Caderno de exercíciosde

Álgebra Linear e Geometria Analítica I

Curso: Matemática

Ano Lectivo 2004/2005

15 de Setembro de 2004

(versão 1.0)

Índice

Notas Prévias ii

Notações e terminologia iv

1 Introdução 11.1 Noções elementares sobre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Noções elementares sobre aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Noções elementares sobre estruturas algébricas. Grupo e Corpo . 31.4 Noções elementares sobre polinómios . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Espaços Vectoriais 72.1 Espaços vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Dependência e Independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Subespaços vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Soma directa interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Aplicações Lineares 153.1 Aplicações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Núcleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 O espaço Hom(V,W ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Matrizes 214.1 Operações fundamentais sobre matrizes . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Matriz de uma aplicação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Característica de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Matriz de mudança de base e mudanças de base . . . . . . . . . . 28

5 Sistemas de Equações Lineares. Determinantes 295.1 Sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6 Valores e Vectores Próprios 336.1 Subespaços invariantes. Valores e vectores próprios . . . . . . . . 336.2 Subespaço próprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.3 Diagonalização de endomorfismos e matrizes . . . . . . . . . . . . 35

7 Espaços com Produto Interno 367.1 Produtos internos. Normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.2 Bases ortonormadas. Processo de ortonormalização . . . . . . . . 387.3 Matriz da métrica. Complemento ortogonal . . . . . . . . . . . . 397.4 Produto externo e produto misto de vectores . . . . . . . . . . . . 40

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Bibliografia 41

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Notas Prévias

Este caderno de exercícios juntamente com a matéria leccionada nas aulasteóricas formam um todo, i.e., são uma parte integrante do programa da disciplinae não meramente um conjunto de exercícios soltos, ou exercícios “apanhados” aquie acolá para formar um caderno.Em relação à resolução dos exercícios que constam neste caderno, chama-se a

atenção de que, só tem sentido tentar resolvê-los, após um estudo, cuidadoso, damatéria leccionada nas aulas teóricas, tudo o resto, será uma mera tentativa deresolução mecânica dos exercícios, sem qualquer fundamentação. Será sempre deevitar o tipo de pensamento - e que muitas vezes se ouve - “faço assim, porqueé assim que se faz”. Existe também, na maior parte das vezes, mas felizmentenem sempre, a tentação de se reduzir determinados conhecimentos a um único.Para melhor se entender aquilo que se pretende transmitir, nada melhor que umaanedota, que me foi contada por um colega:

«A dada altura da sua vida académica um estudante universitário foisubmetido a um exame Oral sobre Fisiologia Animal. O Professortinha um conjunto de fichas sobre a sua secretária, cada uma como nome de um determinado animal. O aluno deveria escolher umadessas fichas fazendo uma caracterização da fisiologia do animal queconstasse na ficha. Ao retirar a primeira ficha, calhou-lhe o cavalo. Oestudante algo constrangido responde o seguinte:Aluno: Bem, o cavalo é um animal de quatro patas, é um mamífero,coberto por pêlos e portanto tem parasitas, de entre os quais se desta-ca a pulga, que como se sabe, é um insecto que se alimenta de sanguee que se desloca dando grandes saltos e .......

(o aluno falou durante quase 10 minutos sobre características da pul-ga, após os quais, o Professor interrompe-o)

Prof.: Muito bem. Pode retirar outra ficha.(Desta vez saiu-lhe o cão)Aluno: O cão é um animal de quatro patas, é também um mamífero,coberto por pêlos e portanto tem parasitas, de entre os quais se desta-ca a pulga, que como se sabe, é um insecto que se alimenta de sanguee que se desloca dando grandes saltos e.....

(desta vez o Professor interrompe-o imediatamente e solicita o seguinte.)

Prof.: Gostaria que fizesse a caracterização fisiológica do peixe.(O aluno fica um pouco atrapalhado e após alguns minutos de medi-tação responde o seguinte)Aluno: Bem, o peixe é um animal de sangue frio, coberto por escamas,que não tem pêlos, mas se tivesse, teria necessariamente parasitas, de

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entre os quais se destaca a pulga, que como se sabe, é um insecto quese alimenta de sangue e que se desloca dando grandes saltos e.....»

O material contido neste caderno de exercícios, foi elaborado com base nasreferências [1] e [2] e, de um conjunto de exercícios elaborados pelo próprio. Desalientar, que alguns destes exercícios, foram revistos por alguns dos meus colegasdo Departamento de Matemática, nomeadamente, o Prof. Dr. Juan Rodrígueze outros com quem tenho trabalhado ao longo dos anos. A todos eles, os meussinceros e profundos agradecimentos.

N.B.: Na elaboração deste caderno, e dentro do possível, houve o cuidado dese usar uma escrita matemática rigorosa e uma simbologia o mais actualizada pos-sível, no entanto, este caderno pode não estar isento de - apesar de involuntárias- omissões e incorrecções1.

1apesar de se encontrar em permanente actualização, aceitam-se e agradecem-se sugestões,comentários e correcções, de preferência, enviados para psemiao@ualg.pt.

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Notações e terminologia

Faremos uso dos seguintes símbolos para representar os conjuntos usuais:

; o conjunto vazioN = f0, 1, 2, 3, ¢ ¢ ¢g o conjunto dos números naturais

Z = f¢ ¢ ¢ ,¡2,¡1, 0, 1, 2, ¢ ¢ ¢g o conjunto dos números inteiros

Q =nxy2 R : x 2 Z ^ y 2 Z n f0g

oo conjunto dos números racionais

R o conjunto dos números reais

C o conjunto dos números complexos

De um modo geral, o símbolo K representa um corpo qualquer e o símbolo‘:=’ quer designar a igualdade de duas entidades por definição.O símbolo ‘v’ representa uma subestrutura de uma dada estrutura algébrica. Porexemplo, sendo V um espaço vectorial e F um subconjunto de V , para abreviara expressão ‘F é um subespaço vectorial de V ’, usamos o simbolismo F v V .Sendo X 2 fN,Z,Q,Rg, representaremos por X>0,X≥0 e X6=0 os seguintes

conjuntos:

X>0 := fx 2 X : x > 0gX≥0 := fx 2 X : x ¸ 0g

X6=0 := fx 2 X : x 6= 0g = X n f0g

Por exemplo, o conjunto R≥0 := fx 2 R : x ¸ 0g = [0,+1[, representa o conjuntodos números reais não negativos, enquanto que o conjuntoR6=0 := fx 2 R : x 6= 0g =R n f0g, representa o conjunto de todos os números reais, excepto o zero.Faremos também uso do símbolo C6=0, para representar o conjunto C n f0g.

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1. Introdução

1.1. Noções elementares sobre conjuntos

1.1.1) Considere os conjuntos A := f1, 2g e B := fa, b, cg. Determine A£ B.1.1.2) Considere os conjuntos A := fx, yg e B := fz, tg. Determine A £ B e

verifique se A£ B = B £ A.1.1.3) Sendo A := f1, 2, 3g, B := f1, 4, 5, 6, 7g e C := fa, b, cg, determine:

a) A \ B e A \ C.b) A [ B e B [ C.

1.1.4) Considere o conjunto A := fx, y, zg. Diga, justificando, quais das afirmaçõesseguintes:

a) x 2 A. b) x µ A. c) fxg 2 A. d) fxg µ A.são verdadeiras ou falsas.

1.1.5) Considere o conjunto A := f1, f2, 3g , 4g. Diga, justificando, quais das afir-mações seguintes:

a) f2, 3g 2 A. b) f2, 3g µ A. c) ff2, 3gg µ A.são verdadeiras ou falsas.

1.1.6) Sendo A := fa, bg e B := fa, b, cg, determine:

a) o conjunto das partes de A, i.e., P(A).b) o conjunto das partes de B, i.e., P(B).

1.1.7) Dado o conjunto X := ff2, 3g , 4g. Determine o conjunto das partes de X.

1

1.2. Noções elementares sobre aplicações

1.2.1) Considere a função f : R! R definida por x 7! x2. Determine:

a) f(4). b) f(f1, 2g). c) f−1(f3g).d) f−1(f0g). e) f−1(f4g). f) f−1(f1, 3, 4, 7g).

1.2.2) Considerem-se as funções f e g de domínio X := fa, bg µ R e codomínio Re definidas por:

f(a) = 1, f(b) = 3 e g(a) = 2, g(b) = ¡1.

Determine a lei de transformação das funções nas seguintes alíneas:

a) f + g. b) 5f . c) 3f ¡ 2g.d) g + 3 id. e) jf j. f) jf j+ g.g) f ¢ g. h) 4f ¢ 5g. i) (4f ¢ 5g) + (jf j+ g).

1.2.3) Sejam f : R! R e g : R! R duas funções definidas por:

f(x) :=

½2x¡ 5 se x > 2x2 ¡ 2 se x ∙ 2 e g(x) := 3x+ 1.

Determine a imagem dos elementos, para cada uma das funções, das alíneasseguintes:

a) f(¡2). b) g(¡3). c) (g ± f)(1).d) (f ± g)(2). e) (f ± f)(3).

1.2.4) Considere a aplicação f : N! R definida por x 7! 2x¡ 5.

a) Verifique se f é injectiva e sobrejectiva.

b) Represente graficamente a função e verifique se está em consonânciacom a alínea anterior.

c) Calcule f(A), sendo A := f4, 5, 6, 7g.

1.2.5) Considere as funções f : R ! R e g : R ! R definidas, respectivamente,por x 7! x3 e x 7! x+ 1. Verifique se:

a) f é injectiva. b) g é injectiva. c) f é sobrejectiva.d) g é sobrejectiva. e) g ± f é injectiva. f) g ± f é sobrejectiva.g) f é bijectiva. h) g é bijectiva. i) g ± f é bijectiva.j) f ± g é injectiva. k) f ± g é sobrejectiva. l) f ± g é bijectiva.

