Caderno de Atividades Pedagógicas de Aprendizagem ... · PDF file6° - Após a...

Matemática

Professor

Caderno de Atividades

Pedagógicas de

Aprendizagem

Autorregulada – 04 9° Ano | 4° Bimestre

Disciplina Curso Bimestre Ano

Matemática Ensino Fundamental 4° 9º

Habilidades Associadas

1. Associar informações apresentadas em listas e/ ou tabelas simples aos gráficos que as representam e vice-versa

2. Resolver problemas envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráfico

3. Calcular o perímetro de uma circunferência e a área de um circulo

4. Reconhecer polígonos regulares e suas propriedades

5. Calcular os ângulos internos e externos de um polígono regular

6. Resolver problemas que envolvam áreas de figuras planas

2

A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o

envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem

colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes

preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado.

A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma

estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI capazes de explorar

suas competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma

autônoma, por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções

para desafios da contemporaneidade, na vida pessoal e profissional.

Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das

habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades

roteirizadas. Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é

efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem.

Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam,

também, equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o

a tomar consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática.

Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa a ter maior

domínio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para

o desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as

ferramentas da autorregulação.

Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se

para o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o

aprender-a-conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser.

A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da

Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede

estadual. Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim

de que os professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às

suas aulas.

Estamos à disposição através do e-mail [email protected] para quaisquer

esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material.

Secretaria de Estado de Educação

Apresentação

3

Caro Tutor,

Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas

habilidades e competências do 4° Bimestre do Currículo Mínimo de Matemática da 9ª

Ano do Ensino Fundamental. Estas atividades correspondem aos estudos durante o

período de um mês.

A nossa proposta é que você atue como tutor na realização destas atividades

com a turma, estimulando a autonomia dos alunos nessa empreitada, mediando as

trocas de conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no

percurso. Esta é uma ótima oportunidade para você estimular o desenvolvimento da

disciplina e independência indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional de

nossos alunos no mundo do conhecimento do século XXI.

Neste Caderno de atividades, iremos estudar um pouco sobre sequências

aritméticas e geométricas, somatório das séries, prismas, cilindros áreas e volumes de

prismas e cilindros.

Para os assuntos abordados em cada bimestre, vamos apresentar algumas

relações diretas com todos os materiais que estão disponibilizados em nosso portal

eletrônico Conexão Professor, fornecendo diversos recursos de apoio pedagógico para o

Professor Tutor.

Este documento apresenta 06 (seis) Aulas. As aulas podem ser compostas por

uma explicação base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias

relacionadas às habilidades e competências principais do bimestre em questão, e

atividades respectivas. Estimule os alunos a ler o texto e, em seguida, resolver as

Atividades propostas. As Atividades são referentes a dois tempos de aulas. Para reforçar

a aprendizagem, propõem-se, ainda, uma pesquisa e uma avaliação sobre o assunto.

Um abraço e bom trabalho!

Equipe de Elaboração

.

4

Introdução ................................................................................................... 02

Objetivos Gerais ............................................................................................. 05

Materiais de Apoio Pedagógico ..................................................................... 05

Orientação Didático-Pedagógica ................................................................... 06

Aula 01: Informações em tabelas e/ou gráficos............................................... 08

Aula 02: Associação de informações em gráficos e tabela............................ 12

Aula 03: Perímetro de uma circunferência e área do círculo.......................... 18

Aula 04: Polígonos regulares e suas propriedades.......................................... 23

Aula 05: Ângulos internos e externos de um polígono regular...................... 27

Aula 06: Problemas com área de figuras planas............................................. 32

Avaliação.........................................................................................................

37

Avaliação Comentada..................................................................................... 37

Pesquisa ..........................................................................................................

41

Referências:..................................................................................................... 42

Sumário

5

No 9º Ano do Ensino Fundamental, no 4º bimestre, dá-se ênfase ao estudo de

gráficos e interpretação de gráficos, área e perímetro da circunferência, estudo dos

polígonos, Encerramos essa seção com atividades sobre ângulos internos e externos .

No portal eletrônico Conexão Professor, é possível encontrar alguns materiais que

podem auxiliá-los. Vamos listar estes materiais a seguir:

Teleaulas

Teleaula 44 Habilidade Relacionada: - reconhecer e diferenciar círculo e circunferência, identificando seus elementos. Descrição: Nesta aula você verá que a divisão do comprimento de qualquer circunferência pelo seu diâmetro tem sempre o mesmo resultado: mais ou menos 3,14. Esse número é chamado de Pi. Endereço eletrônico: http://www.youtube.com/watch?v=hwDr7rclJJc

Tele aula 56 Habilidade Relacionada: - Calcular o perímetro de uma circunferência e a área de um círculo. Descrição: Nesta aula você descobrirá qual é a expressão matemática para o cálculo da área do círculo - na qual “r” é o comprimento do raio e Pi é um número irracional. Além disso, aprenderá o que é setor circular e o que é ângulo central. Endereço eletrônico: http://www.youtube.com/watch?v=bAiiSZOxPAU

Materiais de Apoio Pedagógico

Objetivos Gerais

6

Orientação Didático-Pedagógica

Orientações Pedagógicas

do CM

Recursos Digitais: - Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos SUGESTÕES ON LINE: Aula do Portal do Professor sobre resolução de problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos Endereço eletrônico: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=35581 Recursos Digitais: - Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam e vice versa. SUGESTÕES ON LINE: Aula do Portal do Professor para orientar o aluno a organizar dados e traçar um gráfico de barras Efetuar cálculos envolvendo as operações com matrizes. Endereço eletrônico: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=35793 Recursos Digitais: - Reconhecer polígonos regulares e suas propriedades Resolver problemas envolvendo o cálculo de área lateral e área total de pirâmides e cones. SUGESTÕES ON LINE: Aula do Portal do Professor para orientar o aluno a utilizar a fórmula do comprimento de uma circunferência para resolução de problemas. Endereço eletrônico: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=20607

Para que os alunos realizem as atividades referentes a cada dia de aula,

sugerimos os seguintes procedimentos para cada uma das atividades propostas no

Caderno do Aluno:

1° - Explique aos alunos que o material foi elaborado para que o aluno possa

compreendê-lo sem o auxílio de um professor.

