Caderno do aluno matemática 7ª serie 4º bimestre

Caro(a) aluno(a), Voc est recebendo o ltimo volume do Caderno de Matemtica. Ao longo deste ano, voc encontrou desafios que exigiram os conhecimentos e as habilidades desenvolvidos durante o curso. Parabns pelo esforo! Agora, h outros desafios pela frente. Neste Caderno, o foco de aprendizagem ser a Geometria. Voc estudar, em princpio, o clculo da rea de figuras planas. Esse estudo foi construdo em sries/anos anteriores e agora o objetivo ser explorar e ampliar as ideias e os processos aprendidos para esses clculos. Nas Situaes de Aprendizagem propostas, voc ter contato com diferentes maneiras de calcular a rea, tanto de figuras regulares quanto irregulares, representadas em uma malha quadriculada. Voc vivenciar tambm a aplicao de dois teoremas que tm diversas aplicaes prticas e so muito conhecidos na Matemtica: o teorema de Tales e o teorema de Pitgoras. Mas afinal quem foi Tales? E Pitgoras? A partir desses teoremas, voc ir conhecer um pouco mais da histria e reconhecer que a Matemtica uma cincia construda pelo homem e que no est pronta e acabada. Por fim, ainda no estudo da Geometria, sero tratados temas como o reconhecimento, a planificao, a representao plana e as relaes mtricas dos prismas, em particular dos prismas retos. Voc ir reconhecer o prisma como um formato presente em diversas situaes do cotidiano, nas embalagens de produtos, por exemplo. O objetivo deste Caderno contribuir para que o estudo da Matemtica seja cada vez mais prazeroso. Aproveite bastante!Equipe Tcnica de Matemtica rea de Matemtica Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas Cenp Secretaria da Educao do Estado de So Paulo

Matemtica 7 Srie

9a Prova

Filipe

Altemar

Matemtica - 7a srie/8o ano - Volume 4

SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 REAS DE FIGURAS PLANAS

Leitura e Anlise de Texto Equivalncia de figuras planas Dois polgonos iguais tm, evidentemente, a mesma rea. Dois polgonos diferentes, entretanto, podem ter a mesma rea. Quando dois polgonos tm a mesma rea dizemos que eles so equivalentes. Naturalmente, se dois polgonos so formados pelas mesmas partes, ou seja, se so equicompostos, ento, so equivalentes. Embora menos evidente, a recproca desse teorema, isto , que dois polgonos com a mesma rea so equidecomponveis, foi demonstrada por dois matemticos o hngaro F. Bolyai e o alemo P. Gerwien e recebeu o nome de teorema de Bolyai-Gerwien. Um quadrado, por exemplo, pode ser decomposto formando um retngulo a partir de um corte retilneo feito pela metade de seus lados. O quadrado e o retngulo tm reas equivalentes.4m 8m 2m

VOC APRENDEU?

Atividade 1Considere o hexgono regular ABCDEF. Com apenas um corte retilneo, construa um paralelogramo que seja equivalente a ele. Se desejar, com o auxlio de rgua e compasso, construa um hexgono regular de papel e encontre um corte que o transforme em um paralelogramo. Depois, desenhe essa formao no espao a seguir.A B

4m

F

C

E

D

3


Atividade 2Dois retngulos so equivalentes. No primeiro, a base mede 125 cm e a altura mede 80 cm. No segundo, a base mede 50 cm e a altura no conhecida. a) Descreva uma forma para encontrar a altura do segundo retngulo e determine seu valor.

b) Compare o permetro dos dois retngulos. O que voc observa?

Atividade 3Um retngulo tem base de 16 cm e altura de 4 cm. Encontre as medidas de um retngulo equivalente a este que possua o menor permetro possvel.16 cm 4 cm

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Leitura e Anlise de Texto Frmula de Pick: calculando reas por contagem s vezes, a beleza de um teorema no associada sua aplicao, mas sua simplicidade. Em 1899, o matemtico tcheco Georg Alexander Pick publicou um artigo que apresentava uma frmula para clculo de reas de polgonos cujos vrtices eram pontos de uma malha quadriculada. Observando a composio e a decomposio de figuras planas na malha, Pick percebeu um padro que associava a rea de um polgono quantidade de pontos da malha que se situavam no seu interior e sobre seu permetro. A frmula de Pick, para um polgono cujos vrtices so pontos de uma malha quadricuB lada, : A = __ + I 1, em que A a rea do polgono, B a quantidade de pontos da malha 2 situados sobre a fronteira do polgono e I o nmero de pontos da malha existentes no interior do polgono.

VOC APRENDEU?

Atividade 4A seguir apresentamos trs figuras um quadrado, um paralelogramo e um tringulo retngulo. Preencha a tabela abaixo e aplique a frmula de Pick para encontrar a rea das trs figuras. Em seguida, conclua se h equivalncia entre esses polgonos.

