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BERNARDO RIBEIRO DA SILVA ESTIMAÇÃO DA ESTRUTURA A TERMO DE TAXA DE JUROS EM MERCADOS COM PEQUENA FREQÜÊNCIA DE NEGÓCIOS: O ALGORITMO DO FILTRO DE KALMAN APLICADO AO CASO BRASILEIRO Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Administração, Instituto COPPEAD de Administração, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Administração Orientador: Prof. André Luiz Carvalhal da Silva D.Sc. em Administração de Empresas RIO DE JANEIRO 2008
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BERNARDO RIBEIRO DA SILVA
ESTIMAÇÃO DA ESTRUTURA A TERMO DE TAXA DE JUROS EM
MERCADOS COM PEQUENA FREQÜÊNCIA DE NEGÓCIOS: O ALGORITMO
DO FILTRO DE KALMAN APLICADO AO CASO BRASILEIRO
Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Administração, Instituto COPPEAD de Administração, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Administração
Orientador: Prof. André Luiz Carvalhal da Silva D.Sc. em Administração de Empresas
RIO DE JANEIRO 2008
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BERNARDO RIBEIRO DA SILVA
ESTIMAÇÃO DA ESTRUTURA A TERMO DE TAXA DE JUROS EM
MERCADOS COM PEQUENA FREQÜÊNCIA DE NEGÓCIOS: O ALGORITMO
DO FILTRO DE KALMAN APLICADO AO CASO BRASILEIRO
Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Administração, Instituto COPPEAD de Administração, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Administração
Aprovada por: ______________________________________________ - Presidente da Banca André Luiz Carvalhal da Silva, D.Sc. (COPPEAD/UFRJ) _______________________________________________ Margarida Maria Gomes Pereira Sarmiento Gutierrez, D.Sc. (COPPEAD/UFRJ) ______________________________________________ Myrian Beatriz Eiras das Neves, D.Sc. (Banco Central)
RIO DE JANEIRO 2008
Da Silva, Bernardo Ribeiro. Estimação da estrutura a termo de taxa de juros em
mercados com pequena freqüência de negócios: O algoritmo do
filtro de Kalman aplicado ao caso brasileiro /Bernardo Ribeiro da
Silva. – Rio de Janeiro, 2008.
57 : il. Dissertação (Mestrado em Administração) – Universidade
Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, Instituto COPPEAD de Administração, 2008.
Orientador: André Luiz Carvalhal da Silva 1. Estrutura a termo de Taxa de Juros. 2. Filtro de Kalman. 3. Mercados em Desenvolvimento. - Teses. I. Da Silva, André
Luiz Carvalhal (Orient.).
AGRADECIMENTOS
Agradeço aos meus pais, Sidney e Eliane, pelo apoio pelo modelo de caráter e apoio
irrestrito que me fizeram ser tudo aquilo que sou hoje. Sem eles certamente nada disso seria
possível.
Ao meu orientador, André Carvalhal, pela seriedade e disponibilidade com que me
orientou nessa pesquisa. Sou muito grato pelas dicas e sugestões que engrandeceram este
trabalho.
As professoras, Margarida e Myrian, pela sua participação na minha banca examinadora e
seus comentários que certamente contribuíram para o produto final desta pesquisa.
A minha namorada, Viviane Barreto, pela paciência e compreensão incondicional dos
inúmeros finais de semana e de feriados utilizados na obtenção do grau de mestre e
formulação desta dissertação.
Aos meus amigos, que além de me apoiarem durante as horas necessárias foram
responsáveis pelos momentos de diversão tão necessários durante os dois anos de curso.
Aos professores e funcionários do COPPEAD que cooperaram com todo o seu
conhecimento, tempo e a sua boa vontade para a conclusão deste trabalho.
RESUMO
Da Silva, Bernardo Ribeiro. Estimação da estrutura a termo de taxa de juros em
mercados com pequena freqüência de negócios: O algoritmo do filtro de Kalman
aplicado ao caso brasileiro. Orientador: André Luiz Carvalhal da Silva. Rio de Janeiro:
COPPEAD/UFRJ; 2008. Dissertação (Mestrado em Administração).
Uma característica muito comum em mercados em desenvolvimento é o baixo nível de
transação e vencimentos disponíveis de ativos pré-fixados. Essa característica acaba por
inviabilizar ou reduzir consideravelmente a eficácia de modelos estáticos de estimação da
estrutura a termo de taxas de juros, que têm apresentado bastante sucesso em mercados
desenvolvidos.
Neste trabalho desenvolvemos um modelo de estimação da estrutura a termo de taxas de
juros que é mais apropriado para casos com dados em painéis incompletos. Para tal,
modificamos o algoritmo do filtro de Kalman para considerar as informações faltantes, que
permitiu o uso de preços históricos na estimação.
A metodologia foi aplicada ao modelo de Vasicek utilizando os dados das transações de
LTNs no mercado secundário e de DIs Futuros transacionados na BM&F. Os resultados
indicam que o modelo ajusta bem a estrutura a termo de taxas de juros das LTNs e DIs
Futuros. Os erros out-of-sample das LTNs são bem próximos aos dos DIs Futuros, indicando
que o modelo pode ser usado satisfatoriamente para prever as taxas de juros de ativos com
pouca liquidez.
ABSTRACT
Da Silva, Bernardo Ribeiro. Term structure estimation in low-frequency transactions
markets: A Kalman Filter Approach for the Brazilian market. Orientador: André Luiz
Carvalhal da Silva. Rio de Janeiro: COPPEAD/UFRJ; 2008. Dissertação (Mestrado em
Administração).
One very common characteristic in developing markets is the low frequency of
transactions and the unavailability of prices for fixed income securities. This fact reduces the
efficiency of static estimation of the term structure of interest rates, which have been
successfully used in on developed markets.
In this work, we develop a term structure estimation model that is more appropriate for
markets with low frequency transactions and incomplete panel data. To achieve this, we
modify the Kalman filter algorithm to deal with missing observations, which allow us to use
historical data on the estimation.
The methodology is applied to the Vasicek model using LTNs and DIs Futures for the
Brazilian market. Our results indicate that the model performs well in fitting observed yields
of both government bonds and DIs Futures. Most importantly, out-of-sample errors for
government bonds are very close to those of DIs Futures, which suggests that the model can
be successfully used for forecasting yield curves of sporadically traded assets.
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Transações diárias de LTNs no Mercado Secundário de Janeiro de 2003 a Dezembro de 2007
............................................................................................................................................... 39 Tabela 2
Transações Diárias de DI Futuro no Mercado Secundário de Janeiro de 2003 a Dezembro de 2007....................................................................................................................................... 40
Tabela 3
Comparação de volumes negociados de LTNs e DIs semestre a semestre entre Janeiro de 2003 e Dezembro de 2007 ............................................................................................................. 46
Tabela 4
Resultados da Estimação de Parâmetros do Modelo de Vasicek Gerados pelo Filtro de Kalman Utilizando Negociações de LTN ........................................................................................... 47
Tabela 5
Resultados da Estimação de Parâmetros do Modelo de Vasicek Gerado pelo Filtro de Kalman Utilizando Negociações de DI Futuro................................................................................... 47
Tabela 6
RMSE dos ajustes in-sample e out-sample do modelo de Vasicek para os dados analisados .. 49
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Algoritmos Praticados pelo Filtro de Kalman para Obtenção de Estimativas e Erros de Parâmetros em um Ambiente Estado Espaço ............................................................................... 36 Figura 2: Análise Gráfica do Mercado Secundário de LTNs de Janeiro de 2003 a Dezembro de 2007............................................................................................................................................... 41 Figura 3: Análise Gráfica do Mercado Secundário de DIs Futuros de Janeiro de 2003 a Dezembro de 2007 ........................................................................................................................ 42 Figura 4: Dois Ajustes de Curvas Baseados nas Observações das Transações de LTNs em Março de 2003 .......................................................................................................................................... 43 Figura 5: Volumes Negociados e Tempo até o Vencimento de LTNs Transacionadas no Mercado Secundário de Janeiro de 2003 a Dezembro de 2007 ................................................................... 44 Figura 6: Volumes Negociados e Tempo até o Vencimento dos DIs Futuros Transacionados na BM&F de Janeiro de 2003 a Dezembro de 2007 .......................................................................... 45 Figura 7: Resultado da Modelagem da Estrutura a Termo de Taxa de Juros para DI Futuro e LTN. Estrutura Estimada para o Mês de Dezembro de 2007 (In-Sample) ................................... 50
LISTA DE SIGLAS
CETIP (Central de Custódia e Liquidação Financeira de Títulos)
LTN (Letra do Tesouro Nacional)
DI Futuro (Futuro de Depósito Interfinanceiro)
BM&F ( Bolsa de Mercadorias e Futuros)
RMSE (Residual Mean Square Error)
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 10
1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO DO TEMA ............................................................................... 10
1.2 O PROBLEMA ................................................................................................................... 13
1.3 OBJETIVO ......................................................................................................................... 14
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .............................................................................................. 16
2.1 TIPOS DE MODELAGEM ................................................................................................ 16
2.2. NÚMERO DE FATORES ................................................................................................. 20
2.3. DA METODOLOGIA DE ESTIMAÇÃO ........................................................................ 22
2.4. ESTUDOS EM MERCADOS EMERGENTES ................................................................ 22
3. METODOLOGIA .................................................................................................................. 26
3.1. MODELOS AFINS DE ESTRUTURA A TERMO .......................................................... 26
3.2. REPRESENTAÇÃO ESTADO ESPAÇO LINEAR ......................................................... 28
3.3. REPRESENTAÇÃO ESTADO ESPAÇO NÃO LINEAR ............................................... 30
3.4. MODELO DE VASICEK GENERALIZADO .................................................................. 31
3.5. FILTRO DE KALMAN PADRÃO ................................................................................... 34
3.6. FILTRO DE KALMAN PARA DADOS DE PAINÉIS INCOMPLETOS ...................... 36
4. DADOS E RESULTADOS ................................................................................................... 38
5. CONCLUSÃO E SUGESTÕES PARA NOVAS PESQUISAS ........................................... 52
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................................................... 55
10
1. INTRODUÇÃO
1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO DO TEMA
A estimação da estrutura a termo da taxa de juros tem sido tradicionalmente
implementada com modelos estáticos que se utilizam apenas dos preços dos títulos atuais.