2° - Leia para a turma a Carta aos Alunos, contida na página 3.

7

3° - Reproduza as atividades para que os alunos possam realizá-las de forma

individual ou em dupla.

4° - Se houver possibilidade de exibir vídeos ou páginas eletrônicas sugeridas na

seção Materiais de Apoio Pedagógico, faça-o.

5° - Peça que os alunos leiam o material e tentem compreender os conceitos

abordados no texto base.

6° - Após a leitura do material, os alunos devem resolver as questões propostas

nas Atividades.

7° - As respostas apresentadas pelos alunos devem ser comentadas e debatidas

com toda a turma. O gabarito pode ser exposto em algum quadro ou mural da sala

para que os alunos possam verificar se acertaram as questões propostas na Atividade.

Todas as aulas listadas a abaixo devem seguir esses passos para sua

implementação.

8

323.215

389.774

401.574

734.045

1.518.320

0 500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000

Japão

Rússia

Brasil

China

EUA

Quantidade (em toneladas)

Paí

s

Caro aluno, você já parou para pensar o quanto de informações temos em

nosso dia a dia? Muitas das vezes a quantidade de informações é tanta, que se torna

impossível descrever todos os detalhes devido ao grande número de informações. Para

resumi-las, em certos casos, a melhor maneira de expressar algumas informações são

através de gráficos ou tabelas. Esta alternativa apresenta uma forma melhor de

visualização e compreensão das informações.

São casos como esse que iremos estudar nessa aula, vamos lá ?

1.1 INFORMAÇÕES APRESENTADAS EM TABELAS E GRÁFICOS:

Como já falado anteriormente, os gráficos e tabelas nos fornecem uma grande

quantidade de informações, quando analisados corretamente.

EXEMPLO 01:

O gráfico abaixo mostra a emissão de gás CO2 no ano 2000, por parte dos países que

participam do protocolo de Kyoto.

Fonte: Revista Época 23/02/2005

Qual é a diferença entre o maior e o menor emissor de CO2 da tabela acima ?

Resolução:

Analisando o gráfico, podemos observar que o maior emissor de CO2 são os

Estados Unidos com 1.518.320 toneladas e o menor emissor é o Japão com 323.215

Aula 1: Informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos

445

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

2ª feira

Qu

an

tid

ad

e d

e p

esso

as

Quantidade de pessoas que fizeram visitação a um

toneladas. Para calcular a diferença entre ambos, basta lembrarmos que “diferença” é

o resultado da subtração de dois números

1.528.320 – 323. 215 = 1.496.005

EXEMPLO 02:

O gráfico abaixo, mostra a quantidade de pessoas que fizeram visitação a um ponto

turístico de uma cidade em uma semana.

Quantas pessoas estiveram nos três últimos dias de

Resolução:

Para saber quantas pessoas estiveram presentes no ultimo dia de visitação, ou

seja, na 4ª, 5ª e 6ª feira basta somar o quantitativo em cada um dos dias. Desse modo,

observando o gráfico temos que:

4° feira: 756 pessoas

� 5° feira: 480 pessoas� 6° feira: 890 pessoas

Logo, a soma do quantitativo de pessoas nos 3

500

756

480

2ª feira 3ª feira 4ª feira 5ª feira 6ª feira

Dia da semana

Quantidade de pessoas que fizeram visitação a um ponto turístico


o resultado da subtração de dois números. Sendo assim, temos:

1.496.005


turístico de uma cidade em uma semana.

Quantas pessoas estiveram nos três últimos dias de visitação?



observando o gráfico temos que:

pessoas 6° feira: 890 pessoas

quantitativo de pessoas nos 3 dias são:

756 + 480 + 890 = 2126 pessoas.

Viu como é fácil extrairmos de um gráfico dados relevantes? Vamos

exercitar, um pouco agora ?

9

890

6ª feira





10

01. O gráfico a seguir indica a altura máxima aproximada de alguns prédios situado

na cidade do Rio de Janeiro.

Sabendo que o prédio que fica na zona sul do Rio de Janeiro é cinco vezes

maior que o prédio que fica na zona norte do Rio de Janeiro, indique quais letras

representam esses dois prédios.

Resolução:

Ao observarmos a letra E temos que a sua altura é de 50 metros, e ao

observamos a letra D, temos que a sua altura é de 10 metros, sendo assim a letra E e

cinco vezes maior que a letra D, sendo assim temos o prédio da zona sul letra E e o

prédio da zona norte o prédio D.

0

10

20

30

40

50

60

A B C D E F G

altura (m)

Prédios

Altura de alguns prédios cariocas

Atividades Comentadas 01

02. (UFSCAR2001- Adaptado)

idades dos alunos, segundo o sexo, é dada pelo gráfico seguinte.

De acordo com o gráfico acima, quantos meninos tem mais de 15 anos ?

Resolução:

Idade maior que 15 anos, consideramos então a

sendo assim temos: 1+3+3 = 7 alunos

03. O Gráfico abaixo nos relata

De acordo com as informações apresentadas no gráfico acima, indique a menor a

maior intenção de voto alcançada por cada candidato.