Figura Quadrado Paralelogramo Tringulo retngulo

Valor de B

Valor de I

Clculo

rea

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Atividade 5Em uma tbua foram fixados, mesma distncia, alguns pregos, formando um geoplano. Com um elstico, o professor formou a figura a seguir. Aplique a frmula de Pick para encontrar a rea do polgono ABCD.D C

A B

Leitura e Anlise de Texto Calculando reas de figuras irregulares Aerofotogrametria um conjunto de tcnicas que permite a elaborao de mapeamentos com base em fotografias tiradas por cmeras instaladas em avies ou satlites. Fotogrametristas so os profissionais que analisam as formas e as dimenses dos objetos a partir dessas fotografias mtricas. Esses profissionais tm recursos para determinar reas de regies como cidades, pases ou parques ambientais. A seguir, propomos um mtodo para determinar, de forma aproximada, reas de regies irregulares em um mapa. Neste caso, consideramos que os mapas foram construdos por meio de um sistema de projeo que preserva a proporcionalidade entre as reas representadas e as reas reais (existem mapas que so construdos tendo em vista outras finalidades, como as relacionadas navegao, e que no preservam tais propores).

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VOC APRENDEU?

Atividade 6Para calcular o valor aproximado da rea de uma regio irregular, podemos desenh-la sobre uma malha quadrangular, em que cada quadradinho da malha indica uma unidade de rea (1 u), e utilizar os seguintes processos: 1. Conta-se o nmero de unidades da malha totalmente contidas na regio, indicada por A1. 2. Conta-se o menor nmero de unidades da malha que envolve totalmente a regio, indicada por A2. 3. Calcula-se a mdia aritmtica entre as duas quantidades de unidades da malha contadas nos processos 1 e 2. A1 + A2 12 + 33 A = _______ = _______ = 22,5 u 2 2

A

A1 = 12 u

A2 = 33 u

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4. Se a figura estiver em escala, devemos conhecer a rea da unidade da malha para multiplic-la pelo valor encontrado anteriormente. Utilize o procedimento que acabamos de descrever para calcular a rea aproximada do Estado de Minas Gerais, destacado no mapa a seguir.

RORAIMA

AMAP

Wagner Batella adaptado por Conexo Editorial

AMAZONAS

PAR

MARANHO PIAU

RIO GRANDE CEAR DO NORTE PARABA PERNAMBUCO ALAGOAS SERGIPE

ACRE RONDNIA MATO GROSSO DF GOIS TOCANTINS

BAHIA 53 000 km2

MATO GROSSO DO SUL

MINAS GERAIS ESPRITO SANTO SO PAULO RIO DE JANEIRO

PARAN SANTA CATARINA RIO GRANDE DO SUL

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PESQUISA INDIVIDUAL

Faa uma pesquisa em livros de Geografia, em atlas ou na internet sobre a rea real que o Estado de Minas Gerais ocupa. Compare o valor real com o valor encontrado na Atividade 6 apresentada na seo Voc aprendeu?.

Leitura e Anlise de Texto As frmulas das reas de figuras planas Vamos acompanhar o desenvolvimento das expresses que permitem o clculo da rea de alguns polgonos importantes! rea do paralelogramo A rea do paralelogramo obtida pela equivalncia com a rea de um retngulo de base e altura com medidas respectivamente iguais base e altura do paralelogramo considerado. Vamos mostrar isso a partir do paralelogramo ABCD ao lado.A B

D

C

Do vrtice A, baixamos um segmento AE, perpendicular s paralelas AB e CD. Nesse caso, AE ser a altura relativa s bases AB e CD.A B A B A B

h

h

h

D

E

C

D

E

C

E

C

b

E

Observando a composio, percebemos que ambos os quadrilteros possuem a mesma altura AE e a mesma base AB. Logo, o mesmo produto da medida AE . AB, que determina a rea do retngulo, determina tambm a rea do paralelogramo. Denotando cada dimenso por h (altura) e b (base), temos que a rea do paralelogramo : A = b . h.9


rea do losango Chamamos losango um paralelogramo equiltero, isto , com lados congruentes. Como o losango um paralelogramo, sua rea pode ser obtida pelo produto da base (lado do losango) pela altura (distncia entre a base e o lado paralelo a essa base).B B C

A

C

h b

A D

D

A=b.h Outra possibilidade mostrar que o losango ABCD equivale a um retngulo ACFE, em que um lado igual a uma das diagonais do losango e o outro metade da outra diagonal. D.d A = _____ 2E

B

A

M d 2 D D

C

F

rea do tringulo

A rea do tringulo pode ser deduzida a partir da rea do paralelogramo. Dado um tringulo qualquer ABC, acrescentamos a ele o tringulo ABC, idntico a ele, formando um paralelogramo.A A B

h B C

B

C

b

A rea do tringulo , portanto, igual metade da rea do paralelogramo, que determinada pelo produto da medida da base b pela altura h. Logo, a rea A do tringulo determinada por: b.h 1 A = __ b . h ou A = ____ 2 210


Desafio! rea do trapzio Trapzio todo quadriltero convexo que tem apenas dois lados paralelos. No trapzio GALO, dado a seguir, B a medida da base GA (base maior) e b a medida da base LO (base menor). A altura do trapzio indicada por h e representa a distncia (B + b) . h entre as bases. A rea do trapzio representada pela expresso: A = _________ . 2O b base menor h altura G base maior B A L

Encontre uma maneira de demonstr-la, tomando a gravura acima como referncia.

