BINMIO DE NEWTON

Sobre uma mesa h 2 bandejas e em cada uma h um carto com a letra X e outro com a letra A. Um menino deve escolher uma letra de cada bandeja.X AX AX XX AA XA AX2XAAXA2X2 + 2XA + A23 TERMOS(X + A)2Quadrado da soma

Professora Michele Boulanger

Sobre uma mesa h 3 bandejas e em cada uma h um carto com a letra X e outro com a letra A. Um menino deve escolher uma letra de cada bandeja.X AX AX AX X X X A AX X AX A XA A X A X XA X AA A AX3XA2X2AX2AXA2X2AXA2A3X3 + 3X2A + 3XA2 + A34 TERMOS(X + A)3

Professora Michele Boulanger

Pelos produtos notveis, sabemos que (a+b) = a + 2ab + b. Se quisermos calcular (a + b), podemos escrever:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Se quisermos calcular (a + b)4 , podemos adotar o mesmo procedimento:

(a + b)4 = (a + b)3.(a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3).(a+b)= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 De modo anlogo, podemos calcular as quintas e sextas potncias e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potncia (a+b)n a partir da anterior, ou seja, de (a+b) n - 1 . Porm quando o valor de n grande, este processo gradativo de clculo muito trabalhoso. Existe um mtodo para desenvolver a ensima potncia de um binmio, conhecido como binmio de Newton (Isaac Newton, matemtico e fsico ingls, 1642 - 1727). Para esse mtodo necessrio saber o que so coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o tringulo de Pascal.

Professora Michele Boulanger

A disposio ordenada dos nmeros binomiais, como na tabela ao lado, recebe o nome de Tringulo de PascalSubstituindo cada nmero binomial pelo seu respectivo valor, temos:

Professora Michele Boulanger

Como vimos, a potncia da forma , em que a, , chamada binmio de Newton. Alm disso:

quando n = 0 temos

quando n = 1 temos

quando n = 2 temos

quando n = 3 temos

Professora Michele Boulanger

De modo geral, quando o expoente n, podemos escrever a frmula do desenvolvimento do binmio de Newton:

Note que os expoentes de x vo diminuindo de unidade em unidade, variando de n at 0,

Os expoentes de a vo aumentando de unidade em unidade, variando de 0 at n.

O desenvolvimento de (x + a)n possui n + 1 termos.Exemplo: (2x 3y)10 tem 11 termos

Professora Michele Boulanger

No desenvolvimento do binmio (x a) n , os sinais de cada termo do desenvolvimento so alternados, isto , os termos de ordem par (2o, 4o, 6o ) so negativos, e os de ordem mpar (1o, 3o, 5o) so positivos.

Professora Michele Boulanger

Caso seja pedido a soma dos coeficientes numrico do desenvolvimento de um binmio, no necessrio fazer todo o desenvolvimento pelo binmio de newton, basta saber a seguinte dica:troque qualquer letra do binmio por 1 - calcule o valor que ficar dentro dos parnteses, e pronto, basta elev-lo n.

Obtemos a expresso:1.16x4.1 + 4.8x3.1 + 6.4x2.1 + 4.2x . 1 + 1.1.1

16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1

No desenvolvimento acima, a soma dos coeficientes 81 (16 + 32 + 24 + 8 + 1), agora utilizando a dica dada:(2x+1)4(2.1 + 1)4 = 34 = 81

Professora Michele Boulanger

No necessrio desenvolver todos os termos de um binmio para encontrarmos um termo em particular. A formao de cada termo obedece a uma lei.T 1 = C n,0 . a0. x n-0T 2 = C n,1 . a1. x n-1T 3 = C n,2 . a2. x n-2T 4 = C n,3 . a3. x n-3T p+1 = C n,p . ap. x n-pT n + 1 = C n,n . an. x n-nEm cada termo de (x + a) n, o coeficiente Cn,p, o expoente de a p e o expoente de x n-p

Professora Michele Boulanger

Determine o 7. termo do binmio (2x + 1)9Vamos aplicar a frmula do termo geralde (x + a)n , onde x = 2x , a = 1 e n = 9. Comoqueremos o stimo termo, fazemos p = 6, na frmulado termo geral, e efetuamos os clculos indicados.Temos ento:T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)96 . (1)6 = 9! /[(96)! . 6!] .(2x)3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3 = 672x3. Portanto o stimo termo procurado 672x3.

Professora Michele Boulanger

Calcule o coeficiente do termo em x9 no desenvolvimento de (x2 2x)6.Tp+1 = C6,p . (x2)6p . (-2x)p =

C6,p .x12-2p . (-2x) p = C6,p .x12-2p . (-2) p .x p = Agrupando as potncias de x, temos: Tp+1 = C 6,p. x 12-2p+p. (-2)p

Tp+1= C 6,p . x 12-p. (-2)p Para que o expoente de x seja igual a 9, devemos ter 12 p =9, ou seja, p =3P = 3 T3+1= C6,3. x 12 -3 . (-2)3T4= 20. x9.(-8) T4 = -160x9

Professora Michele Boulanger

Determine o sexto termo do desenvolvimento de (x + 2)6.T5+1 = C 6,5 . x6-5 . 25T6 = 6 . x. 32T6 = 192x

Professora Michele Boulanger

Qual o termo mdio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ?Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento do binmio ter 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binmio, o termo do meio (termo mdio) ser o T5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao clculo do T5 . Para isto, basta fazer p = 4 na frmula do termo geral e efetuar os clculos decorrentes. Teremos: T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4 . (3y)4 = 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)4 . (3y)4 = 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x4.81y4 Fazendo as contas vem: T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4y4 , que o termo mdio procurado.

Professora Michele Boulanger