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Agitação Mecânica

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1. INTRODUÇÃO

1.1 AGITAÇÃO MECÂNICA

Em muitas indústrias, a garantia de seus produtos está diretamente ligada ao sucesso dos seus processos de fabricação e produção. Quando um produto final ou intermediário depende de operações que envolvam MISTURA E AGITAÇÃO, torna-se fundamental a correta especificação destes equipamentos e/ou processos. As técnicas de AGITAÇÃO e MISTURA são utilizadas num grande número de operações físico-químicas presentes em todas as indústrias de transformação de materiais. Observamos a utilização das mesmas nas industriais: Química, Petroquímica, de Alimentos, Mineração, Farmacêutica, Cosméticos, de Tinta, Papel, etc. Estes procedimentos e práticas são tão difundidos que podemos afirmar que raramente a AGITAÇÃO E MISTURA estão ausentes dos processos industriais. Embora frequentemente confundidos, AGITAÇÃO e MISTURA não são sinônimos. Como acontece com as ideias comuns, estes dois termos são entendidos como sendo a mesma coisa. A palavra MISTURA deve ser aplicada às operações onde temos componentes com distribuição aleatória, operações estas que procuram apenas reduzir não uniformidades ou grandes gradientes de composição, propriedades ou temperatura. A MISTURA vista nestes termos, pode ser alcançada pela simples movimentação do material. A ação de misturar pode ser realizada de várias formas. Uma melhor compreensão, pode ser dada pelos seguintes exemplos:

• Rotação de um tambor que contenha areia, cimento, cascalho e água, por um

determinado tempo, como numa betoneira. • Transporte de dois gases diferentes por um mesmo conduto, objetivando sua

completa mistura.

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Nestes dois exemplos o produto final é dito MISTURADO, embora uma amostra dos gases seja mais homogênea que uma amostra de concreto. Já a AGITAÇÃO, é um modo muito particular de mistura. Este termo é usado para caracterizar uma movimentação de material líquido que esteja contido num recipiente qualquer. Um material homogêneo como, por exemplo, um tanque com água fria, pode ser agitado, mas não poderá ser misturado até que acrescentemos a ele outro material com características diferentes, tais como:

• Água quente • Óleo • Um material sólido ou ocorra a dispersão de um gás neste meio

Em resumo, MISTURA, é quando procuramos reduzir heterogeneidades entre fases, características físicas ou químicas. Já a AGITAÇÃO, quando queremos produzir movimento numa determinada fase, usualmente líquida. A agitação mecânica definida dentro dos conceitos anteriormente expostos pode ser encontrada em processos com uma, duas ou mesmo três fases distintas dos seus componentes. A natureza destas fases são aquelas definidas na Tabela I, a saber; sólida, líquida ou gasosa, salientando-se que de modo geral, nunca se utiliza a agitação mecânica nos processos onde a fase principal é um gás. As tabelas I e II agrupa os principais casos de agitação mecânica empregados, seus meios, as operações Físico-Químicas envolvidas, os tipos de impelidores recomendados e as relações ótimas entre o diâmetro do impelidor e o diâmetro do recipiente (vaso ou tanque). Embora tais tabelas não pretendam ser definitivas e categóricas, sua análise, mesmo que rápida dos diversos casos expostos permite a classificação do tipo de agitação indicada para os mais diversos problemas existentes.

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Os meios chamados miscíveis são em geral, a grande maioria dos casos encontrados quando da aplicação da agitação mecânica. Neles, os fenômenos da difusão são mais eficazes e facilmente obtidos. São eles caracterizados por operações hidrodinâmicas tais como, bombeamento, circulação de produtos e homogeneização. Ressalva-se, é claro, os casos onde os produtos a serem agitados forem de densidades ou viscosidades muito diferentes entre si. Nos meios imiscíveis, a agitação mecânica é caracterizada por operações tais como: dispersão de líquidos, obtenção de emulsões grosseiras e estáveis, etc. Nos meios onde temos sistemas bifásicos sólido/líquido, a agitação mecânica tem como principal variável, a velocidade de sedimentação das partículas da fase sólida, e serão exigidos níveis de agitação mais elevados, quanto maiores forem estas velocidades de sedimentação e suas concentrações na fase líquida. Nos meios líquido/gás, a principal operação hidrodinâmica desejada, é a de promover a dispersão da fase gasosa na fase líquida. Estas operações requerem elevado grau de turbulência e cisalhamento por parte do sistema de agitação. Em alguns casos, onde a mistura possui um alto grau de coalescência, o fenômeno da turbulência e cisalhamento pode ser predominante no sistema de agitação, chegando a atingir níveis extremamente poderosos e violentos, principalmente nos casos onde se deseja dispersão fina e estável de bolhas de gás num meio líquido.

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TABELA I PRINCIPAIS OPERAÇÕES FÍSICO-QUÍMICAS

ONDE OS FENÔMENOS DA AGITAÇÃO INTERVEM

NATUREZA DA OPERAÇÃO

OPERAÇÃO

HIDRODINÂMICA

FENÔMENO

FÍSICO-QUÍMICO

LÍQUIDOS MISCÍVEIS

Homogeneização Bombeamento Circulação

Transferência térmica

LÍQUIDOS IMISCÍVEIS

Dispersão líquido/líquido Emulsões estáveis

Reação em fase heterogênea Extração líquido/líquido Transferência térmica Emulsificação

LÍQUIDO/SÓLIDO

Iniciar suspensão Manter suspensão

Dissolução Cristalização Redução de tamanho de partícula Lavagem de partícula Floculação Transferência térmica

LÍQUIDO/GÁS

Dispersão de gás em líquido

Absorção de gases em líquidos Dispersão de gases em líquidos Lavagem de gases Transferência térmica

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TABELA II ESCOLHA DE IMPELIDORES

MEIO

TRATADO

OPERAÇÃO FÍSICO-QUÍMICA

APLICAÇÃO PARTICULAR

TIPO DE IMPELIDOR

D/T

LÍQ/LÍQ (MISCÍVEIS)

-Homogeneização -Circulação

-Homogeneização em concentração e temp. -Manter em movimento -Estocagem

-Impelidor tipo naval -Impelidor perfilado

-0,1~0,3 (salvo entrada lateral) -0,3~0,65

-Transferência térmica -Reação Química

-Aquecimento -Resfriamento

-Impelidor naval -Impelidor perfilado

-0,3~0,65 -0,2~0,65

LÍQ/LÍQ (IMISCÍVEIS)

-Dispersão -Reação química -Extração líq/líq -Lavagem

-Turbina radial tipo Flat Blade (FBT) -0,1~0,5

-Emulsificação -Pré-emulsificação -Emulsificação grosseira -Emulsificação estável


LÍQ/GÁS

-Dispersão -Reação química -Absorção de gases -Dispersão de gases -Lavagem de gases -Oxigenação/Aeração-Hidrogenação


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TABELA II ESCOLHA DE IMPELIDORES

Continuação

SÓL /

LÍQ

Fracas Concen-trações de sólido

-Iniciar e manter suspensào

-Manter suspensão -Estocagem -Cristalização -Transporte

-Impelidor naval -Impelidor pás planas inclinadas (PBT) -Impelidor perfilado

-0,3~0,65

-Dissolução -Impelidor naval -Impelidor PBT -Impelidor perfilado

-0,3~0,65

Altas Concen-trações (meios não Newtoniamos)

-Iniciar e manter suspensões

-Manter suspensão -Estocagem -Transporte

-Impelidor naval -Impelidor PBT -Impelidor perfilado

-0,4~0,6

-Dissoluções -Impelidor naval -Impelidor PBT -Impelidor perfilado

-0,3~0,65

-Dispersão -Incorporar sólidos em meios líquidos

-Impelidor denteados tipo Cowles

-0,3~0,60

1.2 – LIMITES DESTE TRABALHO Este trabalho abordará tão somente os sistemas onde há a AGITAÇÃO nos termos descritos anteriormente, em recipientes cilíndricos verticais, e possuindo como meio de movimentação do fluído nele contido, impelidores fixados a eixos verticais. Embora não sendo abordados, a AGITAÇÃO E MISTURA de fluídos através de sistemas diferentes anteriormente citados, podemos encontrar em literatura especializada, um número de equipamentos destinados a produzir estes efeitos, todos com concepção hidrodinâmica e mecânica diferentes do proposto neste trabalho. Apenas para efeito de conhecimento, apresentamos a seguir alguns destes equipamentos considerados neste trabalho, “não convencionais”, todos eles utilizados em situações bem específicas de processos, que apesar de não se enquadrarem nos nossos propósitos, merecem o conhecimento de suas aplicações:

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• Misturadores de Braços Duplos (Sigma), para massas extremamente viscosas e pesadas (Fig. 1.1)

• Misturadores Estáticos, para meios líquidos (Fig. 1.2)

• Misturadores Planetários, para pastas, tintas, cosméticos, etc. (Fig. 1.3)

• Misturadores com impelidores tipo âncora e cowles, para fluídos viscosos e

incorporação de sólidos em meios viscosos. (Fig. 1.4)

• Misturadores do tipo Parafuso Vertical (Fig. 1.5)

• Agitação de meios líquidos através de bicos ejetores, bocais injetores, etc. (Fig. 1.6)

• Misturadores tipo “V”, para homogeneização e mistura de material particulado seco, ou empolpado, ou mesmo incorporação de pequenas quantidades de líquidos em sólidos particulado (Fig. 1.7)

• Misturadores do tipo “Duplo Cone”, com a mesma função anterior (Fig. 1.8).

• Misturador de fitas Ribbon Blender (Fig. 1.9 e 1.10)

• Estrusores de parafusos geminados (Fig. 1.11)

• Misturador tipo Bambury (Fig. 1.12)

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EQUIPAMENTOS NÃO CONVENCIONAIS DE AGITAÇÃO E MISTURA

Fig.1 – Misturador de Braços Duplos (Sigma)

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Fig. 2 – Misturador Estático

EQUIPAMENTOS NÃO CONVENCIONAIS

DE AGITAÇÃO E MISTURA

Fig. 3 – Misturador Planetário com Tanque Removível

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Fig. 1.4 – Misturador com impelidor tipo âncora e cowles

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Fig. 1.5 – Misturador tipo Parafuso Vertical

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Fig. 1.6

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Fig. 1.7 – Misturador tipo “V”

Fig. 1.8 – Misturador tipo Duplo Cone (com chicanas)

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Fig. 1.10 – Misturador de Fitas Horizontal (Ribbon Blender)

Fig. 1.11 – Misturador de Fitas Vertical (Ribbon Blender)

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2 – CONCEITUAÇÃO PRELIMINAR \ DEFINIÇÕES

2.1 – TERMINOLOGIA, NOMENCLATURA E SIMBOLOGIA [1] Procurou-se neste trabalho, adotar tanto quanto possível, as recomendações do “Grupo de Agitação de Fluídos” do The Institution of Chemical Engineers, instituto norte americano que procura recomendar termos padronizados e simbologia para os processos de Agitação em que no mínimo uma das fases seja um líquido. A adoção destas recomendações tem como objetivo reduzir as falhas de interpretações encontradas em literatura e nas indústrias que empregam processos de agitação. Esta lista não é definitiva e não pretende cobrir os métodos especializados tais como: os ultra-sônicos, mistura de pós, etc. Objetiva-se desta forma cobrir as mais comuns situações nos processos de agitação. A terminologia relativa à Reologia, parte da Física que estuda o comportamento mecânico e as propriedades dos corpos que não são sólidos nem líquidos, também não será coberta nesta parte do trabalho, devendo ser definida à medida que for necessária.

2.1.1 – TERMOS GERAIS Agitação laminar - redução de escala de segregação ou espessura de estratificação (veja abaixo) por deformação de fluxo laminar (cortagem, dobramento, amassamento, cisalhamento e estiramento) sem turbulência ou movimento aleatório. Agitação turbulenta – redução de escala de segregação através de movimento turbulento. Micro-agitação – agitação em pequena escala por difusão molecular. Macro-agitação – agitação em grande escala por movimento laminar ou turbulento. Espessura de estratificação – distância média entre interfaces adjacentes de materiais a serem misturados por mecanismos laminares.

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Blending – agitação de líquidos miscíveis (de diferentes densidades, viscosidades, etc.) Dispersão – Uma fase imiscível (gás, líquida ou sólida) distribuída em todo o fluído em forma de pequenas bolhas, gotículas ou partículas. Suspensão ou polpa – a dispersão em líquido, de partículas que podem ou não sedimentar na ausência de agitação ou fluxo. Pasta – uma dispersão não Newtoniana, de partículas sólidas em alta concentração em líquidos. Emulsão instável – uma dispersão de bolhas de gás em líquidos, que podem separar-se na ausência de agitação ou geração de bolhas. Emulsão estável – uma dispersão de bolhas de gás em líquidos com uma alta fração de gás, que permanece estável por um longo período mesmo na ausência de agitação ou geração de bolhas. 2.1.2 – GEOMETRIA Agitador – um elemento rotatório de agitação em um recipiente (normalmente montado em um eixo vertical centrado). Âncora – um agitador com lâminas verticais contornando o formato do vaso, com folga pequena entre elas e a parede deste vaso Agitador inclinado – agitador com o eixo inclinado em relação ao eixo do recipiente. Defletor – chapa vertical montada no recipiente para prevenir a formação de vórtices.

Calandra – máquina para mistura entre rolos Turbina tipo disco – turbina com lâminas (retas, inclinadas, etc.) montadas em torno de um disco horizontal, projetando-se acima e abaixo deste disco.

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Dispersor – disco rotativo de alta rotação, normalmente em formato de serra, utilizado para a dispersão de pós ou formação de emulsões. Draft tube – tubo vertical, D < Diâm. Tubo > T, montado concentricamente com o agitador, para promover circulação. Emulsificador – dispositivo de alta energia, que utiliza a energia do fluxo para criar finas dispersões. Extrusor – um ou mais parafusos rotativos, operando com pequena folga entre eles e as paredes. Bombeia e mistura por cisalhamento laminar. Flat blade turbine – impelidores com lâminas verticais retas. Fitas helicoidas (Helical ribbon) – fitas helicóidas montadas em eixo que pode ser vertical ou horizontal, para produzir fluxo próximo das paredes do vaso. Pode ter um segundo conjunto de fitas para fluxo oposto próximo ao eixo central. Parafusos helicoidais – semelhante a um transportador de rosca montado em um eixo vertical centralizado, frequentemente utilizado com draft tube. Impelidor de alto cisalhamento – impelidor de fluxo radial envolvido por um estator com uma folga muito pequena entre eles, produzindo um alto efeito cisalhante. Bambury mixer – misturador com um ou dois rotores e folga muito pequenas entre eles e a câmara de trabalho, produzindo alto efeito cisalhante para misturar pastas. Misturador estático – dispositivo sem elementos girantes, incorporados em tubulações. Jet mixer – dispositivo montado em tanques, composto de distribuidor central e vários ejetores de gás ou líquidos, para promover agitação turbulenta.

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Pitched blade turbine (impelidor de pás retas inclinadas) – impelidor com lâminas em ângulo com a vertical. Propeller (impelidor naval) – impelidor com formato de pás navais, produzindo fluxo predominantemente axial.

2.1.2.1 – NOMENCLATURA

Símbolo Descrição Unidade Dimensão A Área m2 L2

B Largura do defletor m L c Folga entre impelidor e a parede do vaso m L cB Folga entre defletor e a parede do vaso m L D Diâmetro do impelidor m L DC Diâmetro da bobina m L DSH Diâmetro do eixo m L Z Altura do líquido a partir do fundo do tanque m L H Altura total do tanque ou vaso m L LSH Comprimento do eixo m L L Comprimento da pá do impelidor (⊥ ao eixo) m L n. Número de impelidores - nb Número de pás do impelidor - p Passo de rosca, fita ou impelidor m L T Diâmetro do vaso/tanque m L VL Volume de líquido no vaso tanque m3 L3 V Volume total do tanque/vaso m3 L3 W largura da pá do impelidor (paralela ao eixo) m L α Ângulo da pá do impelidor em relação à vertical graus

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2.1.3 – PROPRIEDADES DOS FLUÍDOS


Símbolo Descrição Unidade Dimensão μ Viscosidade dinâmica M/LT (FT/L2) μa Viscosidade aparente M/LT (FT/L2) ν Viscosidade cinemática L2/T ρ Densidade M/L3 (F/L3) ρM Densidade da mistura M/L3 (F/L3) τy Tensão de escoamento N/m2 M/LT2 (F/L2) Ď Difusibilidade molecular m2/s L2/T Ď H Difusibilidade térmica L3/T λ Temperatura k ou λ Condutividade térmica

2.1.4 – DINÂMICA Aglomeração – união de várias partículas (forte o suficiente para se permitir movimentação manual).

Agregação – união de várias partículas por forças relativamente fracas. Coagulação – união de várias gotículas (ou seja, emulsão) por forças atrativas. Coalescência – união de várias gotículas ou pequenas bolhas para formação de outras maiores. Floculação – união de partículas suspensas em líquidos para formar estruturas flutuantes (flocos). Umectação – retirada de um gás ou vapor de uma superfície sólida, por um líquido. Tempo de circulação – intervalo de tempo entre sucessivas passagens de um elemento fluído por um tempo fixo.

Tempo de mistura – tempo consumido por misturador a partir de um estado inicial até um estado final previsto.

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Tempo de residência – tempo consumido por um elemento de fluído entre a sua entrada e a saída de um agitador, vaso, tanque, etc. 2.1.4.1 – NOMENCLATURA

Símbolo Descrição Unidade Dimensão C concentração kg/m3 M/L3

kgmole/m3 M3/m3 CD coeficiente de arraste - d diâmetro de partícula, bolha ou gotícula m L F força N ML/T2 ( F ) FD força de arraste (drag force) N ML/T2 ( F ) g aceleração da gravidade m/s2 L/T2 Mt torque Nm FL N rotação do agitador rpm NJS rotação do agitador apenas para suspender as partículas do fundo do tanque rpm NCH rotação do agitador para completa homogeneização da suspensão rpm NCD rotação do agitador para completa dispersão de gás no vaso rpm

Símbolo Descrição Unidade Dimensão P potência HP ML2/T3(FL/T) Q razão volumétrica de fluxo m3/s L3/T QP capacidade de bombeamento m3/s L3/T t tempo s T tc tempo de circulação s T tM tempo de mistura s T tR tempo de residência s T v velocidade linear m/s L3/T vS velocidade superficial m/s L3/T vT velocidade terminal de queda m/s L3/T τ Tensão de cisalhamento N/m2 M/LT2 (F/L2) σ Tensão normal de flexão N/m2 M/LT2 (F/L2) ω Velocidade angular rad/s

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2.1.5 – ESTATÍSTICA E MEDIÇÕES NA AGITAÇÃO Intensidade de segregação – a medida da diferença em concentração entre partes de um mesmo componente em uma mistura. Espessura de estratificação – distância média entre interfaces adjacentes de materiais a serem misturados por mecanismos laminares.


Símbolo Descrição Unidade Dimensão IS Intensidade de segregação - Ls Escala de segregação m L S ou σ Desvio padrão - S2 ou σ2 Variância - δ Espessura de estratificação m L

2.1.7 – GRUPOS ADIMENSIONAIS

NAr

Número de Arquimedes ρ

ρ...

2

3

vgL Δ

NQ

Número de Bombeamento 3.DN

Q

NFr

Número de Froude Hg

voug

DN.

. 22

Ne

Número de Newton

Ver número potência

Nu

Número de Nusselt

kdh.

Npo

Número de Potência

53.. DNP

ρ

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NPr

Número de Prandt k

CP.μ

Nrey

Número de Reynolds μ

ρ.. 2DN

NSh

Número de Sherwood

Ď

we

Número de Weber GL

DN.

.. 32

σρ

2.1.8 – SUBSCRITOS E SOBRESCRITOS

Subscritos Sobrescritos

b. Bolhas — Valor médio B Aparente ~ Valor aproximado c. Contínuo • Equilíbrio C Circulação d. Fase dispersada f. Final g. Gasoso G Gás i. Inicial j. Interface L Líquido M Mistura o. Saída p. Partícula S Sólido T Total u. desgaseificado

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2.2 – DEFINIÇÃO DE FLUÍDO Um fluído é uma substância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento (i.e. tangencial) por menor que seja esta tensão. De acordo com os estados físicos da matéria, os fluídos compreendem as fases líquidas e gasosas (ou vapor). A distinção entre um fluído e os estados remanescentes da matéria (estado sólido) torna-se clara, se compararmos um fluído segundo a definição dada acima, com o comportamento de um sólido. Um sólido é uma substância que se deforma quando a tensão de cisalhamento é aplicada, mas que não se continua a se deformar. Na fig. 2.1, o comportamento de um sólido e o de um fluído é contrastado. Na fig. 2.1a, a força de cisalhamento é aplicada no sólido através das placas as quais ele foi ligado. Quando a força de cisalhamento é aplicada ele se deforma conforme mostrado, e desde que o limite elástico do sólido não seja excedido, a deformação é diretamente proporcional à tensão de cisalhamento τ aplicada, onde τ =F/A, F é a força aplicada e A a área da superfície em contato com a placa. Cessada a tensão de cisalhamento, o corpo volta a apresentar seu aspecto original. Analogamente se entre as placas tivermos um fluído, observemos o comportamento deste fluído. Usamos um marcador à base de corante para delinear um elemento de fluído conforme mostram as linhas sólidas (fig. 2.1.b). Sob a aplicação da força F à placa superior, notamos que o elemento de fluído continua a se deformar durante todo o tempo que a força é aplicada. O formato do elemento de fluído, a instantes sucessivos de tempo t2 > t1 > t0, é mostrado através das linhas tracejadas da fig. 2.1.b, a qual representa as posições dos marcadores de corante. Notar que o fluído em contato direto com o contorno sólido possui a mesma velocidade que o próprio contorno. Como o movimento do fluído continua sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento, podemos alternativamente, definir um fluído como sendo uma substância que não pode suster uma tensão de cisalhamento sem sofrer deformação permanente, mesmo em repouso.

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Fig. 2.1 – Comportamento de (a) sólido e (b) fluído, ambos sob ação de uma força de cisalhamento constante.

2.3 – VISCOSIDADE Podemos definir a viscosidade de um fluído como sendo a propriedade em virtude da qual os mesmos oferecem uma maior ou menor resistência à deformação, quando sujeitos a esforços de escorregamento, ou, viscosidade é a resistência de um fluído ao movimento, devido a seu atrito interno. Utilizando o modelo de Isac Newton, quem primeiro definiu a viscosidade. Imaginemos duas lâminas (dois planos) paralelas (Fig. 2.2) muito próximas uma da outra, entre as quais se encontra um fluído qualquer.

Fig. 2.2 – Modelo Newtoniano para definição de viscosidade

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As duas lâminas se movem na mesma direção, com velocidades diferentes, V1 e V2. Decorrido um tempo t, a distribuição de velocidades na distância dy, será linear, conforme indicada na Fig. 2.3.

Fig. 2.3 – Distribuição de velocidades

Experimentos mostram que o gradiente de velocidades, dv/dx, é diretamente proporcional à força por unidade de área, F/A=μ (dv/dx), onde μ é a viscosidade, uma constante para um dado fluído. O gradiente de velocidades, dv/dx, representa o cisalhamento a que foi submetida às camadas de fluído entre as placas, devido ao movimento relativo das mesmas. Este gradiente de velocidade é chamada de “razão ou taxa de deformação” S. Também a força por unidade de área, F/A, pode ser simplificada e denominada de “força de cisalhamento” ou mais apropriadamente “tensão de cisalhamento” τ. Com esta simplificação podemos definir a viscosidade como τ/ S (tensão de cisalhamento / taxa de deformação).

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2.4 – VISCOSIDADE FLUÍDO NEWTONIANO [3] Os chamados Fluídos Newtonianos são aqueles em que existe uma proporcionalidade direta entre a tensão de cisalhamento, τ e a deformação existente, S, ou seja, a viscosidade de um fluído a uma dada temperatura independe da velocidade de deformação dv/dx (velocidade, agitação ou cisalhamento). A fig. 2.4 mostra as relações entre a tensão de cisalhamento, τ e a viscosidade μ para um fluído newtoniano. Em 2.4 b a viscosidade permanece constante mesmo aumentando a velocidade de deformação. Em 2.4a, observa-se a proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento τ, e a taxa de deformação S. Água, óleos leves, gasolina, etc., são bons exemplos de fluídos newtonianos.

Fig. 2.4 – Fluído Newtoniano 2.5 – VISCOSIDADE – FLUÍDO NÃO NEWTONIANO Os chamados fluídos não Newtonianos são aqueles em que a viscosidade a uma dada temperatura é dependente da “razão de deformação”, podendo crescer ou decrescer, dependendo do tipo de fluído.

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Os fluídos não Newtonianos podem ser classificados como:

• Independentes do tempo • Dependentes do tempo • Viscoelásticos 2.5.1 – FLUÍDOS NÃO NEWTONIANOS INDEPENDENTES DO TEMPO Um fluído não Newtoniano é independente do tempo se a tensão de cisalhamento a qualquer taxa de deformação, permanece constante em relação ao tempo, ou seja, as propriedades do fluído dependem da magnitude das tensões de cisalhamento e não do seu tempo de duração.

2.5.1.1 – PSEUDO PLÁSTICOS A viscosidade diminui com o aumento da taxa de deformação. Este comportamento é geralmente restrito a certa faixa de razão de deformação. Em faixas mais altas ou mais baixas de deformação o fluxo poderá adquirir comportamento Newtoniano. Exemplos podem ser encontrados em soluções de polímeros, polímeros semi-fluídos, suspensões de polpa de papel ou de pigmentos e algumas graxas (Fig.2.5).

Fig. 2.5 – Fluídos não Newtonianos – Pseudo Plásticos

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2.5.1.2- FLUÍDOS DILATANTES A viscosidade aumenta com o aumento da taxa de deformação. Exemplos de materiais dilatantes são as suspensões de goma de amido, certas polpas de argila, alguns compostos de confeitaria, etc. (Fig.2.5).

Fig. 2.6 – Fluídos não Newtonianos Dilatantes

2.5.1.3- PLÁSTICOS DE BINGHAN Estes fluídos possuem uma tensão de escoamento definida e uma tensão menor onde não ocorre nenhum fluxo (igual aos sólidos). Certa força deve ser aplicada para produzir o movimento.

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Exemplos de fluídos que exibem o comportamento de plástico de Bingham são: certas suspensões de rocha em água, de grãos em água, ketchup, lodo, esgoto, etc.

Fig. 2.7 – Fluídos não Newtonianos – Plásticos de Binghan

2.5.2 – FLUÍDOS NÃO NEWTONIANOS DEPENDENTES DO TEMPO

Um fluído não Newtoniano é chamado de dependente do tempo, se a sua tensão de cisalhamento varia com a duração da deformação, ou seja, a viscosidade em qualquer tempo depende da quantidade de uma previa agitação ou deformação do líquido.

2.5.2.1 – TIXOTRÓPICOS São chamados de tixotrópicos os fluídos onde a viscosidade diminui com o tempo a uma dada taxa de deformação, exemplos deles são:

• Asfalto • Maionene • Certas tintas e vernizes • Colas • Melaço • Lamas para sondagem e perfuração

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2.5.2.2 – REOPÉTICOS Os fluídos onde a viscosidade aumenta com o tempo a uma dada taxa de deformação, são chamados de reopéticos. Exemplos:

• Suspensões de gesso em água

2.5.3 – FLUÍDOS NÃO NEWTONIANOs VISCOELÁSTICOS Estes fluídos exibem uma recuperação elástica das deformações durante o escoamento, podendo mesmo ser dito que os mesmos apresentam características dos sólidos. No escoamento deste tipo de fluído, aparecem além das tensões tangenciais usuais, tensões normais à direção do fluxo.

2.6 – ESCOAMENTOS A observação do movimento dos fluídos mostra a existência de dois regimes de escoamento que apresentam características notadamente diversas. Estes regimes de escoamentos foram denominados de Regime Laminar e Regime Turbulento. No comportamento das partículas do fluído em escoamento, residem as diferenças que caracterizam um regime do outro. No regime laminar, as partículas de fluído apresentam trajetórias individuais bem nítidas, dando a impressão de imobilidade no meio da massa fluída, impressão essa, resultante do deslocamento das partículas em camadas ou lâminas que acompanham os contornos fixos que delimitam a corrente de fluxo. No regime laminar, as flutuações de velocidade provocadas por obstáculos na corrente, tendem a se amortecer devido ao efeito das tensões tangenciais adicionais oriundas da própria viscosidade do fluído, podendo inclusive voltar a sua forma laminar original. Na maioria dos casos, entretanto, as tensões tangenciais adicionais criadas pela desordenação da corrente não são suficientes para evitar as flutuações de velocidade, provocando assim um escoamento turbulento.

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No regime turbulento a estrutura do escoamento é caracterizada pelo movimento tridimensional aleatório das partículas de fluído, sobrepondo-se ao movimento da corrente. A experiência idealizada por Osborne Reynolds (engenheiro britânico, 1880, quem primeiro estudou o comportamento de escoamentos em tubulações), permite visualizar com facilidade a estrutura do escoamento laminar e turbulento (Fig. 2.8). Todo o conjunto é feito de material transparente tipo plexiglass ou acrílico. Deixando-se a válvula externa de saída, levemente aberta, forma-se um filamento retilíneo de corante que passa pelo tubo interno ao tanque, sem sofrer perturbações, (fig. 2.8a) caracterizando o movimento laminar. Aumentando-se a velocidade do escoamento através de uma abertura gradativa da válvula, atinge-se um ponto tal que o filamento, antes estável, começa a sofrer perturbações (fig. 2.8.b e 2.8.c), para seguir e difundir-se com rapidez por toda a massa fluída em consequência do movimento das partículas que passa a ser desordenado. Esta maior ou menor estabilidade do escoamento, é definida pelo parâmetro adimensional chamado de Número de Reynolds (Nrey).

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Fig. 2.8 – Experiência de Osborne Reynolds demonstrando o comportamento laminar e turbulento de um escoamento (a), regime laminar (b), regime transição/turbulento (c) e

regime francamente turbulento (d).

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2.7 – TURBULÊNCIA Num sistema mecanicamente agitado, o tipo de escoamento que nele ocorre depende de uma série de fatores inerentes a esse mesmo sistema. De qualquer modo, podemos estabelecer que o tipo de escoamento que ocorrerá é função das características do fluído, bem como da geometria do impelidor e sua velocidade de movimentação dentro do fluído. Do ponto de vista hidrodinâmico, uma pá de impelidor em movimento de rotação dentro de um meio líquido, pode ser considerada como sendo uma pá fixa dentro de um escoamento, onde a velocidade deste escoamento é igual a velocidade linear da pá. Esta pá se comportará como um obstáculo no escoamento, e a turbulência provocada dependerá entre outras coisas, da geometria da mesma e do Número de Reynolds do escoamento.

Para melhor compreender o fenômeno da turbulência e suas implicações na agitação mecânica, será necessário recapitular o conceito de camada limite e de escoamento viscoso ao redor de um cilindro. Em qualquer escoamento viscoso, o fluído em contato direto com uma superfície limite sólida, possuirá a mesma velocidade que a própria superfície, ou seja, não ocorrerá deslizamento de fluído nesta superfície. Como a velocidade do fluído numa superfície sólida estacionária em uma corrente fluída é nula, mas o fluído como um todo está se movendo, gradientes de velocidade, e consequentemente, tensões de cisalhamento, devem estar presentes no escoamento. Imaginemos uma placa lisa, fixa, no meio de um escoamento conforme indicado na Fig.2.9. Estamos interessados em fornecer uma imagem em vários locais ao longo da placa.

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Fig. 2.9 – Escoamento laminar, viscoso e incompressível sobre uma placa fina

Adotemos do eixo X, os pontos x1 e x2 para estudo do perfil de velocidades do fluído. Considere-se o primeiro x1 na condição de não deslizamento da placa. Sabe-se que a velocidade no ponto A é nula, e assim, temos um ponto do perfil de velocidades. Sendo a placa estacionária, ela exerce, portanto, uma força retardante no escoamento que desacelera o fluído na sua vizinhaça. Em uma posição no eixo Y qualquer, suficientemente distante da placa, digamos em B, o escoamento não será mais influenciado pela presença da mesma. A velocidade neste ponto B será denominada de V. Desta forma podemos imaginar que a velocidade desde o ponto A até B, aumente suavemente, nos dando o perfil de velocidade semelhante ao da Fig. 2.9 em x1 Das características do perfil de velocidades traçado, e a nossa definição de tensão de cisalhamento, podemos ver que na região entre 0 ≤ Y ≤ YB, as tensões de cisalhamento se fazem presentes, e para Y ≥ YB o gradiente de velocidades é nulo, e, portanto não existem tensões de cisalhamento presentes. Desta forma, é possível observar que o escoamento pode ser dividido em duas regiões principais. Uma, a região adjacente à superfície limite, onde as tensões cisalhantes se fazem

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presentes, sendo denominada de camada limite. A outra região fora da “camada limite”, onde o gradiente de velocidades é zero, e, portanto, sem tensões cisalhantes. Consideremos agora um escoamento incompressível e viscoso em redor de um cilindro, situação esta em que as forças viscosas estão presentes. (Fig. 2.10).

Fig. 2.10 – Escoamento viscoso sobre um cilindro

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Fig. 2.10ª - Ampliação do local onde ocorre a separação da camada limite. Na zona de separação ocorre turbulência que provoca o destacamento. Uma vista na fig. 2.10, indica que as linhas de fluxo são simétricas em relação ao eixo X. O fluído ao longo da linha de fluxo central atinge o cilindro no ponto A, divide-se, e escoa ao redor do cilindro. O ponto A no cilindro é chamado de ponto de estagnação. Como acontece no escoamento sobre uma placa fina, uma camada limite desenvolve-se na vizinhança da superfície sólida. A velocidade ao redor do cilindro aumenta até atingir um máximo no ponto B, com consequente decréscimo da pressão. Um elemento de fluído dentro da camada limite sofre uma força de pressão resultante na direção do escoamento. Na região entre A e B, esta força de pressão resultante é suficiente para vencer a força de cisalhamento oponente, e o movimento do elemento na direção do escoamento é mantido. Analisemos um elemento de fluído dentro da camada limite, no lado de trás do cilindro, além do ponto B. Como a pressão aumenta no sentido do escoamento, o elemento de fluído sofre uma força de pressão resultante, oposta ao seu sentido de movimento. Em certo ponto ao redor do cilindro, o momentum (quantidade de movimento) do fluído na camada limite, não é mais suficiente para carregar o elemento na região de pressão crescente, e o escoamento separar-se-á da superfície do cilindro. O ponto na qual isto acontece, é chamado de ponto de separação, na figura 2.10 indicada por C. O destacamento da camada limite pode ser mais bem exemplificado na fig. 2.10ª. A separação da camada limite resulta na formação de uma região de relativa baixa pressão atrás do cilindro, a qual chamamos de esteira. Assim, para o escoamento separado sobre o cilindro, haverá um desequilíbrio resultante das forças de pressão no sentido do escoamento, tendo como consequência uma força de arrasto, FD, sobre o corpo. Quanto maior a esteira atrás do corpo, tanto maior será a força de arrasto. Podemos adaptar as formas do corpo às linhas de fluxo, reduzindo-se a magnitude do gradiente de pressão desfavorável, distribuindo uma dada elevação de pressão sobre uma distância maior. A Fig. 2.11 mostra a adaptação do corpo às linhas de fluxo do escoamento. Esta adaptação procura atrasar o desenrolar da separação da camada limite, reduzindo-se, portanto o arrasto.