Em mercados já plenamente desenvolvidos, essa modelagem já se mostrou bastante
consistente e estável. Entretanto, quando se aplica esse tipo de análise em mercados
emergentes, que ainda não atingiram o seu pleno desenvolvimento, os resultados se mostram
inconsistentes.
A realidade brasileira, como parte desse conjunto de mercados em desenvolvimento,
padece de dois males que amplificam as dificuldades citadas acima. Constata-se tanto uma
baixa quantidade de transações de títulos pré-fixados, como também uma baixa variedade de
títulos com vencimentos diferentes. Essas características acabam por gerar um cenário em
que não há negociações de títulos de longo prazo, embora exista a necessidade da estimação
da totalidade da curva de juros. Tal necessidade é justificada, já que a estrutura a termo de
taxa de juros tem função essencial na teoria econômica, principalmente no que tange o nível
microeconômico. Nesse nível, tal estrutura serve não apenas no apreçamento de títulos, mas
também tem parte fundamental na avaliação de quase a totalidade dos ativos financeiros.
De forma geral, o interesse em se estudar a estrutura a termo de taxas de juros pode ser
dividida, segundo Piazzesi (2003), em cinco áreas fundamentais. A primeira área é a da
previsão. A idéia é que a estrutura a termo da taxa de juros agrega informações importantes
sobre o estado presente e perspectivas futuras da economia do país. Como a estrutura a termo
11
depende de fatores macroeconômicos, a sua análise poderia levar a possibilidade de prever
alguns desses fatores para os anos que se seguem. O mais conhecido desses fatores é a taxa
de juros de curto prazo, embora este não seja o único dos fatores não-observáveis da
economia.
A segunda área diz respeito à política monetária. A estrutura a termo impacta diretamente
a economia do país, uma vez que esta estrutura é que nos fornece a taxa livre de risco do
mercado. Além disso, ela afeta diretamente o mercado de crédito, que, por muitas vezes, é
um dos principais geradores de consumo e de crescimento econômico. Dessa forma a
estrutura a termo de taxa de juros tem impacto direto na demanda agregada da economia e
seu entendimento é necessário para um controle mais efetivo da inflação.
A terceira se refere ao gerenciamento da dívida pública. O estudo da estrutura a termo é
fundamental para essa área, visto que o governo deve decidir quais serão as características
dos títulos a serem lançados, entre elas, o vencimento e o preço de lançamento.
A quarta área é relacionada à gerência de risco. Não é incomum que instituições
financeiras utilizem títulos pré-fixados como boa parte de seus ativos. Dessa forma, é de
fundamental importância o conhecimento de sua estrutura para uma efetiva análise de risco
de suas devidas carteiras.
A quinta e última área tem relação com o apreçamento de derivativos. Todo e qualquer
derivativo que tenha como parte do ativo objeto a taxa de juros de uma dada economia
precisa de um modelo da estrutura a termo para que seja possível uma avaliação eficiente.
Podemos dividir as análises de estrutura a termo de taxa de juros em dois tipos. No
primeiro grupo se encontram as análises de ajuste de curvas. Estas são tradicionalmente
muito utilizadas e tem a seu favor a simplicidade e o bom ajuste para mercados financeiros
12
desenvolvidos, sendo utilizada basicamente para estimação da estrutura a termo da taxa spot.
No segundo grupo se encontram as equações de movimento estocástico, mais utilizadas para
a estimação da dinâmica da estrutura a termo.
Entretanto, considerando ambos os tipos de análises, o Brasil se encontra em um estágio
ainda muito pouco desenvolvido no aspecto de quantidade de estudos de modelos da
estrutura a termo devido principalmente a questões macroeconômicas de sua história recente.
Devido a grandes taxas de inflação que vigoraram no Brasil durante as décadas de 70, 80 e
início dos anos 90 não havia sentido prático para o estudo da estrutura a termo das taxas de
juros brasileiras, já que em condições tão hostis não havia o mínimo necessário para o
desenvolvimento desse tipo de mercado. Outro fato que postergou o início de estudos nesse
segmento foi a manutenção do câmbio fixo até 1999. Durante tal período, como em qualquer
economia de câmbio administrado, existia uma grande correlação entre as taxas de juros
brasileira, a americana e o risco-país. Somente após esse período é que foram possíveis
emissões de títulos pré-fixados com vários prazos de vencimentos diferentes e que ficou
efetivamente clara a necessidade de estudos da estrutura e dinâmica da taxa de juros no país.
Pelas razões acima, podemos observar a necessidade de se aprofundar nas análises da
dinâmica da estrutura a termo da taxa de juros. Apenas por meio desta é que uma boa parte
das transações financeiras pode ser apreçada corretamente e que se poderá entender e
planejar os rumos da economia.
Nesse contexto, o presente trabalho procura estimar a estrutura a termo de taxa de juros
brasileira utilizando um modelo de movimentos estocásticos aliado à técnica de estimação
conhecida como filtro de Kalman. Essa maneira de operação já foi utilizada em diversos
estudos semelhantes (Babbs e Nowman (1999), Cortazar, Schwartz e Naranjo (2003), Chen e
13
Scott (2003), entre outros que serão expostos em sessões mais adiante). A vantagem de tal
método é a possibilidade de utilizar dados em painel atuais e passados na estimação da
estrutura a termo de taxa de juros, possibilitando a obtenção de parâmetros utilizando
métodos de máxima verossimilhança.
1.2 O PROBLEMA
Por se tratar de um mercado em desenvolvimento, a realidade brasileira dificilmente se
enquadra na modelagem de estrutura a termo de taxa de juros estática, consagrada em países
mais desenvolvidos. Quando aplicadas tais metodologias, os parâmetros estimados tendem a
apresentar resultados inconsistentes.
Tal instabilidade nos estimadores gerados se dá basicamente por duas razões
fundamentais. A primeira é o reduzido número de transações diárias, que dificulta a
existência de estimações robustas (número de observações próximo ao nível de parâmetros a
serem estimados). A segunda causa, também corriqueira em mercados emergentes e, em
particular no Brasil, é a indisponibilidade de preço para títulos de longo e/ou curto prazo. Em
países emergentes não é incomum a falta de títulos para determinados vencimentos.
Por essa razão, a maior parte dos estudos nesse sentido no Brasil fazem uso das taxas de
juros oriundas de contratos DI Futuro, já que, graças a sua grande liquidez, estes podem ser
considerados como excelentes estimadores da taxa de juros futura. Dessa forma, uma boa
parte da instabilidade nos parâmetros poderia ser evitada. Por esse motivo, também se
costuma observar que os títulos públicos pré-fixados brasileiros acabam sendo
comercializados com um prêmio frente ao DI.
14
1.3 OBJETIVO
Visando corrigir esse problema e seguindo a metodologia de Cortazar, Schwartz e
Naranjo (2003), este trabalho propõe a estimação conjunta da dinâmica e estrutura a termo da
taxa de juros para o mercado brasileiro. Para tal, aliará o modelo de movimentos estocásticos
generalizado de Vasicek (1977), ampliado por Langetieg (1980), à técnica de estimação
conhecida como Filtro de Kalman. Essa técnica permite a utilização de dados passados
independentemente do número de transações ou títulos negociados, algo que melhora
sensivelmente a qualidade e estabilidade dos parâmetros estimados.
Uma peculiaridade desta dissertação quando comparada com grande parte da literatura já
existente sobre estrutura a termo reside na escolha dos dados a serem utilizados. Enquanto a
maioria das publicações faz uso de preço de derivativos (normalmente DI e swap) como a
variável dependente, este estudo terá como base, além do DI, o preço de títulos pré-fixados
emitidos pelo governo. A metodologia adotada permite que utilizemos tais títulos apesar da
pequena quantidade de negócios diários e diferentes vencimentos.
Com a estimação da estrutura a termo de taxa de juros através dos dois mecanismos
financeiros (títulos pré-fixados e derivativos), podemos comparar as estruturas estimadas e
verificar o comportamento das curvas de LTN e DI futuro e sua relação com a liquidez.
O trabalho está organizado da seguinte forma. O capítulo 1 apresenta a introdução,
contextualização do problema, principais questões e dificuldades e objetivos da pesquisa. No
capítulo seguinte, é apresentada a revisão de bibliografia, onde serão discutidos os principais
trabalhos publicados no Brasil e no exterior sobre tal tema. Em seguida, o capítulo 3 se refere
à metodologia usada para o desenvolvimento desta pesquisa. No capítulo 4 são discutidos os
15
resultados obtidos e, por fim, no capítulo 5, são apresentadas as conclusões, limitações e
sugestões para estudos futuros.