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1.3. Noções elementares sobre estruturas algébricas. Grupoe Corpo

1.3.1) Considere em R6=0 := Rn f0g as seguintes relações:

a) xθy := x2 + y2 + 5.

b) xθ0y := 2x+ y.

Verifique se são operações binárias em R6=0.

1.3.2) Considere as seguintes relações usuais, definidas nos conjuntos indicados:

a) Subtracção em N. b) Subtracção em R. c) Divisão em R>0.d) Divisão em Q>0. e) Exponenciação em N. f) Exponenciação em R.Indique quais das relações são operações binárias nos respectivos conjuntos.

1.3.3) Para certos valores reais de p a expressão

xθy := 2x+py2 ¡ 3y + p

define uma operação binária em R. Calcule os valores de p de modo que θseja uma operação binária em R.

1.3.4) Analise cada uma das estruturas seguintes:

a) (N; +). b) (N; ¢). c) (Z; +). d) (Z; ¢).e) (Z 6=0; ¢). f) (Q; +). g) (Q; ¢). h) (Q 6=0; ¢).i) (R; +). j) (R; ¢). k) (R6=0; ¢). l) (C; +).m) (C; ¢). n) (C6=0; ¢).

1.3.5) No conjunto R2 dos pares ordenados, considere a seguinte relação:

(a, b)ρ(c, d) := (a+ c, b+ d)

a) Mostre que (R2; ρ) é um grupóide.

b) Determine (1, 0)ρ(¡1, 2).c) Considere S := f(x, y) 2 R2 : y = 3xg. Mostre que (S; ρ) é um sub-grupóide de (R2; ρ).

d) Sendo T := f(x, y) 2 R2 : y = 3x¡ 1g verifique se (T ; ρ) é um sub-grupóide de (R2; ρ).

1.3.6) Considere em R2 as seguintes operações binárias θ e ¤ definidas por:(a, b)θ(c, d) := (a+ c¡ 1, b+ d+ 2) e (a, b) ¤ (c, d) := (ac¡ bd, ad+ bc).

Mostre que (R2; θ) e (R2; ¤) são semigrupos comutativos.1.3.7) Mostre que sendo θ : R£ R! R definida por:

xθy := x+ y + 2xy,

então (R; θ) é um semigrupo com elemento neutro.

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1.3.8) Seja θ : R£ R! R a operação binária definida por:

xθy := x+ y + 1.

a) Mostre que ¡1 é o elemento neutro de (R; θ).b) Determine o elemento oposto de 5 em relação a θ.

c) Prove que (R; θ,¡1) é um grupo comutativo.

d) Chegaria à conclusão que ¡1 é elemento neutro de (N; θ0), sendoθ0 : N£ N! N com a mesma lei de transformação de θ.

1.3.9) Considere o conjunto R2 algebrizado com a operação binária ¤ definida por:(a, b) ¤ (c, d) := (a+ c¡ 1, b+ d¡ 3).

a) Indique, qual é o elemento neutro de ¤.b) Calcule o elemento oposto de (1, 4).

c) Determine 2p ¤ (¡q) , sendo p := (¡2, 0) e q := (1, 4), onde ¡q é osimétrico de q e 2p := p ¤ p.

d) Averigúe, se (R2; ¤, (1, 3)) é um grupo comutativo.

e) Resolva a equação (x, y) ¤ ((2, 1) ¤ 2p) = (0, 1).

1.3.10) Considere o conjunto C := f1, 3, 5, 7g algebrizado com a operação ¤ definidapela seguinte tabela:

¤ 1 3 5 71 5 1 7 33 1 3 5 75 7 5 1 37 3 7 3 5

a) Justifique que (C; ¤) é um grupóide com elemento neutro.

b) Determine, se existir, o oposto de cada um dos elementos de C.

c) Verifique se (C; ¤) é um semigrupo.

d) Resolva em (C; ¤), a equação (7 ¤ x) ¤ 1 = 1.

1.3.11) Considere a seguinte relação θ em Z2 £ R definida por:aθb := αa+ βb, com α, β 2 R (fixos).

a) Verifique se há ou não que fazer restrições aos valores de α e β, paraque θ defina uma operação binária em Z.

b) Para que Z seja um grupo comutativo, que deve impor-se a α e a β?

1.3.12) Considere as funções f, g, h 2 Mor(R6=0,R6=0), definidas por:

f(x) := x+ 1 , g(x) := x2 e h(x) :=1

x.

Sendo F := ff, g, hg, mostre que este conjunto algebrizado com a adição ecomposição de funções não tem uma estrutura de anel.

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1.3.13) Considere em R as operações binárias θ e ¤ definidas por:

xθy := x+ y e x ¤ y := 2xy.

Mostre que R, para as operações definidas, tem uma estrutura de corpo.

1.3.14) Considere em R2 as operações binárias θ e θ0 definidas por:

(x, y)θ(z, t) := (x+ z, y + t) e (x, y)θ0(z, t) := (xz ¡ yt, xt+ yz).

Mostre que R2, para as operações definidas, possui uma estrutura de corpo.

1.3.15) Considere o conjunto A := f(x, 1) 2 R2 : x 2 Rg e as operações binárias θ e¤ definidas por:

(x, 1)θ(y, 1) := (x+ y, 1) e (x, 1) ¤ (y, 1) := (xy, 1).

Mostre que o conjunto A, para as operações definidas, possui uma estruturade corpo.

1.3.16) Seja A := f(x, y) 2 R2 : x 2 R ^ y = 0g. Mostre que o conjunto A, para asoperações usuais de soma e multiplicação, possui uma estrutura de corpo.

1.3.17) Considere em C as operações binárias + e ¢ definidas por:

(x+ yi) + (z + ti) := (x+ z) + (y + t)i,

(x+ yi) ¢ (z + ti) := (xz ¡ yt) + (xt+ yz)i.

Mostre que C, para as operações definidas, possui uma estrutura de corpo.

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1.4. Noções elementares sobre polinómios

1.4.1) Considere as funções f, g, h : R! R definidas, respectivamente, por:

x 7! 5¡ 4x+ 3x2 + 2x3 , x 7! 2 + x+ 2x2 ¡ x3

ex 7! d+ (c+ 1)x+ (b¡ c)x2 + (a+ b)x3.

a) Determine a lei de transformação da função nas alíneas seguintes:

1) f ¡ g.2) f + 3g.

b) Resolva, em cada alínea, a equação polinomial:

1) f(x) + 3g(x) = 11 + x¡ 3x2 + 2x3.2) f(x)¡ 2g(x) = ¡x+ 4x3.3) f(x) + g(x) = 1¡ 2x+ x3.

c) Determine os parâmetros a, b, c e d, de modo que, em cada alínea aequação seja possível:

1) h(x) = 0.2) f(x) + h(x) = 0.3) 2g(x)¡ h(x) = 0.4) f(x) + g(x) +

p2h(x) = 0.

1.4.2) Determine x e y de forma que seja verdadeira a seguinte equação:

(1 + 2x) + (¡2 + 3y)i = 1 + 4i.1.4.3) Efectue as operações indicadas, sobre números complexos:

a) (¡2 + i) + (3¡ 5i) + (2¡ 3i). b) (2¡ 5i)¡ (2 + 3i)¡ (5¡ 3i).c)

¡32¡ 5

3i¢+¡2¡ 1

2i¢. d) (¡2¡ i) (3 + 5i).

e)¡12¡ 3i¢ ¡2 + 1

3i¢. f)

¡p3¡ 2i¢ ¡2 + 1

3i¢.

g) 2+i3−2i . h)

1+i+ 2−i1−i

2−i + i.

i) 2−3i1+i

¡ (2¡ i) (1 + 3i).1.4.4) Resolva, em C, as equações:

a) x2 ¡ 5x+ 8 = 0. b) x2 ¡ 2x+ 10 = 0. c) x2 ¡ x+ 1 = 0.d) x4 ¡ 1 = 0. e) x4 ¡ 25 = 0.

1.4.5) Mostre que sendo z, z1, z2 2 C, então tem-se que:a) z = z. b) z1 + z2 = z1 + z2. c) z1 ¢ z2 = z1 ¢ z2.d) jzj = jzj. e) z ¢ z = jzj2. f) z + z = 2Re(z).g) jz1 ¢ z2j = jz1j ¢ jz2j.

1.4.6) Mostre que sendo x, y, b 2 C e a, ac¡ jbj2 2 R>0, então:

a jxj2 + 2Re(bxy) + c jyj2 = a¯̄̄̄x+

b

ay

¯̄̄̄2+ (ac¡ jbj2) jyj2 ,

onde Re designa a parte real do número complexo.

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2. Espaços Vectoriais

2.1. Espaços vectoriais

2.1.1) Mostre que qualquer corpo K é espaço vectorial sobre si próprio. Concluaque Q, R e C são espaços vectoriais sobre, respectivamente, Q, R e C.

2.1.2) Mostre que C é espaço vectorial sobre R para a adição usual de númeroscomplexos e a multiplicação de um real por um complexo. Podemos consid-erar R um espaço vectorial sobre C?.

