Br uckenkurs Mathematik Vorlesung Di erentialrechnung · Br uckenkurs Mathematik, c K.Rothe,...

Bruckenkurs Mathematik

Vorlesung

Differentialrechnung

Kai Rothe

Technische Universitat Hamburg

0 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung

Steigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Differenzenquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Differentialquotient, Ableitung . . . . . . . . . . 7

Tangentengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Hohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Tabelle mit Ableitungen von Funktionen 11

Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Linearitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Kehrwertregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . 20

Satz von Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Monotoniebereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Krummunsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 1

Steigung:

Die Steigung ist ein Maß fur den Anstieg, der bewaltigtwerden muss, um vom Punkt A zum Punkt B zu ge-langen und wird festgelegt durch

Steigung =senkrechte Anderung

waagerechte Anderung.

Beispiel:

senkrechte Anderung = waagerechte Anderung

Steigung = 1 = 100 · 1

100= 100% .

x-Achse

y-Achse

Au

Bu

1

1

45◦

cos(45◦)� -

sin(45◦)

6

?

tan(45◦) = 1

6

? -

6

��

��

�r �r


Beispiel:

Steigung einer Geraden y = f (x) = ax + b .

A = (x0, y0) , B = (x1, y1) y0 = f (x0) , y1 = f (x1)

∆x := x1 − x0 waagerechte Anderung,

∆y := y1 − y0 senkrechte Anderung

Steigung =∆y

∆x=

ax1 + b− (ax0 + b)

x1 − x0= a

-

6

x-Achse

y-Achse

x0 x1

y0

y1

∆x� -

∆y

6

?

Au

Bu

��

�r


Differenzenquotient:

Definition:

Der Quotient aus den Differenzen

∆y := y − y0 , ∆x := x− x0

wird als Differenzenquotient

oder auch Sekantensteigung

bzgl. der Punkte (x0, y0) und (x, y) bezeichnet

und besitzt fur die allgemeine Funktion f mit

x := x0 + h , y0 = f (x0) , y = f (x)

die Gestalt

S :=∆y

∆x=

f (x)− f (x0)

x− x0=

f (x0 + h)− f (x0)

h.


Lost man nach f (x) auf, so ergibt sich

f (x) = S(x− x0) + f (x0)

Bemerkung:

Ist f keine Gerade, so andert sich die SekantensteigungS mit x.

Vernachlassigt man dies, so gilt fur variables x nur noch

f (x) ≈ S(x− x0) + f (x0) .

Beispiel:

-1 1 2 3x

1

2

3

4

5

6

y

(x− 1)2 + 1 mit Sekante


Frage:

Welcher Differenzenquotient wird verwendet,

um die Steigung fur die Funktion f

an der Stelle x0 zu erhalten?

Beispiel:

-1 1 2 3x

1

2

3

4

5

6

y

(x− 1)2 + 1 mit verschiedenen Sekanten


Antwort:

Je naher x bei x0 liegt,desto besser wird die tatsachliche Steigung von f in x0wiedergegeben.

Man betrachtet daher

die Folge der Differenzenquotienten fur x→ x0(alle Folgen, die gegen x0 konvergieren sind zugelassen)

und nennt den Grenzwert Differentialquotient.

Aus der Folge von Sekanten

wird dann im Grenzwert die Tangente,die f im Punkt x0 tangential beruhrt.


Differentialquotient:

Definition:

Der Grenzwert

df

dx(x0) := f ′(x0) := lim

x→x0

f (x)− f (x0)

x− x0.

wird im Falle der Existenz als Differentialquotientder Funktion f im Punkt x0 bezeichnet.

f heißt dann differenzierbar in x0.

Man bezeichnet f ′(x0) auch als Ableitung von f inx0.

Ist f in jedem Punkt des Definitionsbereiches [a, b] dif-ferenzierbar, so heißt f differenzierbar auf [a, b].

Dabei kann f ′(x) wieder als Funktion von x aufgefasstwerden.


Beispiel: nicht differenzierbare Funktion

f : IR → IR ,

x 7→ |x| =

{−x , x < 0 ,

x , x ≥ 0

Die Betragsfunktion ist in x0 = 0 nicht differenzierbar,denn die Differenzenquotientenfolgen zweier verschiede-ner Nullfolgen fuhren nicht auf das gleiche Ergebnis:

xn =1

n⇒ lim

n→∞

f (xn)− f (0)

xn − 0= lim

n→∞

1/n

1/n= lim

n→∞1 = 1

xn = −1

n⇒ lim

n→∞

f (xn)− f (0)

xn − 0= lim

n→∞

1/n

−1/n= −1 .