16
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Visando uma leitura mais direcionada, esta seção do trabalho foi dividida em quatro
partes fundamentais. A primeira analisa os principais artigos relacionados à escolha do tipo
de modelos que seriam utilizados sobre a taxa de juros e uma análise sobre os artigos
seminais que dizem respeito ao tema, em particular os principais estudos que utilizaram o
modelo generalizado de Vasicek. A segunda parte analisa trabalhos que avaliaram o número
de fatores que explicam o comportamento da estrutura a termo de taxa de juros. A terceira
parte explicita a metodologia do filtro de Kalman, adotada na estimação dos parâmetros e
erros do modelo de Vasicek. Por fim, na quarta parte são explorados alguns estudos que
foram feitos nos mercados brasileiro e emergentes que têm alguma relação com este trabalho.
2.1 TIPOS DE MODELAGEM
Segundo Langetieg (1980), as teorias de precificação de títulos e da estimação da
estrutura a termo de taxa de juros podem ser divididas em cinco grandes grupos, detalhados a
seguir. A primeira é conhecida como teoria das expectativas puras. Essa teoria afirma que a
taxa de retorno de um título com vencimento em T na data t deveria ser igual à média
geométrica do valor esperado das taxas de curto prazo entre a data t e T.
A segunda é conhecida como a teoria de preferência por liquidez. Tal teoria indica que os
títulos de longo prazo devem ter taxas de juros superiores à média geométrica das taxas de
17
juros de curto prazo futuras. Essa conclusão vem do fato que os títulos de mais longo prazo
são vistos como mais arriscados e que, portanto, deveria haver um prêmio de liquidez em
suas taxas para compensar a diferença.
A terceira é na realidade uma expansão da segunda. A grande diferença é que, nesta, o
aumento de risco não é associado apenas ao aumento no intervalo de tempo, mas também
depende do horizonte de preferência do investidor. Isso quer dizer que, por exemplo, um
título com vencimento de cinco anos pode ser menos arriscado que um de três meses, caso o
investidor tenha um horizonte de preferência de cinco anos. Outro aspecto importante dessa
teoria é que, como as preferências dos investidores não são regulares, a demanda por títulos
também não será, o que pode ocasionar formatos irregulares para as curvas de juros.
A quarta teoria está relacionada à teoria de média-variância de Markowitz (1959) e ao
modelo CAPM. A popularidade das teorias utilizadas no gerenciamento de carteiras de ações
levou ao interesse em determinar o retorno e variância esperados de uma carteira de títulos.
Estudos nesta área indicaram que a carteira ótima de títulos depende da preferência de risco
do investidor e do caminho futuro que a taxa de juros percorrerá. Podemos perceber,
portanto, que o problema da estimação da estrutura a termo de taxas de juros se mantinha
presente.
A quinta teoria consiste na aplicação de modelagem contínua similar às metodologias
utilizadas no apreçamento de opções. Essa teoria é a mais utilizada quando investigamos a
literatura mais moderna sobre a dinâmica das taxas de juros. Ela parte de premissas de não-
arbitragem e segue para a resolução de equações diferenciais estocásticas parciais de segunda
ordem para calcular o preço dos títulos. Através dessa técnica é possível alcançar um racional
18
mais geral do que o das teorias anteriormente descritas, já que não há nenhuma presunção
explícita sobre a forma funcional do preço de um título. Esta é derivada de três premissas
fundamentais:
Os preços dos títulos são relacionados com alguns fatores estocásticos;
Tais fatores seguem um processo estocástico em particular;
Os mercados são suficientemente perfeitos para permitir um equilíbrio de não-
arbitragem.
Nesse contexto, podemos caracterizar este trabalho como um integrante puro do quinto
tipo de modelo descrito por Langetieg (1980). Entretanto, se analisarmos de forma menos
complexa, os estudos da estrutura a termo de taxa de juros tradicionalmente têm demonstrado
duas subdivisões fundamentais. A primeira é a modelagem e estimação da estrutura a termo
de taxas spot atuais, também conhecida como modelagem estática. A segunda é a modelagem
e estimação da dinâmica da estrutura a termo de taxa de juros, que é de relevância
fundamental para a avaliação de hedge e apreçamento de um grande número de opções.
Para a estimação da estrutura atual, há uma extensa literatura que abrange a existência de
métodos tanto paramétricos como não paramétricos que ajustam curvas aos preços ou yields
atuais sem qualquer utilização de dados passados. Temos como exemplos dessa prática os
trabalhos de McCulloch (1971, 1975) e Fisher, Nychka e Zervos (1994).
Como principais exemplos da modelagem de estrutura a termo de taxa de juros apenas
com dados atuais temos os estudos de Nelson e Siegel (1987) e Svensson (1994). Tais
estudos assumem que a curva de taxa de juros segue uma função paramétrica especificada.
19
Em ambos os casos, os parâmetros do modelo são estimados minimizando os erros
quadráticos dos preços dos títulos ou das taxas de juros. Apesar de desconsiderar como
ocorreu a evolução dos preços ou das taxas de juros, segundo Bliss (1996), existem
evidências empíricas que nos mercados mais desenvolvidos, onde há grande número de
títulos negociados com vencimentos variados, os modelos estáticos resultam em curvas
bastante ajustadas ao mercado.
A modelagem da dinâmica da estrutura a termo tem acontecido através de modelos de
movimentos estocásticos da taxa spot aplicados às premissas de não arbitragem para inferir a
dinâmica desejada. Como exemplos desses modelos temos os trabalhos seminais de Vasicek
(1977) e Cox, Ingersoll e Ross (1985), além de extensões desenvolvidas por Langetieg
(1980), Hull e White (1990) e Duffie e Kan (1996).
Vasicek (1977) fornece uma caracterização explícita para a estrutura a termo das taxas de
juros em mercados eficientes. O desenvolvimento desse modelo é baseado nos princípios de
arbitragem similares ao que Black e Scholes (1973) usaram para o apreçamento de opções.
Devido ao fato de oferecer como solução uma fórmula fechada para a estrutura a termo, sua
utilização ainda é notável.
O trabalho de Langetieg (1980) teve como principal objetivo o desenvolvimento de um
modelo multivariado da estrutura a termo de taxa de juros que permitisse o uso de um
número qualquer de fatores econômicos. As principais premissas utilizadas foram de que os
fatores econômicos relacionados à estrutura seguem um passeio aleatório conjunto e elástico,
sendo que a taxa instantânea de juros pode ser representada como uma combinação linear
20
desses fatores. Outro avanço interessante deste trabalho foi o fato de cogitar um prêmio de
risco de mercado variável no tempo.
Hull e White (1990) demonstram como o modelo de Vasicek pode ser estendido de modo
a ser consistente tanto no que tange a estrutura a termo de taxa de juros atual quanto às
volatilidades de taxas spot e forward.
2.2. NÚMERO DE FATORES
Uma parcela importante dos trabalhos a respeito da estrutura a termo de taxa de juros
estuda a importância de se conhecer os fatores comuns que afetam o comportamento das
taxas de juros com o passar do tempo.
Um dos primeiros estudos nesse sentido foi publicado por Litterman e Scheinkman
(1991). Utilizando uma técnica estatística conhecida como análise de componentes
principais, foi possível identificar e analisar a quantidade de fatores que explicam a estrutura
a termo da taxa de juros para títulos sem cupons do Tesouro Americano. Uma conclusão
bastante interessante de tal trabalho foi a identificação de que as taxas de juros observadas na
amostra poderiam ser decompostas em três fatores que seriam capazes de explicar cerca de
99% da variância. É importante ressaltar que, em média, o primeiro fator explica
aproximadamente 89,5% da variância da taxa de juros, o segundo cerca de 8,5% e o terceiro
os 2% restantes. Dessa forma foi possível concluir que o primeiro fator é consideravelmente
mais importante que os demais.
21
Seguindo a mesma linha desse trabalho, surgiram alguns estudos similares referentes ao
mercado brasileiro de títulos pré-fixados. Um dos primeiros foi a análise de Varga e Valli
(2001), em que os autores trabalharam com contratos SWAP-DI para vencimentos de até um
ano negociados na BM&F entre janeiro de 1995 e julho de 1999. Outro estudo fundamental
foi o de Silveira e Bessada (2003), em que foram utilizados contratos de DI futuro e SWAP-
DI entre julho de 1999 e maio de 2001. Ambos chegaram à conclusão de que o uso de três
fatores explica quase a totalidade da variação (cerca de 99% em alguns casos) das taxas de
juros observadas e que o primeiro fator seria responsável por uma parcela bastante elevada
dessa variação.
Em uma análise mais recente, Santos (2005) chega a conclusões bastante similares a dos
estudos anteriores. Nesse trabalho, o autor fez uso das transações de DI futuro na BM&F
entre janeiro de 2002 e dezembro de 2004 e concluiu que três fatores seriam mais que
suficientes para explicar a volatilidade dos preços dos títulos brasileiros. O primeiro fator
estimado era responsável pela explicação de aproximadamente 85% da variância das
observações; o segundo respondia por 10% da variância e o terceiro 2,5%. Uma característica
bastante interessante desse trabalho foi a interpretação do significado de cada um dos fatores
estimados. O primeiro fator estaria relacionado a mudanças no nível da estrutura a termo da
taxa de juros; o segundo seria responsável por alterações na inclinação da curva e finalmente
o terceiro denotaria alterações na curvatura da estrutura.
