BERTOLO Juros Compostos Quando uma pessoa sente necessidade de dinheiro: Empregado: vai...

BERTOLO

Juros CompostosQuando uma pessoa sente necessidade de dinheiro:Empregado: vai automaticamente procurar empregoAutônomo: vai freqüentemente fazer algo sóDono: vai criar ou comprar um sistema que produz dinheiroInvestidor: vai procurar uma oportunidade de investir num ativo que produza dinheiro

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Valores Futuros ou Montante

Valor Futuro ou Montante– Quantia para a qual um investimento crescerá após receber juros.

Juros Compostos – Juros ganhos sobre o total (montante) a cada período.

Juros Simples – Juros ganhos somente sobre o investimento original.

Na aula anterior vimos que:

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Exemplo – Juros SimplesJuros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre um principal de $100.

Juros Ganhos Por Ano = 100 x .06 = $ 6

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Valores FuturosExemplo – Juros Simples

Os juro ganhos a uma taxa de 6% por cinco anos sobre um saldo principal de $100.

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Hoje Anos Futuros

1 2 3 4 5

Juros Ganhos

Valor 100

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Valores FuturosExemplo – Juro Simples


Hoje Anos Futuros

1 2 3 4 5

Juros Ganhos 6

Valor 100 106

7Bertolo



Hoje Anos Futuros

1 2 3 4 5

Juros Ganhos 6 6

Valor 100 106 112

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Hoje Anos Futuros

1 2 3 4 5

Juros Ganhos 6 6 6

Valor 100 106 112 118

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Hoje Anos Futuros

1 2 3 4 5

Juros Ganhos 6 6 6 6

Valor 100 106 112 118 124

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Hoje Anos Futuros 1 2 3 4 5

Juros Ganhos 6 6 6 6 6Valor 100 106 112 118 124 130

Valor no fim do Ano 5 = $130

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Valores Futuros

Exemplo – Juros Compostos

Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre o saldo do ano anterior.

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Valores Futuros

Exemplo – Juros Compostos


Juros Ganhos Por Ano = Saldo do Ano Anterior x .06

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Valores FuturosExemplo – Juros Compostos



Juros Ganhos

Valor 100

14Bertolo



Hoje Anos Futuros 1 2 3 4

5

Juros Ganhos 6.00

Valor 100 106.00

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Hoje Anos Futuros 1 2 3 4

5

Juros Ganhos 6.00 6.36

Valor 100 106.00 112.36

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Juros Ganhos 6.00 6.36 6.74

Valor 100 106.00 112.36 119.10

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Juros Ganhos 6.00 6.36 6.7 7.15

Valor 100 106.00 112.36 119.10 126.25

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Juros Ganhos 6.00 6.36 6.74 7.15 7.57Valor 100 106.00 112.36 119.10 126.25 133.82

Valor no final do Ano 5 = $133.82

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Pagamentos Simples x Série Uniforme

Como dissemos anteriormente no sistema de Juros Compostos, os juros vão acumulando-se ao capital e rendendo juros também no período seguinte. É o que chamamos de juros sobre juros.

Existem duas formas de capitalização composta:

Pagamento Simples

e

Série Uniforme

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Pagamento Simples

VF 1 2 3 4 5 6 7 8 n-4 n-3 n-2 n-1 n

GRÁFICO: VP

Uma única aplicação e um único montante. O dinheiro foi rendendo juros sobre juros durante a aplicação.

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Série UniformeGRÁFICO: VF

1 2 3 4 5 6 7 8 n-3 n-2 n-1 n

R R R R R R R R R R R

Várias aplicações (ou retiradas) iguais que foram se acumulando (ou sacadas).

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Juros Compostos – Pagamentos Simples

Vamos inicialmente estudar os Juros Compostos sob o regime de capitalização simples

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FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL – FACPagamento Simples

PROBLEMA: Determinar a quantia VF que seria obtida pela aplicação do principal VP, à taxa de juro i, durante n períodos. Ou seja, qual o montante VF acumulado a partir do principal VP?

Qual o Valor Futuro dado o Valor Presente?

