Bio

mate

mática

-P

rof.M

arcos

Vin

ícius

Carn

eiro

Vital(IC

BS–

UFA

L)-

Mate

rialdisp

on

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oe

nd

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Universidade Federal de Alagoas

Instituto de Ciências e Biológicas e da Saúde

BIOB-003 – Biomatemática

Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital

1. Uma função linear especial.

1.1. Absorção de potássio.

- Para começarmos a compreender as funções, vamos partir das versões mais

simples, as funções lineares; e, para manter as coisas ainda mais simples, vamos partir

de um caso particular de função linear que é ainda mais simples. Vamos começar com

um exemplo biológico, para logo depois generalizar.

- O nosso exemplo trata de um experimento de absorção de potássio (K) por

milho, no qual a quantidade de potássio nas folhas do milho (em micro moles por

unidade de peso da folha) foi medida em relação ao tempo (em horas).

- Pensar em uma função para descrever o fenômeno de absorção de

potássio ao longo do tempo é o mesmo que tentar estabelecer uma relação matemática

entre estas duas variáveis. Neste caso, a quantidade de potássio depende do tempo,

então a primeira é nossa variável dependente, e a segunda nossa variável independente.

- Podemos fazer uma descrição verbal do modelo (já o resultado

do experimento que mediu a quantidade de potássio nas folhas em relação ao tempo),

dizendo que, nas primeiras quatro horas de experimento, uma folha absorve 4 micro

moles de potássio. Vamos desdobrar esta informação na nossa função.

- Primeiro, a informação de que esta relação ocorre nas

quatro primeiras horas é o que estabelece nosso domínio. Isto quer dizer que temos uma

função válida apenas para o domínio, mas que não necessariamente serve para descrever

o sistema em períodos de tempos maiores.

- Nosso domínio é: { t | 0 ≤ t ≤ 4 }.

- Agora, vamos definir a relação entre as variáveis, válida

para o domínio descrito acima. Se a cada hora são absorvidos 4 micro moles, então:

- k = 4 ∙ t

- Onde k é a quantidade de potássio e t é a

medida de tempo.

Bio

mate

mática

-P

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ícius

Carn

eiro

Vital(IC

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L)-

Mate

rialdisp

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- Graficamente, nossa função ficaria assim:

- Estamos prestes a poder criar um modelo geral de relação linear. Para facilitar

este processo, vamos imaginar a absorção de potássio em outra situação: com plantas na

ausência de luz.

- Se isto ocorre, a absorção ocorre em uma taxa menor, de 1,8 micro

moles por hora. Ou seja:

- k = 1,8 ∙ t

- Comparando as duas funções graficamente:

- No que estas duas funções são diferentes? Sabemos que, matematicamente, a

única diferença está no fator multiplicativo. Graficamente, estamos vendo uma

diferença de inclinação.

- Podemos, então, pensar de maneira mais geral.

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4

Po

táss

io a

bso

rvid

o

Tempo

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4

K a

bso

rvid

o

Tempo (horas)

escuro

claro

Bio

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arcos

Vin

ícius

Carn

eiro

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1.2. A função linear especial.

- Generalizando, podemos pensar em uma função linear com o formato:

- y = a ∙ x

- Onde y é a variável dependente, x a variável independente e a é

uma constante que determina a inclinação da reta (e estabelece a “força” do efeito da

variável independente sobre a dependente).

- Note que podemos encontrar o valor de a se dividirmos

um valor de x pelo seu y correspondente.

- Se a = 0, então temos uma reta que coincide com o eixo

x. Se a > 0, a reta é ascendente, e se a < 0, então a reta é descendente.

- Perceba que o ângulo de inclinação também é

dependente da escala dos valores no eixo y! Veja o mesmo gráfico em outra escala:

- No caso desta função “especial”, estamos simplesmente tratando de um caso

especial de função linear que sempre parte da origem; ou seja, o valor de y = 0 quando o

valor de x = 0.

- Agora, então, podemos generalizar um pouco mais, e pensar em casos

nos quais o valor de y é diferente de zero quando o x = 0.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4

K a

bso

rvid

o

Tempo (horas)

escuro

claro

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2. Função linear geral

- A única diferença prática entre a função anterior e a função linear geral é um

parâmetro que chamaremos de b.

- y = ax + b

- O valor de b determina em que ponto em que a reta cruza o eixo

y. Ou seja, a interseção com y é a coordenada (0, b).

- O valor de a continua a determinar a inclinação de reta e,

quando o b for igual a zero, temos o caso particular da função linear que apresentamos

no tópico anterior.

