BINÔMIO DE NEWTON

7/17/2019 BINÔMIO DE NEWTON

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APOSTILA - TURMA ITA-IME

1

BINÔMIO DE NEWTON & EXPANSÃO MULTINOMIALProfessor Marcelo Renato M. Baptista

1. NÚMEROS BINOMIAIS:

pn!pn!p

!npn

, sendo INpeINn .

n numerador e p denominador.

2. NÚMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES:

qn

pnnqponde

qne

pn

Exemplos:

3

5e

2

5;

5

8e

3

8, etc. (a soma dos denominadores é igual ao numerador).

2.1. IGUALDADE DE BINOMIAIS:

Respeitadas as condições de existência, teremos, sempre, que analisar dois casos. Vejamos:

b

n

a

n

nba:2caso

ou

ba:1caso

3

5

2

5

2

5

2

5

Exemplos

3. TRIÂNGULO DE PASCAL (Relações importantes)

Somando-se dois elementos consecutivos de umamesma linha, obtém-se o elemento situado abaixo dosegundo elemento somado.

Somando-se todos os elementos deuma mesma linha, obtém-se comoresultado o valor da potência de base 2

cujo expoente “n” corresponde ao numerador dos respectivos números binomiais.

4. TERMO GERAL DO BINÔMIO DE NEWTON (“x” + a )n ..................... (Parte 2)

pnp1p "x"ap

nT

Onde “x” é o termo em x de maior expoente e “a” é o termo em x de menor expoente.

Ex.1:

2

38

2

3

xa

x2"x"

x

1x2 Ex.2:

1

25

2

x32

a

x"x"

x32

x

5. SOMA DOS COEFICIENTES DO BINÔMIO DE NEWTON ( x + a )n

Basta que façamos cada “letra” igual a “1”.

Exemplo: A soma dos (n + 1) coeficientes reais do binômio de Newton n25 y5x3 é igual a 64.

Calcule n.

Sendo “SC” a soma dos respectivos coeficientes, 6421.51.364SC nn25 6n .




2

6. POLINÔMIO DE LEIBNITZ

p321 a

pa3

a2

a1

p321

np321 xxxx

!a!a!a!a

!nxxxx

Onde naaaa p321

Exemplo: (ITA-SP 2006) Determine o coeficiente de x4 no desenvolvimento de (1 + x + x2)9.

Resolução utilizando o Polinômio de Leibniz:

c2ba92 xx1!c!b!a

!9xx1

c2b92 x

!c!b!a

!9xx1

Sabemos que, no universo dos números naturais:

2c0c24c24b4c2b9cba

a b c5 4 06 2 17 0 2

Assim, o coeficiente de4

x será obtido na operação !2!0!7

!9

!1!2!6

!9

!0!4!5

!9

.

3625212649749729

121

89

112

789

11234

6789

!2!0!7

!9

!1!2!6

!9

!0!4!5

!9414 .

Resposta: 414.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1) (UP 2013) O conjunto solução da equação

8x

26

x5

26 é:

a) 3;2 . b) 5;2 . c) 2 . d) 5 . e) 3 .

2) (UP 2013) O valor de

5

13

8

12

3

12 é igual a:

a)

6

13 b)

6

14 c)

9

14 d)

9

15 e) 2

13

.

3) (UP 2013) O valor de x para que

1x2

14

2x

142 é:

a) – 1 ou 3. b) – 3 ou 1. c) – 1 ou 1. d) – 1. e) 3.

4) (UFOP-MG) A condição para que o binomial

k

n seja o dobro do binomial

1k

n é:

a) k2n b) k3n c) 1k3n d) 1k3n

5) (FCMSC-SP) Se )2n(.n54

n

3

n

, então n é igual a:

a) 11. b) 10. c) 9. d) 8. e) 7.

6) (UP 2013) No desenvolvimento do binômio

n

)1x(

, segundo as potências decrescentes de x, ocoeficiente do 3º termo é o triplo do coeficiente do 2º termo. O valor de “n” é:

a) 8. b) 10. c) 9. d) 7. e) 6.