Resolução:

O candidato A obteve a menor intenção de votos quando obteve 8% e a maior

intenção quando obteve 15%

obteve 6% e a maior intenção quando obteve 22%

daptado) Num curso de iniciação à informática, a distribuição das

idades dos alunos, segundo o sexo, é dada pelo gráfico seguinte.


Idade maior que 15 anos, consideramos então as idades de 16, 17 e 18 anos,

1+3+3 = 7 alunos

O Gráfico abaixo nos relata a intenção de votos de dois candidato:


maior intenção de voto alcançada por cada candidato.


intenção quando obteve 15%. O candidato B obteve a menor intenção de votos quando

obteve 6% e a maior intenção quando obteve 22%

11

Num curso de iniciação à informática, a distribuição das


s idades de 16, 17 e 18 anos,



ato B obteve a menor intenção de votos quando

04. (UFRN2003- Adaptada) O gráfico abaixo representa a taxa de desemprego na

grande São Paulo, medida nos meses de abril entre os anos de 1985 e 2002, segundo o

Dieese:

Em qual ano foi apresentada no mês de abril a menor taxa de desemprego ?

Resolução:

O ano em que houve o menor índice de desemprego foi no ano de 1987, com

8,9%.

Adaptada) O gráfico abaixo representa a taxa de desemprego na




12

Adaptada) O gráfico abaixo representa a taxa de desemprego na




13

7,5

15

22

29

35

46

55

0

10

20

30

40

50

60

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

CRESCIMENTO DO MERCADO EM TELEFONIA CELULAR

Total de usuário em milhões

Caro aluno, nessa aula iremos estudar como podemos extrair de um gráfico ou

tabela informaçãoes úteis, facilitando assim a nossa compreensão. Para analisar o

gráfico da melhor forma, é preciso compreender como os dados apresentados estão

associados. Nesta aula, vamos estudar esse conteúdo mais detalhadamente!

2.1 ─ INFORMAÇÕES APRESENTADA EM TABELAS E GRÁFICOS:

Um simples gráfico ou tabela representa um auxílio necessário para responder

a questionamentos propostos, sejam eles quais forem, com uma maior clareza e

facilidade na compreenção dos dados. A representação gráfica faz com que as

informações possam ser expressas de maneira mais objetivas e ordenadas.

EXEMPLO 01:

(FGV2005- Adaptada) O gráfico abaixo representa o crescimento da telefonia celular

entre os anos de 1998 e 2004.

Fonte: adaptado do jornal "O Estado de São Paulo" de 30 de agosto de 2004

Em qual período houve o menor crescimento no mercado de telefonia celular ?

Aula 2: Associação de informações em gráficos e tabela

Resolução:

Observe que entre o ano de 1999 e o ano

milhões de usuários, enquanto o segundo maior aumento foi de 7,5 milhões entre os

anos de 1998 e 1999, sendo assim o maior aumento foi entre os anos de 1999 e 2000

EXEMPLO 02:

O gráfico abaixo nos relata como estava a divisão do crescimento de telefonia celular


Fonte: adaptado do jornal "O Estado de São Paulo" de 30 de agosto de 2004

Diante dos dados apresentados, qual é

e a maior parcela em tecnologia?

Resolução:

Analisando o primeiro gráfico, podemos perceber que o plano pré

maior e com relação à tecnologia a maior é a TDMA.

Viu como

dados de um

solucionarmos um problema?

Agora vamos tentar fazer

algumas atividades

que entre o ano de 1999 e o ano 2000, houve uma aumento de 7


anos de 1998 e 1999, sendo assim o maior aumento foi entre os anos de 1999 e 2000

gráfico abaixo nos relata como estava a divisão do crescimento de telefonia celular


: adaptado do jornal "O Estado de São Paulo" de 30 de agosto de 2004

dos dados apresentados, qual é o maior mercado por plano de telefonia móvel

e a maior parcela em tecnologia?

Analisando o primeiro gráfico, podemos perceber que o plano pré

tecnologia a maior é a TDMA.

Viu como é fácil usarmos os

dados de um gráfico para

solucionarmos um problema?

Agora vamos tentar fazer

lgumas atividades?

14

houve uma aumento de 7


anos de 1998 e 1999, sendo assim o maior aumento foi entre os anos de 1999 e 2000.

gráfico abaixo nos relata como estava a divisão do crescimento de telefonia celular

por plano de telefonia móvel

Analisando o primeiro gráfico, podemos perceber que o plano pré-pago é o

0

5

10

15

20

25

30

35

40

2003

Qu

anti

dad

e d

e g

ols

ARTILHARIA DO CAMPEONATO BRASILEIRO NA ERA DOS

01. O campeonato Brasileiro de futebol

disputado na forma de pontos corridos, a tabela abaixo mostra a relação de gols que

tiveram os artilheiros do campeonato desde 2003 até o ano de 2012.

Em qual ano o artilheiro do campeonato teve mais gols e menos gols

Resolução:

O ano em que a artilharia teve mais gols foi no ano de

quantidade foi o ano de 2007

02. Nos últimos anos a taxa de natalidade (nascimento) tem diminuído drasticamente,

o gráfico abaixo mostra uma pesquisa feita belo IBGE no ano de 2002:

Fonte: Censo Demográfico 2000, Fecundidade e Mortalidade Infantil Resultados Preliminares da

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

ARTILHARIA DO CAMPEONATO BRASILEIRO NA ERA DOS PONTOS CORRIDOS

O campeonato Brasileiro de futebol a partir do ano de 2003 passou a ser


tiveram os artilheiros do campeonato desde 2003 até o ano de 2012.

Fonte: www.cbf.com.br, acessado em 16 out.2013

o artilheiro do campeonato teve mais gols e menos gols?