- Vamos tentar compreender um pouco melhor os parâmetros que encontramos

na nossa equação.

- Se definirmos um ponto fixo e arbitrário de coordenadas (x0, y0) e um

ponto variável (na mesma linha) de coordenadas (x, y), chamamos Δx e Δy de

incrementos de x e y.

- Δx = x - x0, e Δy = y - y0

- Para um Δx ≠ 0:

a = Δy / Δx

b = y0 - ax0

- Em outras palavras: estamos dizendo que, dado dois pares de coordenadas de x

e y, podemos encontrar os valores de a e de b!

- Basta dividir o intervalo de variação de y pelo intervalo de variação de x

para obter o valor de a.

- E basta substituir um par de valores de y e x juntamente com o valor de

a para encontrarmos o valor de b.

- Podemos, então, encontrar todos os parâmetros de uma função linear geral a

partir de dois pares de dados.

- Mas como, a partir da função, podemos traçar um gráfico?

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3. Plotando

(OBS.: Neologismo que vem do inglês plot, e significa reduzir um conjunto de

informações a um gráfico)

- Traçar (ou “plotar”) um gráfico de um função linear é bem simples,e basta

seguir alguns passos.

- A partir de uma função linear qualquer, começamos por marcar um ponto

inicial. Como sabemos que o valor de b é o ponto de interseção com o eixo y, então ele

é o melhor ponto de partida.

- A partir do b, trace um segmento de comprimento Δx = 1 para a direita,

e um segmento de valor a para cima (ou para baixo, se a for negativo), determinando

um novo ponto de referência.

- Agora é só ligar os pontos, e temos a reta!

- O caminho contrário (ou seja, de um gráfico para uma equação) é simples:

- O b é o ponto de interseção, então basta identificá-lo.

- O a pode ser determinado pela equação a = Δy / Δx

Exercício 1

O tamanho da população de uma libélula em um lago depende da quantidade de

sapos predadores de maneira linear. Quando não há sapos, são encontradas 234

libélulas; quando o lago tem 11 sapos, são encontradas 135 libélulas.

1.1. Qual a equação que descreve o número de libélulas em função do número de

sapos?

Como o enunciado já nos informa que a relação é linear, sabemos que ela deve

seguir a equação geral: y = ax + b. Perceba que é dito que a população de libélula

depende da quantidade de sapos; isto quer dizer que o número de libélulas é nossa

variável dependente (o y da equação), e o número de sapos a nossa variável

independente (o x da equação). O nosso trabalho, então, é encontrar os valores das

constantes da equação: a e b.

Encontrar o valor de b é bem direto: ele representa o intercepto, o ponto no qual

a reta da equação toca o eixo y. Em outras palavras, ele representa o valor de y quando o

x é igual a zero. O enunciado nos diz que quando não há sapos (ou seja, quando o x = 0),

encontramos 234 libélulas (ou seja, y = 234). Bom, se a equação é y = ax + b, então

quando x = 0, y = b. Ou seja, b = 234.

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Já o valor de a pode ser encontrado pela fórmula. Para calcular os valores de Δy

e Δx, precisamos estabelecer um par de valores de y e um par de valores de x; como os

únicos valores que temos disponíveis são os do enunciado, ficaremos com eles: quando

x = 0, y = 234 e quando x = 11, y = 135. Jogando na fórmula:

𝑎 = ∆𝑦

∆𝑥=

234 − 135

0 − 11=

99

11= −9

Então finalmente chegamos à nossa equação:

𝑦 = 234 − 9𝑥

A ordem ficou invertida (o b aparecendo antes do ax) apenas para facilitar a

leitura, já que o valor de a é negativo.

1.2. Esboce o gráfico desta função, considerando o domínio D = {x| 0 ≤ x ≤ 17}.

Para traçar um gráfico de uma função linear, precisamos apenas determinar dois

pontos e depois ligá-los com uma reta. O ponto de partida mais simples é o intercepto,

que já vimos ali em cima (o valor de b). No caso deste exercício, como temos o domínio

estabelecido, o mais prático seria escolher o último ponto como o valor máximo de x,

que é 17. Para saber o valor de y correspondente, basta substituir na equação:

𝑦 = 234 − 9𝑥 = 234 − 9 ∙ 17 = 81

Agora é só localizar os dois pontos no gráfico e traçá-lo. Ele deve ficar mais ou

menos assim:

Exercício 2

Um pesquisador interessado em medir o efeito de um adubo na altura média de

uma determinada planta realizou um experimento e chegou aos seguintes resultados: a

altura média das plantas era de 55 cm na ausência de adubo; a aplicação de 5 kg de

adubo em um canteiro gerou plantas com uma altura média de 78 cm. Assuma que a

relação entre a quantidade de adubo e a altura das plantas seja linear.