2.1.3) Sejam V1, V2, . . . , Vn espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K. Considereo produto cartesiano V1 £ V2 £ ¢ ¢ ¢ £ Vn munido das operações:

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) := (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

α(x1, x2, . . . , xn) := (αx1,αx2, . . . ,αxn),

onde (x1, x2, . . . , xn) e (y1, y2, . . . , yn) designam elementos quaisquer deV1 £ V2 £ ¢ ¢ ¢ £ Vn e α um elemento qualquer de K.

a) Prove que estas operações conferem ao conjunto V1£V2£¢ ¢ ¢£Vn umaestrutura de espaço vectorial sobre K (a que se chama espaço vectorialproduto dos espaços vectoriais V1, V2, . . . , Vn).

b) Utilize a alínea anterior, para provar que Kn é espaço vectorial sobre K(sendo K um corpo qualquer) e que em particular Rn (respectivamente,Cn) é espaço vectorial sobre R (respectivamente, C).

2.1.4) Verifique se cada um dos seguintes conjuntos de polinómios numa variáv-el e com coeficientes reais é um espaço vectorial real (complexo) em re-lação às operações ordinárias de adição de polinómios e multiplicação de umpolinómio por um número real (complexo):

a) Conjunto dos polinómios de grau menor ou igual a n.

b) Conjunto dos polinómios de grau n (n fixo).

2.1.5) Em Rn, defina-se as operações:

a© b := a¡ b e αª a := ¡αa

com a, b 2 Rn e α 2 R.Quais dos axiomas da definição de espaço vectorial são satisfeitos por Rnpara as operações © e ª sobre R?

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2.1.6) Considere o conjunto R>0 dos números reais positivos e as operações:

© : R>0 £ R>0 ! R>0 e ^ : R£ R>0 ! R>0

definidas, respectivamente, por (a, b) 7! a © b := a ¢ b (produto usual) e(α, a) 7! α ^ a := aα (potência usual).Mostre que R>0 para as operações © e ^ é um espaço vectorial sobre o corpoR.Verifique se R com as operações ©0 e ^0 (operações análogas às anterioresmas de domínio R£R e codomínio R), é espaço vectorial sobre o corpo R?Justifique.

2.1.7) Seja V um espaço vectorial sobre um corpo K. Sejam x, y e z elementosquaisquer de V e α e β elementos quaisquer de K. Prove que:a) 0x = 0. b) α0 = 0.c) (¡α)x = α(¡x) = ¡αx. d) (α¡ β)x = αx¡ βx.e) α(x¡ y) = αx¡ αy. f) ¡(¡x) = x.g) αx = 0) α = 0 _ x = 0. h) x+ y = z + y ) x = z.i) αx = βx ^ x 6= 0) α = β.

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2.2. Dependência e Independência linear

2.2.1) Indique quais dos seguintes sistemas de vectores de R3 sobre R são linear-mente independentes:

1) ((1, 1, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 1)). 2) ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)).3) ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)). 4) ((0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0)).5) ((1, 2, 3), (0, 2, 3), (0, 0, 3)). 6) ((1, 2, 3), (¡1, 3, 4), (5, 5,¡6)).7) ((1, 2, 3), (¡1, 3, 4), (5,¡5,¡6)). 8) ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 2, 3)).9) ((1, 0, 0), (0, 1, 0)). 10) ((1,¡2, 3), (¡2, 4,¡6)).11) ((1,¡2, 3)). 12) ((0, 0, 0)).

2.2.2) Indique quais dos seguintes sistemas de vectores de R3[x] sobre R são lin-earmente independentes:

1) (1, x, x2, x3).2) (1 + x+ x2 + x3, x+ x2 + x3, x2 + x3, x3).3) (1, x+ x2, x3, 2¡ 3x¡ 3x2 + 4x3).4) (1 + 2x+ 3x2 + 4x3,¡2¡ x3, 4x2).5) (1 + 2x+ 3x2 + 4x3,¡2¡ x3,¡7 + 2x+ 3x2).6) (7¡ x2, 4x3).

2.2.3) Relativamente ao espaço vectorial real R3:

a) Escreva o vector u := (3, 4,¡2) como combinação linear dos vectores:1) v := (1, 2, 0), w := (0, 1, 2) e z := (1, 0, 2).2) v := (6, 0,¡4), w := (0, 1, 0) e z := (3, 2,¡2).

b) Determine o valor de k, tal que u := (1,¡2, k) possa ser escrito comocombinação linear de v := (3, 0,¡2) e w := (2,¡1,¡5).

2.2.4) Determine os valores de a, para os quais os sistemas de vectores seguintes,são sistemas de vectores linearmente independentes nos espaços considera-dos:

a) ((a, 1, 0), (1, a, 1), (1, 0, 0)) em R3 sobre R.b) (a+ t, 1 + at¡ t2, 2 + t2) em R2[t] sobre R.

2.2.5) Mostre que ((1 ¡ i, i), (2,¡1 + i)) é um sistema de vectores linearmenteindependente em C2 sobre R e linearmente dependente em C2 sobre C.

2.2.6) No espaço vectorial real R3:

a) Mostre que o sistema de vectores ((0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 0)) é linear-mente dependente.

b) Considere o vector u := (1,¡2, 3) e os sistemas de vectores (u, v, w)com:

1. v := (0, 1,¡2) e w := (0, 0, 1).2. v := (0, 1,¡2) e w := (1,¡1, 1).

1) Estude quanto à dependência linear os dois sistemas de vectores.

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2) Verifique que o vector u só poderá ser expresso como combinaçãolinear de v e w, quando o sistema de vectores (u, v, w) for linear-mente dependente.

2.2.7) Considere o sistema de vectores ((1, 0, 0), (0, 1, 0)) linearmente independente.Verifique que ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (2, 2, 0)) é um sistema de vectores linear-mente dependente, e que consequentemente, (2, 2, 0) pode ser expresso comocombinação linear de (1, 0, 0) e (0, 1, 0).

2.2.8) Verifique que qualquer subsistema de vectores obtido a partir do sistemade vectores ((1,¡1, 2), (1, 2,¡1), (2, 1,¡1)) (sistema de vectores linearmenteindependente) é linearmente independente.

2.2.9) Verifique que o sistema de vectores ((1, 1,¡1), (¡2,¡2, 2), (a, b, c)) é linear-mente dependente, para todo o vector (a, b, c) 2 R3.

2.2.10) Verifique que o vector (1,¡4, 5) pode ser obtido por uma única combinaçãolinear dos vectores:

a) u := (1,¡1, 2) e v := (1, 2,¡1) (note que (u, v) é linearmente indepen-dente)

b) Considere o sistema de vectores linearmente independente (u, v, w) com

u := (1, 2, 3), v := (¡1, 3, 4) e w := (0, 0, 2).

Verifique que os sistemas (u, v + w,w), (u,αv, w) com α 6= 0, (u, v +αw,w) são ainda sistemas linearmente independentes.

c) Considere o sistema de vectores linearmente dependente (u, v, w) com

u := (1, 2, 3), v := (1, 2, 5) e w := (0, 0, 2).

Verifique que os sistemas (u, v + w,w), (u,αv, w) e (u, v + αw,w) sãosistemas linearmente dependentes.

2.2.11) No espaço vectorial real R4, considere os vectores

a := (1, 0, 1, 0), b := (1, 0, 0, 1) e c := (1, 1, 1, 1).

a) Mostre que (a, b, c) é um sistema linearmente independente.

b) Será que (a, b) é um sistema linearmente independente? Justifique.

c) Indique todos os subsistemas de vectores linearmente independentes dosistema (a, b, c).

d) Dê um exemplo de um vector d 6= 0, tal que (a, b, c, d) seja linearmentedependente.

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2.3. Subespaços vectoriais

2.3.1) Determine o subespaço do espaço vectorial real R3 gerado por:

a) f(1, 0, 1), (0, 1, 0), (¡2, 1,¡2)g.b) f(1, 0, 1), (0, 1, 0), (¡2, 1,¡2), (¡3, 4,¡3)g.c) f(0, 1, 0), (¡2, 1,¡2)g.d) f(1,¡1, 1), (1, 0,¡1), (2,¡1, 0)g.

2.3.2) Determine o subespaço do espaço vectorial real R2[x] gerado por:

a) f¡1 + x, 1 + x2g.b) fx, 1 + x, 2 + 3x+ 4x2g.c) f¡1 + 2x, 2 + 3x2g.d) f1 + x,¡2 + 2x,¡2 + 3x2, 6¡ 9x2g.

2.3.3) Indique quais dos seguintes sistemas de vectores formam uma base nos re-spectivos espaços:

a) ((1, 0, 0) , (0, 1, 0), (¡2, 1,¡2)) no espaço vectorial R3.b) ((0, 1, 0), (¡2, 1,¡2)) num subespaço vectorial de R3 de dimensão 2.c) (1, 2¡ x, 1 + x2) no espaço vectorial R2[x].d) (1, x, 3 + x2, x5) num subespaço vectorial de R5[x] de dimensão 4.

2.3.4) Dos seguintes subconjuntos, determine quais são subespaços do respectivoespaço vectorial real, indicando para esses, uma base.

a) A := f(x, y, z, w) 2 R4 : x+ y = z + w = 0g.b) B := f(x, y, z, w) 2 R4 : w = 1g.c) C := f(2a+ 3b, 2a¡ b, 3a, 4b) 2 R4 : a, b 2 Rg.d) D := f(x, y, z, w) 2 R4 : y ¸ 0g.e) E := f(x, y, z, w) 2 R4 : x ¢ y = 0g.f) F := f(2a+ 3b, 2a¡ b, 0, 0) 2 R4 : a, b 2 Rg.g) G := f(x, y, z, w) 2 R4 : jxj > 2g.h) H := f(x, y, z, w) 2 R4 : log(x) ¸ 0g.i) I := f(x, y, z, w) 2 R4 : ax+ by + cz + dw = 0 com a, b, c, d 2 R (fixos)g.j) J := f(x, y, z, w) 2 R4 : ax+ by + cz + dw = k com a, b, c, d, k 2 R ^ k 6= 0g.k) K := fa+ bx+ cx2 2 R2[x] : a¡ b = 0g.l) L :=

©a+ bx+ cx2 + dx3 2 R3[x] : a¡ b = 0 ^ c =

p2dª.

m) M := fa+ bx+ cx2 + dx3 + ex4 2 R4[x] : b = c ^ d = 2a¡ eg.