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Fig.2.11 - Escoamento sobre um objeto cuja forma foi moldada de acordo com as linhas de fluxo

Trazendo estes dois conceitos anteriormente expostos para o comportamento de um sistema mecanicamente agitado por um impelidor, podemos agora ver com clareza a influência da geometria de um impelidor sobre este mesmo sistema. Na Fig. 2.12 e 2.13, temos representado o escoamento que ocorre ao redor de uma pá, à medida que alteramos o ângulo de inclinação da mesma em relação à corrente fluída. Observar que mesmo pá com perfil aerodinâmico, provoca turbulência se inclinada em relação ao fluxo. Desta forma, e desde que as necessidades de processo permitam, podemos otimizar a geometria dos impelidores de modo a evitar o destacamento antecipado da camada limite, evitando com isto uma turbulência excessiva, que como veremos no desenvolver deste trabalho, é uma das principais causas de uma maior absorção de potência nos sistemas agitados.

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2.12 – Arrasto sobre uma pá reta de um impelidor em uma corrente fluída

com vários ângulos de ataque.

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Fig. 2.13 – Arrasto sobre pá de um impelidor hidrofoil em corrente fluída

2.8 – CAVITAÇÃO A cavitação definida de maneira prática é a formação e colapso de bolhas de vapor num líquido em escoamento. Estas bolhas se formam em qualquer ponto da corrente líquida onde a pressão total seja reduzida e iguale a pressão de vapor a temperatura do líquido Em zona de baixa pressão as bolhas podem ser produzidas por um acréscimo local na velocidade da corrente fluída, que no caso de agitadores mecânicos, pode ser a parte mais externa das pás dos impelidores, mais precisamente a sua borda de ataque, que possuem uma maior velocidade periférica. Uma vez formadas, quando as bolhas atingem uma região onde a pressão for novamente superior a pressão de vapor do líquido (a temperatura do mesmo), haverá o colapso das mesmas, com o seu retorno a fase líquida. Sendo o volume específico do líquido menor que o volume específico do vapor, o colapso das bolhas implicará na existência de um vazio, que por sua vez produzirá uma onda de choque (microjato) conforme ilustrado na figura 2.14.

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Fig. 2.14 – Colapso de bolhas em situações diferentes na corrente fluída

responsaveis pela cavitação Na realidade, conforme pode ser observado na Fig. 2.14, o que ocorre é a penetração de líquido na depressão originada pela deformação da bolha, produzindo um microjato na ocasião do colapso. O efeito deste colapso torna-se mais severo quando ocorre em local próximo a uma superfície sólida metálica. Neste caso o microjato incide diretamente sobre a superfície. Quando o colapso se dá na corrente líquida o impacto é transmitido através de ondas de choque. Os principais inconvenientes da cavitação são: ruídos, vibrações e extensa erosão ou desgaste dos materiais que limitam o líquido na região do colapso. Pás de impelidores que operam em condições que permitam a cavitação, principalmente, perdem eficiência de bombeamento e provocam desbalanceamento devido a perda localizada de material (Fig. 2.15).

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Fig. 2.15 – Combinação erosão cavitação em pá de impelidor

Salienta-se que a deterioração do material devido à cavitação nada tem a ver com os desgastes provenientes de erosão ou corrosão, dois fenômenos muito comuns aos processos da indústria de mineração e química. A erosão decorre da ação de partículas sólidas em suspensão sendo deslocadas em velocidade, e a corrosão decorre de incompatibilidade do material com o líquido, propiciando reação química destrutiva. É possível a coexistência dos fenômenos da cavitação, erosão e corrosão em um determinado sistema, acelerando o processo de deterioração dos materiais.

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2.9 – DINÂMICA DE PARTÍCULAS Sempre que houver movimento relativo entre uma partícula e um fluído circundante, esta partícula experimenta a ação de uma força resultante F, devido à ação do fluído. A natureza das forças que contribuem para a resultante F são:

Força de cisalhamento Fcis = τ.A

Força de Pressão Fpres = P.A Podemos decompor esta resultante F em duas componentes, sendo uma paralela, FD (Força de Arraste) e outra, FL ( Força de Ascensão ), perpendicular a direção do movimento, conforme indicado na Fig. 2. 16.

Fig. 2.16 – Forças atuantes numa partícula em movimento num fluído

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Considerando-se uma esfera polida, com diâmetro “d”, movendo-se com velocidade “V”, através de um fluído viscoso e incompressível que possui uma densidade ρ e viscosidade μ·. A força de arraste, FD que é a componente em que estamos interessados, pode ser expressa como forma da seguinte função:

),,,( μρVdfFD = Aplicando o método da análise dimensional, através do Teorema de Buckingham PI, teremos: I – LISTAR OS PARÂMETROS ENVOLVIDOS, n Fd , V , d , μ , ρ portanto n=5 parâmetros II – SELECIONAR CONJUNTO DE DIMENSÒES FUNDAMENTAIS Inicialmente utilizaremos o Sistema Absoluto (SI), com as dimensões fundamentais de M, L, T (massa, comprimento e tempo), com posterior verificação através do Sistema Gravitacional com as dimensões F, L, T, ( força, comprimento e tempo ).

Quantidade

Simbologia Sistema Absoluto

MLT Sistema

Gravitacional FLT

Força de Arrasto M L T–2 Velocidade da partícula V L T-1 Diâmetro da partícula D L Viscosidade μ F L-2 T Densidade ρ F L-4 T2

TABELA I – Fórmulas Dimensionais

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III – LISTAR AS DIMENSÒES DOS PARÂMETROS EM TERMOS DE DIMENSÒES PRIMÁRIAS. , “r”. O número de dimensões será designado por “r”, sendo r = 3, conforme Tabela II

V d μ ρ

M 1 0 0 1 1 L 1 1 1 -1 -3 T -2 -1 0 -1 0

TABELA II

IV – SELECIONAR DA LISTA DE PARÂMETROS UM NÚMERO DE PARÂMETROS REPETITIVOS IGUAL AO NÚMERO DE PRIMÁRIOS “r” m = r = 3 parâmetros repetitivos, sendo eles:

ρ (M L-3) V (L1 T-1) D (L)

V – FORMULAR EQUAÇÕES DIMENSIONAIS, COMBINANDO OS PARÂMETROS SELECIONADOS COMO REPETITIVOS, COM CADA UM DOS PARÂMETROS RESTANTES, DE MODO A FORMAR GRUPOS ADIMENSIONAIS Sendo que n-m = 5 – 3 = 2 (teremos dois grupos adimensionais resultantes ) Portanto Π1(FD) será: Π1(FD) = ρα1. Dα2. Vα3. FD

1 Π1(FD) = (M L-3) α1. (L) α2. (L.T-1) α3. (M L T-2)1

Π1(FD) = (Mα1 L-3α1). (L α2) (Lα3. T-1α3). (M L T-2)

Π1(FD) = (Mα1+1). (L-3α1+α2+α3+1). (. T-α3-2)

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α1+1=0 -3α1+α2+α3+1=0 -α3-2=0

Resolvendo o sistema de equações, temos que: α1= -1 ; α2=-2 ; α3=-2 Portanto: Π1(FD) = ρα1. Dα2. Vα3. FD

1

Π1(FD) = ρ-1. D-2. V-2. FD

1

22..1

VDFD

FD ρ=∏ [2.2]

Da mesma forma, Π2(μ) será dado por: Π2(μ) = ρβ1. Dβ2. Vβ3. μ1 Π2(μ) = (M L-3) β1. (L) β2. (L.T-1) β3. (M L-1 T-1)1

Π2(μ) = (Mβ1 L-3β1) . (L β2 ) (Lβ3.T-β3) . (M L-1 T-1)

Π2(μ) = (Mβ1+1). (L-3β1+β2+β3+1). (T-β3-1)

β1+1=0 -3β1+β2+β3-1=0 -β3-1=0

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Resolvendo: β1= -1 ; β2=-1 ; β3=-1 Portanto: Π2(μ) = ρβ1. Dβ2. Vβ3. μ1

Π2(μ) = ρ-1. D-1. V-1. μ1

DV ..2

ρμ

μ =∏

VI – CONFERIR AS EQUAÇÕES DOS GRUPOS, UTILIZANDO O SISTEMA GRAVITACIONAL BRITÂNICO, (F , L , T)

ρ (F1 L-4 T2) V (L1 T-1) D (L1)

Portanto Π1(FD) será: Π1(FD) = ρα1. Dα2. Vα3. FD

1 Π1(FD) = (F L-4 T2) α1. (L) α2. (L.T-1) α3. (F)1

Π1(FD) = (Fα1-4α1 T2α1). (L α2) (Lα3.T-1α3) . (F1)

Π1(FD) = (Fα1+1). (L-4α1+α2+α3). (T2α1-α3)

α1+1=0 -4α1+α2+α3=0 2α1-α3=0

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Resolvendo o sistema de equações, temos que: α1= -1 ; α2=-2 ; α3=-2 Portanto: Π1(FD) = ρα1. Dα2. Vα3. FD

1

Π1(FD) = ρ-1. D-2. V-2. FD

1

22..1

VDFD

FD ρ=∏

Da mesma forma, Π2(μ) será dado por: Π2(μ) = ρβ1. Dβ2. Vβ3. μ1 Π2(μ) = (F L-4 T2) β1. (L) β2. (L.T-1) β3. (F L-2 T1)1

Π2(μ) = (Fβ1 L-4β1 T2β1). (L β2 ) (Lβ3.T-β3) . (F L-2 T1)

Π2(μ) = (Fβ1+1 ) . (L-4β1+β2+β3+2) . (.T2β1-β3+1)

β1+1=0 -4β1+β2+β3-2=0 2β1-β3+1=0

Resolvendo; β1= -1 ; β2=-1 ; β3=-1 Portanto: Π2(μ) = ρβ1. Dβ2. Vβ3. μ1

Π2(μ) = ρ-1. D-1. V-1. μ1

DV ..2

ρμ

μ =∏

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A relação expressa pela função é: Π1 =f (Π2) ou

)..

(.. 22 DV

fVD

FD

ρμ

ρ=

O primeiro grupo adimensional na equação [2.5], FD/(ρ.D2.V2), é chamado de Coeficiente de Resistência e é designado por CD. O segundo termo, μ / (ρ.V.D), é o Número de Reynolds da Partícula, NReyP. Ou seja, a equação [2.5] indica que o Coeficiente de Resistência CD, é função do Número de Reynolds da partícula , NReyP

( )PD yNfC Re= Fazendo o estudo da resistência de forma de uma esfera qualquer em um meio fluído, reconhecemos quatro tipos de regime de escoamento ao redor da mesma.

• Regime Laminar • Regime de Transição • Regime Turbulento • Regime Francamente Turbulento

Suponhamos um fluído qualquer escoando ao redor de uma esfera, conforme representado pela figura 2.17.

Fig. 2.17 – Escoamento ao redor de uma esfera

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Do ponto A aos pontos B e C, o fluído acelera, ganhando mais velocidade e consequentemente perda de pressão. Se o fluído fosse ideal, a passagem do mesmo dos pontos B e C para o ponto D, permitiria a recuperação integral da pressão inicial, e consequentemente os pontos A e D teriam a mesma pressão. Num caso real, haverá a separação da camada limite antes de ser atingido o ponto D e as turbulências que se formam daí para diante, dissiparão energia em forma de calor de atrito, impedindo a recuperação da pressão inicial. Desta forma teremos que, a pressão no ponto A será maior que a pressão no ponto B o que caracteriza o que se chama de Resistência de Forma ou Pressão, ou ainda Coeficiente de Arraste CD. A resistência de forma produzirá esteiras de turbulências à jusante do corpo, que será maior ou menor, conforme a forma geométrica do corpo. Quando analisamos a Resistência de Forma, convenciona-se classificá-las em: formas afiladas ou aerodinâmicas, formas rombudas arredondadas e formas rombudas a angulosas, conforme mostrado na figura Fig. 2.18. O escoamento livre em torno de objetos de forma afilada ou aerodinâmicas, permite o tratamento matemático para o fenômeno, que foi desenvolvido principalmente por D’Alembert, Lagrange e Euler.

Fig. 2.18 – Escoamento livre em torno de corpos afilados e rombudos

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De forma geral, o escoamento em torno de formas afiladas, produz esteira estreita, sendo a resistência de forma ou pressão muito pequena. Em condições normais não há separação da camada limite ou, se houver, acontecerá este destacamento longe do corpo. O escoamento livre em torno de formas rombudas produz deslocamento do fluxo, e a esteira formada é larga e turbulenta. Dentro da forma rombuda, temos as arredondadas e angulosas. E escoamentos livres em torno de objetos de forma rombuda arredondada, tais como esferas e cilindros, o deslocamento do fluxo depende muito das características do fluído, da camada limite e das dimensões do corpo, o que pode ser descrito como uma dependência do Número de Reynolds, da turbulência do fluxo e do estado da superfície deste corpo. O caso do cilindro em escoamento bidimensional apresenta características bem distintas de acordo com o Número de Reynolds (para a esfera o fenômeno é análogo), conforme nos indica a figura 2.19.

Fig. 2.19 – Escoamento em função do Número de Reynolds

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NRey < 2 Regime Laminar O fluxo tem a forma de escoamento teórico, laminar. Não ocorre formação de esteira, e as linhas de fluxo se fecham atrás da esfera. A resistência é predominantemente de atrito devido as forças viscosas. Este regime é chamado de Regime de Stokes.

2 < NRey < 40 Regime de Transição

Ocorre a separação da camada limite em ambos os lados da esfera, formando dois turbilhões simétricos de movimentos lentos. As linhas de fluxo se fecham com esteira de pequeno comprimento. Presença de forças viscosas mais o aparecimento de forças de pressão (forças de resistência).

40 < NRey < 2x105 Regime de Transição

Os turbilhões destacam-se de um modo alternado e periódico em ambos os lados. Os turbilhões ao se destacarem produzem uma força lateral periódica e um turbilhonamento muito grande na esteira, caracterizado por uma grande perda de energia. Estes vórtices alternados são conhecidos como vórtices de Karman. A eles devem-se fenômenos de ressonância causadores de colapso de muitas estruturas. Notam-se a presença de forças viscosas e um aumento considerável de forças de pressão

NRey > 5 x 105 Regime de Transição

Não se formam mais vórtices alternados, mas sim de maneira aleatória. O número de Reynolds em que se dá esta queda súbita de resistência chama-se de número de Reynolds crítico, não sendo propriamente um valor único, mas certa faixa de Nrey. As forças de pressão predominam. Ë Chamado também de Regime de Newton.

Já para o caso de formas rombudas angulares, o deslocamento é independente do número de Reynolds (exceto para Nrey baixo). As esteiras são ainda mais largas que as de forma esférica, com turbulência mais acentuada. O coeficiente de arraste CD ou força de resistência ou força de pressão varia de acordo com o número de Reynolds. Desta forma temos:

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Número de Reynolds da Partícula μ

ρ VDyN PP

..Re =

Força de Arraste gVACF P

DD .2...

2. ρ=

Onde:

CD= Coeficiente de arraste

AP= Área projetada da partícula

V= Velocidade

ρ= Densidade do fluído g= Aceleração gravidade local DP= Diâmetro partícula μ= Viscosidade do fluído

2.10 – VELOCIDADE TERMINAL DE PARTÍCULAS Uma partícula em queda em um fluído estagnado e quiescente, sob a ação da gravidade, acelera-se até que a força de resistência FD se iguale a força de gravidade local, após o que continuará a cair com velocidade constante, que é chamada de Velocidade Terminal da Partícula. McCabe e Carpenter nos dão a seguinte fórmula para cálculo da Velocidade Terminal em m/s:

( )( ) n

nn

n

fbfpfDpVt

−

−

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

21

11

1

....013067,0

ρμρρρ

Onde as constantes b1 e n dependem do regime do fluxo, conforme abaixo:

Lei Faixa b1 Stokes K < 3,3 24,0 1,0

Intermediária 3,3 ≤ K ≤ 43,6 18,5 0,6 Newton K > 43,6 0,44 0

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Sendo que K é dado por:

( ) 31

2..214,0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

μρρρ fpfDK P

Onde: DP =diâmetro da partícula, mm ρf =densidade da fluído, kg/m3 ρp =densidade da partícula, kg/m3 μ =viscosidade fluído, CP b1 =constante tabelada n =constante tabelada Vt =velocidade terminal para partículas esféricas simples , m/s K =constante dada pela equação [2.10] 2.11 – OPERAÇÕES COM VETORES

As grandezas físicas encontradas na mecânica dos fluídos e nos fenômenos de transporte podem ser classificadas nas seguintes categorias: Grandezas Escalares: aquelas que ficam completamente determinadas por um único valor numérico, tais como temperatura, energia, volume, massa, densidade, tempo, etc. Os escalares são representados por letras do alfabeto, tais como a, b, c e assim por diante. Grandezas Vetoriais: são aquelas quantidades físicas que exigem, para sua completa especificação, além do valor numérico, o conhecimento de uma direção orientada. Aceleração, velocidade, momentum e força, são exemplos de grandezas vetorias. Tais grandezas são chamadas de vetores. Os vetores são denotados por vba rrr ,, , etc. Eventualmente, sua representação se dá através de letras em negrito, tais como a , b , c , etc.

2.11.1 – OPERAÇÕES COM VETORES DO PONTO DE VISTA GEOMÉTRICO

Dois vetores ar e br

são iguais quando suas magnitudes são iguais e quando eles possuem a mesma direção, ou seja, não podem ser colineares e nem possuir o mesmo ponto de origem. Se dois vetores ar e b

r possuem a mesma magnitude, mesma direção,

mas sentidos opostos, então os denotamos, ar = br

− .

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Adição e Subtração de vetores

A adição de dois vetores é feita levando em consideração ambas as suas magnitudes, e direções (sentidos), por intermédio da regra do paralelogramo, ver Fig. 2.20a.

Fig.2.20 - (a) Construção de paralelogramo para adição de vetores

(b) Construção para subtração de vetores

Produto escalar de dois vetores (•) O produto escalar de dois vetores

ar

e br

é uma quantidade escalar definida por: ( ) abbaba φcos..=•

rr

Onde ∅ab é o ângulo (menor que 180º) entre os vetores ar e br

. O produto escalar é então a magnitude do vetor b

r multiplicada pela projeção do

vetor ar, ou vice-versa, ver Fig. 2.21. Observar que o produto escalar de um vetor por ele mesmo é o quadrado da magnitude do vetor.

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Fig. 2.21 – Produto escalar (•) de dois vetores

Produto vetorial de dois vetores ( X )

O produto vetorial de dois vetores ar e br

é o vetor definido por: [ ] { } abab nabsena rrr

Φ=× b Onde abnr é um vetor unitário (de comprimento unitário) normal ao plano que contém ar e b

re apontando para a direção dada pela chamada regra de saca

rolha da mão direita (sentido de giro de ar para br

). O produto vetorial é exemplificado na Fig, 2.22. A magnitude do produto vetorial é área do paralelogramo definido pelos vetores ar e b

r.

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Fig. 2.22 – Produto vetorial ( X ) de dois vetores

2.11.2 – OPERAÇÕES COM VETORES DO PONTO DE VISTA ANALÍTICO Conforme visto, um vetor ar é definido como sendo uma quantidade de uma dada magnitude e direção. A magnitude de um vetor é designada por ar Os vetores unitários na direção (sentido) das coordenadas x, y e z são dados por

kji ˆ,ˆ,ˆ , respectivamente. Um vetor é representado em termos de seus componentes como, por exemplo: kajaiaa zyx

ˆˆˆ ++=r

, representado geometricamente na Fig. 2.20. ar é a magnitude ( módulo ) de ar e pode ser dada pela equação;

222

zyx aaaaa ++==r

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Fig. 2.20 – Magnitude do vetor ar em um sistema ortogonal de coordenadas Os vetores unitários já introduzidos possuem as seguintes propriedades: O produto escalar dos vetores unitários no sistema de coordenadas xyz são:

1ˆˆ =• ii 0ˆˆ =• ij 0ˆˆ =• ik 0ˆˆ =• ji 1ˆˆ =• jj 0ˆˆ =• jk 0ˆˆ =• ki 0ˆˆ =• kj 1ˆˆ =• kk

O produto vetorial dos vetores unitários no sistema de coordenadas xyz são conforme abaixo, podendo para facilitar utilizar a regra dada pela figura 2.23.

0ˆˆ =× ii kij ˆˆˆ −=× jik ˆˆˆ =× kji ˆˆˆ =× 0ˆˆ =× jj ijk ˆˆˆ −=×

jki ˆˆˆ −=× ikj ˆˆˆ =× 0ˆˆ =× kk

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Fig. 2.23 – Regra visual para o produto vetorial de vetores unitários

Produto escalar de dois vetores (•) Do ponto de vista analítico, produto escalar de dois vetores é obtido, escrevendo-se cada vetor em termos de seus componentes e procedendo a operação do produto escalar nos seus vetores unitários.

barr

• Sendo,

kajaiaa zyxˆˆˆ ++=

r

kbjbibb zyxˆˆˆ ++=

r

( ) ( )kbjbibkajaiaba zyxzyxˆˆˆˆˆˆ ++•++=•

rr

zzyyxx babababa ++=•rr

Produto vetorial de dois vetores ( X )

O produto vetorial de dois vetores ar e br

, denotado por barr

× , consiste num vetor com as seguintes propriedades:

• ba

rr× É um vetor perpendicular a ambos ar e b

r

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• O sentido de barr

× é dado pela regra de mão direita, ou seja, identificando o indicador e o médio da mão direita com, ar e b

r, respectivamente, o

sentido de barr

× será o do polegar direito. Ver Fig. 2.24.

Fig. 2.24 – Produto vetorial entre dois vetores

O produto vetorial, ba

rr× , é calculado através do determinante.

zyx

zyx

bbbaaakji

ba

ˆˆˆ

=×rr

Expandindo

yzzxxyyxxzzy baibajbakbakbajbaiba ˆˆˆˆˆˆ −−−++=×rr

( ) ( ) ( )xyyxzxxzyzzy babakbabajbabaiba −+−+−=× ˆˆˆrr

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2.11.3 – OPERAÇÕES DIFERENCIAIS COM VETORES A definição de uma derivada pode ser utilizada para diferenciar um vetor. Considere-se um vetor como função do tempo, ( )taa rr

= , que em coordenadas retangulares pode ser decomposto em ( )taa xx = , ( )taa yy = , , ( )taa zz = . A derivada temporal do vetor ar é dada por:

( ) ( )t

tattatdt

adΔ

−Δ+→Δ

=rrr

0lim

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]t

ktattajtattaitatta

tdtad zzyyxx

Δ

−Δ++−Δ++−Δ+

→Δ=

ˆˆˆ

0limr

kdtdaj

dtda

idt

dadtad zyx ˆˆˆ ++=r

Se agora considerarmos o vetor como função do espaço, o que em coordenadas cartesianas é dado por ( )zyxaa ,,rr

= , ou seja, ( )zyxaa xx ,,= , ( )zyxaa yy ,,= ,

( )zyxaa zz ,,= , o que nos dá as chamadas derivadas parciais. O vetor em função do eixo dos x nos dá a seguinte derivada parcial:

( ) ( )x

zyxazyxxaxx

aΔ

−Δ+→Δ

=∂∂ ,,,,

0lim rrr

kxaj

xa

ixa

xa zyx ˆˆˆ

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂∂r

Similarmente, em relação às outras coordenadas espaciais, eixos y e z, o vetor será as seguintes derivadas parciais:

kyaj

ya

iya

ya zyx ˆˆˆ

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂∂r

kzaj

za

iza

za zyx ˆˆˆ

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂∂r

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2.11.3.1 – DEFINIÇÃO DE OPERADOR VETORIAL, ∇ Certas operações com vetores ocorrem tão frequentemente em formulações matemáticas que se torna necessário a utilização de uma notação abreviada. No campo que entraremos, Mecânica dos Fluídos, Fenômenos de Transporte e Agitação Mecânica, a utilização de operações com vetores como funções do tempo e do espaço, exige a substituição das derivadas parciais por estas notações simplificadas chamadas de operadores vetoriais.

O operador vetorial ∇, conhecido como “nabla”, é definido em coordenadas retangulares como:

kz

jy

ix

ˆˆˆ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Onde kji ˆ,ˆ,ˆ são os vetores unitários e ∂x, ∂y, ∂z são as variáveis associadas aos eixos de coordenadas x, y e z. O símbolo ∇ é um “vetor operador”, e possui componente como um vetor qualquer, e não pode existir sozinho, mas deve operar sobre uma função escalar, uma função vetorial ou uma função tensorial. Uma vez que ∇ é um operador vetorial, algumas operações podem ser realizadas com outras funções, como visto a seguir. 2.11.3.2 – O GRADIENTE DE UM CAMPO ESCALAR

Quando ∇ opera sobre uma função escalar diferenciável (campo), o resultado é chamado de gradiente. Desta forma, se uma função φ=φ (x, y,z) for um campo escalar, então o vetor construído a partir das derivadas desta função é o gradiente do campo escalar φ, denotado por:

kz

jy

ix

gradgradiente ˆˆˆ∂∂

+∂∂

+∂∂

===∇φφφφφφ

Verificar que enquanto φ é um campo escalar, o ∇φ é um campo vetorial. O gradiente ∇φ é um vetor perpendicular a uma superfície de φ, sendo sua magnitude e direção aquelas de maior taxa de crescimento espacial de φ. Um exemplo muito utilizado em Mecânica dos Fluídos é o gradiente da pressão.

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A pressão como função das coordenadas espaciais é um campo escalar, p=p(x,y,z), e seu gradiente denotado por ∇p representa um vetor decorrente das suas derivadas parciais . 2.11.3.3 – O DIVERGENTE DE UM CAMPO VETORIAL

Quando temos um produto escalar (•) formado entre ∇ e uma função vetorial (ou campo), o resultado é chamado de Divergente de um Campo Vetorial. Se um vetor V

ré

função de variáveis espaciais, x, y e z, ou seja, ( )zyxVV ,,rr

= , então um produto escalar poderá ser formado com o operador ∇, obtendo-se:

( )kVjViVkz

jy

ix

VdivVdivergenteV zyxˆˆˆˆˆˆ ++•⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

===•∇rrr

Efetuando-se o produto escalar teremos:

zV

yV

xVV zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=•∇r

2.11.3.4 – O ROTACIONAL DE UM CAMPO VETORIAL Quando temos um produto vetorial (×) entre ∇ e um campo vetorial, um vetor que é função das coordenadas espaciais, o resultado é chamado de Rotacional. Se o campo vetorial é ),,( zyxVV

rr= , então em coordenadas ortogonais,

VzVyVx

zyx

kji

VrotacionalV∂∂

∂∂

∂∂

==×∇

ˆˆˆrr

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2.11.3.5 – DEFINIÇÃO DE OPERADOR LAPLACIANO, ∇2 Outro operador que ocorre frequentemente é obtido efetuando-se o produto escalar ∇•∇. Este operador é chamado de Laplaciano, e a ele é atribuído o símbolo ∇2. Em coordenadas cartesianas, denotamos como:

=∇•∇=∇ 2 )ˆˆˆ()ˆˆˆ( kz

jy

ix

kz

jy

ix ∂

∂+

∂∂

+∂∂

•∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇•∇=∇

2.11.3.5 – LAPLACIANO DE UM CAMPO ESCALAR, ∇×∇φ=0 Se nos fizermos o divergente do gradiente de uma função escalar φ, nos obtemos o que se chama laplaciano de um campo escalar, denotado por ∇×∇φ ou ∇2φ.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

×∇=∇×∇ kz

jy

ix

ˆˆˆ φφφφ

zyx

zyx

kji

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∇×∇

φφφ

φ

ˆˆˆ

Resolvendo o determinante, temos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂∂

=∇×∇xyyx

jzxxz

iyzzy

φφφφφφφ222222

ˆˆ

Visto que φ=φ(x,y,z) deve ser uma função contínua diferenciável, então a ordem da diferenciação repetitiva será irrelevante, nos permitindo escrever:

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xyyx ∂∂∂

=∂∂

∂ φφ 22

, ·xzzx ∂∂

∂=

∂∂∂ φφ 22

e yzzy ∂∂

∂=

∂∂∂ φφ 22

Conseqüentemente ∇×∇φ = 0 2.12 – CONTINUUM Todos os fluídos são compostos de moléculas em movimento constante. Entretanto na maioria das vezes (em aplicações de engenharia), estamos interessados nos efeitos globais ou médios (macroscópicos) de muitas moléculas. São estes efeitos macroscópicos que podemos perceber e medir. Desta forma precisamos tratar um fluído como uma substância infinitamente divisível (chamado de meio contínuo) e não nos preocuparmos com o comportamento individual das suas moléculas . Esta conceituação de continuum é a base da mecânica dos fluídos clássicas. A suposição do continuum é válida em se tratando do comportamento de fluídos sob condições normais. Ela deixa de ter validade quando a distância média entre as colisões das moléculas tornam-se da mesma ordem de grandeza que a menor dimensão relevante do problema. Em problemas tais como do escoamento de um gás rarefeito, temos que abandonar o conceito de continuum em detrimento de pontos de vista microscópico e estatístico. Como consequência da suposição do continuum, admite-se que cada propriedade do fluído se apresenta definida em cada ponto do espaço. Deste modo, propriedades tais como: massa específica, temperatura, velocidade, etc., são consideradas funções contínuas de posição e tempo. f (t) função de tempo

f ( x , y , z , t ) f ( x , y , z ) função de posição Para ilustrar o conceito de propriedades em um ponto, consideramos a maneira pela qual é determinada a massa específica (densidade) no ponto C de uma região de fluído da figura 2.24. Estamos interessados em determinar a massa específica (densidade) no ponto C, cujas coordenadas são x0, y0 e z0.

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A densidade é definida como sendo a massa por unidade de volume.

Vm

=ρ

Fig. 2.24 – Conceito de propriedade em um ponto, massa específica ( densidade ) ρ

A equação [2.23] não poderá ser generalizada para representar a densidade no ponto C. Para determinarmos corretamente a densidade em C, escolhamos um pequeno volume δm, o menor possível ao redor do ponto C, e determinemos o quociente da massa δm, contida no volume em relação a este volume. O volume dito tão pequeno quanto possível só será satisfeito quando tender ao infinitamente pequeno, de modo que permita definir a densidade de um fluído como sendo o limite do quociente da massa contida no volume em relação ao próprio volume, fazendo o volume tão pequeno que tenda a zero, que pode ser escrito como:

Vm

V δδρ δ 0lim →=

Como o ponto C é um ponto arbitrário no fluído, a densidade ρ em qualquer ponto pode ser determinada semelhantemente.

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Desta forma, se determinações da densidade fossem feitas simultaneamente para um número infinito de pontos no fluído, obteríamos uma expressão para a distribuição da densidade como sendo uma função das coordenadas espaciais, ou seja, ρ = ρ (x, y, z) em um dado instante de tempo. Uma vez que a densidade em um ponto pode variar com o tempo como resultado de trabalho executado sobre ou pelo fluído ou mesmo de calor transferido, deveríamos caracterizar a densidade como sendo função das coordenadas espaciais e também do tempo. ρ = ρ (x, y, z, t) campo escalar Uma vez que a massa é uma quantidade escalar, a equação acima representa o que denominamos de campo escalar.

2.13 – CAMPO DE VELOCIDADES

A suposição do continuum conduziu à representação de campo de propriedades do fluído. Ao tratarmos de fluídos em movimento, estaremos interessados na descrição de um campo de velocidades. A velocidade do fluído no ponto C da figura 2.24 é definida como a velocidade instantânea do centro de gravidade do volume δV envolvendo o ponto C naquele instante. Ou seja, num dado instante de tempo, o campo de velocidades, vr , é uma função das coordenadas espaciais.

( )zyxvv ,,rr=

Como a velocidade num dado ponto do escoamento pode variar de um instante para outro, temos que o campo de velocidades também é função do tempo, de modo que:

( )tzyxvv ,,,rr= Campo de velocidades

Campo vetorial Se as propriedades do fluído não se alteram com o tempo, o escoamento é chamado de escoamento permanente. Para um escoamento permanente temos:

0=∂∂

tρ ⇒ ( )zyx ,,ρρ = Campo escalar

0=∂∂

tvr ⇒ ( )zyxvv ,,rr

= Campo vetorial

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No escoamento permanente não há dependência temporal em um dado ponto do mesmo.

2.14 – CAMPO DE TENSÕES As tensões em um meio resultam de forças agindo em alguma parte deste meio. O conceito de tensão fornece uma maneira conveniente de descrever o modo pelas quais as forças agindo sobre os limites do meio, são transmitidas através do meio. Mesmo sendo a área e força quantidades vetorias, o campo de tensões não é um campo vetorial. Via de regra, são necessárias nove quantidades para especificar um estado de tensão em um fluído. Conforme visto anteriormente, tensão consiste numa quantidade tensorial de segunda ordem. No estudo da mecânica dos fluídos do continuum encontramos dois tipos de força que são denominadas de forças de superfície e forças de corpo. Forças de superfície são aquelas de contato direto. Já as forças de corpo, são aquelas desenvolvidas sem contato físíco. As forças gravitacionais e eletromagnéticas são exemplos de forças de corpo que ocorrem em um fluído. A descrição do campo de tensões é desenvolvida a partir da análise da tensão em um ponto. Considere-se o elemento de área A

rδ , no ponto C, sofrendo a ação da força F

rδ como

mostrado na Fig. 2.25. A magnitude de Ar

δ é a própria área do elemento, sendo sua direção normal à superfície.

Fig. 2.25 – Definição de tensão em um ponto do fluído

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A tensão em um ponto é definida então da seguinte forma:

AFtensão Ar

r

r

δδ

δ 0lim→

=

A definição de tensão requer o calculo da razão entre o vetor força e vetor área. • vetor área A

rδ pode ser decomposto em três componentes, de modo que:

zyx AkAjAîA δδδδ ˆˆ ++=r

Fig. 2.26 – Decomposição do vetor Área, Ar

δ A área do elemento A

rδ , é o elemento de área limitado por ABC. O componente δAx, é o

componente do vetor Ar

δ no eixo X, ou seja, a projeção de Ar

δ no eixo X. A magnitude de δAx é a projeção de ABC no plano yz, ou seja, a área OCB que é perpendicular ao eixo X ver Fig 2.27. Da mesma forma, δAy é o componente em Y de A

rδ , e sua magnitude é a projeção de ABC no

plano xz (área OCA), isto é, sobre o plano perpendicular ao eixo dos Y.

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δAz é o componente em Z do vetor Ar

δ , e sua magnitude é a projeção de ABC sobre o plano xy (área OAB), isto é, sobre o plano perpendicular ao eixo dos Z.