O ano em que a artilharia teve mais gols foi no ano de 2004 e a menos

quantidade foi o ano de 2007.

Nos últimos anos a taxa de natalidade (nascimento) tem diminuído drasticamente,



: Censo Demográfico 2000, Fecundidade e Mortalidade Infantil Resultados Preliminares da Amostra . IBGE, 2002

15

2012

ARTILHARIA DO CAMPEONATO BRASILEIRO NA ERA DOS

do ano de 2003 passou a ser


2004 e a menos

Nos últimos anos a taxa de natalidade (nascimento) tem diminuído drasticamente,


: Censo Demográfico 2000, Fecundidade e Mortalidade Infantil Resultados Preliminares da

16

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1º Bimestre

2º Bimestre

3º Bimestre

4º Bimestre

Aluno B

Aluno A

Em qual ano houve a maior taxa de natalidade ?

Resolução:

O ano foi de 1960.

03. A mortalidade infantil ainda é um problema que assola não só o Brasil, o nosso

continente, como em outros continentes também, o gráfico abaixo nos dá uma visão

mais ampla desse fato.

Diante do gráfico apresentado, em qual posição se encontra o Brasil em relação a taxa

de mortalidade infantil ?

Resolução:

O Brasil encontra-se na 3ª posição

04. O gráfico abaixo mostra o desempenho de dois alunos durante 4 bimestres.

Qual aluno teve, durante um período, nota constante ? Resolução:

17

O aluno que manteve-se com a nota constante foi o aluno B , entre o 1º e 2º bimestre

18

Caros alunos, antes de começarmos essa aula, precisamos, antes de mais nada,

diferenciar círculo e cincunferência, pois, somente desse modo, poderemos iniciar este

estudo. Você irá observar que os conceitos ficarão mais claros após esta explicação.

Então, vamos lá !

1 ─ DIFERENÇA ENTRE CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA:

A principal característica de uma circunferência é que os pontos estão

localizados a uma mesma distância do centro, chamada raio da circunfêrencia.

Observe a figura abaixo:

Já um círculo é a reunião da cincunferência com o conjunto de pontos

lozalizados dentro da mesma, ou seja são pontos internos a uma circunferência.

3.2 ─ CÁLCULO DO PERÍMETRO DA CIRCUNFERÊNCIA:

Aula 3: Perímetro de uma circunferência e área de um círculo

Agora que já conhecemos uma circunferência, é facil perceber que para calcular

o perímetro basta medir o seu contorno. De modo geral, calcular o perímetro de uma

figura consiste em somar os lados dessa figura. Como a circunferência não possui

lados, ou seja, calcular o seu volume é diferente de uma figura geometria como por

exemplo um quadrado, um triângulo ou um retângulo. Na cincunferência, calcular o

perímetro equivale a calcular o comprimento do seu contorno. Observe:

Vejamos alguns exemplos:

EXEMPLO 01:

Uma circunferência tem 10 cm de diâmetro, qual o seu comprimento?

Resolução:

Observe que se a circunferência tem diâmetro igual a 10cm, teremos que o raio

equivale a r= 5 cm. Como o cálculo do comprimento é

teremos que:

O comprimento da circunferência será dado por 31,40cm.

A letra grega

aproximadamente 3,14

obtida através da divisão entre

comprimento

circunferência

conhecemos uma circunferência, é facil perceber que para calcular



r o seu volume é diferente de uma figura geometria como por



tem 10 cm de diâmetro, qual o seu comprimento?


Como o cálculo do comprimento é dado pela fórmula

31,40 cm

comprimento da circunferência será dado por 31,40cm.

A letra grega , equivale

aproximadamente 3,14 e é

obtida através da divisão entre o

comprimento e o diâmetro da

circunferência.

19

conhecemos uma circunferência, é facil perceber que para calcular



r o seu volume é diferente de uma figura geometria como por




pela fórmula ,

20

EXEMPLO 02:

Uma circunferência tem 28�� de comprimento, qual é o diâmetro dessa

circunferência ?

Resolução:

Sabemos que o cálculo da circunferência é dado pela fórmula � � 2�, temos

então:

� � 2� = 28�

2� = 28�

�28�

2�

� 14

Como o diâmetro é igual a duas vezes o raio, ou seja, � 2, temos:

� 2 · 14 � 28 ��

3.3 ─ A ÁREA DE UM CÍRCULO:

O cálculo da área de um círculo é determinado por uma fórmula na qual se é

obtido um valor numérico para a região interna de uma circunferência .

O cálculo da área será calculado através da formula: A � πr�

EXEMPLO 03:

Uma circunferência tem 10 cm de raio, qual é a sua área ?

Resolução:

21

Este cálculo é bem simples!! Basta substituir o valor do raio na fórmula

apresentada. Então, sabendo que o raio é 10 cm de raio, teremos :

� � ��

� � � . 10�

� � � . 10 . 10

� � 100��

EXEMPLO 04:

Um circulo tem 225�� de área, qual é o seu raio ?

Resolução:

Sabendo que a área é calculada por � � ��, temos :

�� 225�

� �225�

�

� � 225

� √225

� 5 �� ,

Logo o raio do círculo será 5 cm.

01. Diferencie círculo de circunferência.

Resolução:

Circunferência: Os pontos estão localizados a uma mesma distância do centro

Círculo : é a reunião da cincunferência com o conjunto de pontos lozalizados dentro

da mesma.