3

7) (FMSC-SP adaptada) Se a soma dos coeficientes obtidos no desenvolvimento de n2 )yx3( ,

onde *INn , é igual a 64, determine o valor de

5

0pp

1n2 .

a) 1023. b) 1024. c) 2043. d) 2048. e) 4096.

8) (PUC-SP) No desenvolvimento de 82 )1x(x o coeficiente de 7x é igual a:

a) 1. b) 7. c) 14. d) 28. e) 56.

9) (UP 2013) Os três primeiros coeficientes do desenvolvimento den

2

x21

x

, segundo as

potências decrescentes de x, estão em progressão aritmética. O valor de n é:

a) 4. b) 6. c) 8. d) 10. e) 12.

10) (Cesgranrio-RJ) O valor de p8

0p

5p8

é:

a) 85 . b) 86 . c) 58 . d) 68 . e) 65 .

DISCURSIVAS

1) (Mackenzie–SP adaptada) A condição que o número natural n deve satisfazer para que o

desenvolvimento den

²x1

x

tenha um termo independente de x é ser:

Resolução: pnp21p xxp

nT

pnp2

1p xxpn

T p3n1p xp

nT

p3n0p3n , como I Np n é múltiplo de 3.

2) (UP 2013) Determine a posição do termo independente de x, no desenvolvimento do binômio15

2x

1x2

segundo as potências decrescentes de x.

Resolução:

TERMOS16

15

2 ︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳x

1x2

152

15

2 xx2

x

1x2 p15p2

1p ︶x2 ︵︶x ︵p15

T

p152p15p

1pp15p152p

1p xx ︶2 ︵︶1 ︵p15

Tx ︶2 ︵x ︶1 ︵p15

T

︶1 ︵..................x ︶2 ︵︶1 ︵p15

T p315p15p1p

Em ( 1 ): ︶1 ︵5p0p315 0515515 x ︶2 ︵︶1 ︵5

15T

010

6 x ︶2 ︵︶1 ︵5

15

T

5

15

0241T6 .

Resposta: o termo independente de x ocupa a 6ª posição, segundo as potências decrescentes de x.

15 – 3p = 0




4

3) (UERJ) Na potência

n

5x

1x

, n é um número natural menor do que 100. Determine o maior valor de n,

de modo que o desenvolvimento dessa potência tenha um termo independente de x.

Resolução:

pnp5

1p xxpn

T

pnp51p xxp

nT

p6n1p xp

nT

p6n0p6n , como 16p67,16p100p6|I Np6100n|I Nn max

Para 166n16p 96n .

Resposta: 96.

4) (UP 2013) Seja n o número de pontos distintos sobre uma circunferência.

Sabendo que2

nn6

1n5

1n 2

:

a) Calcule o valor de n;b) Quantos polígonos convexos inscritos podem ser construídos com vértices nesses pontos?

Resolução:

a)

2nn

61n

51n

2

...................... ( 1 )

Pela Relação se Stifel:

6

n

6

1n

5

1n...................... (2)

Sabemos também que:

2

n

2

nn

)!2n.(2

)!2n)(1n(n

2

nn 22

................ (3)

Assim, substituindo (2) e (3) em (1):

2

n

6

n.

Verificando-se as condições de igualdade de números binomiais, neste caso: n26 8n

b) Sendo N o número de polígonos convexos que podem ser inscritos numa circunferência com 8 pontosdistintos, ou seja, triângulos, retângulos, pentágonos ... octógonos:

2

8

1

8

0

8

8

8

2

8

1

8

0

8N

8

8

7

8

6

8

5

8

4

8

3

8N

)28()8()1()2(N 8 219N

Respostas: a) 8n b) 219 polígonos convexos.




5

5) (ESPM–SP adaptada) O Desenvolvimento do binômio 123 xx apresenta n termos com radical.

Calcule o valor de

1n

1ppnA .

Resolução:

Cada um dos 13 termos do desenvolvimento do binômio 123

xx será:

p123/1p2/1

1p )x.()x.(p

12

T

Assim, 6

p4

1px.

p

12T

Como }12p0|INp{ , os únicos valores de p que são múltiplos de 6

são 0, 6 e 12, ou seja, temos 10 valores de p que proporcionam termos comradical.