2.3.5) Sejam L := f(x, y, z) 2 R3 : x+ y + z = 0g e M := f(x, x, x) 2 R3 : x 2 Rgsubespaços do espaço vectorial real R3 e sejam A := L \M , B := L+M eC := L [M .

11

a) Determine A, B e C.

b) Dos subconjuntos A, B e C de R3, qual(is) é(são) subespaço(s) doespaço vectorial R3?

2.3.6) No espaço vectorial real R3.

a) Mostre que F := f(x, y, z) 2 R3 : x¡ 3y + 3z = 0g é um subespaçovectorial real.

b) Caracterize o subespaço G do espaço vectorial real R3 gerado peloconjunto fu1, u2g, sendo u1 := (1, 0, 2) e u2 := (0, 1, 1).

c) Caracterize o subespaço F \G e indique a sua dimensão.d) Verifique que o sistema (u1, u2, u3) constitui uma base de R3, sendo u3um vector de R3 não pertencente a G.

12

2.4. Soma directa interna

2.4.1) Sejam A, B e C subespaços vectoriais de R3, sendoA := f(a, b, c) 2 R3 : a+ b+ c = 0g, B := f(a, b, c) 2 R3 : a = cg eC := f(0, 0, c) 2 R3 : c 2 Rg.

a) Mostre que R3 = A+ C.b) Mostre que R3 = A+B.c) Determine A [ B e B \ C e verifique se são subespaços vectoriais deR3.

2.4.2) No espaço vectorial real R3, considere os subespaços:A := f(x, y, 0) 2 R3 : x, y 2 Rg e B := f(x, 0, z) 2 R3 : x, z 2 Rg.

a) Represente-os graficamente.

b) Determine graficamente, A \ B. Determine algebricamente o mesmoconjunto e confirme a sua igualdade, pelos dois processos de cálculo.

c) Verifique se A \B é subespaço de R3.

2.4.3) No espaço vectorial real R3, considerem-se os subespaços:A := f(a, b, 0) 2 R3 : a, b 2 Rg B := f(0, b, c) 2 R3 : b, c 2 RgC := f(0, 0, c) 2 R3 : c 2 Rg D := f(a, b, c) 2 R3 : a = b = cg.

a) Mostre que R3 = A+B.b) Mostre que R3 não é soma directa de A e B.c) Mostre que R3 = A© C e R3 = B ©D.d) Determine a dim(A), dim(B), dim(C), dim(D). Verifique que em qual-quer dos casos dim(R3) = dim(A) + dim(C) = dim(B) + dim(D).

2.4.4) No espaço vectorial real R2[x], considerem-se os subespaços:

A := fa+ bx+ cx2 2 R2[x] : a+ b+ c = 0g,B := fa+ bx+ cx2 2 R2[x] : a = cg,C := fa+ bx+ cx2 2 R2[x] : a = bg.

a) Mostre que:

1) R2[x] = A+B.2) R2[x] = A+ C.3) R2[x] = B + C.

b) Quais das somas anteriores são somas directas internas? Justifique.

2.4.5) No espaço vectorial real R4, determine dois subespaços F e G distintos etais que:

R4 = hAi © F = hAi ©G,sendo A := f(1, 3, 0,¡1), (2, 5, 1, 2), (1, 2, 1, 3)g.

13

2.4.6) No espaço vectorial real R2[x], determine dois subespaços F e G distintos etais que:

R2[x] = hAi © F = hAi ©G,sendo A := f1, 1 + x+ x2g.

14

3. Aplicações Lineares

3.1. Aplicações lineares

3.1.1) Relativamente aos espaços vectoriais reais das alíneas seguintes, indiquequais das aplicações são lineares:

a) f : R2 ! R2 definida por f ((x1, x2)) = (x2, x1).b) f : R2 ! R2 definida por f((x, y)) = (k1, k2) com k1 e k2 elementosreais fixos.

c) f : R2 ! R2 definida por f((x, y)) = (sen(x), y).d) f : Rn[x]! Rn[x] definida por f(p) = p0, onde p0 é o polinómio obtidopor derivação do polinómio p.

e) f : Rn[x]! Rn[x+1] definida por f(px) = px+1, onde px é o polinómiona indeterminada x.

f) f : R2[x] ! R2[t] definida por f(px) = pt+1, onde px é o polinómio naindeterminada x.

g) f : R3 ! R2[x] definida por f ((a, b, c)) = a+ bx+ cx2.h) f : R ! R>0 definida por f(x) = ex, onde R>0 é o espaço vectorialreal, cuja operação binária nele definida é o produto de números reaise a multiplicação por escalar é dada pela potenciação.

i) f : R3[x]! R definida por:

f(a+ bx+ cx2 + dx3) =

Z 2

0

¡(c + d)x+ (a+ b)x3 dx.

3.1.2) Seja f : C! C definida por f(z) = z, onde z é o conjugado de z.Mostre que:

a) f é linear, se C é considerado espaço vectorial real.b) f não é linear, se C é considerado espaço vectorial complexo.

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3.2. Núcleo e Imagem

3.2.1) Considere a aplicação f : R3 ! R3 definida por:

f(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x1 + x3, x2 + x3).

Prove que se trata de uma aplicação linear. Determine o respectivo núcleoe diga se f é um monomorfismo.

3.2.2) Considere a aplicação f : R4 ! R2 definida por:

f(x1, x2, x3, x4) = (x1 + x2,¡2x1 ¡ x3 + 2x4).

a) Mostre que é uma aplicação linear. Determine o respectivo núcleo ediga se f é um monomorfismo.

b) Determine ainda, as imagens inversas dos vectores (1, 0) e (¡1, 3) deR2.

3.2.3) Considere a aplicação f : R3 ! R2 definida por:

f(x, y, z) = (x¡ y + z, x+ y + 2z).

a) Mostre que f é uma aplicação linear.

b) Determine Ker(f) e diga se f é um monomorfismo.

c) Determine a imagem de f , ou seja, Im(f) e diga se f é um isomorfismo.

d) Dado o vector v := (1,¡2), determine f−1(fvg).e) Determine Ker(2f).

3.2.4) Considere uma aplicação linear f : R3 ! R3 tal que:

f(1, 1, 0) = (0, 1, 1), f(1, 0, 1) = (1, 1, 1) e f(0, 1, 1) = (2, 1,¡1).

a) Determine a lei de transformação de f .

b) Determine Ker(f). Diga se f é um automorfismo.

c) Determine f−1(f(2, 1,¡1)g).

3.2.5) Considere duas aplicações lineares f, g : R4 ! R4 tais que:

f(1, 0, 0, 0) = (1, 0, 0, 1), f(1, 1, 0, 0) = (0, 1, 0, 1),f(1, 1, 1, 0) = (1, 0, 1, 0), f(1, 1, 1, 1) = (0, 1, 1, 0)

eg(1, 0, 0, 0) = (1, 0,¡1, 0), g(0, 1, 0, 0) = (0, 1,¡1, 0),g(0, 0, 1, 0) = (1, 0,¡1, 1), g(0, 0, 0, 1) = (1,¡1, 1,¡1).

Determine:

a) a lei de transformação de f e g.

b) Ker(f) \ Im(g).c) Ker(f) \Ker(g).

16

d) Ker(f + g).

e) Ker(f ± g).

3.2.6) Seja f um endomorfismo em R3 e tal que:

f(1, 1, 0) = (0, 1, 0) , f(0, 1, 0) = (0, 1, 0) e f(0, 0, 1) = (1, 0, 0).

a) Determine f(1,¡1, 1) e f−1(f(0,¡1, 1)g).b) Diga se f é um epimorfismo.

c) Determine Ker(f) e Ker(f) \ Im(f).

3.2.7) Considere a aplicação f : R2[x]! R1[x] definida por:

f(a+ bx+ cx2) = b+ (a¡ c)x.

a) Mostre que f é uma aplicação linear.

b) Determine Ker(f), uma base deste espaço e a respectiva dimensão.

17

3.3. O espaço Hom(V,W )

3.3.1) Sejam f, g 2 Hom(R3,R). Mostre que para todo o x 2 R3, a aplicação

h(x) = (f(x), g(x))

é uma aplicação linear de R3 em R2, ou seja, h 2 Hom(R3,R2).3.3.2) Seja f : V ! W uma aplicação entre os espaços vectoriais V e W de bases

(e1, e2, e3) e (e01, e02), respectivamente. Considere-se f definida por:

f(xe1 + ye2 + ze3) = (x+ k)e01 + (y + z)e

02, com k 2 R.

a) Para que valores de k é f uma aplicação linear.

b) Para os valores de k determinados na alínea anterior, determine oKer(f) e uma sua base.

3.3.3) Considere a aplicação f : R3 ! R3 definida por:

f(x, y, z) = (x+ y, 0, y ¡ z).

a) Verifique que f é linear.

b) Determine oKer(f), Im(f) e uma base para cada um destes subespaços.

c) Verifique que dim(R3) = nf + rf , onde nf e rf são, respectivamente, anulidade de f e a característica de f .

d) Considere o subespaço A := f(x, y, z) 2 R3 : x = yg de R3.1) Determine f−1(A).2) Justifique, por dois processos diferentes, que f−1(A) é um sub-espaço de R3.