Fig. 2.27 – Projeções das componentes do vetor Área A

rδ

- Vetor Força F

rδ : agindo no ponto C da Fig. 2.25, analogamente pode ser decomposto em

três componentes, nos dando a seguinte equação:

zyx FkFjFîF δδδδ ˆˆ ++=r

Ao definir a tensão em um ponto, podemos considerar os componentes δFx, δFy , δFz da força

Fr

δ no ponto C agindo sobre os componentes δAx, δAy, δAz da área Ar

δ no ponto C. Visto desta maneira, estamos definindo efetivamente os componentes da tensão no ponto C. Desta forma a equação 2.27 pode ser substituída por nove equações, pois temos três componentes da tensão (resultando de cada um dos três componentes da Força, δFx, δFy , δFz) agindo sobre cada um dos componentes de área δAx, δAy, δAz. Para facilitar o entendimento é vantajoso usar uma notação que nos permita delinear ambos os planos nos quais a tensão está agindo, e na direção na qual a tensão esta atuando. Uma notação de subscritos duplos fornece uma descrição conveniente. Assim Tij denota a tensão atuando sobre um plano i. na direção j., onde i. e j. cada qual pode representar os eixos x, y e z.

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Usando esta notação, podemos expressar a definição de tensão (equação 2.27) em termos de componentes:

i

jiAij A

FT r

r

r

δδ

δ 0lim→

=

Esta equação representa nove equações escalares, já que os subscritos i. e j. podem assumir os valores de x , y e z. A tensão em um ponto é especificada pelos seus noves componentes, a saber:

σxx τxy τxz τyx σyy τyz τzx τzy σzz

As tensões normais são denotadas por σ e as tensões cisalhantes denotadas pelo símbolo τ, ver Fig. 2. 28

Fig.2.28 – Notação para tensão

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Verificamos desta forma que a suposição do CONTINUUM, ou seja, a suposição de que um fluído poderia ser tratado como uma distribuição contínua de matéria, levou diretamente à representação de campo de propriedades de um fluído. Os campos de propriedades são definidos por funções contínuas das coordenadas espaciais e do tempo. Podemos falar de um campo escalar ( )[ ]tzyx ,,,ρρ = como, por exemplo, o campo de densidade já visto anteriormente. Um campo vetorial ( )[ ]tzyxVV ,,,

rr= como o campo de

velocidades e um campo de tensões como visto anteriormente. Logicamente um campo de tensões (campo tensorial) é muito mais complexo que um campo escalar e um campo vetorial. 2.15 – EQUAÇÕES DE NAVIER – STOKES A revisão anterior foi dedicada à Análise Vetorial, que por sua vez está profundamente relacionada com o material objeto deste trabalho. O equacionamento de Navier – Stokes que se seguirá, servirá de base para o desenvolvimento das equações que serão utilizadas na análise dimensional de um sistema mecânicamente agitado. As Equações de Navier-Stokes são um grupo de Equações Diferenciais Parciais que representam as Equações do Movimento que governam o fluído continuum. Estas equações modelam a maioria dos fluxos tratados em Dinâmica de Fluídos e Fenômenos de Transporte. Este grupo contém 5 equações, Equação da Conservação de Massa, 3 componentes da Equação da Conservação do Momentum e a Equação da Conservação da Energia. O movimento de um fluído em um sistema agitado como o que estamos estudando, deve obedecer apenas as leis de conservação de massa e momentum. A lei de conservação de massa pode ser eliminada da nossa análise, uma vez que o nosso fluído será tratado como incompressível, ou seja, a densidade é constante, não dependendo nem das coordenadas espaciais, nem do tempo. Antes de prosseguirmos, cabe agora utilizarmos os exemplos citados por Bird para evidenciar o significado dos três tipos de derivadas do tempo que serão utilizadas neste trabalho. Bird utiliza a analogia do problema que um homem tem ao reportar a concentração c de peixes em um determinado rio. Uma vez que os peixes estão se movendo continuamente, a concentração c dos mesmos será uma função da sua posição ( x , y , z ) e do tempo (t).

Derivada Parcial do Tempo , tc∂∂

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Supomos que estamos parados numa ponte sobre o rio, e observamos como a concentração de peixes, fixamente sob nós, varia com o tempo. Nós estamos observando então como a concentração varia com o tempo em uma posição fixada no espaço. Consequentemente

interpretamos que tc∂∂ , significa a derivada parcial de c com relação a t, permanecendo as

coordenadas x , y e z constantes.

Derivada Total do Tempo, dtdc

Supomos agora que em vez de estarmos parados na ponte, nós pegamos um barco motorizado e nos deslocamos pelo rio, nos dirigindo algumas vezes à montante, algumas vezes a juzante e algumas vezes cruzando o rio transversalmente. Se formos relatar a mudança de concentração de peixes com relação ao tempo, os números que apresentarmos deverá refletir também o movimento do barco. Isto nos dá o que chamamos de derivada total, denotada por

dtdz

zc

dtdy

yc

dtdx

xc

tc

dtdc

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Onde dx/dt, dy/dt e dz/dt , são os componentes da velocidade do barco

Derivada Substancial do Tempo, DtDc

Supomos agora que utilizamos uma canoa sem motorização e simplesmente navegamos à deriva contando peixes. Agora a velocidade do observador é a mesma que a velocidade do fluxo vr . Quando relatamos a mudança na concentração de peixes com relação ao tempo, os números dependerão da velocidade local do fluxo do rio. Esta derivada é um tipo especial de derivada total do tempo e é chamada de derivada substancial, ou algumas vezes (e mais logicamente) de derivada seguindo um movimento.

zyx vzcv

ycv

xc

tc

DtDc

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Onde vx , vy e vz , são os componentes da velocidade local do fluído vr

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2.15.1 – EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE (Conservação da massa)

A dedução da equação diferencial para a conservação de massa é levada a termo, aplicando-se o princípio da conservação de massa a um volume de controle diferencial. Relembrando a diferença entre volume de controle e sistema. Sistema é definido como uma quantidade fixa identificável de massa, com os limites separando-o do meio exterior. Calor e Trabalho podem atravessar estes limintes, porém a massa não o atravessa permanendo fixa dentro do sistema. Volume de Controle é um volume arbitrário no espaço através do qual um fluído (massa) pode escoar. O contorno geométrico de um volume de controle é chamado de superfície de controle. Em coordenadas retangulares, o volume de controle escolhido, consiste de um cubo infinitesimal com os lados de comprimento dx, dy e dz, conforme Fig. 2.29

Fig. 2.29 – Volume de Controle Diferencial em coordenadas retangulares

A densidade no centro do volume de controle é ρ, e a velocidade ali é dada por kwjviuV ˆˆˆ ++=

r. Em termos do principio de conservação de massa, podemos escrever;

taxa de efluxo taxa de variação através da + de massa = 0 superfície de controle dentro do volume controle

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0........=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂ dzdydx

tdzdydx

zw

yv

xu ρρρρ

0...=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

tzw

yv

xu ρρρρ

Podemos escrever em notação vetorial, de maneira mais compacta,

Como: ∇=∂∂

+∂∂

+∂∂ k

zj

yi

xˆˆˆ (operador vetorial )

e Vkwjviu

r=++ ˆ.ˆ.ˆ. ( vetor velocidade)

∴ 0.. =∂∂

+∇t

V ρρr

Princípio de Conservação de Massa

Dois tipos de escoamentos mereçem serem notados Escoamento Incompressível Onde a densidade é constante, não sendo influenciada nem pelas coordenadas espaciais e nem pelo tempo. Este caso é o adotado em nosso trabalho. A equação da continuidade pode ser escrita: 0=•∇ V

r (Divergente de campo vetorial)

Escoamento Permanente Para um escoamento permanente, todas as propriedades do fluído são por definição independente do tempo. Desta forma o campo escalar da densidade, pode no máximo ser dependente das coordenadas espaciais ρ=ρ(x,y,z). A equação da continuidade passa a ser: 0=•∇ V

rρ ( Divergente de V

rρ )

O vetor V

rρ é o fluxo de massa e o seu divergente significa a razão de massa por

unidade de volume.

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2.15.2 – EQUAÇÃO DO MOVIMENTO (Conservação Do Momentum ) Uma equação dinâmica descrevendo a movimentação de fluído, pode ser obtida aplicando-se a Segunda Lei de Newton a uma partícula. A segunda Lei de Newton diz que a força F

r é a variação temporal da Quantidade de Movimento ou Momentum P

r.

dtPdFr

r=

Onde a Quantidade de Movimento P

r é dado por:

∫=massa

dmVPrr

De modo que a Segunda Lei de Newton pode ser escrita na forma:

dtVddmFdr

r.= a

dtVd rr

=

Podemos estabelecer que o termo Fd

r pode ser expresso em termos de forças de

superfície e força de corpo, atuando sobre o elemento fixo DM. • Aceleração de uma partícula de fluído em um campo de velocidade Uma descrição geral da aceleração pode ser obtida considerando-se uma partícula de fluído em um campo de velocidades. A hipótese do CONTINUUM, nos conduziu à uma descrição de campo de escoamento de fluído, na qual as propriedades são definidas por funções contínuas das coordenadas espaciais e do tempo, em particular o campo de velocidades ( )tzyxVV ,,,

rr= . Neste caso nosso problema consiste em obter a descrição

do campo para as propriedades do fluído, obtendo uma expressão para a aceleração de uma partícula de fluído à medida que ela translada em um campo de escoamento. Podemos trabalhar sobre o seguinte enunciado: Dado um campo de velocidades, ( )tzyxVV ,,,

rr= , determinar a aceleração par da partícula

de fluído, considere uma partícula movendo-se em um campo de escoamento conforme a Fig. 2.30. No tempo t, a partícula se encontra na posição x, y, z e possui uma velocidade correspondente a:

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( )tzyxVt

Vp ,,,rr

= pVs

=velocidade partícula

No tempo subseqüente t+dt, a partícula terá se movido para uma posição com coordenadas ( )dzzdyydxx +++ ,, , e possuirá uma velocidade dada por:

( )dttdzzdyydxxVdtt

Vp ++++=+

,,,rr

Fig. 2.31 – Movimento de uma partícula em um campo de escoamento

A velocidade da partícula no tempo t (posição rr ) é dada por ( )tzyxVVP ,,,

rr= . A variação

na velocidade da partícula, PVdr

, movimentando-se da posição rr para a posição rdr rr+ ,

é dada por:

dttVdz

zVdy

yVdx

xVVd PPPP ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=rrrr

r [2.35]

A aceleração é a variação temporal de PVdr

(derivada em relação ao tempo )

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dtdt

tV

dtdz

tV

dtdy

tV

dtdx

tV

dtVda PPPP

P ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==rrrrr

r [2.36]

Como ; udt

dxP = , vdt

dyP = , wdt

dzP =

De forma que podemos escrever a equação[2.36] na forma,

tVw

tVv

tVu

tV

dtVda P

P ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==rrrrr

r [2.37]

O cálculo da aceleração de uma partícula de fluído em um campo de velocidade,é uma

derivada especial, denotada por DtVDr

. Esta derivada é chamada de derivada substancial

para nos lembrar que ela é calculada seguindo uma partícula de substância.

tVw

tVv

tVu

tVa

DtVD

P ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==rrrr

rr

[2.38]

O significado físico de cada termo é:

PaDtVD rr

= Aceleração total da partícula

wtVv

tVu

tV

∂∂

+∂∂

+∂∂

rrr

Aceleração convectiva

tV∂∂r

Aceleração local

A equação [2.38] é uma equação vetorial, e pode ser expressa em equações componentes escalares como:

tuw

zuv

yuu

xuxa

DtDu

P ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==r [2.39a]

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tvw

zvv

yvu

xvya

DtDv

P ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==r [2.39b]

tww

zwv

ywu

xwza

DtDw

P ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==r [2.39c]

• Forças agindo sobre uma partícula de fluído Tendo obtido uma expressão para a aceleração de um elemento de fluído de massa dm, movendo-se em um campo de velocidades, podemos escrever a Segunda Lei de Newton na forma de equação vetorial.

dtVddmFdr

r=

DtVDdmFdr

r=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=tVw

zVv

yVu

xVdmFd

rrrrr

[2.40]

As equações escalares são dadas por:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==uwuvuu

xudm

DtDudmFd x

r [2.41a]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==vwvvvu

xvdm

DtDvdmFd y

r [2.41b]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==wwwvwu

xwdm

DtDwdmFd z

r [2.41c]

É necessário obter formulação adequada para a Fd

r ou suas componentes escalares

xFdr

, yFdr

e zFdr

atuando sobre o elemento considerado.

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As forças sobre o elemento de fluído podem ser classificadas como forças de corpo e forças de superfície, deduzidas como se segue. • Forças de superfície As forças de superfície incluem as forças normais e tangenciais. Consideremos a componente em x da força atuando sobre um elemento diferencial de massa dm, e volume dV=dx.dy.dz. Somente as tensões que atuam na direção x darão origem a forças de superfície na direção x. Se as tensões no centro do elemento diferencial forem tomadas como σxx, τyx , τzx , então as tensões atuando na direção x em cada face do elemento são conforme mostrado na Fig. 2.32

Fig. 2.32 – Tensões na direção x sobre um elemento de flu

Tomemos como exemplo a direção do eixo x no sistema de coordenadas cartesiana. Para se obter a força de superficie resultante na direção x, denotada por dFSX, devemos somar as forças na direção x .

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+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+= dydzdxx

dydzdxx

dFs xxxx

xxxxX 22

σσσσ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++ dxdzdy

ydxdzdy

yyx

yxyx

yx 22τ

ττ

τ

dxdydzz

dxdydzz

zxzx

zxzx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

++22

ττττ

Que após as devidas simplificações, obtém-se a força de superfície atuando no elemento:

dxdydzzyx

dFs zxyxxxx ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

=ττσ Força de superfície em x

• Força de corpo A força de corpo que nos interessará no desenvolvimento deste trabalho é a força devido a gravidade, de modo que a adotaremos de imediato. Se a força da gravidade for designada por gr , podemos escrever,

kgjgigg zyxˆˆˆ ++=

r Força de corpo

A componente da força da gravidade ( força de corpo) por unidade de massa na direção x, denotada por dFgx poderá ser escrita por

dxdydxgdVgdmgdF xxxgx .ρρ rrr=== Força de corpo na direção x

• Resultante A força resultante na direção x, decorrente da soma da força de superfície dFSx e força de corpo ( gravidade ) dFgx será dadao por:

gxSxx dFdFdF += [2.42]

( )dxdydzgdxdydzzyx

dF xzxyxxx

x ρττσ r+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

=

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dxdydzgzyx

dF xzxyxxx

x ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=rρττσ [2.42a]

As outras expressões similares para as componentes de força nas direções y e z são como se segue:

dxdydzgzyx

dF yzyyyxy

y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

rρτστ

[2.42b]

dxdydzgzyx

dF zzzyzxz

z ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=rρσττ [2.42c]

• Equações Diferenciais do Momentum Após a formulação das expressões para as componentes da força Fd

r (ver eq. 2.42)

agindo sobre o elemento de fluído de massa dm, podemos utilizar estas expressões para substituir na equação [2.41]. Estas substituições nos dará as equações diferenciais do movimento, conhecida como equações de Navier-Stokes.

DtDudmdFx = → xx dFgdFs

DtDudm += [2.43a]

DtDvdmdFy = → yy dFgdFs

DtDvdm += [2.43b]

DtDwdmdFz = → zz dFgdFs

DtDwdm += [2.43c]

Ou

( ) dxdydzzyx

gtuw

zuv

yuu

xudm zxyxxx

x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ ττσρ [2.44a]

( ) dxdydzzyx

gtvw

zvv

yvu

xvdm zyyyxy

y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ τστ

ρ [2.44b]

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( ) dxdydzzyx

gtww

zwv

ywu

xwdm zzyzxz

z ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ σττρ [2.44c]

Uma vez que dm = ρdV = ρdxdydz, podemos eliminar dxdydz dos dois membros permanendo somente a densidade ρ, de forma que as Equações Diferenciais do Momentum ficam.

zyxg

tu

zuv

yuu

xu zxyxxx

x ∂∂

+∂

∂+

∂∂

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ ττσρρ [2.45a]

zyxg

tv

zvv

yvu

xv zyyyxy

y ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ τστ

ρρ [2.45b]

zyxg

tw

zwv

ywu

xw zzyzxz

z ∂∂

+∂

∂+

∂∂

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ σττρρ [2.45c]

Simplificando:

zyxg

DtDu zxyxxx

x ∂∂

+∂

∂+

∂∂

+=ττσρρ r

[2.46a]

zyxg

DtDv zyyyxy

y ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+=

τστρρ r

[2.46b]

zyxg

DtDw zzyzxz

z ∂∂

+∂

∂+

∂∂

+=σττρρ r

[2.46c]

As equações [2.46] são as equações diferenciais do movimento para qualquer fluído que satisfaça a suposição do continuum. Estas equações de qualquer modo, são equações que representam a Segunda Lei de Newton na forma que a soma das forças = massa x aceleração.

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Para que se possa utilizar estas equações devemos introduzir expressões mais adequadas para as tensões. Para fluídos Newtonianos, as tensões podem ser expressadas em termos de gradiente de velocidade (tensões nas camadas de fluído) e propriedades de fluído. Dispensando uma complexa dedução destas equações, as tensões podem ser expressas na forma.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

==yu

xv

yxxy μττ [2.47a]

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

==zv

yw

zyyz μττ [2.47b]

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

==xw

zu

xzzx μττ [2.47c]

xuVpxx ∂∂

+•∇−−= μμσ 232 r

[2.47d]

yvVpyy ∂∂

+•∇−−= μμσ 232 r

[2.47e]

zwVpzz ∂∂

+•∇−−= μμσ 232 r

[2.47f]

Onde p é a pressão local, e os outros membros representam um estado mais geral da Lei da Viscosidade de Newton do aquele descrito no item 2.4 (pagina 11). No nosso caso, as equações de Newton para a viscosidade, se aplicam a um caso mais complexo de fluxo, onde o fluído flui em todas as direções. Quando o fluído de desloca na direção x entre duas placas perpendiculares a direção y, conforme indicado na Fig. 2.3, de modo que vx é função apenas de de y. Deste modo o grupo de seis equações fica: τxx = τyy = τzz = τyz = τxz =0 e τ yx=μ(dvx/dy) conforme descrito em 2.4.

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Fazendo as substituições das equações [2.47] nas equações diferenciais [2.46]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ •∇−

∂∂

∂∂

+∂∂

−=zu

xw

zxv

yu

yV

xu

xxpg

DtDu

x μμμρρrr

322 [2.48a]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛•∇−

∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

−=yw

zv

zV

yu

yxv

yu

xypg

DtDv

y μμμρρrr

322 [2.48b]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ •∇−

∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

−= Vzw

zyw

zv

yzu

xw

xzpg

DtDw

z

rr

322μμμρρ [2.48c]

Estas são as equações do movimento chamadas de EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES. Estas equações se simplificam sobremodo quando aplicadas a escoamentos incompressíveis nos quais as variações na viscosidade do fluído podem ser desprezadas, como é o nosso caso neste trabalho sobre agitação mecânica. Deste modo, as Equações de Navier-Stokes podem ser escritas.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

2

zu

yu

xu

xpg

tuw

zuv

yuu

xu

x μρρ r [2.49a]

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

2

zv

yv

xv

ypg

tvw

zvv

yvu

xv

y μρρ r [2.49b]

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

2

zw

yw

xw

zpg

tww

zwv

ywu

xw

z μρρ r [2.49c]

Ou de modo mais conhecido:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

2

2

zu

yu

xu

xpg

DtDu

x μρρ r [2.50a]

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

2

2

zv

yv

xv

ypg

DtDv

y μρρ r [2.50b]

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⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

2

2

zw

yw

xw

zpg

DtDw

z μρρ r [2.50c]

Ou em notação com os devidos operadores vetoriais:

VpgDtVD rrr

2∇+∇−= μρρ [2.51]

ρ Densidade

DtVDr

- derivada substancial

gr - gravidade (força de corpo) p - pressão local μ - viscosidade

Para o caso de escoamento livre de fricção (μ=0), as equações do movimento se reduzem à EQUAÇÃO DE EULER, dada por:

pgDtVD

∇−=r

r

ρρ [2.52]

3 – TEORIA DE POTÊNCIA EM SISTEMAS FLUÍDOS AGITADOS

3.1 – INTRODUÇÃO O desenvolvimento da Teoria de Potência que se seguirá, esta embasada na ferramenta da Mecânica dos Fluídos denominada Análise Dimensional. A Análise Dimensional quando aplicada em um problema de escoamento, permite simplificar sobremodo sua resolução, possibilitando converter um grande número de variáveis, sejam elas geométricas, operacionais e físicas, em um pequeno número de grupos adimensionais passíveis de um tratamento experimental e analítico.

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O desenvolvimento da Mecânica dos Fluídos sempre dependeu de resultados experimentais obtidos em laboratórios. São poucos os fenômenos que ocorrem nesta área que podem ser resolvidos somente através de métodos analíticos. A Agitação Mecânica em sistemas fluídos se enquadra neste tipo de problema, onde temos um escoamento com um número considerável de variáveis que necessita de um tratamento não totalmente analítico. Podemos descrever o método de estudo destes problemas reais da seguinte forma: Inicialmente a situação de escoamento real (no nosso caso agitação em sistemas fluídos) é aproximada através de modelos matemáticos em uma visão puramente analítica, porém, suficientemente simples de modo a podermos obter uma solução inicial para o problema. A seguir medições experimentais são executadas para conferir os resultados analíticos. Com base nestas medições experimentais, refinamentos podem ser introduzidos na análise, e assim por diante. De qualquer modo, o trabalho experimental deste processo de aproximações é ao mesmo tempo longo e dispendioso. Que experimentos precisariam ser feitos para se determinar a potência absorvida num sistema fluído agitado? Para responder esta pergunta, precisaríamos determinar os parâmetros que são importantes e influenciam na determinação desta potência absorvida. A primeira vista, espera-se que a potência venha a depender da geometria do impelidor, da rotação do mesmo no meio fluído, da viscosidade e densidade do fluído. Representando a potência por P, podemos escrever uma equação preliminar que será:

P = ψ( D , N , μ , ρ ) [3.1a] Nesta função, podemos ter desprezado alguns parâmetros dos quais a potência dependa, ou mesmo incluído parâmetros dos quais a mesma não dependa. De qualquer modo, formulou-se uma equação preliminar para determinação da potência absorvida em termos controláveis e mensuráveis num laboratório.

Imaginemos que série de experimentos precisaria ser feitos para se determinar a forma de dependência de P, das variáveis, D, N, μ e ρ. Após a construção de uma aparelhagem experimental adequada, o trabalho pode ser realizado.

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Para obtermos a curva de P versus N, para valores fixos de D, μ e ρ, poderemos vir a necessitar de testes em 10 valores de N. Para concluirmos sobre o efeito do diâmetro D do impelidor, cada teste seria repetido para impelidores de 10 diâmetros diferentes. Logo a seguir o procedimento seria repetido 10 vezes para viscosidade μ, e 10 vezes para a densidade ρ. Observa-se facilmente através de simples aritmética, que precisaríamos de 104 experimentos diferentes. Considerando que cada teste tomasse meia hora e trabalhassemos oito horas por dia, tal avaliação experimental devaria dois anos e meio para ser concluída. Não é necessário citar as dificuldades de apresentação dos resultados destes experimentos. Todo este trabalho complexo e dispendioso pode ser substituído pela Análise Dimensional citado, permitindo obter resultados significativos com considerável economia de esforço e tempo. Conforme dito anteriormente a Análise Dimensional permite agrupar um grande número de variáveis dimensionais em um pequeno número de grupos adimensionais e no nosso caso, a potência absorvida pelo impelidor em um sistema fluído agitado, pode ser agrupada e plotada como relação funcional de poucos parâmetros adimensionais. A forma da função obtida precisa ainda ser determinada experimentalmente, porém, em vez de conduzirmos 104 experimentos, podemos determinar a natureza da função com a mesma exatidão usando apenas 10 experimentos distintos. Imaginemos nosso problema que é estabelecermos a potência absorvida em um sistema fluído agitado mecânicamente por impelidores. Estabelecemos bem apropriadamente nossa potência como sendo função das seguintes variáveis.

P = ψ( D , N , μ , ρ ,Q) = [3.1b] Onde: P = Potência absorvida N = Rotação do impelidor (velocidade periférica ) D = Diâmetrio do impelidor ρ = Densidade do fluído μ = Viscosidade do fluído Q = Vazão

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Admitindo que um recipiente esteja preenchido com um líquido de nível definido, com viscosidade e densidade conhecidas e constantes. Temos um agitador com impelidor de pás retas inclinadas a 450, com suas dimensões indicadas na Fig. 3.1, impulsionado a uma rotação de N rotações por minuto. Admitimos também que as dimensões do tanque são conhecidas e indicadas por:

T = Diâmetro interno do tanque C = Distância do impelidor ao fundo do tanque Z = Altura do líquido B = Largura do defletor Bc = Folga entre a parede do tanque e o defletor W = Altura projetada das pás

Fig. 3.1 – Dimensões necessárias à Análise Dimensional de um sistema fluído mecanicamente agitado

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A potência absorvida num sistema fluído agitado depende da geometria e dimensões do tanque onde o fluído está contido, bem como das características deste fluído e do seu comportamento. O mecanismo que rege um sistema de agitação é uma complicada combinação de fluxos nos regimes laminares, turbulentos e na chamada zona de transição, produzido pelo impelidor que devido sua rotação, provoca correntes de fluxo axial, radial e tangencial. Dentro desta análise, devemos considerar o aparecimento de vórtices na superfície do líquido, induzidos pela componente tangencial da velocidade do fluxo. Desta forma devemos considerar que a gravidade g influencia nosso sistema agitado. Como veremos mais adiante, vórtices, na maioria das vezes são prejudiciais aos sistemas mecânicos, e são invariavelmente eliminados através de montagem de dispositivos tais como defletores nas paredes do tanque. Ignorando temporariamente os fatores dimensionais do tanque, e admitindo o fluído agitado como Newtoniano, a potência absorvida será função das seguintes variáveis:

P = ψ( D , N , μ , ρ ,g,Q) = [3.1.c] A Análise Dimensional que se seguirá, será desenvolvida de dois modos. Um utilizará as Equações de Navier-Stokes (demonstradas anteriormente), o outro modo utilizará o chamado Teorema de Buckinghan Pi. Em ambos os casos estaremos atrás de equações adimensionais que representam as relações fundamentais entre as variáveis e consequentemente o comportamento do sistema fluído agitado, permitindo o cálculo de potência, vazões, transferência de massa, transmissão de calor, suspensão de sólidos, dispersão de gases, etc. Exemplos de diferentes variáveis tais como velocidade, comprimento, aceleração, densidade etc., podem ser ser fundamentalmente diferentes uma das outras e, no entanto elas possuem certas qualidades comuns. Todas estas variáveis são derivadas de um pequeno numero de entidades chamadas de dimensões. Estas dimensões podem ser classificadas em dois grupos. Um é aquele definido pelo Sistema Absoluto (SI) que compreende as entidades (dimensões) Massa (M), Comprimento (L) e Tempo (T), e o outro é o Sistema Gravitacional Britânico que compreende Força (F), Comprimento (L) e Tempo (T).

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Desta forma, podemos expressar todas as variáveis envolvidas no fenômeno estudado, em termos destas dimensões básicas. A tabela I a seguir lista algumas variáveis usadas neste trabalho e sua composição em dimensões básicas. As Quantidades assinaladas com sombreamento são aquelas utilizadas como variáveis do nosso fenômeno, sendo a Potência uma função das mesmas

Quantidade Símbolo Dimensões

Massa M M ou FT2/L Comprimento L L Tempo T T Velocidade v L/T Aceleração a L/T2 Força

F ML/T2 ou F

Tensão ou Pressão σ,τ ou p M/LT2 ou F/L2

Módulo de Elasticidade E

M/LT2 ou F/L2

Densidade ρ

M/L3 ou FT2/L4

Viscosidade Dinâmica μ

M/LT ou FT/L2

Viscosidade Cinemática ν

L2/T

Vazão Q

L3/T

Energia ou Trabalho W

ML2/T2 ou FL

Potência P

ML2/T3 ou FL/T

TABELA I

3.2 – ANÁLISE DIMENSIONAL APLICADA A UM SISTEMA FLUÍDOAGITADO EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES

Fluídos em movimento em sistemas agitados obedecem aos conceitos fundamentais de Movimento de Líquidos e Fenômenos de Transporte de Massa e, portanto sujeitos às leis de conservação de massa e momentum, leis estas que descrevem a velocidade e distribuição de pressão dentro de um fluído. Conforme visto em Conceituação Preliminar, para um fluído líquido Newtoniano, de densidade constante e viscosidade tambem considerada como constante (variação desprezível), a equação diferencial do

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momentum, chamada de Equação de Navier-Stokes escrita convenientemente com os operadores vetoriais, é dada por:

VpgDtVD rrr

2∇+∇−= μρρ [3.2]

Onde: ρ -densidade do líquido μ -viscosidade do líquido

DtDV -derivada substancial

gr -gravidade (força de corpo) p -pressão local

No estudo de escoamentos, nos devemos selecionar o que se chama quantidades características, que devem representar as principais dimensões que são o Comprimento, o Tempo e a Massa (ou Força). Em muitos escoamentos podemos selecionar D como comprimento característico e V como velocidade característica. Num escoamento por um tubo circular, D é usualmente o diâmetro do tubo e V a velocidade média do fluxo. Para um escoamento em torno de uma esfera, D é usualmente o diâmetro da esfera e V a velocidade média do fluxo. No caso da agitação mecânica de líquidos o comprimento característico D utilizado é o diâmetro do impelidor. Utilizamos como tempo característico o recíproco da rotação do impelidor, 1/N. A massa característica é o produto da densidade do líquido, ρ e o cubo do diâmetro do impelidor D3, ρD3. A velocidade característica pode ser derivada a partir da dimensão comprimento e da dimensão tempo, utilizando o produto do diâmetro do impelidor e a rotação do agitador, DN.

A seguir definimos algumas variáveis adimensionais e operações diferenciais. Esta escolha é arbitraria e deve ser escolhida cuidadosamente de modo a representar as dimensões principais do comprimento L, tempo T e massa M.

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As variáveis adimensionais são definidas como sendo a relação entre a variável atual (tipo comprimento x, y, z, tempo t, ou massa m) e a quantidade característica (conforme visto anteriormente, D p/ o comprimento, 1/N para o tempo, ρ.D3 para a massa, etc.) Deste modo teremos as seguintes variáveis adimensionais:

Comprimento Adimensional, x∗ , y∗ e z∗ O comprimento característico usado na agitação é o diâmetro do impelidor, D, de modo que o comprimento adimensional que é denotado por x∗ , y∗ e z∗ é dado por:

Dxx =∗

Dyy =∗ [3.3]

Dzz =∗

Onde: x∗, y∗ z∗ - comprimento adimensional

x , y , z - comprimento atual D - comprimento característico

Tempo Adimensional, t∗

O tempo característico usado na agitação é o recíproco da rotação do agitador, 1/N., de modo que o tempo adimensional , que é denotado por t∗ , é:

tNNt

N

tt ===∗ −11 [3.4]

Massa Adimensional, m∗ A masssa característica é o produto da densidade, ρ e o cubo do diâmetro do impelidor, D3, ou seja ρ D3, deduzida da seguinte forma:

aFmamF =⇒= . Onde: 3Dm ρ=

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22222 1

DNND

N

DTD

TLa ==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=== −

2423. NDDNDF ρρ ==

∴

32

24

DDN

NDaFm ρρ

===

De modo que a massa adimensional é dada por:

3Dmmρ

=∗ [3.5]

Velocidade adimensional, v∗ A velocidade característica pode ser derivada a partir do comprimento e do tempo, utilizando-se o produto do diâmetro D e da rotação N, DN que é deduzida da seguinte forma:

DNND

N

DTLv ==== −11

De modo que a velocidade adimensional é dada por:

DNvv =∗ [3.6]

Aceleração gravidade adimensional, ∗g A aceleração característica é dada por DN2 deduzida assim.

tvg = Onde: v=DN

t=1/N

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∴ 2

1 DNN

DNg ==

A aceleração da gravidade adimensional será dada por:

2DNgg =∗ [3.7]

Potência adimensional, P∗ A potência característica é dada por ρD5N3, deduzida da seguinte forma:

vFP .= Onde: F=ρD4N2 ( força) v=DN (velocidade)

3524 . NDDNNDP ρρ == De modo que a potência adimensional é dada pela relação entre a variável atual e quantidade característica e é dada conforme abaixo:

35NDPP

ρ=∗ [3.8]

Pressão adimensional, p∗ A pressão característica é definida por ρN2D2, deduzida da seguinte forma:

AFp = Onde:

tvmFamF .. =⇒=

( )( )( )

243

1. NDN

DNDF ρρ==

2DA = ∴

222

24

NDD

NDp ρρ==

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Desta forma a pressão adimensional é dada pela relação entre a variável atual e quantidade pressão característica, deduzida anteriormente. A variável pressão atual é utilizada como sendo, ( ) co gpp − , onde po é uma pressão de referência e gc é o fator de conversão gravitacional.

( )22DNgppp co

ρ−

=∗ [3.9]

Operador vetorial adimensional, ∇∗

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∗∂

∂+

∗∂∂

+∗∂

∂=∇=∇∗ k

zj

yi

xD ˆˆˆ [3.10]

Laplaciano Adimensional , ∇∗2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∗∂

∂+

∗∂∂

+∗∂

∂=∇=∗∇ k

zj

yi

xD ˆˆˆ

2

2

2

2

2

2222 [3.11]

Desta forma podemos montar um resumo das quantidades adimensionais deduzidas anteriormente e utilizadas neste trabalho, sendo elas:

Dxx =∗

Dyy =∗

Dzz =∗

comprimentos adimensionais

tNt =∗

tempo adimensional

3Dmmρ

=∗ massa adimensional

DNvvr

r=∗

velocidade adimensional

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2DNggr

r=∗

aceleração gravidade adim.