Assim, 10n .

Calculando

1n

1pp

n A , para n = 10:

9

10

3

10

2

10

1

10 A

p

10 A

9

1p

Sabemos que: 10210

10

9

10

3

10

2

10

1

10

0

10

Assim: 20241A22A112A1010

010

2A21010

︶A ︵010 10101010

Resposta: 0221 A

6) (IBMEC–SP adaptada) Seja n um número natural não nulo, tal que

0964n1n2

1n1n2

21n2

11n2

01n2

. Determine o valor de n.

Sabemos que:

0

1n2

1

1n2

2

1n2 . . .

1n

1n2

n

1n2

BinomiaisComplementares

1n2

1n2

n2

1n2

1n2

1n2 . . .

2n

1n2

1n

1n2

Como números binomiais complementares são iguais:

1n2

1n2

n2

1n2

1n2

1n2

2n

1n2

1n

1n2

n

1n2

1n

1n2

2

1n2

1

1n2

0

1n2

Sabemos também que:

Consequentemente, 0964n1n2

1n1n2

21n2

11n2

01n2

Assim,

12n2n2

1n2

2209642096422

6n . Resposta: n = 6.




6

7) (UP 2013) Se os números binomiais

11n,0

ne

22n

, nesta ordem, estão em progressão

aritmética, determine os possíveis valores que n pode assumir.

Resolução:

10n

1n11n

2 ︶1n ︵︶2n ︵

!n!2

! ︶2n ︵!]2 ︶2n ︵[!2

! ︶2n ︵2

2n

Propriedade da cab2 ︶c,b,a ︵PA

︶2 ︶1n ︵︶2n ︵,1n,1 ︵PA

1nou0n0nn2n3n24n4

︶1n ︵︶2n ︵2 ︶1n ︵42

︶1n ︵︶2n ︵1 ︶1n ︵2

22

Resposta: n = 0 ou n = 1.

8) (UP 2013) No desenvolvimento de8

x2x

1

, calcule:

a) o termo independente de x.b) o termo médio.c) o termo em x2.

Resolução: p8p1

1p

ARRUMANDO

88

)x2()x(p

8T

x

1x2x2

x

1

p8p8p

1p x)2(xp

8

T

p8pp8

1p xx)2(p

8

T

p28p81p x)2(

p

8T

......................... ( 1 )

a) em (1), o termo independente de x ocorre para )1(4p0p28

1201T)16()70(Tx)2(

4

8T 514

0414

b) o termo médio no desenvolvimento do binômio8

x2x

1

é o termo que ocupa a posição

21)termosdeºn( , ou seja, 514 TTposiçãoª5

21)termos9(

.

Como o 5º termo já foi calculado no item (a) anterior, o termo médio é igual a 1120.

c) o termo em x2 será encontrado em ( 1 ) fazendo-se )1(3p2p28

2

4

2

13

23

13x448Tx)8()56(Tx)2(

3

8T

Respostas: a) 1 120. b) 1 120. c) – 448 x².




7

9) (UFES adaptada) Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de66

x

1x

x

1x

.

Resolução:6

2

266666

x

1x

x1

xx1

xx1

xx1

xx1

xx1

x

Analisando o binômio6

2

2

x

1x

, o qual possui 7 termos, e cujo termo geral é:

2

2pnp1p

x"x"

xa

6n

︶x ︵︶a ︵pn

T

p212p2p

1p

p62p2

1pxx)1(

p

6T)x()x(

p

6T

)1(........x)1(p

6T p412p

1p

Em (1): 20Tx)1(

3

6T 4

0313

. Resposta: – 20.