22

02. Uma circunferência tem 6 cm de raio, qual é o seu comprimento ?

Resolução:

O cálculo do comprimento de uma circunferência � � 2�, sendo assim temos :

� � 2�

� � 2�6

� � 12��

03. Um círculo tem 16 cm de raio qual é a sua área ?

Resolução:

O cálculo da área de uma circunferência é dado por � � ��, sendo assim

temos:

� � �16�

� � 256��

04. Um círculo tem 400�� de área, qual é o diâmetro desse círculo ?

Resolução:

�� 400�

� �400�

�

� � 400

� √400

� 20 ��

Caro aluno, nesta aula vamos estudar sobre os polígonos regulares e suas

propriedades, mas antes vamos relembrar o que é um polígono e quais são seus

elementos. Esta aula é muito importante para a continuidade de nossos estudos no

campo geométrico. Preste

Vamos à aula!

4.1 – POLÍGONO:

Como já foi dito, o objeto de estudo desta aula é o polígono regular. No

entanto, precisamos relembrar o que é um polígono. Você se lembra?

Um polígono é uma figura geométrica fomada por no mínimo três s

de reta que se unem, dois à dois, por suas extremidades. Veja alguns exemplos abaixo:

4.2 – ELEMENTOS DE UM POLÍGONO:

Os principais elementos de um polígono convexo são os vértices, lados, ângulos

internos, ângulos externos e as diagonais.

Aula 4: Polígonos regulares e suas propriedades

Todos os polígonos acima são convexos. Ou seja, se você traçar a reta suporte de qualquer um dos lados do polígono,




campo geométrico. Preste bastante atenção!


entanto, precisamos relembrar o que é um polígono. Você se lembra?

Um polígono é uma figura geométrica fomada por no mínimo três s


ELEMENTOS DE UM POLÍGONO:


internos, ângulos externos e as diagonais.

Polígonos regulares e suas propriedades


ela não interceptará o polígono!

23





Um polígono é uma figura geométrica fomada por no mínimo três segmentos



Polígonos regulares e suas propriedades


24

Considerando um polígono convexo baseado em um exemplo de polígono

convexo, vamos destacar seus elementos:

� Vértices: A, B, C e D.

� Lados: AB��, BC��, CD�� e DA��.

� Ângulos intenos: AB�C, BC�D, CD�E e DA�B.

� Ângulos externos: �̂!, �̂", �̂# e �̂$.

� Diagonais: AC�� e BD��.

4.3 – POLIGONO REGULAR:

Um polígono é dito regular quando todos os seus lados e ângulos são

congruentes, ou seja, um polígono regular é equilátero e equiângulo.

Apenas dois tipos de polígonos regulares tem uma nomenclatura especial, são

os triângulos e os quadriláteros. O triângulo regular é chamado de triângulo equilátero

e o quadriláteros regular é chamado de quadrado. Os outros polígonos tem apenas a

palavra “regular” acrescida a seu nome: pentágono regular, hexágono regular,

heptágono regular...

4.4 – PROPRIEDADES DE UM POLÍGONO REGULAR:

� Propriedade 1: Seus lados são congruentes.

� Propriedade 2: Seus ângulos internos são congruentes.

� Propriedade 3: Seus ângulos externos são congruentes.

� Propriedade 4: Suas diagonais são congruentes.

25

Chegou o momento de testar seus conhecimentos, vamos às atividades. Caso

tenha alguma dúvida, volte aos tópicos da aula.

Bom estudo!

01. De acordo com o polígono abaixo, ligue as colunas corretamente:

Diagonal % % YZ�W

Lado % % W

Vértice % % WX��

Ângulo interno % % XZ��

Ângulo externo % % �̂*

Resolução:

Diagonal: +,��, Lado: -+��, Vértice: W, Ãngulo interno: .,/- e Ângulo externo: �̂*.

02. Dos polígonos abaixo, marque os que visualmente são regulares:

( ) ( x ) ( x ) ( )


26

03. Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique a sua

resposta:

a)( V ) Um polígono regular de quatro lados é chamado de quadrado.

Justificativa:

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

b) (V ) Um polígono de cinco lados possui cinco ângulos externos.

Justificativa:

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

c) ( F ) A quantidade de ângulos internos de um polígono é diferente da quantidade de

ângulos externos do mesmo polígono.

Justificativa:

Possuem a mesma quantidade

d) ( F ) As diagonais de um polígono regular tem medidas distintas.

Justificativa:

As diagonais de um quadrado tem medidas iguais.

04. Nos polígonos convexos todos os ângulos internos são menores do que 180°.

Esta afirmação está correta? Justifique sua resposta.

Resolução:

Sim. Note que se um ângulo interno for maior que 180° o polígono não será

convexo. E se o ângulo for igual a 180°, os dois segmentos que o formar são um só lado.

27

Caro aluno, nesta aula vamos continuar estudando sobre os polígonos. Mas

agora vamos focar em outros elementos dos polígonos, dentre eles: os ângulos

internos, ângulos externos e nas diagonais.

Vamos em frente!

5.1 – NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO CONVEXO:

Note que em um polígono de 0 lados, as diagonais que partem de um

determinado vértice ligam tal vértice a outros 10 2 3 4 vértices. Perceba que as

diagonais não ligam o tal vértice aos vértices adjacentes a ele e nem a ele próprio.

Como o polígono tem 0 vértices, o número de diagonais pode ser calculado

multiplicando a quantidade de vértices pela quantidade de diagonais que partem de

cada vértice. Mas perceba que ao fazer este produto contamos cada diagonal duas

vezes.

Assim o número de diagonais de um polígono convexo de 0 lados é dado por:

5 �010 2 34

2

EXEMPLO 01:

O número 5 de diagonais de um octógono é?

Resolução:

Um octógono é um polígono de 8 lados,

ou seja, n= 8. Temos então que:

5 �010 2 34

2�818 2 34

2�8 . 5

2�40

2� 20

Figura 1

Aula 5: Ângulos internos e externos de um polígono regular

28

5.2 – SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO:

Quando traçamos as 10 2 34 diagonais que partem de um determinado vértice

de um polígono convexo de 0 lados, o dividimos em 0 2 2 triângulos, observe a figura

a seguir.