3.3.4) Sejam F e G subespaços do espaço vectorial V e tais que V = F ©G.Então todo o vector x 2 V = F © G, escreve-se de uma única maneira naforma x = y + z, com um único y 2 F e um único z 2 G.Mostre que:

a) A aplicação p : F © G ! F © G tal que para todo o x 2 F © G,p(x) = y é uma aplicação linear. Esta aplicação linear é denominada aprojecção linear de V em F .

b) G = Ker(p).

c) p ± p = p.

3.3.5) Sejam f, g 2 Hom(R3,R2) e h 2 Hom(R2,R) definidas, respectivamente,por:

f(x, y, z) = (2x¡ y, z) , g(x, y, z) = (x¡ z, 2y) e h(x, y) = x+ 3y.

a) Determine a lei de transformação de f + g.

b) Determine a lei de transformação de h ± (f + g).

18

c) Verifique que se tem h ± (f + g) = (h ± f) + (h ± g).d) Calcule Ker(h ± (f + g)).

3.3.6) Sejam α 2 R6=0 um escalar arbitrário e f, g 2 Hom(R2,R3) definidas, re-spectivamente, por:

f(x, y) = (2x, 0,¡y) e g(x, y) = (y ¡ x, 2x).

a) Determine a lei de transformação de αf .

b) Determine a lei de transformação de g ± (αf).c) Verifique que se tem α(g ± f) = (αg) ± f = g ± (αf).d) Determine Im(α(g ± f)).

3.3.7) Considere os espaços vectoriais reaisR3 eR3[x] e a base ((1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1))de R3. Seja g : R3 ! R3[x] a aplicação linear tal que:

g(1, 0, 0) = 2x+ x3, g(0, 1, 1) = ¡2x+ x2 e g(0, 0, 1) = x2 + x3.

Determine:

a) a lei de transformação de g.

b) Ker(g) e uma base deste espaço.

c) Uma base de R3, que inclua a base encontrada na alínea anterior.d) Im(g) e uma base deste espaço.

3.3.8) Considere a base de R3 constituída pelos vectores

a := (¡1, 1, 1), b := (1,¡1, 1) e c := (1, 1,¡1).

Seja f : R3 ! R4 uma aplicação linear tal que:

f(a) = (1, 0, 1,λ), f(b) = (0, 1,¡1, 0) e f(c) = (1,¡1,λ,¡1),

sendo λ um parâmetro real.

a) Determine os valores de λ para os quais f é injectiva.

b) Fazendo λ = ¡1, considere o subespaço G de R4 gerado pelos vectoresf(a) e f(b). Determine a dimensão de G.

c) Fazendo λ = 2, determine:

1) a imagem do vector (1, 1, 0).2) f−1(f(1, 1, 0, 0)g).

3.3.9) Sendo f 2 Hom(R3,R3) e sabendo que:

f(0, 0, 1) = (0, 0, 1) e Ker(f) = hf(1, 1, 1), (0, 1, 1)gi .

a) Determine a lei de transformação de f .

19

b) Sem determinar a Im(f), diga qual é a característica de f .

3.3.10) Determine o vector (x1, x2, x3) 2 R3 de modo que a aplicação linear f :R3 ! R3 dada pelas imagens:

f(e1) = (1, 0, 1), f(e2) = (1, 2, 3) e f(e3) = (x1, x2, x3)

sendo (e1, e2, e3) a base canónica de R3, tenha característica 2.

3.3.11) Considere o subespaço A := f(x, y, z, t) 2 R4 : y = t = 0g do espaço vector-ial real R4.Determine uma aplicação linear g : R4 ! R4 tal que:

a) Im(g) = A.

b) Ker(g) = A.

3.3.12) Sejam V eW dois espaços vectoriais sobre um mesmo corpo K e Hom(V,W )o conjunto de todas as aplicações lineares de V em W . A todo o par(f, g) 2 Hom(V,W ) £ Hom(V,W ) e (α, f) 2 K £ Hom(V,W ) associe-se,respectivamente, os elementos f + g e αf de Hom(V,W ) definidos por:

(f + g)(x) := f(x) + g(x)

(αf)(x) := αf(x)

Mostre que Hom(V,W ), com as operações de soma de vectores e multi-plicação por escalar assim definidas, constitui um espaço vectorial sobre ocorpo K.

3.3.13) Sejam V , W e Z espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K. Mostre que:

a) se f 2 Hom(V,W ) e g 2 Hom(W,Z), então g ± f 2 Hom(V, Z).b) para todo f, g 2 Hom(V,W ) e todo o h, k 2 Hom(W,Z) e todo o

α 2 K, tem-se que:1) h ± (f + g) = (h ± f) + (h ± g).2) (h+ k) ± f = (h ± f) + (k ± f).3) α(h ± f) = (αh) ± f = h ± (αf).

20

4. Matrizes

4.1. Operações fundamentais sobre matrizes

4.1.1) Considere as seguintes matrizes sobre o corpo R:

A :=

∙1 0 20 1 3

¸, B :=

∙2 1 30 1 0

¸e C :=

24 1 10 10 2

35.Verifique quais das seguintes operações estão definidas e, para essas deter-mine o seu valor:a) (5A)(4C). b) A+B. c) B + C.d) CtB. e) BCt. f) AC.g) CA. h) (AC)2. i) (AC)B.j) A(CB). k) (CB)3 + I3.

4.1.2) Considere o espaço vectorial M2×2(R):

a) Mostre que os seguintes sistemas de vectores:

1)µ∙

1 00 0

¸,

∙0 10 0

¸,

∙0 01 0

¸,

∙0 00 1

¸¶.

2)µ∙

1 00 0

¸,

∙1 01 ¡1

¸,

∙1 2

¡2 0

¸,

∙0 00 1

¸¶.

constituem bases nesse espaço.

b) Escreva o vector∙4 ¡12 3

¸como combinação linear das bases das

alíneas anteriores.

4.1.3) Considere as seguintes matrizes de ordem 2£ 2 sobre R:

A :=

∙1 11 1

¸e B :=

∙1 01 1

¸.

Mostre que AB 6= BA. O que conclui quanto à comutatividade de matrizes?4.1.4) Dadas duas matrizes A,B 2 Mn×n(R) elas comutam se AB = BA. Deter-

mine a expressão geral das matrizes de 2 £ 2 que comutam com a matriz∙1 10 1

¸.

4.1.5) Considere as seguintes matrizes de M2×2(R):

A :=

∙3 16 2

¸, B :=

∙1 01 1

¸e C :=

∙2 1

¡2 ¡2¸.

Mostre que AB = AC e no entanto B 6= C, ou seja, a lei do corte não éválida para o produto de matrizes.

21

4.1.6) Considere as seguintes matrizes sobre R:

A :=

24 2 0 12 1 01 1 0

35 e B :=

24 1 1 20 1 11 0 3

35 .Resolva as seguintes equações matriciais:

a) 2A+ 3X = 4B. b) BA+ 5X = A. c) 3B + 2X = A.d) 3B2 + 2X = 2A+

p2B. e) BtA+X = ¡X +A. f)12X +AX +B = O3×3.

4.1.7) Considere as matrizes A,B 2 Mn×n(K) tal que AB = A e BA = B. Mostreque:

a) BtAt = At e AtBt = Bt.

b) as matrizes A e B são idempotentes (Uma matriz A é idempotente seA2 = A).

c) se a matriz A é invertível, então A = B = In×n.

d) se considerarmos A :=

24 2 ¡3 ¡5¡1 4 51 ¡3 ¡4

35 e B :=

24 ¡1 3 51 ¡3 ¡5

¡1 3 5

35,então não é válida a recíproca de 4.1.7.b).

4.1.8) Seja K um corpo e Mm×n(K) o conjunto das matrizes do tipo m£ n sobreK. Mostre que Mm×n(K) constitui um espaço vectorial sobre K, para asoperações usuais de soma de matrizes e produto de um elemento de K poruma matriz.

4.1.9) Sejam A,A0, A00 2 Mm×n(K), B,B0 2 Mn×q(K), C 2 Mq×l(K) e λ 2 K.Mostre que:

a) (A+A0) +A00 = A+ (A0 + A00).

b) A+ A0 = A0 +A.

c) (AB)C = A(BC).

d) (A+A0)B = AB +A0B.

e) λ(AB) = (λA)B = A(λB).

1Este exercício pode mais facilmente ser resolvido usando a noção de inversa de uma matriz.Neste caso necessitamos da inversa da matriz 2I3£3 +A.

22

4.2. Matriz de uma aplicação linear

4.2.1) Considerando a aplicação identidade idV : V ! V e fixando em V uma basequalquer, determine a matriz de idV .

4.2.2) Determine a matriz da aplicação linear f : R2 ! R3 definida por:

f(x, y) = (x+ y, x¡ y, y ¡ x),

com respeito à base canónica de R2 e à base ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)) deR3.

4.2.3) No espaço vectorial R3, a matriz A :=

24 2 0 12 1 01 1 0

35 define uma aplicação

linear em relação a uma base fixa nesse espaço. Determine essa aplicaçãolinear, quando essa base, é a seguinte base no domínio e codomínio da apli-cação:

a) ((1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)).

b) ((1, 1, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)).

c) ((1, 0, 0) , (0,¡1, 1) , (1, 0, 1)).

4.2.4) Considere a aplicação f : R2[x]! R3[x] definida por:

f(p) = x2d

dx(p) ,

sendo ddxa derivada em ordem a x.

a) Mostre que f é uma aplicação linear.

b) Suponha, fixadas em R2[x] e em R3[x], respectivamente, as bases¡1, 1 + x, 1 + x+ x2

¢e¡1, 1 + x, 1 + x+ x2, 1 + x+ x2 + x3

¢.