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VF 1 2 3 4 5 6 7 8 n-4 n-3 n-2 n-1 n

GRÁFICO: VP

FÓRMULA: Investindo VP a taxa i, tem-se:

ao final do primeiro período: VP + i VP = VP(1 +i)ao final do segundo período: [VP(1 + i)] (1 + i) = VP (1 + i)2

e, assim. sucessivamente, teremos:

VF = VP (1 + i)n

VF : montante no regime de juros compostos, também representado por FV (Future Value)VP: principal ou capital inicial, também representado por PV (Present Value)(1 + i)n : fator de acumulação de capital, também representado por FAC’(n,i).

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niVF )1(100$

Exemplo - VF

Qual é o valor futuro de $100 se o juro é composto anualmente à taxa de 6% por cinco anos?

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Valores Futuros

niVF )1(100$

Exemplo - VF

Qual é o valor futuro de $100 se o juro é composto anualmente à taxa de 6% por cinco anos?

82.133$)06.1(100$ 5 VF

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0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Número de Anos

VF

de

$100

0%

5%

10%

15%

Valores Futuros com ComposiçãoTaxas de Juros

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Exemplo 1

1. Aplico R$ 1.000,00, por 10 anos a juros de 5% a . a .Quanto terei no final?SOLUÇÃO

VP = R$ 1.000,00 i = 5% = 5/100 = 0.05 n = 10 VF = VP (1 + i)n = 1000 (1 + 0,05)10 = 1000 (1,05)10 =

1000 (1,629) = 1.629 ou R$ 1.629,00

FV

RS1000

Na HP-12C

F FIN f 2

1000 CHS PV

5 i

10 n

FV

10

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Exemplo 2

Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$ 1.000,00 a 2,5% ao mês, capitalizável mensalmente?

SOLUÇÃOPela FÓRMULAVP = R$ 1.000,00 i = 2,5% a.m. n = 12 mesesVF = VP (1 + i)n = 1.000,00 (1 + 0,025)12 = 1.000,00 (1,025)12 = 1.345,00

f FIN f 2 1 000 CHS PV 12 n2.5 iFV

Na HP-12C teremos:

1.344,49

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Exemplo 3

Qual o juro devido a um capital de R$ 1.000,00, colocado a juros compostos na taxa de 5,5% a . a . por um prazo de 10 anos?SOLUÇÃOO que se quer é o rendimento produzido por um capital em determinado tempo. J = VF - VP ou seja J = Valor Futuro (VF) - Valor Presente (VP)J = [1.000 (1 + 0,055)10 ] - 1.000 = [1.000 (1,055)10] - 1.000 = [1.000 (1,7081)] -1.000 = 1.708,10 - 1.000 = 708,10 J = R$ 708,10

f FIN f 21000 CHS PV5.5 i10 nFVRCL PV+

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1.Uma pessoa toma R$ 30.000,00 emprestados, a juros de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? Resp:- R$ 40.317,49 2. Calcule o montante de R$ 20.000,00 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses. Resp:- 66.671,81

3. Calcule o montante de R$ 50.000,00, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 meses. Resp:- R$ 54.654,17

4. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês. Resp:- R$ 9.237,24

5. Calcule o valor futuro de um capital de R$ 75.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 2 % ao mês, no fim de 6 meses. Resp:- R$ 88.257,63

6. Qual o VF produzido por R$ 12.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses? Resp:- R$ 26.496,48

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Venda da Ilha de Manhattan

Peter Minuit comprou dos índios a Ilha de Manhattan por $24 em 1626, pagando com mercadorias e quinquilharias. Este foi um bom negócio?

squatrilhõe

VF

6,96$

)10.1(24$ 377

Para responder, determine quanto vale aqueles $24 no ano de 2003, composto a 10%.

OBS – Isto é muito dinheiro. Daria para OBS – Isto é muito dinheiro. Daria para comprar os Estados Unidos todo. Com o comprar os Estados Unidos todo. Com o troco, daria ainda para comprar o resto do troco, daria ainda para comprar o resto do mundo!.mundo!.