LIO DE CASA

Atividade 1A figura a seguir indica uma folha de lato que ser usada na montagem de uma pea (as medidas esto em metros).x + 10 x x 2x + 4 x x 2x + 4

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a) Se calcularmos a rea da superfcie da folha de lato necessria construo da pea, ela ser uma expresso que depende do valor de x. Escreva essa expresso.

b) Encontre o valor da rea dessa superfcie quando x = 4 metros.

Atividade 2Separe duas folhas de papel sulfite. Disponha uma sobre a outra como mostra a figura a seguir. Discuta com seu colega se a folha que est por cima cobriu a metade, mais da metade ou menos da metade da folha que est por baixo.

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 2 TEOREMA DE TALES: A PROPORCIONALIDADE NA GEOMETRIAVOC APRENDEU?

Atividade 1Slvio um jardineiro que est trabalhando no projeto de um canteiro triangular, em uma esquina da praa de seu bairro. Inicialmente, ele prope que o canteiro seja composto por dois tipos diferentes de folhagens rasteiras, e que a diviso entre elas seja feita por uma faixa paralela base BC, indicada na figura pelo segmento DE. Desse modo, Slvio fez as seguintes medies no canteiro: AD = 4 m, DB = 4 m e AE = 3 m. Qual deve ser a medida de EC?A 4m D 4m B C B C A 3m E

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Atividade 2Para fazer um ajuste em seu projeto, Slvio posicionou o ponto D a 2 m do ponto A, conforme indicado na figura a seguir. Encontre a nova medida de EC.A 2m D 6m 1,5 m E

B

C

Ateno! Vamos aproveitar o mesmo enunciado para explorar outras propores possveis no projeto do canteiro.

Atividade 3A partir dos ajustes e dimenses do projeto (Atividade 2), Slvio percebeu que poderia explorar melhor o canteiro, dividindo-o mais uma vez por outra faixa paralela base BC, indicada na figura pelo segmento FG. Isso permitiria plantar outro tipo de folhagem, deixando o canteiro ainda mais bonito.A 2m D 5m F G C 1,5 m E

1m B

Com base nessas dimenses, encontre as medidas de EG e GC e utilize o espao a seguir para realizar os clculos.15


Atividade 4Lucas queria estimar a medida mais extensa do pequeno lago que havia perto de sua casa. Pensando sobre o problema, ele inicialmente fez um esquema da situao, indicando essa extenso por AB e imaginando dois tringulos ABD e BCE, sendo as bases AD e EC paralelas (Figura 1). Depois, foi ao local e fincou 5 estacas, cada uma correspondente a um vrtice dos tringulos de seu esquema. Contou com passos as medidas correspondentes aos lados AE, BD e DC e completou seu esquema como na Figura 2.4 passos A E

E

A

B

B

9 passos

D Figura 1 C Figura 2 C

D 3 passos

O procedimento criado por Lucas permite a resoluo do problema? Se sua resposta foi afirmativa, expresse os clculos efetuados e o valor, em passos, encontrado por ele para a extenso AB.

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Atividade 5De uma praa em formato retangular saem 4 avenidas, , , e , uma de cada vrtice do retngulo. Ligando cada par de avenidas, h trs ruas, 1, 2 e 3, sempre paralelas em cada caso. Os pontos de encontro entre as ruas de mesmo nmero so nomeados pelas letras do alfabeto, A, B, C, D, etc. Observe na figura os pontos M e P. O ponto M est na rua 2 Leste, enquanto o ponto P est na rua 3 Norte.C NORTE 3 Avenida L K J OESTE 1 3 2 1 Praa D 1 2 3 SUL E F Avenida 2 3 P 2 1 A B Avenida

M LESTE

G H Avenida I

a) Considere apenas a parte Sul e as distncias entre os pontos apresentadas a seguir, e verifique GH DE se vlida a proporo ____ = ____ . EF HI GH = 50 m HI = 40 m DE = 60 m EF = 48 m

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b) A proporo verificada no item anterior a expresso matemtica do teorema de Tales, segundo o qual: se uma reta paralela a um lado de um tringulo intersecta os outros dois lados em pontos distintos, ento ela determina segmentos que so proporcionais a esses lados. Considere agora o lado Leste da praa da figura e escreva a expresso matemtica do teorema de Tales.

c) A partir da distncia AB = 36 m, calcule a medida BC.

d) Na figura, a distncia entre os pontos J e K igual a 32 m. Sendo assim, calcule as medidas de KL a partir da proporcionalidade entre os segmentos do lado Norte e de KL com base na proporcionalidade entre os segmentos do lado Oeste.