35NDPP

ρ=∗

potência adimensional

( )22

0

DNgppp c

ρ−

=∗ pressão adimensional

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∗∂

∂+

∗∂∂

+∗∂

∂=∇=∇∗ k

zj

yi

xD ˆˆˆ

operador vetorial adimensional

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∗∂

∂+

∗∂∂

+∗∂

∂=∇=∗∇ k

zj

yi

xD ˆˆˆ

2

2

2

2

2

2222

operador laplaciano adimensional

Tabela II – Quantidades adimensionais

De posse das quantidades adimensionais podemos reescrever a equação de Navier-Stokes dada em [3.2], na forma adimensional

VpgDtVD rrr

2∇+∇−= μρρ [3.2]

Reescrevendo as variáveis adimensionais para podermos substituir em [3.2], teremos:

DNVVr

r=∗ è NDVV ∗=

rr

tNt =∗ è Ntt∗

=

( )

220

DNgppp c

ρ−

=∗ è ( ) 220 DNppp ρ∗=−

2DNggr

r=∗ è 2DNgg ∗=

rr

∇=∇∗ D è D

∗∇=∇

222 ∇=∇ ∗ D è 2

22

D

∗∇=∇

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Substituindo, eliminando e re-arranjando coeficientes:

ρμ

ρρρ Vpg

DtVD

rrr2∇

+∇

−= è ρ

μρ

VggDtVD

rrr

r2∇

+∇

−= [3.2a]

( )ρ

μ

ρ

ρ NDVD

DNpDDNg

NtD

NDVD∗

∗∗

∗∗

∇

+∗

∇

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∗

r

rr

222

2

2

[3.2b]

( )( ) ρ

μ 1222

1

−∗∗∗∗∗

−∗

∗ ∇+∇−=

NDVDNpDNgNtDNDVD

rr

r

[3.2.c]

( ) [ ] ∗∗∗∗∗

∗

∗

∇⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+∇−= V

DNpDNDNg

DtDNVD rr

r222

2

ρμ [3.2d]

Dividindo tudo por DN2

∗∗∗∗∗∗

∗

∇

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+∇⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= V

DND

N

pDN

DNDNDNg

DNDt

DNVDrr

r

222

2

2

2

2

2

ρμ

[3.2e]

∗∗−−

∗∗∗∗

∗

∇+∇−= VDN

NDpgDtVD rrr

22

11ρμ [3.2f]

∗∗∗∗∗

∗

∗

∇⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∇−= V

NDpg

DtVD rrr

22 ρμ [3.2g]

O que nos permite escrever a nossa equação na forma:

∗∗∗∗∗∗

∗

+∇⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−∇= gV

NDp

DtVD rrr

22 ρμ [3.12]

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Uma vez que 2DNggr

r=∗ , ou seja, a gravidade adimensional ∗gr pode ser escrita como

sendo a relação entre a variável atual gr e a quantidade característica da aceleração, DN2 podemos substituir e obter a sequinte equação:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+∇⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−∇= ∗∗∗∗

∗

∗

22

2 DNgV

NDp

DtVD rrr

ρμ [3.12a]

Deste modo podemos escrever a Equação de Navier-Stokes que descreve um fluído agitado na forma final:

gg

DNgV

NDp

DtVD rrr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+∇⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−∇= ∗∗∗∗

∗

∗

22

2 ρμ [3.12b]

N Rey N Froude

Nesta equação aparecem dois grupos adimensionais como parâmetros:

• O primeiro grupo do Número de Reynolds é dado por ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μρND2

, e representa a

relação entre as forças inerciais e forças viscosas.

• O segundo grupo é do Número de Froude ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛g

DN 2

, que representa a relação entre

forças inerciais e forças gravitacionais.

A análise da equação de Navier-Stokes [3.12] para um líquido agitado permite indicar as relações básicas para a velocidade e a distribuição de pressão. Para um dado conjunto de condições inicial e de contorno, que requerem similaridade geométrica, a velocidade adimensional ∗V

r, e a distribuição de pressão ∗p , podem ser

expressas como função do Nrey e NFroude:

Num sistema agitado onde aparecem vórtices, ou seja, é influenciado pela gravidade, a velocidade e a distribuição de pressão é função de NRey e de Nfroude.

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99/285

( ) ( )NFroudeyNftzyxV ,Re,,, =∗∗∗∗ ∗r [3.13]

( ) ( )NFroudeNreyftzyxp ,,,, =∗∗∗∗ ∗

[3.14] Quando a superfície do líquido é essencialmente plana como o que ocorre em tanques montados com defletores, os efeitos gravitacionais podem ser eliminados, ficando a velocidade e a distribuição de pressão determinadas somente pelo NRey.

( ) ( )yNftzyxV Re,,, =∗∗∗∗ ∗r [3.15]

( ) ( )Nreyftzyxp =∗∗∗∗ ∗

,,, [3.16]

3.2.1 – POTÊNCIA DE AGITAÇÃO A distribuição de pressão através de um vaso agitado, não pode ser aplicada diretamente ao projeto, entretanto uma parte desta distribuição de pressão ao longo da face da pá do impelidor pode ser relacionada com a potência absorvida do agitador. Para demonstrar a veracidade desta relação, tomemos como ponto de partida a propria descrição do sistema. Potência é o produto da velocidade rotacional e o torque aplicado, P=TN, deduzido da seguinte forma;

LFTVFP..

==

Vimos anteriormente que a velocidade característica é dada por V=DN, e o comprimento característico foi adotado como o diâmetro do impelidor, L=D, de modo que podemos reescrever:

DNFP .=

DFT .= è DTF =

Substituindo,

DNDTP .= è TNP =

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TNP = [3.17]

O torque ou momento linear, T, é determinado integrando-se a distribuição de pressão ao longo da superfície das pás do impelidor, conforme mostrado na figura 3.2.

Fig. 3.2 - Distribuição de pressão ao longo de pá de impelidor

O torque ou momento linear T é dado por:

xFT .= Dx = FDT =

A pressão sobre a pá do impelidor é dada por:

AFp = 2DA = 2pDF =

Substituindo,

DDpDFT ... 2==

Distribuição de pressão

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Sendo P = TN Ô NPT =

3.DpNP=

3.DNPp = [3.18]

Portanto a relação entre a distribuição de pressão do líquido nas pás do impelidor e a Potência absorvida, é dada por:

( )pápp 0− α 3NDP [3.19]

Uma vez que a pressão adimensional dada em [3.9] é dado por:

∗p α ( )22

0

DNgpp c

ρ−

Podemos substituir na relação de distribuição de pressão / potência, obtendo:

∗p α 22

3

DN

gND

Pc

ρ = 22

31

DNgDPN c

ρ

−

A pressão adimensional pode ser escrita também na forma;

∗p α 53DNPgc

ρ [3.20]

Uma vez que a distribuição de pressão foi expressa em [3.14] e [3.16] como função do NRey e NFroude, ou seja: Sistemas com superfície encapelada e vortices

( ) ( )NFroudeNreyftzyxp ,,,, =∗∗∗∗ ∗

[3.14]

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102/285

Sistemas com superfície calma, plana e sem vórtices

( ) ( )Nreyftzyxp =∗∗∗∗ ∗

,,, [3.16] De modo que nos é permitido escrever as seguintes equações: Sistemas com superfície encapelada e vórtices

( )NFroudeyNfDN

gP c ,Re.53 =

ρ [3.21]

O primeiro termo é chamado de Número de Potência Npo, e indica como a distribuição de pressão se relaciona com a potência, sendo função do Número de Froude e Número de Reynolds. Sistemas com superfície calma, plana e sem vórtices.

( )yNfDN

gP c Re.53 =

ρ [3.22]

Quando os efeitos gravitacionais não são fatores relevantes, a equação poderá ser escrita como função apenas do Nrey. 3.2.2 – CASOS LIMITES PARA POTÊNCIA DE AGITAÇÃO Os casos limites para a potência de agitação envolvem Números de Reynolds elevados e muito baixos. Visto ser o NRey, uma relação entre forças inerciais e forças viscosas, estamos então descrevendo sistemas líquidos turbulentos e laminares, respectivamente.

3.2.2.1 – CASO LIMITE – ELEVADO NRey

Elevados NRey, indica agitação turbulenta onde as forças inerciais dominam o sistema e inibem as forças viscosas.

Na equação de Navier-Stokes dada em [3.12], negligenciamos os termos relacionados com as forças viscosas, ou seja, eliminamos a fricção fazendo

0=μ

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gg

DNgV

NDp

DtVD rrr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+∇⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−∇= ∗∗∗∗

∗

∗

22

2 ρμ [3.12]

gg

DNgp

DtVD rr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−∇= ∗∗

∗

∗

2 [3.23]

Visto que os efeitos gravitacionais também podem ser negligenciados (tanques com defletores), podemos escrever a equação na forma conhecida como Equação de Euler.

∗∗∗

∗

−∇= pDtVDr

[3.24]

Nesta condição limite a relação potência e distribuição de pressão é fixa e invariante, significando que a distribuição de pressão ao longo da pá do impelidor, que é o Npo, é constante para elevados Número de Reynolds. Ou seja, em regimes turbulentos e francamente turbulentos o Npo é invariante.

cteDN

gP c =53

.ρ

[3.25]

P α 53DNρ [3.26] 3.2.2.2 – CASO LIMITE – BAIXO Nrey Baixos Nrey, indicam agitação laminar ou viscosa, onde as forças viscosas dominam o sistema e inibem as forças inerciais. Na equação de Stokes-Navier, negligenciamos os termos relacionados com as forcas inerciais e gravitacionais

gg

DNgV

NDp

DtVD rrr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+∇⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−∇= ∗∗∗∗

∗

∗

22

2 ρμ [3.12]

∗∗∗∗∗

∗

∇⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−∇= V

NDp

DtVD rr

22 ρμ [3.27]

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Resulta desta forma a igualdade entre distribuição de pressão e as forças viscosas, permitindo escrever a equação da seguinte forma.

∗∗∗∗ ∇⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∇ V

NDp

r2

2 ρμ [3.28]

Temos a pressão adimensional dada anteriormente por.

∗p α ( )22

0

DNgpp c

ρ−

O que nos permite substituir em [3.28]

( ) ∗∗∗ ∇⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−∇ V

NDDNgpp co

r2

222 ρμ

ρ [3.28a]

( ) ∗∗∗ ∇=−

∇ VN

gpp cor

2μ [3.28b]

( ) ∗∗∗ ∇=−

∇ VN

gpp cor

2

μ [3.28c]

O termo ( )μN

gpp co− , é chamado de pressão característica e é relacionada à força

viscosa por unidade de área, sendo representada por p**.

( )μN

gppp co−=∗∗ [3.29]

Substituindo em [3.28c], podemos escrever.

∗∗∗∗∗ ∇=∇ Vpr

2 [3.30] Voltando à equação [3.28c]

( ) ∗∗∗ ∇=−

∇ VN

gpp cor

2

μ [3.28c]

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105/285

Conforme visto anteriormente em [3.19], a relação entre a pressão do fluído nas pás do impelidor e a potência absorvida, é dada por:

( )pápp 0− α 3NDP [3.19]

Substituindo na equação da pressão característica relacionada à força viscosa dada em [3.29], obtemos o Número de Potência Viscoso:

μμ NgDPN

N

gND

P

p cc 313 −−

∗∗ ==

32DNPgp c

μ=∗∗ [3.31]

O segundo membro da equação é chamado de NPo Viscoso, e uma vez que o NPo Viscoso é constante a baixos NRey, temos;

cteDN

Pgc =32μ

P α μN2D3 [3.32]

3.2.3 – VELOCIDADE E BOMBEAMENTO

A velocidade adimensional, Vr

, dada em [3.6], como sendo DNVV =

r, pode ser

expressa como função do NRey e NFr.

( ) ( )NFroudeyNftzyxV ,Re,,, =∗∗∗∗ ∗r [3.13]

Como visto, quando a superfície do líquido é plana e calma, como o que ocorre em tanques com defletores, os efeitos gravitacionais que provocam ondas e vórtices, podem ser desprezados, passando a velocidade ser função apenas do NRey.

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106/285

( ) ( )yNftzyxV Re,,, =∗∗∗∗ ∗r [3.15]

Desta forma:

)(Re yfDNVV ==∗

r

Podemos relacionar a velocidade através do tanque e a capacidade de bombeamento deste sistema agitado. Necessitamos de estabelecer o que é chamado de velocidade média para o sistema, ou seja, uma velocidade representativa do que ocorre num tanque ou recipiente.

)(Re yfDNVV med

med ==∗

A relação entre velocidade e bombeamento é dada por:

2DQ

AQVmed ==

Sustituindo em Vmed / DN temos;

)(Re3

22yf

NDQ

DNQD

DNDQ

===−

Sendo Q / D3N chamado de Número de Bombeamento, NQ 3.3 – ANÁLISE DIMENSIONAL APLICADA A UM SISTEMA FLUIDOAGITADO ATRAVÉS DO TEOREMA DE BUCKINGHAN Π Como vimos anteriormente a Análise Dimensional é uma técnica que permite estabelecer relações entre variáveis que influenciam um determinado tipo de fenômeno físico a ser estudado. Estas relações, obtidas na forma adimensional, possibilitam uma indicação da influência de cada variável no fenômeno, bem como facilitam o seu entendimento. O Teorema de Buckinghan Π cujo procedimento é detalhado a seguir é um método de Análise Dimensional, permite a formação de grupos adimensionais que relacionam estas

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variáveis. As equações finais resultantes serão as mesmas obtidas em [3.2]. Conforme visto na equação [3.1c], a potência absorvida em um sistema fluído agitado é função das seguintes variáveis.

( )gQDNP ,,,,, μρψ= [3.1.c]

PROCEDIMENTO DETALHADO DO TEOREMA APLICADO A UM SISTEMA FLUÍDO AGITADO: I – LISTAR OS PARÂMETROS ENVOLVIDOS, n

P , V , D , Q , μ , ρ , g portanto, n = 7 parâmetros

II – SELECIONAR CONJUNTO DE DIMENSÕES FUNDAMENTAIS Inicialmente utilizaremos o Sistema Absoluto (SI), com as dimensões fundamentais de M, L, T (massa, comprimento e tempo).

III – LISTAR AS DIMENSÕES DOS PARÂMETROS EM TERMOS DE DIMENSÕES PRIMÁRIAS, r

O número de dimensões será designado por ‘r’, sendo r=3, conforme tabela abaixo.

Quantidade

Simbologia Sistema Absoluto

MLT Sistema Gravitacional

FLT Potência

P ML2T-3 FLT-1

Velocidade V

LT-1 LT-1

Diâmetro D

L L

Vazão Q

L3T-1 L3T-1

Viscosidade μ

ML-1T-1 FL-2T

Densidade ρ

ML-3 FL-4T2

Aceleração gravidade g

LT-2 LT-2

Tabela II

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108/285

Como usaremos inicialmente o Sistema absoluto:

P V D μ ρ g Q

M 1 0 0 1 1 0 0

L 2 1 1 -1 -3 1 3 T -3 -1 0 -1 0 -2 -1

Tabela III IV – SELECIONAR DA LISTA DE PARÂMETROS, UM NÚMERO DE PARÂMETROS REPETITIVOS IGUAL AO NÚMERO DE PRIMÁRIOS. m=r=3 Parâmetros repetitivos, sendo eles escolhidos como: ρ = ML-3 V = L1T-1 D = L V – FORMULAR EQUAÇÕES DIMENSIONAIS, COMBINANDO OS PARÂMETROS SELECIONADOS COM OS REPETITIVOS, COM CADA UM DOS PARÂMETROS RESTANTES, DE MODO A FORMAR GRUPOS ADIMENSIONAIS. Os grupos adimensionais restantes serão dados por: n – m = 7 – 3 = 4 grupos adimensionais resultantes Portanto Π1 (potência) será: Π1(P)=ρα1.Vα2.Dα3.P1

Π1(P)=(ML-3)α1.(LT-1)α2.(L)α3.(ML2T-3)1

Π1(P)=(Mα1L-3α1).(Lα2T-1α2).(Lα3).(ML2T-3)

Π1(P)=(Mα1+1).(L-3α1 +α2 +α3 +2).( T-1α2-3)

α1+1=0 -3α1 +α2 +α3 +2=0 -1α2-3=0

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Resolvendo o sistema de equações, temos: α1=-1, α2=-3, α3=-2 Portanto: Π1(P)=ρα1.Vα2.Dα3.P1

Π1(P)=ρ-1.V-3.D-2.P1

( ) 23..1

DVP

P ρ=Π [3.33]

Da mesma forma Π2 (viscosidade) será dada por: Π2(μ)=ρβ1.Vβ2.Dβ3.μ1

Π2(μ)=(ML-3) β1.(LT-1) β2.(L) β3.(ML-1T-1)1

Π2(μ)=(Mβ1L-3β1).(Lβ2T-1β2).(Lβ3).(M1L-1T-1)1 Π2(μ)=(Mβ1+1).(L-3β1 +β2 +β3 1).( T-1β2-1)

β1+1=0 -3β1 +β2 +β3 -1=0 -1β2-1=0

Resolvendo, β1=-1, β2=-1, β3=-1 Portanto: Π2(μ)=ρβ1.Vβ2.Dβ3.μ1

Π2(μ)=ρ-1.V-1.D-1.μ1

( ) DV ..2

ρμ

μ =Π [3.34]

Da mesma forma Π3 (gravidade) será dada por; Π3(g)=ργ1.Vγ2.Dγ3.g1

Π3(g)=(ML-3) γ1.(LT-1) γ2.(L) γ3.(L1T-2)1

Π3(g)=(Mγ1L-3γ1).(Lγ2T-1γ2).(Lγ3).(L1T-2)1

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Π3(g)=(Mγ1).(L-3γ1 +γ2 +γ3+1).( T-1γ2-2)

γ1=0 -3γ1 +γ2 +γ3+1=0 -1γ2-2=0

Resolvendo, γ1=0, γ2=-2, γ3=1 Portanto: Π3(g)=ργ1.Vγ2.Dγ3.g1

Π3(g)=ρ0.V-2.D1.g-1

( ) 2

.3V

gDg =Π [3.35]

Também a Π4 (vazão) será dada por: Π4(Q)=ρδ1.Vδ2.Dδ3.Q1

Π4(Q)=(ML-3) δ1.(LT-1) δ2.(L) δ3.(L3T-1)1

Π4(Q)=(Mδ1L-3δ1).(Lδ2T-1δ2).(Lδ3).(L3T-1)1 Π4(Q)=(Mδ1).(L-3δ1 +δ2 +δ3+3).( T-1δ2-1)

δ1=0 -3δ1 +δ2 +δ3+3=0 -1δ2-1=0

Resolvendo, δ1=0, δ2=-1, δ3=-2 Portanto: Π4(Q)=ρδ1.Vδ2.Dδ3.Q1 Π4(Q)=ρ0.V-1.D-2.Q1

( ) 2.4

DVQ

Q =Π [3.36]

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VI – CONFERIR AS EQUAÇÕES DOS GRUPOS, UTILIZANDO O SISTEMA GRAVITACIONAL F, L, T

ρ = (F1 L-4 T2) V = (L1 T-1) D = (L1)

De modo Π1 ( potência) neste sistema será; Π1(P)=ρα1.Vα2.Dα3.P1

Π1(P)=(FL-4T2)α1.(LT-1)α2.(L)α3.(FL1T-1)1

Π1(P)=(Fα1-4α1T2α1).(Lα2T-1α2).(Lα3).(FL1T-1)

Π1(P)=(Fα1+1).(L-4α1 +α2 +α3 +1).( T2α1-α2-1)

α1+1=0 -4α1 +α2 +α3 +1=0 2α1-α2-1=0

Resolvendo o sistema de equações, temos: α1=-1, α2=-3, α3=-2 Portanto: Π1(P)=ρα1.Vα2.Dα3.P1

Π1(P)=ρ-1.V-3.D-2.P1

( ) 23..1

DVP

P ρ=Π [3.33’]

Da mesma forma Π2 (viscosidade) será dada por; Π2(μ)=ρβ1.Vβ2.Dβ3.μ1

Π2(μ)=(FL-4T2) β1.(LT-1) β2.(L) β3.(FL-2T1)1

Π2(μ)=(Fβ1L-4β1T2β1).(Lβ2T-1β2).(Lβ3).(F1L-2T1) Π2(μ)=(Fβ1+1).(L-4β1 +β2 +β3 2).( T2β1-β2+1)

β1+1=0 -4β1 +β2 +β3 -2=0 2β1-β2+1=0

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Resolvendo: β1=-1, β2=-1, β3=-1 Portanto: Π2(μ)=ρβ1.Vβ2.Dβ3.μ1

Π2(μ)=ρ-1.V-1.D-1.μ1

( ) DV ..2

ρμ

μ =Π [3.34’]

Da mesma forma Π3 (gravidade) será dada por; Π3(g)=ργ1.Vγ2.Dγ3.g1

Π3(g)=(FL-4T2) γ1.(LT-1) γ2.(L) γ3.(L1T-2)1

Π3(g)=(Fγ1L-4γ1T2γ1).(Lγ2T-1γ2).(Lγ3).(L1T-2) Π3(g)=(Fγ1).(L-4γ1 +γ2 +γ3+1).( T2γ1-1γ2-2)

γ1=0 -4γ1 +γ2 +γ3+1=0 2γ1-γ2-2=0

Resolvendo: γ1=0 , γ2=-2 , γ3=1 Portanto: Π3(g)=ργ1.Vγ2.Dγ3.g1

Π3(g)=ρ0.V-2.D1.g-1

( ) 2

.3V

gDg =Π [3.35’]

Tambem a Π4 (vazão) será dada por: Π4(Q)=ρδ1.Vδ2.Dδ3.Q1

Π4(Q)=(FL-4T2) δ1.(LT-1) δ2.(L) δ3.(L3T-1)1

Π4(Q)=(Fδ1L-4δ1 T2 δ1).(Lδ2T-1δ2).(Lδ3).(L3T-1) Π4(Q)=(Fδ1).(L-4δ1 +δ2 +δ3+3).( T2δ1-1δ2-1)

δ1=0

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113/285

-4δ1 +δ2 +δ3+3=0 2δ1-δ2-1=0

Resolvendo: δ1=0, δ2=-1, δ3=-2 Portanto: Π4(Q)=ρδ1.Vδ2.Dδ3.Q1 Π4(Q)=ρ0.V-1.D-2.Q1

( ) 2.4

DVQ

Q =Π [3.36’]

Visto como os dois sistemas de medida nos deram os mesmos grupos adimensionais, podemos então descrever os meios líquidos agitados como uma relação expressa pela seguinte função:

( )4321 ,, ΠΠΠ=Π f Ou

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2223 .

,.,.... DV

QV

gDDV

fDV

Pρμ

ρ [3.37]

A equação [3.37] sofrerá transformações decorrentes de verificações empíricas e adoção de quantidades características, como veremos mais tarde no estudo dos grupos adimensionais. Relembrando apenas que o comprimento característico L, foi adotado como sendo o diâmetro do impelidor D [3.31], e a velocidade característica como o produto da rotação pelo diâmetro do impelidor, ND [3.6]. Por ora, ela será apresentada na sua forma final.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 3

22

53 .,.,..

.. DNQ

gNDDNf

DNP

μρ

ρ [3.38]

O primeiro grupo adimensional da equação [3.37], P/N3. D5.ρ·, é chamado de Número de Potência ou Número de Newton, sendo designado por NPo. O segundo, N.D2.ρ/μ·, é o Número de Reynolds, NRey.

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O terceiro, N2.D/g, ë o Número de Froude, NFroude. O quarto, Q/D3.N, é o Número de Bombeamento, NQ. A equação [3.38], pode ser escrita da seguinte forma: Npo = f ( NRey, NFr, NQ ) [3.39]

3.4 – SIGNIFICADO FÍSICO DOS GRUPOS ADIMENSIONAIS As equações obtidas através da Análise Dimensional são fórmulas simplificadas e ainda de difícil manipulação. Conforme visto anteriormente, a Análise Dimensional é um modo lógico de juntar as variáveis de um fenômeno físico em pequenos grupos adimensionais, permitindo uma análise mais simples do mesmo. Ela serve também no auxílio da previsão do comportamento de sistemas reais, mediante a utilização de resultados obtidos em modelos reduzidos em escala, obedecendo é lógico as condições de semelhança geométrica, cinemática e dinâmica do sistema. Fazendo as transformações e substituições necessárias, obtemos fórmulas modificadas, com possibilidade de obtenção de resultados imediatos. Os grupos passam a ter as seguintes definições:

3.4.1 – NÚMERO DE REYNOLDS, NRey O grupo adimensional, “μ / ρ.V.D”, conforme foi obtido através da Análise Dimensional, pode ser definido como sendo a relação existente entre as Forças Inerciais e as Forças Viscosas dentro do escoamento considerado, no nossa caso, um sistema fluído agitado. As forças inerciais são desenvolvidas quando um fluído muda de direção ou velocidade. O fluído em movimento tende a perpetuar-se até encontrar uma superfície sólida como anteparo, ou outro fluído em direção diferente que se lhe oponha. Estas forças de inércia são desenvolvidas durante a transferência de quantidade de movimento (momentum), P

r, que então ocorre.

Relembrando que a quantidade de movimento, ou momento cinético ou momentum, P

r, vem a ser o produto da massa, m de um corpo pela velocidade v

de seu deslocamento, e é uma grandeza vetorial de mesma direção da velocidade, sendo um conceito físico de grande importância, pois combina os dois elementos que caracterizam o estado dinâmico de um corpo, sua massa e sua velocidade.

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Sua importância é acentuada pelo conceito de força Fr

que dela deriva. Força vem a ser a variação temporal (derivação) da quantidade de movimento.

( )dtmvd

dtdP

= Sendo m=cte dtdvm

dtdP

=

A variação temporal da velocidade vem a ser a aceleração a=dv/dt. Desta forma temos a força como: F=m.a Já as forças viscosas, aparecem quando uma camada de fluído se move mais rápida ou mais vagarosamente que outra camada vizinha de fluído, ou mesmo uma superficie sólida, onde ocorrem então tensões de cisalhamento.

O grupo adimensional “μ / ρ.V.D”, não é todavia, utilizado na forma como foi deduzido pela Análise Dimensional. Estudos e testes práticos indicam que o seu recíproco é mais conveniente de ser trabalhado. Desta forma, temos:

μρ

μρ 2....Re DNDVyN == [3.40]

Que pode ser expresso dimensionalmente por: NRey ~ Forças de Inércia

Forças Viscosas Onde: Força de inércia (pressão dinâmica) x área Força viscosa (tensão cisalhamento) x área

ρ - Densidade relativa dolíquido μ - Viscosidade do líquido D – Diâmetro do impelidor N – Rotação do impelidor

3.4.2 – NÚMERO DE BOMBEAMENTO, NQ O grupo adimensional “Q/V.D2”, que se obteve na Análise Dimensional, define a capacidade de bombeamento que um sistema fluído agitado possui, considerando uma velocidade média do fluído no tanque.

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2.DVQNQ =

Conforme visto, a velocidade característica foi dada pelo produto da rotação pelo diâmetro do impelidor, ND.

32. NDQ

DNDQNQ == [3.41]

Onde: Q – Capacidade de bombeamento do sistema NQ – Número de Bombeamento, adimensional, (pode ser encontrado em literatura especializada sobre agitação) O significado físico para o Número de Bombeamento pode ser dado, fazendo um estudo vetorial do fluxo de líquido que percorre o impelidor. Um impelidor de um agitador pode ser considerado como um rotor de bomba operando em aberto, ou seja, sem a carcaça e sem entrada e saída definidas. Para melhor compreender os vetores velocidade do fluxo que ocorre no impelidor do agitador, iniciamos com um estudo preliminar em um impelidor de uma bomba centrífuga. No esquema de uma bomba centrífuga dada na Fig. 3.3, pode-se verificar como o líquido fluí através da mesma.

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O líquido entra axialmente na sucção (a). Com a rotação do rotor, o líquido se desloca radialmente pelas palhetas do mesmo (1), fluindo para a periferia em (2), onde é coletado pela voluta e deixa a bomba em (b). O desempenho de uma bomba deve ser analisado considerando-se todos os estágios indicados. Entretanto o estágio (1) → (2) pode ser considerado o “coração” de uma bomba, sendo justamente onde necessitamos de uma análise vetorial das velocidades do fluxo. As figuras 3.4 e 3.5 mostram as velocidades do fluxo se deslocando do ponto (1) (2) e o diagrama de vetores na saída do impelidor da bomba. Para efeito de simplificação utilizamos um sistema bi-dimensional de coordenadas espaciais, indicando somente uma pá das muitas que um rotor de bomba possui.

Fig. 3.4 – Composição de vetores velocidades do fluxo na entrada e saída das pás de um

impelidor centrífugo

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Devido a configuração da pá do impelidor, a tangente do diâmetro mais externo do impelidor forma com o término da pá, um ângulo denominado de β2.

O vetor 2vr é a velocidade do fluído no ponto (2), conforme vista por um observador movendo-se juntamente com o impelidor, sendo, portanto uma velocidade relativa. O vetor pvr é a velocidade periférica do impelidor, determinada pela rotação do mesmo, sendo também uma velocidade relativa.

O vetor 2Vr

é a velocidade resultante do fluxo de líquido deixando o impelidor, visto de um referencial externo à bomba. Esta é a Velocidade Absoluta do fluído.

Este vetor velocidade absoluta 2Vr

, é, pela a Lei dos Paralelogramos de Vetores, a soma das velocidades relativas 2vr e pvr , conforme Fig. 3.5.

Fig. 3.5 – Diagrama vetorial na extremidade da pá de um impelidor.

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De posse da composição vetorial na extremidade do impelidor de uma bomba, podemos dar sequência ao estudo do Número de Bombeamento NQ de um impelidor de agitador em meio líquido. Conforme visto, um impelidor de agitador pode ser considerado um rotor de bomba operando em aberto. Iremos considerar um impelidor do tipo disco com pás retas conforme Fig 3.6.

Fig. 3.6 – Vetores Velocidade na extremidade de um impelidor Onde:

pV -Velocidade periférica das pás

tgr vv , -Velocidades radiais e tangenciais do líquido deixando a extremidade da pá

V -Velocidade total do líquido considerado num mesmo ponto Assumindo que a velocidade tangencial do líquido, vtg, é uma fração, digamos “k” da velocidade periférica das pás do impelidor, Vp , de modo que podemos escrever:

Ptg Vkv .= Sendo Vp = π.D.N

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NDkvtg ...π= [3.43]

A vazão volumétrica através do impelidor é dada por:

pr AvQ = [3.44]

Onde: vr – Componente radial da velocidade abs, V

Ap=πDW - Área de seção da altura das pás em todo o perímetro do impelidor, ver Fig 3.7 W = Altura da pá

Fig. 3.7 – Área de vazão volumétrica através do impelidor Uma análise da geometria dos vetores na Fig. 3.6, permite que possamos escrever a velocidade radial vr da seguinte forma:

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( ) βtgvvv tgpr −= [3.45]

Substituindo em [3.44]

( ) DWtgvvQ tgp πβ .−=

( ) ).( DWtgDNkDNQ πβππ −=

( ) DWtgDNkQ πβπ ..1−=

βπ tgkNWDQ )1.(22 −=

Assumindo a similaridade geométrica até agora empregada, podemos fazer a altura da pá W proporcional ao diâmetro do impelidor D, permitindo que possamos escrever:

( ) βπ tgkNDDQ −= 122

( ) βπ tgkNDQ −= 132 [3.46]

Para um determinado valor de conhecido de k e do ângulo β, a capacidade de bombeamento de um impelidor, Q, pode ser escrita como sendo;

Q α ND3 [3.47] A relação destas duas quantidades nos dá o que chamamos de Número de Bombeamento, NQ.

3NDQNQ = [3.48]

De modo que a capacidade de bombeamento de um impelidor é dada por:

Q = NQ N D3 [3.49]

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3.4.3 – NÚMERO DE POTÊNCIA OU NEWTON, NPo O grupo adimensional, P/ρV3D2, obtido na Análise Dimensional, pode ser definido como sendo a relação existente entre as forças de arraste nas pás do impelidor e as forças de inércia do sistema. A Força de Arraste é a resistência que um corpo sólido experimenta quando se encontra imerso num meio fluído e existe movimento relativo entre este corpo e o meio. A Força de Inércia, como definido anteriormente, são aquelas desenvolvidas quando da mudança de direção ou velocidade do fluído, ao encontrar algum obstáculo. Esta relação pode ser expressa dimensionalmente como:

23.. DVPNPo

ρ= =

( ) 23 DDNP

ρ = 35.. ND

Pρ

[3.50]

Npo ~ Forças de arraste Forças de inércia O significado físico para a relação entre forças de arraste e forças de inércia pode ser deduzido do seguinte: Consideremos o movimento relativo (rotação) de um impelidor em um meio líquido. Os deslocamentos das pás deste impelidor sofrerão uma resistência devido a Força de Arraste, FD, que está distribuída sobre todo o impelidor. Imaginemos esta força FD, concentrada nas extremidades das pás, conforme indicado em Fig. 3.4. Pela definição de Força de Arraste dada em [2.8], temos que;

2.. 2 ρVACF DD = [3.51]

Onde: FD – Força de arraste nas pás do impelidor CD – Coeficiente de arraste V – Velocidade do fluxo A – Área projetada das pás do impelidor

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ρ - Densidade do meio líquido

Fig. 3.4 – Forças agindo sobre um impelidor em rotação em meio líquido.

Não considerando constantes numéricas e utilizando-se grandezas similares à área A e à velocidade V, conforme visto em grandezas características temos que: A ∼ D2 V ∼ DN ∴ FD α [ CD . D2 . (DN)2 . ρ ] FD α [ CD . D4 . N2 . ρ ]

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Sendo que Potência pode ser definida como o produto da Força pela velocidade, P=F.V ∴ P = FD.VP P ∼ CD.D4.N2.(DN) P ∼ CD.D5.N3.ρ De modo que podemos escrever:

NPoNDP

=ρ.. 35 α CD [3.52]

3.4.4 – NÚMERO DE FROUDE, NFr O Número de Froude D.g/V2, dado pela Análise Dimensional, tem particular importância na Dinâmica de Fluídos, naqueles escoamentos com efeitos de superfície livre, onde o movimento de ondas e redemoinhos se faz presente. Num meio líquido agitado por meio do movimento rotatório de um impelidor, ocorre o aparecimento de vórtices devido o desbalanceamento das Forças Gravitacionais e Forças de Inércia presentes. O Número de Froude é a relação existente entre as Forças de Inércia e as Forças Gravitacionais. O grupo adimensional D.g/V2, não é utilizado na forma como foi deduzido através da Análise Dimensional. Estudos e testes práticos indicam maior conveniência em se utilizar o seu recíproco. NFr ~ V2 D.g Utilizando a proporcionalidade V=DN;

( )gDND

gDDNNFr

..

.

222

==

gNDNFr

2.= [3.53]

A interpretação física deste grupo adimensional pode ser dada da seguinte forma: Consideremos um meio líquido agitado mecanicamente, onde o recipiente seja

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cilíndrico e não possua defletores laterais. Ocorrerá desta forma a formação de um vórtice (Fig. 3.5)

Fig. 3.5 – Forças agindo em um impelidor em rotação

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Consideremos o volume de líquido que está acima do plano b-b e que passa pelo fundo do vórtice (Fig. 3.5). A formação deste vórtice representa o balanceamento das Forças de Inércia FI e as Forças Gravitacionais Fg. Podemos dizer então que as Forças de Gravidade são proporcionais à massa de líquido influenciada pelo vórtice. Se a altura média do líquido sobre o plano b-b é indicada por Z, e se a área do recipiente é A, então esta massa m de líquido será A.Z.ρ. Desta forma a Força de Gravidade por unidade de área, nos dá o que se denomina Tensão Gravitacional, τg

AFg α

AgAZ

Agm .. ρ=

AFg α ρ.Z.g

Desta forma a chamada Tensão Gravitacional, τg será dado por:

AFg

g =τ α ρ.Z.g

Uma vez que a similaridade esta assumida, podemos considerar Z proporcional ao diâmetro do impelidor, D.

AFg

g =τ α ρ.D.g [3.54]

A Tensão de Inércia, τi , por sua vez esta relacionada com a Quantidade de Movimento P do fluxo, associada ao movimento do fluído, que por sua vez quando derivada em relação ao tempo nos dá a Força, F = m.a.

Aam

AF

Adt

vm

AdtP

i.

.