-1 -0.5 0.5 1x

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

y

in x0 = 0 nicht differenzierbare Funktion


Tangentengleichung:

Die Gerade T (x) = ax+ b heißt Tangente an f in x0,

falls T (x0) = f (x0) und T ′(x0) = f ′(x0) gilt:

⇒ T (x) = f ′(x0)(x− x0) + f (x0) .

Die Tangente wird auch als Linearisierung der Funk-tion f im Punkt x0 bezeichnet.

In einer kleinen Umgebung von x0 gilt dann

f (x) ≈ T (x) = f ′(x0)(x− x0) + f (x0) .

-2 -1 1 2x

-1

1

2

3

4

5

y

x0 = 1, f (x) = x2 + 1, T (x) = 2(x− 1) + 2


Hohere Ableitungen:

Definition:

Ist f ′ : D → IR differenzierbar, so wird die Ableitungvon f ′ zweite Ableitung von f genannt und mit

f ′′(x) oderd2f (x)

dx2bezeichnet.

Allgemein lasst sich die n-te Ableitung (n ≥ 1) re-kursiv definieren durch:

d(0)f (x)

dx(0):= f (0)(x) := f (x)

und f (n)(x) =d(n)f (x)

dx(n):=

d

dx

(d(n−1)f (x)

dx(n−1)

).

Beispiel:

f (x) = x3 + x2 + x + 1

f ′(x) = 3x2 + 2x + 1

f ′′(x) = 6x + 2

f ′′′(x) = 6

f ′′′′(x) = 0


Tabelle mit Ableitungen:

f (x) f ′(x)

c 0 , c ∈ IR

x 1

xα αxα−1 , α ∈ IR\{0}ex ex

lnx1

xsinx cosx

cosx − sinx

tanx 1 + tan2 x =1

cos2 x

arcsinx1√

1− x2

arccosx − 1√1− x2

arctanx1

1 + x2sinhx coshx

coshx sinhx

arsinhx1√x2 + 1

arcoshx1√

x2 − 1


Differentiationsregeln

Die Ableitung einer Funktion wird in der Praxis nichtuber den Differentialquotienten, sondern uber Differen-tiationsregeln unter Verwendung der Ableitungen ele-mentar bekannter Funktionen ausgerechnet.

Sind f, g : D ⊂ IR→ IR in x0 ∈ D0 differenzierbar, sogilt:

Linearitat

(f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0) , Summenregel

(c · f )′(x0) = c · f ′(x0) , c ∈ IR , Faktorregel

Beispiele:

1. Polynom

(3x6 − 5x2 + 7x + 10)′

= 3(x6)′ − 5(x2)′ + 7(x)′ + (10)′

= 3 · 6x5 − 5 · 2x + 7 · 1= 18x5 − 10x + 7


2. gerades Polynom

-3 -2 -1 1 2 3x

-4

-2

2

4

6

8

y

p(x) = x4 − 4x2 + 1

-2 -1 1 2x

-6

-4

-2

2

4

6

y

p′(x) = 4x3 − 8x

Bemerkung:

• Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade.

• Ableitung einer ungeraden Funktion ist gerade.


Produktregel

(f · g)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f (x0)g′(x0) ,

Beispiele:

1. (x2 · sinx)′ = (x2)′ sinx + x2(sinx)′

= 2x sinx + x2 cosx

2. (cos2 x)′ = (cosx · cosx)′

= − sinx cosx + cosx(− sinx) = −2 sinx cosx

3. (5x2)′ = (5 · x2)′

= 0 · x2 + 5 · 2x = 5 · 2x = 10x

(vgl. Regel fur konstanten Faktor)


Kehrwertregel

(1

g

)′(x0) = − g′(x0)

(g(x0))2fur g(x0) 6= 0 ,

Beispiele:

1. (x−1)′ =

(1

x

)′= − 1

x2= −x−2

2.

(1

cosx

)′= − cos′ x

cos2 x= −− sinx

cos2 x=

sinx

cos2 x

3. (tan x)′ =

(sinx · 1

cosx

)′(Produktregel)

= sin′ x · 1

cosx+ sinx ·

(1

cosx

)′= cosx · 1

cosx+ sinx · sinx

cos2 x= 1 +

sin2 x

cos2 x

= 1 + tan2 x


Quotientenregel

(f

g

)′(x0) =

f ′(x0)g(x0)− f (x0)g′(x0)

(g(x0))2fur g(x0) 6= 0.