Determine a matriz que representa f em relação a essas bases.

c) Determine Ker(f) e Im(f) e, estude f quanto à sua invertibilidade.

4.2.5) Considere o espaço vectorial R3[x]. Seja f : R3[x]! R3[x] a aplicação lineardefinida por:

f(p) = p00 + 4p0 + p,

onde p00 e p0 representam respectivamente, a segunda e primeira derivada dep.

Determine a matriz da aplicação linear f em relação à base (x, 1 + x, x+ x2, x3)fixada nos respectivos espaços vectoriais domínio e codomínio de f .

4.2.6) No espaço vectorial real R2, fixe-se a base canónica.

23

a) Determine f(x, y), sendo f : R2 ! R2 a aplicação definida em relação

à base canónica pela matriz A :=∙2 00 3

¸.

b) Verifique que f é um automorfismo em R2 e, determine a respectivaaplicação inversa.

c) Determine a matriz de f−1 para a base canónica e verifique que é ainversa da matriz A.

4.2.7) Seja A := [aij] 2 Mn(K). Designa-se por traço de A o escalar definido por:

tr(A) =nXi=1

aii.

a) Mostre que a aplicação t :Mn(K)! K definida por:

t(A) = tr(A)

é uma aplicação linear.

b) Considere também a matriz B 2 Mn(K). Mostre que tr(AB)=tr(BA).c) Considere n = 2, e as basesµ∙

1 00 1

¸,

∙1 10 0

¸,

∙1 01 0

¸,

∙0 10 1

¸¶e (α), com α 2 Kn f0g, de M2×2(K) e K, respectivamente.

Determine a matriz de t relativamente a estas bases.

4.2.8) Sejam f : R ! R2 e g : R ! R2 aplicações lineares definidas, respectiva-mente, por:

f(x) = (3x, 0) e g(x) = (x,¡2x).

Determine:

a) A :=M(f ; (1), ((1, 0), (0, 1))).

b) B :=M(g; (1), ((1, 0), (0, 1))).

c) C :=M(f + g; (1), ((1, 0), (0, 1))).

d) Confirme que A+B = C.

4.2.9) Sejam f : R2 ! R3 e g : R3 ! R aplicações lineares definidas, respectiva-mente, por:

f(x, y) = (x, y, x+ y) e g(x, y, z) = x+ y + z.

Determine:

a) A :=M(f ; ((1, 0), (0, 1)), ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))).

b) B :=M(g; ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)), (1)).

24

c) C :=M(g ± f ; ((1, 0), (0, 1)), (1)).d) Confirme que BA = C.

4.2.10) Considere a aplicação f : R2[x]! M2×2(R) definida por:

f(a+ bx+ cx2) =

∙a+ b cb a

¸

a) Mostre que (1, x, 1 + x2) eµ∙

1 00 0

¸,

∙1 10 0

¸,

∙1 11 0

¸,

∙1 11 1

¸¶são bases de R2[x] e M2×2(R), respectivamente.

b) Mostre que f é uma aplicação linear.

c) Determine a matriz de f relativamente às bases da alínea anterior.

d) Determine Ker(f) e Im(f).

e) Diga, justificando, se f é uma aplicação linear invertível.

25

4.3. Característica de uma matriz

4.3.1) Determine a característica das seguintes matrizes sobre R:

a) A :=

24 1 2 0 12 0 1 3

¡1 1 0 2

35. b) B :=

26641 0 21 1 12 1 30 0 1

3775. c) C :=

24 1 23 45 6

35.

d) D :=∙1 0 30 2 0

¸. e) E :=

24 2 2 22 2 22 2 2

35. f) F :=

26642 ¡3 43 1 5

¡1 0 ¡10 2 4

3775.4.3.2) Determine a característica das seguintes matrizes sobre C:

a) A :=

24 1 1 3¡1 i ¡1¡ 2ii 1 ¡1 + i

35. b) B :=

24 1 ¡i ¡i¡1 i 11 i 3i

35 .

c) C :=∙i 1 11 ¡i 0

¸. d) D :=

26641 i ¡i 02 i 0 ¡1

2 + i 0 1 ¡i1 ¡3 + 2i 1 0

3775.

e) E :=

24 1 i2i 10 ¡i

35. f) F :=

2664i i1 10 i¡i 1

3775.4.3.3) Verifique se os seguintes sistemas de vectores são linearmente independentes:

a) ((2, 0, 1, 0), (4, 1, 0, 1), (1, 2, 1, 0), (6, 1, 1, 1)).

b) ((1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (2, 1, 0, 1), (1, 1, 0,¡1)).c) ((1, 1, 0, 0,¡1), (1, 1, 1, 1, 2), (2, 1, 0, 1,¡2), (1, 1, 0,¡1, 0)).d) ((1, 1, 0, 0,¡1), (1, 1, 1, 1, 2), (2, 1, 0, 1,¡2), (1, 1, 0,¡1, 0), (1, 0, 1,¡1, 1)).

4.3.4) Determine os valores reais de α para os quais a característica das seguintesmatrizes é máxima:

a) A :=

24 1 ¡1 11 2 1α 1 1

35. b) B :=

24 α 1 11 α ¡1α 1 1

35. c) C :=∙1 ¡α 22 3 α

¸.

d) D :=

26640 1 α1 0 ¡12 ¡α 01 1 1

3775.4.3.5) Discuta, segundo os valores reais de α e β, a característica das seguintes

matrizes:

26

a) A :=

2664α 0 0 ββ α 0 00 β α 00 0 β α

3775. b) B :=

2664α α 11 α+ β β1 β α1 1 1

3775.

c) C :=

24 1 2α+ β α + β1 α+ β β¡1 α α

35.

27

4.4. Matriz de mudança de base e mudanças de base

4.4.1) Considere em R3 as bases:

(v1, v2, v3) := ((2, 1, 1), (0, 0, 1), (¡1, 1, 1))(u1, u2, u3) := ((1, 1, 0), (¡1, 1, 1), (0, 1, 2)) .

a) Determine M(idR3; (uj)j , (vj)j).

b) Usando a alínea anterior, escreva o vector 5u1 + 4u2 + u3 como combi-nação linear dos vectores v1, v2 e v3.

4.4.2) Considere as seguintes bases de R3 e R2, respectivamente:

(vi)i := ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) , (ui)i := ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0))

e(v01, v

02) := ((1, 0), (0, 1)) , (u01, u

02) := ((1, 1), (1, 0)) .

Considere também a aplicação linear f : R3 ! R2, definida por:

f(x, y, z) = (x+ y, y + z).

Determine:

a) A :=M(f ; (vi)i, (v0j)j).

b) B :=M(f ; (ui)i, (u0j)j).

c) As matrizes invertíveis P e Q que verificam a igualdade B = Q−1AP .

4.4.3) Seja f : R2[x]! R3 uma aplicação linear cuja matriz em relação às bases

(v1, v2, v3) =¡1, x, x2

¢e (u1, u2, u3) = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))

de R2[x] e R3, respectivamente, é A :=

24 1 0 10 1 00 0 2

35.Determine M(f ; (v0j)j, (u

0i)i) em que:

a) (v0j)j := (2, 1 + x, x2) e (u0i)i := ((1, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 1, 1)).

b) (v0j)j := (1 + x, 2x, x2) e (u0i)i := ((1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 2)).

4.4.4) Sejam V e W espaços vectoriais reais e (v1, v2, v3) e (w1, w2) bases de V eW , respectivamente. Seja f : V !W uma aplicação linear tal que:

M(f ; (vj)j, (wi)i) =

∙1 0 11 1 0

¸.

a) Mostre usando matrizes que (v1 ¡ v2, v1 + v2, v1 + v2 + v3) e (w1 +2w2,¡w2) são bases de V e W , respectivamente.

b) Determine a matriz de f em relação às bases da alínea anterior.

28

5. Sistemas de Equações Lineares.Determinantes

5.1. Sistemas de equações lineares

5.1.1) Resolva, caso seja possível, os seguintes sistemas de equações lineares:

a)

8<: x¡ 2y + z = 2x+ 5y ¡ z = 1x+ y + z = 3

. b)

8>><>>:x+ 2y + 3z + 3w = 10x+ 3y + 2z + 4w = 82x+ 5y + 4z + 7w = 82x+ 5y + 8z + 6w = 21

.

c)

8<: 2x+ 3y + z = y + 3xx¡ 3z = 2y + 13y + z = 2¡ 2x

. d)

8<: ¡x¡ y + z = 13x+ 2y + z = 2x+ y + z = 3

.

e)

8<: x+ y ¡ z = 12x¡ y + 3z = 24x+ y + z = 4

. f)

8>><>>:x+ y + z + w = 02x¡ z + 2w = 12x+ y ¡ 2z ¡ w = ¡13x¡ y + 8z = 5

.

g)

8>><>>:x¡ 2y + 3z + w = 13x+ 15y + 18z + 14w = 122x+ y ¡ z ¡ w = ¡2x¡ 6y + 11z + 7w = 9

. h)

8>><>>:x+ y + z + w = 02x¡ y + z ¡ w = 05x¡ y + z ¡ w = 0¡x+ 5y + z + 2w = 0

.

5.1.2) Discuta, segundo os valores dos parâmetros a, b,λ 2 R, os sistemas:

a)

8<: x+ y + z = λ+ 1x+ λy + z = 1λx+ y = λ+ 2λ2

. b)

8<: x+ y + (1¡ λ)z = λ+ 1(1 + λ)x¡ y + 2z = 02x¡ λy + 3z = λ+ 2

.

c)

8<: λx+ y + z ¡ w = 0x+ λy + z ¡ λw = 0x+ y + λz + λ2w = 0

. d)

8<: x+ λy + z = 0λx+ y + λz = 1x+ λy = λ

.

e)

8<: 2x+ y + w = 23x+ 3y + az + 5w = 33x¡ 3z ¡ 2w = b

. f)

8<: x+ 3y + 4z + 2t = 13x+ 4y ¡ z + 3t = 32x+ y + az + t = b

.