====τ

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A massa é dada por m=AZρ A aceleração característica é dada por DN2 conforme visto em [3.7] Desta forma, podemos escrever:

22

... DNZADNAZ

i ρρτ ==

Uma vez que a similitude nos permite escrever que Z=D, então temos que a tensão inercial é dada por:

22NDAF

i ρτ == [3.55]

Visto que a velocidade periférica característica do impelidor é dada por VP=DN, podemos escrever a tensão inercial como sendo o produto da densidade pelo quadrado da velocidade periférica.

2. pi Vρτ = [3.56] Desta forma o Número de Froude representado pela relação entre a Tensão de inércia, τi e Tensão Gravitacional, τg será expresso na forma:

τ i/τg α RNFgDN

DgDN

==222

ρρ [3.57]

O Número de Froude aparece nas situações fluído-dinâmicas onde existe significativo movimento de ondas na superfície de um líquido. No nosso estudo de sistemas fluídos agitados, adotamos como premissa básica a ausência de vórtices que são prejudiciais aos agitadores, na grande maioria dos casos.

3.5 – RELAÇÃO ENTRE OS GRUPOS ADIMENSIONAIS Decorrente do nosso estudo da Análise Dimensional aplicada a um sistema fluído agitado vimos que os Grupos adimensionais estão relacionados conforme demonstrado na equação [3.38].

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⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 3

22

53 .,.,..

.. DNQ

gNDDNf

DNP

μρ

ρ [3.38]

Extensos trabalhos experimentais têm confirmado estas relações, para sistemas geometricamente similares. Visto que eliminamos a dependência de um sistema fluído agitado do Número de Froude podemos estabelecer relações e consequentemente levantar gráficos mostrando a interdependência entre NPo versus NRey e NQ versus NRey. Os gráficos resultantes correlacionam as variáveis iniciais básicas que são os efeitos da densidade e viscosidade do fluído, diâmetro e rotação do impelidor.

3.5.1 –NÚMERO DE POTÊNCIA VERSUS NÚMERO DE REYNOLDS Conforme visto no estudo da potência de agitação, o número de potência foi desenvolvido a partir da distribuição de pressão ao longo das lâminas do impelidor. Isto implicará que a correlação entre Npo e Nrey dependerá primariamente da configuração do impelidor. Em literatura especializada, podemos encontrar um sem-número de correlação Npo versus Nrey para impelidores de todo tipo de aplicação. As figuras seguintes mostram gráficos correlacionando Npo e Nrey para alguns tipos de impelidores muito empregados na indústria de transformação. Estes gráficos são obtidos experimentalmente utilizando toda a teoria da Análise Dimensional e Similitude até agora citada. O estudo das curvas que correlacionam Npo com Nrey revela que podemos dividir os sistemas fluídos agitados em zonas ou regimes claramente distintos, sendo eles o Regime Laminar, o Regime de Transição e o Regime Turbulento

3.5.1.1 – REGIME LAMINAR Para os sistemas onde o Número de Reynolds encontra-se em valores menores que 20, inclusive, a agitação encontra-se numa região viscosa ou laminar, onde predominam as forças viscosas, caracterizando os sistemas onde não se aceitam modificações bruscas de movimento. Esta região encontra-se na seção “A-B” dos gráficos.

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Fig. 3.6 – Número de Potência versus Número de Reynolds

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As curvas foram empiricamente levantadas para os impelidores identificados nos quadros acima. A inclinação A-B das curvas é típica para a maioria dos impelidores, e indica que o sistema agitado é grandemente dependente da viscosidade do fluído. Os efeitos das forças inerciais são negligíveis se comparado aos efeitos das forças viscosas, sendo o fluxo predominantemente tangencial. Observar que o Npo é comparativamente elevado em relação com outras seções das curvas

Fig. 3.7 – NPo versus NRey

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3.5.1.2 – REGIME DE TRANSIÇÃO À medida que o Número de Reynolds aumenta, o comportamento do líquido muda gradualmente de regime laminar para o regime turbulento. Valores de Nrey compreendidos entre 20 e 2000 indicam regimes dentro de uma região de transição. Como sua própria denominação, sistemas agitados onde o Número de Reynolds encontra-se na Zona de Transição, é indefinida no tocante as predominâncias dos efeitos viscosos ou inerciais. Os fluxos serão uma combinação de velocidade tangencial, axial e radial. Esta região encontra-se na seção “B-C” das curvas. 3.5.1.3 – REGIME TURBULENTO Número de Reynolds maiores que 2000, indicam que o regime encontra-se em zonas turbulentas, indicadas pela seção “C-D” das curvas. Após estes valores o Nrey, torna-se francamente turbulento, onde o Número de Potência será invariante, permanecendo constante mesmo que uma das suas variáveis aumente, como por exemplo, a rotação. O Número de Potência, característica principal de cada tipo de impelidor é normalmente fornecido e indicado para o regime invariante, situação esta em que se encontra a grande maioria dos sistemas agitados. A figura 3.8 mostra alguns tipos de impelidores mais usuais com seus característicos Npo no regime turbulente.

Fig. 3.8 – Valores de Npo turbulento para vários tipos de impelidores. W/D é a relação entre a altura projetada das pás e o diâmetro do impelidor

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Conforme exposto, a potência absorvida em um sistema fluído agitado está diretamente ligada ao chamado Número de Potência, que por sua vez está correlacionado com o regime de escoamento em que o sistema se encontra. Ao se dimensionar um agitador mecânico, instalam-se motores compatíveis com as potências requeridas, sem fatores de serviço exagerados, permitindo sua operação somente dentro de condições definidas de rotação, densidade e viscosidade do fluído, bem como geometria do impelidor. Alterações numa destas variáveis, implica em alterações do sistema fluído, podendo o Npo deslocar-se para regiões onde o seu valor aumenta, tendo como resultado um aumento na potência absorvida do sistema.

Visto que este trabalho está sendo apresentado com as unidades no sistema britânico, operaremos algumas modificações nas fórmulas. O Número de Reynolds, Nrey deverá ter suas variáveis dadas em;

μρ

2.Re DNyN =

Viscosidade em centipoise ( poise=g/cm.sec)x 10-2 Rotação em rpm Diâmetro do impelidor em polegadas Densidade relativa ou gravidade específica – adimensional

( ) ( )2

2

2

22

10...107,0

10.54,2.60/1Re −− ==

μρ

μρ DNDNyN

μρ

2..7,10Re DNyN = [3.39]

A potência absorvida, Pabs, derivada do Npo, e convenientemente trabalhada conforme abaixo, nos dará fórmulas mais manuseáveis.

35..

NDgPNPo c

ρ=

cgNDNPoP

35..ρ=

Onde: gc = contante de proporcionalida

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gc = 2sec..17,32

lbfftlbm

Vp=π.D.N → N=Vp/πD → N=V/D Portanto:

53

DDV

gP

c

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ρ

53

3

3

2

3

..

sec.. ft

ftsft

lbfftlbm

ftlbm

P = → 53

33

21

3

...sec...

. ftftsft

lbfftlbmftlbmP

−

−−

−

=

secftlbfP = Ou seja: P=F.v (potência=força x velocidade)

cgNDNPoftlbfP

35.sec

ρ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Sendo: P= lbf.ft/sec N=rps

D=ft gc=32,17 lbm.ft/lbf.sec2 ρ=62,30 lbm/ft3 ( água )

Fazendo as transformações necessárias para que: Pot.=HP, N=rpm, D=pol e ρ = ton/m3

NPoDNP .121

601

17,323.62 5

53

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

118605,1..9365,1 53 −= ENPoDNP NPoDNEP 53.116028,3 −=

Visto que 1 HP = 550 ft.lb/sec, então:

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NPoDNEP 53).145506,6( −= [3.40] Sendo: P= HP N=rpm D=pol ρ=1 ton/m3 Como a fórmula deve abranger sistemas onde a densidade seja diferente ao da água e agitadores com número de impelidores diferentes de um.

nNPoDNEP ...1365506,0 53 ρ−= Isto nos permite escrever uma fórmula mais simplificada

13524,1.... 53

EnDNNPoP ρ

= [3.41]

O exemplo que se segue procura mostrar a correlação existente entre o Número de Potência e o Número de Reynolds, bem como das consequências advindas de alterações que por ventura se faça em equipamentos sem o devido cuidado. EXEMPLO: Um sistema fluído agitado mecanicamente foi dimensionado para operar com as seguintes variáveis.

• Impelidor tipo 6PBT-45 conforme Fig.3.6 curva 4 • Diâmetro impelidor: D=20” • Rotação: N=130 rpm • Viscosidade líquido: μ = 1500 cP • Densidade líquido: ρ = 1,0 • Acionador: motor elétrico ¾ HP

O sistema encontra-se trabalhando no seguinte regime de escoamento:

μρ 2..7,10Re DNyN =

3701500

20.130.0,17,10Re2

==yN Regime de transição

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Plotado na curva #4 da figura 3.6, o Npo =1,4 é invariante A potência absorvida pelo sistema será:

( ) ( ) bhpEE

DNNPoPabs 64,013524,1

0,1.20.1304,113524,1

.5353

===ρ

Pabs=0,64 < Pmotor=0,75 hp OK Modificação #1 Na eventualidade de termos as condições de operação alteradas como, por exemplo, para um fluído com viscosidade de fluído de 5000 cP e densidade de 1,2. O Número de Reynolds torna-se:

1335000

20.130.2,17,10Re2

==yN Regime de transição

Observando a curva #4 verifica-se um deslocamento para esquerda do Npo. Que passará a ser Npo=1,9. A potência absorvida será então:

( ) ( ) bhpE

Pabs 05,113524,1

2,1.20.1309,153

==

Pabs=1,05 > Pmotor=0,75 hp

Modificação #2 Alterando-se a rotação para 145 rpm e diâmetro do impelidor para 22”:

6001500

22.145.2,17,10Re2

==yN Regime de transição – Npo=1.6

( ) ( ) bhpE

Pabs 64,113524,1

0,1.22.1456,153

==

Pabs=1,64 > Pmotor=0,75 hp Descobriremos de maneira quase que imediata que o motor não está dimensionado para trabalhar nestas novas condições e provavelmente ele também terá problemas mecânicos.

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136/285

3.5.2 –No. DE BOMBEAMENTO versus No. DE REYNOLDS Conforme visto na seção 3.2.3, podemos associar a velocidade do fluxo com o regime de escoamento do sistema, ou seja, o seu Número de Reynolds. Muitos trabalhos têm demonstrado esta correlação. O gráfico apresentado em Fig. 3.9, nos mostra esta correlação para um impelidor do tipo turbina de pás retas inclinadas a 45º com Número de Potência invariante de 1,37 e contém curvas para várias relações entre o seu diâmetro e o diâmetro do tanque. Inúmeras correlações para os mais variados tipos de impelidores podem ser encontradas em literatura especializada. Em um sistema fluído agitado, espera-se que todo o meio objeto do processo possua as mesmas características em qualquer ponto do recipiente que o contém. Nestas condições, um impelidor deverá ser capaz de produzir a circulação do fluído por todo o volume do tanque, dentro de um tempo requerido. Também as velocidades das correntes de fluxo que deixam o impelidor, devem ser suficientemente “fortes” para atingir as partes mais remotas do recipiente. Estas correntes de fluxo induzidas pelo impelidor carregam certa quantidade de energia que será dissipada por meio de atrito, devido à ação cisalhante que as correntes de fluxo provocam ao atravessar a massa de meio líquido. Como visto, a capacidade de bombeamento Q em CFM é proporcional à quantidade NQ. N.D3, onde NQ é um fator adimensional, N a rotação em rpm e D o diâmetro do impelidor em pés. Os gráficos semelhantes ao da Fig. 3.9 permitem o cálculo da capacidade de bombeamento de um sistema fluído agitado mecanicamente.

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Fig. 3.9 Número de Bombeamento como função do Nrey para impelidor de pás retas

inclinadas a 45o (Npo= 1,37) Dividindo-se o valor de Q pela área da seção transversal do tanque A, obtemos o que se denomina de velocidade aparente, VB., uma quantidade que será utilizada como referência para se determinar o grau de agitação do sistema.

VB = Q/A Devido a dissipação de energia do fluxo ao atravessar o massa líquida, a velocidade da corrente que deixa o impelidor, dada pela velocidade periférica do mesmo, não pode ser utilizada como representativa das correntes no tanque. Estas velocidades diminuem à medida que se afastam da região do impelidor, indo para as paredes do tanque e locais mais remotos. A Fig. 3.40, mostra as correntes de fluxo induzidas por um impelidor do tipo Turbina de 6 pás retas a 90 graus, com 6 polegadas de diâmetro, girando a 200 rpm, num tanque cilíndrico de 12 polegadas de diâmetro, com água à temperatura ambiente. O plano de observação passa através do eixo do impelidor e imediatamente a frente do defletor.

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Fig. 3.40 – Perfil de velocidades de fluxo de um impelidor tipo turbina de 6 pás retas a 90 graus O fluxo deixa o impelidor numa direção radial, e ao atingir a parede do tanque, próximo do defletor, o fluxo é direcionado para cima e para baixo percorrendo longitudinalmente o tanque. Estas correntes dirigem-se para o centro, na região do eixo e retornam novamente até o impelidor. Imediatamente abaixo do impelidor, no centro do tanque, observa-se um redemoinho, indicando correntes predominantemente tangenciais. Os números indicados na figura 3.40 mostram a magnitude da velocidade do fluído em vários pontos, sendo frações da velocidade periférica do impelidor.

Eixo

Redemoinho

Superfície do líquido

Defleto

Parede do

Impelidor

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A velocidade aparente representativa de todo o sistema é considerada como sendo a velocidade do fluxo a 2/3 da altura do líquido, conforme indicado na Fig. 3.41. Destes conceitos, surge o que se chama grau de agitação do sistema fluído agitado que como veremos mais adiante é fundamental para especificação de um agitador.

Fig. 3.41 – Localização da Velocidade Aparente, Vb 4. MODELOS DE FLUXOS EM VASOS/TANQUES MECANICAMENTE AGITADOS O estado hidrodinâmico do fluxo num vaso cilíndrico agitado mecanicamente por um impelidor é algo complexo, particularmente nas vizinhanças do impelidor onde ocorrem regimes violentamente turbulentos. De qualquer forma fazendo as devidas simplificações, podemos afirmar que o tipo de fluxo num vaso agitado depende das características do fluído, da geometria e proporções do tanque e do próprio impelidor que produz o fluxo. A velocidade do fluído em qualquer ponto do tanque possuI três componentes distintos e o perfil global do fluxo vai depender das variações que estes componentes apresentarem ponto a ponto no sistema.

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O primeiro componente de velocidade é a radial, Vr. Este componente age numa direção perpendicular ao eixo do impelidor. O segundo componente age numa direção paralela ao eixo do impelidor. Ela é chamada de componente axial, Vz. A terceira componente é a tangencial ou rotacional, Vg. Ela age numa direção tangencial à círculos concêntricos a linha do eixo. Nos sistemas hidrodinâmicos agitados mecanicamente com eixos verticais, os componentes de velocidade radial e tangencial estão localizadas num plano horizontal e a componente axial num plano vertical. Nestes, as componentes responsáveis pela ação de agitação é a axial e a radial, ficando o componente tangencial como indutor de efeitos indesejáveis tais como a criação de vórtices e redemoinhos. Se considerarmos um tanque cilíndrico sem defletores e eixo centrado, o vórtice formado pelo componente tangencial tende a perpetuar-se e em altas velocidades este pode chegar até a região do impelidor arrastando grande quantidade de ar para o meio líquido (ver Fig. 4.3 e 4.4). Nesta situação o impelidor poderá operar parcialmente descoberto. Esta situação, com frequência, é prejudicial, pois pode proporcionar a dissolução do ar no líquido formando espuma e produzir oscilações e vibrações comprometedoras ao sistema mecânico. Nos sistemas onde o regime é laminar, a tendência é estratificar as velocidades tangenciais em vários níveis, sem o acompanhamento do fluxo axial e radial. Se houver presença de sólidos, as correntes tangenciais tendem a deslocar (pela força centrífuga) as partículas para as regiões mais próximas das paredes do tanque. Neste ponto, estas partículas vão para o fundo do tanque produzindo então, acúmulo de material no que se chama de “zonas mortas” . O regime de um sistema líquido agitado por impelidor mecânico depende inicialmente do Número de Reynolds, ou seja, se o sistema é laminar, de transição ou turbulento. Deste modo podemos definir o estado hidrodinâmico do fluxo num vaso cilíndrico agitado mecanicamente por um impelidor, como sendo função do Número de Reynolds do sistema, conforme já demonstrado quando indicamos a interdependência entre o Número de Reynolds e a Capacidade de Bombeamento e Número de Reynolds e Potência. Isto permite descrever os regimes dos fluxos da seguinte forma:

REGIME COMPLETAMENTE LAMINAR, Fig. 4.1A Nas regiões onde N.Rey 10, o líquido ao redor do impelidor se movimenta juntamente com a rotação do impelidor e a medida que vai se afastando da região do impelidor começa a tornar-se estagnado conforme indicado na figura Fig 4.1A.

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Este comportamento deve-se a predominância das forças viscosas e o sistema não aceita modificações bruscas do movimento. Nestes sistemas os efeitos centrífugos devido à rotação do impelidor são neglicíveis e a circulação é pobre. Das componentes existentes da velocidade, predomina no sistema a componente de velocidade tangencial e ela é observada em todos os níveis do fluído, sendo, porém mais acentuada na região do impelidor, diminuindo à medida que se afasta do mesmo até todo o sistema se estagnar. Os impelidores usados para sistemas hidrodinâmicos laminares devem ser os maiores possíveis de modo que possam induzir a circulação em todo o tanque. Normalmente são utilizados impelidores do tipo âncora ou fitas helicoidais em tanques sem defletores. A figura 4.1A1 mostra um sistema laminar onde operamos com um impelidor de pás verticais retas e pequena dimensão. A região onde há circulação esta tracejada e somente próximo ao impelidor ela se faz presente. A figura 4.1A2 mostra o mesmo sistema operado com um impelidor do tipo ribbon (fitas helicoidais) com a circulação presente em todo o tanque.

REGIME PARCIALMENTE LAMINAR, Fig. 4.1B Quando o Número de Reynolds aumenta para valores acima de 10 ou mais, a força centrífuga devido a rotação do impelidor começa a deixar de ser negligível e a circulação de fluxo se desenvolve com a contribuição da transferência de momento angular ( momentum ) para as partes mais distantes do líquido. Observam-se zonas estagnadas somente em regiões imediatamente acima e abaixo da extremidade do impelidor, numa forma toroidal conforme mostrado na figura 4.1B.

REGIÃO DE TRANSIÇÃO, Fig. 4.1C Quando o Número de Reynolds aumenta para algumas centenas (Nrey=300˜500), o fluxo ao redor do impelidor começa a tornar-se turbulento e a circulação do fluxo aumenta notadamente e o que ocorre é uma combinação de fluxos laminar e turbulento denominada de zona de transição. Nestes sistemas, as zonas estagnadas observadas nos regimes laminares, desaparecem totalmente. Apesar do fluxo que deixa o impelidor ser laminar, a velocidade de rotação induzida pela componente rotacional começa a diminuir e a diferença entre as velocidades do líquido e do impelidor é grande o suficiente para que os efeitos centrífugos sejam predominantes Juntamente com as regiões mostradas nas figuras 4.1A e 4.1B, a região de transição não apresenta depressão na superfície do líquido que origina os redemoinhos, e deste

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modo não necessita da instalação de defletores. Nestes sistemas a instalação de defletores pode provocar também o surgimento de zonas mortas e estagnadas imediatamente atrás dos mesmos. REGIME TURBULENTO/FRANCAMENTE TURBULENTO, Fig. 4.1 D Na faixa de Número de Reynolds maior que 103, a componente tangencial é predominante e o comportamento do sistema dependerá da existência ou não de defletores no tanque. Em tanques sem defletores, além da componente tangencial predominante que produzirá a rotação de todo líquido, haverá correntes de fluxo secundárias que se sobreporão entre si. Existirá neste caso a formação de depressão no centro do tanque iniciando o redemoinho. A figura 4.1D1, mostra um sistema trabalhando em regime turbulento dentro de um tanque com defletores. Já a figura 4.1D2, mostra o mesmo sistema turbulento em um tanque sem defletores com início do vórtice e as correntes secundárias.

Figura 4.1 – Regimes de fluxo que ocorrem num sistema agitado em função do Número de Reynolds

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Visto que o nosso trabalho centra-se basicamente no regime de fluxo turbulento e francamente turbulento, naquela região do gráfico, Nrey versus Npo (Fig. 3.6, 3.7) em que o regime torna-se invariante após atingir determinado Número de Reynolds, vamos tomar somente o comportamento hidrodinâmico da figura 4.1D para mostrar as componentes típicas de velocidades encontradas em um sistema de agitação e como elas se distribuem nele. Nagata estudou a distribuição de velocidade em água com medidores de velocidade do tipo tubo pitot, utilizando um tanque cilíndrico de 58,5 cm. As velocidades típicas podem ser vistas na figura 4.2(A, B, C e D) onde se compara o tanque sem e com defletor. O impelidor utilizado é uma turbina de 8 pás retas verticais com 30 cm de diâmetro denominada comumente de 8FBT (Flat Blade Turbine). O regime é francamente turbulento e invariante, e apesar de ter sido utilizado um tipo específico de impelidor, podemos utilizá-lo para entendermos como as velocidade se distribuem em um sistema agitado por impelidor. Impelidores com geometrias diferentes, apenas deslocarão as curvas para um lado ou outro, permanecendo a validade do estudo.

Tanque sem defletor

Tanque com defletor (não mostrado) Fig. 4.2A – Distribuição de Velocidade para a componente tangencial (Vt)

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Na figura 4.2A observar-se no tanque sem defletor que a velocidade tangencial é muito maior do que quando o tanque está equipado com defletores na parede do mesmo. As forças inerciais prevalecem sobre as forças viscosas e todo o conjunto líquido passa a acompanhar atrasadamente o movimento rotatório do impelidor. O fenômeno devido ao chamado Número de Froude visto em [3.4.4] surge como efeito devido ao desbalanceamento das forças de inércia e das forças gravitacionais e ocorrerá então o aparecimento de um vórtice no centro da massa líquida. Quando instalamos defletores, a componente tangencial é drasticamente reduzida e o fenômeno devido o Número de Froude desaparece. Vórtices e redemoinhos nestes casos são considerados negligíveis. A figura 4.2.B mostra a distribuição de velocidades para a componente radial, Vr. Ela se dirige para a parede do tanque numa direção perpendicular ao eixo Z do agitador. Verifica-se que sua atuação mais significativa encontra-se mais ou menos confinada na região próxima do impelidor. As linhas tracejadas da figura 4.2B indicam este confinamento. Exceto pelo início de vórtice, parece não haver grandes diferenças nas velocidades dos fluxos produzidos em tanques com ou sem defletores.

Tanque sem defletor

Tanque com defletor (não mostrado)

Fig. 4.2B – Distribuição de Velocidade para a componente radial (Vr)

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Tanque sem defletor Tanque com defletor (não mostrado)

Fig. 4.2C – Distribuição de Velocidade para a componente axial (Vz)

A distribuição de velocidades para a componente axial é mostrada na figura anterior 4.2C, tanto para o tanque sem defletor e devidamente equipado com defletores laterais. Conforme mostrado na figura 4.2C, na região imediatamente acima do impelidor, o líquido move-se para cima na região próxima do impelidor e também bem próximo da parede do tanque. O líquido retorna então através do através do “annulus” indicado entre as duas linhas tracejadas da figura considerada. A combinação das três componentes mostradas anteriormente, nos dá a circulação total do fluxo. A figura 4.2D indica as linhas de fluxo resultante dos três componentes. A figura à esquerda de 4.2D mostra as linhas de fluxo ocorrendo em um tanque sem defletores e à direita em um tanque com quatro defletores integrais, ou seja, desde o fundo até a superfície do líquido. As linhas de fluxo resultantes mostram perfeitamente que a instalação de defletores na parede, previne a formação de vórtices devido à eliminação da componente tangencial. Próximo à superfície do líquido passamos a ter correntes de fluxo horizontais que fazem com que o líquido retorne para a região de mais baixa pressão que é o centro do tanque. Tem-se início então a

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circulação que é a princípio o objetivo que se deseja dos sistemas mecanicamente agitados por impelidores.

Fluxo total em tanque sem defletor Fluxo em tanque com defletor (indicado na figura)

Fig. 4.2D – Distribuição do fluxo resultante, Q

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Fig. 4.3 – Formação de vórtice

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Fig. 4.4 Vórtice em alta velocidade atingindo o impelidor

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Vórtices e redemoinhos podem ser evitados pelos seguintes métodos:

• Em tanques pequenos e sem defletores, o impelidor pode ser instalado fora do centro, conforme indicado na figura 4.5. O eixo deve ser um pouco inclinado em relação à linha vertical.

• Em tanques maiores, o agitador pode ser montado na parede lateral ou costado do

tanque. Neste caso, o eixo fica num plano horizontal, Fig. 4.6.

Fig. 4.5 – Eliminação de vórtices através de montagem do impelidor deslocado do centro em tanques sem defletores

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Fig. 4.6 – Eliminação de vórtices através de montagem de agitador de entrada lateral em tanques sem defletores

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Fig. 4.7 – Formas incorretas de posicionamento de agitadores de entrada lateral

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Em tanques de maiores dimensões e montados com agitadores verticais, o método preferível de redução e eliminação de vórtices é a instalação de defletores que interceptem a componente tangencial do fluxo sem interferir com o fluxo axial e radial. Existem vários tipos de montagem destes defletores conforme indicado na Fig. 4.8, entretanto a maneira mais convencional para eliminação da componente tangencial do fluxo é utilizar 4 (quatro) defletores do tipo integral ao longo de toda parede dos tanques espaçados de 90º. Em tanques de grandes dimensões é recomendável a utilização de um número maior de defletores. Nestes casos os modelos de fluxo assumem comportamento hidrodinâminco semelhante aos dos indicados nas figuras Fig 4.8 e Fig. 4.9 O defletor do tipo integral indicado deve seguir uma proporcionalidade geométrica em relação a uma variável dimensional do sistema, que como veremos mais adiante é o diâmetro do tanque designado por “T”.

Fig. 4.8 – Métodos de eliminação de vórtices através da instalação de defletores.

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Visto os mecanismos normalmente utilizados para eliminar as ocorrências de vórtices, o fluxo produzido por um impelidor dentro de um tanque cilíndrico então passa a depender somente do tipo, geometria e proporcionalidade do impelidor utilizado. Os impelidores de indução de fluxo predominantemente axial são utilizados quando se deseja produzir dentro do tanque, circuitos de fluxos de cima para baixo ou vice-versa. Na figura Fig. 4.9 podemos ver claramente o comportamento da componente de velocidade predominante no sistema, direcionando o fluxo para o fundo do tanque. O impelidor utilizado no caso é do tipo de pás retas inclinadas denominado PBT (Pitched Blade Turbine).

Fig. 4.9 – Modelo de Fluxo Axial em tanque com defletor integral

O fluxo ao deixar o impelidor desloca-se para baixo e para a periferia do tanque onde encontram os defletores, sendo então direcionados naturalmente para cima. Desde modo os defletores, além de eliminar os redemoinhos, atuam de modo muito importante no direcionamento do fluxo. Quando o fluxo atinge as regiões superiores, próximo da superfície, o fluxo é forçado a retornar para a região central do sistema onde existe uma zona de baixa pressão produzida pelo fluxo em movimento. Isto produz então um eficiente modo de circulação e transporte de massa. Nas camadas superiores podemos afirmar com certeza que o fluxo é totalmente horizontal e como veremos mais adiante o comportamento desta superfície pode ser adotada como meio de definir graus de agitação.

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Impelidores de fluxo radial tem como principal característica induzir correntes de fluxo predominantemente radiais. Podemos observar na figura Fig. 4.10 que as correntes de fluxo estão mais ou menos confinadas nas proximidades do impelidor, tanto acima como abaixo do mesmo. O impelidor é do tipo pás retas verticais, denominado FBT (Flat Blade Turbine). O fluxo que próximo ao eixo imediatamente acima do impelidor é axial, toma gradualmente um perfil radial, até atingir as paredes do tanque, onde é redirecionado tanto para cima como para baixo. Os impelidores que induzem fluxos predominantemente radiais, quando montados em tanques com defletores, conseguem produzir também fluxos axiais, tanto nas paredes do tanque como na parte central.

Fig. 4.10 – Modelo de Fluxo Radial (tanque com defletores do tipo integral).

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Fig. 4.11 – Modelos de Fluxo em tanques com mais de um impelidor; a) Dois impelidores de

fluxo axial; b) Dois impelidores de fluxo radial; c) Múltiplos impelidores radiais

Algumas situações podem ocorrer que determinado tanque tenha que ter por questões de processo ou espaço, a altura muito maior do que o diâmetro. Nestes casos, dois ou mais impelidores podem ser montados no mesmo eixo, e cada impelidor agirá isoladamente como indutor de fluxo. Duas ou mais correntes de circulação são geradas então. Ver figura Fig. 4.1.1. 5 - RELAÇÕES GEOMÉTRICAS Comumente, quando precisamos descrever os efeitos produzidos pela agitação de líquidos em tanques cilíndricos verticais, adotamos uma relação considerada ideal entre a altura do líquido, Z e o diâmetro interno do tanque T, como sendo Z/T=1. A partir desta relação primária ideal,

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podemos descrever as relações geométricas e proporções dos diversos componentes de um sistema agitado mecanicamente. A relação Z/T é chamada de razão de preenchimento e pode variar de acordo com as necessidades de processo, espaço, etc. Usualmente esta relação pode variar entre 0,5 e 1,5, sendo que nestes valores limites o sistema não apresenta diferenças consideráveis em relação à chamada relação ideal. A escolha do número e posicionamento dos impelidores dentro de um tanque ou vaso, além de depender da relação Z/T, também depende do tipo de processo a ser utilizado, sendo usualmente governada pelos requisitos de agitação. Se o processo for por batelada e com agitação durante o descarregamento, o posicionamento do(s) impelidor(es) passa a ter grande importância e normalmente ele é definido em função desta necessidade ou não da agitação durante o descarregamento do produto. Quando se utiliza múltiplos impelidores de fluxo axial, particular cuidado deve ser tomado ao se definir a distância entre eles. Se os impelidores forem localizados muito próximos um do outro (por exemplo menor que um diâmetro de impelidor), seu comportamento hidrodinâmico na indução de fluxo pode ser considerado como sendo de um só impelidor de maior dimensão. Múltiplos impelidores de fluxo axial possuem menor tendência de produzir fluxo separado do que múltiplos impelidores de fluxo predominantemente radial, por isto eles devem ser posicionados sempre a uma distância mínima de um diâmetro de impelidor. Os impelidores de fluxo quando montados em número de dois ou mais, possuem melhor capacidade de produzir fluxos separados, podendo ser montados a uma distância mínima de 1,5D de afastamento entre si. Neles a distância do impelidor próximo a superfície e à superfície do líquido deve ser entre 0,5 e 1,5 D. Se um impelidor de indução de fluxo axial ou radial for posicionado muito próximo da superfície do líquido, as correntes de fluxo podem desenvolver pequenos redemoinhos responsáveis pela incorporação de ar no meio líquido, mesmo com defletores instalados. Em tanques cilíndricos verticais os defletores são montados na parede do tanque e obedecem à uma relação considerada ideal que é fixada como sendo 1/10~1/12 do diâmetro do tanque. Conforme visto nas tabelas I e II as relações geométricas dos diversos componentes de um tanque agitado mecanicamente serão classificados conforme os tipos de fases presentes no mesmo. A figura Fig. 5.1 mostra as cotas referentes ao posicionamento e dimensões dos componentes do tanque.

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Fig. 5.1 – Relações geométricas em tanques cilíndricos agitados

5.1 – SISTEMAS MONOFÁSICOS LÍQUIDO-LÍQUIDO

cP

No. IMPELIDORES

FOLGA IMP/FUNDO

Z/T (máximo)

Diâmetro Impelidor D

DEFLETORES

H2 B

< 25000

1 Z/3

1,4

0,3<T<O,5T

T/12

T/12

2 T/3

(2/3) Z 2,1

> 25000

1 Z/3

0,8

2 T/3

(2/3) Z 1,6

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5.2 – SISTEMAS BIFÁSICOS SÓLIDO-LÍQUIDO

No. Impelidores

Folga

Imp/Fundo

Z/T Máx.

Defletores

Diâmetro do Impelidor

H1

H2

Bc

B

Tanque Fundo Plano

Tanque Fundo

Abaulado

Tanque Fundo

Esférico

1

Z/4

1,2

T/72

T/12

D=0,4T D=0,35T

2

T/4

2/3Z

1,8

6. EQUIPAMENTOS E COMPONENTES Usualmente a agitação em meios líquidos é feita em recipientes cilíndricos verticais, tais como vasos e tanques. Um sistema de agitação considerado como padrão é composto normalmente das seguintes partes: acionador que normalmente é elétrico, mas pode ser pneumático ou hidráulico, redutor de velocidades que pode ser por redutor de engrenagens ou sistema de transmissão por polias e correis, eixo, acoplamentos, vaso/tanque, impelidor e acessórios tais como selo mecânico, caixa de gaxetas, mancais de escora-guia, estabilizadores e partes internas tais como: defletores, serpentinas, camisas, draft tube, revestimentos, etc. O recipiente cilíndrico para o sistema de agitação pode ter uma configuração de um tanque aberto atmosférico ou um vaso de pressão fechado. Tanques atmosféricos geralmente obedecem a normas de construção do tipo API 650, tanques fechados sob baixa pressão a API 620 e os fechados sob pressão, a norma ASME Seção XIII. Os tanques fechados são utilizados, por exemplo, nas condições de processo onde se requerem operação sob pressão para se obter uma reação ou impedir o desprendimento de substâncias tóxicas proveniente do líquido agitado. A vedação dos mesmos se faz por meio de dispositivos do tipo selo hidráulico, caixa de gaxetas ou selos mecânicos. A configuração básica do vaso e do tanque vertical pode ser vista na figura Fig. 6.1 e Fig. 6.2

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Fig. 6.1 – Padrão de tanque atmosférico com fundo plano agitado mecanicamente.

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Fig. 6.2 – Padrão de vaso sob pressão agitado mecanicamente

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6.1 TANQUES E VASOS Tanques e vasos cilíndricos verticais com fundo plano ou arredondado são geralmente os mais utilizados em sistemas mecanicamente agitados. Outros tipos de recipientes também são utilizados para estes sistemas dependendo então de variáveis como espaço, processo, disponibilidade de tanques, etc., podendo ser do tipo cilíndrico horizontal, quadrados ou retangulares (ver Fig 6.6). Os padrões de fabricação e projeto destes tanques/vasos obedecem a normas tais como API 650 para tanques atmosféricos, API 620 para tanques de estocagem com baixa pressão, ou ASME Seção XVIII para vasos pressurizados. No caso de recipientes cilíndricos verticais (onde nosso trabalho está apoiado) devemos relevar alguns fatores importantes quando do projeto do tanque/vaso.