Beispiel 1: rationale Funktion

(x2 + x + 1

x3 − 5

)′

=(x2 + x + 1)′ · (x3 − 5)− (x2 + x + 1) · (x3 − 5)′

(x3 − 5)2

=(2x + 1) · (x3 − 5)− (x2 + x + 1) · (3x2)

(x3 − 5)2

=−5− 10x− 3x2 − 2x3 − x4

(x3 − 5)2


Beispiel 2: Tangensfunktion

tan′(x) =

(sin(x)

cos(x)

)′

=sin′(x) cos(x)− sin(x) cos′(x)

cos2(x)Quotientenregel

=cos(x) cos(x)− sin(x)(− sin(x))

cos2(x)

=cos2(x) + sin2(x)

cos2(x)=

1

cos2(x)

oder =cos2(x)

cos2(x)+

sin2(x)

cos2(x)= 1 + tan2(x)

Also

tan′(x) = 1 + tan2(x) =1

cos2(x).


Kettenregel

Gegeben seien die Funktionen

f : [a, b]→ IR

undg : [c, d]→ IR .

Funktionsverkettung fur f ([a, b]) = [c, d]

g ◦ f : [a, b]f→ [c, d]

g→ IR .

Dabei bezeichet (g ◦ f )(x) = g(f (x))die Hintereinanderausfuhrung der Funktionen.Erst wird f auf x und dann g auf y = f (x) angewendet.

Ist f in x0 ∈]a, b[ und g in f (x0) =: y0 ∈]c, d[differenzierbar, dann gilt

d(g ◦ f )

dx(x0) =

dg

dy(y0) ·

df

dx(x0) .


Beispiele:

1. (g ◦ f )(x) = ex2

= exp( x2︸︷︷︸y=f(x)

)

(ex2)′ = (ey)′ · (x2)′ = ey · 2x = 2x · ex2

2. (g ◦ f )(x) = sin(x2 + x + 1︸︷︷︸y=f(x)

)

(sin(x2 + x + 1))′ = sin′(y) · (x2 + x + 1)′

= cos(y) · (2x + 1)

= cos(x2 + x + 1) · (2x + 1)

3. (g ◦ f )(x) = elnx = exp( lnx︸︷︷︸y=f(x)

) ( = x )

(elnx)′ = (ey)′ · (lnx)′ = ey · 1

x= elnx · 1

x=x

x= 1


Ableitung der Umkehrfunktion

Sei f : [a, b] → IR eine in [a, b] stetige und streng mo-noton wachsende Funktion und differenzierbar inx0 ∈ [a, b] mit f ′(x0) 6= 0.

Dann ist die Umkehrfunktion f−1 : [f (a), f (b)] → IRin y0 := f (x0) differenzierbar und es gilt:

(f−1(y0)

)′=

1

f ′(x0)=

1

f ′ (f−1(y0)).

Beispiele:

1. naturlicher Logarithmus

y = ex = f (x) und x = ln y = f−1(y)

(ln y)′ =1

(ex)′=

1

ex=

1

eln y=

1

y


2. n.-ten Wurzelfunktion

y = xn = f (x), x = y1n = n√y = f−1(y),

(y1/n

)′=(f−1(y)

)′=

1

f ′(x)=

1

nxn−1

=1

n(y

1n

)n−1 =1

ny1−1n

=1

n· y

1n−1

3. arcsinus

y = arcsin(x) = f (x), x = sin y = f−1(y),

arcsin′(x) =1

(sin(y))′=

1

cos(y)

=1√

1− sin2(y)=

1√1− x2

Mit der Kreisgleichung: cos2 y + sin2 y = 1.


Satz von Rolle

Gegeben sei eine stetige Funktion

f : [a, b]→ IR ,

die auf ]a, b[ differenzierbar ist. Dann gilt

f (a) = f (b) ⇒ ∃ x0 ∈ ]a, b[ mit f ′(x0) = 0 .

Beispiel:

-1 1 2 3 4 5x

-1

1

2

3

4

5

y

f (x) = −(x− 2)2 + 4 mit f ′(2) = 0


Mittelwertsatz

Gegeben sei eine stetige Funktion

f : [a, b]→ IR ,

die auf ]a, b[ differenzierbar ist. Dann

∃ x0 ∈ ]a, b[ mit f ′(x0) =f (b)− f (a)

b− a.

Beispiel:

f (x) = −(x− 2)2 + 4 , [a, b] = [1, 4] ⇒ x0 =5

2

⇒ f (4)− f (1)

4− 1=

0− 3

4− 1= −1 = f ′

(5

2

)

1.5 2 2.5 3 3.5 4x

-1

1

2

3

4

5

y

f (x) = −(x− 2)2 + 4 mit f ′(

5

2

)


Monotoniebereiche:

Definition:

Gegeben sei eine Funktion

f : [a, b]→ IR ,

mit beliebigen x1, x2 ∈ [a, b]. Die Funktion f heißt

•monoton wachsend, falls gilt:

x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2) ,

• streng monoton wachsend, falls gilt:

x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2) ,

•monoton fallend, falls gilt:

x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2) ,

• streng monoton fallend, falls gilt:

x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2) .