5.1.3) Averigúe, se existe uma matriz coluna X, tal que AX = BX com:

A :=

24 2 3 11 ¡2 11 ¡1 1

35 e B :=

24 ¡1 1 00 1 52 3 7

35 .5.1.4) Determine as matrizes inversas de:

29

a)

24 1 1 ¡32 1 01 ¡1 2

35. b)

26641 2 ¡1 12 1 0 33 0 ¡5 10 1 2 2

3775. c)

24 ¡1 0 41 ¡1 ¡94 5 0

35.

d)

24 2 3 40 ¡4 21 ¡1 5

35. e)

24 1 0 22 ¡1 34 1 8

35. f)

26642 1 ¡1 21 3 2 ¡3

¡1 2 1 ¡12 ¡3 ¡1 4

3775.

30

5.2. Determinantes

5.2.1) Seja A = [aij] 2 M6×6(K). No desenvolvimento do det(A), quais os sinaisdos termos:

a) a13a21a32a46a55a64.

b) a23a12a45a34a56a61.

5.2.2) Calcule o determinante das seguintes matrizes:

a)∙

1 2¡1 3

¸. b)

24 1 1 ¡1¡1 ¡1 01 0 ¡1

35. c)

24 1 2 ¡33 2 ¡1

¡2 0 ¡2

35.

d)

2664¡2 0 2 01 ¡1 2 20 ¡1 1 02 2 0 1

3775. e)

2664¡2 0 1 13 3 3 ¡3

¡1 2 1 12 ¡2 0 1

3775. f)

2666645 5 5 5 55 10 10 15 105 10 5 5 55 9 15 5 55 10 40 35 5

377775.5.2.3) Verifique que são nulos os determinantes das seguintes matrizes:

a)

24 x x0 ax+ bx0

y y0 ay + by0

z z0 az + bz0

35. b)

24 a+ b c 1b+ c a 1c+ a b 1

35.5.2.4) Sem calcular os determinantes, prove as seguintes igualdades:

a)

¯̄̄̄¯̄ a1 b1 a1x+ b1y + c1a2 b2 a2x+ b2y + c2a3 b3 a3x+ b3y + c3

¯̄̄̄¯̄ =

¯̄̄̄¯̄ a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

¯̄̄̄¯̄.

b)

¯̄̄̄¯̄ a1 + b1x a1 ¡ b1x c1a2 + b2x a2 ¡ b2x c2a3 + b3x a3 ¡ b3x c3

¯̄̄̄¯̄ = ¡2x

¯̄̄̄¯̄ a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

¯̄̄̄¯̄.

5.2.5) Calcule o determinante das seguintes matrizes:

a) A :=

26666641 2 3 ¢ ¢ ¢ n

¡1 0 3 ¢ ¢ ¢ n¡1 ¡2 0 ¢ ¢ ¢ n...

....... . .

...¡1 ¡2 ¡3 ¢ ¢ ¢ 0

3777775. b) B := [bij]i=1,...,nj=1,...,n

:=

½2 se i 6= ji se i = j

.

5.2.6) Resolva as seguintes equações:

a)

¯̄̄̄¯̄ k 0 00 ¡1 11 1 k

¯̄̄̄¯̄ = 0. b)

¯̄̄̄¯̄̄̄ 1 1 1 xx 1 1 11 x 2 1

¡1 1 x 0

¯̄̄̄¯̄̄̄ = 0.

c)

¯̄̄̄¯̄̄̄¯̄̄1 1 1 ¢ ¢ ¢ 11 1¡ x 1 ¢ ¢ ¢ 11 1 2¡ x ¢ ¢ ¢ 1...

......

. . ....

1 1 1 ¢ ¢ ¢ n¡ x

¯̄̄̄¯̄̄̄¯̄̄ = 0.

31

5.2.7) Calcule o determinante das seguintes matrizes, usando o teorema de Laplacegeneralizado:

a) A :=

26641 2 3 11 0 3 03 2 0 24 0 0 0

3775 2 M4×4(R). b) B :=

266664a 1 0 0 0b a 1 0 00 b a 1 00 0 b a 10 0 0 b a

377775 2 M5×5(R).

5.2.8) Mostre que o resultado do cálculo de um determinante de uma matriz arbi-trária do tipo 3£3, usando o teorema de Laplace generalizado e efectuando-oao longo das duas últimas linhas, é igual, ao efectuado através do teoremade Laplace e desenvolvendo-o ao longo da primeira linha dessa matriz.

5.2.9) Seja A :=

24 ¡2 ¡1 ¡3¡3 1 51 ¡2 3

35.a) Calcule det(A). b) Calcule bA.c) Calcule adj(A). d) Determine A−1.

5.2.10) Seja A :=

24 1 2 22 3 41 5 7

35.a) Calcule det(A). b) Calcule adj(A).c) Verifique se A bA = det(A)I3×3. d) Determine A−1.

5.2.11) Considere a função f : R3 ! R3, (x, y, z) 7¡! (f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)),onde para cada i = 1, 2, 3 as funções fi : R3 ! R são definidas, respectiva-mente, por:

f1(x, y, z) := 2x2+y2+3z , f2(x, y, z) := x+cos(z) e f3(x, y, z) := 2x+tg(y).

a) Verifique que f não é uma aplicação linear.

b) Calcule o jacobiano da função f .

5.2.12) Utilizando a regra de Cramer, resolva os seguintes sistemas de equações:

a)

8<: 2x¡ 5y + 2z = ¡7x+ 2y ¡ 4z = 33x¡ 4y ¡ 6z = 5

. b)

8<: x¡ y + z + t = 12x¡ y + z ¡ 3t = 2x¡ 3y + 2z ¡ 6t = 1

.

c)

8>><>>:x+ 2y + 3z + 4w = 52x+ y + 2z + 3w = 13x+ 2y + z + 2w = 14x+ 3y + 2z + w = ¡5

.

32

6. Valores e Vectores Próprios

6.1. Subespaços invariantes. Valores e vectores próprios

6.1.1) Determine os valores próprios e os vectores próprios correspondentes, dos en-domorfismos definidos, em relação à base canónica, pelas seguintes matrizessobre o corpo R:

a)∙1 42 3

¸. b)

∙3 ¡1

¡1 1

¸. c)

24 2 0 00 2 50 ¡1 ¡2

35.

d)

24 1 ¡3 33 ¡5 36 ¡6 4

35. e)

24 ¡3 1 ¡1¡7 5 ¡1¡6 6 ¡2

35. f)

26641 1 0 10 0 1 10 1 0 01 ¡1 0 1

3775.6.1.2) Determine os valores próprios e os vectores próprios correspondentes, dos en-

domorfismos definidos, em relação à base canónica, pelas seguintes matrizessobre o corpo C:

a)∙1 i0 i

¸. b)

∙1 30 1

¸. c)

∙1 ¡3ii ¡1

¸.

d)

24 2 ¡i 0i 2 00 0 3

35. e)

24 1 0 0i 2 0p5 + i 2 + 3i 3

35. f)

26641 i 0 00 0 1 10 1 0 01 ¡i 0 1

3775.

6.1.3) Seja A :=

24 2 a 10 1 24 b 2

35 2 M3×3(R). Que condições devem satisfazer a e b

para que A admita o valor próprio zero?

6.1.4) Mostre que uma matriz A é invertível se, e só se, não tem o valor própriozero.

6.1.5) Seja A uma matriz invertível e B uma matriz da mesma ordem. Mostre queAB e BA têm o mesmo polinómio característico.

33

6.2. Subespaço próprio

6.2.1) Determine os subespaços próprios das alíneas a), c), d) e e) do exercício6.1.1).

6.2.2) Determine os subespaços próprios das alíneas a) e d) do exercício 6.1.2).

6.2.3) Considere o subespaço vectorial F do espaço vectorial real Hom(R,R), quetem como base o sistema de vectores (sin θ, cos θ) e, seja d

dθ: F ! F a

aplicação linear diferencial. Determine:

a) A matriz de ddθem relação à base dada.

b) O polinómio característico de ddθ.

c) Os subespaços próprios associados aos valores próprios correspondentes.

34

6.3. Diagonalização de endomorfismos e matrizes

6.3.1) Considere o endomorfismo f : R2 ! R2, que em relação à base canóni-

ca, é definido pela matriz A :=

∙1 10 1

¸2 M2×2(R). Mostre que não é

diagonalizável.

6.3.2) Considere o endomorfismo f : R3 ! R3, que em relação à base canónica, é

definido pela matriz A :=

24 1 ¡1 0¡1 0 ¡10 ¡1 ¡1

35 2 M3×3(R).

a) Diga, justificando, se a matriz A é diagonalizável.

b) Determine os subespaços próprios associados aos respectivos valorespróprios.

6.3.3) Seja f : R3 ! R3 o endomorfismo definido em relação a uma certa base pela

matriz A :=

24 1 1 ¡12 2 ¡2

¡1 ¡1 1

35 2 M3×3(R). Diga, se f é diagonalizável, e

em caso afirmativo, indique uma base em relação à qual a matriz de f é amatriz diag(0, 0, 4).

6.3.4) Considere o endomorfismo f : R3 ! R3, que em relação à base canónica, é

definido pela matriz A :=

24 1 1 ¡2¡1 2 10 1 ¡1

35 2 M3×3(R).

a) Calcule os valores próprios e os vectores próprios da matriz A.

b) Indique uma matriz P tal que P−1AP seja uma matriz diagonal, eutilize este resultado, para calcular A−1 e A5.