Nós já sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

Assim, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de 0 lados é dada por:

67 � 10 2 24. 180°

EXEMPLO 02:

Qual a soma dos ângulos internos de um heptágono?

Resolução:

Um heptágono é uma polígono de 7 lados, logo n = 7. Substituindo o valor de n

na fórmula, teremos que:

67 � 10 2 24. 180°

67 � 17 2 24. 180°

67 � 5 . 180°

67 � 900°

5.3 – SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO:

Note que em um polígono convexo um ângulo

interno e seu ângulo externo correspondente formam um

ângulo de 180°.

Considere o ângulo interno e

Então, teremos que com relação ao vértice A

o polígono possui n vértices. É fácil perceber que se o polígono tem

podemos dizer que:

5.4 – ÂNGULO INTERNO DE UM POLÍGONO REGULAR:

Já aprendemos que em um polígono regular os ângulos internos possuem todos

a mesma medida. E aprendemos

polígono convexo de n lados é dada por

valor da medida do ângulo interno em um polígono regular basta aplicar a seguinte

fórmula:

EXEMPLO 03:

O valor do ângulo interno de um eneágono regular é:

Você notou que a soma dos ângulos externos de um polígono de

Isso mesmo, esta soma é sempre 360°.

o ângulo interno e o valor do ângulo externo do vértice A

Então, teremos que com relação ao vértice A1. temos . Agora, imagine que

o polígono possui n vértices. É fácil perceber que se o polígono tem

ÂNGULO INTERNO DE UM POLÍGONO REGULAR:


a mesma medida. E aprendemos também que a soma dos ângulos internos de um

polígono convexo de n lados é dada por . Então, par


O valor do ângulo interno de um eneágono regular é:

Você notou que a soma dos ângulos externos de um polígono de lados não depende do

valor de ? Isso mesmo, esta soma é sempre 360°.

29

o valor do ângulo externo do vértice A1.

Agora, imagine que

o polígono possui n vértices. É fácil perceber que se o polígono tem vértices


que a soma dos ângulos internos de um

. Então, para calcular o


30

Resolução:

�7 �10 2 24. 180°

0�19 2 24. 180°

9�7 . 180°

9�1260°

9� 140°

5.5 – ÂNGULO EXTERNO DE UM POLÍGONO REGULAR:

Agora que você já aprendeu que um polígono regular possui todos os ângulos

externos com a mesma medida e que a soma dos ângulos externos de um polígono

convexo de n lados é dada sempre por 6: � 360°, vamos aprender quanto mede cada

um dos ângulos externos do polígono.

Para calcular o valor da medida do ângulo interno em um polígono regular

basta aplicar a seguinte fórmula:

�: �360°

0

EXEMPLO 04:

O valor do ângulo externo de um decágono regular é:

Resolução:

Sabemos que um decágono possui 10 lados, logo:

�: �360°

0�360°

10� 36°

Agora chegou a hora de testar o que você aprendeu! Tente fazer as atividades e

caso encontre dificuldades, relembre a teoria e os exemplos!

Bom estudo!

01. Calcule o número de diagonais de um polígono convexo de 13 lados.


31

Resolução:

5 �010 2 34

2�13113 2 34

2�13 . 10

2�130

2� 65

02. Calcule o valor da soma dos ângulos internos de um polígono convexo de 11 lados.

Resolução:

67 � 10 2 24. 180° � 111 2 24. 180° � 9 . 180° � 1620°

03. Calcule o valor da soma dos ângulos externos de um polígono convexo de 130

lados.

Resolução:

Basta notar que independente da quantidade de lados, 6: � 360°.

04. Calcule o valor do ângulo interno e do ângulo externo que um polígono de 20

lados.

Resolução:

A< �1n 2 24. 180°

n�120 2 24. 180°

20�18 . 180°

20�3240°

20� 162°

Para calcular o ângulo externo, basta lembrar que ele é suplementar do interno

ou simplesmente aplicar a fórmula, assim, Ae = 18°.

32

Caro aluno, nesta aula iremos estudar sobre problemas envolvendo áreas de

figuras planas. É preciso que você lembre das fórmulas de área das principais figuras

geométricas, principalmente, triângulos e quadriláteros.

Então vamos lá!

6.1 – PROBLEMAS COM ÁREAS DE FIGURAS PLANAS:

PROBLEMA 01:

Se o terreno de Ana é retangular, onde o comprimento é o dobro da largura e sua área

é de 162m². Vamos calcular suas dimensões?

Resolução:

Você se lembra como calculamos a área do retângulo? Isso mesmo! A área do

retângulo é calculada através do produto do comprimento pela largura. Chamando a

medida da largura de x, podemos dizer que o comprimento é 2x. Como a área do

terreno é de 162m², podemos dizer que:

A = comprimento x largura

A = >. 2>

>. 2> � 162

2>² � 162

>² �162

2

>² � 81

> � √81

> � 9

Desta forma, a largura do terreno de Ana é de 9m e seu comprimento é o dobro,

18m.

Aula 6: Problemas com área de figuras planas

33

PROBLEMA 02:

Uma praça de uma cidade tem formato triângular equilátero. Deseja-se transformar

esta praça em um grande jardim, sendo que cada metro quadrado deste jardim

custará R$ 130,00. Qual será o custo da obra de cada lateral da praça mede 40m.

Resolução:

Vale lembrar que um triângulo equilatero possui todos os lados iguais e sua

area é dada por: � �?²√@

A . Vamos utilizar esta fórmula para calcular a área da praça.