10) (UFMG adaptada) Sabendo que números binomiais complementares são iguais, utilize a identidade

abaixo.

p1n

pn

1pn

conhecida como Relação de Sti fel, onde I N ︶1p ︵,n e pn , para calcular o número inteiro “ m” que

satisfaz a equação

2009m2

2011

m22010

2010

1m2

2010

Resolução:

2009m22011

m220102010

1m22010

............................................. ( 1 )

Sabemos que o número binomial complementar de

m220102010

é calculado efetuando a operação abaixo:

x2010

m220102010

onde m2x2010x ︶m22010 ︵

Assim, o complementar de

m220102010

é

m22010

;

Como

m2

2010

m22010

2010, reescrevendo a equação ( 1 ), teremos:

2009m22011

m22010

1m22010

.............. ( 2 )

Aplicando, agora, a Relação de Stifel na equação ( 2 ):

2009m22011

m22010

1m22010

0051m20112009m2m2 ︶i mpossí vel ︵2009m2m2

2009m22011

m22011

Resposta: m = 1 005.

12 – 4p = 0

)1(3p




8

11) (UP 2013) Apresente algebricamente uma aproximação com duas casas decimais para a potência40 ︶001,1 ︵ .

Resolução:

Utilizando-se dos conhecimentos do desenvolvimento do binômio de Newton n)ax( , onde cada um dos

seus (n+1) termos é formado conforme expressão do termo geral abaixo:

40p|INp,)1(1000

1

p

40TT p40

p

11p

4040 ︶001,01 ︵︶001,1 ︵

41432140 TTTTT ︶001,01 ︵

1T ︶1 ︵

1000

10

40TT 1

0400

110

04,0T ︶1 ︵10001

140

TT 2140

1

211

001,0T00078,0T ︶1 ︵10001

240

TT 33240

2

312

0T100,1T ︶1 ︵10001

4040

TT 41120

414040

40

41140

Analisando sob o critério de aproximação com precisão de duas casas decimais podemos afirmar que:

041,1 ︶001,01 ︵

001,004,01 ︶001,01 ︵

TTT ︶001,01 ︵

TTTTT ︶001,01 ︵

40

40321

40LDESPREZÍ VE

41432140

Com o conhecimento do dígito da casa dos milésimos, podemos afirmar que: 04,1 ︶001,1 ︵ 40 .

Resposta: aproximadamente 1,04.




9

12) (IME–RJ) Calcule o valor de 10)02,1( , com dois algarismos significativos, empregando a expansão do

binômio de Newton .

Resolução:

1101010 ︶02,01 ︵︶02,01 ︵︶02,1 ︵

1101010210211010100 ︶1 ︵︶02,0 ︵10

10 ︶1 ︵︶02,0 ︵2

10 ︶1 ︵︶02,0 ︵1

10 ︶1 ︵︶02,0 ︵0

10

1 ︶000008 ︵120 ︶0004,0 ︵45 ︶02,0 ︵101

100096,10018,02,01

820,0...21896,1

1...21896,1 1

Resposta: aproximadamente 0,82.

13) (UFCE modificada) Determine o coeficiente de3

x no polinômio . ︶3x ︵︶1x ︵︶x ︵P 5

Resolução:

Analisando os 6 termos do binômio 5 ︶3x ︵ :

︶1 ︵.........x3p5

T p5p1p

Sabemos que existe um termo em 2x e um termo em 3x , assim, o termo em 3x do polinômio P(x) será

obtido através do produto de )1x( por )...xbx.a(... 32 :

Fazendo )1(em3p 35313 x335T 270ax270T 24

Fazendo )1(em2p

252

12 x325

T 90bx90T 33

O termo em 3x será: 33 bxax . 3x ︶ba ︵ .

Assim, o coeficiente de 3x vale 90270)ba( 180 .

Resposta: 180.




10

14) (Unicamp-SP) Considere o enunciado a seguir:

O símbolo p,nC é definido por!)pn(!p

!n

para pn com 1!0 . Estes números p,nC são inteiros e

aparecem como coeficientes no desenvolvimento de n)ba( .

a) Mostre que p,1np,n1p,n CCC .

b) Seja n,n2,n1,n0,n CCCCS . Calcule Slog2 .