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Venda da Ilha de Manhattan

Embora divertida, na verdade essa análise é um tanto enganosa. Primeiro, a taxa de juros de 10% que usamos para comparar valores futuros é bastante alta com relação aos padrões históricos. A uma taxa de juros de 3,5% a.a., mais consistente com a experiência histórica, o valor futuro dos $ 24 seria drasticamente mais baixo, apenas $ 24 x(1,035)377 = $10.297.294, ou seja 10 bilhões de dólares! Segundo, nós subestimamos os retornos para o Sr. Minuit e seus sucessores:ignoramos toda a renda proveniente de aluguel que as terras da ilha têm gerado nos últimos três ou quatro séculos. Considerando tudo, se estivéssemos vivos em 1626, teríamos pago os $24 mpela ilha com muito prazer.

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Sobre o Peter Minuit

Suponhamos que Peter Minuit não tivesse se tornado o primeiro magnata imobiliário de Nova Iorque, mas que em vez disso tivesse investido seus $ 24 a uma taxa de juros de 5% a.a. no Banco Econômico de Nova Amsterdã. Quanto ele teria de saldo em sua conta de pois de 5 anos? E de 50 anos?5 anos ......$ 30,6350 anos.....$ 275,22

Imóveis são excelentes investimentos a longo prazo!

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FATOR DE VALOR ATUAL - FVA

PROBLEMA: Determinar a quantia VP que deve ser investida, a juros i, para que se tenha o montante VF após n períodos de capitalização, ou seja, determinar o valor atual de VF.

Qual o Valor Presente (ou Atual) dado o Valor Futuro?

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FATOR DE VALOR ATUAL - FVAGRÁFICO:

VF 1 2 3 4 5 6 7 8 n-4 n-3 n-2 n-1 n VP = ?

FÓRMULA: VF = VP (1 + i)n

O fator FAV’ (i, n) = 1/(1 + i)n é também chamado taxa de desconto no regime de juros compostos.

VP = VF / (1 + i) n

(1 + i ) n VF

P VP ( 1 + i ) - n

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Exemplo 1Qual o capital que, aplicado a 10% ao semestre , capitalizado semestralmente, produz o montante de R$ 1.331,00 após 3 semestres?SOLUÇÃOVP = ? VF = R$ 1.331,00 n = 3 semestres i = 10% a . s. = 0,1 ao semestrePela FÓRMULA:VP = VF/(1+i)n = 1331/(1+0,1)3 = 1331/1,331 = 1331*0,751315 = 1000 VP = R$ 1.000,00

FIN f 21331 CHS FV10 i3 nPV

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Exemplo 2Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 320,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 404,90 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?SOLUÇÃOVP = R$ 320,00 VF = R$ 404,90 n = 6 i = ?Pela FÓRMULA:VP = VF/(1+i)n 320 = 404,90/(1+i)6 320(1+i)6 = 404,90

(1+i)6 = = 1,26531 (1+i)6 = 1,26531

1+i =(1,26531)1/6 i = (1,26531)1/6 - 1

i = (1,26531)0.167 – 1 i = 1,040 -1 =0,040

f FIN f 2404.9 CHS FV320 PV6 ni

00,320

90,404

Assim i

FV

PVn= - 1

Sempre podemos calcular i, usando a expressão

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Exemplo 3Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22.125,00, sabendo-se que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro composto.

SOLUÇÃOPela FÓRMULA:VF = R$ 22.125,00 VP = R$11.000,00 i = 15% a .s. n = ?VP = VF/(1+i)n 11000 = 22125/(1+0,15)n (1,15)n = 22125/11000 1,15n = 2,01136Devemos agora aplicar LOG em ambos os lados da igualdade, assim:log 1,15n = log 2,01136 n log 1,15 = log 2,01136. Mas,log 1,15 = 0,06070 e log 2,01136 = 0,30349. Então,n = 0,30349/0,06070 = 4,999 semestres oun = 5 semestres ou 2 anos e 6 meses.

f FIN f 222125 CHS FV11000 PV15 in

log log

log( )

FV PV

i

-+1

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EXEMPLO EXTRA

Em 1995, a Coca-Cola precisou tomar quase um quarto de bilhão de dólares emprestado por 25 anos. Ela fez isso vendendo IOU*, cada uma simplesmente prometendo pagar $1.000 ao portador no final de 25 anos. A taxa de juros do mercado naquela época era de 8,53%. Quanto você estaria disposto a pagar por uma IOU da empresa?