0

50

100

150

200

250

1 6 11 16 21

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2.1. Qual a equação que descreve o tamanho médio das plantas em função da

quantidade de adubo?

Se a relação é linear (como foi dito no enunciado), então ela seguirá a forma

geral da função linear: y = ax + b. Como o enunciado já deixa claro que o tamanho das

plantas varia em função da quantidade de adubo, então sabemos que o tamanho é nossa

variável dependente (ou seja, o y) e a quantidade de adubo é nossa variável

independente (ou seja, o x). Em outras palavras: estamos dizendo que o tamanho das

plantas depende da quantidade de adubo. Para descrevermos a equação, então, basta

encontramos os valores das constantes a e b e substituí-las na fórmula.

Encontrar o valor de b é sempre bem simples: ele representa o valor de y quando

x é igual a zero. Em outras palavras: ele representa o tamanho das plantas quando não

aplicamos adubo. Isto é uma informação dada no enunciado, então sabemos que o valor

de b é 55.

Agora falta descobrir o valor de a, que em nossa equação medirá a “força” do

efeito do adubo, definindo a inclinação da reta que pode ser traçada a partir da nossa

equação. Sabemos a = Δy / Δx, então basta termos em mãos um par de valores de x e y e

poderemos calculá-lo. E, novamente, a informação está no enunciado da questão: como

já vimos, y = 55 quando x = 0; e o enunciado também nos diz que y = 78 quando x = 5.

Então:

𝑎 = ∆𝑦

∆𝑥=

78 − 55

5 − 0=

23

5= 4,6

Chegamos, então, na equação:

𝑦 = 4,6𝑥 + 55

2.2. Esboce o gráfico da função acima, para o domínio D = {x| 0 ≤ x ≤ 5}.

Como a função é linear, basta calcular dois pontos e traçar a reta entre eles. O

primeiro ponto pode ser o próprio valor de b, que representará o ponto no qual a reta

toca o eixo y (pois o x é xero). O outro ponto pode muito bem ser o que já foi descrito

no enunciado: o valor de y = 78 quando x = 5. Ficaria assim:

2.3. Usando a equação que você descreveu, qual deveria ser a altura média das plantas

se aplicássemos 7 kg de adubo?

A partir do momento que temos em mãos a equação que descreve a relação entre

as duas variáveis, qualquer pergunta como esta pode ser respondida facilmente

substituindo valores. Ou seja, só precisamos calcular:

y = 4,6 ∙ 7+ 55 = 87,2

0

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4 5 6

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E pronto!

Exercício 3

O gráfico a seguir mostra a relação do número de estudantes cochilando em sala

de aula em resposta ao número de horas ininterruptas de aula de um professor de

matemática.

3.1. Determine a equação da função descrita no gráfico.

Agora temos que fazer o caminho contrário do que foi feito nas outras questões:

chegar à equação a partir do gráfico. Desta vez o enunciado não diz que a função é

linear, mas podemos deduzir isto pelo fato do gráfico ser uma reta. Então, novamente

estamos lidando com o formato geral y = ax + b.

Primeiro, vamos começar pelo valor de b, por ser facilmente encontrado. Como

já vimos antes, b representa o ponto no qual a reta toca o eixo y, o que é facilmente

visualizado no gráfico. Neste caso, o valor de b é 3; isto quer dizer que, mesmo antes da

aula começar, já temos três estudantes dormindo!

Agora temos que encontrar o valor de a. Novamente, basta aplicar a fórmula, e a

única diferença é que temos que escolher um par de coordenadas a partir do gráfico. Ou

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

0 2 4 6 8 10

Nú

mer

o d

e es

tud

ante

s co

chila

nd

o

Tempo (em horas)

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seja, o trabalho é ainda mais fácil, pois podemos escolher quaisquer pares de valores

que desejarmos. Vamos, para resolver este exemplo, escolher o primeiro e o último

valor de x que o gráfico mostra: 0 e 10; seus equivalentes em y são, respctivamente, 3 e

33. Ou seja:

𝑎 = ∆𝑦

∆𝑥=

33 − 3

10 − 0=

30

10= 3

Mas lembrem-se que qualquer outra escolha de valores de x e y deve gerar

exatamente o mesmo resultado.

Por fim, podemos escrever nossa equação:

𝑦 = 3𝑥 + 3

Exercício 4

O tamanho da população de uma espécie de peixe em um conjunto de lagos depende da

quantidade de cágados predadores. Em lagos onde não há cágados, são encontrados em

média 100 peixes; em lagos com 8 cágados, são encontrados em média 60 peixes.