Atividade 6Se a praa da figura da atividade anterior for retirada do mapa, observa-se que as avenidas e encontram-se no ponto X, enquanto as avenidas e encontram-se no ponto Y, como mostra a figura a seguir.18


C NORTE 3 Avenida L K J OESTE X 3 2 1 Y G H Avenida I D 1 2 3 SUL 1 2 P 2 1 A B

Avenida

M LESTE

3

E F Avenida

Adotando as medidas fornecidas ou calculadas na atividade anterior, e dados JX = 10 m e AY = 8 m, calcule: a) GXL K 32 m

J

10 m

X

OESTE

3

2

1 G

50 m H I

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b) DYC

B 36 m A 8m 1 Y D 60 m E F M 2 3 LESTE

PESQUISA INDIVIDUAL

Pesquise em livros de Histria, Filosofia ou Matemtica e tambm em alguns sites fatos relativos vida do matemtico e filsofo grego Tales de Mileto. Nessa pesquisa voc deve buscar caractersticas que permitam diferenciar a matemtica egpcia da grega. Anote em uma folha avulsa os principais dados encontrados.20


Leitura e Anlise de Texto Tales A forma emprica, do ensaio e erro, que caracteriza a matemtica dos egpcios e dos babilnios, tornou-se o fundamento da forma dedutiva empregada pelos gregos. impossvel omitir uma ou outra na construo do conhecimento geomtrico. Tales o personagem que circula entre as riquezas culturais de ambas as civilizaes e que, criando seus prprios nexos, forma a base do que seria a tradio grega de fazer Matemtica. Com Tales, a Geometria transformou-se, de conhecimento emprico, cujos resultados so deduzidos diretamente da prtica, em conhecimento dedutivo, baseado na aplicao das leis da lgica. Contudo, os trabalhos de Tales e Pitgoras ainda careciam de uma organizao, e essa tarefa coube a outro gemetra grego, Euclides, em meados do sculo III a.C. Tales viveu por volta de 585 a.C. e aprendeu muito com a matemtica egpcia. sua vida esto associadas grandes faanhas, como prever um eclipse e medir a altura da pirmide de Quops observando sua sombra. Pelo que se sabe, o primeiro personagem da histria a quem se atribuem descobertas na Matemtica independentes da Geometria do mundo real. A noo de teorema A atividade prtica dos povos egpcios e babilnios levou descoberta de um grande nmero de fatos geomtricos. Esses eram apreendidos indutivamente por meio de processos experimentais. No contato com essa produo, os gemetras gregos perceberam que alguns desses fatos podiam ser obtidos a partir de outros, por dedues lgicas. Isso lhes sugeriu que algumas verdades geomtricas, tomadas como mais simples e gerais, serviriam de base para a deduo de outras propriedades geomtricas. Tendo por base um pequeno nmero de afirmaes tomadas como verdadeiras, denominadas axiomas ou postulados (do grego digno de confiana), demonstrava-se um conjunto de proposies geomtricas, ao qual se deu o nome de teorema. Essa foi uma das maiores contribuies gregas ao conhecimento matemtico e cientfico: o mtodo dedutivo. Tales considerado um dos fundadores da geometria dedutiva. Em um processo de demonstrao, o destaque fica por conta das argumentaes que devem ter por base conhecimentos j adquiridos. A demonstrao do teorema de Tales Acompanhe, atentamente, as argumentaes que o professor de Matemtica vai construir para demonstrar o teorema de Tales, que afirma que: se uma reta paralela a um lado de um tringulo (considerado por base) intersecta os outros dois lados em pontos distintos, ento ela determina segmentos que so proporcionais a esses lados. Como voc ver, este teorema tambm garante que: se um feixe de retas paralelas intersectado por duas transversais, ento os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais so proporcionais.21


VOC APRENDEU?

Determinao da distncia entre dois pontos inacessveis Atividade 7Como alternativa crise energtica, uma cidade resolveu construir uma pequena hidreltrica, aproveitando a correnteza de um rio situado nas suas proximidades. A figura a seguir representa parte do projeto da construo da barragem da hidreltrica. Considerando DE paralelo a BC, qual deve ser o comprimento da barragem a ser construda?A 24 m D x 18 m E 60 m

B

C

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Atividade 8Informaes sobre temperaturas so muito teis e frequentes no nosso cotidiano. Nas previses do tempo so comuns as informaes das temperaturas mxima e mnima no decorrer de um perodo. Quando nos sentimos doentes, uma das primeiras providncias a serem tomadas medir a temperatura do corpo com o auxlio de um termmetro. A escala trmica mais utilizada no Brasil a Celsius (C). Seu nome uma homenagem ao astrnomo sueco Anders Celsius (1701-1744), que a props em 1742. A escala trmica considera, como referncias, o ponto de congelamento e o ponto de ebulio da gua. Na escala Celsius, o ponto de congelamento 0 C e o de ebulio, 100 C. Contudo, existem diversas escalas trmicas. Nos Estados Unidos e na Inglaterra, por exemplo, a escala utilizada a Fahrenheit (F), que considera 32 F o ponto de fuso (congelamento) e 212 F o ponto de ebulio. Para pensar sobre a converso de C para F, construmos o diagrama abaixo, colocando em correspondncia as temperaturas da fuso do gelo e da ebulio da gua:C100 Tc 212 Tf

Febulio da gua

0

32

fuso do gelo

a) Encontre a expresso que determina a converso da temperatura na escala Celsius para a escala Fahrenheit.

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b) O noticirio informa que em Londres a temperatura de 46 F. Converta essa temperatura em grau Celsius e responda: Est frio em Londres?

c) Em contato com um cidado norte-americano que deseja passar as frias de janeiro no Brasil, uma agente informa que, nesse perodo, a temperatura mdia em certa cidade no Nordeste brasileiro de 32 C. Sem saber julgar a temperatura pela escala Celsius, o turista pede que a agente informe a temperatura na escala Fahrenheit. Qual a medida encontrada pela agente nessa escala?