Sei f : [a, b] → IR , eine differenzierbare Funktion,dann gilt

• f ′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b]

⇔ monoton wachsend in [a, b] ,

• f ′(x) > 0 ∀ x ∈ [a, b]

⇒ streng monoton wachsend in [a, b] ,

• f ′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ [a, b]

⇔ monoton fallend in [a, b] ,

• f ′(x) < 0 ∀ x ∈ [a, b]

⇒ streng monoton fallend in [a, b] .

Beispiel: f (x) = x3 + x⇒ f ′(x) = 3x2 + 1 > 0

-2 -1 1 2x

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

y

streng monoton wachsend: f (x) = x3 + x


Extremwerte:

Definition:

Gegeben sei eine Funktion f : [a, b]→ IR. Fur x0 ∈ Ddefiniert man:

1. f besitzt in x0 ein globales Maximum,

falls ∀x ∈ [a, b] gilt: f (x) ≤ f (x0) .

2. f besitzt in x0 ein lokales Maximum,

falls ein ε > 0 existiert, so dass

∀x ∈ ]x0 − ε, x0 + ε[ ∩[a, b] gilt: f (x) ≤ f (x0) .

3. x0 heißt strenges Maximum, wenn in a) und b)

f (x) ≤ f (x0) durch f (x) < f (x0) ersetzt werdenkann .

4. Gilt in 1. und 2. f (x) ≥ f (x0) bzw. f (x) > f (x0),so spricht man vom Minimum in x0.

5. f besitzt in x0 ein Extremum, falls es sich um einMaximum oder Minimum handelt.

6. f besitzt in x0 einen stationaren Punkt, fallsf ′(x0) = 0 gilt.


Notwendige Bedingung:

Ist f in x0 ∈ ]a, b[ differenzierbar und liegt in x0 einelokale Extremstelle vor, dann gilt f ′(x0) = 0.

Beispiel:

f (x) = x2 ⇒ f ′(x) = 2x = 0 ⇒ x0 = 0

Der stationare Punkt x0 = 0 ist ein strenges globalesMinimum (global, weil f (0) = 0 und f (x) = x2 ≥ 0).

-2 -1 1 2x

-1

1

2

3

4

y

f (x) = x2


Beispiel:

f (x) = x3 ⇒ f ′(x) = 3x2 = 0 ⇒ x0 = 0

Der stationare Punkt x0 = 0 ist kein Extremum.

-2 -1 1 2x

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

y

f (x) = x3


Hinreichende Bedingung

Es sei f eine zweimal stetig differenzierbare Funktionin [a, b].

Gilt f ′(x0) = 0 fur x0 ∈ ]a, b[ und

1. f ′′(x0) < 0,

dann besitzt f in x0 ein strenges lokales Maximum,

2. f ′′(x0) > 0,

dann besitzt f in x0 ein strenges lokales Minimum.

Beispiel:

f (x) = x2 ⇒ f ′(x) = 2x ⇒ f ′′(x) = 2

f ′(x) = 2x = 0 ⇒ x0 = 0 ist stationarer Punkt.

f ′′(0) = 2 > 0 ⇒ x0 = 0 ist strenges lokales Minimum

-2 -1 1 2x

-1

1

2

3

4

y

f (x) = x2


Hinreichende Bedingung

Es sei f eine stetig differenzierbare Funktion in [a, b].

Gilt f ′(x0) = 0 fur x0 ∈ ]a, b[ und

1. f ′(x) ≥ 0 fur x ∈]a, x0[ und f ′(x) ≤ 0 fur x ∈]x0, b[,dann besitzt f in x0 ein lokales Maximum,

2. f ′(x) ≤ 0 fur x ∈]a, x0[ und f ′(x) ≥ 0 fur x ∈]x0, b[,dann besitzt f in x0 ein lokales Minimum.

Beispiel:

f ′(x) = 2x

< 0 , x < 0 : streng monoton fallend= 0 , x = 0 : strenges lokales Minimum> 0 , x > 0 : streng monoton wachsend

-2 -1 1 2x

-1

1

2

3

4

y

f (x) = x2


Extrema in Randpunkten

Es sei f eine stetig differenzierbare Funktion in [a, b]und 0 < ε ≤ b− a. Gilt

1. f ′(x) < 0:

streng monoton fallend fur x ∈ [a, a + ε],

dann besitzt f in a ein strenges lokales Maximum,

2. f ′(x) > 0:

streng monoton wachsend fur x ∈ [b− ε, b],

dann besitzt f in b ein strenges lokales Maximum.