* IOU = I Owe You = “Eu Devo a Você”. É o apelido das OBRIGAÇÕES (ou BONDS), onde os investidores recebem um pagamento regular de juros ou um cupom. As IOU da Coca-Cola fará apenas um único pagamento no final do ano 25. Portanto, era chamada de uma obrigação de cupom zero. Falaremos mais sobre Obrigações em capítulos posteriores.

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SOLUÇÃO

Para calcular o valor presente, faremos:

129$)0853,01(

000.1$25

VP

Este é o maior valor que poderíamos pagar hoje por uma IOU da Coca-Cola!!!

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Mais um pouco sobre a IOU da Coca-Cola

Suponhamos que a Coca-cola tivesse prometido pagar $ 1.000 ao final de 10 anos. Se a taxa de juros do mercado fosse de 8,53%, quanto você estaria disposto a pagar por uma IOU de $ 1.000 por 10 anos?

10 anos.......$ 441,06

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EXTRA - Calculando o valor de uma promoção

A Canguru Autos está oferecendo uma promoção para os carros de $ 10.000. Você paga $ 4.000 de entrada e o saldo no final de 2 anos. A loja ao lado, a Tartaruga Motors, não oferece essa facilidade, mas desconta $ 500 do preço de tabela. Se a taxa de juros for de 10%, qual das empresas está oferecendo o melhor negócio?

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SOLUÇÃO

Observe que você pagará mais no total se comprar da Canguru, mas , como parte do pagamento é adiado, você poderá guardar esse dinheiro no banco, onde continuará a render juros. Para comparar as duas ofertas, você precisa calcular o valor presente dos pagamentos para a Canguru. O diagrama de fluxo de caixa a seguir, mostra os pagamentos em dinheiro para a Canguru.

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SOLUÇÃO cont.

6.000

4.000

O primeiro pagamento, de $ 4.000, ocorre hoje. O segundo pagamento, de $ 6.000, ocorrerá no final de 2 anos. Portanto, o valor presente do total dso pagamentos da Canguru é de:

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SOLUÇÃO cont.

68,958.8$68,958.4$000.4$)10,01(

000.6$000.4$

2

VP

Suponhamos que você comece com $ 9.958,68. Você dá uma entrada de $ 4.000 para a Canguru Autos e investe o saldo de $ 4.958,68. A uma taxa de juros de 10%, isso crescerá durante os próximos 2 anos para $ 6.000, exatamente o que você precisa para fazer o pagamento final de seu automóvel. O custo total de $ 8.958,68 é melhor negócio do que os $9.500 cobrados pela Tartaruga Motors.

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Valores Presentes

Valor Presente

Valor hoje de um fluxo de caixa

futuro.

Taxa de Desconto

Taxa de juro usada para calcular valores presentes de fluxos

de caixa futuros.

Fator de Desconto

Valor presente de um pagamento futuro de $1.

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Aplicações

A fórmula VP tem muitas aplicações. Dadas 3 variáveis na equação, você pode encontrar a variável restante.

ni

VFVP

)1(

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Aplicações

Propaganda Enganosa!

Recentemente, alguma empresas têm dito coisas como “Venha experimentar nosso produto. Se vier, lhe daremos $ 100 apenas por ter vindo!”

Se você ler as letras miúdas, descobrirá que eles lhe darão um certificado de poupança que lhe pagará $ 100 daqui a 25 anos ou coisa parecida. Se a taxa de juros de tais certificados for 10% a.a., quanto você iria realmente receber hoje?

23,9$)1,01(

10025

VP

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Economizando para cursar a Faculdade

Você precisará por volta de $ 80.000 para enviar seu filho à universidade daqui a 8 anos. Hoje você tem $ 35.000. Qual a taxa de juros para alcançar este objetivo a partir dos $ 35.000?

%89,10

1089,112857,2)1()1(3500080000 88

i

iii

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Aposentadoria

Você deseja aposentar-se daqui a 50 anos, como milionário. Se você tem $ 10.000 hoje, qual a taxa de rendimento para atingir $ 1.000.000?

..%65,9100)1()1(

000.000.110000 50

50aaii

i

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VP de Fluxos de Caixa Múltiplos

ExemploSeu fornecedor de automóveis deu a você a chance de escolher entre pagar $15,500 agora, ou fazer três pagamentos: $8,000 agora e $4,000 ao final dos dois anos seguintes. Se o custo do seu dinheiro é 8%, o que você prefere?