22
2.3. DA METODOLOGIA DE ESTIMAÇÃO
Uma vez definido o modelo dinâmico de taxa de juros, o método de estimação é de
fundamental importância para a qualidade dos parâmetros estimados. Uma metodologia
utilizada com bastante sucesso é o filtro de Kalman.
O filtro de Kalman é essencialmente um conjunto de equações matemáticas que
implementam corretores dos estimadores que é ótimo, no sentido que minimiza a covariância
dos erros (estimada) quando algumas condições presumidas são atingidas. Esse tipo de
filtragem se deu início com o estudo de Kalman (1960).
Essa metodologia tem se mostrado bastante poderosa na estimação de variáveis de estado
não-observáveis oriunda de painéis com ruído. Essa característica foi verificada em um
estudo de Dufee e Stanton (2004) através de um estudo comparativo de vários métodos de
estimação e no qual o filtro de Kalman se mostrou superior no caso de amostras de tamanho
reduzido.
A literatura na utilização desse tipo de metodologia é vasta, principalmente quando se
trata de estimação da dinâmica das taxas de juros, podendo ser observada em Duan e
Simonato (1999), Babbs e Nowman (1999), Chen e Scott (2003) e Cortazar, Schwartz e
Naranjo (2003). A grande vantagem da utilização dessa metodologia é a possibilidade de se
utilizar os preços de títulos passados na estimação da estrutura atual do termo, permitindo
assim uma análise dinâmica das taxas de juros.
23
Muito embora o filtro de Kalman seja uma ferramenta extremamente robusta na
estimação dos parâmetros envolvidos nos movimentos estocásticos da estrutura a termo, esta
nem sempre se mostra ótima e nem de fácil aplicação. Em muitas aplicações, existe uma
relação não linear entre os dados (preço de títulos, em sua grande maioria) e as variáveis de
estado não observáveis. O principal exemplo desse tipo de situação acontece quando se
estudam os preços de títulos com cupom. A estimação desse tipo de situação exige uma
filtragem não-linear (filtro de Kalman estendido) que, segundo Lund (1997), tende a ser
computacionalmente inviável exigindo métodos aproximados.
Lund (1997) estuda diferentes técnicas de filtragem, que consideram o desafio de analisar
títulos com cupom. Para tal, usou um filtro de Kalman estendido e modelos de quasi-máxima
verossimilhança (já que há viés na linearização do modelo) e conclui que esse vício é
praticamente inexistente. Essa análise faz com que seja possível aumentar a base de dados
estudada, adicionando os títulos com cupom ao zero cupom, gerando um ganho de massa de
dados na amostra bastante expressivo.
2.4. ESTUDOS EM MERCADOS EMERGENTES
Apesar de uma estabilidade econômica de aproximadamente 13 anos e a possibilidade de
estudar a taxa e estrutura a termo de taxa de juros, ainda há poucos trabalhos brasileiros de
modelagem de movimentos estocásticos que refletem a realidade brasileira quando
comparado a estudos de mesma natureza em países desenvolvidos.
24
Apesar disso, podemos citar os trabalhos de De La Roque (1996) e Barcinski (1998)
como sendo os primeiros a respeito desse assunto sob a ótica brasileira. Ambos os trabalhos
estudam e estimam a estrutura a termo de taxa de juros, entretanto não chegam a definir um
modelo completamente especificado.
Um dos estudos mais recentes pode ser encontrado em Almeida (2003), no qual o autor
aplica um modelo multifatorial baseado em Duffie, Filipovic e Schachermayer (2003),
avaliando a hipótese das expectativas da estrutura a termo de taxas de juros. Este é um dos
poucos trabalhos brasileiros que efetivamente estima um modelo completamente
especificado, como também é o objetivo deste trabalho.
Outros dois trabalhos que seguem esta mesma linha são os estudos de Gonçalves e Geyer
(2003) e Prado (2004). No primeiro, os autores, motivados pela freqüente rolagem da dívida
doméstica brasileira e pela possibilidade de modificações nos perfis de risco que permitam ao
governo alongar a dívida, estudaram o modelo clássico de Vasicek de um fator, aplicando-o
para dados brasileiros. Os resultados se mostraram bastante realistas e de possível aplicação
para o mercado brasileiro. O segundo trabalho testou quatro modelos completos (modelo
clássico de Vasicek com um e dois fatores e o modelo clássico de Cox, Ingersoll e Ross
também com um e dois fatores). Após avaliar o desempenho dos quatro modelos, o estudo
conclui que o Modelo de Cox, Ingersoll e Ross de dois fatores foi o que ajustou melhor a
realidade brasileira, principalmente devido ao fato de que esse modelo possui um preço de
risco de mercado variável, que se ajustaria melhor a realidade de países emergentes. Essa
conclusão é suportada também por Almeida (2003).
25
Quando nosso foco é voltado para mercados emergentes, um dos estudos mais recentes é
o de Cortazar, Schwartz e Naranjo (2003). Tal estudo desenvolve um método de estimar
conjuntamente a estrutura e dinâmica do termo de taxa de juros para mercados com número
de transações limitadas. Esse propósito é conseguido através de uma modificação no filtro
de Kalman padrão que permite que essa metodologia seja aplicada para dados incompletos
em painel. Apesar de aplicar essa metodologia ao modelo generalizado de Vasicek, tal ajuste
é aplicável a um grande número de modelos estocásticos contínuos e com qualquer número
de fatores.
O trabalho se mostrou bem-sucedido para o mercado chileno, sendo que este é ainda hoje
utilizado por um consórcio financeiro e instituições acadêmicas no Chile para estimar a
estrutura a termo de taxas de juros chilena. Tais resultados podem ser observados no web site
riskamerica.com.
26
3. METODOLOGIA
3.1. MODELOS AFINS DE ESTRUTURA A TERMO
A parte que se segue é uma coleção de idéias abordadas por Duan e Simonato (1999) no
artigo que trata de modelos afins e sua modelagem por meio de variáveis estado espaço. De
maneira geral, a classe de modelos de estrutura a termo de taxa de juros afins são aqueles nos
quais o yield até o vencimento dos títulos de desconto puro (sem cupons) e a taxa instantânea
de juros são funções afins (i.e. uma constante mais um termo linear) de m variáveis de estado
não-observáveis Xt, que seguem um processo de difusão afim da seguinte forma:
tttt dWXdtXUdX );();( ψψ Σ+=
onde: tW é um vetor mx1 de processos de Wiener independentes
ψ é um vetor px1 de parâmetros específicos do modelo
)()( ⋅Σ⋅ eU são funções afins de em tX , tal que a equação anterior tenha solução
única.1
Nessa classe de modelos, o preço de um título pure-discount sem possibilidade de default
na data t com tempo até o vencimento τ tem a seguinte forma:
1 De forma geral as funções )()( ⋅Σ⋅ eU podem ser obtidas como soluções de algumas equações diferenciais estocásticas.
27
))',(),(exp()',(exp),(),;( 00 tttt XBAXBAXP τψτψτψτψτψ +=−=
onde: ),( τψA é uma função escalar
),( τψB é um vetor função mx1
Com o conhecimento dessa fórmula, podemos definir o yield até o vencimento (composto
de maneira contínua) na data t de um título pure discount com tempo até o vencimento τ da
seguinte maneira:
,),;(ln
),;(τ
τψτψ tt
tt
XPXY −=
Transformando para a forma afim:
))',(),((1)',(),(ln
),;( 00 t
t
tt XBAXBA
XY τψτψττ
τψ
τ
τψτψ +−=+−=
Infelizmente tais conclusões não valem para títulos com cupons. Nesse caso específico,
podemos descrever o seu preço com a seguinte fórmula:
ittijij
M
j
ijtit XtTBtTAcXPi
εψψτψ +−+−⋅=∑=
])',(),(exp[),;(1
28
onde: ijc é o j-ésimo pagamento do i-ésimo título que é pago na data
ijT
Podemos perceber que há uma questão sobre a linearidade do preço de títulos com
cupom, que será abordada mais adiante.
3.2. REPRESENTAÇÃO ESTADO ESPAÇO LINEAR
Grande parte dos modelos de séries temporais em finanças e economia pode ser
representado na forma de estado espaço. Os exemplos mais comuns são os modelos ARMA
(auto-regressivos de média móvel), modelos de regressão com parâmetros variáveis no
tempo, modelos lineares dinâmicos com componentes não-observáveis entre outros.
O modelo linear Gaussiano de estado espaço pode ser representado como um sistema de
equações da seguinte forma:
tttttt HTd ηαα ++=+1 (transição)
tttttt GZcy εα ++= (medida)
onde:
0]'[
),0(~
),0(~
),(~
,...,3,2,1
=
=
tt
Nt
rt
t
E
INiid
INiid
PaN
nt
ηε
ε
η
α
29
Os vetores iniciais de média e variância, a e P respectivamente, são fixos e conhecidos,
mas essa premissa pode ser relaxada. O vetor de estados tα contém processos estocásticos
não observáveis e efeitos fixos desconhecidos e a equação de transição descreve a evolução
do vetor de estados utilizando-se de uma estrutura de Markov de primeira ordem. A equação
de medida descreve o vetor de observações ty em função do vetor de estados não
observáveis tα . Assume-se que as inovações na equação de transição e as inovações na
equação de medida são independentes, mas, assim como as premissas anteriores, esta
também pode ser relaxada.