Nesta questão será necessário fazer uma aproximação da √3 para 1,7.

Vamos aos cálculos:

� �B²√3

4�40²√3

4�1600√3

4� 400√3 � 400 . 1,7 � 680�²

Agora, basta multiplicar a área encontrada pelo custo do metro quadrado.

Então o cuto total do jardim é de 680 . 130 = R$ 88400,00.

PROBLEMA 03:

Um fabricante de Pipas estabelece o valor de suas Pipas de acordo com o seguinte

critério: R$ 0,10 por cada centímetro quadrado gasto de papel desconsiderando o

descarte de papel.

Qual será o preço de um pipa com forma de um losango com diagonais

medindo 20cm e 15cm?

Resolução:

Primeiramente, precisamos calcular a área da Pipa. Como se trata de um

losango, temos:

� � 20 . 15

2�300

3� 150��²

34

Agora é só multiplicar a área encontrada pelo custo do centímetro quadrado.

Então a Pipa custa 150 . 0,10 = R$ 1,50.

PROBLEMA 04:

Um chafaris circular de raio 5m está dentro de um

gramado quadrado com lado medindo 15m. Qual é o

tamanho da área gramada?

Resolução:

Vamos calcular a área ocupada pelo chafariz e

subtrai-la da área do quadrado, então sobrará a área gramada.

Para isso, vamos utilizar 3,14 como aproximação para �.

�# � �² � �. 5² � �. 25 � 3,14 . 25 � 78,5�²

Logo, a área do Chafaris mede 78,5�².

Agora, devemos calcular a área do quadrado:

�D � B² � 15² � 225�²

Observe a figura abaixo, note que para calcular a área gramada, basta calcular

a área do quadrado menos a área do círculo.

Portanto, a área gramada é dada por 225 – 78,5 = 146,5m².

Agora chegou o momento de testarmos se você entendeu tudo com clareza,

faça as atividades e em caso de dúvidas volte aos tópicos da aula!

Bom estudo!

Figura 2

35

01. Lucas pediu a seu pai para trocar o piso de seu quarto. Seu pai notou que gastaria

R$ 85,00 por metro quadrado para fazer esta obra. Desta forma, quanto gastaria o pai

de Lucas de seu quarto é quadrado com dimensão de 3m?

Resolução:

Primeiro vamos calcular a área do quarto de Lucas. Já que se trata de um

quadrado, sua área é dada por l² = 3² = 9m². Agora, basta multiplicar o valor

encontrado pelo custo do metro quadrado, 9 . 85 = 765. Portanto a obra custaria R$

765,00.

02. Uma dona de casa separou um canteiro com a forma de triângulo retângulo em

seu quintal para plantar orquídeas. Em cada metro quadrado deste canteiro é possível

plantar 10 orquídeas. Quantas orquídeas ela irá plantar se as laterais que formam o

ângulo reto deste canteiro medem 4m e 1,5m?

Resolução:

Primeiro vamos calcular a área do canteiro, aplicando a fórmula temos A = (4 .

1,5)/2 = 6/2 = 3m². Então esta dona de casa poderá plantar 3 . 10 = 30 orquídeas.

03. Para fazer um mosaico em um estádio de futebol uma torcida dispunha de 20 mil

cartazes retangulares com dimensões de 40cm por 70cm. Qual será a área deste

mosaico? Dê a reposta em metros quadrados!

Resolução:

Podemos passar as dimensões dos cartazes para metro inicialmente, assim os

cartazes medem 0,4m por 0,7m. Agora vamos calcular a área de cada cartaz, 0,4 . 0,7 =

0,28m². Para chegar ao resultado esperado basta multiplicar a área de cada cartaz

pelo número de cartazes, logo: 0,28 . 20000 = 5600m².


36

Note que o estudante pode calcular a área primeiro e depois passa para metros,

fazendo assim ele entraria uma área de 56000000cm² que passando para m² é

5600m².

04. Uma pizza redonda de raio 30cm será dividida em dois sabores um doce e um

salgado. Para rechear uma pizza doce é necessário um grama de queijo por metro

quadrado e para rechear uma pizza salgado são necessários dois gramas de queijo por

metro quadrado. Sabendo disso, quantos gramas de queijo será gasto na pizza?

(DICA: Utilize 3,1 para a aproximação de �)

Resolução:

Primeiro vamos calcular a área da nossa pizza. A = �. ²= �.30² = 900� = 900 .

3,1 = 2790 cm². Agora, vamos dividir esta área por dois, o que nos dá 1395cm² de área

para cada sabor.

Assim, a quantidade de queijo para a parte doce é 1395 . 1 = 1395g e para a

parte salgada é 1395 . 2 = 2790g. Ou seja o total de queijo pesa 1395 + 2790 = 4185

gramas.

37

0123456789

10

1º Bimestre

2º Bimestre

3º Bimestre

4º Bimestre

Aluno B

Caro Professor Aplicador, sugerimos duas diferentes formas de avaliar as turmas

que estão utilizando este material: uma avaliação e uma pesquisa.

Nas disciplinas que não participam da Avaliação do Saerjinho podem utilizar a

participação dos alunos durante a leitura e execução das atividades do caderno como

uma das três notas. Neste caso teríamos:

� Participação: 2 pontos

� Avaliação: 5 pontos

� Pesquisa: 3 pontos

A seguir apresentaremos as avaliações propostas neste caderno para este

bimestre. Abaixo você encontrará o grupo de questões que servirão para a avaliação

dos alunos. As mesmas questões estão disponíveis para os alunos no Caderno de

Atividades Pedagógicas de Aprendizagem Autorregulada – 04.

Segue o gabarito das questões da avaliação proposta no caderno de atividades.