LIO DE CASA

Atividade 1Para apoiar uma planta trepadeira, um jardineiro constri, com algumas varas de bambu, uma trelia. Tomando duas varas transversais, ele fixou, com corda, outras trs varas, a fim de que elas ficassem paralelas umas s outras. Terminada a construo, ele efetuou algumas medidas que esto expressas na figura ao lado. Com base nas medidas apresentadas, possvel afirmar que ele conseguiu o paralelismo desejado? Em caso negativo, o que ele dever fazer para consegui-lo?2420 cm 30 cm

26 cm

36 cm


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SITUAO DE APRENDIZAGEM 3 O TEOREMA DE PITGORAS: PADRES NUMRICOS E GEOMTRICOS

Leitura e Anlise de Texto Uma perspectiva histrica Pitgoras de Samos (Samos uma ilha do mar Egeu) foi um filsofo que exerceu forte influncia na civilizao grega, no sculo VI a.C. Em seus trabalhos, identificamos a originalidade de construo de um sistema formal de reconhecimento, a classificao e a explorao de padres numricos e geomtricos. O centro da motivao das pesquisas de Pitgoras e de seus discpulos encontra-se na ideia de conceber uma ordenao matemtica do cosmos. Os pitagricos acreditavam que os segredos espirituais do Universo poderiam ser desvendados por relaes numricas e, para eles, os nmeros deixaram de ser utilizados somente para contagem e revelaram outras propriedades. Embora a motivao possa ser alvo de crticas, deve-se admitir, contudo, que ela gerou uma contribuio fantstica ao conhecimento matemtico.

VOC APRENDEU?

Atividade 1 muito difcil estudar Geometria sem o apoio de desenhos. Os gregos, em muitas de suas demonstraes geomtricas, apoiavam-se na observao de figuras. A figura um importante veculo para a imaginao matemtica. Para ilustrar o valor da figura no processo demonstrativo pode-se recorrer histria da morte de Arquimedes. Uma das vrias verses narra que Arquimedes encontrava-se diante de uma figura, quando sua cidade, Siracusa, foi invadida pelo exrcito romano. Um soldado, inclinando-se sobre uma figura desenhada na areia, ordenou a Arquimedes que o acompanhasse, ao que este teria respondido: No perturbe meus crculos. Sentindo-se desafiado, o soldado desembainhou a espada e o matou. Um dos problemas clssicos da Antiguidade grega era o da duplicao da rea do quadrado. Imagina-se que Tales tenha sido o primeiro a demonstr-lo. No entanto, esse problema no escapou tambm das anotaes de Pitgoras. O problema consiste em, dado um quadrado, encontrar outro que tenha o dobro de sua rea.26


Na malha a seguir construiu-se um quadrado. Encontre outro quadrado cuja rea seja o dobro da dele.

Atividade 2Na investigao de padres em sequncias numricas, Pitgoras apoiava-se na representao figurativa destes padres. Nmeros figurados so aqueles representados por determinada configurao geomtrica. A forma figurada permite observar a anatomia da sequncia. A seguir, cada termo da sequncia est representado por certa disposio de quadradinhos.

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a) Faa a representao figurativa dos prximos dois nmeros da sequncia na malha abaixo.

b) Associando cada figura ao nmero de quadradinhos que a compem, escreva a sequncia numrica que corresponde sequncia figurativa. Voc reconhece os termos dessa sequncia?

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c) Observando a sequncia figurativa, percebemos que o primeiro elemento um quadrado de uma unidade de lado. Quando encaixamos o segundo termo no primeiro, completamos um quadrado cujo lado tem uma unidade a mais que o primeiro termo. Numericamente encontramos a seguinte relao: 1 + 3 = 4.

1

1+3=4

1+3+5=9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Quando encaixamos o terceiro termo nesse quadrado, completamos um novo quadrado que tem por lado, novamente, uma unidade a mais que o anterior. Numericamente temos: 1 + 3 + 5 = 9. Em cada encaixe em um quadrado de lado x obtemos um quadrado maior, de lado x + 1. Repita essa operao com os outros termos da sequncia. Organize suas anotaes e, refletindo um pouco mais sobre as condies oferecidas no problema, expresse, em palavras, uma concluso que relacione o quadrado dos nmeros naturais com os nmeros mpares.

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Atividade 3A propriedade encontrada na atividade anterior foi uma das que mais fascinaram Pitgoras. a) Aplique-a para encontrar o quadrado do nmero 13.

b) Como podemos aplicar esse mtodo para determinar a raiz quadrada de um nmero? Aplique-o para o nmero 64.

c) Verifique que a raiz quadrada de 72 no um nmero inteiro.