$15,133.06 VP Total

36.429,3

70.703,3

8,000.00

2

1

)08.1(

000,42

)08.1(

000,41

:imediato pagamento

VP

VP

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS1.Quanto se deveria pagar hoje para se ter o direito de receber R$ 10.000,00 daqui a 5 anos, a juros compostos de 10% ao ano? Resp:- R$ 6.209,00

2.Uma pessoa recebe a proposta de investir, hoje, uma quantia de R$ 120.000,00 para receber R$ 161.270,00 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto? Resp:- 3% a . m..

3.O capital de R$ 87.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se no fim de certo tempo a R$ 114.563,00. Calcule esse tempo. Resp:- 8 meses

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10 + 10 = 21

Imagine que você invista $ 100, que ganha 10% esse ano e 10% no ano que vem. Quanto você ganhou?

O ganho de 10% desse ano faz seus $ 100 virarem $ 110. No ano seguinte, você também ganha 10%, mas começa o ano com $110. Resultado? Você ganha $ 11, aumentando sua riqueza para $ 121.

Assim, sua carteira ganhou um retorno cumulativo de 21% sobre os dois anos, mas o retorno anualizado é de apenas 10%. O fato de que 21% é mais do que o dobro de 10% pode ser atribuído ao efeito de capitalização do investimento, a maneira em que você ganha dinheiro, a cada ano, não apenas em seu investimento original, mas também nos ganhos dos anos anteriores que você reinvestiu.

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A regra do 72

Para ter uma boa idéia de capitalização, tente a Regra dos 72. O que é isso? Se você dividir 72 por um retorno anual em particular, descobrirá quantos anos levará para dobrar seu dinheiro. Assim, a 10% a.a., um investimento dobrará de valor em pouco mais de 7 anos.

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O que desce volta a subir lentamenteNo mundo dos investimentos, ganhar é legal, mas perdas podem realmente doer. Vamos dizer que você invista $ 100, que perca 10% no primeiro ano, mas no ano seguinte volte ganhando 10%.

Empatado?

Nem sonhando. Na verdade, você chegou apenas a $ 99.

Eis o porquê. A perda inicial de 10% derruba seus $ 100 para $ 90. Mas o ganho subseqüente de 10% lhe dará apenas $ 9, aumentando o valor de sua conta para $ 99. No final das contas: para recuperar qualquer porcentagem de perda, você precisa de um ganho percentual ainda maior. Por exemplo, se você perder 25%, vai precisar de 33% para empatar de novo.

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Nem todas as perdas são iguais

O que prejudica menos: inflação de 50% ou uma queda de 50% no valor de sua carteira?

Se você disse a inflação, então acaba de ganhar outro 10.

Confuso? Considere o seguinte exemplo:

Se você tiver $ 100 para gastar em capuccino, e seu capuccino favorito custa $ 1, você poderá comprar 100 xícaras. E se seus $ 100 perderem valor e valerem apenas $ 50? Você poderá comprar apenas 50 xícaras.

E se o preço do capuccino aumentar 50%, para $ 1,50?

Se você dividir $ por $1,50, descobrirá que poderá comprar 66 xícaras e ainda deixar uma gorjeta.

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Exercícios extras

1. Em 1880, cinco rastreadores aborígenes receberam a promessa de ganhar o equivalente a $ 100 australianos cada por ajudar a capturar o famoso bandido Ned Kelley. Em 1993, as netas de dois dos rastreadores reivindicaram que esse prêmio não havia sido pago. O primeiro-ministro de Victória disse que se isso fosse verdade, o governo ficaria feliz em pagar os $ 100. No entanto, as netas também reivindicaram que tinham o direito aos juros compostos. A quanto cada uma tinha direito se a taxa de juros fosse de 5%? E se fosse de 10%?

2. Você deposita $ 1.000 em sua conta bancária. Se o banco pagar 4% de juros simples, quanto você terá em sua conta após 10 anos? E se o banco pagar juros compostos? Quanto de seus ganhos serão de juros sobre juros?

3. Você preferiria receber $ 1.000 por ano por 10 anos ou $ 800 por ano por 15 anosa. a uma taxa de juros de 5%?b. a uma taxa de juros de 20%?c. Por que suas respostas para (a) e (b) diferem?

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