6.3.5) (é para pôr mais um exercício mas com uma base, em vez da base canónica.Pôr aquele que já fiz.)

35

7. Espaços com Produto Interno

7.1. Produtos internos. Normas

7.1.1) Verifique se as seguintes aplicações definem ou não produtos internos em R3:

a) hu, vi := u1v1 + 2u2v2 + u1v2 + u2v1 + u3v3.b) hu, vi := 3u1v1 ¡ u1v2 ¡ u2v1 + 2u2v2 + 5u3v3.

7.1.2) Relativamente aos produtos internos definidos no exercício anterior, deter-mine hu, vi, onde:

a) u := (1, 1, 1) e v := (1, 2, 3).

b) u := (¡1, 0, 1) e v := (¡1,¡2, 0).

7.1.3) Em R2[x], verifique se são produtos internos:

a) hp, qi := a2b2 + a1b1 + a0b0.b) hp, qi := 1

4a0b0 +

19a1b1 + 2a2b2.

7.1.4) Verifique se as seguintes aplicações definem ou não produtos internos:

a) hx, yi :=µ

nPi=1

xi

¶µnPi=1

yi

¶, no espaço vectorial Rn.

b) hx, yi :=nPi=1

xiyi, no espaço vectorial Rn.

c) hx, yi :=nPi=1

xiyi, no espaço vectorial Cn.

d) hA,Bi :=nP

i,j=1

aijbij, no espaço vectorial Mn×n(R).

7.1.5) Considere as matrizes A,B 2 Mm×n(R):

a) Prove que hA,Bi := tr(AtB) é um produto interno, onde tr é o traçoda matriz.

b) Mostre que j tr(AtB)j2 ∙ tr(AtA) tr(BtB).

7.1.6) Sejam u, v e w vectores de um espaço euclidiano satisfazendo:

hu, vi = 2, hv, wi = ¡3 e hu, wi = 5kuk = 1, kvk = 2 e kwk = 7.

Calcule:

36

a) hu+ v, w + vi.b) h2v ¡ w, 3u+ 2wi.c) ku+ vk.d) ku¡ 2v + 4wk.

7.1.7) Sejam u, v e w vectores de um espaço unitário satisfazendo:

hu, vi = 2 + 3i, hv,wi = ¡3¡ i e hu,wi = 5¡ 2ikuk = 1, kvk = 2 e kwk = 7.

Calcule:

a) hu+ v, w + vi.b) h2v ¡ w, 3iu+ 2wi.c) ku+ vk.d) ku¡ 2v + 4iwk.

7.1.8) Considere o espaço euclidiano R3 com o produto interno canónico. Deter-mine um vector normado e perpendicular ao vector (1, 0, 2).

7.1.9) Considere no espaço vectorial R3 a base canónica (fixa) e o produto internocanónico. Dados os vectores:

u := e1 ¡ e2 + 2e3 , v := e2 ¡ 2e3 e w := 2e1 + e2.

a) Determine um vector perpendicular a u e a v e de norma igual ap10.

b) Determine um vector perpendicular a v e a w e de norma igual ap15.

7.1.10) Determine para o produto interno canónico de R3, o seno e o coseno doângulo formado pelos seguintes vectores:

a) a := αe1 + e2 ¡ e3 e b := 6e1 ¡ 3e2 + e3.b) a := e1 ¡ e2 + 2e3 e b := 2e1 + 2e2 ¡ 5e3.

7.1.11) Determine para que valores de α, são perpendiculares os seguintes vectores,para o produto interno canónico de R3:

a) a := 2e1 + αe2 + e3 e b := 4e1 ¡ 2e2 ¡ 2e3.b) a := ¡1e1 + 2e2 + αe3 e b := ¡5e1 ¡ 2αe2 ¡ 2e3.

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7.2. Bases ortonormadas. Processo de ortonormalização

7.2.1) Considere definido em R3 o produto interno canónico. Aplique o processode ortonormalização de Gram-Schmidt aos seguintes sistemas de vectoreslinearmente independentes:

a) ((1,¡2, 2), (¡1, 0, 1), (5,¡3,¡7)).b) ((1, 0, 2), (¡1, 1, 1), (1,¡3, 0)).

7.2.2) Considere definido em R2[x] o produto interno canónico. Aplique o processode ortonormalização de Gram-Schmidt aos seguintes sistemas de vectoreslinearmente independentes:

a) (1, x, x2).

b) (1, 2x+ x2, 3x2).

7.2.3) Considere o espaço vectorial R2[x] com o seguinte produto interno:

hp, qi :=Z 1

−1pqdx,

em relação à base canónica (1, x, x2).Determine uma base ortonormada para o produto interno dado.

7.2.4) Considere o espaço vectorial M2×2(R) com o seguinte produto interno:

hA,Bi := tr(AtB),

em relação à base canónica (E11, E12, E21, E22) desse espaço.Determine uma base ortonormada para o produto interno dado.

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7.3. Matriz da métrica. Complemento ortogonal

7.3.1) Sejam (V ; h¡i) um espaço vectorial com produto interno e X µ V . Mostreque X⊥ é um subespaço vectorial de V .

7.3.2) Considere em R3 a seguinte aplicação definida por:

hu, vi := u1v1 + u1v3 + u3v1 + 2u2v2 + u2v3 + u3v2 + 4u3v3.

a) Verifique se é um produto interno.

b) Escreva a matriz da métrica, em relação à base ((1, 1, 1) , (1, 1, 0) , (1, 0, 0)).

7.3.3) Sejam V um espaço euclidiano de dimensão 3 e a matrizG :=

24 2 ¡1 0¡1 1 00 0 3

35.a) Verifique que a matriz G é uma matriz da métrica de um produtointerno, em relação a uma base (e1, e2, e3).

b) Determine uma base ortonormada relativamente ao produto internodefinido por G.

c) Calcule h2e1 + e2, e1 ¡ e2 + 2e3i.

7.3.4) Considerem-se um espaço euclidiano V de dimensão 3 e a matriz G :=24 1 ¡1 0¡1 a 10 1 b

35.a) Indique valores para a e b de modo que G não seja a matriz da métricade um produto interno, em relação a uma base (e1, e2, e3).

b) Suponha a = 2 e b = 4 e considere-se os vectores u := e1+ e3 e v := e2.

1) Mostre que ](u, v) = 90o.2) Determine uma base ortogonal que contenha u e v.

7.3.5) Seja F v R5 gerado pelos vectores:

(u, v) := ((1, 2, 3,¡1, 2) , (2, 4, 7, 2,¡1)) .

a) Determine a forma geral dos vectores pertencentes a F⊥, em relaçãoao produto interno canónico.

b) Indique uma base para F⊥.

c) Determine uma base ortonormada para F⊥.

d) Determine a projecção ortogonal do vector x 2 R5 sobre F , i.e., proj⊥F (x).e) Determine a projecção ortogonal do vector x 2 R5 sobre F⊥, i.e.,proj⊥F⊥(x).Produto externo e produto misto de vectores

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7.4. Produto externo e produto misto de vectores

7.4.1) Considere no espaço euclidiano R3 uma base ortonormada (fixa) (e1, e2, e3).Dados os vectores:

u := e1 ¡ e2 + 2e3 , v := e2 + 2e3 e w := e1 + e2.

Determine:a) u ^ v. b) v ^ w. c) w ^ w. d) u ^ (v ^ w).e) (u ^ v) ^ w. f) (u ^ u) ^ w. g) (u+ v) ^ w. h) u ^ (v + w).

7.4.2) No espaço euclidiano R3, considere fixa a base (e1, e2, e3) formada por vec-tores normados e que fazem entre si ângulos no valor de π

3. Dados os vectores:

x := e1 ¡ e3 , y := ¡e1 + e2 e z := ¡e1 + 2e3.

Determine:

a) a) x ^ y. b) hx ^ y, zi. c) (x ^ y) ^ z.

7.4.3) Considere o espaço vectorial real R3.

a) Verifique se as seguintes bases são bases directas:

1) ((1, 0, 0) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)).2) ((1, 1, 0) , (1, 1, 1) , (1, 0, 0)).3) ((1, 1, 1) , (1, 0, 0) , (1, 1, 0)).

b) Verifique se as seguintes bases são bases inversas:

1) ((1, 1, 0) , (1, 0, 0) , (1, 1, 1)).2) ((1, 0, 0) , (1, 1, 1) , (1, 1, 0)).3) ((1, 1, 1) , (1, 1, 0) , (1, 0, 0)).

7.4.4) Sejam u e v vectores linearmente independentes, num espaço euclidiano dedimensão 3. Considere o vector w := (v ^ u)¡ v nesse espaço.

a) Verifique se u ? (v + w).b) Mostre que π

2∙ ∠ (v, w) ∙ π.

c) Se kvk = 1 e ku ^ vk = 2, calcule kwk.

7.4.5) Considere-se o espaço euclidiano R3 e a base ortonormada (fixa) (e1, e2, e3)e ainda a aplicação f : R3 ! R3 definida por x 7! x ^ (e1 + e2 + e3).

a) Verifique se f é um endomorfismo no espaço R3.b) Determine a matriz de f , em relação à base considerada.

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Bibliografia

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[2] S. Lipschutz. Álgebra Linear. McGraw-Hill, 1981.

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[5] S. Berberian. Linear Algebra. Oxford University Press, 1992.

[6] E. Giraldes, V. Hugo e M. Smith. Curso de Álgebra Linear e GeometriaAnalítica. McGraw-Hill, 1995.

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