As matrizes determinísticas variantes no tempo tttt GHZT ,,, são chamadas de matrizes
de sistema. Já os vetores tt dec são componentes fixos utilizados, geralmente, para
incorporação de efeitos e/ou padrões conhecidos no modelo, caso contrário, são considerados
como iguais a zero. O modelo estado espaço pode então ser reescrito de maneira mais
compacta como:
tttt
t
tu
y+⋅Φ+=
+ αδα 1
onde: ),0(~),,(~1 tt NiiduPaN Ωα
=Ω
=
=Φ
=
'
0
0
',,,
tt
tt
t
tt
tt
t
t
t
t
t
t
tGG
HH
G
Hu
Z
T
c
d
ε
ηδ
30
Para modelos multivariados, assumimos que a matriz 'ttGG é diagonal, muito embora
esse tipo de restrição possa ser relaxado com a inclusão de um vetor de distúrbios no vetor de
estados tα .
3.3. REPRESENTAÇÃO ESTADO ESPAÇO NÃO LINEAR
Não são poucos os casos onde existe a necessidade de não linearidade na representação
estado espaço. O caso mais comum é na modelagem de títulos pagadores de cupons. Esse é
o caso específico de não linearidade na equação de medida descrito por Lund (1997). O
sistema de equações que representa o estado espaço não linear poderia ser descrito da
seguinte forma:
tttttt HTd ηαα ++=+1
ttttt GZy εψα += ),(
A adoção dessa não linearidade faz com que sejam necessários ajustes no filtro de
Kalman padrão, já que passa a existir a necessidade de criar uma aproximação da equação de
medida para que o algoritmo seja aplicado.
31
3.4. MODELO DE VASICEK GENERALIZADO
O modelo generalizado de Vasicek é um modelo multifatorial Gaussiano com reversão de
médias da taxa de juros spot estendido do modelo clássico de Vasicek (1977). O modelo
geral considera n fatores estocásticos reversores de média representados pelo vetor Xt que
definem a taxa instantânea de juros rt:
onde é um processo de Wiener; é a média de longo prazo para os fatores selecionados;
é a intensidade de reversão de média com a qual o processo retorna a sua média de
longo prazo e é o parâmetro de volatilidade do processo.
Nos termos de um modelo uni fatorial (utilizando apenas como fator do modelo) temos
como formas funcionais de )()(),(),(),( ⋅Φ⋅⋅⋅⋅ ebaBA :
32
onde é o parâmetro de risco de mercado. Nesse modelo, em específico, um valor positivo
de implica em um prêmio positivo para os preços de títulos. Dessa forma, podemos
representar tal equação na forma estado espaço com as seguintes matrizes:
A seguir, detalharemos a maneira de generalizar as fórmulas citadas acima para o caso
específico de dois fatores e, com isso, indicar uma maneira genérica para a representação de
n fatores estocásticos.
Podemos perceber que o número de parâmetros aumenta consideravelmente conforme
aumentamos o número de fatores na estimação. Por exemplo, para o modelo de Vasicek com
um fator, temos que a taxa de juros é determinada por uma função dos seguintes parâmetros:
k, , , , ,..., . Quando trabalhamos com modelos de N fatores estocásticos o
modelo é parametrizado com 4N+n fatores. É importante notar que o princípio da parcimônia
é de fundamental importância para a perfeita aplicação da metodologia, já que há apenas uma
observação por período estudado para se estimar inúmeros parâmetros.
A formação das matrizes estado espaço para o caso n-fatorial acontece da mesma maneira
que o uni fatorial, com a necessidade de alguns ajustes nas dimensões das matrizes
trabalhadas. Tomemos como exemplo o caso n-fatorial:
33
Podemos escrever as matrizes estado espaço como:
34
Podemos perceber que, apesar de o acréscimo de fatores implicar em uma grande adição
de complexidade na computacionalização do modelo, o mesmo não pode ser dito a respeito
da complexidade do modelo propriamente dito.
3.5. FILTRO DE KALMAN PADRÃO
O filtro de Kalman é uma metodologia que pode ser aplicada para modelos dinâmicos
representados sob a forma de estado-espaço que incluem uma equação de medida e outra de
transição. A cada data do tempo a equação de medida relaciona um vetor de variáveis
observáveis zt a um vetor de variáveis de estado xt, geralmente não observáveis, conforme o
exemplo genérico abaixo:
ttttt vdxHz ++= ),0(~ tt RNv
A equação de transição, entretanto descreve a dinâmica das variáveis de estado no tempo,
conforme o exemplo abaixo:
35
ttttt cxax ε++= −1 ),0(~ tt QNε
Essa metodologia nos permite calcular estimadores ótimos para as variáveis de estado
dada toda a informação disponível até a data t. Os estimadores das variáveis de estado e da
matriz de covariância (Pt) dos erros é prevista conforme as equações:
ttttt cxAx += −− 11| ˆˆ
tttttt QAPAP +′= −− 11|
Quando uma nova informação ( tz ) é disponibilizada, dá-se início ao passo de
atualização, obtendo-se assim estimadores melhores (ótimos) das variáveis de estado e da
matriz de covariância dos erros:
tttttttt vFHPxx1
1|1|ˆˆ −
−−′+=
1|1
1|1| −
−
−−′−= tttttttttt PHFHPPP
onde )ˆ( 1|
1|
tttttt
tttttt
dxHzv
RHPHF
+−=
+′=
−
−
Intuitivamente, o passo de atualização nada mais é que o cálculo das esperanças
condicionais das variáveis de estado dadas as informações passadas e a informação atual. De
forma geral, a estimação utilizando o filtro de Kalman pode ser resumida na Figura 1.
36
3.6. FILTRO DE KALMAN PARA DADOS DE PAINÉIS INCOMPLETOS
Esta seção segue o estudo de Cortazar, Schwartz e Naranjo (2003), que analisaram os
benefícios da adoção do filtro de Kalman para dados em painéis incompletos. Embora não
seja uma característica muito contemplada pela literatura, nessa metodologia de estimação
não é necessário que se tenha um número fixo de variáveis observadas para qualquer data. A
grande diferença nesse caso é o tamanho variável dos vetores e matrizes mencionados nas
fórmulas citadas na seção anterior.
Seja tm o número de títulos negociados com diferentes vencimentos para uma data t.
Como tratamos de mercados com baixo volume de transações, isso implica que, dificilmente,
Figura 1: Algoritmos Praticados pelo Filtro de Kalman para Obtenção de Estimativas e Erros de Parâmetros em um Ambiente Estado Espaço
(1) Atualiza o estimador
(2) Atualiza a covariância do erro
tttttttt vFHPxx1
1|1|ˆˆ −−−
′+=
1|1
1|1| −−
−−′−= tttttttttt PHFHPPP
Previsão
ttttt cxAx += −− 11| ˆˆ
(1) Prevê o estado seguinte
(2) Projeta a covariância seguinte
tttttt QAPAP +′= −− 11|
Atualização
Estimações iniciais
X0 e P0
Nova Informação zt
Onde:
)ˆ( 1|
1|
tttttt
tttttt
dxHzv
RHPHF
+−=
+′=
−
−
(1) Atualiza o estimador
(2) Atualiza a covariância do erro
tttttttt vFHPxx1
1|1|ˆˆ −−−
′+=
1|1
1|1| −−
−−′−= tttttttttt PHFHPPP
Previsão
ttttt cxAx += −− 11| ˆˆ
(1) Prevê o estado seguinte
(2) Projeta a covariância seguinte
tttttt QAPAP +′= −− 11|
Atualização
Estimações iniciais
X0 e P0
Nova Informação zt
Onde:
)ˆ( 1|
1|
tttttt
tttttt
dxHzv
RHPHF
+−=
+′=
−
−
Previsão
ttttt cxAx += −− 11| ˆˆ
(1) Prevê o estado seguinte
(2) Projeta a covariância seguinte
tttttt QAPAP +′= −− 11|
PrevisãoPrevisão
ttttt cxAx += −− 11| ˆˆ
(1) Prevê o estado seguinte
(2) Projeta a covariância seguinte
tttttt QAPAP +′= −− 11|
AtualizaçãoAtualização
Estimações iniciais
X0 e P0
Nova Informação zt
Onde:
)ˆ( 1|
1|
tttttt
tttttt
dxHzv
RHPHF
+−=
+′=
−
−
37
termos uma amostra onde tm seja constante. Dessa forma, podemos concluir que o tamanho
da amostra de transações será dependente da data em que os títulos são avaliados.
ttttt vdxHz ++= ),0(~ tt RNv
onde tz é um vetor tm x1, tH é uma matriz tm x1, tx é um vetor nx1 e tv é também um
vetor tm x1 de ruídos Gaussianos não correlacionados com média 0 e variância tR .
É possível perceber que o filtro de Kalman pode ser utilizado sem grandes alterações para
o caso de dados incompletos, visto que, para a obtenção dos estimadores ótimos, é calculada
a expectativa condicional das variáveis de estado ( )|(ˆ 1 tttt zxEx −= ), que podem ser
computadas apesar de variações no número de observações.