PESQUISA DE CAMPOA civilizao egpcia notvel quando o assunto construo. Apoiada em uma matemtica experimental, essa civilizao construiu um conjunto arquitetnico cujo destaque so as enormes pirmides. Grande parte do processo de construo civil se apoia na formao de ngulos retos. Para se ter uma ideia, a base da pirmide de Quops, construda h mais de 4 500 anos, composta de pedras esquadrejadas e tem por base um quadriltero muito prximo de um quadrado. O problema de traar ngulos retos foi resolvido pelos egpcios de modo to engenhoso quanto simples. Como descobriram que todo tringulo de lados 3, 4 e 5 unidades de comprimento era30


necessariamente um tringulo retngulo, os arquitetos e construtores egpcios usavam uma corda com 13 ns distribudos em intervalos iguais. Dobrando a corda de modo que formasse um tringulo de lados 3, 4 e 5, e emendando-a pelas extremidades (1o e 13o ns) obtinham um ngulo reto, oposto ao lado 5. Conexo Editorial

4

3

5

Vamos fazer como os agrimensores egpcios e criar um esquadro de barbante. Tomando um pedao de barbante, distribua 13 ns de modo que suas distncias sejam iguais. Ateno: use do bom senso para definir essa distncia. Essa etapa deve ser feita com muito capricho! Uma vez construdo o esquadro de barbante, verifique se as paredes da casa em que voc mora esto no esquadro. Relate suas concluses no espao a seguir.

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VOC APRENDEU?

Atividade 4Pitgoras, em sua viagem pelo Egito, tomou conhecimento da propriedade do tringulo 3, 4 e 5. Seu esprito crtico logo o levaria a estabelecer outra relao entre esses nmeros. Vamos acompanhar, nesta atividade, um suposto caminho percorrido por Pitgoras. Vamos chamar de quadrado geomtrico de um segmento a construo de um quadrado que tenha esse segmento por lado.

Com o segmento

construmos seu quadrado geomtrico

E vamos chamar de quadrado aritmtico o clculo em potncia de expoente quadrado (2) do nmero que representa a medida daquele lado. Com o nmero 3, encontramos o quadrado aritmtico 32 = 9 a) Em uma folha avulsa, construa os quadrados geomtricos dos segmentos de medidas: 3, 4 e 5. Pinte de cores diferentes o interior de cada um deles. Calcule os quadrados aritmticos dos nmeros 3, 4 e 5 e escreva seus resultados sobre os quadrados geomtricos. b) Analisando os valores dos quadrados aritmticos, podemos concluir uma relao entre eles. Tente descobri-la, relatando-a no espao a seguir.

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c) Recorte os quadrados geomtricos dos segmentos 3, 4 e 5. Construa na malha quadriculada abaixo um tringulo de lados 3, 4 e 5. Acomode, sem sobrepor as figuras, sobre cada lado do tringulo, o quadrado geomtrico do segmento que corresponde sua medida. O lado maior do tringulo retngulo chama-se hipotenusa (do grego hypoteinousa esticado abaixo, no lado dos catetos) e os outros lados so denominados catetos (do grego kathetos coisa perpendicular). Formule uma sentena que combine esses termos com as descobertas feitas sobre os quadrados geomtricos e aritmticos associados ao tringulo 3, 4 e 5.

Atividade 5Com base nos conhecimentos adquiridos at agora, vamos nos tornar discpulos de Pitgoras e buscar outros tringulos que possuam a mesma propriedade do tringulo 3, 4 e 5, isto , que formem um tringulo retngulo com lados de medidas inteiras e cuja rea do quadrado sobre a hipotenusa seja igual soma das reas dos quadrados construdos sobre os catetos.33


a) Desenhe um retngulo qualquer. Corte o retngulo pela diagonal. Qual foi a figura criada? Mea seus lados com o auxlio de uma rgua. Esta medida resultou em um nmero inteiro?

b) Vamos construir o esquadro dos egpcios no plano cartesiano. O vrtice do tringulo 3, 4 e 5, que corresponde ao ngulo de 90, ser posto na origem do sistema. Portanto, as coordenadas dos vrtices sero A(0,0), B(0,3) e C(4,0). Para ampliar as dimenses do tringulo ABC em duas vezes, multiplicamos suas coordenadas por 2, obtendo o tringulo ABC, de coordenadas (2x,2y), isto , A(0,0), B(0,6) e C(8,0). Se quisermos triplicar suas dimenses, multiplicamos suas coordenadas por 3, obtendo o tringulo de vrtices A(0,0), B(0,9) e C(12,0). I. Localize esses pontos em um plano cartesiano construdo na malha quadriculada a seguir. Construa os tringulos ABC, ABC e ABC.

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II. Verifique se, para esses tringulos, o quadrado da medida da hipotenusa igual soma dos quadrados das medidas dos catetos. III. Escreva a medida de trs lados de um tringulo de modo que este seja um tringulo retngulo. LIO DE CASA