01. O gráfico abaixo, mostra o desempenho de um aluno durante o ano letivo.

Entre quais períodos a sua nota manteve-se constante ?

(A) 1º Bim. e 2º Bim.

(B) 2º Bim. e 3º Bim.

(C) 3º Bim. e 4º Bim.

(D) 1º Bim. e 4º Bim.

Avaliação Comentada

Avaliação

38

Resolução:

Ao observamos vemos que há uma constante entre o 1º e 2º Bimestre.

02. Uma circunferência tem 25 cm de raio, qual é o seu comprimento?

(A) FGHIJK

(B) 25��

(C) 500��

(D) 250��

Resolução:

O cálculo do comprimento de uma circunferência � � 2�, sendo assim temos :

� � 2�

� � 2�25

� � 50��

03. Calculando o perímetro e a área da figura abaixo encontramos, respectivamente:

(A) 2,4Hm e 1,44Hm²

(B) 24�m e 144�m

(C) 1,2�m e 1,44�m²

(D) 2,4�m e 14,4�m²

Resolução:

Calculando o perímetro temos 2P = 2.�. = 2.�.1,2 = 2,4�m e calculando a área

temos A = �. ² = �.(1,2)² = �.1,44 = 1,44.�m².

04. Marque a ÚNICA alternativa FALSA:

(A) Em todo polígono regular os ângulos internos são congruentes.

39

(B) Em um polígono convexo qualquer a soma do ângulo interno e do ângulo externo

correspondente é sempre 180°

(C) A soma dos ângulos externos de um polígono convexo depende da quantidade de

lados do polígono.

(D) Em um polígono regular as diagonais são congruentes.

Resolução:

A única alternativa falsa é a C.

05. Calculando o valor do ângulo interno de um dodecágono regular (12 lados),

encontramos:

(A) 100°

(B) 120°

(C) 150°

(D) 180°

Resolução:

�7 �10 2 24. 180°

0�112 2 24. 180°

12�10 . 180°

12�1800°

12� 150°

06. Uma prefeitura irá trocar todo o piso de uma praça redonda com diâmetro de 50m.

Se cada metro quadrado desta obra custa R$ 120,00, quanto irá custar a obra por

completo? (DICA: Utilize 3,1 para a aproximação de �)

(A) R$ 132500,00

(B) R$ 232500,00

(C) R$ 332500,00

(D) R$ 432500,00

Resolução:

40

Primeiro vamos calcular a área da praça. A = �. ²= �.25² = 625� = 625 . 3,1 =

1937,5m². Agora, basta multiplica pelo custo do metro quadrado. 1937,5 . 120 = R$

232500,00

41

Caro professor aplicador, agora que o aluno já estudou todos os principais

assuntos relativos ao 4° bimestre, é hora de discutir um pouco sobre a importância

deles em suas vidas.

Iniciamos este estudo, apresentando a importância do estudo dos gráficos e

tabelas e posteriormente sobre polígonos.

Portanto, agora, oriente os alunos a ler atentamente as questões a seguir

respondendo cada uma das questões propostas de forma clara e objetiva..

ATENÇÃO: Não se esqueça de identificar as Fontes de Pesquisa, ou seja, o nome dos

livros e sites nos quais foram utilizados.

I – Apresente alguns exemplos de gráficos e tabelas que podem facilitar a

compreensão de situações reais. Explique quais as informações transmitidas pelo

gráfico:

A ideia desta atividade é que o aluno possa associar informações expressas em

gráficos e tabelas fazendo interpretação do mesmo, para isso peça que os alunos

escrevam todas as informações que eles conseguem obter através das leituras dos

gráficos.

II – Dê Exemplos de polígonos encontrado em figuras de artes, pinturas , esculturas.

Essa atividade pode ser realizada em conjunto com o professor de artes, relacionando

a matemática com esta disciplina.

Pesquisa

42

[1] IEZZI, Gelson; Et al. Matemática e Realidade: 8ª série. 5 ed. São Paulo: Atual, 2005.

[2] DANTE, Luiz Roberto. Projeto Teláris: Matemática 9º ano. 1 ed. São Paulo: Ática,

2012.

[3] BARROSO, Juliane Matsubara. Projeto Araribá: Matemática Ensino Fundamental 8.

1 ed. São Paulo: Moderna, 2003.

[4] GIOVANNI, José Ruy. A conquista da matemática, 9º ano- São Paulo: FTD 2012.

[1] Figura 1: http://xfc.com.br/wp-content/uploads/2011/08/ufc_rio_octogno.jpg

[2] Figura2: http://www.mrherondomingues.seed.pr.gov.br/redeescola/escolas/27/1470/14/arqui vos/Image/Fotos_Local/chafariz(1).jpg

Fonte das Imagens

Referências

43

COORDENADORES DO PROJETO

Diretoria de Articulação Curricular Adriana Tavares Mauricio Lessa

Coordenação de Áreas do Conhecimento

Bianca Neuberger Leda Raquel Costa da Silva Nascimento

Fabiano Farias de Souza Peterson Soares da Silva

Marília Silva

COORDENADORA DA EQUIPE Raquel Costa da Silva Nascimento Assistente Técnico de Matemática

PROFESSORES ELABORADORES

Ângelo Veiga Torres Daniel Portinha Alves

Fabiana Marques Muniz Herivelto Nunes Paiva

Izabela de Fátima Bellini Neves Jayme Barbosa Ribeiro

Jonas da Conceição Ricardo

Reginaldo Vandré Menezes da Mota

Tarliz Liao

Vinícius do Nascimento Silva Mano

Weverton Magno Ferreira de Castro

REVISÃO DE TEXTO

Isabela Soares Pereira

Equipe de Elaboração

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