38
4. DADOS E RESULTADOS
Neste trabalho foram estudadas as transações diárias de ativos pré-fixados no mercado
brasileiro entre janeiro de 2003 e dezembro de 2007. Foram utilizados dois tipos de ativos:
LTN (Letra do Tesouro Nacional) no mercado secundário e DI Futuro (Futuro de Depósitos
Interfinanceiros) na BM&F (Bolsa de Mercadorias e Futuros).
As LTNs são títulos sem cupom emitidos pelo Tesouro Nacional para a cobertura de
déficit público e orçamentário e para a realização de operações de crédito por antecipação de
receitas orçamentárias. Os DIs podem ser definidos como a acumulação das taxas médias
diárias do CDI de um dia calculada pela CETIP (Central de Custódia e Liquidação Financeira
de Títulos). Seus respectivos futuros são transacionados diariamente na BM&F para vários
vértices diferentes.
A Tabela 1 descreve bem a realidade das LTNs no Brasil. Há uma grande quantidade de
títulos com vencimentos de curto prazo, mas nenhum que exceda o prazo de três anos. Mais
uma vez fica demonstrada a necessidade de metodologias mais elaboradas ao se precificar
títulos que possuam um maior prazo de vencimento.
39
Tabela 1: Transações Diárias de LTNs no Mercado Secundário de Janeiro de 2003 a Dezembro de 2007
Tempo até o Vencimento
Número de Observações
Frequência Média de Transações
Volume Médio Diário (R$)
Número Médio de Negociações Diárias
Yield Médio (% a.a.)
spot 369 29,5% 925.739.192 930.815 14,57%
1 mês - 3 meses 816 65,0% 1.043.968.386 1.071.665 17,85%
4 meses - 6 meses 1.136 90,4% 1.732.079.433 1.839.608 16,46%
7 meses - 9 meses 1.273 96,3% 1.561.771.121 1.715.416 16,77%
10 meses - 12 meses 1.104 87,0% 745.652.949 846.956 15,90%
1 ano - 2 anos 2.565 88,1% 1.339.447.137 1.625.516 14,79%
2 anos - 3 anos 540 40,0% 521.676.194 692.982 13,28%
3 anos - 4 anos 0 0,0% 0 0 0
4 anos - 5 anos 0 0,0% 0 0 0
5 anos ou mais 0 0,0% 0 0 0
Um percentual de transações médias de 20%, por exemplo, implica que houve em média
uma transação a cada cinco dias. Conclui-se, portanto, que há muitas transações de LTNs
com vencimentos até dois anos, mas o mercado é bastante rarefeito quando observamos
vencimentos de maior prazo.
A Tabela 2 mostra como o mercado de DI é mais completo que o de LTNs, tanto em
volume transacionado como em quantidade de vencimentos diferentes. Entretanto, podemos
perceber que há também carência de vencimentos maiores, exatamente como ocorre com as
LTNs.
40
Tabela 2: Transações Diárias de DI Futuro no Mercado Secundário de Janeiro de 2003 a Dezembro de 2007
Tempo até o VencimentoNúmero de Observações
Frequência Média de Transações
Volume Médio Diário (R$)
Número Médio de Negociações Diárias
Yield Médio (% a.a.)
spot 1.105 88,9% 3.470.997.622 34.943 14,49%
1 mês - 3 meses 2.527 100,0% 7.615.397.830 77.953 15,30%
4 meses - 6 meses 2.009 99,8% 8.649.638.695 91.379 16,18%
7 meses - 9 meses 1.302 100,0% 7.908.659.233 86.824 16,19%
10 meses - 12 meses 1.241 99,1% 4.751.667.440 53.828 15,48%
1 ano - 2 anos 4.797 100,0% 10.553.870.437 126.937 13,98%
2 anos - 3 anos 3.943 99,1% 3.940.938.391 51.926 12,07%
3 anos - 4 anos 2.636 90,9% 564.103.310 8.592 13,63%
4 anos - 5 anos 1.253 58,7% 657.878.117 10.665 11,37%
5 anos ou mais 1.737 46,2% 185.435.057 4.053 12,82%
Outra forma de se analisar o problema é observar a descrição gráfica na Figura 2, onde
podemos perceber visualmente o quão incompleto é o mercado secundário de LTNs.
Notamos que atualmente há uma boa quantidade de negociações para títulos de curto prazo,
embora o padrão de negociação desses títulos não seja totalmente previsível.
A Figura 3 apresenta a mesma descrição gráfica para os DIs Futuros. Quando
comparamos as Figuras 2 e 3, percebemos que, principalmente no início da amostra estudada,
a variedade de vencimentos negociados para o DI Futuro sempre foi maior do que a de
LTNs. No entanto, percebe-se a falta de negociações para diversos vencimentos em diversos
pontos no tempo. É exatamente tal característica que deve ser evitada quando da utilização de
modelos estáticos de estrutura a termo de taxas de juros. Essa também é uma das razões por
que a quase totalidade dos estudos do mercado brasileiro ter se baseado apenas no mercado
de DI Futuro e ter deixado os títulos públicos à parte.
41
Meses até o Vencimento do TítuloAno/Mês 1 3 6 9 12 18 24
25,9%26,3%25,1% 26,6%
25,9% 25,5%
23,5% 22,2% 21,8% 21,4%22,4%19,9% 18,6% 18,7%
18,2% 18,1% 18,2% 18,2%15,9% 15,7% 15,7% 15,9% 16,1%
15,6% 15,6% 15,6% 15,6%15,4% 15,4% 15,4% 15,4%
15,4% 15,3% 15,3% 15,4%15,2%15,1% 17,2% 17,6% 18,0%
15,7% 16,3% 16,7% 17,0% 17,8%15,4%15,3% 16,5% 17,2% 17,7%
16,6% 17,1% 17,6%16,7% 18,1% 18,5% 18,6% 18,3% 17,9%
18,1% 18,8% 18,6% 18,3% 17,8%18,2%18,0% 19,3% 19,8% 19,5% 19,3%
19,3% 19,8% 19,7% 19,5%19,1%18,9% 19,8% 19,4% 18,8% 18,4% 17,9% 17,7%
19,8% 19,3% 18,8% 18,3% 18,1%21,2%19,7% 19,1% 18,7% 18,3% 18,2% 17,9%
19,1% 18,7% 18,3% 18,1%18,3%18,3% 17,6% 17,1% 16,8% 16,6% 16,4% 16,2%
17,5% 17,0% 16,8% 16,6%16,8%16,7% 15,8% 15,4% 15,2% 15,1% 15,0%
15,7% 15,2% 15,1%15,4%15,2% 14,8% 14,8% 14,9% 15,1% 15,5% 15,8%
14,8% 14,7% 14,7% 14,7% 15,2%14,4%14,2% 13,8% 13,7% 13,7% 13,6% 13,8%
13,8% 13,6% 13,5%13,3%13,2% 12,9% 12,7% 12,5% 12,5% 12,5% 12,4%
12,9% 12,6% 12,4% 12,4% 12,2%12,8%12,8% 12,5% 12,1% 12,2% 11,9%
12,4% 12,1% 12,0% 11,9%12,1%12,1% 11,3% 11,2% 10,9% 10,8% 10,7% 10,7%
11,3% 11,2% 10,9% 10,8% 10,7% 10,7%10,8%10,6% 11,0% 11,0% 11,1% 11,2% 11,4%
11,0% 11,0% 11,1% 10,6% 11,3%15,8%11,1% 11,1% 11,4% 11,8% 11,9% 12,4% 12,9%
2003/01
2007/12
Figura 2: Análise Gráfica do Mercado Secundário de LTNs de Janeiro de 2003 a Dezembro de 2007
Uma célula negra indica que houve transação para um dado vértice de vencimento em um dado mês observado.