Resolução:

a) Trata-se da demonstração da RELAÇÃO DE STIFEL:

!)p1n(!)1p(

!n

!])1p(n[!)1p(

!nC 1p,n ]!)pn(!)1p([)p1n(

!n

........ ( 1 )

!)pn(!p

!nC p,n ]!)pn(!)1p([p

!n

........ ( 2 )

Fazendo ( 1 ) + ( 2 ): p,n1p,n CC

]!)pn(!)1p([)p1n(

!n

]!)pn(!)1p([p!n

mmc:

!)pn(!)1p([)p1n(p

Efetuando-se o mmc:!)pn(!)1p([)p1n(p

)!n()1pn()!n(pCC p,n1p,n

Colocando !n em evidência no numerador:!)pn(!)1p([)p1n(p

])1pn(p[)!n(CC p,n1p,n

!)pn()p1n(!)1p(p!n)1n(CC p,n1p,n

Arrumando o denominador:!]p)1n([!p

!)1n(CC p,n1p,n

........ ( 3 )

Sabemos que:

!]p)1n([!p

!)1n(C p,1n

........ ( 4 )

Conclusão: ( 3 ) = ( 4 ) p,1np,n1p,n

CCC c.q.d.

b) Trata-se de uma propriedade específica da linha “n” do Triângulo de Pascal, onde sabemos que:

nn,n2,n1,n0,n 2CCCCS

Podendo se escrita na forma: n2n

n

2

n

1

n

0

nS




11

A demonstração dessa propriedade, utilizando o desenvolvimento de n)ba( é apresentado abaixo:

Sabendo-se que cada um dos (n + 1) termos de n)ba( é representado pela fórmula do termo geral a

seguir:

pnp1p ︶b ︵︶a ︵p

nT

nnn2n21n10n0n ︶b ︵︶a ︵n

n ︶b ︵︶a ︵2

n ︶b ︵︶a ︵1

n ︶b ︵︶a ︵0

n ︶ba ︵

Fazendo-se

1ba :

nnnn2n21n10n0 ︶11 ︵︶1 ︵︶1 ︵n

n ︶1 ︵︶1 ︵2

n ︶1 ︵︶1 ︵1

n ︶1 ︵︶1 ︵0

n

Assim:n2n

n2n

1n

0n

c.q.d.

Resolvendo o item “b” desta questão: n2S

Portanto, 2l ognSl og2l ogSl og 22n

22 nSl og 2

15) (UNIRIO-RJ) Calcule o valor de

n

n

1n

n

3

n

2

n

1

n

0

n, sendo “n” ímpar, e justifique

sua resposta.

Resolução:

Como “n” é ímpar, na linha “n” do triângulo de Pascal, teremos uma quantidade par de fatores, ou seja:

Como, na expressão dada, os números binomiais complementares apresentam sinais contrários, porterem módulos iguais anular-se-ão mutuamente.

Assim: 0nn

1nn

3n

2n

1n

0n

Resposta: Zero.




12

16) (UERJ-2006) Em uma barraca de frutas, as laranjas são arrumadas em camadas retangulares,

obedecendo à seguinte disposição: uma camada de duas laranjas encaixa-se sobre uma camada deseis; essa camada de seis encaixa-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme a ilustração aseguir.

Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do Triângulo de Pascal pode ser calculada pelafórmula

1p

1n

p

n

p

2p

p

1p

p

p , na qual n e p não números naturais, pn e

p

ncorresponde

ao número de combinações simples de n elementos tomados p a p. Com base nessas informações,calcule:

a) a soma

2

18

2

4

2

3

2

2 ;

b) o número total de laranjas que compõem 15 camadas.

Resolução:

a)

9692

18

2

4

2

3

2

2

1.2.3

17.18.19

2

18

2

4

2

3

2

2

)!16(1.2.3

)!16.(17.18.19

2

18

2

4

2

3

2

2

!16!3

!19

2

18

2

4

2

3

2

2

319

218

24

23

22

12118

218

222

212

22

b)Sendo “S” a soma das laranjas presentes nas 15 camadas:

1615433221S

Dividindo-se ambos os membros por 2 ...

!14!3

!17

2S

317

2

S

216

24

23

22

2S

2

1615

2

43

2

32

2

21

2

S2

1615433221

2S

3601S680

2

S laranjas.

Respostas: a) 969. b) 1.360 laranjas.




13

17) Qual o coeficiente de x3 na expansão multinomial de

102

3 x

x

11

?