Fig. 6.6 – Tipos de Tanques

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6.1.1 – RELAÇÃO ENTRE ALTURA DO LÍQUIDO E DÍÂMETRO DO TANQUE Usualmente, a relação entre a altura do líquido e o diâmetro do tanque fica entre valores compreendidos entre 0,5 e 1,5 sendo esta razão denominada de razão de enchimento Fig. 6.7.

Fig. 6.7 – Relação entre Z e T , denominado de razão de enchimento

Procura-se sempre que possível especificar tanques com razão de enchimento próximo de 1,0 (square) visto ser esta a relação normalmente adotada quando se faz estudos empíricos para determinação de características físicas de impelidores que determinarão valores para o Número de Potência, Número de Bombeamento, etc. De modo geral a melhor configuração para um vaso ou tanque é a chamada “square” que tem a razão de enchimento próxima de 1,0 onde o diâmetro do tanque/vaso e a altura do líquido são aproximadamente iguais. A figura Fig. 6.8 procura ilustrar porque uma configuração dita “quadrada” é mais eficiente nos sistemas mecanicamente agitados. Para um mesmo volume de líquido, um tanque baixo e largo necessita de impelidor de grandes dimensões girando em baixa rotação o que requer redutores de velocidades de alto torque. Um tanque alto e estreito, poderá requerer múltiplos impelidores e eixos muito longos, o que com certeza apresentará problemas de rotação crítica e de mancais de escora-guia.

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Fig. 6.8 – Tanques/Vasos “quadrados” são mais adequados para sistemas agitados

6.1.2 – FORMA DO FUNDO DO VASO/TANQUE De uma maneira geral, vasos e tanques com fundo arredondados tendem a consumir menos potência na agitação do que outras geometrias. Isto se deve ao fato de já termos uma configuração que facilita as correntes de fluxo. Recipientes com fundo plano tem a desvantagem de uma baixa eficiência nos cantos entre a parede e o fundo, criando zonas mortas de difícil circulação do fluxo. Tal problema também ocorre na extremidade do cone nos tanques de fundo cônico.

Fig.6.9- Esquema de vasos cilíndricos verticais com vários tipos de fundo

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Outros tipos de fundo têm sido estudados, particularmente para suspensões de sólidos. Estes estudos indicam tanques com fundo perfilado permitem especificar sistemas de agitação mais eficientes, tanto hidrodinâmicamente, visto que o tanque tem perfil que facilita as correntes de fluxo, tanto quanto mecanicamente, visto que menor potência será despendida. Nos tanques de fundo plano, existe a ocorrência de cantos mortos que se situam no fundo do tanque imediatamente abaixo do impelidor e na intersecção entre o fundo e o costado. Estas zonas mortas são naturais em todos os sistemas que utilizam fundos planos, elas ocorrem devido à tendência do fluxo percorrer o caminho de menor consumo de energia, ver Fig 6.10

Fig. 6.10 – Correntes de fluxo em um tanque com defletores (não mostrado), indicando

zonas mortas abaixo do impelidor e nas paredes do tanque junto ao fundo Chudacek estudou formatos de fundo de tanques cilíndricos e concluiu nos seus estudos que o formato de fundo ideal para um tanque cilíndrico vertical é o chamado de fundo totalmente perfilado. Nele a configuração do fundo estaria bem próxima do formato hidrodinâmico do fluxo que ocorre durante a agitação produzida por impelidores, eliminando desta forma os pontos mortos, ver Fig. 6.11

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Visto que este formato implica em produzir tanques complexos na sua forma tornando-os de difícil fabricação e de alto custo, podemos pensar em introduzir no fundo do tanque um perfil que se aproxime do perfil ideal, mas que seja de fácil fabricação. A figura 6.12 mostra um tanque cilíndrico vertical onde os cantos retos são substituídos por cantos inclinados de fácil fabricação. O centro onde ocorre uma zona morta possui um cone invertido. Um tanque de fundo reto pode ser facilmente transformado para possuir um perfil próximo do chamado ideal.

Fig. 6.11-Fundo ideal Fig. 6.12 – Fundo quase ideal

6.2 – IMPELIDORES A seleção de um impelidor está intimamente ligada às condições requeridas de processo e ao tipo de atuação requerida do mesmo no sistema hidrodinâmico a ser produzido. As funções básicas do impelidor é produzir; bombeamento, circulação, turbulência ou cisalhamento que resultar em operações hidrodinâmicas globais de homogeneização, dispersão, suspensões, etc. Na maioria das aplicações, o efeito mais desejado de um impelidor, é o transporte do líquido através do tanque. Nestes casos o impelidor deve ser capaz de induzir correntes de fluxo que atinjam todo o líquido a ser agitado, mesmo que com níveis diferentes de energia de agitação.

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Nas operações de bombeamento e circulação, temos como principais objetivos as condições de homogeneização e mistura de líquidos, a suspensão de sólidos, promover a transferência de calor, etc. Já o cisalhamento, é um efeito produzido quando temos um diferencial de velocidades elevado em dois pontos do líquido. Este efeito é desejado quando temos, por exemplo, que dispersar aglomerados de partículas sólidas em meios líquidos, produzir a mistura de materiais extremamente viscosos com materiais pouco viscosos ou dispersar um produto de fase gasosa em outro de fase líquida, neste caso bolhas grandes são transformadas em pequenas e bombeadas pelo meio líquido. A turbulência é produzida pelo movimento irregular do fluído em todas as direções. Para que ela ocorra, os efeitos de circulação e cisalhamento devem estar presentes. Os impelidores que produzem estas operações hidrodinâmicas podem ser divididos em três classes: aqueles em que as correntes de fluxo induzidas são predominantemente axiais à linha de centro do eixo, aqueles em que o fluxo induzido é predominantemente radial, sendo transversal à linha de centro do eixo e os impelidores que produzem movimento predominantemente tangencial que acompanham o movimento de rotação do mesmo sendo geralmente utilizados em fluídos de alta viscosidade. Os tipos que nos interessam são dos de fluxo axial e radial, que englobam a maioria dos problemas de agitação. Aos primeiros dá-se o nome de Impelidores de Fluxo Axial e aos segundos de Impelidores de Fluxo Radial. Ver figura Fig. 6.13 para os efeitos globais produzidos por estes impelidores.

Fig. 6.13 - Tipos de fluxos induzidos por impelidores.

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6.2.1 – IMPELIDORES INDUTORES DE FLUXO AXIAL IMPELIDOR TIPO NAVAL É um impelidor de fluxo predominantemente axial, desenhado com base na teoria de uma curva helicoidal. As pás destes impelidores são segmentos da superfície helicoidal gerada pela uma curva helicóide, que possuem passo constante e ângulo de inclinação infinitamente variável, desde o cubo até a extremidade das pás. Este tipo de impelidor é caracterizado pela relação passo/ diâmetro, sendo o seu passo o avanço que qualquer ponto da superfície dá quando o impelidor gira uma volta, ver Fig. 6.14.

Fig. 6.14 Impelidor tipo naval (Npo=0,8 para P/D=1,0)

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O passo da maioria dos impelidores aplicados na agitação situa-se entre 0,5 a 1,5 vezes o diâmetro do mesmo. A relação passo/diâmetro mais usual é de valor igual a 1,0 denominada de square pitch. Nela o passo da hélice é igual ao diâmetro do impelidor. Em líquidos de baixa viscosidade e sistemas de agitação de pequeno porte utilizam estes tipos de impelidores que podem operar em altas rotações e geralmente são acoplados diretamente aos motores. A utilização mais comum destes impelidores é nos agitadores chamados de portáteis. IMPELIDOR TIPO TURBINA DE PÁS RETAS INCLINADAS (PBT) Este tipo de impelidor produz fluxo predominantemente axial e cuja predominância dependerá do ângulo de inclinação de suas pás. São impelidores chamados de ângulo constate e passo infinitamente variável. A maioria das aplicações utiliza inclinações de 45 graus, entretanto outras inclinações são utilizadas dependendo da aplicação. São impelidores utilizados numa faixa grande de potências e tamanhos e sua principal vantagem sobre outros impelidores de fluxo axial é o seu baixo custo e um processo de fabricação simplificado. Estes impelidores podem ter 4 ou 6 pás e podem ser construídos com suas pás soldadas diretamente ao eixo ou com sistema de cubo, o que permite a montagem das pás por meio de parafusos, tornando-o um impelidor de pás substituíveis.

Fig. 6.15 – Impelidor tipo 4PBT ( Npo=1,3)

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IMPELIDOR DE ALTA EFICIÊNCIA COM PÁS DE ÂNGULO VARIÁVEL E PASSO QUASE CONSTANTE Este tipo de impelidor foi desenvolvido para promover um fluxo predominantemente axial com um menor consumo de potência. Não é sua melhor característica promover uma alta capacidade de bombeamento, mas mesmo assim o impelidor pode ser classificado como sendo de alta eficiência. Sua construção é simples sendo suas pás perfiladas ou dobradas em perfil próximo ao perfil helicoidal.

Fig. 6.15 – Impelidor de pás perfiladas Npo=0,53 (com estabilizador) e Npo=0,45 (sem

estabilizador) IMPELIDOR DE ALTA EFICIÊNCIA DE PÁS PERFILADAS EM PERFIL HELICOIDAL Este impelidor é do tipo alta eficiência e uma capacidade de bombeamento maior. Suas pás são perfiladas em perfil helicoidal com passo constante e ângulo infinitamente variável, sendo que a relação passo/diâmetro pode variar de 1 a 1,5. Este tipo de impelidor tem como característica um baixo consumo de potência aliado a uma alta taxa de bombeamento. Normalmente possui 4, 5 ou mesmo 6 pás dependendo da necessidade de maior ou menor bombeamento.

Fig. 6.16 – Impelidor de alta eficiência (Npo = 0,5~0,8)

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IMPELIDOR TIPO “SABRE” O impelidor tipo “Sabre” foi desenvolvido pela Cia francesa SEM. Sua principal característica é possuir um formato das pás, onde a parte próxima ao cubo é mais larga do que nas extremidades. Esta configuração permite uma distribuição mais intensa particularmente imediatamente abaixo do eixo central do agitador, onde normalmente é uma zona morta. Impelidores comuns, geralmente possuem baixa eficiência de bombeio na região próxima ao eixo. Este tipo de impelidor minimiza a formação de depósitos na parte central do fundo do tanque devido a sua capacidade de induzir linhas de fluxo eficientes nesta região. Convém salientar que outros impelidores podem fornecer estas características ao sistema, apenas que, comparativamente com um impelidor tipo sabre, eles precisariam trabalhar em condições de rotação e potência um pouco acima

Fig. 6.17 – Impelidor tipo Sabre (Npo=0,4)

IMPELIDOR TIPO HIDROFÓLIO A utilização de impelidores do tipo hidrodinâmicos nos sistemas de agitação é relativamente recente. Este tipo de impelidor na sua melhor concepção foi inicialmente utilizado na indústria de alumina nos precipitadores que são tanques de grande diâmetro e altura. Impelidores com eficiência extrema de perfil hidrodinamizados combinados com draf tubes foram requeridos para induzir grande circulação em tanque de até 30 m de altura. Estes impelidores utilizam pás com perfis aerodinâmicos, utilizando curvas de aerofólios usadas na indústria aeronáutica, e definidos pela National Advisory Committee for Aeronautics (NACA). Estes perfis de pás permitem uma excelente relação entre potência e fluxo produzido, obtendo impelidores que produzem uma alta taxa de bombeamento com potências relativamente menores.

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Fig. 6.18- Impelidor Hidrofólio com pás em perfil NACA.

Estes impelidores possuem um alto custo, pois sendo fundido exigem usinagens extremamente sofisticadas e sendo fabricados, sua construção complexa exigem pás ocas reforçadas semelhantemente às asas de avião. Houve posteriormente uma assimilação desta conceituação hidrodinamizada na fabricação de impelidores pelos fabricantes de agitadores. Procurou-se produzir impelidores denominados hidrofólio que não fossem onerosos. As pás foram perfiladas em perfil helicoidal e sofriam curvaturas que simulavam o perfil aerodinamizado das curvas NACA. São componentes geralmente utilizados em grandes agitadores, com tanques de até 10m de diâmetro, permitindo encontrar uma boa relação na eficiência na agitação e potência absorvida.

Fig. 6.19- Impelidor do tipo hidrofólio 5 pás (Npo=0,54)

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Fig. 6.20 – Impelidor tipo Hidrofólio

IMPELIDOR CONTRA CORRENTE- IMPULSO Este tipo de impelidor é utilizado com mais frequência, quando se deseja promover homogeneização na estocagem ou troca de calor. É um impelidor de grandes diâmetros em relação ao tanque, usando relações D/T de 50% a 95%. Suas pás são retas inclinadas, com a parte central produzindo fluxo axial para cima e a parte periférica com inclinação oposta, produzindo fluxo para cima (ou vice-versa). Agitadores que utilizam este sistema possuem vários estágios de impelidores.

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Fig. 6.21 – Impelidor Contra Corrente (Npo=2,0)

6.2.2 – IMPELIDORES INDUTORES DE FLUXO RADIAL IMPELIDOR TIPO TURBINA DE PÁS VERTICAIS (Flat Blade) Este é um tipo de impelidor que possui como característica a produção de fluxo predominantemente radial, sendo o mais utilizado numa grande gama de aplicações. Sua construção mais comum é a configuração com 4 ou 6 pás. Apesar de possuir uma capacidade de bombeamento considerada alta, ela se restringe a uma região próxima do impelidor, ou seja, no plano do impelidor e imediatamente acima e abaixo do mesmo, onde temos uma zona de correntes rápidas, de alta turbulência e cisalhamento. Apesar de produzir uma parcela de fluxo axial, os principais componentes de velocidade são a radial e a tangencial, induzindo junto com a agitação a formação de vórtices.

Fig. 6.22 – Impelidores Tipo Turbina de Pás Verticais - 6FBT(Npo=6,9), 4FBT(Npo=3,0),

2FBT(Npo=2,0)

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IMPELIDOR TIPO TURBINA DE PÁS VERTICAIS CURVADAS (Curved-Blade Turbine) Além das características principais do impelidor tipo FBT, este impelidor tem a vantagem de produzir pouco cisalhamento devido a curvatura de suas pás. Sua capacidade de bombeamento é elevada, sendo utilizado para suspensões e na agitação contendo materiais fibrosos tais como na estocagem de polpa de papel. Devido ao formato de suas pás é menos sensível à abrasão.

Fig. 6.22 – Impelidor padrão tipo turbina de 6 pás curvadas (Npo=5,0)

IMPELIDOR TIPO RUSHTON Este impelidor possui um disco central com pás verticais montadas nas suas extremidades. E um impelidor utilizado na dispersão de gás em líquidos. O gás é introduzido imediatamente abaixo do impelidor por meio de anéis ejetores. Ao subir encontra-se com o disco do impelidor e tem que contorná-lo, ao passar pelas pás sofre o efeito do cisalhamento das mesmas.

Fig. 6.23 – Impelidor Tipo Disco com Pás Retas - Rushton ( Npo=5,6)

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IMPELIDOR DE BARRAS É um impelidor utilizado quando se deseja no processo, elevados níveis de turbulência e cisalhamento.

Fig. 6.24 – Impelidor de Barras (Npo=0,61)

6.2.3 – IMPELIDORES INDUTORES DE FLUXO TANGENCIAL IMPELIDOR TIPO ÂNCORA É um impelidor de duas pás que tem o formato do contorno tanque. São utilizados nas aplicações de alta viscosidade como 40000 a 50000 cP onde os regimes são exclusivamente laminares. Produzem somente a componente tangencial do fluxo e operam em baixas rotações e alto torque naquelas situações em que o sistema hidrodinâmico não aceita alteração bruscas de movimentação. As potências absorvidas por estes impelidores variam muito visto que o seu Npo possui uma curva que praticamente não tem uma faixa invariante. A largura das suas pás varia numa relação com o diâmetro do impelidor (D) entre D/8 e D12, o que não produz alterações sensíveis no Npo. Este tipo de impelidor é usado com frequência na mistura de líquidos viscosos que trocam calor com a parede do vaso ou também nas aplicações onde é preciso raspar produtos aderentes da parede do vaso. Não são recomendados quando se requer homogeneidades uniformes.

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Fig. 6.25 – Impelidor tipo Âncora

6.2.4 – OUTROS TIPOS DE IMPELIDORES IMPELIDOR AXIAL DE DUPLA ESPIRAL São utilizados para produtos muito viscosos, sendo construídos como sendo uma hélice externa que pode ter uma ou duas entradas, e uma hélice interna próxima ao eixo que conduz o líquido ou pasta em sentido oposto. Normalmente as hélices externas conduzem o produto para cima e a interna para baixo. Também operam em baixas rotações e alto torque. O seu Numero de Potência não tem regime invariante e altera-se muito com o Número de Reynolds do sistema. Diferentemente do âncora, estes impelidores são indicados quando necessita-se de uniformidade completa na homogeneização e é especialmente empregado nos processos onde o fluído tem comportamento pseudo plástico (viscosidade diminui com aumento taxa de deformação), ou de plástico de Binghan (precisam de uma tensão definida para ocorrer o escoamento abaixo da qual não ocorre), pois geram circulação por todo o tanque.

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Fig. 6.26 – 177oublé Helix

IMPELIDOR TIPO ESPIRAL EM DRAF TUBE Também utilizado para produtos altamente viscosos, possui indicação para produzir homogeneidade da mistura nestes fluídos, pois possui uma alta taxa de circulação no tanque. Aplicações semelhantes ao ribbon.

Fig. 6.27 – Espiral em Draf Tube

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6.3 – DRAF TUBE O retorno das correntes de fluxo a um impelidor ocorre em todas as direções. Podem-se comparar com o que ocorre a um ventilador num quarto fechado, as correntes de ar retornam porque é um único local de baixa pressão. Na maioria das aplicações, esta ocorrência não é uma limitação, porém, quando se deseja que o fluxo que chega ao impelidor seja direcionado e tenha velocidade controlada, é necessária a utilização de draft tubes. Estes componentes são tubos ou camisa em volta do eixo podendo ou não conter o impelidor. O fluxo produzido pelo impelidor somente retornará a sua zona de baixa pressão, passando pelo draft tube. Uma aplicação típica de draft tube é sua utilização nas aplicações líquido-sólido onde o sólido tende a flutuar na superfície. O fluxo nestas condições arrasta as partículas por todo o tanque, passando inicialmente pelo draft. Os impelidores de fluxo axial podem ser montados dentro ou fora do draft tube (imediatamente abaixo), e os de fluxo radial são montados fora do draft tube. Deve-se considerar que este acessório aumenta a potência absorvida do sistema, devido ao atrito do líquido com as paredes do tubo e principalmente quando o impelidor está montado dentro do mesmo.

Fig. 6.28 – Draft tube em tanque com defletores

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A utilização do draft tube em um tanque deve ser estudada adequadamente. Ë um componente que requer um projeto hidrodinâmico adequado, tomando-se os devidos cuidados com as velocidades que serão impostas ao fluxo dentro e fora do draft tube, particularmente quando trabalhamos com suspensões de sólidos. Sua montagem também apresenta dificuldades tanto na sua fixação como na sua regulagem de altura e centragem. Este componente será submetido a esforços maiores principalmente na parte superior por onde todo o fluxo retornará com um aumento sensível na sua velocidade e com uma forte tendência de produzir vórtices. Isto exigirá um projeto mecânico adequado. De qualquer forma, a sua utilização num sistema agitado possibilita ao mesmo usufruir das seguintes vantagens:

• Definir um caminho específico para o fluxo produzido pelo impelidor, evitando-se o “curto-circuito” entre a entrada e saída do líquido no tanque;

• Promover, nas aplicações de troca de calor, uma melhor eficiência, pois o fluxo é forçado a passar pelas serpentinas;

• Promover, nas aplicações gás-líquido, uma melhor recirculação do gás não reagido;

• Minimizar áreas de turbulências inadequadas no tanque;

• Acentuar a ação de cisalhamento do impelidor sobre o fluído;

• Reduzir o comprimento do eixo; APLICAÇÕES

• Em sistemas de processo contínuo, pode-se evitar o curto-circuito entre o fluxo de entrada e fluxo de saída (Fig. 6.29).

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Fig. 6.29

• A utilização de draft tube em sistemas onde se requeira troca térmica, produz resultados mais eficientes quando o fluído é forçado a passar pelas serpentinas dentro de um caminho bem definido (Fig 6.30).

Fig. 6.30

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• Sólidos sedimentados no fundo do tanque podem ser rapidamente disperso sob a ação do fluxo dirigido do draft tube (Fig. 6.31).

Fig. 6.31

• Impelidores tipo espiral montado em draft tube são efetivos na homogeneização de produtos viscosos e na mistura de materiais fibrosos. (Fig. 6.32)

Fig. 6.32

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• Problemas mecânicos podem ser solucionados usando-se draft tube. Eixos mais esbeltos e menores são permitidos de utilização. (Fig. 6.33)

Fig. 6.33

6.4 – DEFLETOR Defletores devem ser instalados nos tanques quando o agitador é vertical centrado de entrada pelo topo e o regime em que o líquido se encontra é turbulento. Utilizamos o defletor para eliminar a componente tangencial de velocidades e também para redirecionamento do fluxo produzido. O projeto adequado para o defletor é de extrema importância para o sistema de agitação. O tipo de defletor mais indicado é o chamado integral montado nas paredes do tanque. Este tipo de defletor deve utilizar uma proporcionalidade entre sua largura e o diâmetro do tanque de 10 a 12%. Quando da utilização de defletor do tipo integral cuidados devem ser tomados para evitar largura excessiva do defletor ou o seu posicionamento muito avançado para dentro do tanque.

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Normalmente é indicada a utilização de quatro defletores espaçados a 90 graus. Outros projetos de defletores são utilizados conforme indicado na Fig. 6.34, e algumas configurações podem ser permitir uma diminuição da potência absorvida.

Fig. 6.34 – Tipos de defletores

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7 – AGITAÇÃO EM SISTEMAS MONOFÁSICOS Este capítulo tratará das características da movimentação de fluídos na Agitação, seus níveis de Agitação no sistema e apresentará também a forma de se calcular a potência absorvida, tipo de regime e capacidade de bombeamento do sistema. O sistema que servirá de base para o desenvolvimento deste capítulo será o monofásico, apresentando um comportamento único para parâmetros tais como viscosidade, densidade, temperatura, pressão e demais características. A teoria aqui apresentada poderá ser aplicada também para alguns sistemas bifásicos, desde que possa ser enquadrado dentro de um comportamento monofásico, tal como sistemas com pequena concentração de sólidos que tenham baixas velocidades de sedimentação. Os padrões de escoamento válidos para o desenvolvimento deste capítulo são escoamentos de líquidos Newtonianos com baixas ou moderadas viscosidades em regimes turbulentos e francamente turbulentos. Os procedimentos descritos não se aplicam a problemas tais como: mistura de líquidos imiscíveis, de alta viscosidade ou dissolução de sólidos. Produtos com elevada viscosidade já se encontram em estado pastoso e, portanto, em condições de escoamento laminar. Estes fluidos caracterizam-se pela não aceitação de movimentos bruscos, acelerações e mudanças de velocidade, exigindo sistemas de agitação que utilizem impelidores do tipo âncora, dupla hélice, etc. Uma escala ou nível de agitação é um parâmetro um tanto quando complicado de se definir. Uma definição bastante simples para analisar o grau de agitação de um sistema, é a observação da superfície do líquido agitado. Uma superfície plana, como pouco movimento, define uma agitação fraca/baixa. Uma superfície encapelada e com pequenos redemoinhos pode representar um nível de agitação forte/alto. Logicamente, a formação de superfícies com ondas encapeladas se dá somente nos fluídos de baixa viscosidade, onde facilmente temos regimes turbulentos. Esta escala é bastante subjetiva, pois podemos ter interpretações errôneas se não soubermos a localização correta do impelidor. Se posicionarmos um impelidor bem próximo da superfície, teremos obtido os efeitos de superfície com formação de ondas ou mesmo redemoinhos, o que poderia ser interpretado como um nível de agitação, digamos médio ou forte, sendo que o líquido na sua parte inferior poderia estar estagnado ou com pouca movimentação. O oposto também poderia ocorrer, se o impelidor fosse posicionado muito baixo num tanque com relação Z/T alta, mesmo que com nível de agitação forte, talvez as correntes de fluxo não fossem suficientes fortes para encrespar a superfície.

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Este método visual é passível de muitos erros, mas quando conhecemos a geometria dos equipamentos ela passa a ter relevância na avaliação de um nível de agitação ocorrendo em um tanque. Outro modo de definir níveis de agitação é feito através da avaliação da velocidade periférica do impelidor. Nível de agitação baseado na velocidade periférica do impelidor tem sido adotado desde os primórdios da utilização de agitadores mecânicos para produzir agitação de fluídos. Trabalhos como o de Garrison, Holland e Advani e outros, têm adotado velocidade periférica para estabelecer níveis de agitação. Quando estudamos a análise dimensional da agitação, verificou-se que as equações deduzidas continham o parâmetro velocidade periférica do impelidor. Esta velocidade que por comodidade de cálculo era transformada em revoluções por minuto, pode servir para estabelecer níveis de agitação como: Baixa/Fraca agitação: 500 – 650 fpm (2,5 – 3,3 m/s) Média agitação: 650 – 800 fpm (3,3 – 4,0 m/s) Alta/Forte agitação: 800 – 1100 fpm (4,0 – 5,6 m/s) Ao se adotar tal método de avaliação do grau de agitação, estamos também fazendo uma avaliação que pode ser subjetiva. Se desconhecermos o diâmetro exato do impelidor pode acreditar que um pequeno impelidor girando a alta velocidade periférica produz um nível de agitação forte, o que pode não ocorrer se as suas dimensões forem muito pequenas em relação ao diâmetro do tanque. E como definir as velocidades das correntes de fluxo a partir da velocidade periférica do impelidor? Ao deixar o impelidor à velocidade do fluxo é igual, mais vai perdendo energia à medida que se afasta do mesmo, ao se chocar com o líquido em velocidade menor, com os defletores, com a parede do tanque, etc. Mais recentemente toda literatura produzida para agitação mecânica tem adotado de maneira sistemática os trabalhos desenvolvidos por Hicks e Fenic e Gates, Morton e Fondy, onde se propõem uma escala de agitação e critérios analíticos para o cálculo da rotação necessária para se produzir um determinado tipo de agitação em meios monofásicos líquido-líquido, que recebe níveis que vão de 1 a 10. Nesses trabalhos adota-se um conceito chamado de velocidade aparente do fluxo que procura ser uma velocidade representativa das velocidades fluxo por todo o tanque. Ela é adotada como existente a 2/3 da altura do líquido no tanque e vem a ser a capacidade de bombeamento, Q que o impelidor produz dividido pela área transversal do tanque.

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A maioria das aplicações nos sistemas líquido-líquido utiliza velocidade aparente, Vb entre 6 a 60 pés/min (0,03 – 0,3 m/s). A tabela que se segue estabelece níveis de 1 a 10 como parâmetros a serem adotados na agitação de sistemas monofásicos líquidos.

ESCALA DE AGITAÇÃO

VELOCIDADE APARENTE

FT/MIN

DESCRIÇÃO

1 6

Agitação nos níveis 1 e 2 são usadas nas aplicações onde se requer velocidades mínimas do fluído para se obter; - Misturar líquidos miscíveis até a uniformidade, se a diferença entre suas densidades for menor que 0,1 - Misturar líquidos miscíveis até a uniformidade, se a diferença entre suas viscosidades não ultrapassar 100 - Produzir superfície do líquido plana e com pouco movimento 2 12

3 18 Agitação nos níveis 3 a 6 é característica da maioria das aplicações em sistemas agitados. Estes agitadores poderão: - Misturar líquidos miscíveis até a uniformidade, se a diferença entre suas densidades for menor que 0,6. - Misturar líquidos miscíveis até a uniformidade, se a diferença entre suas viscosidades for menor do que 10000 vezes uma da outra. - Promover suspensão de pequenas concentrações de sólidos (< 2%) com velocidades de sedimentação de 2 a 4 ft/min. - Produzir em líquidos de baixa viscosidade superfícies com movimento mais acentuado e pequenas cristas

4 24

5 30

6 36

7 42 Agitação nos níveis 7 a 10 são característicos das aplicações onde se requer maior velocidade do líquido Os agitadores operando nestes níveis poderão: - Misturar líquidos miscíveis até a uniformidade se a diferença entre as suas densidades for menor do que 1,0 - Misturar líquidos miscíveis até a uniformidade se o mais viscoso for 100 000 vezes menor do que o outro. - Suspender sólidos em pequenas concentrações (<2%) com velocidades de sedimentação de 4 a 6 fpm - Promover superfícies encapeladas em líquido de baixa viscosidade.

8 48

9 54

10 60

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Iremos agora, aplicar a teoria desenvolvida no capítulo 3, sendo que as fórmulas básicas para o cálculo de um agitador são:

Número de Bombeamento, NQ ND

QNQ .3

=

Capacidade de Bombeamento, Q NDNQ Q .. 3=

Rotação, N 3.DNQN

Q

=

Velocidade Aparente, VB AQVB =

Número de Newton, Npo ρ...13524,1

.53 DNPENpo =

Potência Absorvida, Pabs 13524,1

.... 53

EnDNNpoPabs

ρ=

CASO #1 - Um tanque cilíndrico vertical com diâmetro T=2,0 metros e altura total, H de 2,3 metros, será utilizado para produzir agitação de um fluído monofásico que possui densidade de 1,1 ton/m3 e viscosidade de 1 cP. Qual deve ser a potência e a rotação que um agitador deve ter para que tenhamos no sistema um nível de agitação médio com uma velocidade aparente de 36 fpm. Deseja-se também um agitador que tenha fluxo predominantemente axial, com uma turbina de 6 pás inclinadas a 45 graus. As dimensões do nosso tanque são:

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Como o volume está definido, podemos calcular a altura Z do líquido no tanque;

ZTVol .4. 2π

=

2..4TVolZ

π= 22.

)3,6(4π

=Z

Z=2,01 metros De acordo 6.1.1 a razão de enchimento (relação entre a altura do líquido e diâmetro do tanque) deve situar-se entre 0,5 e 1,5 como preferência para aproximar-se de 1,0. No nosso caso, temos;

0,1201,2

≈=TZ

A capacidade de bombeamento Q do sistema, para que produza um nível de agitação médio e velocidade aparente VB= 36 fpm, será dado por: Q=VB.A Onde A, é a área da seção transversal do tanque em ft2

222

8,334

)56,6.(4. ftTA ===

ππ

Substituindo: Q=VB.A = 36.(33,8) Q=1216,8 ft3/min Precisamos agora, definir o diâmetro do impelidor. Conforme descrito em 5, a relação ideal entre o diâmetro do impelidor e o diâmetro do tanque, D/T deve situar-se entre 0,3 e 0,5. No nosso caso vamos adotar D/T=0,3 e o diâmetro do impelidor será; D/T=0,3 D=0,3. T 0,3. 78,74 D=23,62 polegadas

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Passemos agora para a determinação da rotação, N que é dada por:

== 3.DNQN

Q

Devemos determinar o número de bombeamento NQ para o impelidor escolhido. Em literatura especializada, podemos encontrar gráficos ou tabelas com os valores de NQ para diversos tipos de impelidores e os respectivos regimes em que operam. Valores de NQ podem ser encontrados nos anexos. Do gráfico da Fig. 7.1, tiramos o valor de NQ.

Fig. 7.1 - NQ versus Nrey para impelidores 6PBT45 com W/D=1/8

Como não temos o valor da rotação para calcular o NRey, adotamos o regime inicialmente como francamente turbulento ( NRey > 104 ). Para o impelidor 6PBT45 com relação D/T=0,3 temos NQ= 0,78

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Podemos calcular a rotação N:

33

1226,23.78,0

8,1216.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

==CFM

DNQN

Q

N=204,6 rpm Fazendo a verificação Número de Reynolds para confirmar se o regime é turbulento, conforme inicialmente adotado.

0,1)26,23).(6,204).(1,1(.7,102...7,10Re

2′′==

μρ DNyN

NRey= 1,3435E6 Este número confirma um regime francamente turbulento, com NQ invariante e igual ao inicialmente adotado. Com a rotação definida, podemos passar para o cálculo da potência absorvida pelo impelidor:

13524,1....

53

EDNNpoPabs ρ

=

O valor do Número de Newton ou Potência pode ser encontrado em literatura especializada para diversos tipos de impelidores. Do gráfico 7.2, podemos tirar Npo (ver também Fig. 3.6). Nosso impelidor é do tipo turbina de 6 pás retas inclinadas a 45 graus com relação entre altura projetada das pás, W e diâmetro do impelidor, D de W/D=1/8.

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Fig. 7.2 – Npo versus NRey para diversos impelidores

A curva #4 é para impelidor 6PBT45 com W/D=1/8

Visto estarmos com o agitador trabalhando num regime francamente turbulento: Npo = 1,3 Portanto a potência absorvida pelo impelidor será determinada por:

13524,11,1.)62,23.()6,204(.3,1

53

EPabs =

Pabs= 5,91 bhp Com todos os principais dados operacionais do agitador determinados, o dimensionamento dos equipamentos passam a ser puramente mecânico, conforme veremos mais adiante. CASO #2 - Deseja-se agitar 2000 litros de um líquido com as seguintes características: Densidade: 1,0 / Viscosidade: 2000 cP. O processo exige um nível de agitação médio, podendo ser adotado uma velocidade aparente, VB de 20 pés/min. Deseja-se produzir fluxo predominantemente axial. Calcular a potência consumida pelos impelidores, determinar a geometria do tanque e defletores. Geometria do tanque: Tanque cilíndrico vertical aberto Razão de enchimento ideal de Z/T=1,0

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n=Z/T Z=T

4...

4. 22 TTZTVol ππ

==

37,1)0,2.(4.4 31

3 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

ππVolT

T=Z=1,37 metros Sendo o volume útil de 2000 litros (2 m3) e considerando um acréscimo de 10% para obtermos o volume total do tanque. Vol. total = 1,1 x 2000 = 2 200 litros A altura “H” do tanque será então.

HTVtotal .4. 2π

=

mT

VtotalH 49,1)37,1()2.2.(4

..4

22 ===ππ

-Relação D/T (diâmetro do impelidor /diâmetro do tanque)

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D/T= 0,3 (conforme capítulo 5) D=0,3. (1,37) D=0,41m (16,14”) -Tipo de impelidor Como é necessário um impelidor de fluxo predominantemente axial, escolhemos um impelidor do tipo pitched blade, ver em Anexos a Tabela 1 para impelidor 6PBT45 com W/D= 1/5. - Capacidade de Bombeamento, Q Q= VB. A Área seção transversal do tanque em pés quadrados, A=15,87 ft2 Q= 20. 15,87 = 317,34 ft3/min

- Rotação 3).(DNQN

Q

=

Assumindo o regime francamente turbulento, dos Anexos, no gráfico 1 temos NQ=0,78 NQ=0,78

- rpmN 2,167)

1214,16.(78,0

34,3173== ( Vp=706 fpm)

Precisamos verificar o Número de Reynolds;

2000)0,1.()14,16.(2,1677,10...7,10Re

22

==μ

ρDNyN

NRey=233 Do gráfico 1, em Anexos, verificamos que este valor para NRey, encontra-se em uma zona de transição entre laminar e turbulento, não correspondendo ao NQ=0,78 adotado. É necessário proceder à nova correção: Para NRey=233, temos que NQ=0,72

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A rotação corrigida será:

rpmN 1,181)

1214,16(72,0

34,3173== ( Vp=765 fpm)

Verificando o NRey

2522000

)0,1.()14,16.(1,1817,10Re.2

==yN ,4

NRey = 252 , não corresponde a NQ=0,72 Nova correção deve ser adotada: Para NRey=252, NQ=0,74 a rotação será;

rpmN 2,176

1214,1674,0

34,3173 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= (Vp=744 fpm)

2452000

0,1.)14,16.(2,176.7,10Re2

==yN

Este valor pode ser considerado compatível com NQ=0,74, de modo que paramos as aproximações

-Potência absorvida pelo impelidor 13524,1...