Atividade 1Em Matemtica, como em muitas outras atividades humanas, depois que se toma gosto difcil parar. Embora satisfeitos por nossas faanhas matemticas no encontro de outros ternos pitagricos, reconhecemos sua limitao por todos serem relacionados a um nico tringulo, o de lados 3, 4 e 5. Como Pitgoras, lancemo-nos em mais um desafio: Como encontrar outros ternos de nmeros inteiros que sejam lados de um tringulo retngulo, sem que estejam diretamente relacionados a ampliaes do tringulo 3, 4 e 5? Para dar continuidade a este estudo, vamos fazer como os pitagricos e aplicar alguns conceitos aprendidos nas atividades anteriores. Retomando as ideias da Atividade 2, apresentada na seo Voc aprendeu?, identificaremos os nmeros figurados no formato de um L por gnmon, termo antigo que os gregos usavam para se referir ao esquadro de carpinteiro. Naquela atividade, chegamos concluso de que em cada encaixe de um gnmon em um quadrado de lado x obtemos um quadrado maior, de lado x + 1. Essa constatao relaciona, portanto, a rea de dois quadrados. Nas atividades anteriores, observamos que, em um terno pitagrico, a soma de dois quadrados resulta em um terceiro. Combinando essas ideias, podemos criar outra fonte de ternos pitagricos. Para compreender isso, vamos analisar mais uma vez o tringulo 3, 4 e 5. Partindo de um quadrado de 4 unidades de lado, precisamos, para que haja encaixe, que o gnmon seja composto por 9 quadradinhos, isto , uma unidade a mais que a soma de dois lados do quadrado dado (quadradinho que fica no cotovelo do gnmon). Encaixando o gnmon no quadrado, produzimos um novo quadrado, cujo lado mede 5 unidades (uma unidade a mais que o lado do quadrado dado) e cuja rea a soma das reas do quadrado de lado 4 com a rea do gnmon.

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Geometricamente, construmos um quadrado de lado 5. Como, neste caso, a quantidade de quadradinhos no gnmon igual a 9, que o quadrado de um nmero inteiro, conseguimos a relao esperada: a rea de um quadrado foi gerada pela soma da rea de dois quadrados, o que aritmeticamente assim representado: 42 + 32 = 52. Aplicando o mtodo do encaixe de um gnmon, encontre o terno primitivo tomando por base um quadrado de lado 12. Construa uma figura que represente essa situao.

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Atividade 2Encontre o terno pitagrico formado pelo gnmon composto por 49 quadradinhos.

Atividade 3O terno (7, 20, 21) pitagrico? Justifique sua resposta aritmeticamente.

Leitura e Anlise de Texto Embora o mtodo do encaixe represente uma sofisticao por permitir encontrar ternos pitagricos para alm dos gerados pelo terno primitivo 3, 4 e 5, ele ainda muito emprico e s vale para tringulos retngulos em que os dois lados maiores diferem em apenas uma unidade. Uma pergunta que Pitgoras se colocou, e que provamos agora, : Em todo tringulo retngulo, a rea do quadrado construdo sobre a hipotenusa igual soma das reas dos quadrados construdos sobre os catetos?

VOC APRENDEU?

Brincando de Pitgoras Atividade 6Embora ainda seja um caso particular, Pitgoras provou que seu teorema tambm era vlido para tringulos retngulos issceles. Construa 9 tringulos retngulos issceles congruentes de papel.37


Tomando por base a ideia da duplicao de rea de um quadrado por meio da construo de um quadrado sobre a hipotenusa do tringulo retngulo issceles, disponha os 9 tringulos, sem os sobrepor, a fim de constatar que a rea do quadrado construdo sobre a hipotenusa igual soma das reas dos quadrados construdos sobre os catetos. Depois, lembrando que se trata de uma demonstrao, voc deve elaborar argumentos que justifiquem sua hiptese. Escreva sua argumentao no espao a seguir e, se quiser, cole a figura em seu caderno.

Atividade 7Para esta atividade, voc precisar de 8 peas de papel, nos seguintes formatos: 2 retngulos congruentes quaisquer. Recorte esses retngulos por uma diagonal e obtenha 4 tringulos retngulos congruentes.2 1 3 4

3 quadrados. Um deles deve ter lado igual hipotenusa do tringulo retngulo anteriormente formado; os outros dois devem ter como lados cada um dos catetos do tringulo j referido.

5

6

7

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1 quadrado de lado igual soma das medidas dos catetos.

8

De posse dessas peas, sobreponha sobre o quadrado maior (o que tem lado igual soma dos catetos, indicado pelo nmero 8) cada uma das configuraes representadas na figura a seguir. Construa uma argumentao que prove que a rea do quadrado da hipotenusa igual soma das reas dos quadrados dos catetos. Escreva-a no espao a seguir.1 2 3 1 2

4

3

4

O limite da demonstrao por figurao Atividade 8Para esta atividade voc precisar de papel quadriculado e tesoura. Inicialmente, vamos construir um quadrado de 64 casas no papel quadriculado (Figura 1). Depois, vamos decompor o quadrado em 4 figuras: dois tringulos retngulos (ACE e CEF) e dois trapzios retngulos (BEGH e DFGH), conforme a Figura 2.39A B AA1 G H

EA4

B

A2

A3

C

Figura 1

D

C

F

Figura 2

D


Vamos recortar as peas e tentar montar um retngulo. Voc conseguiu? Agora, conte a quantidade de quadradinhos que compem este retngulo. A qual nmero voc chegou? Ele corresponde quantidade de quadradinhos iniciais? O que ser que aconteceu?