42
Meses até o Vencimento do TítuloAno/Mês 1 3 6 9 12 18 24
24,1% 25,6% 26,8% 26,6% 26,6% 28,8% 28,7%25,1% 27,0%25,2% 26,4% 26,6% 27,8%24,8% 25,8% 25,5% 25,4% 25,7% 25,8% 26,5%24,8% 25,1%24,6% 25,0%23,7% 23,4% 22,1% 21,5% 21,1% 20,8% 21,0%22,0% 22,3%19,8% 19,4% 18,0% 18,0% 18,5%17,9% 18,1% 17,8% 17,8% 17,8% 18,0% 18,3%17,0% 16,6%15,9% 15,7% 15,7% 15,7% 15,8% 16,0% 16,2%15,3% 15,6% 15,5% 15,4% 15,4% 15,8% 15,8%15,3% 15,8%15,2% 15,3% 15,2% 15,1% 15,2% 15,3% 15,6%14,9% 15,3% 15,2% 15,1% 15,1% 15,2% 15,4%14,9% 15,4%15,0% 15,8% 16,8% 17,1% 17,4% 18,2%15,0% 15,7% 16,3% 16,5% 16,7% 17,1% 17,4%15,1% 15,9%15,2% 16,4% 16,9% 17,2% 17,3% 17,6% 17,6%15,9% 16,4% 16,9% 17,2% 17,3% 17,4% 17,5%16,0% 17,3%16,6% 17,8% 18,2% 18,1% 17,8% 17,4% 17,2%17,2% 18,0% 18,2% 18,2% 18,0% 17,4% 17,1%17,6% 18,6%18,0% 19,1% 19,3% 19,1% 18,7% 18,2%18,3% 19,1% 19,4% 19,4% 19,2% 18,8% 18,4%18,7% 19,3%18,7% 19,5% 19,0% 18,5% 18,1% 17,5% 17,2%18,7% 19,3% 19,0% 18,4% 18,0% 17,4% 17,0%18,6% 19,1%18,5% 18,7% 18,4% 18,0% 17,8% 17,4% 16,9%18,1% 18,6% 18,3% 18,0% 17,8%17,4% 17,8%17,1% 17,1% 16,7% 16,5% 16,3% 16,0% 15,7%16,6% 16,9% 16,7% 16,4% 16,3%16,2% 16,3%15,6% 15,5% 15,1% 15,0% 14,9% 14,8% 14,7%15,2% 15,3% 15,0% 14,8% 14,7% 14,6%14,6% 15,0%14,4% 14,6% 14,6% 14,7% 14,8% 15,3% 15,7%14,2% 14,5% 14,5% 14,6% 14,6% 14,9%13,6% 14,0%13,4% 13,5% 13,5% 13,5% 13,6% 13,7% 13,8%13,0% 13,4% 13,4% 13,4% 13,4% 13,6%12,6% 13,1%12,5% 12,6% 12,5% 12,4% 12,4% 12,4% 12,3%12,3% 12,6% 12,5% 12,4% 12,3% 12,2%12,2% 12,4%12,0% 12,2% 12,0% 11,9% 11,9% 11,7% 11,6%11,9% 12,1% 12,0% 11,9% 11,8% 11,6% 11,5%11,6% 11,9%11,4% 11,5% 11,1% 10,9% 10,8% 10,7%11,1% 11,2% 11,1% 10,9% 10,7% 10,6% 10,6%10,7% 11,0%10,6% 10,9% 11,0% 11,0% 11,1% 11,3% 11,3%10,5% 10,9% 10,9% 11,0% 11,1% 11,2% 11,2%10,6% 11,0%10,5% 11,0% 11,4% 11,7% 12,5% 12,8%
2003/01
2007/12
Figura 3: Análise Gráfica do Mercado Secundário de DI Futuro de Janeiro de 2003 a Dezembro de 2007
Uma célula negra indica que houve transação para um dado vértice de vencimento em um dado mês observado.
Essa situação é bastante desafiadora quando analisamos a situação de uma seguradora
que possui negócios em previdência e tem a necessidade de investir em títulos de prazo de 20
ou 30 anos. Infelizmente, no mercado brasileiro, ainda não há espaço para vencimentos pré-
fixados tão longos.
O número reduzido de transações de vencimentos diferentes é exatamente uma das
motivações desse trabalho. A falta de muitos vértices diferentes acaba por fazer com que os
métodos de ajuste de curvas sejam altamente ineficazes em nosso mercado. Conforme
43
24,0%
26,0%
28,0%
30,0%
32,0%
34,0%
36,0%
38,0%
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Ajustes de Curvas para as Transações de LTNs em Março de 2003
Ajuste Logaritmico
Ajuste Polinomial
Yield Estim
ado pelo Ajuste (% a.a.)
Meses
podemos avaliar em um exemplo, uma infinidade de curvas pode ser ajustada em casos
extremos (embora não sejam tão incomuns em mercados emergentes).
A Figura 4 ilustra perfeitamente os riscos de se basear em análises de ajuste de curvas
para mercados tão incompletos como o brasileiro. Observa-se que, quando trabalhamos com
poucos vértices para o ajuste de curvas, corremos o risco de erros grosseiros nas estimações
de maior longo prazo. Por exemplo, podemos ver que há uma diferença de aproximadamente
9% para a taxa de juros estimada com vencimento de 30 meses. Esse exemplo foi retirado da
amostra utilizada nesse estudo e é um dos muitos exemplos que apresentam essa
característica. Fica bastante evidente, portanto, que, em casos de observações com tão
poucos vértices (muitas vezes com mais parâmetros a serem estimados do que observações),
os métodos de ajuste de curvas não funcionam satisfatoriamente.
Figura 4: Dois Ajustes de Curvas Baseados nas Observações das Transações de LTNs em Março de 2003
Meses até o vencimento
44
Outra característica bastante interessante e muito comentada nos últimos anos é o
alongamento do perfil de dívida brasileira através da substituição dos títulos de curto prazo
pela emissão de títulos de maior prazo. Mas apenas a emissão não garantiria tal alongamento.
Na realidade, além da emissão, a maior estabilidade da economia brasileira aliada à redução
da taxa de juros básica permitiu que empresas e investidores comprassem tais títulos pré-
fixados com prazos de vencimento maiores do que os previamente negociados.
É exatamente isso que pode ser observado na Figura 5. Podemos perceber o alongamento
dos títulos, embora o prazo de vencimento médio seja atualmente de cerca de um ano, algo
que pode ser considerado bem baixo quando comparamos com mercados desenvolvidos.
Outra característica interessante observada foi um retrocesso no valor negociado de títulos
pré-fixados nos últimos 2 anos.
Figura 5: Volumes Negociados e Tempo até o Vencimento de LTNs Transacionadas no Mercado Secundário de Janeiro de 2003 a Dezembro de 2007
-
50
100
150
200
250
-
200.000
400.000
600.000
800.000
1.000.000
1.200.000
1.400.000
Volume Negociado
Tempo Médio até o Vencimento
Período de Análise
Informações Referentes a Transações de LTN no Mercado Secundário
Volume Negociado
(R$ milhões)
DiasÚteis até o Vencimento
45
A Figura 6 mostra o volume negociado e o tempo até o vencimento dos DIs Futuros.
Apesar de os volumes e os prazos serem maiores do que os das LTNs, os DIs Futuros
também apresentam prazos de vencimento de cerca de um ano e um alongamento similar ao
experimentado pelos títulos governamentais. Entretanto, parece haver uma diferença clara
entre os dois tipos de ativos. Ao contrário das LTNs, o volume negociado de DIs tem
aumentado nos últimos anos, ao contrário do das LTNs, que vem caindo consideravelmente.
Esse comportamento também pode ser visto na Tabela 3.
Figura 6: Volumes Negociados e Tempo até o Vencimento dos DIs Futuros Transacionados na BM&F de Janeiro de 2003 a Dezembro de 2007
-
50
100
150
200
250
300
350
-
2.000.000
4.000.000
6.000.000
8.000.000
10.000.000
12.000.000
Volume Negociado
Tempo Médio até o Vencimento
Período de Análise
Informações Referentes a Transações de DI na BM&F
Volume Negociado
(R$ milhões)
DiasÚteis até o Vencimento
46
Tabela 3:Comparação de volumes negociados de LTNs e DIs semestre a semestre entre Janeiro de 2003 e Dezembro de 2007
Ano/SemestreVolume Negociado
LTNs (R$)Participação do Mercado (%)
Volume Negociado DI Futuro (R$)
Participação do Mercado (%)
2003/01 89.641.671 4,0% 2.179.037.976 96,0%
2003/02 333.755.572 9,8% 3.064.540.700 90,2%
2004/01 695.323.690 12,5% 4.859.476.534 87,5%
2004/02 1.271.761.115 22,5% 4.385.804.071 77,5%
2005/01 1.035.678.352 18,3% 4.610.652.517 81,7%
2005/02 964.028.724 13,5% 6.158.315.568 86,5%
2006/01 837.177.926 11,2% 6.642.854.964 88,8%
2006/02 884.121.029 10,5% 7.555.047.032 89,5%
2007/01 775.636.543 6,8% 10.560.067.017 93,2%
2007/02 716.666.341 7,6% 8.701.324.136 92,4%
O cálculo da participação no mercado acima inclui apenas os títulos pré-fixados, sem cupom no mercado
secundário, objetivos desse trabalho.
Nos últimos 4 anos, o volume negociado de DI foi de 3,5 a 13,6 vezes maior do que o de
LTNs. É interessante perceber que apesar da redução nas transações de LTN no mercado
secundário experimentada nos últimos dois anos, o mesmo não pode ser dito a respeito do
mercado primário. Pudemos observar nesse período, de acordo com o Relatório da Dívida
Pública Brasileira de 2007, que aproximadamente 30% do estoque de dívida pública se refere
a LTNs, fazendo com que esse seja o ativo mais relevante para potenciais estudos da
estrutura a termo de taxa de juros.
As Tabelas 4 e 5 mostram as estimações dos parâmetros utilizando o modelo de Vasicek
(1977) aliado ao flltro da Kalman para LTNs e DI, respectivamente. Podemos notar que os
valores de máxima verossimilhança indicam que o modelo se ajusta melhor para os DIs, visto
que a quantidade de informações é bastante superior e os volumes transacionados produzem
uma maior estabilidade aos dados mensais.