53

EDNNpoPabs ρ

=

Para o Impelidor adotado 6PBT45 da tabela 1 em anexos, temos que Npo= 1,7 Npo=1,7

( ) ( )13524,1

0,1.14,16.2,176.7,153

EPabs =

Pabs=0,67 bhp

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As dimensões do tanque serão:

CASO #3 – Temos um agitador no depósito em boas condições de uso, sendo suas características as seguintes: Motor 5 cv Rotação eixo=400 rpm Impelidor tipo naval (propeller) com 3 pás, relação P/D=1,0 e diâmetro de 400 mm Verificar a possibilidade de utilizar este agitador num tanque com um produto que tenha as seguintes características: Densidade=1,4 / Viscosidade=10 cP Dimensões do tanque, T=1,0m; Z=1,0m e H=1,3m, com quatro defletores montados na parede do tanque espaçados a 90 graus e com 100 mm de largura - Relação D/T;

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D/T= 400/1000=0,4 A relação está compatível com as relações geométricas para agitação líquido-líquido. -Potência absorvida pelo impelidor: De acordo com o Gráfico 3 de ANEXOS, temos para a curva #2 um Npo=0,4 para o regime invariante (Nrey francamente turbulento)

13524,1...

53

EDNNPoPabs ρ

=

( ) ( ) bhpE

Pabs 28,213524,1

4,1.75,15.400.4,053

==

14863910

)4,1.()75,15(400.7,10...7,10Re22

===μ

ρDNyN

NRey=1,48E5- Regime francamente turbulento. O agitador está compatível para ser utilizado nestas novas condições.

8 – AGITAÇÃO EM SISTEMAS BIFÁSICOS SÓLIDO-LÍQUIDO O problema da suspensão de sólidos em meios líquidos através de agitadores mecânicos é consideravelmente mais complexo que aqueles que envolvem tão somente o movimento de meios líquidos de uma única fase, isto devido ao fato de que não podemos definir este meio bifásico como um fluído newtoniano e o seu tratamento não podem ser totalmente analíticos. Não podemos definir analiticamente por meio de equações exatas o movimento de uma partícula sólida em um meio líquido próximo a um impelidor em movimento. Desta forma recorremos aos métodos de aproximações tais como ao da Análise Dimensional complementada por experimentações e medições reais de velocidade por meio de aparelhos do tipo Doppler e simulações de dinâmica de fluídos computadorizados (CFD), ambos devidamente tratados em literatura especializada. Quando os sólidos presentes no meio líquido são de pequena granulometria e/ou baixa concentração ou sua densidade real é aproximadamente igual a do líquido, as partículas se movem como parte integrante do líquido, e a mistura se comporta como um líquido de fase única.

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Entretanto quando os sólidos presentes possuem granulometria maior, densidade acima do líquido e sua concentração é relevante, o meio final passa a ter um comportamento regido por sua reologia sendo suas propriedades e comportamento, aqueles de corpos que não são nem líquidos e nem sólidos. Os requisitos de agitação na suspensão de sólidos variam conforme a aplicação, indo desde a simples movimentação no fundo do tanque para impedir o seu acúmulo, até a quase uniformidade em todo tanque produzindo homogeneidade para retirada por bombeamento por baixo e uma uniformidade total em toda altura do tanque, permitindo a retirada de polpa homogênea por transbordo. A velocidade terminal de uma partícula é determinada quando a Força de Arraste (Draga Force) resultante do movimento da mesma através do meio líquido se iguala à Força da Gravidade que a partícula sofre, não existindo após este equilíbrio, nenhuma aceleração. Conhecem-se bem as relações entre os Coeficientes de Arraste e o Número de Reynolds (que determinam as velocidades terminais) para as formas geométricas mais simples tais como: esferas, cilindros, discos, etc. Porém, quase não se tem conhecimento destas relações para as partículas mais comuns encontradas no dia a dia. Em adição à complexidade de se determinar a Velocidade Terminal de uma partícula, os Coeficientes de Arraste disponíveis, mesmos para as partículas de forma geométricas mais simples, só são conhecidos em fluídos estagnados e quiescentes, e quase nenhuma informação está disponível para os Coeficientes de Arraste de partículas no campo de velocidades, produzido por fluxos induzidos por um impelidor de um sistema de agitação mecânica. Em face de toda esta dificuldade, o cálculo da Velocidade Terminal, Vt, é feito adotando-se formas esféricas da partícula de maior tamanho presente no meio líquido. Também é necessário ajuste nestes cálculos, pois a partir de uma determinada concentração de sólidos presentes, e quando existe diferença acentuada entre a densidade do meio líquido e do sólido, as partículas apresentam o comportamento que se denomina Velocidade de Sedimentação Dificultada, Vd, ou seja, num campo de velocidade de um meio líquido, as partículas presentes se chocam uma com as outras perdendo energia neste choque, o que torna mais difícil o seu movimento e apenas a velocidade terminal não é suficiente para aplicar as correlações para partículas isoladas.

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Quanto maior é a concentração de sólidos, quanto maior for à diferença de densidades e quanto maior é a força de arraste devido a sua forma, mais energia será necessária para que as correntes de fluxo induzidas carreguem os sólidos em seu movimento. Em algumas concentrações de determinados tipos de minérios onde existem as sedimentações dificultadas, e sendo estas concentrações elevadas o suficiente, o comportamento da suspensão poderá adquirir padrões semelhantes a fluídos não newtonianos independentes do tempo tais como: os fluídos pseudoplasticos, dilatantes ou de binghan ou dependentes do tempo tais como os tixotrópicos ou reopéticos, etc. De acordo com Vincent Uhl e Joseph Gray, a uniformidade completa de concentração de sólidos em um tanque agitado mecanicamente, não pode ser alcançada na prática. A uniformidade completa de concentração de sólidos em um tanque agitado pode ser definida se todas as amostras retiradas desde sistema, tiverem 100% da suspensão de sólidos. Se todas as amostras possuírem a mesma distribuição granulométrica e concentração de sólidos igual a de todo o tanque, então teremos a uniformidade total. Na pratica, tal condição de uniformidade nunca é alcançada, e, em um sistema agitado mecanicamente, mesmo em escala de agitação máxima, ele nunca alcançará a completa uniformidade. Por razões praticas admite-se que se alcança uma “quase completa uniformidade”, algo em torno de 98% que é definida como sendo a condição de agitação existente onde um aumento de rotação do impelidor, não mais produzirá mudanças significativas na uniformidade da concentração de sólidos nas regiões próximas da superfície da suspensão. Um grande número de investigadores tem pesquisado e proposto formulações para se calcular as rotações ideais para produzir determinado tipo de nível de agitação em meios bifásicos sólido-líquido. Devido ao fato de estarmos tratando com fluídos não newtonianos, em que o tratamento analítico não é totalmente aceitável, os resultados obtidos no cálculo da rotação crítica ou ideal para se produzir certo nível de agitação varia de pesquisador para pesquisador. Mesmo usando a mesma concentração, a mesma distribuição granulométrica, propriedades físicas e geometria do tanque, os resultados produzidos não são os mesmos, conforme assinala Uhl e Gray [21] e Oldshoe. Oldshoe cita um trabalho de Bohnet e Niesmak e transcreve uma tabela de ambos onde são compilados inúmeros autores e suas equações para cálculo de rotações críticas necessárias para atender determinados tipos de agitação, enfatizando que os resultados são diferentes mesmo calculados para as mesmas condições.

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Níveis de agitação baseados na velocidade periféricos do impelidor têm sido adotados desde os primórdios da utilização de agitadores mecânicos para produzir agitação de fluídos. Trabalhos como o de Garrison e Advani tem adotado velocidade periférica para estabelecer níveis de agitação. Até o tipo de superfície produzida na agitação às vezes serve de parâmetro para definirmos escala de agitação. Superfícies calmas e pouco agitadas representam níveis de agitação fracos e superfícies encapeladas e produzindo pequenos redemoinhos podem representar níveis de agitação elevados. Mais recentemente toda literatura produzida para agitação mecânica tem adotado de maneira sistemática os trabalhos desenvolvidos por Gates, Morton e Fondy, onde se propõem uma escala de agitação e critérios analíticos e empíricos para o cálculo da rotação necessária para se produzir um determinado tipo de agitação em meios bifásicos sólido-líquido, que recebe níveis que vão de 1 a 10. Nesta escala, os valores de 1 a 2 representam agitação que movimenta os sólidos no fundo do tanque. Níveis de 3 a 5 a suspensão destes sólidos do fundo do tanque, até os níveis de 6 a 10 que representa níveis de agitação para a quase completa uniformidade da suspensão. A maioria das aplicações de suspensão de sólidos é encontrada onde as velocidades terminais situam-se entre 0,5 pés/min (0,0025 m/s) e 20 pés/min (0,10 m/s) e concentração até 70% em peso. Estas aplicações podem ser divididas em grupos como os definidos abaixo;

1 - Sistemas com baixa concentração, velocidades de sedimentação abaixo de 2,5 mm/s baixa viscosidade e reologia considerada Newtoniana. As partículas nestes sistemas sedimentam-se tão vagarosamente que elas são fáceis de suspender em tanques agitados por impelidores. Polpas com pequenas concentrações e pequenas partículas podem ser tratadas com líquidos de fase única.

2 – Baixa concentração, velocidades de sedimentação variando entre 2,5 mm/s(0,5 pés/min) até 100 mm/s. Estas polpas têm comportamento reológico próximo de sistemas Newtonianos e o regime do sistema encontram-se normalmente acima de NRey > 104. Estes sistemas que possuem partículas com velocidade de sedimentação entre 2,5 a 100 mm/s são os mais frequentemente encontrados na indústria.

3 – Baixa concentração com partículas que se sedimentam com velocidades acima de 100 mm/s(20 pés/min). São sistemas que apresentam maiores dificuldades para suspensão, uma vez se tornam rapidamente estagnados outra vez cessado ou diminuído o movimento. O sistema como um

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todo necessita de circulação e bombeamento em altas taxas que devem ser induzidos por impelidores em maiores velocidades.

4 – Polpas moderadamente pseudoplásticas ou tixotrópicas (viscosidade diminui com aumento da taxa deformação) com partículas que possuem velocidade terminal menor que 2,5 mm/s e onde a concentração não seja alta o suficiente para permitir a existência de uma tensão de escoamento (plásticos de Binghan) Tais polpas fogem ao objeto do nosso trabalho

5 – Sistemas com altas concentrações de sólidos com comportamento reológico nitidamente de plástico de Binghan (possui uma tensão de escoamento para iniciar movimento) ou de fluído altamente pseudoplástico. Tais polpas também fogem do objetivo do nosso trabalho.

Podemos também definir alguns critérios para desempenho de uma suspensão sólido-líquido, critérios estes que podem ser adotados para caracterização de um processo. Estes critérios podem ser tanto visuais como físico por meio da medição da concentração de partículas. Deste modo a maneira como os sólidos são suspensos em meio líquido por meio do movimento do fluído por todo o tanque pode ter métodos de julgamento que depende então de critérios de observação visual do comportamento das partículas ou na medição da concentração destas partículas em várias partes da suspensão contida no tanque.

De acordo com Gray e Oldshue estes Métodos de Julgamento e Critérios de Desempenho de um sistema sólido-líquido podem ser definidos como:

1 – Velocidade rotacional para um comportamento desejado da partícula 2 – Uniformidade na concentração de sólidos 3 – Escala de agitação para suspensão de sólidos 8.1 – VELOCIDADE ROTACIONAL PARA UM COMPORTAMENTO DESEJADO Este é um critério de julgamento do desempenho de um equipamento agitando um meio sólido-líquido que envolve achar e definir uma velocidade de rotação para um comportamento esperado de uma partícula neste meio líquido. Como este critério é

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visual, isto é feito observando-se o sistema em um tanque com paredes transparentes ou uma janela instalada no tanque.

A – Formação de cantos mortos O sistema agitado tem a tendência de formar cantos mortos na intersecção entre a parede cilíndrica vertical do tanque e o seu fundo. Nestes sistemas é preferível permitir a formação deste canto morto do que investir em um agitador de alta rotação e potência para eliminar este canto morto.

B – Movimento apropriado da partícula Outro critério de julgamento do desempenho do agitador envolve determinar a correta rotação do impelidor de modo que o movimento das partículas próximo do fundo do tanque (~1/3Z) possa ser determinado como satisfatório para um processo requerido. Nesta forma de avaliação temos três possibilidades:

(1) Nenhuma partícula permanece no fundo do tanque por mais do que 1 segundo. (2) Movimento completo adjacente ao fundo do tanque. Todas as partículas

adjacentes ao fundo do tanque estão em completo movimento, não existindo cantos mortos ou partículas estagnadas sobre ele.

(3) Movimento completo fora do fundo do tanque. Todas as partículas estão em movimento numa região mais afastada do fundo do tanque, possuindo inclusive alguma velocidade vertical.

8.2 – UNIFORMIDADE NA CONCENTRAÇÃO

Outro método de julgamento do desempenho do equipamento que trabalha com sólidos, envolve retirar amostras a partir de vários locais no tanque e proceder à medição da concentração dos sólidos nestas amostras. Deve-se observar que não se tem nenhuma garantia de que estas amostras serão representativas do local amostrado. A simples presença de um dispositivo amostrador tal como um tubo introduzido no fluxo irá produzir perturbações que irá afetar a distribuição de concentração de partículas neste local. O posicionamento e tamanho destes dispositivos amostradores afetam localmente a distribuição de concentração. Amostradores transversais ao fluxo afetarão mais que se instalados longitudinalmente ou em ângulo. Também o tamanho da amostra pode afetar a distribuição de concentração. Não se tem como definir a magnitude destes efeitos sobre a concentração. Os métodos de julgamento para definir a uniformidade na concentração de sólidos podem ser descritos como:

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A – Percentual de Suspensão O percentual de sólidos de uma amostra dividido pela concentração de sólidos em todo o tanque nos dá o que se chama de Percentual de Suspensão. Por exemplo, se uma amostra contém 35% de sólidos em um tanque onde a concentração total é de 40%, o percentual de suspensão será dado por 35/40 ou 87,5%, que significa que naquele local amostrado a amostra está com 87,5% da concentração total do tanque. B – Perfis de Concentração Perfis de concentração para cada uma das várias frações de tamanho de partículas podem tomados para determinar o desempenho que um equipamento produz num sistema. Um percentual para cada uma das várias faixas de partículas sólidas presentes é determinado tomando-se amostras em elevações selecionadas ao longo da altura do tanque. C – Uniformidade Completa De acordo com Vincent Uhl e Joseph Gray, a uniformidade completa de concentração de sólidos em um tanque agitado mecanicamente, não pode ser alcançada na prática. A uniformidade completa de concentração de sólidos em um tanque agitado pode ser definida se todas as amostras retiradas desde sistema tiverem 100% da suspensão de sólidos. Se todas as amostras possuírem a mesma distribuição granulométrica e concentração de sólidos igual à de todo o tanque, então teremos a uniformidade total. Na pratica, tal condição de uniformidade nunca é alcançada, e, em um sistema agitado mecanicamente, mesmo em escala de agitação máxima, ele nunca alcançará a completa uniformidade.

D – Uniformidade Quase Completa Por razões praticas admite-se que se alcança uma “quase completa uniformidade”, algo em torno de 98% que é definida como sendo a condição de agitação existente onde um aumento de rotação do impelidor, não mais produzirá mudanças significativas na uniformidade da concentração de sólidos nas regiões próximas da superfície da suspensão.

8.3 – ESCALAS DE AGITAÇÃO Gates, Morton e Fondy, descrevem vários tipos de comportamento de partículas em suspensões e propõem uma escala de agitação e critérios analíticos e empíricos para o cálculo da rotação necessária para se produzir um determinado tipo de agitação que recebe níveis que vão de 1 a 10.

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Nesta escala, os valores de 1 a 2 representam agitação que movimenta os sólidos no fundo do tanque. Níveis de 3 a 5 a suspensão destes sólidos do fundo do tanque, até os níveis de 6 a 10 que representa níveis de agitação para a quase completa uniformidade da suspensão.

Escala de Agitação

Definição Critério de Desempenho

1 a 2

Escalas de agitação #1 e #2 caracterizam aplicações que requerem níveis mínimos de suspensão de sólidos. Nestas escalas de agitação o agitador poderá; • Produzir no fundo do tanque o movimento de

todas as partículas presentes. • Permitir a formação de zonas mortas que

periodicamente são suspensas.

Movimentação completa na região adjacente ao fundo do tanque. Formação de zonas mortas

3 a 5

Escalas de agitação de #3 à #5 caracteriza a maioria das aplicações de suspensão de sólidos encontradas nos processos de beneficiamento e transformação. Na escala de #3 o agitador poderá; • Suspender completamente todas as partículas do

fundo do tanque • Promover uniformidade de distribuição de

concentração dos sólidos presentes até no mínimo 1/3 da altura do líquido.

Permitir a retirada de polpa uniforme com bocais de saída localizado em níveis baixos do tanque.

Movimentação e elevaçãocompleta das partículas do fundo do tanque

6 a 8

Escalas de agitação de #6 à #8 são caracterizadas nas aplicações onde a homogeneidade da suspensão deve-se aproximar da uniformidade por quase todo o tanque. Na escala #6 o agitador deverá ser capaz de; • Promover uniformidade de distribuição de

concentração de sólidos desde o fundo até 95% da altura do líquido

• Permitir a retirada de polpa uniforme com bocais de saída localizado em elevações até 80% da altura do líquido.

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9 a10

Escalas de agitação de nível 9 e 10 caracterizam as aplicações onde a homogeneidade da suspensão deve ser uniforme na concentração até 98% da altura do liquido. Estes agitadores devem promover; • Uniformidade de distribuição de concentração

desde o fundo do tanque até uma altura de 98% do líquido.

• Permitir a retirada de polpa uniforme por transbordamento.

Uniformidade quase completa da suspensão.

8.4 – PROCEDIMENTOS DE CÁLCULO DO AGITADOR O procedimento que se segue obedece aos critérios de Gates que utiliza a parte analítica desenvolvida no capítulo 7 mais correções empíricas. Consideremos então um exemplo prático para desenvolvimento da relação rotação-potência na suspensão de sólidos.

Um tanque cilíndrico vertical com 6,0 metros de diâmetro, altura de 7,5 metros e fundo plano, será utilizado para promover a suspensão completa do fundo do tanque ate 1/3 da altura da polpa, correspondendo ao nível # 5 na escala de agitação de Gates.

A polpa atingirá 7,0 m de altura e sua concentração de sólidos será de 50% em peso. Os sólidos a serem suspensos possuem tamanhos máximos de 150 micra, com densidade real de 2,7 ton/m3. A suspensão será feita em água à temperatura ambiente e pressão atmosférica sendo a densidade final da polpa de 1,47 ton/m3. O impelidor utilizado será do tipo 4PBT45 com 4 pás retas inclinadas a 45 graus e altura projetada das pás W/D=1/5. Dos Anexos Tabela #1 podemos tirar o Npo= 1,37 e do gráfico #1, o NQ=0,65.

Calcular a rotação necessária do impelidor para produzir a correta resposta dinâmica que promova a suspensão e homogeneização completa dos sólidos do fundo do tanque, bem como determinar a potência absorvida pelo impelidor.

- Velocidade terminal da partícula Iniciamos estes cálculos pela determinação da velocidade terminal da maior partícula presente no sistema, mesmo que sua fração seja pequena na distribuição granulométrica.

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No capitulo 2 - Conceituação, temos o desenvolvimento dos cálculos que envolvem a velocidade terminal de uma partícula em meio líquido (ver 2.12). A figura 8.1, abaixo, também apresenta um gráfico simplificado para estimativa bem aproximada desta velocidade terminal.

Fig. 8.1 – Estimativa de Velocidade Terminal de Partículas

A diferença entre as densidades do sólido e do líquido é:

7,10,17,2 =−=− LS ρρ Sendo o diâmetro da partícula Dp= 150 micra (100 mesh), determinamos aproximadamente no gráfico que VT=3,5 fpm. Utilizando o método de Carpenter, para determinação da VT, desenvolvido em 2.12 temos; - Fator K O fator K é calculado conforme equação [2.9]

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( ) 31

2..214,0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

μρρρ LSLDpk

( ) 83,31

100027001000).150,0.(214,031

2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=k

O regime da partícula em líquido quiescente encontra-se sob uma Intermediária entre a Lei de Newton e a Lei de Stokes conforme indicado em 2.12. Temos que b1=18,5 e n=0,6. Substituindo na equação [2.10], temos.

fpmVt 54,3)1000.()1.(5,18

)10002700.()150,0(.013067,06,02

1

6,016,0

6,01

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

−

−

+

VT=3,54 fpm (0,018 m/s) Esta é a velocidade terminal da partícula isolada em um fluído estagnado. Devemos corrigi-la em função da concentração de sólidos. Na tabela I abaixo obtemos fatores empíricos de correção.

Tabela I % Sólidos Fator Correção, Fw

2 0,80 5 0,84 10 0,91 15 1,00 20 1,10 25 1,20 30 1,30 35 1,42 40 1,55 45 1,70 50 1,85

Fig. 8.2- Tabela com fatores de correção de velocidade terminal

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VTcorrig=Fw . VT VTcorrig=1,85 . 3,54 VTcorrig=6,55

-Relação D/T Conforme capítulo (Relações Geométricas), temos como recomendação para tanques cilíndricos verticais de fundo plano uma relação D/T de 0,4~0,5. Adotaremos D/T=0,45 D/T=0,45 D=0,45.(6,0m) D=2,70m (106,3”) -Rotação Gates apresenta um gráfico que permite determinar a rotação de impelidor do tipo PBT, relacionado com o nível de agitação e a velocidade terminal dificultada, VTC .

Fig. 8.3 – Gráfico de Gates para determinação da rotação crítica para suspensão de sólidos

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75,381,2

..DcorrigVN TΦ

=

No nosso caso o nível de agitação é #5 e D/T=0,45, o que nos dá. Ф=2,4E10 Portanto:

( )3,29

)3,106()55,6.(104,2

3,106)55,6.(104,2 75,3

1

81,275,3

81,2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

EEN

N=29,3 rpm VP=π.D.N=700 pés/min

-Potência absorvida pelo impelidor

13524,1..

.35

END

NpoPabs polpaρ=

Dos Anexos Tabela #1 podemos tirar o Npo= 1,37

bhpE

Pabs 11,4513524,1

47,1.)3,29.()3,106(.37,135

==

Pabs=45,11bhp]

CASO # 2 - Um tanque de 8,0m de diâmetro por 8 metros de altura será utilizado para homogeneizar minério de ferro deslamado e espessado para alimentação da flotação. O material a ser agitado possui densidade real de 4,63 ton/m3 e na sua distribuição granulométrica um top size de 0,21 mm e uma concentração de sólidos em peso de 60%. Dimensionar um agitador capaz de homogeneizar o minério em água a temperatura ambiente até uma altura de 70% no tanque e permitir retirada por meio de bombeamento por baixo. -velocidade terminal da partícula

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Dados: Top size=0,21 mm Densidade real solidos=4,63 Viscosidade da água=1 cP Concentração em peso=60%

( ) 31

2..214,0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

μρρρ LSLDpk

( ) 9,61

100046301000).210,0.(214,031

2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=k

O regime da partícula em líquido quiescente encontra-se sob uma Intermediária entre a Lei de Newton e a Lei de Stokes conforme indicado em 2.12. Temos que b1=18,5 e n=0,6. Substituindo na equação [2.10], temos.

fpmVt 96,8)1000.()1.(5,18

)10004630.()210,0(.013067,06,02

1

6,016,0

6,01

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

−

−

+

VT=8,96 fpm (0,046 m/s) A velocidade de sedimentação dificultada será; VTcorrig=Fw.VT

( )26177136,001755378,0 −= CW eF

FW=2,2 VTcorrig=2,2.(8,96) VTcorrig =19,76 pés/min =0,10090 m/s =100,90 mm/s

Considerações iniciais de projeto do agitador:

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• A aplicação é de concentração média para alta de sólidos com o comportamento reológico da polpa próximos de sistemas Newtonianos com NRey>104 em sistemas onde a velocidade terminal encontra-se entre 2,5mm/s a 100mm/s.

• O sistema tem a tendência de formação de cantos mortos na intersecção entre o fundo e a parede do tanque.

• O equipamento deverá ser capaz de promover uniformidade de distribuição de concentração dos sólidos até aproximadamente 50 a 70% da altura do nível da polpa permitindo retirada por baixo por meio de bombeamento

• A escala de agitação de Gates deve situar o equipamento em torno de 5 a 6. • Relação D/T=0,4 • O impelidor deve ser do tipo alta eficiência e grande capacidade de bombeamento. • Eixo e impelidor devem ser revestidos com borracha antiabrasiva.

Geometria do agitador T=8m diâmetro do tanque H=8m altura do tanque Z=7,8m altura da polpa D/T=0,4 D=3,2m (125,98”) diâmetro do impelidor Z/4=2m distância do fundo do tanque ao impelidor B=T/12=660mm largura do defletor Bc=T/72=110mm folga entre costado e defletor Npo=0,54 impelidor hidrofólio HIFLO PENTAFOIL DN3200 Nq=0,66

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-rotação

75,381,2

..DcorrigVN TΦ

=

[ ]64748230601,7)/(5665690313,2)(.795373314510,010 +−=Φ TDLNNLN [ ]64748230601,7)4,0(5665690313,2)5(.795373314510,010 +−=Φ LNLN

Φ=4,9115E10

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rpmEN 95,4198,125

)76,19.(109115,475,3

81,2 ==

N=42rpm VP=1384 fpm - potência absorvida pelo impelidor

13524,1..

.35

END

NpoPabs polpaρ=

bhpE

Pabs 47,15713524,1

89,1.)42.()98,125(.54,035

==

Pabs=157,47bhp Rendimento=0,7 Prequerida=224,96 Pmotor=250cv

- capacidade de bombeamento

AvbQ .=

CFMDNNQ Q 3207712

98,125.42.66,012

..33

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

Q=32077cfm (908 m3/min) A=540,78 ft2

fpmAQVb 32,59

78,54032077

===

CASO #3 – Será necessário proceder em polpa de minério de ferro, o seu condicionamento com reagentes antes da flotação. O minério deslamado e espessado com concentração máxima de 53% e top size de 0,210 possui densidade real de 4,66 dando uma densidade de polpa de 1,71. A vazão de polpa nestas condições é de 261 m3/h e o tempo de residência no tanque para estas condições de processo determinado em planta piloto é de aproximadamente 8 minutos.

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Dimensionar um agitador capaz de produzir o condicionamento da totalidade do minério dentro deste tempo de residência estabelecido, permitindo a retirado da polpa por transbordo. Geometria do tanque condicionador Q=262 m3/h Vazão de polpa 4,36 m3/min tr=8min Tempo de residência necessário no tanque para permitir o condicionamento

QVoltr = 388,34)36,4.(8. mQtrVol ===

O nosso tanque deve possuir um volume de 34,88m3 para obedecer às condições requeridas de processo De acordo com os capítulos 5 e 6 a relação ideal para um tanque agitado é aquela onde o diâmetro do tanque é igual a altura do líquido, chamada de relação Z/T quadrada. Desta forma adotando esta relação Z/T=1,0 para o nosso condicionador teremos. n=Z/T 1,0=Z/T Z=T

4...

4. 22 TTZTVol ππ

==

mVolT 54,3)88,34.(4.4 31

3 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

ππ

T=Z=3,54 metros Uma vez que a descarga deverá ser por transbordo a altura H do tanque deverá também ser igual Z. Arredondando estas dimensões, obtemos que poderá ser T=Z=H=3,6metros - velocidade terminal da partícula Dados: Top size=0,21 mm Densidade real sólido=4,63 Viscosidade da água=1 cP Concentração em peso=60%

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214/285

( ) 31

2..214,0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

μρρρ LSLDpk

( ) 9,61

100046301000).210,0.(214,031

2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=k

O regime da partícula em líquido quiescente encontra-se sob uma Intermediária entre a Lei de Newton e a Lei de Stokes conforme indicado em 2.12. Temos que b1=18,5 e n=0,6. Substituindo na equação [2.10], temos:

fpmVt 01,9)1000.()1.(5,18

)10004660.()210,0(.013067,06,02

1

6,016,0

6,01

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

−

−

+

VT=9,01 fpm (0,046 m/s) A velocidade de sedimentação dificultada será: VTcorrig=Fw.VT

( )26177136,001755378,0 −= CW eF

FW=1,95 VTcorrig=1,95.(9,01) VTcorrig =17,58 pés/min =0,0897 m/s =89,7 mm/s

Requisitos de projeto do agitador para o condicionador de polpa;

• A aplicação é de concentração média para alta de sólidos com o comportamento reológico da polpa próximos de sistemas Newtonianos com NRey>104 em sistemas onde a velocidade terminal encontra-se entre 2,5mm/s a 100mm/s.

• O sistema tem a tendência de formação de cantos mortos na intersecção entre o fundo e a parede do tanque.

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• O equipamento deverá ser capaz de promover uniformidade quase completa de distribuição de concentração dos sólidos até aproximadamente 98% da altura do nível da polpa permitindo retirada por transbordamento.

• A escala de agitação de Gates deve situar o equipamento em torno de 8 ou acima. • O agitador deve promover uma grande circulação da polpa caracterizando a utilização

de um impelidor de alta capacidade de bombeamento. • Relação D/T=0,4 • O sistema agitado deve prevenir curtos circuitos entre a entrada e a saída de polpa e

reagentes. • Eixo e impelidor devem ser revestidos com borracha antiabrasiva.

Geometria do condicionador T=3,6m diâmetro do tanque. H=3,6m altura do tanque. Z=3,6m altura da polpa. D/T=0,4 D=1,44m (56,69”) diâmetro do impelidor. Z/4=0,9m distância do fundo do tanque ao impelidor. B=T/12=300mm largura do defletor. Bc=T/72=50mm folga entre costado e defletor. Npo=0,54 impelidor hidrofólio HIFLO PENTAFOIL DN1440 Nq=0,66 - rotação

75,381,2

..DcorrigVN TΦ

=

[ ]14335470610,5)/(45719662438,2)(.16736976715,110 +−=Φ TDLNNLN [ ]14335470610,5)4,0(45719662438,2)8(.16736976715,110 +−=Φ LNLN

Φ=1,8349E11

rpmKEN 2,86.69,56

)58,17.(118349,175,3

81,2 ==

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216/285

N=86rpm VP=1275 fpm - potência absorvida pelo impelidor

13524,1..

.35

END

NpoPabs polpaρ=

bhpE

Pabs 57,2213524,1

71,1.)86.()69,56(.54,035

==

Pabs=22,57bhp Rendimento=0,7 Prequerida=32,24 Pmotor=40cv

- capacidade de bombeamento

AvbQ .=

CFMDNNQ Q 598512

69,56.86.66,012

..33

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

Q=5985cfm (169 m3/min) A=109,51 ft2

fpmAQVb 66,54

51,1095985

===

11 – PROJETO MECÂNICO DO AGITADOR Após a definição do agitador em termos hidrodinâmico, faz-se necessário apresentar algumas consideração sob o ponto de vista mecânico do mesmo. A partir dos dados obtidos tais como; tipo, diâmetro e rotação do impelidor, potência absorvida, posicionamento do impelidor e defletores, etc. É necessário projetor um equipamento que cumpra a contento com os requisitos e condições exigidas no processo. Incluiremos neste capitulo uma introdução aos aspectos mecânicos de cada componente do agitador e os seus requisitos de projeto, construção e instalação. Introduziremos também os aspectos limitantes de um projeto de agitador tais como: forças agindo sobre o impelidor e eixo, deflexões e rotação crítica.

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217/285

A figura 10.1 mostra um vaso agitado que podemos apresentar como exemplo de um mecanismo completo para a operação de agitação; eles contem a maioria dos componentes mecânicos que podem estar presentes num tanque/vaso agitado. Os impelidores que podem ser qualquer um dos apresentados anteriormente dependendo da aplicação que se requeira; o eixo que transmite a potência e torque do conjunto acionador para o impelidor; acoplamentos que permitem a interligação de várias partes que possa ter o eixo permitindo facilidades de montagem e desmontagem; estabilizadores montados nos impelidores que produzem estabilidade e diminuição da deflexão lateral e elevam a freqüência natural de vibração para rotações maiores; sistemas de vedação que isolam o conteúdo do vaso da atmosfera externa que podem ser selos hidráulicos ou retentores, caixa de gaxetas para baixa pressão ou selo mecânico quando as pressões são maiores; acionador que pode ser elétrico, hidráulico ou pneumático, redutor de velocidades; acoplamentos flexíveis; defletores para prevenir redemoinhos; serpentinas para troca térmica, camisa externa envoltória ao vaso para troca térmica, etc. Para projetarmos corretamente o mecanismo agitador, precisamos da correta análise e avaliação das forças que agem no sistema e compreender como estas forças são transmitidas, amplificadas ou amortecidas. Os mecanismos que produzem tensões, torções e flexões sobre o sistema são as chamadas forças inerciais, as forças viscosas e também as forças de arraste vistas no capitulo 3 deste trabalho. As forças inerciais são aquelas desenvolvidas quando o fluído muda de direção ou velocidade, as forças viscosas são desenvolvidas quando uma camada de fluído se move mais rápida ou vagarosamente que outra camada vizinha, ou mesmo uma superfície sólida produzindo tensões de cisalhamento. Já as forças de arraste são decorrentes da resistência que um corpo sólido experimenta quando ele se encontra imerso em meio fluído e existe movimento relativo entre ele e o meio. Numa análise preliminar podemos considerar que as tensões decorrentes destas chamadas forças hidráulicas bastem para dimensionar um agitador, entretanto existem outros mecanismos que induzem tensões no sistema e que devem ser levados em conta no dimensionamento e projeto do mesmo. Forças hidráulicas menos conhecidas tais como as produzidas por localizações assimétricas do impelidor no tanque, ou mesmo um projeto assimétrico do impelidor ou dos defletores, induzem desbalanceamentos e vibrações no sistema.