Bei Umkehrung der Ungleichung erhalt man eine ent-sprechende Bedingung fur ein Minimum.


Beispiel:

f : IR+0 → IR+

0 , x 7→ f (x) =√x = x1/2

Es gibt keine Extrema in IR+, denn

f ′(x) =1

2x−1/2 =

1

2√x> 0

(f wachst streng monoton)

Wegen√

0 = 0 und√x > 0 fur x 6= 0 gilt

x0 = 0 ist streng globales Minimum.

0 5 10 15x

1

2

3

4

y

x ∈ [0,∞[ , f (x) =√x


Beispiel:

f : [0, 1]→ IR , x 7→ f (x) = ex

f ′(x) = ex > 0 , d.h. f wachst streng monoton

x0 = 0 ist streng lokales Minimum,

x1 = 1 ist streng lokales Maximum

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y

x ∈ [0, 1] , f (x) = ex


Krummungsverhalten:

Das Krummungsverhalten einer Funktion f wird uberdie Begriffe “konvex” (Linkskrummung) und “konkav”(Rechtskrummung) erklart.

Definition:

1. Eine Funktion f : [a, b]→ IR heißt konvex in [a, b],

falls fur alle x1, x2 ∈ [a, b] mit x1 < x < x2 gilt

f (x) ≤ g(x) := f (x1) +x− x1x2 − x1

(f (x2)− f (x1)) .

Der Funktionsgraph von f im Intervall [x1, x2] ist al-so kleinergleich der Sekante durch die Punkte (x1, f (x1))und (x2, f (x2)).

2. Gilt in 1. f (x) ≥ g(x), so spricht man von konkav.

3. Wird f (x) ≤ g(x) durch f (x) < g(x) ersetzt,

so heißt f streng konvex,

im umgekehrten Fall (> statt ≥) streng konkav.

4. Hinreichende Bedingung:

∀x ∈ ]a, b[ gilt: f ′′(x) > 0 ⇒ f streng konvex

∀x ∈ ]a, b[ gilt: f ′′(x) < 0 ⇒ f streng konkav


Beispiele:

0.5 1 1.5 2 2.5x

1

2

3

4

5

y

f streng konvex in [0, 2.5]

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

1

2

3

4

5

6

7

y

f streng konkav in [0, 2.5]


Wendepunkte:

Definition:

Die Funktion f : [a, b] → IR besitzt in x0 ∈ ]a, b[einen Wendepunkt, wenn f in diesem Punkt seinKrummungsverhalten andert.

Genauer formuliert bedeutet dies:Fur hinreichend kleines ε > 0 ist f in ]x0−ε, x0[ konvexund in ]x0, x0 + ε[ konkav oder umgekehrt.


Ist f eine zweimal stetig differenzierbare Funktion in[a, b] mit x0 ∈ ]a, b[, dann gilt

x0 ist Wendepunkt ⇒ f ′′(x0) = 0 .

Hinreichende Bedingung:

Ist f eine dreimal stetig differenzierbare Funktion in[a, b] mit x0 ∈ ]a, b[, dann gilt

f ′′(x0) = 0 ∧ f ′′′(x0) 6= 0 ⇒ x0 ist Wendepunkt.


Beispiel:


f (x) = x4 ⇒ f ′′(x) = 12x2 = 0 ⇒ x0 = 0 .

Fur die hinreichende Bedingung muss zusatzlich gelten

f ′′′(x0) = 24x0 6= 0 .

Diese Bedingung ist jedoch nicht erfullt: f ′′′(0) = 0 .

Tatsachlich ist x0 = 0 auch kein Wendepunkt, sondernein Minimum.

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x

2

4

6

8

y

f (x) = x4 und x0 = 0 ist kein Wendepunkt


Beispiel:


f (x) = x3 ⇒ f ′′(x) = 6x = 0 ⇒ x0 = 0 .

Fur die hinreichende Bedingung muss zusatzlich gelten

f ′′′(x0) = 6 6= 0 .

Die Bedingung ist erfullt ⇒ x0 = 0 ist Wendepunkt.

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x

-6

-4

-2

2

4

6

y

f (x) = x3 und x0 = 0 ist Wendepunkt

Br uckenkurs Mathematik Vorlesung Di erentialrechnung · Br uckenkurs Mathematik, c K.Rothe,...

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