Resolução: 10321023 xx1xx1

p10p321p 1xx

p

10T p32

1p xx

p

10T

kp2k31k

p32 xxkp

Txx kp2k31p xx

kp

p10

T

kp2k3

1p xxkp

p10

T k5p21p x

kp

p10

T

Sabemos que 10pk : 3k5p22

3k5p

35

314 x840Tx1

44

10T4p1k

310

319 x840Tx3

99

10T9p3k

O coeficiente de 3x será obtido da operação 333105 x1680x840x840TT

Outra maneira muito mais rápida será utilizando o Polinômio de Leibniz:

p321 a

pa3

a2

a1

p321

np321 xxxx

!a!a!a!a

!nxxxx

Onde naaaa p321

c2b3a1023 xx1!c!b!a

!10xx1 c2b3a xx1

!c!b!a

!10

b3c2a10

2

3 x1

!c!b!a

!10x

x

11

Sabemos que:

3b3c210cba

No universo dos números naturais:

1a6c3b6a3c1b

Assim, o coeficiente de 3x será obtido na operação

!61231

!6789102

!6!3!1

!102

!6!3!1

!10

!3!1!6

!10;

3

78910

!6!3!1

!10

!3!1!6

!10 1680

!6!3!1

!10

!3!1!6

!10

Resposta: 1680.




14

18) (ITA–SP adaptada) Qual é o coeficiente de 17x no desenvolvimento de 2075 xx1 ?

Resolução utilizando o Polinômio de Leibniz:

p321 a

pa3

a2

a1

p321

np321 xxxx

!a!a!a!a

!nxxxx

c7b5a2075 xx1!c!b!a

!20xx1

c7b52075 x

!c!b!a

!20xx1

Sabemos que, no universo dos números naturais:7

17c0c717

5

c717b17c7b5

20cba

.

Assim: 1c2b17a

Consequentemente, o coeficiente de17x no desenvolvimento de 2075 xx1 será:

!1!2!17

!20

;

Logo,

2

181920

!1!2!17

!203420

!1!2!17

!20

Resposta: 3420.

19) Determine o termo independente de x em3

x

2x1

?

Utilizando o Polinômio de Leibniz:

p321 ap

a3

a2

a1

p321

np321 xxxx

!a!a!a!a

!nxxxx

c1ba313

x2x1!c!b!a

!3x2x1

x

2x1

cbc3

x2!c!b!a

!3

x2

x1

Sabemos que: c23acb0cb

3cba

No universo dos números naturais: 0c0b3a 1c1b1a

Assim, o termo independente de x em3

x2

x1

será:

13112x2!0!0!3

!3x2

!1!1!1

!3 000111

.

Resposta: 13.




15

20) Qual é o coeficiente de 532 wyx no desenvolvimento de 10uwzyx ?

Resolução:

Utilizando o Polinômio de Leibniz:

p321 a

pa3

a2

a1

p321

np321 xxxx

!a!a!a!a!nxxxx

O coeficiente do termo com 05032532 uwzyxwyx será:

!0!5!0!3!2

!10

Assim: 25207491012312678910

!0!5!0!3!2

!10

.

Resposta: 2520.

GABARITO – EXERCÍCIOS BÁSICOS

01 A 02 C 03 E 04 D 05 A

06 D 07 B 08 E 09 C 10 B

RESPOSTAS – DISCURSIVAS

1) n é múltiplo de 3.2) 6ª posição, segundo as potências decrescentes de x. 3) 96.4) a) n = 8. 4) b) 219 polígonos convexos. 5) A = 1022.6) n = 6.7) n = 0 ou n = 1. 8) a) 1 120. 8) b) 1 120. 8) c) – 448 x².9) – 20. 10) m = 1 005. 11) aproximadamente 1,04. 12) aproximadamente 0,82.

13) 180.14) a) vide resolução. 14) b) nSl og 2 .

15) Zero.16) a) 969. 16) b) 1.360 laranjas. 17) 1680.18) 3420.19) 13.20) 2520.

PROFESSOR MARCELO RENATO M. BAPTISTA

BINÔMIO DE NEWTON

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