Ternos pitagricos com diferena de uma unidade Atividade 9No volume 2 da 7a srie/8o ano, aprendemos o produto notvel: a 2 b2 = (a + b).(a b). Tomando-se o terno pitagrico (a,b,c), c ser a medida da hipotenusa. Logo, c o maior lado e, portanto: c > a e c > b. Podemos concluir, pela aplicao do teorema de Pitgoras, que a2 = c2 b2 = (c + b).(c b). Logo, se c b = 1, teremos a 2 = c + b. Este fato pode ser percebido em vrios ternos encontrados pelo mtodo descrito na Atividade 1, apresentada na seo Lio de casa. Terno (3, 4, 5) Terno (5, 12, 13) Terno (7, 24, 25) 32 = 4 + 5 52 = 12 + 13 72 = 24 + 25

Mantendo-se o padro geomtrico-numrico, percebemos o seguinte diagrama:3 +2 5 +2 7 +2 9 +2 11 ... 40(+1) 41 24(+1) 25 12(+1) 13 4(+1) 5

Complete o terno pitagrico em que um dos elementos 11.

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Uma demonstrao algbrica do teorema de Pitgoras Atividade 10Retome a demonstrao do teorema de Pitgoras com base na figura a seguir. Com o auxlio da lgebra, prove que: a2 = b2 + c2.c a cb b

LIO DE CASA

Atividade 4Thiago quer descobrir a medida aproximada da parte mais extensa de uma lagoa (BC). Como no sabe nadar, viu uma forma de resolver seu problema com o uso de seus conhecimentos em Geometria. Lembrando dos egpcios, fixou trs estacas na margem da lagoa e esticou cordas de A at B e de A at C. Como lhe interessa uma medida aproximada, fez o mximo para formar, no encontro das cordas em A, um ngulo reto. Medindo o comprimento dessas cordas obteve AB = 7 m e41

C

B

24 m A

7m


AC = 24 m. Construiu, ento, em seu caderno, um esboo da situao e a resolveu. Qual o valor encontrado por Thiago?

Atividade 5Aqui, temos o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura. Um marceneiro foi contratado para construir o corrimo dessa escada. Quantos metros lineares de madeira sero utilizados no corrimo?30 cm

90 cm

corrimo 30 cm 24 cm 24 cm 24 cm 90 cm33 cm

24 cm 24 cm

Atividade 6Esta figura representa a pipa construda por Cadu. Ele possui 1 metro de linha para reforar a pipa, contornando sua estrutura. Encontre o comprimento da linha que contorna a estrutura da pipa e verifique se a quantidade de fio suficiente. (Observao: utilize o espao a seguir para efetuar os clculos.)

24 cm 12 cm

16 cm

12 cm

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Atividade 7A figura representa a planta de um terreno que tem a forma de um trapzio retngulo ABCD. No momento de coloc-lo venda, o proprietrio resolveu dividi-lo em duas partes, de modo que ambas tivessem a mesma rea. A diviso entre os dois terrenos foi feita com uma cerca, indicada na figura por PQ, paralela ao lado AB. Encontre o permetro do terreno ABPQ.20 m A Q D

15 m

B

P 29 m

C

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 4 PRISMAS

Leitura e Anlise de Texto Prismas: identificao e elementos O prisma um formato presente em muitas situaes do cotidiano dos estudantes. A palavra prisma deriva do grego pris, que significa serrar e do sufixo -ma, que indica resultado. Os antigos gregos utilizavam esse termo para se referir aos pedaos de madeira que eram cortados. Nos dias de hoje, a maioria das embalagens e dos objetos com que temos contato tem essa forma.

PESQUISA DE CAMPO

Recolha, em casa ou na rua, algumas embalagens que possam ser levadas para sala de aula. Identifique se suas faces so polgonos e quantos lados elas tm. Conte o nmero de faces, vrtices e arestas de cada embalagem. Faa, no espao a seguir, um desenho de 3 embalagens que voc observou.

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VOC APRENDEU?

Diagonais de um prisma Atividade 1Uma caixa tem o formato de um paraleleppedo reto-retngulo com 4 cm de comprimento, 3 cm de profundidade e 12 cm de altura, conforme a figura ao lado. Encontre a medida do segmento AB, tambm chamado diagonal do prisma.12

A

3 4 B

Volume de um prisma Atividade 2Dizemos que dois prismas so equivalentes quando tm o mesmo volume. A seguir, so dados dois prismas com diferentes formatos que compem o projeto de uma caixa.

8 cm 4 cm

8 cm 8 cm (x + 10) cm

8 cm

Sabendo que eles so equivalentes, determine: a) o volume das caixas;

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b) a caixa cuja superfcie tem a menor rea.

Atividade 3O uso de urnas eletrnicas nas eleies no Brasil considerado um dos processos eleitorais mais modernos do mundo. Na figura a seguir, temos representada uma dessas urnas. Vamos tom-la como um prisma cujas bases so trapzios retngulos. Na figura esto dadas as medidas de AB, AC, CD e DE. Considere, tambm, a diferena entre o permetro do retngulo BDEF e o permetro do trapzio ABDC igual a 34 cm.F A 21 cm E C 40 cm 37 cm D 17 cm B

a) Desejando-se produzir uma capa de material plstico para cobrir a urna, necessita-se calcular a rea da urna a ser coberta. Determine esta rea. (Dica: no caso, ignore a rea da face apoiada sobre a mesa.)

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b) Calcule o volume ocupado por uma urna.

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Caderno do aluno matemática 7ª serie 4º bimestre

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