Assumindo que a relação do número de peixes com o número de cágados é linear:

4.1. Qual a equação que descreve o número de peixes em função do número de

cágados?

A equação é linear, e obedece ao formato y = ax + b

A variável dependente (y) é o número de peixes (que depende do número de cágados), e

a variável independente (x) é o número de cágados.

O valor de b vai, então, determinar o número de peixes em um lago sem cágados (x =

0); isto já foi dado no enunciado, então sabemos que b = 100.

O valor de a deve ser determinado pela equação:

𝑎 = Δ𝑦

Δ𝑥=

60 − 100

8 − 0= −5

Ou seja, a equação é:

𝑦 = 100 − 5𝑥

4.2. Esboce o gráfico desta função, considerando o domínio D = {x| 0 ≤ x ≤ 16}.

De posse da equação, esboçar o gráfico é fácil: bastam dois pontos. O primeiro pode ser

o próprio b (valor de y quando x = 0), que sabemos ser 100. Este será o ponto de partida

da reta, então.

Como o domínio vai até x = 16, então este é a escolha óbvia para o último ponto; basta

substituir este valor de x na equação:

𝑦 = 100 − 5𝑥

𝑦 = 100 − 5 ∙ 16

𝑦 = 100 − 80

𝑦 = 20

O gráfico, então, fica assim:

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Exercício 5

Em um determinado sistema de tanques de criação de camarões de água doce, cada

tanque pode manter em média 5000 camarões, desde que o tanque esteja livre da

presença de peixes predadores. Em tanques com sete peixes, a população média de

camarões foi de 3250 indivíduos. Assumindo que a relação da quantidade média de

camarões em função da quantidade média de peixes é linear:

5.1. Qual a equação descreve o número de camarões em função do número de peixes?

A função é linear, y = ax + b

O valor de b é 5000, já que é o número de camarões (y) quando o número de peixes (x)é

zero.

O valor de a é: 𝑎 =Δ𝑦

Δ𝑥=

5000−3250

0−7= −250

Então a equação é: 𝑦 = −250𝑎 + 5000

5.2. Esboce o gráfico da função descrita para o domínio D = {x | 0 ≤ x ≤ 10}

Basta substituir os valores na equação. Lembrando que a função é linear, então basta

substituir o valor de x = 10 para traçar o gráfico dentro do domínio pedido.

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Pe

ixe

s

Cágados

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

0 2 4 6 8 10 12

Cam

arõ

es

Peixes

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Exercício 6

O gráfico a seguir mostra o efeito da temperatura ambiental sobre o tamanho da

população de uma espécie de inseto:

6.1. Determine a equação da função apresentada no gráfico.

Aqui não temos o valor de b imediatamente, pois a reta do gráfico não toca o eixo y.

Vamos começar pelo valor de a, então, pegando dois pontos do gráfico no qual

podemos ver os valores. Na temperatura de 25 graus podemos ver que a abundância é de

55 insetos, e na temperatura de 30 graus temos 65 insetos. Então:

𝑎 = ∆𝑦

∆𝑥=

65 − 55

30 − 25=

10

5= 2

A equação, então, é y = 2x + b

Substituindo um par qualquer de valores de y e x (como o 25 e 55 que observamos

acima, por exemplo), temos que:

55 = 2 ∙ 25 + 𝑏

𝑏 = 5

A nossa equação, então é:

𝑦 = 2𝑥 + 5

50

55

60

65

70

75

80

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

Ab

un

dân

cia

Temperatura

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Exercício 7

Um pesquisador realizou um estudo para medir o efeito da polinização sobre a

produtividade de frutas em pomares de pequenas propriedades rurais. Ao final de seu

estudo, ele constatou que existia uma relação linear entre o número de colmeias e a

produção de frutas em quilos: pomares sem colmeias eram produzidos 200 Kg de frutas,

enquanto em pomares com 7 colmeias eram produzidos 305 Kg.

7.1. Qual a equação descreve o peso de frutos produzidos em função do número de

colmeias?

A função linear segue a forma geral y = ax + b

O enunciado já deixa claro qual o valor de b: 200

Para o a, basta resolver:

𝑎 = ∆𝑦

∆𝑥=

305 − 200

7 − 0=

105

7= 15

Então a equação é: y = 15x + 200

7.2. Esboce o gráfico desta função para o domínio D = {x| 0 ≤ x ≤ 10}

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 2 4 6 8 10 12

Pes

o d

os

fru

tos

Número de colméias