47
Tabela 4: Resultados da Estimação de Parâmetros Utilizando o Modelode Vasicek(1977) aliado ao Filtro de Kalman para Transações de LTN
Parâmetro: Estimate: Desvio Padrão Teste t
Kappa 0.256700 0.057500 4,464348
Theta 1.533000 0.215300 7,120297
Sigma 0.180700 0.026640 6,783033
Lambda -0,504600 0,338400 -1,491135
s1 0.120400 0.019030 6,326852
s2 0.035390 0.005439 6,506711
s3 0.008077 0.010590 0,762701
s4 0.027630 0.004940 5,593117
s5 0.054940 0.012640 4,346519
s6 0.076420 0.018830 4,058417
Log-Verossimilhança 83.512
Tabela 5: Resultados da Estimação de Parâmetros Utilizando o Modelode Vasicek(1977) Aliado ao Filtro de Kalman para Transações de DI Futuro
Parâmetro: Estimate: Desvio Padrão Teste t
Kappa 0.225300 0.043190 5,21649
Theta 1.493000 0.201700 7,40208
Sigma 0.156000 0.020480 7,61719
Lambda -0.358000 0.311000 -1,15113
s1 0,00563 0.007578 0,74347
s2 0,00205 0.003027 0,67856
s3 0,00037 0.009288 0,03939
s4 0,00276 0.004395 0,62890
s5 0,00514 0.008543 0,60108
s6 0,00623 0.010080 0,61806
Log-Verossimilhança 218.601
Apesar disso, podemos perceber que os parâmetros estimados para as LTNs e DIs são
muito parecidos. Esse resultado é bastante razoável, dado que esses ativos financeiros
apresentam diversas semelhanças.
48
O parâmetro de reversão de média, representado como Kappa, implica média de meia-
vida para os processos de taxas de juros de cerca de 3 anos para ambos os conjuntos de
dados. Isto é, o tempo esperado para que o processo estudado retorne a metade do caminho
para sua média de longo prazo é de aproximadamente 3 anos. Vale ressaltar que o parâmetro
de reversão de média se encontra significantemente longe de zero. Estar próximo de zero
significa que, na verdade, o processo seria regido por um passeio aleatório.
O prêmio de risco de mercado, representado como Lambda, apresenta valores negativos
significativos, o que implica que há um prêmio negativo para ambos os ativos. É interessante
ressaltar que tais valores não se mostraram significativos, consistente com diversos trabalhos
da mesma natureza que fizeram uso de modelos Gaussianos para explicar a dinâmica das
taxas de juros. Esse é um aspecto que vale ser explorado mais a fundo em trabalhos futuros.
Uma das maneiras de se avaliar a qualidade do modelo ajustado é analisar o quanto o
modelo proposto se ajusta ao conjunto de dados. A Tabela 6 apresenta os erros quadráticos
in-sample e out-of-sample por vértice de vencimento. Uma medida out-of-sample foi
calculada através da re-estimação do modelo utilizando apenas dados até 2006 e, após isso,
comparando a estrutura a termo de taxa de juros observada com a estimada para o ano de
2007.
49
Tabela 6: Análise do Ajuste do Modelo RMSE para LTN e DI
Futuro Considerando os Diversos Prazos Analisados.
Meses in-sample out-of-sample in-sample out-of-sample
1 1,76% 1,91% 0,28% 1,90%
3 0,32% 1,45% 0,25% 1,30%
6 0,31% 1,15% 0,42% 1,06%
12 0,44% 0,94% 0,42% 0,85%
18 0,74% 1,25% 0,72% 0,97%
24 0,91% 1,62% 1,00% 1,56%
Total 0,92% 1,43% 0,54% 1,39%
LTN DI
Podemos perceber que os erros são consideravelmente maiores para a análise out-of-
sample do que para a in-sample. Isso pode ser explicado pelo fato de estarmos trabalhando
com modelos mensais e com poucos dados (60 observações), algo que restringe muito a
capacidade preditiva do modelo. Tal fato ainda pode ser mais agravado pelo cenário
econômico brasileiro no mesmo período. A queda gradativa de juros no período de análise
tem papel fundamental quando comparamos as taxas de juros estimadas com as ocorridas.
Pode-se esperar que, com uma maior estabilidade econômica aliada a um maior horizonte
de análise, os erros in-sample e out-of-sample tendem a ser mais próximos, consistente com o
estudo do mercado chileno feito por Cortazar et al (2003).
Finalmente, a Figura 7 mostra a estrutura a termo estimada para dezembro de 2007. A
estrutura a termo de taxa de juros brasileira se mostra com um formato decrescente até 1 ano
e crescente para prazos superiores. É interessante perceber que esse comportamento não é
incomum em transações de DI e LTN feitas no mercado brasileiro.
Prazo em Meses
50
Figura 7: Resultado da Modelagem da Estrutura a Termo de Taxa de Juros para DI Futuro e LTN. Estrutura Estimada para o Mês de Dezembro de 2007 (In-Sample)
A curva de juros em formato de “U”, apresentada na figura acima, não é incomum em
países experimentando períodos de queda da taxa de juros. É interessante perceber que esse
foi exatamente o caso brasileiro durante o período de análise deste trabalho.
Como podemos observar, o modelo estimado para a curva de LTNs apresenta taxas de
juros superiores às dos DIs. A modelagem, portanto, confirma que os títulos públicos são
efetivamente transacionados com um prêmio e que tal comportamento não é um fato isolado
de alguns negócios.
Uma possível razão para esse prêmio das LTNs reside em uma diferença básica entre os
dois títulos. Quando o investidor adquire uma LTN há uma efetiva imobilização de capital
enquanto que em um contrato de DI-Futuro não há tal compromisso. Essa diferença pode ser
9,50%
10,00%
10,50%
11,00%
11,50%
12,00%
12,50%
1 3 6 12 18 24
DI LTN
Yield (% a.a.)
Meses Meses até o vencimento
51
a responsável por uam diferença de risco entre os dois tipos de títulos pré-fixados e sua
diferença de taxa de juros
.
52
5. CONCLUSÃO E SUGESTÕES PARA NOVAS PESQUISAS
A estimação da estrutura e dinâmica das taxas de juros é um assunto que tem ganhado
grande importância no mercado brasileiro, principalmente após as políticas de estabilização
econômica. Sua importância se deve principalmente ao fato de ser uma necessidade para
todos os participantes do mercado. O conhecimento da taxa de juros é crítico principalmente
para a avaliação e hedging de ativos de renda fixa.
Em países com mercados altamente desenvolvidos, títulos pré-fixados são negociados em
quantidades consideráveis para todo o tipo de vencimento, no entanto, nos países emergentes,
tal fato não poderia estar mais distante da realidade. Em cada dia há negociações de apenas
alguns títulos para certos vencimentos, havendo um grave problema de falta observações.
Essa característica, de quase a totalidade dos mercados emergentes, faz com que a estimação
da estrutura a termo das taxas de juros utilizando métodos estáticos seja muito difícil.
Tradicionalmente, o estudo dinâmico da estrutura a termo de taxas de juros foca nos
aspectos de painel da curva de juros, ou as propriedades de séries temporais da taxa de juros.
Nos últimos anos, muitos pesquisadores têm utilizado a modelagem estado espaço e as
técnicas de filtragem de Kalman para estimar estruturas afins.
Para os modelos mais simples, quando a representação é geralmente linear e Gaussiana, a
análise fica simplificada. Entretanto, em modelos mais genéricos, as variáveis de estado
influenciam a variância dos erros das equações de transição, fazendo com que a distribuição
dos erros se torne não-Gaussiana. Nesse caso específico, métodos espaço estado são
necessários. Isso é particularmente verdadeiro quando tratamos de títulos com cupons.
53
Este trabalho aplica uma metodologia que utiliza dados em painel incompletos para
estimar a estrutura atual da taxa de juros brasileira. O estudo alia o algoritmo do filtro de
Kalman ao modelo estocástico de Vasicek para taxas de juros. A metodologia permite a
estimação da estrutura atual da taxa de juros brasileira, bem como sua dinâmica, apesar dos
dados em painel incompleto. Ela permite, inclusive, a estimação para intervalos de tempo
com muito poucas observações. Apesar de o estudo ter utilizado o modelo de Vasicek para a
estimação da estrutura a termo da taxa de juros, uma classe muito maior de modelos poderia
ter sido aplicada.
Apesar de o trabalho se basear em dados em painel bastante incompletos, sem qualquer
vértice superior a 24 meses, os parâmetros estimados se mostraram significativos a 5%. A
utilização de parâmetros mais flexíveis, que não consideram o prêmio de risco de mercado
como estático, mas como uma função dos fatores estimados, poderia ampliar o valor
explicativo da estimação e, portanto seria um bom ponto de início para a expansão deste
trabalho.
Outra conclusão bastante interessante da modelagem proposta foi o ajuste de curvas que
efetivamente demonstram que as LTNs possuem um prêmio de taxa de juros quando
comparadas com as negociações de DI Futuro. Tal fenômeno não ocorre em ocasiões
isoladas, mas sim consistentemente a ponto de alterar as curvas estimadas e possivelmente é
correlato ao fato de LTNs exigirem uma imobilização de capital quando transacionadas e DI-
Futuros não possuirem tal compromisso. Esse fator pode ser o gerador de uma diferenciação
no risco de títulos com o mesmo vencimento.
Outra peculiaridade bastante interessante foi o formato da curva de juros brasileira
estimada para dezembro de 2007. A estrutura a termo de taxa de juros brasileira se mostra
54
com um formato decrescente até 1 ano e crescente para prazos superiores. É interessante
perceber que esse comportamento não é incomum em transações de DI e LTN feitas no
mercado brasileiro, sendo comum em países que experimentam uma redução consistente das
taxas de juros.
Outro ponto importante a ser ressaltado é a possibilidade de ampliação da metodologia
aplicada. Seria muito interessante a adoção de modelos estocásticos mais elaborados e com
maior número de fatores na tentativa de explicar melhor o comportamento da estrutura a
termo de taxa de juros brasileira. Este pode ser mais um dos enfoques para posteriores
pesquisas.
55
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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