.

Caso no existam nveis desocupados, os eltrons no podero ganhar energia e o

material slido se comportar como um isolante. Pelo contrrio, se existerem nveis

desocupados e a intensidade de campo eltrico for adequada, o material se comportar

como um condutor.

Portanto, os materiais isolantes so aqueles em que a ltima banda completamente

cheia. A aplicao de um campo magntico no capaz de fornecer energia aos

eltrons, no h estados qunticos de maior energia disponveis.

A Figura 4 apresenta a configurao das bandas de energia para um material isolante. A

linha tracejada o chamado Nvel de Fermi, que o nvel de energia onde no h

estados ocupado para a temperatura de 0K.

Figura 4 - Bandas de energia para um material isolante.

A Figura 5 mostra os nveis de energia em um material condutor. Pelo grfico, verifica-

se que a banda de energia mais elevada no se encontra completamente preenchida para

o estado fundamental, o que possibilita que pela ao do campo eltrico os eltrons

recebam energia e passem para estados qunticos de maior energia, dando origem a

conduo.

Figura 5 Bandas de energia em um material condutor.

De forma geral, como em cada banda h 2 (onde N o nmero de clulas unitrias)

estados qunticos, em um cristal com n eltrons, o nmero total de bandas preenchidas

2. Como a razo um nmero inteiro, o resultado ser um nmero inteiro ou

semi-inteiro. Desta forma, a ltima camada estar sempre cheia ou apenas cheia pela

metade.

Um material isolante, de forma geral aquele em que a ltima banda completamente

cheia, j os materiais condutores, so aqueles em que a banda semi-cheia, com

excesso para os metais alcalinos terrosos, como pode ser visto na .

Figura 6 - Bandas de energia para os metais alcalinos terrosos.

Em um material condutor, quando a temperatura igual a 0K (estado fundamental) a

banda de valncia est completamente cheia. Quando a temperatura se eleva, os eltrons

ganham energia e passam para a banda externa, chamada de banda de conduo. Neste

processo, os eltrons deixa espaos vagos, que so chamdos buracos e se comportam

como portadores de carga positiva.

Referncias

EISBERG, R.; RESNICK, R. Fsica Quntica: tomos, Molculas e Partculas. Rio de

Janeiro: Elsevier, 1979. p. 563-583.

RESENDE, S. M. Materiais e Dispositivos Eletrnicos. 2 ed. So Paulo: Livraria da

Fsica.