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Fig. 11.1 – Conjunto vaso agitador

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219/285

As forças centrífugas desenvolvidas devidas desbalanceamento estático ou dinâmico nas partes girantes do sistema são indutoras de tensões que devem ser eliminadas ou controladas a níveis aceitáveis. Elas ocorrem quando o centro de massa do conjunto eixo/impelidor não coincide com eixo de rotação e podem levar o sistema ao colapso se condições de ressonância forem produzidas. Encontramos também forças devido ao atrito em mecanismos tais como redutores de engrenagens, sistemas de vedação, mancais. O sistema pode sofrer influência de mecanismos mais complexos tais como as forças periódicas produzidas por sistemas em vibração devido a um alto grau de esbeltez de seus componentes tais como eixo ou estrutura de sustentação do agitador. Eixos muitos esbeltos mesmo quando amortecidos pelo líquido circundante podem produzir vibrações que afetam o mecanismo acionador (redutor, motor), e podem entrar em ressonância e colapsar se operarem em vazio. O vigamento de sustentação dos agitadores em tanques, também pode produzir forças periódicas se o seu projeto não for bem analisado e suas deflexões estáticas forem excessivas. Conhecendo-se a extensão destas forças, podemos projetar um equipamento que atenda aos requisitos hidrodinâmicos exigidos, permitindo dimensionar cada componente do agitador de modo que resista as tensões desenvolvidas quando em funcionamento.

11.1 – FORÇA HIDRAÚLICA O eixo do agitador em operação está submetido a tensões cisalhantes e normais decorrentes da combinação dos momentos torcionais desenvolvidos pelo conjunto acionador ao transmitir torque ao impelidor, bem como a tensões normais decorrentes das cargas axiais a que o eixo é submetido tanto devido ao peso do agitador como ao empuxo produzido pelo impelidor. Somam-se às estas tensões, aquelas produzidas de forma aleatória pela chamada força hidráulica vista anteriormente como a combinação das forças inerciais, viscosas e de arraste. Esta sem sombra de dúvidas produz os maiores níveis de tensão normal no eixo, decorrentes do momento fletor desenvolvido quando a força hidráulica age contra o impelidor em balanço. Para conhecer melhor esta força hidráulica precisamos do grupo adimensional chamado de Número de Newton ou Potência desenvolvida no capitulo 3. Este grupo adimensional que tem como significado físico a relação entre as forças de arraste nas pás do impelidor e as forças de inércia do sistema servem de ponto de partida para desenvolvermos a equação que determinará a força hidráulica, FH.

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23.. DVPNPo

ρ= =

( ) 23 DDNP

ρ = 35.. ND

Pρ

ρ... 3NDNpoP = [11.1]

Considerando uma força tangencial Ft atuando a ¾ do raio do impelidor, e girando com uma velocidade angular w.

Fig. 11.2 – Cargas e momentos sobre o impelidor.

vFP .=

sendo v=w.r

v- velocidade linear w- velocidade angular

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221/285

wrFP .= wrFP )..(=

wTP .= Sendo o torque, T dado por

wPT =

Sendo a velocidade angular constante e dada por:

Nw π2= Portanto;

πρ

πρ

π .2...

..2...

2

5253 DNNpoNDNNpo

NPT === [11.2]

Se a força tangencial, Ft está agindo sobre uma fração do raio da pá, podemos escrever;

NbDl

TFt.

2. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

Onde: Ft=Força tangencial l= raio efetivo %/100 ( no nosso caso ¾=0,75) Nb=Número de pás Portanto;

NbDNNpo

NbDlDNNpo

NbDl

DNNpo

Ft.).75,0(

.....2..

.2....

.2

.

.2...

42

1

1152

52

πρπρπ

ρ

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−−

[11.3]

Esta força tangencial vem a ser a força hidráulica que produzirá momentos fletores e momentos torsoniais no eixo.

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Uma vez que o impelidor confinado no vaso/tanque não produz um fluxo simétrico, podemos afirmar que as velocidades deste fluxo (magnitude e direção) são diferentes para todas as pás individualmente. O resultado final em cada instante é que serão induzidas forças desiguais e sob cada pá, produzindo variações nos momentos fletor e torsor. Dizemos que a força hidráulica é aleatória. Deste modo a expressão final para cálculo da força hidráulica é dada por;

NbDNNpoFh

.).75,0(

...42

πρ

=

Ajustando para o sistema britânico de unidades

)78467,3.(.).75,0(...

42

ENbDNNpoFh

πρ

= [11.4]

D=polegadas N=rpm

11.2 – EIXO A seleção da configuração do eixo requer uma análise das limitações e requisitos que o projeto como um todo impõe ao mesmo, sejam os requisitos de processo como, por exemplo, pressão e temperatura, geometria do tanque e tipo de montagem do agitador se vertical, inclinado ou lateral e o tipo de suportação e acoplamento entre o conjunto acionador/redutor de velocidades e o eixo. A análise deve iniciar pelo tipo de sustentação e acoplamento que o eixo deve ter no agitador, pois a especificação do mesmo deve determinar como as forças e momentos serão transferidos entre o acionador e o eixo.

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223/285

Fig. 11.3 – Esquema de cargas atuantes sobre o agitador

O esquema da Figura 10.3 nos dá um exemplo clássico de sustentação de eixo de agitador. Nele o eixo é dito em balanço, sendo sustentado por um conjunto de mancais de escora guia fora do meio agitado e que faz parte do conjunto acionador. Neste caso, não existe nenhum mancal guia na extremidade inferior do eixo o que resulta em cálculos mais precisos e rigorosos do eixo, particularmente no tocante as suas deflexões estáticas e rotações críticas. Adotaremos este tipo clássico de montagem por ser ela a única recomendada quando temos sólidos presentes em meio líquido.

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11.2.1 – REQUISITOS DE PROJETO O projeto de um eixo de agitador deve ser baseado em certas suposições e considerações razoáveis do ponto de vista mecânico.

I. Devemos considerar que as tensões a serem resistidas por um eixo de agitador são consideravelmente maiores do que aquelas indicadas inicialmente pelo projeto e cálculos baseados nos Momentos Torsor e Fletor, particularmente quando altos valores de potência por volume são usados.

II. Durante a partida com motores elétricos convencionais o eixo deverá ser capaz de resistir no mínimo duas vezes e meio o torque produzido por este motor.

III. Em operação normal o eixo deverá resistir no mínimo uma vez e meia o momento fletor oriundo das forças hidráulicas aplicadas no impelidor.

IV. O eixo deverá rodar de maneira estável sob qualquer carga no vaso, desde a operação em vazio até com carga total quando o agitador estará totalmente imerso. Deverá ser considerado em qualquer dos casos que sua rotação de trabalho deverá ser no mínimo 30% distante da primeira frequência natural de vibração. Em agitadores de pequeno porte é permitido que a rotação de trabalho esteja acima da primeira freqüência natural de vibração, desde que a aceleração produzida pelo acionador seja suficiente para atravessar rapidamente a faixa crítica de vibração.

V. O projeto do eixo deverá se basear também numa relação entre as tensões que ocorre sobre condições de operação normal e aquelas tensões induzida em condições de máxima potência disponível. Esta metodologia permite que na prática tenhamos eixos suficientemente fortes para resistir (sem exceder as tensões de escoamento do material) as tensões que poderão ser induzidas no eixo se uma das pás dos impelidor for travada em um ponto a 75% do raio deste impelidor. Este travamento não deve ser considerado como o aterramento do impelidor por sólidos, pois não se calcula o eixo para esta condição. Este travamento deve ser visto como, por exemplo; uma pá batendo num componente do tanque, ou um corpo estranho caindo dentro do tanque diretamente sobre uma das pás. Este método assume dois níveis de torque aplicado conforme indicado na tabela 1.

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Torque disponível sob operação normal

Torque desenvolvido pelo motor sob travamento

1 2 Condições normais

Para impelidores em baixa rotação, distantes da parede do tanque e onde não haja sólidos precipitados.

Condições severas Para impelidores em alta velocidade, e alta potência por volume unitário, para impelidores que passam próximos da parede do tanque ou defletores, e onde haja sólidos que poderão precipitar no tanque

Fator de 1,5 Fator 2,5 Os eixos dimensionados de acordo com a coluna 1, não colapsarão mesmo que a sobrecarga no motor seja tal que a proteção do mesmo desarme a energia. Eixos dimensionados conforme coluna 2 não colapsará mesmo que o agitador seja subitamente travado e o motor continue funcionando não tendo sido desarmando pela proteção elétrica.

VI. Juntamente com o dimensionamento do eixo, o seu projeto deve privilegiar uma configuração que permita enquadrar o mesmo dentro de vida infinita quando analisado sob o ponto de vista da fadiga de materiais. Fatores concentradores de tensões devem ser bem analisados.

11.2.2 – TENSÕES/CARGAS SOBRE O EIXO Usaremos a metodologia e recomendações da Handbook #9 da EEUA-Engineers Equipment Users Association. Esta metodologia assume que o eixo esta em balanço apoiado somente por dois mancais de escora guia conforme figura Fig.11.3. Os requisitos gerais relativos ao projeto de um eixo associado com impelidores de palhetas ou pás tais como os estudados neste trabalho, podem ser definidos como se segue:

(1) O eixo deverá ser forte o suficiente para resistir: Condições Severas- 2 ½ vezes o momento torsor disponibilizado pelo motor, e 11/2 vezes o momento fletor devido forças hidráulicas aplicadas sem que a tensão de escoamento do material utilizado seja excedida. Condições Normais- 1 ½ vezes o momento torsor disponibilizado pelo motor, e 1 ½ vezes o momento fletor devido forças hidráulicas aplicadas sem que a tensão de escoamento do

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material utilizado seja excedida. OBS - Estas condições são aquelas definidas em requisitos de projeto onde a condição de travamento do impelidor a 75% do raio do impelidor ocorre. (2)- O eixo não poderá trabalhar em rotação na chamada zona crítica. Ou seja, sua rotação de trabalho deverá estar distante no mínimo 30% da primeira frequência natural de vibração, se o mesmo tiver sido balanceado estaticamente, ou no mínimo 15% da primeira freqüência natural de vibração se o mesmo tiver sido balanceado dinamicamente. (3)- A deflexão do eixo em operação com carga ou vazio ou mesmo quando travado conforme (1), não poderá elevada a ponto de permitir que o impelidor atinja as paredes do vaso ou tanque ou atinja componente interno tais como defletores, serpentinas, etc. (4)- As pás do impelidor não deverão colapsar na condição de travamento citada em (1). (5)- Metodologia: A figura Fig.11.4 e 11.5 nos mostra o diagrama para as cargas envolvidas em eixos em balanço apoiados em dois suportes na outra extremidade.

Fig. 11.4 - Momento fletor, torque e distribuição de carga axial em várias seções de um eixo de agitador indutor de fluxo axial

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Fig. 11.5 – Diagrama de cargas e fórmulas para cálculo de forças cortantes, momento e deflexões que ocorrem em um eixo de agitador (

11.2.2.1- Momentos (a)-Momento Torsor,Mt

NFSPot

Mt..63025

= [1.5]

Pot.- Hp N- rpm Mt- lbf.pol FS- fator de serviço

(b)-Momento Fletor devido Força Hidráulica, Mf

FSLFhMf ..= [11.6] Fh- Força hidráulica L- comprimento do eixo em balanço Mf- lbf.pol

(c)-Momento Fletor devido força aplicada a ¾ do raio da pá oriundo do Mt.

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FSLnbD

MtMf ...

2).75,0(

= [11.7]

D- diâmetro impelidor Nb- número de pás

11.2.2.2- Eixos requeridos quando submetidos à flexão composta.

[ ] 3/122

..16

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ ++

=adm

MtMfMfdt

σπ [11.8]

σadm- tensão normal admissível dt- diâmetro eixo requerido a tração

11.2.2..3-Eixos requeridos quando submetidos à torção composta.

( )3/1

22..16

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= MtMfds

admτπ [11.9]

τadm- tensão cisalhante admissível ds- diâm. Eixo requerido a cisalhamento

11.2.2..4-Tensão cisalhante máxima devida torção

3max ..16dMt

πτ = [11.10]

11.2.2.5-Tensão normal máxima devida flexão

3.32

dMf

mas πσ = [11.11]

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11.2.3 – CARGAS SOBRE OS MANCAIS DE ESCORA-GUIA A figura 11.4 mostra as cargas envolvidas durante operação de um agitador mecânico. Nosso estudo agora se concentrará sobre as reações que ocorre nos mancais de escora-guia do agitador, denotado por R1 e R2, decorrente destas cargas envolvidas. R1 e R2 podem representar os mancais do próprio redutor ou um conjunto de mancais externos, e as fórmulas para calcular as reações que ocorrem são dadas por:

(a) Em operação normal com somente a Força hidráulica atuando

Mancal Superior ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=Sb

SblFh [11.12]

Mancal Inferior ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=Sb

SblFh [11.13]

(b) Em condições severas de emperramento do impelidor

Mancal Superior 5,2.⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=Sb

SblFh

Mancal Inferior 5,2.⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=Sb

SblFh

O diagrama de cargas pode ser visto na figura 11.5

11.2.4 – DEFLEXÃO DO EIXO EM OPERAÇÃO A deflexão no eixo tratada aqui é aquela decorrente da operação normal do agitador onde as forças hidráulicas atuam no impelidor ou aquela decorrente de um emperramento qualquer do impelidor que induza o acionador a transferir um torque mais elevado ao eixo, situação está definida anteriormente como condição severa de operação. Sob estas condições e considerando que o nosso eixo esta engastado somente de um lado e deve ser considerando como uma viga cantilever, o agitador tenderá a sofrer uma deflexão logo abaixo do mancal inferior que irá aumentando até o máximo na sua extremidade inferior. Esta deflexão será maior ou menor em função do grau de rigidez do eixo.

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Este grau de rigidez do eixo por sua vez, é governado por características tais como diâmetro e momentos de inércia. Usando a nomenclatura previamente definida, a força F agindo o impelidor em operação normal ou em condição severa e que causa a deflexão Δ do eixo será dada por:

EILF

3. 3

max =Δ [11.14]

Onde: E – modulo de elasticidade (Young) E=2,98E7 ,psi I – momento de inércia

,64. 4

shdI π= ,pol4

A figura 11.6 mostra esquematicamente a deflexão do centro do eixo em função da carga aplicada na pá do impelidor, bem como o deslocamento total da extremidade do impelidor, de modo que podemos escrever:

Fig. 11.6-Diagrama para deflexão do eixo devida força aplicada no impelidor.

Tanque visto de cima

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231/285

Temos a proporcionalidade: Δmax ⎯ 0,75r x ⎯ 1,75r De modo que podemos escrever:

( )

max

maxmax

max

max

).3/7()4/3(

4/7..4/7.4/3

75,175,0

)75,1()75,0.(

Δ=

Δ=⇒

Δ=

Δ=

Δ=

x

xxr

rxr

rrrx

Sendo 1,75=7/4 e 0,75=3/4

Relacionando esta deflexão ao diâmetro do eixo e à força aplicada onde;

EILF

3. 3

max =Δ e 64. 4

shdI π=

( ) ( ) ( )

shsh

shshsh

dE

LFdELFx

dELF

dELF

dE

LFEILFx

43

4

3

4

31

14

3

4

33

...9..448

...3.3..64.7

...364...3.7

64...3..3/7

64..3

..3/73

..3/7

ππ

πππ

==

===

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

−

[11.15]

11.2.5 – EXEMPLO DE CÁLCULO Um agitador com potência instalada de 150hp, dotado de um impelidor de 3200 mm de diâmetro e 5 pás, girando a 35 rpm, sendo que a potência absorvida pelo impelidor em condições normais de operação é de 91 bhp. O esquema do mesmo é dado na figura abaixo. Determinar as cargas e dimensionar o eixo.

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Fig.11.7

(a)- Momento Torsor

NFSPotMt ..63025

=

• Torque disponibilizado pelo motor

).30400(.270107

35150.63025 mNlbfpolMt ==

• Torque em operação normal

).18400(.163865

3591.63025 mNlbfpolMt ==

• Torque em condições severas (emperramento impelidor)

).76000(.67526735

5,2.150.63025 mNlbfpolMt ==

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233/285

(b)- Forças aplicadas no impelidor

• Força hidráulica Fh=695 lbf • Força devido torque aplicado à ¾ do raio da pá

nbDMtF

.2

.75,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= D=3200mm(126”)

1. Força devida torque disponível pelo motor.

lbfF 11435.

2126.75,0

270107=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

2. Força devida torque em operação normal

lbfF 6945.

2126.75,0

163865=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

3. Força devido torque em condições severas(emperramento do impelidor)

lbfF 28585.

2126.75,0

675267=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

(c)- Momento Fletor

FSLFMf ..= • Devido Força Hidráulica

pollbflbfMf .175140"252.695 ==

• Devido força oriunda do torque disponível pelo motor à ¾ do raio da

pá.

( ) pollbfLnbD

MtMf .288114252.5.63.75,0

270107..

2.75,0

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

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234/285

• Devido força oriunda do torque em condições severas(emperramento do impelidor).

( ) pollbfLnbD

MtMf .720216252.5.63.75,0

675262..

2.75,0

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

(d)- Diâmetros de eixo requeridos sob condições severas (FS=2,5)

• Flexão (tensão normal)

[ ] 3/122

..16

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ ++

=adm

MtMfMfdt

σπ

[ ] 3/122

10000.675267720216720216.16

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ ++

=π

dt

dt=9,5 polegadas • Torção (tensão cisalhamento)

( )

3/122.

.16

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= MtMfds

admτπ

( )

3/1

22 675267720216.6000.16

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

πds

ds=9,42 polegadas

(e)- Diâmetro escolhido para o eixo dsh=10 polegadas

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(f)-Tensões no eixo sob condições severas

• Tensão cisalhante máxima devida torção

PSIdMt 3439

10.675267.16

..16

33max ===ππ

τ

• Tensão normal máxima devida flexão

PSIdMf 7336

10.720216.32

.32

33max ===ππ

σ

(g)-Cargas nos mancais

• Em condições de operação normal

R1(Mancal Superior) lbfSb

SblFh 113835,14

5,14252695 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

R2(Mancal Inferior) lbfSb

SblFh 127735,14

5,14252695 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

Fig.11.8

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21 6950 VlbfVVi =+⇒=Σ

00 21 =++⇒=Σ hMFMVMVMi Usando o ponto 1 como referencia 0695).2525,14(.5,14.0 21 =+−+⇒ VV

lbfV

VV

127735,1852175,14

0695).5,266(5,14

2

2

2

=⇒=⇒

=−⇒

lbfVV

VVVlbfV

1207869512773

695695

1

1

21

21

=−=

−==+

(f)-Deflexão no eixo em operação

• Deflexão do eixo

4

3

4

33

max ...3..64

64...3

....3

.

shsh dELF

dE

LFIE

LFππ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==Δ

polE

25,010.).68,29.(3)252).(695.(64

4

3

max ==Δπ

• Deslocamento da extremidade da pá do impelidor

polEdE

LFxsh

59,010.).68,29.(9

)252)(695.(448...9..448

4

3

4

3

===ππ

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(g)-Deflexão no eixo em condições severas de emperramento do impelidor(FS=2,5)

• Deflexão do eixo

4

3

4

33

max ...3..64

64...3

....3

.

shsh dELF

dE

LFIE

LFππ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==Δ

polE

04,110.).68,29.(3

)252).(2858.(644

3

max ==Δπ

• Deslocamento da extremidade da pá do impelidor

polEdE

LFxsh

43,210.).68,29.(9

)252)(2858.(448...9..448

4

3

4

3

===ππ

11.2.6 – FADIGA DE MATERIAIS E FRATURAS Feito a análise e a identificação das cargas e tensões que ocorre em um eixo de agitador quando em operação, achamos conveniente fazermos uma introdução e procurar ressaltar alguns aspectos mais profundos do projeto deste eixo relacionados com a possibilidade de falhas e fraturas. Este capítulo não pretende aprofundar-se nesta matéria, mas tão somente enfatizar a importância que deve ser dada ao mecanismo de fadiga e fratura de materiais, mostrando as bases da ocorrência do mesmo e as teorias que permitem sua análise e prevenção. A ocorrência de falha do eixo geralmente é devido ao mesmo ser submetido às cargas e forças que o submetem a tensões que ultrapassam o limite de escoamento do material, ou então devido ao que se denomina de fadiga do material. No primeiro caso a falha ocorre quando o eixo é subitamente submetido a uma carga elevada o suficiente para deformar plasticamente o seu material.

O caso de falha por fadiga apesar de ser complexo, pode ser definido em última instância como sendo a situação onde as tensões a que é submetido o eixo são altas o suficiente para iniciar uma pequena trinca no material, que devido à alternância e continuidade da aplicação destas tensões, produzirá o crescimento desta trinca até a ocorrência da fratura do eixo. A figura 11.9 nos dá uma visão do tipo de tensão flutuante provocadora de falha por fadiga.

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Das teorias existentes para estudo de falhas em elementos de máquinas as mais utilizadas são; a Teoria da Tensão Normal Máxima, a Teoria da Tensão Cisalhante Máxima e a Teoria da Energia de Distorção. A Teoria da Tensão Normal Máxima é creditada ao inglês Rankine e vem a ser a mais simples das teorias de falha de materiais. Ela estabelece que a falha ocorre sempre que a maior tensão principal se iguala ao limite de escoamento ou à resistência à ruptura do material. Se σ for designada para representar a maior tensão, então a teoria da tensão normal máxima estabelece que a falha ocorra sempre que σ=σesc ou σ=σrupt, sendo σesc o limite de escoamento e σrupt o limite de ruptura do material. Esta teoria é importante para fins de comparação somente, sendo que as suas previsões nem sempre concordam com a experiência e pode até conduzir a resultados que estão na faixa de insegurança. Deste modo temos as falhas por escoamento e rupturas ocorrerão sempre que;

escσσ = E ruptσσ = [11.16] Podemos definir para esta teoria um critério de segurança, usando um fator de segurança, n. Deste modo obtém-se a segurança do elemento sempre que;

nescσ

σ = E nruptσ

σ = [11.17]

A Teoria da Tensão Cisalhante Máxima foi proposta originalmente pelo cientista francês Coulomb. Esta é uma teoria fácil de utilizar, e produz resultados seguros quando contrastados com os testes, sendo muito empregada nos códigos de projeto. Ela é usada somente para a previsão do escoamento e, portanto só se aplica aos materiais dúteis. A teoria da tensão cisalhante máxima estabelece que o escoamento comece sempre que a tensão cisalhante máxima em uma peça torna-se igual à tensão cisalhante máxima em um corpo de prova de tração, quando inicia o escoamento. Deste modo, de acordo com esta teoria, a falha por escoamento ocorrerá sempre que:

2esc

máxσ

τ = [11.18]

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Observar que esta teoria prevê que o limite de escoamento ao cisalhamento seja metade de limite de escoamento à tração do corpo de prova. Podemos também definir a segurança, como sendo:

nesc

máx .2σ

τ = [11.19]

A Teoria da Energia de Distorção, creditada à Hueber, Von Mises e Hencky, e é também conhecida como teoria da energia de cisalhamento e teoria de Von Mises-Hencky. Tal qual a teoria da tensão cisalhante máxima, ela é empregada para definir o início do escoamento do material e presta-se aos materiais dúteis. A observação de que os materiais dúteis possuíam limites de escoamento muito acima dos valores dados pelos testes de tração originou esta teoria. Postulou-se que o escoamento não era somente um fenômeno decorrente da tração ou compressão, sim relacionado de algum modo à distorção angular do elemento tensionado. Nesta teoria a falha ocorre quando a energia total de deformação atinge um valor igual à energia total de deformação de um elemento de um corpo de prova submetido a um teste de tração na ocasião do escoamento. A tensão equivalente ou tensão de Von Mises é dada por;

22 3τσσ +=mises [11.20] Nas falhas de componentes de máquinas que foram submetidos às tensões repetidas, alternadas ou flutuantes observa-se frequentemente que sob uma análise mais cuidadosa que as tensões a que estes componentes estavam submetidas possuíam valores bem abaixo da tensão de resistência do material e quase sempre ata abaixo do limite de escoamento. A característica marcante neste tipo de falha vem a ser a alternância, repetição ou flutuação das tensões aplicadas em um número muito grande de vezes, ver figura Fig. 11.9. Dá-se o nome de Fadiga a este tipo de falha. Uma falha por fadiga começa com uma pequena fissura que não se pode detectar a olho nu. Esta fissura aparecerá em um ponto de descontinuidade do material, como uma mudança de diâmetro da seção de um eixo, um rasgo de chaveta ou um furo ou mesmo uma irregularidade causada por usinagem. Uma vez iniciada a fissura, o efeito concentrador de tensões deste ponto irregular torna-se maior e a fissura progride à medida que as tensões alternadas ocorrem.

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À medida que a área tensionada diminui de tamanho devido ao aumento da fissura, a tensão aumenta de intensidade até finalmente ocorrer à ruptura da peça. Conhecendo-se este mecanismo de falha, é possível estabelecer requisitos de projeto para um elemento de máquina que impeça que sua falha por fadiga. É de extrema importância quando do projeto de um eixo, que sejam observados os fatores modificadores de resistência à fadiga e os fatores concentradores de tensões.

Fig.11.9 – Tipos de tensões de fadiga

Desde modo devemos basear o projeto do eixo do agitador na resistência à fadiga e não nas resistências ao escoamento ou à ruptura do material. Projetos feitos na base da tensão média nominal (F/A, Mc/I, Mt/J), com fator de segurança tomado em relação à resistência ao escoamento e à ruptura, não leva em consideração os efeitos do estado da superfície, falhas de material, descontinuidade da seção, vida esperada, etc. Muitas vezes usamos para se cobrir destes efeitos desconhecidos, e dependendo do grau de importância e do tamanho do agitador utilizamos fatores de segurança ordinariamente grandes. Mesmo assim falhas inesperadas ocorrem comprovando que fatores de segurança baseados no escoamento ou ruptura do material são em grande parte, um fator de desconhecimento para nós.

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Para se determinar o limite de resistência à fadiga, um corpo de prova é colocado em uma máquina, carregada com uma carga de flexão e posto a girar. Esta carga produz esforços de tração nas fibras do material de um lado e compressão no outro, de modo que ao girar o tipo de esforço é invertido para cada fibra do corpo. Observa-se que existe uma relação entre o limite de fadiga de um elemento de máquina e as resistências dos materiais obtidas a partir de testes de tração e rotativos em corpos de prova. Este limite de resistência do elemento de máquina pode ser consideravelmente menor do que o limite de resistência do corpo de prova, se não observarmos determinadas correções a qual se denomina fator modificador do limite de resistência, de modo que podemos escrever;

fedcbann kkkkkk ......'σσ = [11.21] Onde: σn=limite resistência à fadiga da peça σ’n=limite resistência à fadiga do corpo de prova no teste de flexão rotativa ka=fator de acabamento superficial kb=fator de tamanho da peça kc=fator de confiabilidade kd=fator de temperatura ke=fator concentrador de tensões kf=fatores diversos

Deste modo o projeto e fabricação do eixo do agitador adquirem uma importância extrema, particularmente nos agitadores de grande porte onde as cargas desenvolvidas são elevadas. Cuidados extremos devem ser tomados ao projetarmos e fabricamos o eixo, seus rasgos de chavetas, furos, transições entre diâmetros, tipos de acabamento de superfície, etc.

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Fig. 11.10 – Fatores concentradores de tensão para eixos submetidos à flexão e carga axial

Fig. 11.11 – Fator concentrador de tensão para eixo submetido à torção

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11.6 - ACIONADOR Ao selecionar um acionador para um agitador, deve ser considerado que a potência do mesmo será sempre maior do que aquela obtida durante os cálculos anteriores que nos determinava as potências absorvidas pelos impelidores. Devemos considerar que a potência instalada de um acionador sofre perdas através dos diversos mecanismos de transmissão até atingir o impelidor, perdas estas que são geradas pelo sistema de transmissão que pode ser um redutor de velocidades ou sistema polias e correias, uma caixa de gaxetas, defletores, draft tube, serpentinas e outros acessórios. A escolha de um acionador seja elétrica ou não, é dada pela seguinte fórmula.

total

absacionador

PPη

=

Onde ηtotal é o valor representativo das perdas geradas pelos diversos componentes citados anteriormente. Adota-se com freqüência um rendimento total do sistema variando de 0,7 a 0,8, que são distribuídos da seguinte maneira:

acessóriosselagemredutorcorreiaspoliastotal ηηηηη .../= Os subsistemas que compõem o agitador possuem rendimentos individuais que variam de acordo com o fabricante, tipo de material, etc. η polias/correias =0,90 ( 90%) η redutor =0,60-0,80 para coroa-sem fim 0,90-0,95 para engrenagens helicoidais Caixa de gaxetas =0,5 – 1,0 hp em média Selo mecânico =0,2 hp em média Os acionadores mais utilizados são os motores elétricos, podendo ser os mesmos de indução, síncronos e corrente contínuos. Algumas aplicações, particularmente aquelas em áreas de risco de explosão, requerem que os acionadores sejam do tipo pneumático ou hidráulico.

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11.7 – SISTEMAS DE TRANSMISSÃO Quase que na totalidade das aplicações de agitadores mecânicos, é necessário reduzir-se a rotação do acionador. Esta redução é possível de ser feita através de redutores de velocidades de engrenagens e sistemas de polias e correias.

11.7.1 – SISTEMA POLIAS E CORREIAS Este sistema de redução de velocidades é o mais simples e econômico que se pode utilizar em um agitador, particularmente naqueles de pequenas e médias dimensões. As vantagens da sua utilização são o baixo custo do sistema, a possibilidade de alteração da rotação permitindo flexibilidades no agitador, sua utilização como fusível mecânico, etc. As desvantagens são as baixas relações de redução com valores que não passam de 1:5, uma manutenção mais acentuada e um rendimento muito baixo quando comparado com redutores de velocidade.

Fig. 11.12 – Unidade redutora de polias e correias

11.7.2 – REDUTORES DE ENGRENAGENS Quando utilizamos redutores de velocidade de engrenagens, temos como garantia uma transmissão de potência com alta eficiência, vida útil longa, pouco espaço ocupado, pouca manutenção, etc.

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Estas vantagens são obtidas quando selecionamos o tipo correto de redutor e o tamanho mais apropriado para determinada aplicação. Temos no mercado uma vasta gama de marcas, tipos, preços, qualidade, etc. permitindo a escolha ideal do redutor para cada aplicação de agitador. Na seleção de um redutor, além do mesmo ter que atender a potência consumida pelo agitador e os diversos componentes existentes, leva-se em conta um fator de segurança que permitirá ao redutor trabalhar por longo tempo. As maiorias dos fabricantes apresentam nos seus catálogos, procedimentos de seleção, com tabelas que classificam os tipos de cargas, fatores de serviço, etc. 11.7.3 – VARIADORES DE VELOCIDADES Em algumas situações de processo, um agitador pode necessitar de variar sua rotação. Esta variação de velocidades pode ser obtida através da própria unidade acionadora ou instalando-se componentes entre o motor e redutor que permite esta variação.

11.7.3.1 – MOTORES COM DUPLA OU TRIPLA POLARIDADE Estes motores são facilmente encontrados no mercado e nos permite obter rotações fixas e diferenciadas no agitador. 11.7.3.2 – VARIADORES DE FREQUÊNCIA Pode-se obter a variação da rotação de um motor de indução, alterando a freqüência de alimentação do mesmo através de componentes denominados de inversores de freqüência. Existem no mercado várias companhias que já fornecem tal componente para potências que atingem potencias de motores elevadas. Sua aplicação é vantajosa por ser um equipamento que é instalado na própria linha de alimentação do motor, permitindo assim, ser usado em agitadores de rotação fixa já existente. 11.7.3.3 – VARIADOR ELETRO-MAGNÉTICO É uma embreagem eletro-magnética que permite um escorregamento constante, independente da carga aplicada. Seu controle consiste na variação da excitação da bobina, o que provocará um aumento ou diminuição do fluxo magnético que por sua vez modifica a força de arraste do eixo ligado ao motor. Pode ser controlado a distância.

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11.7.3.4 – VARIADOR DE POLIAS VARÍAVEIS São componentes muito utilizados em agitadores por se tratar de um componente simples, robusto e com possibilidade de acoplar no redutor de engrenagens. É constituído de duas polias variáveis ligadas por uma correia plana. Tanto a polia motora quanto a acionada é constituída de dois discos cônicos pressionados um contra o outro através de molas na polia acionada e por um regulador de afastamento na motora, ver Fig. 11.13.

Fig. 11.13 – Variador de velocidades de polias variáveis

A variação da distância entre estes dois discos permite à correia trabalhar num diâmetro maior ou menor, dando-se assim a diferenciação de velocidade de uma em relação à outra. Conseguimos variações de 1:4 para potências de até 25 cv, de 1:6 até 15 cv e 1:8 até 4 cv. O rendimento destes variadores é da ordem de 80 a 85% para baixa redução e até 50% para as reduções maiores. Nestes componentes sempre há um pequeno escorregamento das correias que pode chegar até 3%, limite máximo para manter a integridade da correia.

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11.7.3.5 – VARIADOR DE POLIAS TIPO REEVES São variadores semelhantes aos anteriores com a diferença da polia acionada ser plana. A variação é feita acionando o fuso da base porta-motor que altera a distância do conjunto motor-polia expansiva em relação à polia conduzida, sendo que este movimento deverá ser efetuado com o conjunto em funcionamento (Fig. 11.14). Sua capacidade de variação máxima é de 1:3 podendo ser aplicada até potências de 10cv.

Fig. 11.14 – Variador de velocidades tipo Reeves

11.7.3.6 – VARIADOR POSITIVO INFINITAMENTE VARIÁVEL Em princípio este tipo de variador é semelhante ao de polias variáveis, sendo sua diferença que ele utiliza correntes de lâminas e discos cônicos ranhurados radialmente. Estes componentes permitem relações até 1:6 e rotações infinitamente variáveis.

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Fig. 11.15 – Variador positivo infinitamente variável

11.7.3.7 – VARIADOR DE CONES PLANETÁRIOS São componentes variadores compactos, que permitem variação de velocidades desde zero até 1000 rpm. A rotação do eixo de entrada é transmitida através do disco de entrada para os cones, que adquirem movimento de rotação. Ao mesmo tempo os cones giram ao longo da superfície interna do anel fixo. O movimento de rotação dos cones é transmitido para o disco de came, que é acoplado ao eixo de saída através do came do sistema autocompensador de pressão. Embora o anel não gire, ele pode ser deslocado axialmente por meio de um volante. Quando o anel está na posição de alta velocidade, os cones adquirem alta rotação e movimento de translação lenta ao longo da superfície interna do anel. Esta rápida rotação dos cones é transmitida para o disco de came, resultando em alta velocidade de saída. Movendo o anel para a posição de baixa velocidade, a rotação dos cones decresce e aumenta a velocidade de translação ao longo da superfície interna do anel. Resultando em baixa velocidade de saída. A velocidade de saída zero é alcançada quando o ponto de contato do anel no cone tem o mesmo diâmetro do ponto de contato do disco de came (Fig.11.16).

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Fig.11.16 – Variador de cones planetários

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ANEXOS

TABELA 1 – Extraído de artigo técnico da Chemineer-Kenics

GRAFICO 1 – Extraído de artigo técnico da Chemical Engineering

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GRAFICO 2

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GRAFICO 3

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253/285

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GRAFICO 4

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GRÁFICO 5 – Velocidade Terminal de Partículas

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GRÁFICO 6 – Determinação do Número Ф

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